Тангенс хэдтэй тэнцүү вэ? Шүргэгч нь шүргэлтийн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Хичээлийн зорилго

• Боловсролын - "Тойрог руу шүргэх" сэдвээр мэдлэгийг давтах, нэгтгэх, шалгах; үндсэн ур чадварыг хөгжүүлэх.
• Хөгжүүлэлт - сурагчдын анхаарал, тэсвэр тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, логик сэтгэлгээ, математик хэл яриаг хөгжүүлэх.
• Боловсрол - хичээлээр дамжуулан бие биедээ анхааралтай хандах хандлагыг төлөвшүүлэх, нөхдүүдийг сонсох, харилцан туслалцаа үзүүлэх, бие даасан байдлыг бий болгох.
• Шүргэгч, холбоо барих цэгийн тухай ойлголтыг танилцуулах.
• Шүргэгчийн шинж чанар, түүний тэмдгийн шинж чанарыг авч үзээд байгаль, технологийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахыг харуул.

Хичээлийн зорилго

• Хуваарийн хэмжигч, протектор, гурвалжин зурах зэргийг ашиглан шүргэгч үүсгэх ур чадварыг хөгжүүлэх.
• Сурагчдын асуудал шийдвэрлэх чадварыг шалгах.
• Тойрог руу шүргэгч үүсгэх үндсэн алгоритмын техникийг эзэмшсэн байх.
• Асуудлыг шийдвэрлэхэд онолын мэдлэгээ ашиглах чадварыг хөгжүүлэх.
• Сурагчдын сэтгэхүй, яриаг хөгжүүлэх.
• Ажиглах, хэв маягийг анзаарах, нэгтгэн дүгнэх, зүйрлэлээр тайлбарлах чадварыг хөгжүүлэх тал дээр ажиллана.
• Математикийн сонирхлыг бий болгох.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Тангенсийн тухай ойлголт үүссэн.
2. Шүргэгч үүссэн түүх.
3. Геометрийн тодорхойлолтууд.
4. Үндсэн теоремууд.
5. Тойрогтой шүргэгч байгуулах.
6. Нэгтгэх.

Тангенсийн тухай ойлголт үүссэн

Тангенсийн тухай ойлголт нь математикийн хамгийн эртний ойлголтуудын нэг юм. Геометрийн хувьд тойрогтой шүргэгчийг тухайн тойрогтой яг нэг огтлолцох цэгтэй шугам гэж тодорхойлдог. Эртний хүмүүс луужин, захирагч ашиглан тойрог руу шүргэгч зурж, дараа нь конус хэлбэртэй хэсгүүдийг зурж чаддаг байсан: эллипс, гипербол, парабол.

Шүргэгчийн түүх

Орчин үед шүргэгчийн сонирхол сэргэсэн. Дараа нь эртний эрдэмтдийн мэддэггүй муруйг олж илрүүлжээ. Жишээлбэл, Галилео циклоидыг танилцуулж, Декарт, Ферма нар түүнд шүргэгчийг бүтээжээ. 17-р зууны эхний гуравны нэгд. Шүргэгч гэдэг нь өгөгдсөн цэгийн жижиг орчмын муруйтай "хамгийн ойр оршдог" шулуун шугам гэдгийг бид ойлгож эхэлсэн. Өгөгдсөн цэг дээр муруй руу шүргэгч үүсгэх боломжгүй нөхцөл байдлыг төсөөлөхөд хялбар байдаг (зураг).

Геометрийн тодорхойлолтууд

Тойрог- өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлалыг түүний төв гэж нэрлэдэг.

тойрог.

Холбогдох тодорхойлолтууд

• Тойргийн төвийг ямар ч цэгтэй холбосон сегментийг (мөн энэ сегментийн урт) гэж нэрлэдэг радиустойрог.
• Тойргоор хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсгийг гэнэ эргэн тойрон.
• Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегментийг түүний гэж нэрлэдэг хөвч. Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэг диаметр.
• Тойрог дээрх дурын хоёр ялгаатай цэг нь түүнийг хоёр хэсэгт хуваана. Эдгээр хэсэг бүрийг нэрлэдэг нумантойрог. Нумын хэмжүүр нь түүний харгалзах төв өнцгийн хэмжүүр байж болно. Төгсгөлүүдийг нь холбосон хэрчим нь диаметртэй бол нумыг хагас тойрог гэнэ.
• Тойрогтой яг нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэдэг шүргэгчтойрог руу, тэдгээрийн нийтлэг цэгийг шугам ба тойргийн шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг.
• Тойргийн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг нэрлэдэг секант.
• Тойрог доторх төв өнцөг нь төвдөө оройтой хавтгай өнцөг юм.
• Орой нь тойрог дээр байрлах ба талууд нь энэ тойрогтой огтлолцох өнцгийг гэнэ бичээстэй өнцөг.
• Нийтлэг төвтэй хоёр тойрог гэж нэрлэдэг төвлөрсөн.

Шүргэдэг шугам- муруй дээрх цэгийг дайран өнгөрөх ба энэ цэг дээр нэгдүгээр зэрэглэл хүртэл давхцаж буй шулуун шугам.

Тойрогтой шүргэгчнь тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугам юм.

Энэ цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр ижил хавтгайд байгаа тойрог дээрх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам. тангенс гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тойрог дээрх энэ цэгийг шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг.

Манай тохиолдолд "a" нь өгөгдсөн тойрогт шүргэгч шулуун шугам бол "А" цэг нь шүргэлтийн цэг юм. Энэ тохиолдолд a⊥OA (шулуун шугам a нь OA радиустай перпендикуляр байна).

Тэд ингэж хэлдэг хоёр тойрог хүрнэ, хэрэв тэд нэг нийтлэг цэгтэй бол. Энэ цэгийг нэрлэдэг тойргийн холбоо барих цэг. Шүргэх цэгээр дамжуулан та тойрогуудын аль нэгэнд шүргэгч зурж болох бөгөөд энэ нь нөгөө тойрогтой шүргэгч юм. Хүрэх тойрог нь дотоод болон гадаад байж болно.

Хэрэв тойргийн төвүүд шүргэгчийн нэг талд орвол шүргэгчийг дотоод гэж нэрлэдэг.

Хэрэв тойргийн төвүүд шүргэгчийн эсрэг талд байрладаг бол шүргэгчийг гадаад гэж нэрлэдэг.

a нь хоёр тойргийн нийтлэг шүргэгч, K нь шүргэлтийн цэг юм.

Үндсэн теоремууд

Теоремшүргэгч ба секантын тухай

Хэрэв тойргийн гадна байрлах цэгээс шүргэгч ба секантыг зурсан бол шүргэгчийн уртын квадрат нь секант ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна: MC 2 = MA MB.

Теорем.Тойргийн шүргэлтийн цэг рүү татсан радиус нь шүргэгчтэй перпендикуляр байна.

Теорем.Хэрэв радиус нь тойрогтой огтлолцох цэг дээр шулуунтай перпендикуляр байвал энэ шугам нь энэ тойрогтой шүргэнэ.

Баталгаа.

Эдгээр теоремуудыг батлахын тулд цэгээс шулуун хүртэлх перпендикуляр гэж юу болохыг санах хэрэгтэй. Энэ нь энэ цэгээс энэ шугам хүртэлх хамгийн богино зай юм. OA шүргэгч рүү перпендикуляр биш, харин шүргэгч рүү перпендикуляр шулуун шугам OS байна гэж үзье. OS-ийн урт нь радиусын урт ба BC тодорхой сегментийг багтаасан бөгөөд энэ нь радиусаас илүү байх нь гарцаагүй. Тиймээс үүнийг ямар ч шугамаар нотлох боломжтой. Бид радиус, контактын цэг рүү татсан радиус нь О цэгээс шүргэгч хүртэлх хамгийн богино зай юм гэж дүгнэж байна, i.e. OS нь шүргэгчтэй перпендикуляр байна. Эсрэг теоремыг батлахдаа шүргэгч нь тойрогтой зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байдгийг үндэслэх болно. Энэ шулууныг тойрогтой өөр нэг нийтлэг В цэгтэй болгоё. AOB гурвалжин нь тэгш өнцөгт бөгөөд түүний хоёр тал нь радиустай тэнцүү бөгөөд энэ нь боломжгүй юм. Тиймээс, энэ шулуун шугам нь А цэгээс бусад тойрогтой нийтлэг цэг байхгүй болохыг бид олж мэдэв. шүргэгч юм.

Теорем.Нэг цэгээс тойрог хүртэл татсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү бөгөөд энэ цэгийг тойргийн төвтэй холбосон шулуун шугам нь шүргэгч хоорондын өнцгийг хуваана.

Баталгаа.

Нотолгоо нь маш энгийн. Өмнөх теоремыг ашиглан бид OB нь AB-д перпендикуляр, OS нь АС-тай перпендикуляр гэдгийг баталж байна. ABO ба ACO тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь хөл ба гипотенузын хувьд тэнцүү байна (OB=OS - радиус, AO - нийт). Тиймээс тэдгээрийн талууд AB=AC ба OAC ба OAB өнцөг нь тэнцүү байна.

Теорем.Тойрог дээрх нийтлэг цэгтэй шүргэгч ба хөвчний үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ нь түүний талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумын өнцгийн хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа.

Шүргэгч ба хөвчний үүсгэсэн NAB өнцгийг авч үзье. Хувьсах гүйдлийн диаметрийг зуръя. Шүргэх нь хүрэлцэх цэг рүү татсан диаметртэй перпендикуляр тул ∠CAN=90 o байна. Теоремыг мэдсэнээр бид альфа өнцөг (a) нь BC нумын өнцгийн утгын хагас буюу BOS өнцгийн хагастай тэнцүү болохыг харж байна. ∠NAB=90 o -a, эндээс ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB буюу = BA нумын өнцгийн утгыг авна. гэх мэт.

Теорем.Хэрэв нэг цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секанс зурсан бол өгөгдсөн цэгээс шүргэгч цэг хүртэлх шүргэгч хэрчмүүдийн квадрат нь тухайн цэгээс өгөгдсөн цэг хүртэлх зүсэлтийн хэрчмүүдийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна. түүний тойрогтой огтлолцох.

Баталгаа.

Зураг дээр энэ теорем дараах байдалтай байна: MA 2 = MV * MC. Үүнийг баталцгаая. Өмнөх теоремын дагуу MAC өнцөг нь АС нумын өнцгийн хагастай тэнцүү, харин ABC өнцөг нь теоремын дагуу АС нумын өнцгийн хагастай тэнцүү тул эдгээр өнцөг тус бүртэй тэнцүү байна. бусад. AMC ба BMA гурвалжнууд нь M орой дээр нийтлэг өнцөгтэй байдаг гэдгийг харгалзан бид эдгээр гурвалжнуудын ижил төстэй байдлыг хоёр өнцгөөр (хоёр дахь тэмдэг) илэрхийлнэ. Ижил төстэй байдлаас бид: MA/MB=MC/MA, үүнээс бид MA 2 =MB*MC авдаг

Тойрог руу шүргэгч үүсгэх

Одоо үүнийг олж, тойрог руу шүргэгч үүсгэхийн тулд юу хийх хэрэгтэйг олж мэдье.

Энэ тохиолдолд дүрмээр бол асуудал нь тойрог, цэгийг өгдөг. Энэ шүргэгч нь өгөгдсөн цэгээр дамжихын тулд та бид хоёр тойрог руу шүргэгч байгуулах хэрэгтэй.

Хэрэв бид цэгийн байршлыг мэдэхгүй байгаа бол цэгүүдийн байршлын тохиолдлуудыг авч үзье.

Нэгдүгээрт, цэг нь өгөгдсөн тойргоор хязгаарлагдах тойрог дотор байж болно. Энэ тохиолдолд энэ тойрог дундуур шүргэгч байгуулах боломжгүй.

Хоёрдахь тохиолдолд цэг нь тойрог дээр байрладаг бөгөөд бидний мэддэг цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр шугам татах замаар шүргэгчийг байгуулж болно.

Гуравдугаарт, цэг нь тойргоор хязгаарлагдах тойргийн гадна байрладаг гэж үзье. Энэ тохиолдолд шүргэгчийг барихын өмнө тойрог дээр шүргэгч өнгөрөх ёстой цэгийг олох шаардлагатай.

Эхний тохиолдолд бүх зүйл танд ойлгомжтой байна гэж найдаж байна, гэхдээ хоёр дахь хувилбарыг шийдэхийн тулд бид радиус байрлах шулуун шугам дээр сегментийг барих хэрэгтэй. Энэ сегмент нь эсрэг талын тойрог дээр байрлах радиус ба сегменттэй тэнцүү байх ёстой.

Энд бид тойрог дээрх цэг нь радиусаас хоёр дахин их хэмжээтэй сегментийн дунд байгааг харж байна. Дараагийн алхам бол хоёр тойрог барих явдал юм. Эдгээр тойргийн радиус нь анхны тойргийн радиусаас хоёр дахин их байх ба сегментийн төгсгөлд төвүүд байх бөгөөд энэ нь радиусаас хоёр дахин их байна. Одоо бид эдгээр тойргийн огтлолцлын аль ч цэг болон өгөгдсөн цэгээр шулуун шугам зурж болно. Ийм шулуун шугам нь анх зурсан тойргийн радиустай перпендикуляр медиан юм. Тиймээс бид энэ шугам тойрогт перпендикуляр байгааг харж байгаа бөгөөд энэ нь тойрогтой шүргэгч байна.

Гурав дахь хувилбарт бид тойргийн гадна байрлах цэгтэй бөгөөд энэ нь тойрогоор хязгаарлагддаг. Энэ тохиолдолд бид эхлээд өгөгдсөн тойргийн төв болон өгөгдсөн цэгийг холбох сегментийг байгуулна. Тэгээд бид дундыг нь олдог. Гэхдээ үүний тулд перпендикуляр биссектрис барих шаардлагатай. Мөн та үүнийг хэрхэн бүтээхээ аль хэдийн мэддэг болсон. Дараа нь бид тойрог, эсвэл ядаж нэг хэсгийг нь зурах хэрэгтэй. Одоо бид өгөгдсөн тойрог ба шинээр баригдсан тойргийн огтлолцох цэг нь шүргэгч өнгөрөх цэг болохыг харж байна. Мөн асуудлын нөхцөлийн дагуу заасан цэгээр дамждаг. Эцэст нь, таны мэддэг хоёр цэгээр дамжуулан шүргэгч шугам зурж болно.

Эцэст нь хэлэхэд, бидний байгуулсан шулуун шүргэгч гэдгийг батлахын тулд тойргийн радиус болон тойргийн огтлолцлын цэгийг холбох нөхцөлөөр мэдэгдэж буй хэрчмээс үүссэн өнцөгт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. асуудлын нөхцөлөөр өгсөн цэгийн хамт. Одоо бид үүссэн өнцөг нь хагас тойрог дээр тулгуурлаж байгааг харж байна. Эндээс харахад энэ өнцөг зөв байна. Үүний үр дүнд радиус нь шинээр баригдсан шугамд перпендикуляр байх бөгөөд энэ шугам нь шүргэгч болно.

Шүргэгч барих.

Шүргэдэг шугам барих нь дифференциал тооцоолол үүсэхэд хүргэсэн асуудлуудын нэг юм. Лейбницийн бичсэн дифференциал тооцоотой холбоотой анхны хэвлэгдсэн бүтээл нь "Бутархай ч, иррационал хэмжигдэхүүн ч, тусгай төрлийн тооцоо ч саад болдоггүй максимум ба минимум, шүргэгчийн шинэ арга" гэсэн гарчигтай.

Эртний Египетчүүдийн геометрийн мэдлэг.

Хэрэв бид Тигр, Евфрат ба Бага Азийн хоорондох хөндийн эртний оршин суугчдын маш даруухан хувь нэмрийг тооцохгүй бол геометр нь МЭӨ 1700 оноос өмнө Эртний Египетэд үүссэн. Халуун орны борооны улиралд Нил мөрөн усны нөөцөө нөхөж, хальж урсдаг. Тариалангийн талбайг усаар бүрхсэн бөгөөд татварын зорилгоор хичнээн хэмжээний газар алдсаныг тодорхойлох шаардлагатай байв. Хэмжилтийн ажилчид нягт сунгасан олсыг хэмжих хэрэгсэл болгон ашигласан. Египетчүүдийн геометрийн мэдлэгийг хуримтлуулах өөр нэг хөшүүрэг нь пирамид барих, дүрслэх урлаг зэрэг үйл ажиллагаа байв.

Геометрийн мэдлэгийн түвшинг математикт тусгайлан зориулсан эртний гар бичмэлүүдээс дүгнэж болно, сурах бичиг, эс тэгвээс янз бүрийн практик асуудлын шийдлийг өгдөг асуудлын ном шиг зүйл юм.

Египетчүүдийн хамгийн эртний математикийн гар бичмэлийг 1800-1600 оны хооронд нэгэн оюутан хуулж байжээ. МЭӨ. хуучин текстээс. Папирусыг Оросын египет судлаач Владимир Семенович Голенищев олсон байна. Энэ нь Москвад - А.С.-ын нэрэмжит Дүрслэх урлагийн музейд хадгалагддаг. Пушкин, мөн Москвагийн папирус гэж нэрлэдэг.

Москвагаас хоёроос гурван зуун жилийн дараа бичигдсэн өөр нэг математикийн папирус Лондонд хадгалагдаж байна. Үүнийг: "Бүх харанхуй зүйлсийн тухай мэдлэгт хэрхэн хүрэх тухай заавар, юмс өөрсөддөө нуугдаж байдаг бүх нууцууд ... Хуучин дурсгалын дагуу бичээч Ахмес үүнийг "Ахмес папирус" гэж нэрлэдэг." Ринд папирус - энэ папирусыг Египетээс олж, худалдаж авсан англи хүний ​​нэрээр. Ахмес папирус нь практикт шаардлагатай байж болох янз бүрийн тооцоололтой холбоотой 84 асуудлын шийдлийг өгдөг.

Тодорхойлолт. Тойрог шүргэгч гэдэг нь тойрогтой яг нэг нийтлэг цэгтэй хавтгайн шулуун шугам юм.

Энд хэд хэдэн жишээ байна:

Энд бид төгсөж болох боловч практик нь зөвхөн тодорхойлолтыг цээжлэх нь хангалтгүй гэдгийг харуулж байна - та зураг дээрх шүргэгчийг харж сурах, тэдгээрийн шинж чанарыг мэдэж, бодит асуудлыг шийдвэрлэх замаар эдгээр шинж чанаруудыг зөв ашиглах дасгал хийх хэрэгтэй. Бид өнөөдөр энэ бүгдийг хийх болно.

Шүргэгчийн үндсэн шинж чанарууд

Аливаа асуудлыг шийдэхийн тулд та дөрвөн үндсэн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Тэдгээрийн хоёрыг ямар ч лавлах ном/сурах бичигт бичсэн байдаг ч сүүлийн хоёрыг нь ямар нэгэн байдлаар мартсан ч дэмий хоосон.

1. Нэг цэгээс татсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү байна

Бага зэрэг өндөрт бид нэг цэгээс зурсан хоёр шүргэгчийн тухай ярьсан M. Тэгэхээр:

Нэг цэгээс зурсан тойрог руу шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү байна.

2. Шүргэх нь хүрэх цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна

Дээрх зургийг дахин харцгаая. Радиусыг зурцгаая О.А.Тэгээд О.Б., үүний дараа бид өнцгүүдийг олох болно ОАМТэгээд О.Б.М.- Чигээрээ.

Холбоо барих цэг рүү татсан радиус нь шүргэгчтэй перпендикуляр байна.

Энэ баримтыг ямар ч асуудалд нотлохгүйгээр ашиглаж болно:

Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу: хэрвээ та сегмент зурвал ОМ, тэгвэл бид хоёр тэнцүү гурвалжин авна: ОАМТэгээд О.Б.М..

3. Тангенс ба секантын хоорондын хамаарал

Гэхдээ энэ бол илүү ноцтой баримт бөгөөд ихэнх сургуулийн сурагчид үүнийг мэддэггүй. Нэг нийтлэг цэгээр дамжин өнгөрөх шүргэгч ба секантыг авч үзье М. Мэдээжийн хэрэг, секант нь бидэнд хоёр сегментийг өгөх болно: тойрог дотор (сегмент МЭӨ- үүнийг хөвч гэж нэрлэдэг) ба гадна талд (тэд үүнийг ингэж нэрлэдэг - гаднах хэсэг). М.С.).

Бүхэл бүтэн секант ба түүний гаднах хэсгийн үржвэр нь шүргэгч сегментийн квадраттай тэнцүү байна

4. Тангенс ба хөвчний хоорондох өнцөг

Нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг илүү дэвшилтэт баримт. Би үүнийг үйлчилгээнд оруулахыг зөвлөж байна.

Шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг нь энэ хөвчний дагуух бичээстэй өнцөгтэй тэнцүү байна.

Гол санаа нь хаанаас гардаг вэ? Б? Бодит асуудалд энэ нь ихэвчлэн нөхцөл байдлын хаа нэгтээ "гарч ирдэг". Тиймээс зураг дээрх энэ тохиргоог таньж сурах нь чухал юм.

Энэхүү нийтлэлд тодорхойлолт, деривативын геометрийн утгыг график тэмдэглэгээгээр нарийвчлан тайлбарласан болно. Шүргэгчийн шулууны тэгшитгэлийг жишээн дээр авч үзэж, 2-р эрэмбийн муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг олно.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1

y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцгийг α өнцөг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эерэг чиглэлд y = k x + b шулуун хүртэл хэмжигддэг.

Зураг дээр x чиглэлийг ногоон сум, ногоон нумаар, хазайлтын өнцгийг улаан нумаар зааж өгсөн болно. Цэнхэр шугам нь шулуун шугамыг хэлнэ.

Тодорхойлолт 2

y = k x + b шулуун шугамын налууг тоон коэффициент k гэнэ.

Өнцгийн коэффициент нь шулуун шугамын шүргэгчтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k = t g α байна.

• Тэгийн шүргэгч нь 0-тэй тэнцүү тул шулуун шугамын хазайлтын өнцөг нь зөвхөн x орчим параллель, налуу нь тэгтэй тэнцүү байвал 0-тэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэлийн хэлбэр нь y = b болно гэсэн үг юм.
• Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг хурц байвал 0 нөхцөл хангагдсан болно.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, мөн графикийн өсөлт ажиглагдаж байна.
• Хэрэв α = π 2 бол шулууны байрлал х-тэй перпендикуляр байна. Тэгш байдлыг x = c-ээр тодорхойлсон бөгөөд c утга нь бодит тоо юм.
• Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг мохоо байвал π 2 нөхцөлтэй тохирно.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секант гэдэг нь f (x) функцийн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шугам юм. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн функцийн графикийн дурын хоёр цэгээр татсан шулуун шугамыг секант гэнэ.

Зураг дээр A B нь секант, f (x) нь хар муруй, α нь улаан нум бөгөөд энэ нь секантын налуу өнцгийг харуулж байна.

Шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү байх үед тэгш өнцөгт гурвалжны A B C тангенсыг эсрэг талынх нь зэргэлдээх хэсгийн харьцаагаар олох нь тодорхой байна.

Тодорхойлолт 4

Бид маягтын секантыг олох томъёог авдаг.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, энд А ба В цэгүүдийн абсцисса нь x A, x B ба f (x A), f (x) утгууд юм. B) эдгээр цэгүүдийн утгын функцууд.

Секантын өнцгийн коэффициентийг k = f (x B) - f (x A) x B - x A эсвэл k = f (x A) - f (x B) x A - x B тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. , мөн тэгшитгэлийг y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) гэж бичих ёстой.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секант нь графикийг нүдээр 3 хэсэгт хуваадаг: А цэгийн зүүн талд, А-аас В хүртэл, В-ийн баруун талд. Доорх зургаас харахад давхцсан гэж тооцогддог гурван секант байгааг харуулж байна. ижил төстэй тэгшитгэл.

Тодорхойлолтоор энэ тохиолдолд шулуун шугам ба түүний зүсэлт давхцаж байгаа нь тодорхой байна.

Секант нь өгөгдсөн функцийн графикийг олон удаа огтолж болно. Хэрэв секантын хувьд y = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол синусоидтой огтлолцох цэгүүдийн тоо хязгааргүй болно.

Тодорхойлолт 5

x 0 цэг дээрх f (x) функцийн графикт шүргэгч; f (x 0) нь өгөгдсөн х 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам; f (x 0), х 0-тэй ойролцоо олон x утгатай сегмент байгаа тохиолдолд.

Жишээ 1

Доорх жишээг нарийвчлан авч үзье. Тэгвэл y = x + 1 функцээр тодорхойлогдсон шулууныг координаттай (1; 2) цэг дээр у = 2 х шүргэгч гэж үзэх нь тодорхой байна. Тодорхой болгохын тулд (1; 2) ойролцоо утгатай графикуудыг авч үзэх шаардлагатай. y = 2 x функцийг хараар харуулсан бөгөөд цэнхэр шугам нь шүргэгч шугам, улаан цэг нь огтлолцох цэг юм.

y = 2 x нь y = x + 1 гэсэн шулуунтай нийлдэг нь ойлгомжтой.

Шүргэгчийг тодорхойлохын тулд B цэг нь А цэгт хязгааргүй ойртож байгаа тул бид A B-ийн шүргэгчийн зан төлөвийг авч үзэх хэрэгтэй.

Цэнхэр шугамаар заасан A B секант нь шүргэгчийн байрлал руу чиглэдэг бөгөөд α секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн налуу өнцөгт α x хандлагатай болж эхэлнэ.

Тодорхойлолт 6

А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч нь B нь А руу чиглэх үед A B секантын хязгаарлах байрлал гэж тооцогддог, өөрөөр хэлбэл B → A.

Одоо цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утгыг авч үзье.

f (x) функцийн хувьд A B секантыг авч үзье, энд x 0, f (x 0) ба x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ∆ x координаттай A ба B нь байна. аргументийн өсөлт гэж тэмдэглэсэн. Одоо функц нь ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) хэлбэртэй болно. Тодорхой болгохын тулд зургийн жишээг өгье.

Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье A B C. Бид шийдвэрлэхийн тулд шүргэгчийн тодорхойлолтыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл ∆ y ∆ x = t g α харьцааг олж авна. Шүргэгчийн тодорхойлолтоос харахад lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x байна. Цэг дэх деривативын дүрмийн дагуу бид x 0 цэг дэх f (x) деривативыг функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд энд ∆ x → 0 байна. , тэгвэл бид f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x гэж тэмдэглэнэ.

Эндээс f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, энд k x-ийг шүргэгчийн налуу гэж тэмдэглэнэ.

Өөрөөр хэлбэл, бид f ' (x) нь x 0 цэгт байж болохыг олж мэдсэн бөгөөд шүргэх цэгийн функцийн өгөгдсөн графиктай шүргэгч нь x 0, f 0 (x 0) -тэй тэнцүү байх ба энд -ийн утга цэг дээрх шүргэгчийн налуу нь x 0 цэгийн деривативтай тэнцүү байна. Дараа нь бид k x = f "(x 0) болно.

Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утга нь тухайн цэгт графикт шүргэгч байх тухай ойлголтыг өгдөгт оршино.

Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд түүний өнгөрч буй цэгтэй өнцгийн коэффициент байх шаардлагатай. Түүний тэмдэглэгээг огтлолцол дээр x 0 гэж авна.

x 0, f 0 (x 0) цэгийн y = f (x) функцын графикт шүргэгч тэгшитгэл нь y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) хэлбэрийг авна.

Энэ нь f "(x 0) деривативын эцсийн утга нь lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ба lim x → x 0 - байвал босоо байдлаар шүргэгчийн байрлалыг тодорхойлж чадна гэсэн үг юм. 0 f "(x ) = ∞ эсвэл огт байхгүй lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Шүргэгчийн байрлал нь түүний өнцгийн коэффициентийн утгаас хамаарна k x = f "(x 0). o x тэнхлэгтэй параллель байх үед бид k k = 0, ойролцоогоор y - k x = ∞ параллель байх үед, мөн хэлбэрийг олж авна. x = x 0 шүргэгч тэгшитгэл нь k x > 0 байх тусам нэмэгдэж, k x үед буурна< 0 .

Жишээ 2

(1; 3) координаттай цэгийн y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг зохиож, хазайлтын өнцгийг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын хувьд тодорхойлогддог. (1; 3) нөхцлөөр тодорхойлсон координаттай цэг нь шүргэлтийн цэг, тэгвэл x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 болохыг бид олж мэдэв.

1 гэсэн утгатай цэгээс деривативыг олох шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Шүргэх цэг дэх f' (x) утга нь налуугийн шүргэгчтэй тэнцүү байх шүргэлтийн налуу юм.

Дараа нь k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Эндээс α x = a r c t g 3 3 = π 6 байна

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлээр жишээ өгдөг.

Анхны функцийн графикт хар өнгийг ашигладаг бол цэнхэр өнгө нь шүргэгчийн дүрс, улаан цэг нь шүргэлтийн цэг юм. Баруун талын зураг нь томруулсан зургийг харуулж байна.

Жишээ 3

Өгөгдсөн функцийн графикт шүргэгч байгааг тодорхойл
y = 3 · x - 1 5 + 1 координаттай цэг дээр (1 ; 1) . Тэгшитгэл бичиж, налуу өнцгийг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын мужийг бүх бодит тоонуудын олонлог гэж үзнэ.

Деривативыг олох руугаа явцгаая

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Хэрэв x 0 = 1 бол f' (x) нь тодорхойгүй боловч хязгаарыг lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 гэж бичнэ. · 1 + 0 = + ∞ ба lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ гэсэн утгатай. (1; 1) цэг дээрх орших босоо шүргэгч.

Хариулт:тэгшитгэл нь x = 1 хэлбэртэй байх ба налуугийн өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна.

Тодорхой болгохын тулд үүнийг графикаар дүрсэлье.

Жишээ 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 функцийн график дээрх цэгүүдийг ол.

1. Шүргэгч байхгүй;
2. Тангенс нь x-тэй параллель байна;
3. Шүргэх нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай параллель байна.

Шийдэл

Тодорхойлолтын хамрах хүрээг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогддог. Бид модулийг өргөжүүлж, системийг x ∈ - ∞ интервалаар шийддэг; 2 ба [- 2; + ∞). Бид үүнийг ойлгодог

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Энэ нь функцийг ялгах шаардлагатай байна. Бидэнд тийм байна

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = - 2 үед нэг талт хязгаар нь тухайн үед тэнцүү биш тул дериватив байхгүй болно.

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Бид функцийн утгыг х = - 2 цэг дээр тооцоолж, үүнийг олж авдаг

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, өөрөөр хэлбэл цэг дээрх шүргэгч ( - 2; - 2) байхгүй болно.
2. Налуу тэг байхад шүргэгч нь x-тэй параллель байна. Дараа нь k x = t g α x = f "(x 0). Өөрөөр хэлбэл, функцийн дериватив нь үүнийг тэг болгон хувиргах үед ийм x утгуудыг олох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, f ' утгууд. (x) нь шүргэгч нь x -тэй параллель байх шүргэлтийн цэгүүд болно.

Хэзээ x ∈ - ∞ ; - 2, дараа нь - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, x ∈ (- 2; + ∞) -ийн хувьд бид 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 болно.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Харгалзах функцийн утгыг тооцоол

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 у 2 = у (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 у 3 = у (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 у 4 = у (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Тиймээс - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 нь функцийн графикийн шаардлагатай цэгүүд гэж тооцогддог.

Шийдлийн график дүрслэлийг харцгаая.

Хар шугам нь функцийн график, улаан цэгүүд нь шүргэгч цэгүүд юм.

1. Шулуун параллель байх үед өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна. Дараа нь та функцын график дээр налуу нь 8 5 утгатай тэнцүү байх цэгүүдийг хайх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та y "(x) = 8 5 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь хэрэв x ∈ - ∞; - 2 бол бид - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 болно. 5, хэрэв x ∈ ( - 2 ; + ∞) бол 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 болно.

Дискриминант нь тэгээс бага тул эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй. Үүнийг бичье

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Өөр нэг тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Функцийн утгыг олох руу шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 у 2 = у (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Утгатай оноо - 1; 4 15, 5; 8 3 нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай шүргэгч параллель байх цэгүүд юм.

Хариулт:хар шугам – функцийн график, улаан шугам – у = 8 5 x + 4-ийн график, цэнхэр шугам – цэг дээрх шүргэгч - 1; 4 15, 5; 8 3.

Өгөгдсөн функцүүдийн хувьд хязгааргүй тооны шүргэгч байж болно.

Жишээ 5

y = - 2 x + 1 2 шулуун шугамд перпендикуляр байрлах y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 функцийн боломжтой бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Шүргэх тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл дээр үндэслэн шүргэгч цэгийн коэффициент ба координатыг олох шаардлагатай. Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: шулуун шугамд перпендикуляр байгаа өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь - 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k x · k ⊥ = - 1 гэж бичнэ. Нөхцөлөөс харахад өнцгийн коэффициент нь шулуунд перпендикуляр байрлаж, k ⊥ = - 2-тэй тэнцүү бол k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 байна.

Одоо та мэдрэгчтэй цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй. Өгөгдсөн функцийн хувьд та x, дараа нь түүний утгыг олох хэрэгтэй. Цэг дэх деривативын геометрийн утгаас гэдгийг анхаарна уу
x 0 нь k x = y "(x 0) гэдгийг олж авна. Энэ тэгшитгэлээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг олно.

Бид үүнийг ойлгодог

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 нүгэл 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 син 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ нүгэл 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Энэхүү тригонометрийн тэгшитгэлийг шүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолоход ашиглана.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z нь бүхэл тоонуудын багц юм.

x холбоо барих цэг олдсон. Одоо та y-ийн утгыг хайж эхлэх хэрэгтэй:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 эсвэл y 0 = 3 - 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 эсвэл у 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 эсвэл y 0 = - 4 5 + 1 3

Эндээс бид 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk болохыг олж авна; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 нь шүргэлтийн цэгүүд юм.

Хариулт:шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Үзүүлэн дүрслэхийн тулд координатын шулуун дээрх функц ба шүргэгчийг авч үзье.

Зурагт функц нь [ - 10 ; 10 ], хар шугам нь функцийн график, цэнхэр шугамууд нь y = - 2 x + 1 2 хэлбэрийн өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байрлах шүргэгч юм. Улаан цэгүүд нь мэдрэгчтэй цэгүүд юм.

2-р эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэлүүд нь нэг утгатай функц биш юм. Тэдгээрийн шүргэгч тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй схемийн дагуу эмхэтгэсэн.

Тойрогтой шүргэгч

x c e n t e r цэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлох; y c e n t e r ба R радиустай бол x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 томъёог ашиглана.

Энэ тэгш байдлыг хоёр функцийн нэгдэл хэлбэрээр бичиж болно.

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Эхний функц нь зурагт үзүүлсэн шиг дээд талд, хоёр дахь нь доод талд байрладаг.

x 0 цэг дээрх тойргийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэх; y 0 , дээд буюу доод хагас тойрогт байрладаг бол та y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r эсвэл y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + хэлбэрийн функцийн графикийн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. заасан цэг дээр y c e n t e r.

x c e n t e r цэгүүдэд байх үед; y c e n t e r + R ба x c e n t e r ; y c e n t e r - R шүргэгчийг y = y c e n t e r + R ба y = y c e n t e r - R тэгшитгэлээр, мөн x c e n t e r + R цэгүүдэд өгч болно; y c e n t e r and
x c e n t e r - R ; y c e n t e r нь o y -тэй параллель байх болно, тэгвэл бид x = x c e n t e r + R ба x = x c e n t e r - R хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг олж авна.

Эллипстэй шүргэгч

Эллипс нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r a ба b хагас тэнхлэгтэй бол x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлж болно.

Зууван ба тойрог хоёр функцийг, тухайлбал дээд ба доод хагас эллипсийг хослуулан тэмдэглэж болно. Дараа нь бид үүнийг авдаг

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Хэрэв шүргэгч нь эллипсийн оройн хэсэгт байрладаг бол тэдгээр нь ойролцоогоор х эсвэл ойролцоогоор y параллель байна. Тодорхой болгохын тулд доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Жишээ 6

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 эллипсийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг x = 2-той тэнцүү x утгууд дээр бич.

Шийдэл

x = 2 утгатай тохирох шүргэгч цэгүүдийг олох шаардлагатай. Бид одоо байгаа эллипсийн тэгшитгэлд орлуулж, үүнийг олно

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Дараа нь 2; 5 3 2 + 5 ба 2; - 5 3 2 + 5 нь дээд ба доод хагас эллипсийн шүргэгч цэгүүд юм.

У-д хамаарах эллипсийн тэгшитгэлийг олох, шийдвэрлэхэд шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Мэдээжийн хэрэг, дээд хагас эллипсийг y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, доод хагас эллипс y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 хэлбэрийн функцийг ашиглан тодорхойлсон.

Цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгох стандарт алгоритмыг хэрэглэцгээе. 2-р цэгийн эхний шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье; 5 3 2 + 5 нь иймэрхүү харагдах болно

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ у = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл нь цэг дээрх утгатай болохыг олж мэдэв
2 ; - 5 3 2 + 5 хэлбэрийг авна

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ у = у " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графикийн хувьд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Гиперболын тангенс

Гипербол x c e n t e r цэг дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r ба оройнууд x c e n t e r + α ; y c e n t e r ба x c e n t e r - α ; y c e n t e r, x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгш бус байдал үүснэ, хэрэв оройнууд нь x c e n t e r байвал; y c e n t e r + b ба x c e n t e r ; y c e n t e r - b , дараа нь x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлогдоно.

Гиперболыг хэлбэрийн хоёр хосолсон функцээр илэрхийлж болно

y = b A · (x - x - e n t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e e t e t e t e t e t e e e t e e e e e = - e t e t e e = - x (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Эхний тохиолдолд шүргэгч нь y-тэй параллель, хоёр дахь тохиолдолд x-тэй параллель байна.

Үүнээс үзэхэд гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг олохын тулд шүргэлтийн цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдэх шаардлагатай. Үүнийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлд орлуулж, таних эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Жишээ 7

7-р цэгт x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич; - 3 3 - 3.

Шийдэл

Гиперболыг олохын тулд 2 функц ашиглан шийдлийн бичлэгийг хувиргах шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ба y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

7-р координаттай өгөгдсөн цэг аль функцэд хамаарахыг тодорхойлох шаардлагатай; - 3 3 - 3.

Мэдээжийн хэрэг, эхний функцийг шалгахын тулд y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 шаардлагатай бол цэг нь графикт хамаарахгүй, тэгш байдал хангагдаагүй тул.

Хоёрдахь функцийн хувьд бид y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь тухайн цэг нь өгөгдсөн графикт хамааралтай гэсэн үг юм. Эндээс та налууг олох хэрэгтэй.

Бид үүнийг ойлгодог

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Үүнийг дараах байдлаар тодорхой дүрсэлсэн болно.

Параболын шүргэгч

x 0, y (x 0) цэг дээр y = a x 2 + b x + c параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд та стандарт алгоритмыг ашиглах ёстой, тэгвэл тэгшитгэл нь y = y "(x) хэлбэртэй болно. 0) x - x 0 + y ( x 0) орой дээрх ийм шүргэгч нь x-тэй параллель байна.

Та x = a y 2 + b y + c параболыг хоёр функцийн нэгдэл гэж тодорхойлох ёстой. Тиймээс бид y-ийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графикаар дүрсэлсэн:

x 0, y (x 0) цэг нь функцэд хамаарах эсэхийг мэдэхийн тулд стандарт алгоритмын дагуу зөөлөн ажиллана. Ийм шүргэгч нь параболтай харьцуулахад o y-тэй параллель байх болно.

Жишээ 8

Бид 150 ° шүргэгч өнцөгтэй байх үед x - 2 y 2 - 5 y + 3 графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Бид параболыг хоёр функцээр төлөөлүүлэн шийдлийг эхлүүлнэ. Бид үүнийг ойлгодог

2 у 2 - 5 у + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - х) = 49 - 8 х у = 5 + 49 - 8 х - 4 у = 5 - 49 - 8 х - 4

Налуугийн утга нь энэ функцийн x 0 цэг дэх деривативын утгатай тэнцүү бөгөөд налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Бид авах:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Эндээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг тодорхойлно.

Эхний функцийг дараах байдлаар бичнэ

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Бид сөрөг утгыг авсан болохоор жинхэнэ үндэс байхгүй нь ойлгомжтой. Ийм функцийн хувьд 150 ° өнцөгтэй шүргэгч байхгүй гэж бид дүгнэж байна.

Хоёрдахь функцийг дараах байдлаар бичнэ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Бидэнд байгаа холбоо барих цэгүүд нь 23 4; - 5 + 3 4.

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу