Дифференциал тэгшитгэлийн тусгай шийдэл. Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

НЭГДҮГЭЭР ЗОРИУЛАЛТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИГТҮҮД

Нягтлан бодох бүртгэлийн оюутнуудад зориулсан лекцийн тэмдэглэл

Боловсролын захидал харилцааны хэлбэр (NISPO)

Горки, 2013 он

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт. Ерөнхий болон тусгай шийдэл

Төрөл бүрийн үзэгдлийг судлахдаа бие даасан хувьсагч болон хүссэн функцийг шууд холбосон хуулийг олох боломжгүй байдаг ч хүссэн функц болон түүний деривативуудын хооронд холбоо тогтоох боломжтой байдаг.

Бие даасан хувьсагч, хүссэн функц, түүний деривативыг холбосон харилцааг нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэл :

Энд x- бие даасан хувьсагч; y- шаардлагатай функц,
- хүссэн функцийн деривативууд. Энэ тохиолдолд (1) хамаарал дор хаяж нэг деривативтай байх ёстой.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал тэгшитгэлд орсон хамгийн дээд деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

. (2)

Энэ тэгшитгэлд зөвхөн нэгдүгээр эрэмбийн дериватив багтсан тул үүнийг нэрлэдэг нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

Хэрэв (2) тэгшитгэлийг деривативын талаар шийдэж, хэлбэрээр бичиж болно

, (3)

тэгвэл ийм тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Ихэнх тохиолдолд хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзэх нь зүйтэй

гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрээр бичигдсэн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Учир нь
, тэгвэл (3) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно
эсвэл
, бидний тоолж болох газар
Тэгээд
. Энэ нь (3) тэгшитгэлийг (4) тэгшитгэлд шилжүүлнэ гэсэн үг юм.

(4) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье
. Дараа нь
,
,
, бидний тоолж болох газар
, өөрөөр хэлбэл (3) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. Тиймээс (3) ба (4) тэгшитгэлүүд тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (2) эсвэл (3) функцийг дурын функц гэж нэрлэдэг
, энэ нь тэгшитгэл (2) эсвэл (3)-д орлуулахдаа үүнийг ижил төстэй байдал болгон хувиргадаг:

эсвэл
.

Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олох үйл явцыг түүний гэнэ интеграци , мөн шийдлийн график
дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг интеграл муруй энэ тэгшитгэл.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг далд хэлбэрээр олж авбал
, дараа нь үүнийг дууддаг интеграл өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдэл Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн функцүүдийн гэр бүл юм
, дурын тогтмолоос хамаарна ХАМТ, тус бүр нь дурын тогтмолын зөвшөөрөгдөх утгын хувьд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. ХАМТ. Тиймээс дифференциал тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Хувийн шийдвэр дифференциал тэгшитгэл нь дурын тогтмолын тодорхой утгын ерөнхий шийдийн томъёоноос гаргаж авсан шийдэл юм ХАМТ, үүнд
.

Кошигийн асуудал ба түүний геометрийн тайлбар

Тэгшитгэл (2) нь хязгааргүй олон шийдтэй. Хувийн гэж нэрлэгддэг энэ багцаас нэг шийдлийг сонгохын тулд та нэмэлт нөхцөлүүдийг тавих хэрэгтэй.

Өгөгдсөн нөхцөлд (2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох асуудлыг нэрлэнэ Кошигийн асуудал . Энэ асуудал нь дифференциал тэгшитгэлийн онолын хамгийн чухал асуудлын нэг юм.

Кошигийн асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. (2) тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн дотроос ийм шийдийг ол
, үүнд функц байна
өгөгдсөн тоон утгыг авна , хэрэв бие даасан хувьсагч бол x өгөгдсөн тоон утгыг авна , өөрөөр хэлбэл

,
, (5)

Хаана Д– функцийг тодорхойлох домэйн
.

Утга дуудсан функцийн анхны утга , А – бие даасан хувьсагчийн анхны утга . Нөхцөл (5) гэж нэрлэдэг анхны нөхцөл эсвэл Кошигийн байдал .

Геометрийн үүднээс авч үзвэл (2) дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно. (2) тэгшитгэлийн интеграл муруйнуудын багцаас өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөхийг сонгоно
.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг нь хүссэн функцийг агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

. (6)

Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

. (7)

Тиймээс (7) нь (6) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Жишээ 1 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье
эсвэл
. Гарсан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.
,
. Бид үүнийг эцэст нь бичих болно
.

Жишээ 2 . Тэгшитгэлийн шийдийг ол
үүнийг өгсөн
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олцгооё.
,
,
,
. Нөхцөлөөр
,
. Ерөнхий шийдлийг орлъё:
эсвэл
. Ерөнхий шийдлийн томъёонд дурын тогтмолын олсон утгыг орлуулна.
. Энэ бол өгөгдсөн нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Тэгшитгэл

(8)

Дуудсан бие даасан хувьсагч агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл . Үүнийг маягтаар бичье
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.
эсвэл
- тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (8).

Жишээ . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.
эсвэл
. Дараа нь
,
,
,
. Тиймээс,
нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Маягтын тэгшитгэл

(9)

хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан нэгтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
, дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг ашиглан бид үүнийг нэг хэсэг нь зөвхөн функцийг агуулсан хэлбэрт оруулдаг. Xба дифференциал dx, хоёрдугаар хэсэгт – функц цагтба дифференциал dy. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх шаардлагатай dxболон хуваах
. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна

, (10)

хувьсагчууд XТэгээд цагттусгаарлагдсан. (10) тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:
. Үүссэн хамаарал нь (9) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хувиргаж, хувьсагчдыг салгацгаая.
,
. Нэгтгэцгээе:
,
эсвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.
.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгье

Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салгах хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл тэгш хэмтэй хэлбэрээр.

Хувьсагчдыг салгахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах хэрэгтэй
:

. (12)

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэл . (12) тэгшитгэлийг интегралцъя:

.(13)

(13) хамаарал нь дифференциал тэгшитгэлийн (11) ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 4 . Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье

ба хоёр хэсгийг хуваана
,
. Үр дүнгийн тэгшитгэл:
нь тусгаарлагдсан хувьсах тэгшитгэл юм. Үүнийг нэгтгэж үзье:

,
,

,
. Сүүлийн тэгшитгэл нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол
, нөхцөлийг хангаж байна
.

Шийдэл . Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Хувьсагчдыг салгая:
. Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:
,
,
. Үүссэн хамаарал нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Нөхцөлөөр
. Үүнийг ерөнхий интегралд орлуулж олъё ХАМТ:
,ХАМТ=1. Дараа нь илэрхийлэл
нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл бөгөөд хэсэгчилсэн интеграл хэлбэрээр бичигдсэн байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тэгшитгэл

(14)

дуудсан нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл . Үл мэдэгдэх функц
ба түүний дериватив нь энэ тэгшитгэлд шугаман байдлаар ордог ба функцууд
Тэгээд
тасралтгүй.

Хэрэв
, дараа нь тэгшитгэл

(15)

дуудсан шугаман нэгэн төрлийн . Хэрэв
, тэгвэл (14) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

(14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд ихэвчлэн ашигладаг орлуулах арга (Бернулли) , мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

Бид (14) тэгшитгэлийн шийдлийг хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр хайх болно

, (16)

Хаана
Тэгээд
- зарим тасралтгүй функцууд. Орлуулж үзье
ба дериватив
тэгшитгэлд (14):

Чиг үүрэг vБид нөхцөл хангагдсан байхаар сонгох болно
.
Дараа нь

. Тиймээс (14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай
,
,
,
,
Системийн эхний тэгшитгэл нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд хувьсагчдыг салгах аргаар шийдэж болно.
. Функц болгон ХАМТ=1:
та нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүдийн аль нэгийг авч болно, жишээлбэл. цагт
эсвэл
. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:
.Дараа нь
.

. Тиймээс нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна Жишээ 6
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг шийд
. Дараа нь
. Бид тэгшитгэлийн шийдлийг маягтаас хайх болно

эсвэл
. Тэгшитгэлд орлуулъя: v. Чиг үүрэг
. Дараа нь
тэгш байдлыг хангахуйц байдлаар сонгох
,
,
,
,. Тэгшитгэлд орлуулъя: v. Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийн эхнийхийг шийдье.
,
,
,
Хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:
.

. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал гэж юу вэ?

Аль дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ?

Интеграл муруй гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд Коши бодлого хэрхэн томьёологдсон бэ?

Коши бодлогын геометрийн тайлбар юу вэ?

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг тэгш хэмтэй хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Аль тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ямар аргаар шийдэж болох ба энэ аргын мөн чанар юу вэ?

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийд:
A)
;

;
б)
.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийд:
A)
;
;

G)
2. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийд:
.

; V) G)

;

Дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн ойлголтууд

Сургуулиас бид үл мэдэгдэх х-г олох хамгийн энгийн тэгшитгэлийг мэддэг. Үндсэндээ дифференциал тэгшитгэлзөвхөн тэднээс арай өөр - хувьсагчийн оронд X Та тэдгээрийн дотор функцийг олох хэрэгтэй у(х) , энэ нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах болно.

Д дифференциал тэгшитгэлмаш их практик ач холбогдолтой юм. Энэ бол бидний эргэн тойрон дахь ертөнцтэй ямар ч холбоогүй хийсвэр математик биш юм. Байгалийн олон үйл явцыг дифференциал тэгшитгэл ашиглан дүрсэлсэн байдаг. Жишээлбэл, утаснуудын чичиргээ, гармоник осцилляторын хөдөлгөөн, механикийн асуудалд дифференциал тэгшитгэлийг ашиглан биеийн хурд, хурдатгалыг олоорой. Мөн Д.Убиологи, хими, эдийн засаг болон бусад олон шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгддэг.

Дифференциал тэгшитгэл (Д.У) нь y(x) функцийн дериватив, функц өөрөө, бие даасан хувьсагч болон янз бүрийн хослол дахь бусад параметрүүдийг агуулсан тэгшитгэл юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн олон төрөл байдаг: энгийн дифференциал тэгшитгэл, шугаман ба шугаман бус, нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус, нэгдүгээр ба дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл гэх мэт.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргах функц юм. Алсын удирдлагын ерөнхий болон тусгай шийдэл байдаг.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах ерөнхий шийдэл юм. Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл нь анх заасан нэмэлт нөхцлүүдийг хангасан шийдэл юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн дарааллыг түүний деривативын хамгийн дээд дарааллаар тодорхойлно.

Энгийн дифференциал тэгшитгэл

Энгийн дифференциал тэгшитгэлнь нэг бие даасан хувьсагч агуулсан тэгшитгэл юм.

Эхний эрэмбийн хамгийн энгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Ийм тэгшитгэлийг зүгээр л баруун талыг нь нэгтгэх замаар шийдэж болно.

Ийм тэгшитгэлийн жишээ:

Салгаж болох тэгшитгэлүүд

Ерөнхийдөө энэ төрлийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Энд нэг жишээ байна:

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхдээ хувьсагчдыг салгаж, дараах хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.

Үүний дараа хоёр хэсгийг нэгтгэж, шийдлийг олж авах хэрэгтэй.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Ийм тэгшитгэлүүд дараах байдалтай байна.

Энд p(x) ба q(x) нь бие даасан хувьсагчийн зарим функцууд бөгөөд y=y(x) нь хүссэн функц юм. Ийм тэгшитгэлийн жишээ энд байна:

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг эсвэл хүссэн функцийг y(x)=u(x)v(x) гэсэн хоёр функцийн үржвэр болгон илэрхийлдэг.

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тодорхой бэлтгэл хийх шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийг "нэг харцаар" авахад нэлээд хэцүү байх болно.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Тиймээс бид алсын удирдлагын хамгийн энгийн төрлүүдийг авч үзсэн. Одоо тэдгээрийн аль нэгнийх нь шийдлийг харцгаая. Үүнийг салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл гэж үзье.

Эхлээд деривативыг илүү танил хэлбэрээр дахин бичье.

Дараа нь бид хувьсагчдыг хуваана, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн нэг хэсэгт бид бүх "би", нөгөө хэсэгт "X" -ийг цуглуулдаг.

Одоо хоёр хэсгийг нэгтгэх хэвээр байна:

Бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг нэгтгэж, олж авна.

Мэдээжийн хэрэг дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь нэг төрлийн урлаг юм. Та энэ нь ямар төрлийн тэгшитгэл болохыг ойлгох чадвартай байх ёстой бөгөөд зөвхөн ялгах, нэгтгэх чадварыг дурдахгүйгээр нэг хэлбэрт хүргэхийн тулд ямар өөрчлөлт хийх шаардлагатайг олж мэдэх хэрэгтэй. Мөн DE-ийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд дадлага хэрэгтэй (бүх зүйл шиг). Хэрэв танд дифференциал тэгшитгэл хэрхэн шийдэгдэж байгааг ойлгох цаг байхгүй эсвэл Кошигийн асуудал хоолойд тань яс шиг наалдсан эсвэл мэдэхгүй байгаа бол манай зохиогчидтой холбоо бариарай. Богино хугацаанд бид танд бэлэн, нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно, үүний нарийн ширийнийг та өөрт тохирсон ямар ч үед ойлгох боломжтой. Энэ хооронд бид "Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ" сэдвээр видео үзэхийг санал болгож байна.

I. Энгийн дифференциал тэгшитгэл

1.1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Дифференциал тэгшитгэл нь бие даасан хувьсагчтай холбоотой тэгшитгэл юм x, шаардлагатай функц yба түүний дериватив буюу дифференциал.

Симболын хувьд дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Шаардлагатай функц нь нэг бие даасан хувьсагчаас хамааралтай бол дифференциал тэгшитгэлийг энгийн гэж нэрлэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхЭнэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах функц гэж нэрлэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалалнь энэ тэгшитгэлд багтсан хамгийн өндөр деривативын дараалал юм

Жишээ.

1. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь y = 5 ln x функц юм. Үнэхээр орлуулах у"Тэгшитгэлд бид ижил төстэй байдлыг олж авдаг.

Энэ нь y = 5 ln x– функц нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм.

2. Хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье y" - 5y" +6y = 0. Функц нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Үнэхээр, .

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахийг олж авна: , – таних тэмдэг.

Энэ нь функц нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм.

Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэхдифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олох үйл явц юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг , энэ нь тэгшитгэлийн дараалалтай адил олон бие даасан дурын тогтмолуудыг агуулдаг.

Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэлдурын тогтмолуудын янз бүрийн тоон утгуудын ерөнхий шийдлээс гаргаж авсан шийдэл юм. Дурын тогтмолуудын утгууд нь аргумент ба функцийн тодорхой анхны утгуудаас олддог.

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн графикийг нэрлэнэ интеграл муруй.

Жишээ

1. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол

xdx + ydy = 0, Хэрэв y= 4 цагт x = 3.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид олж авна

Сэтгэгдэл. Интегралчлалын үр дүнд олж авсан дурын тогтмол С-ийг цаашид хувиргахад тохиромжтой ямар ч хэлбэрээр дүрсэлж болно. Энэ тохиолдолд тойргийн каноник тэгшитгэлийг харгалзан үзээд дурын тогтмол С-г хэлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой.

- дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Анхны нөхцлийг хангасан тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл y = 4 цагт x = 3 нь анхны нөхцөлийг ерөнхий шийдэлд орлуулах замаар ерөнхий байдлаас олно: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Ерөнхий шийдэлд C=5-ыг орлуулснаар бид гарна x 2 +y 2 = 5 2 .

Энэ нь өгөгдсөн анхны нөхцөлд ерөнхий шийдээс олж авсан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

2. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь хэлбэрийн аль ч функц бөгөөд C нь дурын тогтмол юм. Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэлийг орлуулахад бид дараахь зүйлийг олж авна: , .

Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг, учир нь тогтмол C-ийн янз бүрийн утгуудын хувьд тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн өөр шийдлүүдийг тодорхойлдог.

Жишээлбэл, шууд орлуулалтаар та функцууд байгаа эсэхийг шалгаж болно тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох шаардлагатай асуудал y" = f(x,y)анхны нөхцөлийг хангаж байна y(x 0) = y 0, Коши асуудал гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх y" = f(x,y), анхны нөхцөлийг хангаж, y(x 0) = y 0, Кошигийн асуудлын шийдэл гэж нэрлэдэг.

Кошигийн асуудлын шийдэл нь энгийн геометрийн утгатай. Үнэн хэрэгтээ эдгээр тодорхойлолтуудын дагуу Кошигийн асуудлыг шийдээрэй y" = f(x,y)үүнийг өгсөн y(x 0) = y 0, тэгшитгэлийн интеграл муруйг олох гэсэн үг y" = f(x,y)өгөгдсөн цэгээр дамждаг M 0 (x 0,y 0).

II. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

2.1. Үндсэн ойлголтууд

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм F(x,y,y") = 0.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь эхний деривативыг агуулдаг ба дээд эрэмбийн деривативуудыг агуулдаггүй.

Тэгшитгэл y" = f(x,y)деривативтай холбоотойгоор шийдэгдсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гэнэ.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь нэг дурын тогтмолыг агуулсан хэлбэрийн функц юм.

Жишээ.Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь функц юм.

Үнэн хэрэгтээ энэ тэгшитгэлийг утгаар нь орлуулснаар бид олж авна

тэр нь 3x = 3x

Иймд функц нь аливаа тогтмол С-ийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Анхны нөхцөлийг хангасан энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол y(1)=1Анхны нөхцөлийг орлуулах x = 1, y =1тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд бид хаанаас авдаг C=0.

Тиймээс бид энэ тэгшитгэлд үр дүнгийн утгыг орлуулах замаар ерөнхий нэг шийдлийг олж авна C=0- хувийн шийдэл.

2.2. Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм. y"=f(x)g(y)эсвэл дифференциалаар дамжуулан, хаана f(x)Тэгээд g(y)- заасан функцууд.

Тэдний хувьд y, үүний төлөө тэгшитгэл y"=f(x)g(y)тэгшитгэлтэй тэнцүү, хувьсагч yзөвхөн зүүн талд байх ба x хувьсагч зөвхөн баруун талд байна. Тэд "Эк. y"=f(x)g(yХувьсагчдыг салгацгаая."

Маягтын тэгшитгэл тусгаарлагдсан хувьсагчийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэх By x, бид авдаг G(y) = F(x) + Cтэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, энд G(y)Тэгээд F(x)– функцын зарим эсрэг дериватив ба f(x), Cдурын тогтмол.

Салгаж болох хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд y" = xy

Шийдэл. Функцийн дериватив у"-ээр солино

хувьсагчдыг салгая

Тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэцгээе:

Жишээ 2

2yy" = 1- 3x 2, Хэрэв y 0 = 3цагт x 0 = 1

Энэ нь тусдаа хувьсах тэгшитгэл юм. Үүнийг дифференциалаар төсөөлье. Үүнийг хийхийн тулд бид энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичнэ Эндээс

Сүүлийн тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэснээр бид олдог

Анхны утгыг орлуулах x 0 = 1, y 0 = 3бид олох болно ХАМТ 9=1-1+C, өөрөөр хэлбэл C = 9.

Тиймээс шаардлагатай хэсэгчилсэн интеграл байх болно эсвэл

Жишээ 3

Цэгээр дамжин өнгөрөх муруйны тэгшитгэлийг бич М(2;-3)ба өнцгийн коэффициенттэй шүргэгчтэй байна

Шийдэл. Нөхцөл байдлын дагуу

Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Хувьсагчдыг хуваахдаа бид дараахь зүйлийг авна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Анхны нөхцөлийг ашиглан, x = 2Тэгээд у = - 3бид олох болно C:

Тиймээс шаардлагатай тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

2.3. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм y" = f(x)y + g(x)

Хаана f(x)Тэгээд g(x)- зарим тодорхой функцууд.

Хэрэв g(x)=0Дараа нь шугаман дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах хэлбэртэй байна. y" = f(x)y

Хэрэв тэгвэл тэгшитгэл y" = f(x)y + g(x)гетероген гэж нэрлэдэг.

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y" = f(x)yтомъёогоор өгөгдөнө: хаана ХАМТ- дурын тогтмол.

Ялангуяа, хэрэв C =0,тэгээд шийдэл нь y = 0Хэрэв шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байвал у" = kyХаана ктогтмол бол түүний ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y" = f(x)y + g(x)томъёогоор өгөгдөнө ,

тэдгээр. харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба энэ тэгшитгэлийн тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Маягтын шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн хувьд y" = kx + b,

Хаана кТэгээд б- зарим тоо болон тодорхой шийдэл нь тогтмол функц байх болно. Тиймээс ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд y" + 2y +3 = 0

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр илэрхийлье y" = -2y - 3Хаана k = -2, b= -3Ерөнхий шийдлийг томъёогоор өгсөн болно.

Тиймээс энд C нь дурын тогтмол юм.

2.4. Бернулли аргаар нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох y" = f(x)y + g(x)орлуулах аргыг ашиглан тусгаарлагдсан хувьсагчтай хоёр дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл бууруулна y=uv, Хаана уТэгээд v-аас үл мэдэгдэх функцууд x. Энэхүү шийдлийн аргыг Бернуллигийн арга гэж нэрлэдэг.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

y" = f(x)y + g(x)

1. Орлуулахыг оруулна уу y=uv.

2. Энэ тэгш байдлыг ялгаж салга y" = u"v + uv"

3. Орлуулах yТэгээд у"Энэ тэгшитгэлд: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)эсвэл u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Тэгшитгэлийн гишүүдийг бүлэглээрэй ухаалтнаас гаргаж ав:

5. Тэгтэй тэнцүүлэх хаалтнаас функцийг ол

Энэ нь салгаж болох тэгшитгэл юм:

Хувьсагчдыг хувааж аваад:

Хаана . .

6. Үүссэн утгыг орлуулна vтэгшитгэлд (4-р алхамаас):

ба функцийг олоорой Энэ нь салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм:

7. Ерөнхий шийдлийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. , өөрөөр хэлбэл .

Жишээ 1

Тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол y" = -2y +3 = 0Хэрэв y=1цагт x = 0

Шийдэл. Үүнийг орлуулалт ашиглан шийдье y=uv,.y" = u"v + uv"

Орлуулах yТэгээд у"Энэ тэгшитгэлд бид олж авна

Тэгшитгэлийн зүүн талд хоёр ба гурав дахь гишүүнийг бүлэглэснээр бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авдаг у хаалтнаас гарсан

Бид хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдээд функцийг олно. v = v(x)

Бид тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэлийг авдаг. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье: Функцийг ол v:

Үр дүнгийн утгыг орлуулъя vтэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ бол тусдаа хувьсах тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье: Функцийг олцгооё u = u(x,c) Ерөнхий шийдлийг олъё: Анхны нөхцөлийг хангасан тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олъё y = 1цагт x = 0:

III. Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл

3.1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хоёрдугаар эрэмбээс ихгүй дериватив агуулсан тэгшитгэл юм. Ерөнхий тохиолдолд хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ. F(x,y,y,y") = 0

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дурын хоёр тогтмолыг агуулсан хэлбэрийн функц юм. C 1Тэгээд C 2.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь дурын тогтмолуудын тодорхой утгуудын ерөнхий шийдээс олж авсан шийдэл юм. C 1Тэгээд C 2.

3.2. Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг y" + py" +qy = 0, Хаана хТэгээд q- тогтмол утгууд.

Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

1. Дифференциал тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. y" + py" +qy = 0.

2. Түүний шинж чанарын тэгшитгэлийг үүсгэн тэмдэглэ у"дамжуулан r 2, у"дамжуулан r, y 1-д: r 2 + pr +q = 0

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл

түүний шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тогтоох.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1
Хэрэв шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл бол C, Хаана C- дурын тогтмол нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Баталгаа.
Харж байгаа тэгшитгэлийн зүүн талд орлуулах C, бид авна: ,
гэхдээ, учир нь
нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Тиймээс,

мөн энэ өмчийн хүчин төгөлдөр байдал нотлогдсон.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хоёр шийдийн нийлбэр нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Баталгаа.
Одоо авч үзэж буй тэгшитгэлийн шийд ба байг
Мөн .
Одоо авч үзэж буй тэгшитгэлд +-г орлуулбал бид:
Батлагдсан шинж чанаруудаас үзэхэд бид хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хоёр тодорхой шийдлийг мэдэж, шийдлийг олж авах боломжтой болно. , дурын хоёр тогтмолоос хамаарч, i.e. Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл нь ерөнхий шийдийг агуулсан байх ёстой тогтмолуудын тооноос. Гэхдээ энэ шийдвэр ерөнхий байх уу, өөрөөр хэлбэл. Дурын тогтмолуудыг сонгох замаар дур зоргоороо өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангах боломжтой юу?
Энэ асуултад хариулахдаа бид функцүүдийн шугаман бие даасан байдлын тухай ойлголтыг ашиглах бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

Хоёр функцийг дууддаг шугаман бие даасантодорхой интервал дээр, хэрэв энэ интервал дахь тэдгээрийн харьцаа тогтмол биш бол, i.e. Хэрэв
.
Үгүй бол функцууд дуудагдана шугаман хамааралтай.
Өөрөөр хэлбэл, хоёр функцийг бүхэл интервал дээр байгаа бол тодорхой интервалаас шугаман хамааралтай гэж хэлдэг.

Жишээ

1. Функцууд y 1 = e x болон y 2 = e -х x-ийн бүх утгын хувьд шугаман хамааралгүй, учир нь
.
2. Функцууд y 1 = e x болон y 2 = 5 e x шугаман хамааралтай, учир нь
.

Теорем 1.

Хэрэв функцууд нь тодорхой интервалаас шугаман хамааралтай бол тодорхойлогчийг дуудна Вронскийн тодорхойлогч өгөгдсөн функцүүд энэ интервал дээр тэгтэй ижил байна.

Баталгаа.

Хэрэв
,
хаана , дараа нь ба .
Тиймээс,
.
Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл.
Харгалзан үзсэн теоремд гарч буй Вронски тодорхойлогчийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг Вэсвэл тэмдэг .
Хэрэв функцүүд нь хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм бол дараах эсрэгээр, үүнээс гадна илүү хүчтэй теорем нь тэдгээрийн хувьд хүчинтэй байна.

Теорем 2.

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл болон шийдлүүдэд зориулж эмхэтгэсэн Вронски тодорхойлогч дор хаяж нэг цэгт алга болвол эдгээр шийдлүүд шугаман хамааралтай болно.

Баталгаа.

Вронски тодорхойлогч цэг дээр алга болно, өөрөөр хэлбэл.
=0,
мөн зөвшөөрөх ба .

Шугаман нэгэн төрлийн системийг авч үзье
харьцангуй үл мэдэгдэх ба .
Энэ системийн тодорхойлогч нь Wronski тодорхойлогчийн утгатай давхцдаг x=
, өөрөөр хэлбэл -тай давхцаж байгаа тул тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй ба (ба тэгтэй тэнцүү биш). Эдгээр утгыг ашиглан функцийг авч үзье. y=0.
Энэ функц нь болон функцтэй ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үүнээс гадна, энэ функц нь тэг анхны нөхцлийг хангадаг: , учир нь
,
тэдгээр. функцууд ба шугаман хамааралтай. Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар.

1. Теоремуудад гарч буй Вронски тодорхойлогч зарим утгын хувьд тэгтэй тэнцүү байвал Энэ системийн тодорхойлогч нь Wronski тодорхойлогчийн утгатай давхцдаг, тэгвэл ямар ч утгын хувьд тэгтэй тэнцүү байна xавч үзсэн интервалаас.

2. Хэрэв шийдлүүд шугаман хамааралгүй бол Вронски тодорхойлогч авч үзэж буй интервалын аль ч цэгт алга болохгүй.

3. Хэрэв Вронски тодорхойлогч дор хаяж нэг цэгт тэгээс ялгаатай бол шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна.

Теорем 3.

Хэрэв ба нь нэг төрлийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хоёр шийд бол функц нь дурын тогтмолууд бөгөөд энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болно.

Баталгаа.

Мэдэгдэж байгаагаар, функц нь ямар ч утгын хувьд авч үзэж буй тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Анхны нөхцөл ямар ч байсан гэдгийг одоо баталцгаая
Мөн ,
дурын тогтмолуудын утгуудыг сонгох боломжтой бөгөөд харгалзах тодорхой шийдэл нь өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангана.
.
Анхны нөхцөлийг тэгшитгэлд орлуулснаар бид тэгшитгэлийн системийг олж авна

Энэ системээс тодорхойлох боломжтой ба , оноос хойш Энэ системийн тодорхойлогч Энэ системийн тодорхойлогч нь Wronski тодорхойлогчийн утгатай давхцдагнь Wronski тодорхойлогч байдаг

; .

ба тиймээс тэгтэй тэнцүү биш (шийдлүүдийн шугаман бие даасан байдлаас шалтгаалан ба ).

Жишээ

Хүлээн авсан утгууд бүхий тодорхой шийдэл бөгөөд өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангана. Тиймээс теорем батлагдсан.

Жишээ 1.
Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь шийдэл юм.
.

Үнэхээр,

Тиймээс sinx болон cosx функцууд нь шугаман хамааралгүй байдаг.

Үүнийг эдгээр функцүүдийн хамаарлыг харгалзан үзэж баталгаажуулж болно. 1 Жишээ 2. x Шийдэл y = C 2 Жишээ 2. д +C .

-х

тэгшитгэл нь ерөнхий, учир нь Жишээ 3.
Тэгшитгэл

, хэний коэффициентүүд болон
.

x = 0 цэгийг агуулаагүй аль ч интервал дээр тасралтгүй, хэсэгчилсэн шийдлийг хүлээн зөвшөөрдөг

(орлуулах замаар шалгахад хялбар). Тиймээс түүний ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Сэтгэгдэл

Шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг энэ тэгшитгэлийн дурын хоёр шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлийг мэдэх замаар олж авч болохыг бид тогтоосон. Гэсэн хэдий ч хувьсах коэффициент бүхий тэгшитгэлийн хувьд ийм хэсэгчилсэн шийдлийг эцсийн хэлбэрээр олох ерөнхий аргууд байдаггүй. Тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийн хувьд ийм арга байдаг бөгөөд үүнийг дараа нь авч үзэх болно.

Тодорхой интеграл олоход тулгарч байсан даалгаврыг эргэн санацгаая. y, хэрэв энэ нь хэлбэрийн харьцааг хангаж байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол

Энэ хамаарал нь бие даасан хувьсагчтай холбоотой x, үл мэдэгдэх функц yба түүний уламжлал хүртэл nбагтаасан гэж нэрлэдэг .

Дифференциал тэгшитгэл нь нэг эсвэл өөр дарааллын дериватив (эсвэл дифференциал) тэмдгийн доорх функцийг агуулдаг. Хамгийн дээд эрэмбийг дараалал гэж нэрлэдэг (9.1) .

Дифференциал тэгшитгэлүүд:

- эхний захиалга,

Хоёр дахь захиалга

- тав дахь дараалал гэх мэт.

Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг хангах функцийг түүний шийдэл гэнэ , эсвэл интеграл . Үүнийг шийднэ гэдэг бүх шийдлийг нь олно гэсэн үг. Шаардлагатай функцийн хувьд yбүх шийдлийг өгдөг томьёог олж чадсан бол бид түүний ерөнхий шийдлийг олсон гэж хэлдэг , эсвэл ерөнхий интеграл .

Ерөнхий шийдэл агуулсан nдурын тогтмолууд мөн шиг харагдаж байна

Хэрэв хамааралтай харилцааг олж авбал x, yТэгээд nхувьд зөвшөөрөгдөөгүй хэлбэрээр дурын тогтмолууд y -

тэгвэл ийм хамаарлыг (9.1) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэнэ.

Кошигийн асуудал

Тодорхой шийдэл бүрийг, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг хангадаг, дурын тогтмолуудаас хамаардаггүй тодорхой функц бүрийг тодорхой шийдэл гэж нэрлэдэг. , эсвэл хэсэгчилсэн интеграл. Ерөнхий шийдлүүдээс тодорхой шийдэл (интеграл) авахын тулд тогтмол тоон утгыг өгөх ёстой.

Тодорхой шийдлийн графикийг интеграл муруй гэнэ. Бүх хэсэгчилсэн шийдлүүдийг агуулсан ерөнхий шийдэл нь интеграл муруйн гэр бүл юм. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд энэ гэр бүл нь тэгшитгэлийн хувьд нэг дурын тогтмолоос хамаарна n--р захиалга - эхлэн nдурын тогтмолууд.

Кошигийн асуудал бол тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох явдал юм n-р захиалга, сэтгэл ханамжтай nЭхний нөхцөл:

үүгээр n тогтмол c 1, c 2,..., c n тодорхойлогдоно.

1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Деривативын хувьд шийдэгдээгүй 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл харьцангуй зөвшөөрөгдсөн

Жишээ 3.46. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

Шийдэл.Интеграцчилснаар бид олж авдаг

Энд C нь дурын тогтмол юм. Хэрэв бид C-д тодорхой тоон утгыг оноох юм бол бид тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг, жишээлбэл,

Жишээ 3.47. 100 r-ийн хуримтлалыг харгалзан банкинд байршуулсан мөнгөний хэмжээг нэмэгдүүлэхийг анхаарч үзээрэй жилийн нийлмэл хүү. Yo нь анхны мөнгөний хэмжээ, төгсгөлд нь Yx байх болтугай xжил. Жилд нэг удаа хүү тооцдог бол бид авдаг

Энд x = 0, 1, 2, 3,.... Жилд хоёр удаа хүү тооцож үзэхэд бид 2 гарна.

Энд x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Хүү тооцохдоо nжилд нэг удаа ба хэрэв x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... дараалсан утгуудыг авна

1/n = h гэж тэмдэглэвэл өмнөх тэгшитгэл нь дараах байдалтай болно.

Хязгааргүй томруулдаг n(цагт ) хязгаарт бид хүүгийн тасралтгүй хуримтлалаар мөнгөний хэмжээг нэмэгдүүлэх үйл явцад хүрч байна.

Тиймээс тасралтгүй өөрчлөлттэй байх нь тодорхой байна xмөнгөний нийлүүлэлтийн өөрчлөлтийн хуулийг 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Энд Y x нь үл мэдэгдэх функц, x- бие даасан хувьсагч; r- тогтмол. Энэ тэгшитгэлийг шийдье, үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

хаана , эсвэл , энд P нь e C гэсэн утгатай.

Y(0) = Yo эхний нөхцлөөс бид P: Yo = Pe o, эндээс Yo = P-г олно. Иймд шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эдийн засгийн хоёр дахь асуудлыг авч үзье. Макро эдийн засгийн загваруудыг мөн 1-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлээр тайлбарлаж, орлого эсвэл гарцын Y-ийн өөрчлөлтийг цаг хугацааны функц гэж тодорхойлдог.

Жишээ 3.48. Үндэсний орлогыг Y нь түүний утгатай пропорциональ хэмжээгээр нэмэгдүүлье.

засгийн газрын зарлагын алдагдал нь орлого Y-тэй шууд пропорциональ коэффициенттэй байна q. Зардлын алдагдал нь улсын өрийг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг D:

Анхны нөхцөл Y = Yo ба D = t = 0-д Do. Эхний тэгшитгэлээс Y= Yoe kt. Y-г орлуулснаар бид dD/dt = qYoe kt болно. Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
D = (q/ k) Yoe kt +С, энд С = const, энэ нь эхний нөхцлөөс тодорхойлогдоно. Анхны нөхцлүүдийг орлуулснаар бид Do = (q/ k)Yo + C болно. Тиймээс, эцэст нь,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

Энэ нь улсын өр харьцангуй хурдацтай нэмэгдэж байгааг харуулж байна к, үндэсний орлоготой адил.

Хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье n 1-р дарааллаар эдгээр нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

Түүний ерөнхий шийдлийг ашиглан олж авч болно nхугацааны интеграци.

Жишээ 3.49. y """ = cos x жишээг авч үзье.

Шийдэл.Интеграцид бид олдог

Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Эдгээрийг эдийн засагт өргөн ашигладаг. Хэрэв (9.1) дараах хэлбэртэй байвал:

тэгвэл рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) функц өгөгдсөн шугаман гэж нэрлэнэ. Хэрэв f(x) = 0 бол (9.2)-ыг нэгэн төрлийн, эс бөгөөс нэгэн төрлийн бус гэнэ. (9.2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь түүний тодорхой шийдүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна у(х)ба түүнд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Хэрэв р o (x), р 1 (x),..., р n (x) коэффициентүүд тогтмол байвал (9.2)

(9.4)-ийг эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэл гэнэ n .

(9.4) нь дараах хэлбэртэй байна.

Ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр бид p o = 1 гэж тохируулж (9.5) хэлбэрээр бичиж болно

Бид (9.6) шийдийг y = e kx хэлбэрээр хайх болно, k нь тогтмол байна. Бидэнд: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Үүссэн илэрхийллүүдийг (9.6)-д орлуулснаар бид дараах байдалтай болно:

(9.7) нь алгебрийн тэгшитгэл бөгөөд үл мэдэгдэх нь к, үүнийг шинж чанар гэж нэрлэдэг. Онцлог тэгшитгэл нь зэрэгтэй nТэгээд nүндэс, тэдгээрийн дунд олон ба нарийн төвөгтэй аль аль нь байж болно. Тэгвэл k 1 , k 2 ,..., k n нь бодит бөгөөд тодорхой байг - тусгай шийдэл (9.7), ерөнхий

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

Түүний онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

(9.9)

түүний ялгах D = p 2 - 4q, D тэмдэгээс хамааран гурван тохиолдол боломжтой.

1. Хэрэв D>0 бол k 1 ба k 2 (9.9) язгуурууд бодит ба ялгаатай бөгөөд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Шийдэл.Онцлог тэгшитгэл: k 2 + 9 = 0, үүнээс k = ± 3i, a = 0, b = 3, ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

2-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг бараа материалын нөөц бүхий вэб хэлбэрийн эдийн засгийн загварыг судлахдаа ашигладаг бөгөөд P үнийн өөрчлөлтийн хурд нь бараа материалын хэмжээнээс хамаардаг (10-р зүйлийг үз). Хэрэв эрэлт нийлүүлэлт нь үнийн шугаман функц юм бол, тэр нь

a нь урвалын хурдыг тодорхойлдог тогтмол бөгөөд үнийн өөрчлөлтийн үйл явцыг дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлно.