Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга, тухайлбал алгебрийн нэмэх аргыг үргэлжлүүлэн судлах болно. Эхлээд шугаман тэгшитгэл, түүний мөн чанарыг ашиглан энэ аргын хэрэглээг авч үзье. Тэгшитгэл дэх коэффициентийг хэрхэн тэнцүүлэхийг бас санацгаая. Мөн бид энэ аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно.

Сэдэв: Тэгшитгэлийн системүүд

Хичээл: Алгебрийн нэмэх арга

1. Шугаман системийг жишээ болгон ашиглах алгебрийн нэмэх арга

Ингээд авч үзье алгебрийн нэмэх аргашугаман системийн жишээг ашиглан.

Жишээ 1. Системийг шийд

Хэрэв бид энэ хоёр тэгшитгэлийг нэмбэл y нь хүчингүй болж, x-ийн тэгшитгэл үлдэнэ.

Хэрэв бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал х-ууд бие биенээ хүчингүй болгож, y-ийн тэгшитгэлийг авна. Энэ бол алгебрийн нэмэх аргын утга юм.

Бид системийг шийдэж, алгебрийн нэмэх аргыг санав. Үүний мөн чанарыг давтан хэлье: бид тэгшитгэлийг нэмж, хасах боломжтой, гэхдээ бид зөвхөн нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг авах ёстой.

2. Коэффициентийг урьдчилан тэнцүүлэх алгебрийн нэмэх арга

Жишээ 2. Системийг шийд

Энэ нэр томъёо нь хоёр тэгшитгэлд байдаг тул алгебрийн нэмэх арга нь тохиромжтой. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасъя.

Хариулт: (2; -1).

Тиймээс тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийсний дараа энэ нь алгебрийн нэмэх аргад тохиромжтой болохыг харж, хэрэглэж болно.

Өөр нэг шугаман системийг авч үзье.

3. Шугаман бус системийн шийдэл

Жишээ 3. Системийг шийд

Бид y-г арилгахыг хүсч байгаа боловч хоёр тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд өөр байна. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг тэнцүүлж, эхний тэгшитгэлийг 3-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг 4-ээр үржүүлээрэй.

Жишээ 4. Системийг шийд

Х-ийн коэффициентүүдийг тэнцүүлж үзье

Та үүнийг өөрөөр хийж болно - y-ийн коэффициентийг тэнцүүлээрэй.

Бид алгебрийн нэмэх аргыг хоёр удаа хэрэглэж системийг шийдсэн.

Алгебрийн нэмэх арга нь шугаман бус системийг шийдвэрлэхэд ч бас хамаатай.

Жишээ 5. Системийг шийд

Эдгээр тэгшитгэлүүдийг нийлүүлээд у-г хасъя.

Алгебрийн нэмэх аргыг хоёр удаа хэрэглэснээр ижил системийг шийдэж болно. Нэг тэгшитгэлээс нөгөөг нэмж хасъя.

Жишээ 6. Системийг шийд

Хариулт:

Жишээ 7. Системийг шийд

Алгебрийн нэмэх аргыг ашигласнаар бид xy гишүүнчлэлээс салах болно. Эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлье.

Эхний тэгшитгэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд хоёр дахь тэгшитгэлийн оронд бид алгебрийн нийлбэрийг бичнэ.

Хариулт:

Жишээ 8. Системийг шийд

Төгс квадратыг тусгаарлахын тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлнэ.

Бидний даалгавар бол дөрвөн энгийн системийг шийдэх явдал байв.

4. Дүгнэлт

Шугаман болон шугаман бус системийг шийдвэрлэх жишээн дээр бид алгебрийн нэмэх аргыг судалсан. Дараагийн хичээлээр бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг авч үзэх болно.

1. Мордкович А.Г. нар Алгебр 9-р анги: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага.- 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-192 х.: өвчтэй.

2. Mordkovich A.G. et al. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй.

3. Макарычев Ю.Алгебр. 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын оюутнуудад зориулсан. байгууллагууд / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 7-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Мнемосине, 2008.

4. Алимов Ш., Колягин Ю., Сидоров Ю. 9-р анги. 16 дахь хэвлэл. - М., 2011. - 287 х.

5. Мордкович A. G. Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: 2010. - 224 х.: өвчтэй.

6. Алгебр. 9-р анги. 2 хэсэгтэй. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina болон бусад; Эд. A. G. Мордкович. - 12-р хэвлэл, Илч. - М.: 2010.-223 х.: өвчтэй.

1. Коллежийн хэсэг. Математик дахь ru.

2. “Даалгавар” интернет төсөл.

3. Боловсролын портал "Би Улсын нэгдсэн шалгалтыг ШИЙДВЭРЛЭЕ".

1. Mordkovich A.G. et al. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 125 - 127.

Та тухайн сэдвээр хичээлийн төлөвлөгөөг татаж авах хэрэгтэй » Алгебрийн нэмэх арга?

Алгебрийн нэмэх арга

Та хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг графикаар эсвэл хувьсагчийг өөрчлөх замаар янз бүрийн аргаар шийдэж болно.

Энэ хичээлээр бид танд таалагдах өөр системийг шийдэх аргатай танилцах болно - энэ бол алгебрийн нэмэх арга юм.

Системд ямар нэгэн зүйл оруулах санаа хаанаас ирсэн бэ? Системийг шийдвэрлэхэд гол асуудал нь хоёр хувьсагчтай байх явдал юм, учир нь бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна. Энэ нь аль нэгийг нь ямар нэгэн хуулийн дагуу хасах ёстой гэсэн үг. Ийм хууль ёсны арга замууд нь математикийн дүрэм, шинж чанарууд юм.

Эдгээр шинж чанаруудын нэг нь: эсрэг тоонуудын нийлбэр нь тэг юм. Энэ нь хэрэв хувьсагчдын аль нэг нь эсрэг коэффициенттэй бол тэдгээрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх бөгөөд бид энэ хувьсагчийг тэгшитгэлээс хасах боломжтой болно гэсэн үг юм. Зөвхөн өөрт хэрэгтэй хувьсагчтай нэр томъёо нэмэх эрх бидэнд байхгүй нь ойлгомжтой. Та тэгшитгэлийг бүхэлд нь нэмэх хэрэгтэй, жишээлбэл. зүүн талд, дараа нь баруун талд ижил төстэй нэр томъёог тусад нь нэмнэ. Үүний үр дүнд бид зөвхөн нэг хувьсагч агуулсан шинэ тэгшитгэлийг олж авна. Тодорхой жишээн дээр юу хэлснийг харцгаая.

Эхний тэгшитгэлд у хувьсагч, хоёрдугаарт эсрэгээр -y тоо байгааг бид харж байна. Энэ нь энэ тэгшитгэлийг нэмэх замаар шийдэж болно гэсэн үг юм.

Нэг тэгшитгэлийг байгаагаар нь үлдээсэн. Танд хамгийн их таалагддаг аль нэг нь.

Гэхдээ энэ хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмснээр хоёр дахь тэгшитгэл гарна. Тэдгээр. Бид 3x-ийг 2х-ээр нэмээд, y-г -y-тэй, 8-ыг 7-оор нэмдэг.

Бид тэгшитгэлийн системийг олж авдаг

Энэ системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь нэг хувьсагчтай энгийн тэгшитгэл юм. Үүнээс бид х = 3-ыг олно. Олдсон утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулбал у = -1 болно.

Хариулт: (3; - 1).

Загварын загвар:

Алгебрийн нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ системд эсрэг коэффициент бүхий хувьсагч байхгүй. Гэхдээ тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлж болно гэдгийг бид мэднэ. Системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлье.

Дараа нь эхний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Одоо бид x хувьсагч нь эсрэг коэффициенттэй болохыг харж байна. Энэ нь бид эхний жишээн дээрхтэй адил зүйлийг хийх болно гэсэн үг юм: бид нэг тэгшитгэлийг өөрчлөхгүй үлдээнэ. Жишээлбэл, 2y + 2x = 10. Мөн бид хоёр дахь нь нэмэх замаар авна.

Одоо бидэнд тэгшитгэлийн систем байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлээс y = 1, дараа нь эхний тэгшитгэлээс x = 4-ийг хялбархан олно.

Загварын загвар:

Дүгнэж хэлье:

Бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг алгебрийн нэмэх аргыг ашиглан хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан. Тиймээс бид ийм системийг шийдвэрлэх гурван үндсэн аргыг мэддэг: график, хувьсах орлуулах арга, нэмэх арга. Эдгээр аргуудыг ашиглан бараг бүх системийг шийдэж болно. Илүү төвөгтэй тохиолдолд эдгээр аргуудыг хослуулан хэрэглэдэг.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Мордкович А.Г., Алгебрийн 7-р анги 2 хэсэг, 1-р хэсэг, Ерөнхий боловсролын байгууллагын сурах бичиг / A.G. Мордкович. – 10 дахь хэвлэл, шинэчилсэн найруулга – Москва, “Мнемосине”, 2007 он.
2. Мордкович А.Г., Алгебрийн 7-р анги 2 хэсэг, 2-р хэсэг, Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном / [A.G. Мордкович болон бусад]; редакторласан A.G. Мордкович - 10 дахь хэвлэл, шинэчилсэн - Москва, "Мнемосине", 2007.
3. ТЭР. Тулчинская, Алгебр 7-р анги. Блиц судалгаа: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан гарын авлага, 4-р хэвлэл, шинэчлэгдсэн, өргөжүүлсэн, Москва, Мнемосине, 2008 он.
4. Александрова Л.А., Алгебр 7-р анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан шинэ хэлбэрийн сэдэвчилсэн тестийн материал, А.Г. Мордкович, Москва, "Мнемосине", 2011 он.
5. Александрова Л.А. Алгебр 7-р анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан бие даасан бүтээлүүд, А.Г. Мордкович - 6-р хэвлэл, хэвшмэл, Москва, "Мнемосине", 2010 он.

OGBOU "Смоленск дахь тусгай боловсролын хэрэгцээтэй хүүхдүүдэд зориулсан боловсролын төв"

Зайны боловсролын төв

7-р ангид алгебрийн хичээл

Хичээлийн сэдэв: Алгебрийн нэмэх арга.

1. 1. Хичээлийн төрөл: Шинэ мэдлэгийг анхлан танилцуулах хичээл.

Хичээлийн зорилго: орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх мэдлэг, ур чадвар эзэмшсэн түвшинг хянах; нэмэх ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн зорилго:

Сэдэв: Нэмэх аргыг ашиглан хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурах.

Мета субьект: Танин мэдэхүйн UUD: дүн шинжилгээ хийх (гол зүйлийг тодруулах), үзэл баримтлалыг тодорхойлох, нэгтгэх, дүгнэлт гаргах. Зохицуулалтын UUD: боловсролын үйл ажиллагааны зорилго, асуудлыг тодорхойлох. Харилцааны UUD: Үндэслэлээ тайлбарлан санал бодлоо илэрхийлэх. Хувийн UUD: fсуралцах эерэг сэдлийг бий болгох, оюутны хичээл, хичээлд эерэг сэтгэл хөдлөлийн хандлагыг бий болгох.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн

Хичээлийн алхамууд:

1) Зохион байгуулалтын үе шат.

Энэ сэдвийг ойлгох, сэтгэлгээний бүрэн бүтэн байдалд хандах хандлагыг бий болгох замаар тухайн сэдвээр оюутны ажлыг зохион байгуулах.

2. Гэрийн даалгаварт өгсөн материалын талаар сурагчаас асуулт асуух, мэдлэгээ шинэчлэх.

Зорилго: оюутны гэрийн даалгаврын явцад олж авсан мэдлэгийг шалгах, алдааг олж илрүүлэх, алдаа дээр ажиллах. Өмнөх хичээлийн материалыг давтах.

3. Шинэ материалыг судлах.

1). нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;

2). шинэ нөхцөл байдалд байгаа мэдлэгээ хөгжүүлэх, сайжруулах;

3). хяналт, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Зорилго: алсын харааг хадгалах, ангид ажиллаж байхдаа нүдний ядаргаа тайлах.

5. Судалсан материалыг нэгтгэх

Зорилго: хичээлээр олж авсан мэдлэг, ур чадвар, чадварыг шалгах

6. Хичээлийн хураангуй, гэрийн даалгаврын талаарх мэдээлэл, эргэцүүлэл.

Хичээлийн явц (Google-ийн цахим баримт бичигт ажиллах):

1. Өнөөдөр би хичээлээ Уолтерын гүн ухааны оньсогооор эхлүүлэхийг хүссэн.

Хамгийн хурдан, гэхдээ хамгийн удаан, хамгийн том, гэхдээ хамгийн жижиг, хамгийн урт, богино, хамгийн үнэтэй, гэхдээ бидний хувьд хямд үнээр юу вэ?

Цаг хугацаа

Сэдвийн үндсэн ойлголтуудыг санацгаая.

Бидний өмнө хоёр тэгшитгэлийн систем байна.

Өнгөрсөн хичээл дээр тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдсэнээ санацгаая.

Орлуулах арга

Дахин нэг удаа шийдэгдсэн системд анхаарлаа хандуулаад, яагаад орлуулах аргыг ашиглахгүйгээр системийн тэгшитгэл бүрийг шийдэж чадахгүй байгааг надад хэлээрэй?

Учир нь эдгээр нь хоёр хувьсагчтай системийн тэгшитгэл юм. Бид зөвхөн нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэж чадна.

Зөвхөн нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авснаар бид тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадсан.

3. Бид дараах системийг шийдэж байна.

Нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхэд тохиромжтой тэгшитгэлийг сонгоцгооё.

Ийм тэгшитгэл байхгүй.

Тэдгээр. Энэ нөхцөлд өмнө нь судалсан арга нь бидний хувьд тохиромжгүй юм. Энэ байдлаас гарах гарц юу вэ?

Шинэ арга хайж олох.

Хичээлийн зорилгыг томъёолохыг хичээцгээе.

Шинэ арга ашиглан системийг шийдэж сур.

Шинэ арга ашиглан системийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд бид юу хийх хэрэгтэй вэ?

тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх дүрмийг (алгоритм) мэдэх, практик даалгавруудыг гүйцэтгэх

Шинэ аргыг боловсруулж эхэлцгээе.

Эхний системийг шийдсэний дараа бидний хийсэн дүгнэлтэд анхаарлаа хандуулаарай. Нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг олж авсны дараа л системийг шийдэх боломжтой болсон.

Тэгшитгэлийн системийг хараад өгөгдсөн хоёр тэгшитгэлээс нэг хувьсагчтай нэг тэгшитгэлийг хэрхэн гаргах талаар бод.

Тэгшитгэлүүдийг нэмнэ үү.

Тэгшитгэл нэмэх нь юу гэсэн үг вэ?

Тэгшитгэлийн зүүн талуудын нийлбэр, баруун талуудын нийлбэрийг тусад нь бүрдүүлж, үр дүнгийн нийлбэрийг тэнцүүл.

Хичээцгээе. Бид надтай хамт ажилладаг.

13х+14х+17ж-17у=43+11

Бид нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг олж авлаа.

Та тэгшитгэлийн системийг шийдсэн үү?

Системийн шийдэл нь хос тоо юм.

Яаж олох вэ?

Олдсон х утгыг системийн тэгшитгэлд орлуулна.

Бид x-ийн утгыг аль тэгшитгэлд орлуулах нь хамаагүй юу?

Энэ нь х-ийн олсон утгыг... гэж орлуулж болно гэсэн үг юм.

системийн аливаа тэгшитгэл.

Бид шинэ арга - алгебрийн нэмэх аргатай танилцлаа.

Системийг шийдвэрлэх явцад бид энэ аргыг ашиглан системийг шийдэх алгоритмын талаар ярилцсан.

Бид алгоритмыг хянаж үзсэн. Одоо үүнийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглацгаая.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх чадвар нь практикт хэрэг болно.

Асуудлыг авч үзье:

Ферм нь тахиа, хоньтой. Тэд нийлээд 19 толгой, 46 хөлтэй бол аль аль нь хэд байх вэ?

Нийт 19 тахиа, хонь байдгийг мэдээд эхний тэгшитгэлийг байгуулъя: x + y = 19

4x - хонины хөлний тоо

2у - тахианы хөлний тоо

Зөвхөн 46 хөл байдгийг мэдээд хоёр дахь тэгшитгэлийг байгуулъя: 4x + 2y = 46

Тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:

Тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдлийн алгоритмаар шийдье.

Асуудал! x ба y-ийн өмнөх коэффициентүүд нь тэнцүү биш, эсрэгээрээ ч биш! Юу хийх вэ?

Өөр нэг жишээг харцгаая!

Алгоритм дээрээ дахиад нэг алхам нэмээд нэгдүгээрт тавьцгаая: Хэрэв хувьсагчдын өмнө байгаа коэффициентүүд нь ижил биш, эсрэгээрээ биш бол зарим нэг хувьсагчийн модулиудыг тэнцүүлэх хэрэгтэй! Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажиллах болно.

4. Нүдэнд зориулсан цахим биеийн тамирын дасгал: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Бид шинэ материалыг нэгтгэж, фермд хичнээн тахиа, хонь байгааг олж мэдээд алгебрийн нэмэх аргыг ашиглан бодлогыг дуусгана.

Нэмэлт даалгавар:

6.

Тусгал.

Би хичээл дээрээ хийсэн ажлынхаа үнэлгээг өгдөг -...

6. Ашигласан интернет нөөц:

Боловсролд зориулсан Google үйлчилгээ

Математикийн багш Соколова Н.Н.

Эдийн засгийн салбарт янз бүрийн үйл явцыг математик загварчлахад тэгшитгэлийн системийг өргөн ашигладаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй;

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдвэрлэх ерөнхий аналитик арга байхгүй; бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. Сургуулийн математикийн хичээлд орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график, матрицын аргууд, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тайлбарласан болно.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь системийн 2-р тэгшитгэлд X-ийн оронд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээг шийдэх нь хялбар бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог. Сүүлийн алхам бол олж авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, янз бүрийн тоогоор үржүүлнэ. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ аргыг хэрэглэх нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийлэлийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үлдсэн хувьсагчийг олохын тулд үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олохыг шаарддаг бол үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

t шинэ хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг үргэлж хэлэх боломжгүй гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь үргэлж график байгуулах шаардлагатай байдаг.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь үржүүлбэл анхны матриц нь нэгж матриц болж хувирдаг матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нөхцөлийг матрицын тоогоор бичдэг нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ;

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог, та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c гэсэн томъёо байна. 3 + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулалт болон алгебрийн нэмэлтээр шийдлүүдтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтын тусламжтайгаар нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын арга нь дунд ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү ч математик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой аргуудын нэг юм.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Энэхүү математикийн программыг ашигласнаар та хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах арга болон нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно.

Хөтөлбөр нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна орлуулах арга, нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх алхамуудын тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг өгдөг.

Энэхүү программ нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ сорих, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад хэрэг болох юм.

Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Тэгшитгэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай.

Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2

Тэгшитгэлд та зөвхөн бүхэл тоо төдийгүй бутархайг аравтын бутархай, энгийн бутархай хэлбэрээр ашиглаж болно.
Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.

Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн хүртэгч, хуваагч, бүхэл тоон хэсэг болж чадна.
Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй. /
Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. &

Бүхэл хэсгийг бутархайгаас тэмдэгт тэмдгээр тусгаарлана.
Жишээ.
-1&2/3y + 5/3x = 55

Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.

Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.
Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ. Хүлээгээрэй

сек... Хэрэв ташийдэлд алдаа байгааг анзаарсан
, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно. Бүү мартямар ажлыг зааж өгнө та юуг шийднэ.

талбаруудад оруулна уу

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга
Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;

2) гарсан илэрхийллийг энэ хувьсагчийн оронд системийн өөр тэгшитгэлд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$
Эхний тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид системийг олж авна.

$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$
Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:

$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчийн тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга - нэмэх аргыг авч үзье. Системийг ийм байдлаар шийдвэрлэх, мөн орлуулах замаар шийдвэрлэх үед бид энэ системээс өөр, ижил төстэй системд шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициентүүд нь эсрэг тоо болохын тулд хүчин зүйлийг сонгох;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нэмснээр нэг хувьсагч 3x=33 тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольъё. Системээ авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38\) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38\). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдийг нэмэх замаар олсон: \(x=11; y=-9\) эсвэл \((11;-9)\)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эхний системийн тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.