Анхны нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл. Дифференциал тэгшитгэл

Өргөдөл

Дифференциал тэгшитгэлийг цахим хуудаснаас онлайнаар шийдвэрлэх нь оюутнуудад хамрагдсан материалаа нэгтгэх. Мөн практик ур чадвараа сурга. Дифференциал тэгшитгэлүүд онлайн. Дифурс онлайн, математикийг онлайнаар шийдэж байна. Математикийн бодлогыг онлайнаар шийдвэрлэх алхам алхмаар шийдлүүд. Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал буюу зэрэг нь түүнд багтсан деривативуудын хамгийн дээд эрэмб юм. Дифференциал тэгшитгэлүүд онлайн. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг. Үүссэн интеграл нь мэдэгдэж буй функцээр эцсийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэх эсэхээс үл хамааран үл мэдэгдэх функцийг олоход квадрат хэлбэрт хүргэж чадвал дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх асуудлыг шийдсэн гэж үзнэ. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийн алхам алхмаар шийдлүүд. Бүх дифференциал тэгшитгэлийг энгийн дифференциал тэгшитгэл (ODE) гэж хувааж болох бөгөөд үүнд зөвхөн нэг аргументийн функцууд (болон тэдгээрийн деривативууд) болон оролтын функцууд нь олон хувьсагчаас хамаардаг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүд (PDE) багтдаг. Дифференциал тэгшитгэлүүд онлайн. Мөн санамсаргүй процессуудыг багтаасан стохастик дифференциал тэгшитгэлүүд (SDEs) байдаг. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийн алхам алхмаар шийдлүүд. Дериватив, функц, бие даасан хувьсагчийн хослолоос хамааран дифференциал тэгшитгэлийг шугаман ба шугаман бус, тогтмол ба хувьсах коэффициенттэй, нэгэн төрлийн ба нэг төрлийн бус гэж хуваадаг. Хэрэглээний ач холбогдлын улмаас бараг шугаман (дээд деривативын хувьд шугаман) хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг тусдаа ангид ангилдаг. Дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг ерөнхий ба тусгай шийдэл гэж хуваадаг. Дифференциал тэгшитгэлүүд онлайн. Ерөнхий шийдлүүдэд тодорхойгүй тогтмолууд, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд нэмэлт интеграцийн нөхцлөөс (энгийн дифференциал тэгшитгэлийн анхны нөхцөл, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн эхний ба хилийн нөхцөл) нарийвчилж болох бие даасан хувьсагчийн дурын функцууд орно. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийн алхам алхмаар шийдлүүд. Заасан тогтмол ба тодорхойгүй функцүүдийн төрлийг тодорхойлсны дараа шийдлүүд нь тодорхой болно. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг хайж олох нь тусгай функцүүдийн ангиллыг бий болгоход хүргэсэн - мэдэгдэж буй энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй програмуудад ихэвчлэн тохиолддог функцууд. Дифференциал тэгшитгэлүүд онлайн. Тэдний шинж чанарыг нарийвчлан судалж, утгын хүснэгтийг эмхэтгэсэн, харилцан хамаарлыг тодорхойлсон гэх мэт. . Тооцоолсон тооны багцыг судалж болно. Өгөгдсөн асуудлын хамгийн сайн хариулт. Олдсон дээд хязгаарыг олохгүйгээр дифференциал тэгшитгэлийн нэгдэх муж руу гарах векторыг эхний ойролцоо байдлаар хэрхэн олох вэ. Математикийн функцийг нэмэгдүүлэх сонголт нь тодорхой юм. Судалгааны түвшнээс дээш дэвшилтэт арга байдаг. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд асуудлын эхний нөхцөлийг уялдуулах нь онцгой сонгосон утгыг олоход тусална. Энэ нь тэр даруй үл мэдэгдэх зүйлийг олж мэдэх боломжтой байж магадгүй юм. Математикийн асуудлын шийдлийг зааж өгсөн өмнөх жишээний нэгэн адил шугаман дифференциал тэгшитгэл нь тодорхой хугацааны туршид тодорхой асуудлын хариулт юм. Судалгааны журмын засвар үйлчилгээ нь орон нутагт тодорхойлогдоогүй байна. Оюутан бүрийн жишээг олж, дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг хариуцагчаар томилогдсон хүн дор хаяж хоёр утгаас тодорхойлно. Тодорхой сегмент дээр ерөнхий утгын функцийг авч, аль тэнхлэгийн дагуу цоорхой гарахыг анхааруулаарай. Дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар судалснаар үр дүн нь анхны нөхцөлөөр хангагдсан тохиолдолд ямар чухал болохыг хоёрдмол утгагүй харуулах боломжтой. Орон нутгийн хэмжээнд даалгаврын тодорхойлолт байхгүй тул функцийн тодорхойлолтоос хэсгийг хасах боломжгүй юм. Тэгшитгэлийн системээс олдсон хариулт нь ерөнхий утгаараа тоолж болох хувьсагчийг агуулж байгаа боловч дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх нь дээрх нөхцөлийг тодорхойлох үйл ажиллагаагүйгээр мэдээж хэрэг болно. Сегментийн интервалын хажууд дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх нь оюутнуудын мэдлэгийг таслах мөчид судалгааны үр дүнг эерэг чиглэлд хэрхэн ахиулж болохыг харж болно. Бизнесийн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн арга барилаас хамгийн сайн нь үргэлж ирдэггүй. 2x түвшинд шаардлагатай бүх шугаман дифференциал тэгшитгэлийг байгалийн дүрслэлд авч үзэх нь ашигтай боловч тоон утгыг тооцоолох чадвартай байх нь мэдлэгийг сайжруулахад хүргэдэг. Математикийн аль ч аргын дагуу нэгэн төрлийн эсвэл нийлмэл гэх мэт шинж чанараараа ялгаатай илэрхийллээр илэрхийлэгдсэн дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг. Функцийг судлах ерөнхий дүн шинжилгээг хийсний дараа дифференциалыг боломжуудын багц болгон шийдвэрлэх нь утгын тодорхой алдааг илэрхийлж байгаа нь тодорхой болсон. Үүний үнэн нь абсцисса шугамын дээрх зайд оршдог. Нарийн төвөгтэй функцийг тодорхойлох талбарт, түүний тодорхойлолтын аль нэг хэсэгт шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд хариултыг аналитик хэлбэрээр өгөх боломжтой болно. гэж ерөнхийд нь мөн чанар. Хувьсагчийг өөрчлөхөд юу ч өөрчлөгдөхгүй. Гэсэн хэдий ч та хариултыг онцгой сонирхолтойгоор харах хэрэгтэй. Үндсэндээ тооцоолуур нь эцсийн эцэст харьцааг өөрчилдөг, өөрөөр хэлбэл дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дэлхийн утгатай хэрхэн пропорциональ болж, хүссэн шийдлийн хүрээнд тодорхойлогддог. Зарим тохиолдолд томоохон алдааны сэрэмжлүүлгээс зайлсхийх боломжгүй байдаг. Онлайн дифференциал тэгшитгэл нь асуудлын ерөнхий санааг хэрэгжүүлдэг боловч эцэст нь вектор бүтээгдэхүүний эерэг талуудыг аль болох хурдан өгөх шаардлагатай байна. Математикийн хувьд тооны онолд буруу ойлголт өгөх тохиолдол цөөнгүй байдаг. Шалгалт зайлшгүй шаардлагатай болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ эрхийг тухайн чиглэлээр мэргэшсэн мэргэжилтнүүдэд өгөх нь дээр бөгөөд тэдний туршлага асар том, эерэг байдаг тул дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхэд тань туслах болно. Зураг болон талбайн гадаргуу дээрх ялгаа нь таныг харах боломжийг олгодог дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэж чадахгүй байгаа боловч огтлолцохгүй объектуудын багц нь шугам нь тэнхлэгтэй параллель байхаар байна. Үүний үр дүнд та хоёр дахин их утгыг авах боломжтой. Хэдийгээр тодорхой биш ч гэсэн албан ёсны тэмдэглэгээний зөв байдлын талаарх бидний ойлголт нь үзэх талбарт шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд болон үр дүнгийн чанарыг зориудаар хэтрүүлэн үнэлэхтэй холбоотой байдаг. Бүх оюутнуудын сонирхсон сэдвээр хийсэн хэлэлцүүлгийг хэд хэдэн удаа хянадаг. Бүрэн лекцийг судлах явцад бид дифференциал тэгшитгэл болон шинжлэх ухааны судалгааны холбогдох салбаруудад анхаарлаа хандуулах болно, хэрэв энэ нь үнэнтэй зөрчилдөхгүй бол. Аяллын эхэнд олон алхам хийхээс зайлсхийх боломжтой. Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь оюутнуудын хувьд үндсэндээ шинэ зүйл хэвээр байгаа бол хуучныг огт мартдаггүй, харин хөгжлийн өндөр хурдтайгаар ирээдүйд урагшилдаг. Эхэндээ математикийн асуудлын нөхцөл нь ялгаатай боловч баруун талд байгаа догол мөрөнд үүнийг зааж өгсөн болно. Тодорхойлолтоор заасан хугацаа өнгөрсний дараа векторын хөдөлгөөний янз бүрийн хавтгайд пропорциональ хамааралтай үр дүн гарах боломжийг үгүйсгэх аргагүй юм. Ийм энгийн тохиолдлыг шугаман дифференциал тэгшитгэлийг тооцоолуур дээр ерөнхий хэлбэрээр дүрсэлсэнтэй адил засч залруулж болох бөгөөд энэ нь илүү хурдан бөгөөд тооцооллын зөрүү нь алдаатай дүгнэлт гаргахад хүргэхгүй. Онолын дагуу нэрлэгдсэн таван тохиолдол л болж буй зүйлийн хил хязгаарыг түлхэж чадна. Бидний дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь функцын орон зайг задлах эхний үе шатанд тоон утгыг гараар тооцоолоход тусална. Зөв газруудад дөрвөн шугамын холбоо барих цэгийг ерөнхий утгаар илэрхийлэх шаардлагатай. Гэхдээ хэрэв та даалгавраа нүүлгэх шаардлагатай бол нарийн төвөгтэй байдлыг тэнцүүлэхэд хялбар байх болно. Анхны өгөгдөл нь зэргэлдээх хөлийг төлөвлөхөд хангалттай бөгөөд онлайн дифференциал тэгшитгэлүүд нь зүүн тийш зэрэгцэн, гадаргуу нь векторын ротор руу чиглэсэн нэг талдаа байна. Дээд хязгаараас дээш бол тогтоосон нөхцлөөс давсан тоон утгыг авах боломжтой. Пропорцын ерөнхий утгад гурван үл мэдэгдэх зүйлийг ашиглан математикийн томьёог анхаарч, дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх боломжтой. Орон нутгийн тооцооны аргыг хүчинтэй гэж хүлээн зөвшөөрсөн. Координатын систем нь хавтгайн харьцангуй хөдөлгөөнд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь тодорхой заасан функцийн график дээр байрлах бүх шулуун шугамын матрицын тодорхойлолтыг тооцоолохын тулд хоёрдмол утгагүй дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд олгодог. Хэрэв та хөдөлгөөний векторыг гурван хагас бөмбөрцгийн холбоо барих цэгт хэрэглэвэл шийдэл нь тодорхой харагдаж байна. Цилиндрийг тэгш өнцөгтийг хажуу тийш эргүүлэх замаар олж авдаг бөгөөд шугаман дифференциал тэгшитгэл нь түүний хөдөлгөөний хуулийн өгөгдсөн илэрхийллийн дагуу цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг харуулах боломжтой болно. Эхний өгөгдөл нь зөв бөгөөд математикийн асуудлыг нэг энгийн нөхцөлд сольж болно. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдлын улмаас, тавьсан дэд даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан дифференциал тэгшитгэл нь гурван хэмжээст орон зайн түвшинд тоон орон зайг тооцоолох үйл явцыг хялбаршуулдаг. Өөрөөр нотлоход хялбар боловч өгөгдсөн жишээн дээрх шиг зайлсхийх боломжтой. Дээд математикийн хувьд дараахь зүйлийг зааж өгсөн болно: асуудлыг хялбаршуулсан хэлбэрт оруулахад оюутнуудын аль болох их хүчин чармайлт гаргах хэрэгтэй. Бие биендээ наасан шугамыг харгалзан үзнэ. Дифференциалуудыг шийдэх нь муруй шугам дээр дурдсан аргын давуу талыг үргэлжлүүлсээр байна. Хэрэв та эхлээд өөрт хэрэгтэй зүйл биш гэдгийг олж мэдсэн бол математикийн томъёо нь илэрхийлэлд шинэ утгыг бий болгоно. Зорилго нь профессорын тавьсан даалгаврыг шийдвэрлэх оновчтой арга юм. Хялбаршуулсан хэлбэрээр шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хүлээгдэж буй үр дүнгээс давж гарна гэж та бодож болохгүй. Бид гурван векторыг хязгаарлагдмал бүтэцтэй гадаргуу дээр байрлуулна. бие биедээ ортогональ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолъё. Илүү олон тооны тэмдэг нэмж, үүссэн илэрхийллээс функцын бүх хувьсагчдыг бичье. Пропорциональ байна. Тооцоолол дуусахаас өмнөх хэд хэдэн үйлдэл нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлд нэн даруй хоёрдмол утгагүй хариулт өгөхгүй бөгөөд зөвхөн у тэнхлэгийн дагуу хуваарилагдсан хугацаа өнгөрсний дараа л хийгдэнэ. Функцээс далд заасан тасархайн цэгийн зүүн талд бид хамгийн сайн нэмэгдэж буй вектор руу ортогональ тэнхлэг зурж, математик объектын доод хэсгийн хамгийн бага хилийн утгын дагуу онлайн дифференциал тэгшитгэлүүдийг байрлуулна. Бид нэмэлт аргументыг функцийн завсарлагааны хэсэгт нэмнэ. Муруй шугам байрлах цэгүүдийн баруун талд нийтлэг хуваагч руу багасгахын тулд бидний бичсэн томъёонууд дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхэд тусална. Бид онолоос практикт шийдэгдээгүй асуудлуудыг гэрэлтүүлэх цорын ганц зөв хандлагыг, ерөнхий тохиолдолд хоёрдмол утгагүй баримтлах болно. Өгөгдсөн цэгүүдийн координатын чиглэлийн шугамууд нь квадратын туйлын байрлалыг хэзээ ч хаагаагүй боловч дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх нь оюутнууд, бидэнд болон энэ чиглэлээр дөнгөж эхэлж буй хүмүүст математик судлахад тусална. Бид нэг талбарын бүх чухал мөрөнд утгын аргументыг орлуулах боломжийн талаар ярьж байна. Зарчмын хувьд бидний шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд нь өгөгдсөн утгын нэг ойлголтоор тусгаарлагдсан зүйл юм. Оюутнуудад туслахын тулд ижил төстэй үйлчилгээнүүдийн дунд хамгийн сайн тооцоолууруудын нэг юм. Бүх сургалтанд хамрагдаж, өөртөө хамгийн тохиромжтойг нь сонгоорой.

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

НЭГДҮГЭЭР ЗОРИУЛАЛТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИГТҮҮД

Нягтлан бодох бүртгэлийн оюутнуудад зориулсан лекцийн тэмдэглэл

Боловсролын захидал харилцааны хэлбэр (NISPO)

Горки, 2013 он

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт. Ерөнхий болон тусгай шийдэл

Төрөл бүрийн үзэгдлийг судлахдаа бие даасан хувьсагч болон хүссэн функцийг шууд холбосон хуулийг олох боломжгүй байдаг ч хүссэн функц болон түүний деривативуудын хооронд холбоо тогтоох боломжтой байдаг.

Бие даасан хувьсагч, хүссэн функц, түүний деривативыг холбосон харилцааг нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэл :

Энд x- бие даасан хувьсагч; y- шаардлагатай функц,
- хүссэн функцийн деривативууд. Энэ тохиолдолд (1) хамаарал дор хаяж нэг деривативтай байх ёстой.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал тэгшитгэлд орсон хамгийн дээд деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

. (2)

Энэ тэгшитгэлд зөвхөн нэгдүгээр эрэмбийн дериватив багтсан тул үүнийг нэрлэдэг нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

Хэрэв (2) тэгшитгэлийг деривативын талаар шийдэж, хэлбэрээр бичиж болно

, (3)

тэгвэл ийм тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Ихэнх тохиолдолд хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзэх нь зүйтэй

гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрээр бичигдсэн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Учир нь
, тэгвэл (3) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно
эсвэл
, бидний тоолж болох газар
Тэгээд
. Энэ нь (3) тэгшитгэлийг (4) тэгшитгэлд шилжүүлнэ гэсэн үг юм.

(4) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье
. Дараа нь
,
,
, бидний тоолж болох газар
, өөрөөр хэлбэл (3) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. Тиймээс (3) ба (4) тэгшитгэлүүд тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (2) эсвэл (3) функцийг дурын функц гэж нэрлэдэг
, энэ нь тэгшитгэл (2) эсвэл (3)-д орлуулахдаа үүнийг ижил төстэй байдал болгон хувиргадаг:

эсвэл
.

Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олох үйл явцыг түүний гэнэ интеграци , мөн шийдлийн график
дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг интеграл муруй энэ тэгшитгэл.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг далд хэлбэрээр олж авбал
, дараа нь үүнийг дууддаг интеграл өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдэл Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн функцүүдийн гэр бүл юм
, дурын тогтмолоос хамаарна ХАМТ, тус бүр нь дурын тогтмолын зөвшөөрөгдөх утгын хувьд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. ХАМТ. Тиймээс дифференциал тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Хувийн шийдвэр дифференциал тэгшитгэл нь дурын тогтмолын тодорхой утгын ерөнхий шийдийн томъёоноос гаргаж авсан шийдэл юм ХАМТ, үүнд
.

Кошигийн асуудал ба түүний геометрийн тайлбар

Тэгшитгэл (2) нь хязгааргүй олон шийдтэй. Хувийн гэж нэрлэгддэг энэ багцаас нэг шийдлийг сонгохын тулд та нэмэлт нөхцөлүүдийг тавих хэрэгтэй.

Өгөгдсөн нөхцөлд (2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох асуудлыг нэрлэнэ Кошигийн асуудал . Энэ асуудал нь дифференциал тэгшитгэлийн онолын хамгийн чухал асуудлын нэг юм.

Кошигийн асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. (2) тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн дотроос ийм шийдийг ол
, үүнд функц байна
өгөгдсөн тоон утгыг авна , хэрэв бие даасан хувьсагч бол x өгөгдсөн тоон утгыг авна , өөрөөр хэлбэл

,
, (5)

Хаана Д– функцийг тодорхойлох домэйн
.

Утга дуудсан функцийн анхны утга , А – бие даасан хувьсагчийн анхны утга . Нөхцөл (5) гэж нэрлэдэг анхны нөхцөл эсвэл Кошигийн байдал .

Геометрийн үүднээс авч үзвэл (2) дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно. (2) тэгшитгэлийн интеграл муруйнуудын багцаас өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөхийг сонгоно
.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг нь хүссэн функцийг агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

. (6)

Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

. (7)

Тиймээс (7) нь (6) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Жишээ 1 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье
эсвэл
. Гарсан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.
,
. Бид үүнийг эцэст нь бичих болно
.

Жишээ 2 . Тэгшитгэлийн шийдийг ол
үүнийг өгсөн
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олцгооё.
,
,
,
. Нөхцөлөөр
,
. Ерөнхий шийдлийг орлъё:
эсвэл
. Ерөнхий шийдлийн томъёонд дурын тогтмолын олсон утгыг орлуулна.
. Энэ бол өгөгдсөн нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Тэгшитгэл

(8)

Дуудсан бие даасан хувьсагч агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл . Үүнийг маягтаар бичье
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.
эсвэл
- тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (8).

Жишээ . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.
эсвэл
. Дараа нь
,
,
,
. Тиймээс,
нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Маягтын тэгшитгэл

(9)

хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан нэгтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
, дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг ашиглан бид үүнийг нэг хэсэг нь зөвхөн функцийг агуулсан хэлбэрт оруулдаг. Xба дифференциал dx, хоёрдугаар хэсэгт – функц цагтба дифференциал dy. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх шаардлагатай dxболон хуваах
. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна

, (10)

хувьсагчууд XТэгээд цагттусгаарлагдсан. (10) тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:
. Үүссэн хамаарал нь (9) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хувиргаж, хувьсагчдыг салгацгаая.
,
. Нэгтгэцгээе:
,
эсвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.
.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгье

Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салгах хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл тэгш хэмтэй хэлбэрээр.

Хувьсагчдыг салгахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах хэрэгтэй
:

. (12)

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэл . (12) тэгшитгэлийг интегралцъя:

.(13)

(13) хамаарал нь дифференциал тэгшитгэлийн (11) ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 4 . Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье

ба хоёр хэсгийг хуваана
,
. Үр дүнгийн тэгшитгэл:
нь тусгаарлагдсан хувьсах тэгшитгэл юм. Үүнийг нэгтгэж үзье:

,
,

,
. Сүүлийн тэгшитгэл нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол
, нөхцөлийг хангаж байна
.

Шийдэл . Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Хувьсагчдыг салгая:
. Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:
,
,
. Үүссэн хамаарал нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Нөхцөлөөр
. Үүнийг ерөнхий интегралд орлуулж олъё ХАМТ:
,ХАМТ=1. Дараа нь илэрхийлэл
нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл бөгөөд хэсэгчилсэн интеграл хэлбэрээр бичигдсэн байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тэгшитгэл

(14)

дуудсан нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл . Үл мэдэгдэх функц
ба түүний дериватив нь энэ тэгшитгэлд шугаман байдлаар ордог ба функцууд
Тэгээд
тасралтгүй.

Хэрэв
, дараа нь тэгшитгэл

(15)

дуудсан шугаман нэгэн төрлийн . Хэрэв
, тэгвэл (14) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

(14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд ихэвчлэн ашигладаг орлуулах арга (Бернулли) , мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

Бид (14) тэгшитгэлийн шийдлийг хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр хайх болно

, (16)

Хаана
Тэгээд
- зарим тасралтгүй функцууд. Орлуулж үзье
ба дериватив
тэгшитгэлд (14):

Чиг үүрэг vБид нөхцөл хангагдсан байхаар сонгох болно
.
Дараа нь

. Тиймээс (14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай
,
,
,
,
Системийн эхний тэгшитгэл нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд хувьсагчдыг салгах аргаар шийдэж болно.
. Функц болгон ХАМТ=1:
та нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүдийн аль нэгийг авч болно, жишээлбэл. цагт
эсвэл
. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:
.Дараа нь
.

. Тиймээс нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна Жишээ 6
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг шийд
. Дараа нь
. Бид тэгшитгэлийн шийдлийг маягтаас хайх болно

эсвэл
. Тэгшитгэлд орлуулъя: v. Чиг үүрэг
. Дараа нь
тэгш байдлыг хангахуйц байдлаар сонгох
,
,
,
,. Тэгшитгэлд орлуулъя: v. Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийн эхнийхийг шийдье.
,
,
,
Хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:
.

. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал гэж юу вэ?

Аль дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ?

Интеграл муруй гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд Коши бодлого хэрхэн томьёологдсон бэ?

Коши бодлогын геометрийн тайлбар юу вэ?

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг тэгш хэмтэй хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Аль тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ямар аргаар шийдэж болох ба энэ аргын мөн чанар юу вэ?

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийд:
A)
;

;
б)
.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийд:
A)
;
;

G)
2. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийд:
.

; V)

G) ;

Энгийнээс гадна хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг бас судалдаг. Эдгээр нь бие даасан хувьсагчтай холбоотой тэгшитгэлүүд, эдгээр хувьсагчийн үл мэдэгдэх функц ба ижил хувьсагчидтай холбоотой түүний хэсэгчилсэн деривативууд юм. Гэхдээ бид зөвхөн авч үзэх болно энгийн дифференциал тэгшитгэл Тиймээс товчхон байхын тулд бид "энгийн" гэдэг үгийг орхих болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Тэгшитгэл (1) нь дөрөв дэх, (2) нь гурав дахь, (3) ба (4) нь хоёр дахь, (5) нь нэгдүгээр зэрэглэл юм.

Дифференциал тэгшитгэл n-р дараалал нь тодорхой функцийг агуулсан байх албагүй бөгөөд эхнийхээс бүх уламжлалыг n-р дараалал ба бие даасан хувьсагч. Энэ нь тодорхой дарааллын тодорхой дериватив, функц эсвэл бие даасан хувьсагч агуулаагүй байж болно.

Жишээлбэл, (1) тэгшитгэлд гурав, хоёрдугаар эрэмбийн дериватив, түүнчлэн функц байхгүй нь тодорхой байна; (2) тэгшитгэлд - хоёрдугаар эрэмбийн дериватив ба функц; тэгшитгэлд (4) - бие даасан хувьсагч; (5) тэгшитгэлд - функцууд. Зөвхөн тэгшитгэл (3) нь бүх дериватив, функц болон бие даасан хувьсагчийг тодорхой агуулна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх функц бүрийг дууддаг у = f(x), тэгшитгэлд орлуулснаар таних тэмдэг болж хувирна.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олох үйл явцыг түүний гэнэ интеграци.

Жишээ 1.Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье. Үүний шийдэл нь түүний уламжлалаас функцийг олох явдал юм. Интеграл тооцооноос мэдэгдэж байгаа анхны функц нь эсрэг дериватив юм, i.e.

Энэ л байна Энэ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл . Дотор нь өөрчлөгдөж байна C, бид өөр өөр шийдлүүдийг олж авах болно. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хязгааргүй олон шийд байдгийг бид олж мэдсэн.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл n th дараалал нь үл мэдэгдэх функцтэй холбоотой тодорхой илэрхийлэгдсэн түүний шийдэл юм nбие даасан дурын тогтмолууд, i.e.

Жишээ 1 дэх дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ерөнхий байна.

Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл дурын тогтмолуудад тодорхой тоон утгыг өгдөг шийдлийг нэрлэдэг.

Жишээ 2.Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба тодорхой шийдийг ол .

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг дифференциал тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү хэд дахин интегралцъя.

Үүний үр дүнд бид ерөнхий шийдлийг хүлээн авлаа -

Өгөгдсөн гурав дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн .

Одоо заасан нөхцөлд тодорхой шийдлийг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд дурын коэффициентүүдийн оронд тэдгээрийн утгыг орлуулж, авна уу

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлээс гадна анхны нөхцөлийг хэлбэрээр өгвөл ийм бодлогыг нэрлэнэ. Кошигийн асуудал . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд утгуудыг орлуулж дурын тогтмолын утгыг ол. C, дараа нь олсон утгын тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл C. Энэ бол Кошигийн асуудлын шийдэл юм.

Жишээ 3. 1-р жишээн дээрх дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг шийд.

Шийдэл. Анхны нөхцлийн утгыг ерөнхий шийдэл болгон орлуулъя y = 3, x= 1. Бид авдаг

Энэ нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд Кошигийн асуудлын шийдлийг бид бичнэ.

Дифференциал тэгшитгэлийг, тэр ч байтугай хамгийн энгийнийг нь шийдэх нь сайн интеграл, дериватив ур чадвар, түүний дотор нарийн төвөгтэй функцуудыг шаарддаг. Үүнийг дараах жишээнээс харж болно.

Жишээ 4.Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг ийм хэлбэрээр бичсэн бөгөөд та хоёр талыг шууд нэгтгэж болно.

Бид хувьсагчийг өөрчлөх замаар интеграцийн аргыг хэрэглэдэг (орлуулах). Тэгээд байг.

авах шаардлагатай dxтэгээд одоо - анхаарал - бид үүнийг нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу хийдэг, учир нь xмөн нарийн төвөгтэй функц байдаг ("алим" гэдэг нь квадрат язгуур гарган авах, эсвэл "хагас" хүртэл өсгөх, "татсан мах" гэдэг нь уг үндэс дор байгаа илэрхийлэл юм):

Бид интегралыг олдог:

Хувьсагч руу буцах x, бид авах:

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд дээд математикийн өмнөх хэсгүүдийн ур чадвар төдийгүй бага ангийн, өөрөөр хэлбэл сургуулийн математикийн ур чадвар шаардагдана. Өмнө дурьдсанчлан аливаа дарааллын дифференциал тэгшитгэлд бие даасан хувьсагч, өөрөөр хэлбэл хувьсагч байж болохгүй. x. Сургуулиас мартаагүй байсан пропорцын талаархи мэдлэг (гэхдээ хэнээс хамаарч) энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална. Энэ бол дараагийн жишээ юм.

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл

түүний шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тогтоох.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1
Хэрэв шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл бол C, Хаана C- дурын тогтмол нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Баталгаа.
Харж байгаа тэгшитгэлийн зүүн талд орлуулах C, бид авна: ,
гэхдээ, учир нь
нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Тиймээс,

мөн энэ өмчийн хүчин төгөлдөр байдал нотлогдсон.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2
Баталгаа.
Одоо авч үзэж буй тэгшитгэлийн шийд ба байг
Мөн .
Одоо авч үзэж буй тэгшитгэлд +-г орлуулбал бид:
, өөрөөр хэлбэл
+ нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм. Батлагдсан шинж чанаруудаас үзэхэд бид хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хоёр тодорхой шийдлийг мэдэж, шийдлийг олж авах боломжтой болно.
, дурын хоёр тогтмолоос хамаарч, i.e. Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл нь ерөнхий шийдийг агуулсан байх ёстой тогтмолуудын тооноос. Гэхдээ энэ шийдвэр ерөнхий байх уу, өөрөөр хэлбэл. Дурын тогтмолуудыг сонгох замаар дур зоргоороо өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангах боломжтой юу?

Энэ асуултад хариулахдаа бид функцүүдийн шугаман бие даасан байдлын тухай ойлголтыг ашиглах бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. Хоёр функцийг дууддагшугаман бие даасан
.
тодорхой интервал дээр, хэрэв энэ интервал дахь тэдгээрийн харьцаа тогтмол биш бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв Үгүй бол функцууд дуудагдана.
шугаман хамааралтай

Өөрөөр хэлбэл, хоёр функцийг бүхэл интервал дээр байгаа бол тодорхой интервалаас шугаман хамааралтай гэж хэлдэг.

Жишээ 1 1. Функцууд y x = e 2 болон y = e -х
.
x-ийн бүх утгын хувьд шугаман хамааралгүй, учир нь 1 1. Функцууд y x = e 2 2. Функцууд y x = 5 e
.

шугаман хамааралтай, учир нь

Теорем 1. Хэрэв функцууд нь тодорхой интервалаас шугаман хамааралтай бол тодорхойлогчийг дуудна Вронскийн тодорхойлогч

Баталгаа.

өгөгдсөн функцүүд энэ интервал дээр тэгтэй ижил байна.
,
Хэрэв
хаана , дараа нь ба .
.
Тиймээс,

Теорем нь батлагдсан.
Сэтгэгдэл. Харгалзан үзсэн теоремд гарч буй Вронски тодорхойлогчийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэгВ .
эсвэл тэмдэг

Хэрэв функцүүд нь хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм бол дараах эсрэгээр, үүнээс гадна илүү хүчтэй теорем нь тэдгээрийн хувьд хүчинтэй байна.

Теорем 2.

Баталгаа.

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл болон шийдлүүдэд зориулж эмхэтгэсэн Вронски тодорхойлогч дор хаяж нэг цэгт алга болвол эдгээр шийдлүүд шугаман хамааралтай болно.
Вронски тодорхойлогч цэг дээр алга болно, өөрөөр хэлбэл.
=0,

мөн зөвшөөрөх ба .
Шугаман нэгэн төрлийн системийг авч үзье
харьцангуй үл мэдэгдэх ба ., өөрөөр хэлбэл -тай давхцаж байгаа тул тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй ба (ба тэгтэй тэнцүү биш). Эдгээр утгыг ашиглан функцийг авч үзье.
Энэ функц нь болон функцтэй ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм. y=0.
Үүнээс гадна, энэ функц нь тэг анхны нөхцлийг хангадаг: , учир нь Мөн .
,
Нөгөө талаас тэг анхны нөхцлүүдийг хангасан тэгшитгэлийн шийдэл нь функц болох нь ойлгомжтой.

Шийдлийн өвөрмөц байдлаас шалтгаалан бидэнд:

. харьцангуй үл мэдэгдэх ба .Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг xтэдгээр. функцууд ба шугаман хамааралтай. Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар.

1. Теоремуудад гарч буй Вронски тодорхойлогч зарим утгын хувьд тэгтэй тэнцүү байвал

, тэгвэл ямар ч утгын хувьд тэгтэй тэнцүү байна

авч үзсэн интервалаас.

Баталгаа.

2. Хэрэв шийдлүүд шугаман хамааралгүй бол Вронски тодорхойлогч авч үзэж буй интервалын аль ч цэгт алга болохгүй.
3. Хэрэв Вронски тодорхойлогч дор хаяж нэг цэгт тэгээс ялгаатай бол шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна.
Теорем 3.
Хэрэв ба нь нэг төрлийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хоёр шийд бол функц нь дурын тогтмолууд бөгөөд энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болно.
.
Мэдэгдэж байгаагаар, функц нь ямар ч утгын хувьд авч үзэж буй тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Анхны нөхцөл ямар ч байсан гэдгийг одоо баталцгаая харьцангуй үл мэдэгдэх ба .Мөн ,

; .

дурын тогтмолуудын утгуудыг сонгох боломжтой бөгөөд харгалзах тодорхой шийдэл нь өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангана.

Жишээ 1.

Анхны нөхцлүүдийг тэгшитгэлд орлуулснаар бид тэгшитгэлийн системийг олж авна
Энэ системээс тодорхойлох боломжтой ба , оноос хойш Энэ системийн тодорхойлогч
.

нь Wronski тодорхойлогч байдаг

Жишээ 2.

ба тиймээс тэгтэй тэнцүү биш (шийдлүүдийн шугаман бие даасан байдлаас шалтгаалан ба ). 1 Хүлээн авсан утгууд бүхий тодорхой шийдэл бөгөөд өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангана. Тиймээс теорем батлагдсан. x Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь шийдэл юм. 2 Хүлээн авсан утгууд бүхий тодорхой шийдэл бөгөөд өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангана. Тиймээс теорем батлагдсан. Үнэхээр, Тиймээс sinx болон cosx функцууд нь шугаман хамааралгүй байдаг. .

Жишээ 3.

Үүнийг эдгээр функцүүдийн хамаарлыг харгалзан үзэж баталгаажуулж болно. Шийдэл y = C
д

+C
.

-х

Шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг энэ тэгшитгэлийн дурын хоёр шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлийг мэдэх замаар олж авч болохыг бид тогтоосон. Гэсэн хэдий ч хувьсах коэффициент бүхий тэгшитгэлийн хувьд ийм хэсэгчилсэн шийдлийг эцсийн хэлбэрээр олох ерөнхий аргууд байдаггүй. Тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийн хувьд ийм арга байдаг бөгөөд үүнийг дараа нь авч үзэх болно.