Векторуудын вектор үржвэр гэж юу вэ? Нэгж векторууд

7.1. Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Гурав дахь в векторын төгсгөлөөс эхний а вектороос хоёр дахь в вектор руу хамгийн богино эргэлтийг харах тохиолдолд заасан дарааллаар авсан гурван хуваарьгүй a, b, c векторууд баруун гарт гурвалжин болно. цагийн зүүний эсрэг байх ба зүүн гартай гурвалсан бол цагийн зүүний дагуу (16-р зургийг үз).

a вектор b векторуудын хөндлөн үржвэрийг в вектор в гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд:

1. a ба b векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл c ^ a ба c ^ b ;

2. Энэ нь a ба векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү урттайбталуудын адил (17-р зургийг үз), i.e.

3. a, b, c векторууд нь баруун гарын гурвалсан хэлбэрийг үүсгэдэг.

Хөндлөн үржвэрийг a x b эсвэл [a,b] гэж тэмдэглэнэ. Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь, j Тэгээдк

(18-р зургийг үз):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.Жишээлбэл, үүнийг баталъя

би xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j ; 2) |k |=1, харин | i x j

| = |i | Тэгээд|Ж | sin(90°)=1;

3) i, j ба векторууд

баруун гурвалсан (16-р зургийг үз).

7.2. Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд = -(1. Хүчин зүйлсийг дахин цэгцлэх үед вектор бүтээгдэхүүн тэмдэг өөрчлөгддөг, i.e.).

ба xb =(b xa) (19-р зургийг үз).

a xb ба b xa векторууд нь хоорондоо уялдаатай, ижил модультай (параллелограммын талбай өөрчлөгдөөгүй), харин эсрэг чиглэлд чиглэсэн (a, b, a xb ба a, b, b x a эсрэг чиглэлтэй гурвалсан). Тэр бол ахбб ха б 2. Вектор үржвэр нь скаляр коэффициентийн хувьд нэгтгэх шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). б l >0 гэж үзье. l (a xb) вектор нь a ба b векторуудад перпендикуляр байна. Вектор ( ахбл ахб a) x ахбб ха бмөн a ба векторуудад перпендикуляр байна

(а векторууд, ахбгэхдээ нэг хавтгайд хэвтэх). Энэ нь векторууд гэсэн үг юм ахб(a xb) ба ( ахб<0.

collinear. Тэдний чиглэл давхцаж байгаа нь илт байна. Тэд ижил урттай: бТийм ч учраас<=>(a xb)=

a xb. Үүнийг ижил төстэй байдлаар нотолсон

3. Тэг биш хоёр вектор a ба

(Хэрэв тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэг вектортой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a ||b тохиолдолд л коллинеар байна.ба xb =0. бЯлангуяа i *i =j *j =k *k =0 .

4. Вектор үржвэр нь түгээлтийн шинж чанартай:

7.3. Хөндлөн үржвэрийг координатаар илэрхийлэх

Бид i векторуудын хөндлөн үржвэрийн хүснэгтийг ашиглана. Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь,ба к:

хэрэв эхний вектороос хоёр дахь хүртэлх хамгийн богино замын чиглэл нь сумны чиглэлтэй давхцаж байвал үржвэр нь гурав дахь вектортой тэнцэнэ, хэрэв энэ нь давхцахгүй бол гурав дахь векторыг хасах тэмдгээр авна;

a =a x i +a y хоёр векторыг өгье Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь,+a z Тэгээдба b =b x би+б y Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь,+b z Тэгээд. Эдгээр векторуудын вектор үржвэрийг олон гишүүнт болгон үржүүлэх замаар олъё (вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарын дагуу):

Үр дүнгийн томъёог илүү товчоор бичиж болно:

тэгш байдлын баруун тал (7.1) нь эхний эгнээний элементүүдийн хувьд гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөлтэй тохирч байгаа тул Тэгш байдал (7.2) санахад хялбар.

7.4. Хөндлөн бүтээгдэхүүний зарим хэрэглээ

Векторуудын уялдаа холбоог тогтоох

Параллелограмм ба гурвалжны талбайг олох

Векторуудын вектор үржвэрийн тодорхойлолтын дагуу Аболон б |a xb | =|а | * |b |sin g, өөрөөр хэлбэл S хос = |a x b |. Тиймээс D S =1/2|a x b |.

Нэг цэгийн ойролцоох хүчний моментийг тодорхойлох

А цэг дээр хүч хэрэглэе F =ABорхи ТУХАЙ- орон зайн зарим цэг (20-р зургийг үз).

Энэ нь физикээс мэдэгдэж байна хүчний момент Ф цэгтэй харьцуулахад ТУХАЙвектор гэж нэрлэдэг М,цэгээр дамжин өнгөрдөг ТУХАЙМөн:

1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайд перпендикуляр О, А, Б;

2) нэг гарт ногдох хүчний үржвэртэй тоогоор тэнцүү байна

3) OA ба A B векторуудтай зөв гурвалсан хэлбэрийг үүсгэнэ.

Тиймээс M = OA x F.

Шугаман эргэлтийн хурдыг олох

Хурд vөнцгийн хурдаар эргэдэг хатуу биеийн М цэг wтогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд байх нь Эйлерийн томьёогоор тодорхойлогддог v =w xr, энд r =OM, O нь тэнхлэгийн зарим тогтмол цэг (21-р зургийг үз).

Тодорхойлолт. a вектор (үржүүлэгч) ба коллинеар бус вектор (үржвэр) -ийн вектор үржвэр нь гурав дахь вектор c (бүтээгдэхүүн) бөгөөд дараах байдлаар бүтээгдэнэ.

1) түүний модуль нь Зураг дээрх параллелограммын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна. 155), векторууд дээр баригдсан, өөрөөр хэлбэл энэ нь дурдсан параллелограммын хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй тэнцүү байна;

3) энэ тохиолдолд в векторын чиглэлийг (хоёр боломжит хувилбараас) сонгосон бөгөөд ингэснээр в векторууд нь баруун гартай систем үүсгэдэг (§ 110).

Тэмдэглэл: эсвэл

Тодорхойлолтод нэмэлт. Хэрэв векторууд нь хоорондоо уялдаатай байвал уг зургийг (нөхцөлтөөр) параллелограмм гэж үзвэл тэг талбайг өгөх нь зүйн хэрэг юм. Иймд коллинеар векторуудын вектор үржвэрийг тэг вектортой тэнцүү гэж үзнэ.

Тэг векторыг ямар ч чиглэл өгч болох тул энэхүү гэрээ нь тодорхойлолтын 2, 3-р зүйлтэй зөрчилдөхгүй.

Тайлбар 1. “Вектор үржвэр” гэсэн нэр томьёоны эхний үг нь үйлдлийн үр дүн нь вектор болохыг илтгэнэ (скаляр үржвэрийн эсрэг; § 104, тайлбар 1).

Жишээ 1. Зөв координатын системийн гол векторууд байгаа вектор үржвэрийг ол (Зураг 156).

1. Үндсэн векторуудын урт нь нэг масштабын нэгжтэй тэнцүү тул параллелограммын талбай (квадрат) тоон хувьд нэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь вектор үржвэрийн модуль нэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм.

2. Хавтгайд перпендикуляр нь тэнхлэг тул хүссэн вектор үржвэр нь k вектортой коллинеар вектор болно; аль аль нь модуль 1-тэй тул хүссэн вектор үржвэр нь k эсвэл -k-тэй тэнцүү байна.

3. Эдгээр хоёр боломжит векторуудаас эхнийхийг нь сонгох ёстой, учир нь k векторууд нь баруун гартай систем (мөн векторууд нь зүүн гар) үүсгэдэг.

Жишээ 2. Хөндлөн үржвэрийг ол

Шийдэл. 1-р жишээн дээр бид вектор нь k эсвэл -k-тэй тэнцүү байна гэж дүгнэж байна. Харин одоо векторууд нь баруун гартай системийг (мөн векторууд нь зүүн гартай системийг бүрдүүлдэг) тул бид -k-г сонгох хэрэгтэй. Тэгэхээр,

Жишээ 3. Векторуудын урт нь 80 ба 50 см-тэй тэнцүү бөгөөд 30 ° өнцгийг үүсгэдэг. Тоолуурыг уртын нэгж болгон авч вектор үржвэрийн уртыг ол

Шийдэл. Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай нь тэнцүү байна Хүссэн вектор бүтээгдэхүүний урт нь тэнцүү байна

Жишээ 4. Уртын нэгжээр сантиметрийг авч ижил векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл. Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай тэнцүү тул вектор бүтээгдэхүүний урт нь 2000 см-тэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

3 ба 4-р жишээнүүдийн харьцуулалтаас харахад векторын урт нь хүчин зүйлийн уртаас гадна уртын нэгжийн сонголтоос хамаарна.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга.Вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгдсэн олон тооны физик хэмжигдэхүүнүүдээс бид зөвхөн хүчний моментийг авч үзэх болно.

О цэгтэй харьцуулахад хүч хэрэглэх цэгийг Векторын үржвэр гэж нэрлэнэ. Энэ векторын үржвэр нь параллелограммын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна (Зураг 157). моментийн модуль нь суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хүчийг О цэгээс тухайн хүчний үйлчилж буй шулуун шугам хүртэлх зайгаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Механикийн хувьд хатуу биетийн тэнцвэрт байдлыг хангахын тулд бие махбодод үйлчлэх хүчийг илэрхийлэх векторуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байхаас гадна хүчний моментуудын нийлбэр байх шаардлагатай гэдгийг нотолсон. Бүх хүчнүүд нэг хавтгайд параллель байх тохиолдолд моментуудыг төлөөлөх векторуудыг нэмэх нь тэдгээрийн хэмжээг нэмэх, хасах замаар сольж болно. Гэхдээ хүчний дур зоргоороо чиглэлтэй бол ийм солих боломжгүй юм. Үүний дагуу вектор үржвэрийг тоогоор биш, харин вектороор нарийн тодорхойлдог.

Вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг өгөхийн өмнө гурван хэмжээст орон зайд a →, b →, c → векторуудын дараалсан гурвалсан чиг баримжаа олгох тухай асуулт руу шилжье.

Эхлэхийн тулд a → , b → , c → векторуудыг нэг цэгээс хойш тавья. Гурвалсан a → , b → , c → векторын чиглэл нь c → өөрөөс нь хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно. Гурвалсан a → , b → , c → векторын а → в вектороос b → в → векторын төгсгөлөөс хамгийн богино эргэлт хийх чиглэлээс хамаарч тодорхойлогдоно.

Хэрэв хамгийн богино эргэлтийг цагийн зүүний эсрэг хийвэл a → , b → , c → векторуудын гурвалсан хэсгийг гэнэ. зөв, хэрэв цагийн зүүний дагуу - зүүн.

Дараа нь a → ба b → коллинеар бус хоёр векторыг авна. Дараа нь А цэгээс A B → = a → ба A C → = b → векторуудыг зуръя. A B → болон A C → аль алинд нь нэгэн зэрэг перпендикуляр байх A D → = c → векторыг байгуулъя. Тиймээс, векторыг өөрөө A D → = c → байгуулахдаа бид үүнийг нэг чиглэл эсвэл эсрэгээр нь өгөх хоёр аргаар хийж болно (зураг харна уу).

a → , b → , c → векторуудын дараалсан гурвалсан нь векторын чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно.

Дээрхээс бид вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг танилцуулж болно. Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд энэ тодорхойлолтыг өгсөн болно.

Тодорхойлолт 1

a → ба b → хоёр векторын вектор үржвэр Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон ийм векторыг бид дараах байдлаар нэрлэх болно.

• a → ба b → векторууд нь коллинеар байвал тэг болно;
• a → ​​ вектор ба b векторын аль алинд нь перпендикуляр байх болно → өөрөөр хэлбэл. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• түүний уртыг дараах томъёогоор тодорхойлно: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → векторуудын гурвалсан нь өгөгдсөн координатын системтэй ижил чиглэлтэй байна.

a → ба b → векторуудын вектор үржвэр нь дараах тэмдэглэгээтэй байна: a → × b →.

Вектор бүтээгдэхүүний координатууд

Аливаа вектор координатын системд тодорхой координаттай байдаг тул бид вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг оруулж болох бөгөөд энэ нь векторуудын өгөгдсөн координатыг ашиглан координатыг нь олох боломжийг бидэнд олгоно.

Тодорхойлолт 2

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд a → = (a x ; a y ; a z) ба b → = (b x ; b y ; b z) хоёр векторын вектор үржвэр вектор гэж нэрлэдэг c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , энд i → , j → , k → нь координатын векторууд юм.

Вектор үржвэрийг 3-р эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчоор дүрсэлж болох бөгөөд эхний мөрөнд i → , j → , k → вектор векторууд, хоёр дахь мөрөнд a → векторын координатууд, гурав дахь эгнээнд векторууд багтана. өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх b → векторын координатуудыг агуулна, энэ нь матрицын тодорхойлогч нь дараах байдалтай байна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлбэл бид тэгшитгэлийг олж авна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → b · = a x → → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд

Координат дахь вектор үржвэрийг c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z матрицын тодорхойлогчоор илэрхийлдэг нь мэдэгдэж байна. матриц тодорхойлогчийн шинж чанарууддараахыг харуулав вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ;
2. тархалт a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → эсвэл a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ассоциатив байдал λ a → × b → = λ a → × b → эсвэл a → × (λ b →) = λ a → × b →, энд λ нь дурын бодит тоо юм.

Эдгээр шинж чанарууд нь энгийн нотолгоотой байдаг.

Жишээ болгон бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталж чадна.

Эсрэг солилцооны нотолгоо

Тодорхойлолтоор a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ба b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Хэрэв матрицын хоёр эгнээ солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга эсрэгээр өөрчлөгдөх ёстой тул a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y байна. - b → × a → , энэ нь вектор үржвэрийн эсрэг коммутатив болохыг баталж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл

Ихэнх тохиолдолд гурван төрлийн асуудал гардаг.

Эхний төрлийн бодлогод ихэвчлэн хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгдөг бөгөөд та векторын үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд дараах томъёог ашиглана c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Жишээ 1

a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 гэдгийг мэддэг бол a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл

a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг тодорхойлсноор бид энэ асуудлыг шийднэ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Хариулт: 15 2 2 .

Хоёрдахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын координат, тэдгээрийн векторын бүтээгдэхүүн, түүний урт гэх мэт холбоотой байдаг. өгөгдсөн векторуудын мэдэгдэж буй координатуудаар хайдаг a → = (a x; a y; a z) Тэгээд b → = (b x ; b y ; b z) .

Энэ төрлийн асуудлын хувьд та олон даалгаврын сонголтыг шийдэж чадна. Жишээлбэл, a → ба b → векторуудын координатыг зааж өгөхгүй, харин тэдгээрийн координат вектор хэлбэрт өргөтгөлүүдийг зааж өгч болно. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ба c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, эсвэл a → ба b → векторуудыг тэдгээрийн эхлэлийн координатаар тодорхойлж болно. болон төгсгөлийн цэгүүд.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 2

Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр вектор өгөгдсөн: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл

Хоёр дахь тодорхойлолтоор бид өгөгдсөн координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг олно: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хэрэв бид вектор үржвэрийг матрицын тодорхойлогчоор бичвэл энэ жишээний шийдэл нь дараах байдалтай байна: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хариулт: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Жишээ 3

i → - j → ба i → + j → + k → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол, энд i →, j →, k → тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд байна.

Шийдэл

Эхлээд өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэрийн координатыг олъё.

i → - j → ба i → + j → + k → векторууд (1; - 1; 0) ба (1; 1; 1) координатуудтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Матрицын тодорхойлогчийг ашиглан вектор үржвэрийн уртыг олъё, тэгвэл i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Иймд i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэр нь өгөгдсөн координатын системд (- 1 ; - 1 ; 2) координаттай байна.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг томъёогоор олно (векторын уртыг олох хэсгийг үзнэ үү): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Хариулт: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Жишээ 4

Тэгш өнцөгт декартын координатын системд A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) гэсэн гурван цэгийн координатууд өгөгдсөн. A B → ба A C →-д нэгэн зэрэг перпендикуляр байх векторыг ол.

Шийдэл

A B → ба A C → векторууд нь дараах координатуудтай (- 1 ; 2 ; 2) ба (0 ; 4 ; 1) байна. A B → ба A C → векторуудын вектор үржвэрийг олсноор энэ нь A B → болон A C → аль алинд нь перпендикуляр вектор болох нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл юм. Үүнийг A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → гэж олъё.

Хариулт: - 6 i → + j → - 4 k → . - перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглахад чиглэгддэг. Үүнийг хэрэглэсний дараа бид өгөгдсөн асуудлын шийдлийг олж авах болно.

Жишээ 5

a → ба b → векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → вектор үржвэрийн уртыг ол. + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Шийдэл

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 гэж бичиж болно. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ассоциацийн шинж чанараар бид сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгээс тоон коэффициентүүдийг гаргаж авдаг: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ба b → × b → = b → · b → · sin тул a → × a → ба b → × b → вектор бүтээгдэхүүнүүд 0-тэй тэнцүү байна. 0 = 0, дараа нь 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Вектор бүтээгдэхүүний антикоммутатив байдлаас дараах нь - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → тэгшитгэлийг олж авна.

Нөхцөлөөр a→ ба b → векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна. Одоо үлдсэн бүх зүйл бол олсон утгыг тохирох томъёонд орлуулах явдал юм: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · нүгэл (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Хариулт: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Тодорхойлолтоор векторуудын вектор үржвэрийн урт нь a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → -тэй тэнцүү байна. Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын уртын үржвэрийн хагасыг эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү гэдгийг (сургуулийн хичээлээс) аль хэдийн мэддэг болсон. Үүний үр дүнд вектор бүтээгдэхүүний урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү байна - давхар гурвалжин, тухайлбал а → ба b → вектор хэлбэрээр талуудын үржвэр, синусаар нэг цэгээс тавигдсан. тэдгээрийн хоорондох өнцөг sin ∠ a →, b →.

Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга юм.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга

Физикийн салбаруудын нэг болох механикт вектор бүтээгдэхүүний ачаар та орон зайн цэгтэй харьцуулахад хүчний моментийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 3

А цэгтэй харьцуулахад B цэгт F → үйлчлэх хүчний агшинд бид дараах вектор бүтээгдэхүүн A B → × F → ойлгох болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тодорхойлолт (x 1 , x 2 , ... , x n) n бодит тооны дараалсан цуглуулгыг гэнэ. n хэмжээст вектор, болон тоонууд x i (i =) - бүрэлдэхүүн хэсгүүд,эсвэл координат,

Жишээ. Жишээлбэл, тодорхой автомашины үйлдвэр нь нэг ээлжинд 50 автомашин, 100 ачааны машин, 10 автобус, 50 ​​иж бүрдэл автомашин, 150 иж бүрдэл ачааны машин, автобус үйлдвэрлэх ёстой бол энэ үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн хөтөлбөрийг вектор хэлбэрээр бичиж болно. (50, 100, 10, 50, 150), таван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй.

Тэмдэглэгээ. Векторуудыг тод жижиг үсгээр эсвэл дээд талд нь зураас эсвэл сумтай үсгээр тэмдэглэнэ, жишээлбэл. аэсвэл. Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь ижил тооны бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй бөгөөд тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү бол.

Вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг солих боломжгүй, жишээлбэл, (3, 2, 5, 0, 1)ба (2, 3, 5, 0, 1) өөр векторууд.
Вектор дээрх үйлдлүүд.Ажил x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) бодит тоогоорλ вектор гэж нэрлэдэгλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Дүнx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ба y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) -ийг вектор гэнэ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Вектор орон зай.Н -хэмжээст вектор орон зай Р n нь бодит тоогоор үржүүлэх болон нэмэх үйлдлүүдийг тодорхойлсон бүх n хэмжээст векторуудын олонлогоор тодорхойлогддог.

Эдийн засгийн дүрслэл. n хэмжээст вектор орон зайн эдийн засгийн дүрслэл: барааны орон зай (бараа). Доод барааБид тодорхой газар тодорхой цагт худалдаанд гарсан зарим бараа, үйлчилгээг ойлгох болно. Боломжтой барааны хязгаарлагдмал тоо n байна гэж бодъё; Хэрэглэгчийн худалдаж авсан тэдгээрийн тоо хэмжээг багц барааны хэлбэрээр тодорхойлдог

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

Энд x i нь хэрэглэгчийн худалдан авсан i-р барааны хэмжээг илэрхийлнэ. Бид бүх барааг дур зоргоороо хуваах шинж чанартай гэж үзэх болно, ингэснээр тэдгээрийн аль ч сөрөг бус тоо хэмжээг худалдан авч болно. Дараа нь бүх боломжит барааны багц нь барааны орон зайн векторууд юм C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Шугаман бие даасан байдал. Систем д 1 , д 2 , ... , д m n хэмжээст векторуудыг нэрлэнэ шугаман хамааралтай, хэрэв ийм тоо байгаа болλ 1 , λ 2 , ... , λ м , үүнээс дор хаяж нэг нь тэг биш, ийм тэгш байдалλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ м д m = 0; өөрөөр хэлбэл энэ векторын системийг гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан, өөрөөр хэлбэл заасан тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л боломжтой болно . Векторуудын шугаман хамаарлын геометрийн утга Р 3-ыг чиглэсэн сегмент гэж тайлбарлавал дараах теоремуудыг тайлбарла.

Теорем 1. Нэг вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн энэ вектор тэг байвал шугаман хамааралтай байна.

Теорем 2. Хоёр вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь коллинеар (параллель) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Теорем 3 . Гурван вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай (нэг хавтгайд хэвтэж) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Зүүн ба баруун гурвалсан векторууд. Хавсарсан бус векторуудын гурав дахин a, b, cдуудсан зөв, хэрэв тэдгээрийн нийтлэг гарал үүслийн ажиглагч векторуудын төгсгөлийг тойрч байвал a, b, cөгөгдсөн дарааллаар цагийн зүүний дагуу гарч ирдэг. Үгүй бол a, b, c -гурав үлдсэн. Бүх баруун (эсвэл зүүн) гурвалсан векторууд гэж нэрлэгддэг адилхан чиглэсэн.

Суурь ба координат. Тройка д 1, д 2 , д 3 хуваарьгүй векторууд Р 3 гэж нэрлэдэг суурь, мөн векторууд өөрсдөө д 1, д 2 , д 3 - үндсэн. Аливаа вектор аүндсэн векторууд болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр төлөөлдөг

А= x 1 д 1+x2 д 2 + x 3 д 3, (1.1)

(1.1) өргөтгөлийн x 1 , x 2 , x 3 тоонуудыг дуудна координатуудаүндсэн дээр д 1, д 2 , д 3 ба томилогдсон а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормаль суурь. Хэрэв векторууд д 1, д 2 , д 3 нь хос перпендикуляр бөгөөд тус бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү бол суурь гэж нэрлэдэг. ортонормаль, мөн координатууд x 1 , x 2 , x 3 - тэгш өнцөгт.Ортонормаль суурийн суурь векторуудыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ i, j, k.

Бид үүнийг сансарт гэж таамаглах болно Р 3 Декартын тэгш өнцөгт координатын зөв системийг сонгосон (0, i, j, k}.

Вектор урлагийн бүтээл. Вектор урлагийн бүтээл Авектор руу бвектор гэж нэрлэдэг вдараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогддог.

1. Векторын урт ввекторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тоогоор тэнцүү байна аТэгээд б,өөрөөр хэлбэл
в= |a||b|нүгэл( а^б).

2. Вектор ввектор тус бүрд перпендикуляр байна аТэгээд б.

3. Векторууд а, бТэгээд в, заасан дарааллаар авсан, баруун гурвалсан үүсгэнэ.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний хувьд втэмдэглэгээг танилцуулж байна c =[ab] эсвэл
c = a × б.

Хэрэв векторууд аТэгээд бхоорондоо уялдаатай, дараа нь нүгэл ( a^b) = 0 ба [ ab] = 0, ялангуяа, [ аа] = 0. Нэгж векторын вектор үржвэрүүд: [ ij]=к, [jk] = би, [ки]=j.

Хэрэв векторууд аТэгээд бүндэслэлд заасан i, j, kкоординатууд а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), дараа нь

Холимог ажил. Хэрэв хоёр векторын вектор үржвэр бол АТэгээд бгурав дахь вектороор скаляраар үржүүлсэн в,тэгвэл гурван векторын ийм үржвэрийг нэрлэнэ холимог ажилба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна а б в.

Хэрэв векторууд а, бТэгээд вүндсэн дээр i, j, kтэдгээрийн координатаар өгөгдсөн
а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), в(c 1, c 2, c 3), дараа нь

.

Холимог бүтээгдэхүүн нь энгийн геометрийн тайлбартай байдаг - энэ нь өгөгдсөн гурван вектор дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй үнэмлэхүй утгатай тэнцүү скаляр юм.

Хэрэв векторууд зөв гурвалсан бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь заасан эзэлхүүнтэй тэнцүү эерэг тоо байна; хэрэв гурав бол a, b, c -тэгээд зүүн a b c<0 и V = - a b c, тиймээс V =|a b c|.

Нэгдүгээр бүлгийн асуудалд тулгарсан векторуудын координатыг зөв ортонормаль суурьтай харьцуулсан гэж үзнэ. Нэгж вектор вектортой координат А,тэмдгээр илэрхийлнэ АО. Тэмдэг r=ОММ цэгийн радиус вектороор тэмдэглэгдсэн, a, AB эсвэл тэмдэгтүүд|а|, | AB|векторуудын модулиудыг тэмдэглэв АТэгээд AB.

Жишээ 1.2. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол а= 2м+4nТэгээд б= м-н, Хаана мТэгээд n-нэгж векторууд ба хоорондын өнцөг мТэгээд n 120 o-тай тэнцүү.

Шийдэл. Бидэнд байна: cos φ = ab/аб ab =(2м+4n) (м-н) = 2м 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, энэ нь a = гэсэн үг. b = ; б 2 =
= (м-н)(м-н) = м 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, энэ нь b = гэсэн үг. Эцэст нь бидэнд байна: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Жишээ 1.3.Векторуудыг мэддэг AB(-3,-2.6) ба МЭӨ(-2,4,4),АВС гурвалжны AD өндрийн уртыг тооцоол.

Шийдэл. ABC гурвалжны талбайг S-ээр тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.
S = МЭӨ 1/2. Дараа нь AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, энэ нь вектор гэсэн үг А.С.координаттай
. .

Жишээ 1.4 . Хоёр вектор өгөгдсөн а(11,10,2) ба б(4,0,3). Нэгж векторыг ол в,векторуудад ортогональ аТэгээд бба дараалсан гурвалсан вектор байхаар чиглүүлсэн a, b, cзөв байсан.

Шийдэл.Векторын координатыг тэмдэглэе в x, y, z-ийн хувьд өгөгдсөн зөв ортонормаль суурийн хувьд.

Учир нь в ⊥ а, в ⊥б, Тэр ойролцоогоор= 0,cb= 0. Бодлогын нөхцлийн дагуу c = 1 ба байх шаардлагатай a b c >0.

Бидэнд x,y,z-ийг олох тэгшитгэлийн систем бий: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлээс бид z = -4/3 x, y = -5/6 x-ийг олж авна. Гурав дахь тэгшитгэлд y ба z-г орлуулбал: x 2 = 36/125, эндээс
x =± . Нөхцөлийг ашиглах a b c > 0, бид тэгш бус байдлыг олж авна

z ба y-ийн илэрхийллүүдийг харгалзан бид үүссэн тэгш бус байдлыг 625/6 x > 0 хэлбэрээр дахин бичдэг бөгөөд энэ нь x>0 гэсэн үг юм. Тэгэхээр x = , y = - , z =- .

Нэгж вектор- Энэ вектор, үнэмлэхүй утга (модуль) нь нэгдэлтэй тэнцүү байна. Нэгж векторыг тэмдэглэхийн тулд хэрэв вектор өгөгдсөн бол бид e дэд тэмдгийг ашиглана А, тэгвэл түүний нэгж вектор нь вектор болно А e. Энэ нэгж вектор нь вектортой ижил чиглэлд чиглэнэ А, түүний модуль нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a e = 1 байна.

Мэдээжийн хэрэг, А= a Ад (а - вектор модуль A). Энэ нь скалярыг вектороор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмээс гардаг.

Нэгж векторуудихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа декартын координатын системийн тэнхлэгүүдтэй) холбоотой байдаг. Эдгээрийн чиглэл векторуудхаргалзах тэнхлэгүүдийн чиглэлүүдтэй давхцаж, тэдгээрийн гарал үүсэл нь ихэвчлэн координатын системийн гарал үүсэлтэй нийлдэг.

Үүнийг сануулъя Декартын координатын системорон зайд координатын гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг цэг дээр огтлолцдог харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийн гурвалыг уламжлалт байдлаар нэрлэдэг. Координатын тэнхлэгүүдийг ихэвчлэн X, Y, Z үсгээр тэмдэглэдэг ба тэдгээрийг абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэг, хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Декарт өөрөө зөвхөн нэг тэнхлэгийг ашигласан бөгөөд түүн дээр абсциссуудыг зурсан байв. Ашиглалтын ач тус системүүдсүх нь түүний шавь нарынх. Тиймээс хэллэг Декартын координатын системтүүхэн буруу. Ярилцсан нь дээр тэгш өнцөгт координатын системэсвэл ортогональ координатын систем. Гэсэн хэдий ч бид уламжлалаа өөрчлөхгүй бөгөөд ирээдүйд декартын болон тэгш өнцөгт (ортогональ) координатын системийг нэг бөгөөд ижил гэж үзэх болно.

Нэгж вектор, X тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна би, нэгж вектор, Y тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна j, А нэгж вектор, Z тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна к. Векторууд би, j, кгэж нэрлэдэг орц(Зураг 12, зүүн), тэдгээр нь нэг модультай, өөрөөр хэлбэл
i = 1, j = 1, k = 1.

Тэнхлэг ба нэгж векторууд тэгш өнцөгт координатын системзарим тохиолдолд өөр өөр нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг. Тиймээс абсцисса тэнхлэгийг X шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэж болох бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв τ (Грекийн жижиг үсэг tau), ордны тэнхлэг нь хэвийн тэнхлэг, түүний нэгж векторыг тэмдэглэнэ. n, хэрэглээний тэнхлэг нь хоёр хэвийн тэнхлэг бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв б. Хэрэв мөн чанар нь хэвээр байвал яагаад нэрийг солих ёстой вэ?

Жишээлбэл, механикийн хувьд биеийн хөдөлгөөнийг судлахдаа тэгш өнцөгт координатын системийг ихэвчлэн ашигладаг. Тиймээс хэрэв координатын систем өөрөө хөдөлгөөнгүй бөгөөд хөдөлж буй объектын координатын өөрчлөлтийг энэ суурин системд хянадаг бол ихэвчлэн тэнхлэгүүдийг X, Y, Z гэж тэмдэглэдэг. нэгж векторуудтус тус би, j, к.

Гэхдээ ихэнхдээ объект ямар нэгэн муруй шугамын дагуу (жишээлбэл, тойрог хэлбэрээр) хөдөлж байх үед энэ объекттой хөдөлж буй координатын систем дэх механик процессуудыг авч үзэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Ийм хөдөлгөөнт координатын системд тэнхлэгийн бусад нэр, тэдгээрийн нэгж векторуудыг ашигладаг. Байгаагаараа л байна. Энэ тохиолдолд X тэнхлэг нь энэ объектын одоогийн байрлаж буй цэг дэх траекторийн чиглэлд шүргэгчээр чиглэнэ. Дараа нь энэ тэнхлэгийг X тэнхлэг гэж нэрлэхээ больсон, харин шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэгдэхээ больсон бөгөөд түүний нэгж векторыг тодорхойлохоо больсон. би, А τ . Y тэнхлэг нь траекторийн муруйлтын радиусын дагуу (тойрог доторх хөдөлгөөнтэй бол тойргийн төв рүү) чиглэнэ. Мөн радиус нь шүргэгчтэй перпендикуляр байдаг тул тэнхлэгийг хэвийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг (перпендикуляр ба хэвийн нь ижил зүйл). Энэ тэнхлэгийн нэгж векторыг тэмдэглэхээ больсон j, А n. Гурав дахь тэнхлэг (хуучин Z) нь өмнөх хоёртой перпендикуляр байна. Энэ нь ортой хоёр хэвийн үзэгдэл юм б(Зураг 12, баруун талд). Дашрамд хэлэхэд, энэ тохиолдолд ийм тэгш өнцөгт координатын системихэвчлэн "байгалийн" эсвэл байгалийн гэж нэрлэдэг.