Бөмбөгний радиус хэд вэ? Бөмбөгний хэмжээ

Тойргийн талбайг тооцоолох програм бич Сба бөмбөгний хэмжээ Вөгөгдсөн радиус дээр үндэслэсэн Р. Програмыг Windows програм болгон хэрэгжүүлээрэй.

Асуудлын математик томъёолол

Аппликейшн боловсруулж эхлэхээс өмнө асуудлын математик томъёолол, өөрөөр хэлбэл тооцоолол хийх томъёо, оролтын өгөгдөл, гаралтын үр дүнг тодорхойлох шаардлагатай.

Тойргийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

С = π · R²

Энд оролтын утга нь R тойргийн радиус, үр дүн нь тойргийн талбай юм - С.
Бөмбөгний эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

V = 4/3 π R³

Энд оролтын утга нь дахин R тойргийн радиус, үр дүн нь бөмбөгний эзэлхүүн юм (хэдийгээр та мэдэж байгаагаар "бөмбөг" нь эзэлхүүнгүй байдаг).
Хоёр томьёо нь тогтмолыг агуулна π , 3.14159-тэй тэнцүү.
Тиймээс бид асуудлыг шийдвэрлэх үе шатуудын дарааллыг зурах болно (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Асуудлыг шийдвэрлэх үе шатууд

Гүйцэтгэл

1. VCL Form Application төрлийн програм үүсгэх.

Визуал програм хөгжүүлэх системийг ажиллуул Embracadero RAD Studio Delphi 2010болон Windows програм үүсгэх. Windows Form програмын загварыг ашиглан програм үүсгэх дэлгэрэнгүй жишээг тайлбарласан болно.

Дизайныг эхлүүлэхийн өмнөх өргөдлийн маягтын анхны харагдах байдлыг Зураг 2-т үзүүлэв.

Цагаан будаа. 2. Програмын цонхны харагдах байдал

2. Хэрэгслийн палитрын стандарт таб.

Энэ програм нь доор жагсаасан хэд хэдэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ашиглахыг шаарддаг:

• бүрэлдэхүүн хэсгийн төрөл TLlabel, маягт дээр харагдах текстийн мөрийг төлөөлөх;
• бүрэлдэхүүн хэсгийн төрөл TBbutton, маягт дээрх товчлуурыг төлөөлөх;
• бүрэлдэхүүн хэсгийн төрөл TEdi t , энэ нь текст оруулах мөр юм.

Эдгээр бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь Стандарт таб дээрх Хэрэгслийн палитр дээр байрладаг (3-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 3. Бүрэлдэхүүн хэсгийн палитр дээрх стандарт таб

3. TLabel бүрэлдэхүүн хэсэг

3.1. Маягт дээр TLabel бүрэлдэхүүнийг байрлуулах

Үүнийг хийхийн тулд та TLabel бүрэлдэхүүн хэсэг дээр дарах хэрэгтэй (Зураг 4), дараа нь зурагт үзүүлсэн шиг маягтын зүүн дээд буланд дарна уу. 5.

Цагаан будаа. 4. Хэрэгслийн палитр дээрх TLabel бүрэлдэхүүн хэсэг

Цагаан будаа. 5. Програмын үндсэн хэлбэр дээрх TLabel төрлийн бүрэлдэхүүн хэсэг

3.2. TLabel дахь текстийг тохируулж байна

TLabel бүрэлдэхүүн хэсэгтэй аливаа үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд эхлээд хулганаар эсвэл Объект шалгагч самбараас сонгох хэрэгтэй. Үүний дараа TLabel бүрэлдэхүүн хэсгийн Caption шинж чанарыг " утгаар тохируулна уу. R ="(Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Тайлбарын шинж чанар

Үүний үр дүнд маягт дээрх "Label1" текст нь "R = " текст болж өөрчлөгдөнө.
Object Inspector нь энэ бүрэлдэхүүн хэсгийн бусад олон шинж чанарыг харах боломжийг танд олгоно. Манай тохиолдолд бид хувьсагчийн (объект) нэрний утгыг агуулсан Name шинж чанарыг сонирхох болно. Анхдагчаар энэ утга нь "Label1" юм. Энэ нь програмын код бичих үед энэ бүрэлдэхүүн хэсгийн шинж чанаруудад "Шошго" угтвараар хандаж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, програмын Caption шинж чанарыг өөрчлөхийн тулд та дараах мөрийг бичих хэрэгтэй.

Үүнтэй адилаар бид өмнөх бүрэлдэхүүн хэсгийн яг доор Label2 болон Label3 гэсэн нэр бүхий форм дээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг байрлуулдаг. Caption шинж чанарын утгыг тус тус "S =" ба "V =" болгож тохируулна уу.

Өргөдлийн маягт нь иймэрхүү харагдах ёстой (Зураг 7).

Цагаан будаа. 7. Label1, Label2, Label3 бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг байрлуулсны дараа өргөдлийн маягт

Хэрэгслийн палитраас бусад бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг шилжүүлэх, боловсруулах нь ижил аргаар хийгддэг.

4. TEdit бүрэлдэхүүн хэсэг

Стандарт табаас Хэрэгслийн палитраас оролтын мөрийг төлөөлөх TEdit бүрэлдэхүүн хэсгийг нэмнэ үү. Энэ бүрэлдэхүүн хэсгийг ашиглан бид хэрэглэгчийн оруулсан тойргийн радиусын утгыг гараас авах болно. Маягтанд бүрэлдэхүүн хэсэг нэмсний дараа Delphi нь Edit1 (Name property) нэртэй хувьсагч бүрэлдэхүүнийг үүсгэдэг.

Бүрэлдэхүүн хэсгийн Text шинж чанарыг арилгана уу.

5. TBbutton бүрэлдэхүүн хэсэг

Тойргийн талбай болон бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолоход товшсоны дараа ердийн товчлуур болох Tool Palette-аас TButton бүрэлдэхүүн хэсгийг нэмнэ үү. Аппликешн дээр Delphi автоматаар Button1 нэртэй хувьсагчийн бүрэлдэхүүнийг нэмнэ.

Бүрэлдэхүүн хэсгийн Caption шинж чанарыг "Тооцоолох" утгаар тохируулна уу.

Загварын горим дахь өргөдлийн маягт нь Зураг дээр үзүүлсэн шиг харагдах болно. 8.

Цагаан будаа. 8. TEdit болон TButton бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмсний дараа өргөдлийн маягт

6. "Тооцоолох" товчлуур дээр дарах үйл явдлыг програмчлах

Хөгжиж буй програмын дараагийн алхам бол Button1 дээр дарахад тохиолдох үйл явдлыг Delphi-д програмчлах явдал юм.

Товч дээр хулгана товших үйлдлийг OnClick гэж нэрлэдэг.

төгсгөл;

Асуудлын нөхцлийн дагуу манай хөтөлбөрт бид тохирох тэмдэглэгээ бүхий гурван хувьсагчийг тайлбарлах болно.

• Р - тойргийн радиус;
• С - тойргийн талбай;
• В - бөмбөгний хэмжээ.

Бүх хувьсагч нь бодит төрлийн байх ёстой.
Хөтөлбөр нь нэг тогтмол - Pi тоог ашигладаг. Үүнийг Пи нэрээр нь тэмдэглэе. Delphi-д Pi нэртэй суурилагдсан функц байгаа боловч үүнийг манай программд ашиглахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс үг эхлэхээс өмнө хувьсагч ба тогтмолуудын тайлбар дараах байдалтай байна.

Эхлэл ба төгсгөлийн мэдэгдлийн хооронд бид үндсэн програмын кодын дараах мөрүүдийг оруулна.

Програмын кодонд хэрэглэгдэх зарим функцуудыг (арга) тайлбарлая. StrToFloat функц нь Edit1.Text мөрийн утгыг бодит тоо болгон хувиргадаг. Жишээлбэл, дараах кодыг ажиллуулсны дараа

x утга -3.675 болно.

2 ба 3-р зүйлд тойргийн талбай ба бөмбөгний эзэлхүүний ердийн тооцоог Паскаль хэл дээрх арифметик үйлдлүүдийг ашиглан хийдэг.

4-р зүйлд үр дүнг харуулав. Програм нь Windows программ хэлбэрээр хэрэгжсэн тул үр дүнг харуулахын тулд Label2 (талбай) болон Label3 (эзлэхүүн) бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд Caption шинж чанарын утгыг бөглөхөд хангалттай.

FloatToStrF функц нь StrToFloat функц руу урвуу хувиргалтыг гүйцэтгэдэг, өөрөөр хэлбэл бодит тоог мөр болгон хувиргадаг. Жишээлбэл, 2.87 тоог 4 аравтын оронтой тэмдэгт мөр болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараах зүйлийг бичих хэрэгтэй.

Энд v нь бодит төрлийн хувьсагч; str – мөрийн төрлийн хувьсагч; ffFixed - хөрвүүлэх формат. Тогтмол 8 нь 8 тэмдэгтийн нийт гаралтын өргөнийг ашигладаг гэсэн үг юм. Тогтмол 4 нь аравтын нарийвчлал гэсэн үг.

Button1 бүрэлдэхүүн хэсгийн OnClick үйл явдлыг боловсруулах процедурын ерөнхий жагсаалт дараах байдалтай байна.

Label3. Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 );

7. Хэрэглээний нэрийг тохируулах Үл ойлгогдох "Form1"-ийн оронд програмын нэрийг өөрчлөхийн тулд үндсэн маягтын Caption шинж чанарыг "«.

Тойргийн талбай ба бөмбөгний эзлэхүүнийг тооцоолох

8. Хэрэглээний гүйцэтгэлийн үр дүн

Аппликешн (програм) -ыг ажиллуулсны дараа R тойргийн радиусыг оруулахыг хүссэн цонх гарч ирнэ. 2.5 утгыг оруулна уу. Програмын гүйцэтгэлийн үр дүнг харуулсан цонхыг Зураг 9-т үзүүлэв.

Цагаан будаа. 9. Хэрэглээний гүйцэтгэлийн үр дүн

Үр дүн

• Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд дараахь төрлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ашигласан.
• TLabel нь маягт дээр харуулах ердийн текстийн мөрийг төлөөлдөг "шошго" төрлийн бүрэлдэхүүн хэсэг юм;
• TButton - маягт дээрх ердийн товчлуурыг төлөөлөх бүрэлдэхүүн хэсэг;

TEdit нь хэрэглэгчийн оруулсан мэдээллийг гараас хүлээн авах зориулалттай оролтын мөрийг хэрэгжүүлдэг бүрэлдэхүүн хэсэг юм.

Програмын интерфэйсийг боловсруулахын тулд бид Tool Palette болон Object Inspector ашигласан.

• Мөн бид мөрийг тоо болон буцааж хөрвүүлдэг хоёр нэмэлт функцийг авч үзье, тухайлбал:
• Windows-ийн бүсийн тохиргоог харгалзан тоог илэрхийлсэн мөрийг бодит тоо болгон хувиргадаг StrToFloat функц (жишээлбэл, '3,678' => 3.678);

FloatToStrF функц нь Windows-ийн бүсийн тохиргоог харгалзан бодит тоог өгөгдсөн форматын дагуу (жишээ нь 2.88 => '2,880') мөр хэлбэрт хувиргадаг.

Бөмбөгний радиус (r эсвэл R гэж тэмдэглэсэн) нь бөмбөгний төвийг гадаргуу дээрх дурын цэгтэй холбосон сегмент юм. Тойрогтой адил бөмбөгний радиус нь бөмбөгний диаметр, тойрог, гадаргуугийн талбай ба/эсвэл эзэлхүүнийг олоход шаардлагатай чухал хэмжигдэхүүн юм. Гэхдээ бөмбөгний радиусыг мөн диаметр, тойрог болон бусад хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгаас олж болно. Эдгээр утгыг орлуулах томъёог ашиглана уу.

Алхам

Радиусыг тооцоолох томъёоДиаметрээс радиусыг тооцоол. Радиус нь диаметрийн хагастай тэнцүү тул томъёог ашиглана g = D/2

• . Энэ нь тойргийн радиус ба диаметрийг тооцоолоход ашигладаг ижил томъёо юм. Жишээлбэл, 16 см-ийн диаметртэй бөмбөг өгөгдсөн Энэ бөмбөгний радиус: r = 16/2 = 8 см . Хэрэв диаметр нь 42 см бол радиус нь байна (42/2=21).

1. 21 смТойрогоос радиусыг тооцоол. Томъёог ашиглана уу:. Тойргийн тойрог C = πD = 2πr тул тойргийг тооцоолох томъёог 2π-д хувааж, радиусыг олох томъёог гарга.

   • Жишээлбэл, 20 см-ийн тойрог бүхий бөмбөгийг өгсөн бол энэ бөмбөгний радиус нь: r = 20/2π = 3.183 см.
   • Тойргийн радиус ба тойргийг тооцоолоход ижил томъёог ашигладаг.

2. Бөмбөрцгийн эзэлхүүнээс радиусыг тооцоол.Тойрогоос радиусыг тооцоол. r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Бөмбөгний эзэлхүүнийг V = (4/3)πr 3 томъёогоор тооцоолно. Тэгшитгэлийн нэг талд r-г тусгаарласнаар та ((V/π)(3/4)) 3 = r томъёог авна, өөрөөр хэлбэл радиусыг тооцоолохын тулд бөмбөгний эзэлхүүнийг π-д хувааж, үр дүнг үржүүлнэ. 3/4, үр дүнг 1/3 хүртэл өсгөнө (эсвэл шоо үндсийг авна).

   • Жишээлбэл, 100 см 3 хэмжээтэй бөмбөг өгсөн. Энэ бөмбөгний радиусыг дараах байдлаар тооцоолно.
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2.88 см= r

3. Гадаргуугийн талбайгаас радиусыг тооцоол.Тойрогоос радиусыг тооцоол. g = √(A/(4 π)). Бөмбөгний гадаргуугийн талбайг A = 4πr 2 томъёогоор тооцоолно. Тэгшитгэлийн нэг талд r-г тусгаарлавал √(A/(4π)) = r томьёо гарна, энэ нь гадаргуугийн талбайн квадрат язгуурыг 4π-д хуваасан радиусыг тооцоолох явдал юм. Үндэс авахын оронд (A/(4π)) илэрхийлэлийг 1/2-ын хэмжээнд өсгөж болно.

   • Жишээлбэл, 1200 см 3 гадаргуутай бөмбөрцөг өгсөн. Энэ бөмбөгний радиусыг дараах байдлаар тооцоолно.
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9.77 см= r

   Үндсэн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох

   1. Бөмбөгний радиусыг тооцоолоход хамаарах үндсэн хэмжигдэхүүнүүдийг санаарай.Бөмбөгний радиус нь бөмбөгний төвийг гадаргуугийн аль ч цэгтэй холбосон сегмент юм. Бөмбөгний радиусыг диаметр, тойрог, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайн өгөгдсөн утгуудаас тооцоолж болно.

      Радиусыг олохын тулд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг ашиглана уу.Диаметр, тойрог, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайн өгөгдсөн утгуудаас радиусыг тооцоолж болно. Түүнчлэн, заасан утгыг өгөгдсөн радиусын утгаас олж болно. Радиусыг тооцоолохын тулд үзүүлсэн утгыг олохын тулд томъёог хөрвүүлэхэд л хангалттай. Диаметр, тойрог, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог (радиусыг багтаасан) доор харуулав.

   Хоёр цэгийн хоорондох зайнаас радиусыг олох

   1. Бөмбөгний төвийн координатыг (x,y,z) ол.Бөмбөгний радиус нь түүний төв ба бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах аливаа цэгийн хоорондох зайтай тэнцүү байна. Бөмбөгний төвийн координатууд болон түүний гадаргуу дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох замаар тусгай томъёогоор бөмбөгний радиусыг олох боломжтой. Эхлээд бөмбөгний төвийн координатыг ол. Бөмбөг нь гурван хэмжээст дүрс тул цэг нь хоёр (x, y) биш харин гурван координат (x, y, z) байх болно гэдгийг санаарай.

      • Нэг жишээ авч үзье. Төвийн координат бүхий бөмбөг өгөгдсөн (4,-1,12) . Эдгээр координатуудыг ашиглан бөмбөгний радиусыг олоорой.

   2. Бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах цэгийн координатыг ол.Одоо бид координатуудыг (x,y,z) олох хэрэгтэй. ямар чбөмбөгний гадаргуу дээр хэвтэж буй цэг. Бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах бүх цэгүүд нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байрладаг тул та бөмбөгний радиусыг тооцоолохдоо дурын цэгийг сонгож болно.

      • Бидний жишээн дээр бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах зарим цэг координаттай гэж үзье (3,3,0) . Энэ цэг ба бөмбөгний төвийн хоорондох зайг тооцоолсноор та радиусыг олох болно.

   3. d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) томъёог ашиглан радиусыг тооцоол.Бөмбөгний төв ба түүний гадаргуу дээр байрлах цэгийн координатыг олж мэдээд тэдгээрийн хоорондох зайг олох боломжтой бөгөөд энэ нь бөмбөгний радиустай тэнцүү юм. Хоёр цэгийн хоорондох зайг томьёогоор тооцоолно d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), энд d нь цэгүүдийн хоорондох зай юм. , (x 1, y 1 ,z 1) – бөмбөгний төвийн координат, (x 2 , y 2 , z 2) – бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах цэгийн координатууд.

      • Харж буй жишээн дээр (x 1 ,y 1 ,z 1)-ийн оронд (4,-1,12), (x 2 ,y 2 ,z 2)-ын оронд (3,3,0) орлуулна:
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12.69. Энэ бол бөмбөгний хүссэн радиус юм.

   4. Ерөнхий тохиолдолд r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) гэдгийг санаарай.Бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах бүх цэгүүд нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байрладаг. Хэрэв хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томъёонд "d" -ийг "r" -ээр сольсон бол бөмбөгний төвийн мэдэгдэж буй координатаас (x 1,y 1,z 1) бөмбөгний радиусыг тооцоолох томъёог авна. ба координатууд (x 2,y 2,z 2 ) бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах дурын цэг.

      • Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болговол r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 болно. Энэ тэгшитгэл нь төв нь (0,0,0) координаттай r 2 = x 2 + y 2 + z 2 бөмбөрцгийн тэгшитгэлтэй тохирч байгааг анхаарна уу.
   • Математикийн үйлдлийг гүйцэтгэх дарааллын талаар бүү мартаарай. Хэрэв та энэ дарааллыг санахгүй байгаа бөгөөд таны тооцоолуур хаалттай ажиллах боломжтой бол тэдгээрийг ашиглана уу.
   • Энэ нийтлэлд бөмбөгний радиусыг тооцоолох тухай өгүүлдэг. Гэхдээ хэрэв та геометр сурахад бэрхшээлтэй байгаа бол мэдэгдэж буй радиусын утгыг ашиглан бөмбөгтэй холбоотой хэмжигдэхүүнийг тооцоолох замаар эхлэх нь дээр.
   • π (Pi) нь тойргийн диаметрийг тойргийн урттай харьцуулсан тогтмолыг илэрхийлдэг Грек цагаан толгойн үсэг юм. Пи бол бодит тоонуудын харьцаагаар бичигдээгүй иррационал тоо юм. Олон тооны ойролцоо тооцоолол байдаг, жишээлбэл, 333/106 харьцаа нь дөрвөн аравтын орон дотор Pi-г олох боломжийг танд олгоно. Дүрмээр бол тэд Pi-ийн ойролцоо утгыг ашигладаг бөгөөд энэ нь 3.14 юм.

Бөмбөгний эзэлхүүн Теорем R радиустай бөмбөгний эзэлхүүн 4/3-тэй тэнцүү πR 3 R x B O C M A Баталгаажуулалт R радиустай, төв нь О цэгт байгаа бөмбөгийг авч үзээд Ox тэнхлэгийг дур мэдэн сонгоно. Бөмбөлгийн Окс тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайгаар зүсэгдсэн ба энэ тэнхлэгийн М цэгийг дайран өнгөрч байгаа хэсэг нь төв нь М цэгт байгаа тойрог юм. Энэ тойргийн радиусыг R, талбайг S(x) гэж тэмдэглэе. , энд x нь M цэгийн абсцисса юм. S( x) -ийг x ба R-ээр илэрхийлье. OMC тэгш өнцөгт гурвалжнаас R = OC²-OM² = R²-x² олно. S (x) = n r² тул S ( x) = n (R²-x²). Энэ томьёо нь AB диаметр дээрх М цэгийн аль ч байрлалд, өөрөөр хэлбэл –R x R нөхцөлийг хангасан бүх x-ийн хувьд үнэн болохыг анхаарна уу. a = –R, b = R бүхий биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох үндсэн томъёог хэрэглэвэл бид авах: R R R R R V = p (R²-x²) dx = p R² dxp - x²dx = p R²x - px³/3 = 4/3 pR³. -R -R -R -R -R Теорем батлагдсан x

Бөмбөрцөг сегмент, бөмбөрцөг давхарга, бөмбөрцөг секторын эзэлхүүн A) Бөмбөрцөг сегмент нь бөмбөрцөгөөс ямар нэг хавтгайгаар таслагдсан хэсэг юм. 1-р зурагт B цэгийг дайран өнгөрөх α таслагч хавтгай нь бөмбөгийг 2 бөмбөрцөг сегмент болгон хуваадаг. Хэсэгт олж авсан тойргийг эдгээр сегмент тус бүрийн суурь гэж нэрлэдэг ба огтлох хавтгайд перпендикуляр AC диаметртэй AB ​​ба ВС сегментүүдийн уртыг хэрчмүүдийн өндөр гэж нэрлэдэг. x AB=h α O A C Бөмбөгний сегмент Зураг 1

Бөмбөгний радиус нь R-тэй тэнцүү бол сегментийн өндөр нь h (1-р зурагт h = AB) байвал бөмбөрцөг сегментийн V эзэлхүүнийг дараах томъёогоор тооцоолно: V = рh² (R). -1/3 цаг). · B) Бөмбөрцөг давхарга нь 2 зэрэгцээ зүсэх онгоцны хооронд бэхлэгдсэн бөмбөгний хэсэг юм (Зураг 2). Эдгээр онгоцнуудын бөмбөгний хэсэгт олж авсан тойргийг бөмбөрцөг давхаргын суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд хавтгай хоорондын зай нь бөмбөрцөг давхаргын өндөр юм. Бөмбөрцөг давхаргын эзэлхүүнийг хоёр бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүний зөрүүгээр тооцоолж болно. A B C x Зураг 2 Бөмбөгний давхарга

C) Бөмбөрцөг сектор нь дугуй секторыг хязгаарлах радиусуудын аль нэгийг агуулсан шулуун шугамын эргэн тойронд 90 градусаас бага өнцөгтэй дугуй секторыг эргүүлэх замаар олж авсан бие юм (Зураг 3). Бөмбөрцөг хэлбэртэй салбар нь бөмбөрцөг сегмент ба конусаас бүрдэнэ. Бөмбөгний радиус нь R-тэй тэнцүү бол бөмбөрцөг сегментийн өндөр нь h-тэй тэнцүү бол бөмбөрцөг хэсгийн V эзлэхүүнийг томъёогоор тооцоолно: V = 2/3 pR² h h O R r Бөмбөг 3-р зураг. салбар

Бөмбөрцгийн талбай Цилиндр эсвэл конусын хажуугийн гадаргуугаас ялгаатай нь бөмбөрцөгийг хавтгайд эргүүлэх боломжгүй тул боловсруулалтыг ашиглан гадаргуугийн талбайг тодорхойлох, тооцоолох арга нь түүнд тохиромжгүй юм. Бөмбөрцгийн талбайг тодорхойлохын тулд бид хязгаарлагдмал олон талт гэсэн ойлголтыг ашигладаг. Бөмбөрцгийг тойруулан дүрсэлсэн олон өнцөгт нь n нүүртэй байг. Тайлбарласан олон талтуудын нүүр бүрийн хамгийн том хэмжээ тэг болох хандлагатай байхаар бид n-ийг хязгааргүй нэмэгдүүлэх болно. Бөмбөрцгийн талбайн хувьд бид бөмбөрцгийн эргэн тойронд дүрслэгдсэн олон талт гадаргуугийн талбайн дарааллын хязгаарыг авдаг, учир нь нүүр бүрийн хамгийн том хэмжээ тэг байх хандлагатай байдаг => ">

Томъёо

ЦИЛИНДРИЙН ЭЗЭЛХИЙ

КОНУСАН ЭЗЭЛХИЙ

ТАСАЛСАН КОНУУСАН ХЭМЖЭЭ

Бөмбөгний эзэлхүүн

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

Эзлэхүүнийг тооцоолох томъёо: бөмбөрцөг, бөмбөрцөг сектор, бөмбөрцөг давхарга, бөмбөрцөг сектор, бөмбөрцгийн талбай

• Бөмбөрцгийн талбай нь:

S=4 π Р 2 ,

Энд R нь бөмбөрцгийн радиус юм

• Бөмбөгний хэмжээ нь:

V=1 ⅓ π Р 3 = 4/3 π Р 3

Энд R нь бөмбөгний радиус юм

• Бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүн нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

V= π h 2 (Р - ⅓ h) ,

Энд R нь бөмбөгний радиус, h нь сегментийн өндөр юм

• Бөмбөрцөг давхаргын эзэлхүүн нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

V=V 1 – В 2 ,

Энд V 1 нь нэг бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүн, V 2 нь хоёр дахь бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүн юм.

• Бөмбөрцөг хэлбэрийн салбарын эзлэхүүн нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

V= ⅔ π Р 2 h ,

Энд R нь бөмбөгний радиус, h нь бөмбөгний сегментийн өндөр юм

Онолын диктант

Сонголт 1

Текст дэх дутуу үгсийг нөхөж бичнэ үү .

• Онгоцоор хийсэн бөмбөгний хэсэг бүр тойрог юм. Энэ тойргийн төв нь бөмбөгний төвөөс огтлох хавтгай руу унасан ………………… перпендикуляр юм.

2. Бөмбөгний төв нь түүний ………………………………. тэгш хэм.

3. Бөмбөгний тэнхлэгийн хэсэг нь ………………………….

4. Хоёр бөмбөрцгийн огтлолцлын шугамууд нь …………………

5. Төвөөс ижил зайд байгаа онгоцууд бөмбөгийг ……………… тойрог хэлбэрээр огтолж байна.

6. Төв нь пирамидын ……………….. дээр байрладаг энгийн пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно.

суурь

төв

тойрог

тойрог

тэнцүү

өндөр

Онолын диктант

Сонголт 2

онгоц

тойрог

өндөр

перпендикуляр

хүрэх

өндөр

Картын дугаар 1

Бөмбөгний диаметртэй перпендикуляр хавтгай нь түүний хэсгүүдийг 3 см ба 9 см-ээр хуваана. Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг олоорой?

288 P см³

Картын дугаар 2

Хоёр тэнцүү бөмбөг нэгнийх нь төв нь нөгөөгийн гадаргуу дээр байрладаг. Бөмбөлгүүдийн нийт хэсгийн эзэлхүүн нь бүх бөмбөгний эзэлхүүнтэй хэрхэн хамааралтай вэ?

5 / 16

Картын дугаар 3

Бөмбөрцгийн диаметрийн 0.1-тэй тэнцэх өндөр нь 20 см-тэй тэнцүү бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүн нь бөмбөрцгийн эзэлхүүний аль хэсэг вэ?

Даалгавар №1

R радиустай бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь V-тэй тэнцүү байна. Олно: радиустай бөмбөрцгийн эзэлхүүн: a) 2 R b) 0.5 R

Даалгавар №2

Суурийн тойргийн радиус 60 см, бөмбөгний радиус 75 см бол бөмбөрцөг секторын эзлэхүүн хэд вэ.

АСУУЛТАНД ХУРДАН, ТОВЧООН ХАРИУ БИЧИХ.

• Хэдэн бөмбөрцөг зурж болох вэ:

a) ижил тойрог дундуур;

б) тойрог ба түүний хавтгайд хамаарахгүй цэгээр дамжин өнгөрөх үү?

2. Орой болох дөрвөн цэгээр хэдэн бөмбөрцөг зурж болох вэ?

а) дөрвөлжин;

б) ижил өнцөгт трапец;

3. Бөмбөрцгийн дурын хоёр цэгээр нэг том тойрог өнгөрдөг нь үнэн үү?

4. Бөмбөрцгийн аль хоёр цэгээр хэд хэдэн том тойрог зурж болох вэ?

5. Ижил радиустай бөмбөрцгийг дундуур нь нэвтрүүлэхийн тулд хоёр тэнцүү тойргийг хэрхэн байрлуулах вэ?

эцэс төгсгөлгүй

нэг

эцэс төгсгөлгүй

эцэс төгсгөлгүй

Байхгүй

Диаметрийн эсрэг

Нийтлэг төвтэй байх

Онолын диктант

Сонголт 2

Текст дэх дутуу үгсийг нөхөж бичнэ үү.

• Бөмбөгний диаметраль хавтгай нь түүний ………………… тэгш хэм юм.

2. Бөмбөрцгийн тэнхлэгийн хэсэг нь ………………..

3. Энгийн пирамидын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн төв нь ………………… дээр байрладаг. пирамидууд.

4. Бөмбөрцөг ба хавтгайн шүргэгч хавтгайд хүрэх цэг рүү татсан бөмбөрцгийн радиус ………………………………………..

5. Шүргэдэг хавтгай нь бөмбөгтэй нэг л нийтлэг цэгтэй байдаг…………………….

6. Бөмбөрцгийг ямар ч энгийн пирамид дотор сийлж болно, түүний төв нь ………………………………….пирамид дээр байрладаг.

онгоц

тойрог

өндөр

перпендикуляр

хүрэх

өндөр

Lv.52

1-р түвшинСонголт 1

1. Бөмбөгний төвөөс 12 см зайд 9 см радиустай зүсэлт зурав. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбайг ол.

2. 3см радиустай бөмбөрцгийн төв нь О (4;-2;1) цэгт байна. Энэ бөмбөрцөг OXY хавтгайд тэгш хэмтэй байх үед орох бөмбөрцгийн тэгшитгэлийг бич. Өгөгдсөн бөмбөрцөгт хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг ол.

1-р түвшинСонголт 2

1. Бөмбөрцөг дээр хэвтэж буй цэгээр дамжуулан 3 см радиустай огтлолыг энэ цэг рүү татсан бөмбөрцгийн радиустай 60 ° өнцгөөр зурна. Бөмбөрцгийн талбай ба бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг ол.

2. 3 радиустай бөмбөрцөг нь О (-2;5;3) цэг дээр төвтэй байна. Энэ бөмбөрцөг OX Z хавтгайд тэгш хэмтэй байх үед орох бөмбөрцгийн тэгшитгэлийг бич. Энэ бөмбөрцгийн талбайг ол.

Бие даасан ажлыг шалгахтүвшин 52

Түвшин 2Сонголт 1

1. Бөмбөгний төвөөс 2√7 см зайд зүсэлт зурсан. Энэ хэсгийн хөвч нь 90 ° өнцгөөр 4 см-тэй тэнцүү байна. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбайг ол.

2. О (2;1;-2) цэгт төвтэй бөмбөрцөг эхийг дайран өнгөрнө. Хэрэв энэ бөмбөрцөг абсцисса тэнхлэгт тэгш хэмтэй байвал орох бөмбөрцгийн тэгшитгэлийг бич. Үүссэн бөмбөрцөгөөр хязгаарлагдсан бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг ол.

Түвшин 2Сонголт 2

1. Бөмбөгний төвөөс 4 см зайд зүсэлт хийдэг. Энэ хэсгийн төвөөс √5 см-ээр алслагдсан хөвч, 120 ° өнцгөөр. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбайг ол.

2. О (-1;-2;2) цэгт төвтэй бөмбөрцөг эхийг дайран өнгөрнө. Энэ бөмбөрцөг Z = 1 хавтгайд тэгш хэмтэй байх үед орох бөмбөрцгийн тэгшитгэлийг бич. Бөмбөрцгийн талбайг ол.

Бие даасан ажил

Сонголт 2

• Бөмбөгний диаметр ½ инч. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба бөмбөрцгийн талбайг тооцоол.

2. Волейболын радиус нь 12 см. Бөмбөлөгт ямар хэмжээний агаар агуулагддаг вэ?

Сонголт 1

• Бөмбөгний радиус ¾ dm. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба бөмбөрцгийн талбайг тооцоол.

2. Хөл бөмбөгийн бөмбөг 30 дм диаметртэй. Бөмбөлөгт ямар хэмжээний агаар агуулагддаг вэ?

Бие даасан ажил

Сонголт 1

Сонголт 2

• Асуудлыг шийдэх :

• Бөмбөрцгийн талбай, бөмбөгний эзэлхүүн ба түүний хэсгүүдийн томъёог бич.
• Асуудлыг шийдэх :

№ 1. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь 36 Psm³ байна. Энэ бөмбөгийг хүрээлж буй бөмбөрцгийн талбайг ол.

№ 2. 15 см радиустай бөмбөрцөг нь 81 см² талбайтай хэсэгтэй. Таслах хавтгайгаар таслагдсан жижиг бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүнийг ол.

№ 3. Бөмбөгний радиус 6 см, харгалзах сегментийн өндөр нь бөмбөгний диаметрийн зургаагийн нэг бол бөмбөрцөг хэлбэртэй секторын эзэлхүүнийг ол.

№ 1. Бөмбөгний гадаргуу нь 144P см² юм. Энэ бөмбөгний эзэлхүүнийг ол.

№ 2. Бөмбөгний төвөөс 9 м-ийн зайд тойрог нь 24P см хэмжээтэй хэсэг зурсан бөгөөд огтлолын хавтгайгаар таслагдсан жижиг бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүнийг ол.

№ 3. Бөмбөгний радиус 6 см, секторыг бүрдүүлж буй конусын өндөр нь бөмбөгний диаметрийн гуравны нэг бол бөмбөрцөг хэлбэртэй секторын эзэлхүүнийг ол.

Өөрийгөө шалгах замаар асуудлыг шийдвэрлэх.

Өгөгдсөн: бөмбөг; V=113.04 см³,

Олоорой: R, S.

Шийдэл: V=4πR³/3, = 113.04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

Хариулт: 3.36π.

Өгөгдсөн: бөмбөг; S=64π см²

Олоорой: R, V

Шийдэл: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

Хариулт: 4.256π/3.

3. Өгөгдсөн: бөмбөрцөг сегмент, r суурь = 60 см, R бөмбөг = 75 см.

Ол: V бөмбөрцөг сегмент.

Шийдэл: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45

h= OS-OS ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.

Хариулт: 58500π.

Тусгал

Сэтгэл хөдлөлөө эмотиконоор тусгаарай.

Хичээлийн төгсгөлд таны сэтгэл санаанд тохирсон инээмсэглэлтэй царайг авч, явахдаа соронзон суурьтай самбарт наа.

Гэрийн даалгавар

• Гэрийн даалгавар

• Бөмбөрцөг, бөмбөрцөг сегмент, бөмбөрцөг давхарга, бөмбөрцөг секторын эзэлхүүний томъёог давт. No723, No724, No755

Уран зохиол ба интернетийн эх сурвалжууд

Геометрийн 10-11-р ангийн сурах бичиг Атанасян Л.С., 2008 он.

Гаврилова Н.Ф. Геометрийн 11-р ангийн хичээлийн хөгжил