Тэгш эсвэл сондгой функцууд. Тэгш ба сондгой функцүүдийн график

Функцийг тэгш (сондгой) гэж нэрлэдэг ба тэгш байдлын хувьд

.

Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
.

Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Жишээ 6.2.Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг шалгана уу

1)
; 2)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог
. Бид олох болно
.

Тэдгээр.
. Энэ нь энэ функц жигд байна гэсэн үг юм.

2) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог

Тэдгээр.
. Тиймээс энэ функц нь хачирхалтай юм.

3) функц нь тодорхойлогдсон, i.e. Учир нь

,
. Тиймээс функц нь тэгш, сондгой биш юм. Үүнийг ерөнхий хэлбэрийн функц гэж нэрлэе.

3. Нэг хэвийн байдлын функцийг судлах.

Чиг үүрэг
Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцийн том (жижиг) утгатай тохирч байвал тодорхой интервал дээр нэмэгдэх (бууралт) гэж нэрлэгддэг.

Тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж буй (буурсан) функцийг монотон гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функц
интервалаар ялгах боломжтой
мөн эерэг (сөрөг) деривативтай
, дараа нь функц
энэ интервал дээр нэмэгддэг (буурдаг).

Жишээ 6.3. Функцийн монотон байдлын интервалыг ол

1)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог. Деривативыг олцгооё.

Хэрэв дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна
Тэгээд
. Тодорхойлолтын домэйн нь цэгээр хуваагдсан тооны тэнхлэг юм
,
интервалаар. Интервал бүр дэх деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.

Интервалд
дериватив нь сөрөг, функц нь энэ интервал дээр буурдаг.

Интервалд
дериватив эерэг тул энэ интервалд функц нэмэгдэнэ.

2) Хэрэв энэ функц тодорхойлогддог
эсвэл

.

Бид интервал бүрт квадрат гурвалсан тэмдгийг тодорхойлно.

Тиймээс функцийг тодорхойлох домэйн

Деривативыг олцгооё
,
, Хэрэв
, өөрөөр хэлбэл
, Гэхдээ
. Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё
.

Интервалд
дериватив нь сөрөг тул функц нь интервал дээр буурдаг
. Интервалд
дериватив эерэг бол функц нь интервалаар нэмэгддэг
.

4. Экстремум дахь функцийг судлах.

Цэг
функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг
, цэгийн ийм хөрш байгаа бол энэ нь хүн бүрт зориулагдсан
Энэ хөршөөс тэгш бус байдал бий

.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэнэ.

Хэрэв функц
цэг дээр нь экстремумтай бол энэ цэг дэх функцын дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна (экстремум байх зайлшгүй нөхцөл).

Дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.

5. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл.

Дүрэм 1. Шилжилтийн үед (зүүнээс баруун тийш) эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрвөл дериватив
тэмдгийг "+"-ээс "-" болгож, дараа нь цэг дээр өөрчилнө функц
дээд талтай; хэрэв "-" -ээс "+" хүртэл байвал хамгийн бага нь; Хэрэв
тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол экстремум байхгүй болно.

Дүрэм 2. Үүн дээр байя
функцийн анхны дериватив
тэгтэй тэнцүү
, хоёр дахь дериватив нь байгаа бөгөөд тэгээс ялгаатай. Хэрэв
, Тэр – хамгийн дээд цэг, хэрэв
, Тэр – функцийн хамгийн бага цэг.

Жишээ 6.4 . Хамгийн их ба хамгийн бага функцуудыг судлах:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Шийдэл.

1) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
.

Деривативыг олцгооё
тэгшитгэлийг шийднэ
, өөрөөр хэлбэл
.Эндээс
- чухал цэгүүд.

Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.
.

Цэгээр дамжин өнгөрөх үед
Тэгээд
Дериватив тэмдэг нь "-"-ээс "+" болж өөрчлөгддөг тул дүрмийн 1-ийн дагуу
- хамгийн бага оноо.

Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг
- хамгийн дээд цэг.

,
.

2) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервалд тасралтгүй байна
. Деривативыг олцгооё
.

Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
, бид олох болно
Тэгээд
- чухал цэгүүд. Хэрэв хуваагч бол
, өөрөөр хэлбэл
, тэгвэл дериватив байхгүй болно. Тэгэхээр,
- гурав дахь чухал цэг. Деривативын тэмдгийг интервалаар тодорхойлъё.

Тиймээс функц нь цэг дээр хамгийн бага утгатай байна
, оноогоор дээд тал нь
Тэгээд
.

3) Функц нь тодорхойлогдсон ба тасралтгүй байвал
, өөрөөр хэлбэл цагт
.

Деривативыг олцгооё

.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Цэгүүдийн хөршүүд
тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй тул тэдгээр нь хэт туйлшрал биш юм. Тиймээс, чухал цэгүүдийг авч үзье
Тэгээд
.

4) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
. 2-р дүрмийг ашиглая. Деривативыг ол
.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Хоёр дахь деривативыг олъё
цэгүүд дээр түүний тэмдгийг тодорхойлно

Цэгүүд дээр
функц хамгийн бага байна.

Цэгүүд дээр
функц нь дээд талтай.

Тэр ч байтугай функц.

Тэр ч байтугайтэмдэг өөрчлөгдөхөд тэмдэг нь өөрчлөгддөггүй функц юм x.

xтэгш байдал хадгалагдана е(–x) = е(x). Гарын үсэг зурах xтэмдэгт нөлөөлөхгүй y.

Тэгш функцийн график нь координатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна (Зураг 1).

Тэгш функцийн жишээ:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Тайлбар:
Функцийг авч үзье y = x 2 эсвэл y = –x 2 .
Аливаа үнэ цэнийн хувьд xфункц эерэг байна. Гарын үсэг зурах xтэмдэгт нөлөөлөхгүй y. График нь координатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Энэ бол тэгш функц юм.

Хачирхалтай функц.

Хачирхалтайтэмдэг өөрчлөгдөхөд тэмдэг нь өөрчлөгддөг функц юм x.

Өөрөөр хэлбэл аливаа үнэ цэнийн хувьд xтэгш байдал хадгалагдана е(–x) = –е(x).

Сондгой функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна (Зураг 2).

Хачирхалтай функцүүдийн жишээ:

y= нүгэл x

y = x 3

y = –x 3

Тайлбар:

y = – функцийг авч үзье. x 3 .
Бүх утга цагтЭнэ нь хасах тэмдэгтэй болно. Энэ бол шинж тэмдэг юм xтэмдэгт нөлөөлдөг y. Хэрэв бие даасан хувьсагч эерэг тоо бол функц эерэг, бие даасан хувьсагч сөрөг тоо байвал функц сөрөг байна. е(–x) = –е(x).
Функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Энэ бол хачирхалтай функц юм.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн шинж чанарууд:

ЖИЧ:

Бүх функцууд тэгш эсвэл сондгой байдаггүй. Ийм зэрэглэлд захирагддаггүй функцүүд байдаг. Жишээлбэл, root функц цагт = √Xтэгш эсвэл сондгой функцэд хамаарахгүй (Зураг 3). Ийм функцүүдийн шинж чанарыг жагсаахдаа тохирох тайлбарыг өгөх ёстой: тэгш эсвэл сондгой биш.

Тогтмол функцууд.

Та бүхний мэдэж байгаагаар үе үе гэдэг нь тодорхой процессуудын тодорхой интервалаар давтагдах явдал юм. Эдгээр үйл явцыг дүрсэлсэн функцуудыг нэрлэдэг үечилсэн функцууд. Өөрөөр хэлбэл эдгээр нь графикуудад тодорхой тоон интервалаар давтагдах элементүүд байдаг функцууд юм.

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.

Зорилтууд:

• тэгш, сондгой функцийн тухай ойлголтыг томъёолох, функцийг судлах, график байгуулахдаа эдгээр шинж чанарыг тодорхойлох, ашиглах чадварыг заах;
• сурагчдын бүтээлч үйл ажиллагаа, логик сэтгэлгээ, харьцуулах, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх;
• шаргуу хөдөлмөр, математикийн соёлыг төлөвшүүлэх; харилцааны ур чадварыг хөгжүүлэх .

Тоног төхөөрөмж:мультимедиа суурилуулалт, интерактив самбар, тараах материал.

Ажлын хэлбэрүүд:эрэл хайгуул, судалгааны үйл ажиллагааны элементүүдтэй фронт болон бүлэг.

Мэдээллийн эх сурвалжууд:

1. Алгебр 9-р анги А.Г.Мордкович. Сурах бичиг.
2. Алгебр 9-р анги А.Г.Мордкович. Асуудлын ном.
3. Алгебр 9-р анги. Оюутны сурах, хөгжүүлэх даалгавар. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ

1. Зохион байгуулалтын мөч

Хичээлийн зорилго, зорилтуудыг тодорхойлох.

2. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна

No 10.17 (9-р ангийн бодлогын ном. А.Г. Мордкович).

A) цагт = е(X), е(X) =

б) е (–2) = –3; е (0) = –1; е(5) = 69;

в) 1. D( е) = [– 2; + ∞)
2. E( е) = [– 3; + ∞)
3. е(X) = 0 үед X ~ 0,4
4. е(X) >0 цагт X > 0,4 ; е(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Функц нь нэмэгддэг X € [– 2; + ∞)
6. Функц нь доороос хязгаарлагддаг.
7. цагт naim = – 3, цагтнаиб байхгүй
8. Функц нь тасралтгүй.

(Та функцийг судлах алгоритм ашигласан уу?) Слайд.

2. Слайд дээрээс асуусан хүснэгтийг шалгацгаая.

Хүснэгтийг бөглөнө үү
	Тодорхойлолтын домэйн	Функцийн тэг	Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд		Графикийн ойтой огтлолцох цэгүүдийн координатууд
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Мэдлэгийг шинэчлэх

- Функцуудыг өгсөн.
– Функц тус бүрийн тодорхойлолтын хамрах хүрээг зааж өгнө.
– 1 ба – 1 гэсэн хос аргументын утгуудын функц бүрийн утгыг харьцуулна уу; 2 ба - 2.
– Тодорхойлолтын талбар дахь эдгээр функцүүдийн алинд нь тэгш байдал нийцэж байна е(– X) = е(X), е(– X) = – е(X)? (Хүснэгтэд олж авсан өгөгдлийг оруулна уу) Слайд

4. Шинэ материал

– Залуус аа, энэ ажлыг хийж байхдаа бид функцын өөр нэг шинж чанарыг олж мэдсэн бөгөөд энэ нь танд танил бус боловч бусдаас дутахааргүй чухал юм - энэ бол функцийн тэгш, сондгой байдал юм. Хичээлийн сэдвийг бичнэ үү: "Тэгш ба сондгой функцууд", бидний даалгавар бол функцийн тэгш ба сондгой байдлыг тодорхойлж сурах, функцийг судлах, график зурахад энэ өмчийн ач холбогдлыг олж мэдэх явдал юм.
Ингээд сурах бичгээс тодорхойлолтуудыг олж уншъя (х. 110) . Слайд

Def. 1Чиг үүрэг цагт = е (X), X олонлог дээр тодорхойлогдсон гэж нэрлэдэг бүр, хэрэв ямар нэгэн үнэ цэнийн хувьд XЄ X гүйцэтгэгдэнэ тэгш байдал f(–x)= f(x). Жишээ хэлнэ үү.

Def. 2Чиг үүрэг у = f(x), X олонлог дээр тодорхойлогдсон гэж нэрлэдэг хачин, хэрэв ямар нэгэн үнэ цэнийн хувьд XЄ X f(–х)= –f(х) тэгш байдал биелнэ. Жишээ хэлнэ үү.

Бид "тэгш" ба "сондгой" гэсэн нэр томъёог хаана олж мэдсэн бэ?
Эдгээр функцүүдийн аль нь тэгш байх болно гэж та бодож байна уу? Яагаад? Аль нь хачирхалтай вэ? Яагаад?
Маягтын аль ч функцийн хувьд цагт= x n, Хаана n– бүхэл тоо, функц нь хэзээ сондгой байна гэж маргаж болно n– сондгой, функц нь тэгш байх үед n- бүр.
- Функцуудыг харах цагт= ба цагт = 2X– 3 нь тэгш, сондгой ч биш, учир нь тэгш байдал хангагдаагүй байна е(– X) = – е(X), е(– X) = е(X)

Функц тэгш, сондгой эсэхийг судлахыг функцийг паритетийн судалгаа гэж нэрлэдэг.Слайд

1 ба 2-р тодорхойлолтуудад бид x ба – x гэсэн функцийн утгуудын тухай ярьж байсан тул функц нь мөн утгаараа тодорхойлогддог гэж таамаглаж байна. X, мөн дээр - X.

Тодорхойлолт 3.Хэрэв тоон олонлог нь х элемент бүрийн хамт эсрэг талын –x элементийг агуулж байвал олонлог болно. Xтэгш хэмтэй олонлог гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) нь тэгш хэмтэй олонлогууд ба , [–5;4] нь тэгш бус олонлогууд юм.

– Функцууд ч гэсэн тэгш хэмтэй олонлог болох тодорхойлолтын мужтай байдаг уу? Хачирхалтай нь?
– Хэрэв D( е) нь тэгш бус олонлог юм, тэгвэл функц нь юу вэ?
– Тиймээс хэрэв функц цагт = е(X) – тэгш эсвэл сондгой бол түүний тодорхойлолтын домэйн D( е) нь тэгш хэмтэй олонлог юм. Эсрэг заалт үнэн үү: хэрэв функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгш хэмтэй олонлог бол энэ нь тэгш эсвэл сондгой юу?
– Энэ нь тодорхойлолтын домэйны тэгш хэмтэй олонлог байх нь зайлшгүй нөхцөл боловч хангалттай биш гэсэн үг юм.
– Тэгэхээр та функцийг паритетыг хэрхэн шалгах вэ? Алгоритм бүтээхийг хичээцгээе.

Слайд

Паритетийн функцийг судлах алгоритм

1. Функцийн тодорхойлолтын муж тэгш хэмтэй эсэхийг тодорхойл. Хэрэв тийм биш бол функц тэгш, сондгой биш байна. Хэрэв тийм бол алгоритмын 2-р алхам руу очно уу.

2. төлөө илэрхийлэл бич е(–X).

3. Харьцуулах е(–X).Мөн е(X):

• Хэрэв е(–X).= е(X), тэгвэл функц тэгш байна;
• Хэрэв е(–X).= – е(X), функц нь сондгой;
• Хэрэв е(–X) ≠ е(X) Мөн е(–X) ≠ –е(X), тэгвэл функц нь тэгш, сондгой биш байна.

Жишээ нь:

a) функцийг паритетийн хувьд шалгана уу цагт= x 5 +; б) цагт= ; V) цагт= .

Шийдэл.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), тэгш хэмтэй олонлог.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => функц h(x)= x 5 + сондгой.

б) y =,

цагт = е(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), тэгш бус олонлог бөгөөд энэ нь функц нь тэгш, сондгой биш гэсэн үг юм.

V) е(X) =, y = f (x),

1) D( е) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Сонголт 2

1. Өгөгдсөн олонлог тэгш хэмтэй байна уу: a) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Харилцан шалгах слайд.

6. Гэрийн даалгавар: №11.11, 11.21,11.22;

Паритет шинж чанарын геометрийн утгын баталгаа.

***(Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбарыг томилох).

1. y = f(x) сондгой функц нь бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогддог. Х хувьсагчийн сөрөг бус утгын хувьд энэ функцийн утга нь g( функцийн утгатай давхцдаг. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( функцийн утгыг ол. X) = цагт X = 3.

7. Дүгнэж байна

Тодорхойлолт 1. Функцийг дуудна бүр (хачин ), хэрэв хувьсагч бүрийн утгатай хамт
утга - Xмөн харьяалагддаг
мөн тэгш байдал хадгалагдана

Тиймээс функц нь зөвхөн тоон шулуун дээрх координатын гарал үүслийн талбарт тэгш хэмтэй байвал функц нь тэгш эсвэл сондгой байж болно. XТэгээд - Xнэгэн зэрэг харьяалагддаг
). Жишээлбэл, функц
тодорхойлолтын домэйн тул тэгш, сондгой ч биш
гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй биш.

Чиг үүрэг
тэр ч байтугай, учир нь
гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй ба.

Чиг үүрэг
хачин, учир нь
Тэгээд
.

Чиг үүрэг
тэгш, сондгой биш, учир нь хэдий ч
ба гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй, тэгш хэм (11.1) хангагдахгүй. Жишээлбэл,.

Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна Өө, учир нь цэг бол

мөн хуваарьт хамаарна. Сондгой функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна, учир нь if
графикт, дараа нь цэгт хамаарна
мөн хуваарьт хамаарна.

Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг батлахдаа дараах хэллэгүүд хэрэг болно.

Теорем 1. a) Хоёр тэгш (сондгой) функцийн нийлбэр нь тэгш (сондгой) функц байна.

б) Хоёр тэгш (сондгой) функцийн үржвэр нь тэгш функц юм.

в) Тэгш ба сондгой функцийн үржвэр нь сондгой функц байна.

г) Хэрэв е– багц дээр жигд ажиллах X, болон функц g багц дээр тодорхойлсон
, дараа нь функц
- бүр.

г) Хэрэв е– багц дээрх сондгой функц X, болон функц g багц дээр тодорхойлсон
ба тэгш (сондгой), дараа нь функц
- тэгш (сондгой).

Баталгаа. Жишээлбэл, b) ба d) -ийг баталцгаая.

б) зөвшөөр
Тэгээд
- жигд функцууд. Тиймээс, тэгвэл. Хачирхалтай функцүүдийн тохиолдлыг ижил төстэй байдлаар авч үздэг
Тэгээд
.

г) зөвшөөрөх е тэгш функц юм. Дараа нь.

Теоремын үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй аргаар баталж болно. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 2. Аливаа функц
, багц дээр тодорхойлсон X, гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй, тэгш, сондгой функцүүдийн нийлбэрээр дүрслэгдэж болно.

Баталгаа. Чиг үүрэг
хэлбэрээр бичиж болно

.

Чиг үүрэг
- тэр ч байтугай, учир нь
, болон функц
- хачин, учир нь. Тиймээс,
, Хаана
- тэгш, ба
- сондгой функцууд. Теорем нь батлагдсан.

Тодорхойлолт 2. Үйл ажиллагаа
дуудсан үе үе , хэрэв дугаар байгаа бол
, ямар ч гэсэн ийм
тоо
Тэгээд
мөн тодорхойлолтын домэйнд хамаарна
мөн тэгш байдал хангагдсан байна

Ийм тоо Тдуудсан хугацаа функцууд
.

Тодорхойлолт 1-ээс үзвэл хэрэв Т- функцийн хугацаа
, дараа нь тоо - ТҮүнтэй адил функцийн хугацаа юм
(солих үеэс хойш Тдээр - Ттэгш байдал хадгалагдана). Математик индукцийн аргыг ашиглан үүнийг харуулж болно, хэрэв Т- функцийн хугацаа е, дараа нь
, мөн үе юм. Үүнээс үзэхэд функц нь үетэй бол хязгааргүй олон үетэй байдаг.

Тодорхойлолт 3. Функцийн эерэг үеүүдийн хамгийн бага хэсгийг түүнийх гэнэ гол хугацаа.

Теорем 3. Хэрэв Т- үйл ажиллагааны үндсэн үе е, тэгвэл үлдсэн үеүүд нь түүний үржвэр болно.

Баталгаа. Эсрэгээр нь, өөрөөр хэлбэл, үе байдаг гэж үзье функцууд е (>0), олон биш Т. Дараа нь хуваах дээр Түлдсэнийг нь бид авна
, Хаана
. Тийм ч учраас

тэр нь - функцийн хугацаа е, ба
, мөн энэ нь үнэнтэй зөрчилдөж байна Т- үйл ажиллагааны үндсэн үе е. Теоремын мэдэгдэл нь үүссэн зөрчилдөөнөөс үүдэлтэй. Теорем нь батлагдсан.

Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг гэдгийг сайн мэддэг. Үндсэн үе
Тэгээд
тэнцүү байна
,
Тэгээд
. Функцийн үеийг олъё
. Болъё
- энэ функцийн хугацаа. Дараа нь

(учир нь
.

ор
.

Утга Т, эхний тэгшитгэлээс тодорхойлогддог нь хугацаа байж болохгүй, учир нь энэ нь хамаарна X, өөрөөр хэлбэл -ийн функц юм X, мөн тогтмол тоо биш. Хугацаа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс тодорхойлогддог.
. Хязгааргүй олон үе байдаг, хамт
үед хамгийн бага эерэг үеийг авдаг
:
. Энэ бол үйл ажиллагааны үндсэн үе юм
.

Илүү төвөгтэй үечилсэн функцын жишээ бол Дирихлегийн функц юм

гэдгийг анхаарна уу ТЭнэ нь рационал тоо юм
Тэгээд
рационалын хувьд рационал тоонууд Xмөн үндэслэлгүй үед иррациональ X. Тийм ч учраас

дурын рационал тооны хувьд Т. Тиймээс аливаа оновчтой тоо Тнь Дирихлегийн функцийн үе юм. Энэ функц нь үндсэн үегүй нь тодорхой байна, учир нь дур мэдэн тэгтэй ойролцоо эерэг рационал тоонууд байдаг (жишээлбэл, рационал тоог сонгох замаар хийж болно. nдур мэдэн тэгтэй ойролцоо).

Теорем 4. Хэрэв функц е багц дээр тодорхойлсон Xмөн хугацаатай Т, болон функц g багц дээр тодорхойлсон
, дараа нь нарийн төвөгтэй функц
бас үетэй Т.

Баталгаа. Тиймээс бидэнд байгаа

өөрөөр хэлбэл теоремын илэрхийлэл батлагдсан байна.

Жишээлбэл, оноос хойш cos x хугацаатай
, дараа нь функцууд
хугацаатай
.

Тодорхойлолт 4. Тогтмол бус функцийг дуудна үе үе бус .

Нэвтрүүлгийг нуух

Функцийг тодорхойлох аргууд

Функцийг y=2x^(2)-3 томъёогоор өгье. Бие даасан x хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн утгыг өгснөөр та энэ томьёог ашиглан хамааралтай хувьсагчийн y-ийн харгалзах утгуудыг тооцоолж болно. Жишээлбэл, хэрэв x=-0.5 бол томьёог ашиглан y-ийн харгалзах утга нь y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 болохыг олж мэднэ.

y=2x^(2)-3 томьёоны х аргументаар авсан дурын утгыг авч үзвэл түүнд тохирох функцийн зөвхөн нэг утгыг тооцоолж болно. Функцийг хүснэгт хэлбэрээр илэрхийлж болно:

Энэ хүснэгтийг ашигласнаар −1 аргументын утгын хувьд −3 функцийн утга тохирно гэдгийг харж болно; x=2 утга нь y=0 гэх мэт утгатай тохирно. Хүснэгт дэх аргументын утга бүр нь зөвхөн нэг функцийн утгатай тохирч байгааг мэдэх нь бас чухал юм.

График ашиглан илүү олон функцийг тодорхойлж болно. График ашиглан функцийн аль утга нь тодорхой x утгатай хамааралтай болохыг тогтооно. Ихэнхдээ энэ нь функцийн ойролцоо утгатай байх болно.

Тэгш ба сондгой функц

Функц нь жигд функц, тодорхойлолтын мужаас дурын х-д f(-x)=f(x) байх үед. Ийм функц нь Oy тэнхлэгт тэгш хэмтэй байх болно.

Функц нь сондгой функц, тодорхойлолтын мужаас дурын х-д f(-x)=-f(x) байх үед. Ийм функц нь O (0;0) гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байх болно.

Функц нь бүр биш, сонин бишгэж нэрлэдэг ерөнхий функц, тэнхлэг болон гарал үүслийн талаар тэгш хэмгүй байх үед.

Паритын хувьд дараах функцийг авч үзье.

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) гарал үүсэлтэй харьцангуй тэгш хэмтэй тодорхойлолтын мужтай. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Энэ нь f(x)=3x^(3)-7x^(7) сондгой гэсэн үг.

Тогтмол функц

Ямар ч х-д f(x+T)=f(x-T)=f(x) тэгш байдал хангагдсан мужид y=f(x) функцийг гэнэ. үечилсэн функцТ үетэй \neq 0 .

T урттай х тэнхлэгийн аль ч сегмент дээр функцийн графикийг давтах.

Функц эерэг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл f(x) > 0 нь абсцисса тэнхлэгээс дээш байрлах функцийн графикийн цэгүүдэд тохирох абсцисса тэнхлэгийн сегментүүд юм.

f(x) > 0 асаалттай (x_(1); x_(2)) \аяга (x_(3); +\infty)

Функц сөрөг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \аяга (x_(2); x_(3))

Хязгаарлагдмал функц

Доороос нь хязгаарласанЯмар ч x \in X-д f(x) \geq A тэнцэхгүй байх А тоо байгаа тохиолдолд y=f(x), x \in X функцийг дуудах нь заншилтай байдаг.

Доороос хязгаарлагдсан функцийн жишээ: y=\sqrt(1+x^(2)) учир дурын x хувьд y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 байна.

Дээрээс нь хязгаарласан y=f(x), x \in X функцийг X-ийн дурын x-д f(x) \neq B тэнцэхгүй байх В тоо байгаа тохиолдолд дуудна.

Доор хязгаарлагдсан функцийн жишээ: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]учир нь y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 нь дурын x \in [-1;1] .

Хязгаарлагдмал\left | тэгш бус байдал үүсэх K > 0 тоо байх үед y=f(x), x \in X функцийг дуудах заншилтай. f(x)\right | \neq K нь дурын x \in X .

Хязгаарлагдмал функцийн жишээ: y=\sin x нь бүх тооны тэнхлэгт хязгаарлагдмал, учир нь \left | \sin x \right | \nq 1.

Өсөх, буурах функц

гэж авч үзэж буй интервал дээр нэмэгддэг функцийг ярих нь заншилтай байдаг функцийг нэмэгдүүлэхтэгвэл x-ийн том утга нь y=f(x) функцийн том утгатай тохирч байвал. Эндээс үзэхэд x_(1) ба x_(2) аргументын дурын хоёр утгыг авч үзэж буй интервалаас x_(1) > x_(2) байвал үр дүн нь y(x_(1)) > болно. у(x_(2)).

Харгалзан үзэж буй интервал дээр буурдаг функцийг дуудна буурах функц x-ийн том утга нь y(x) функцийн бага утгатай тохирч байвал. Эндээс харахад x_(1) ба x_(2) аргументын дурын хоёр утгыг авч үзэх интервалаас x_(1) > x_(2) байвал үр дүн нь y(x_(1)) болно.< y(x_{2}) .

Функцийн үндэс F=y(x) функц абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (тэдгээрийг y(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэж олно) гэж нэрлэдэг заншилтай.

a) Хэрэв x > 0-ийн хувьд тэгш функц нэмэгдэх бол x-ийн хувьд буурна< 0

b) Тэгш функц x > 0 үед буурах үед x үед нэмэгдэнэ< 0

в) Сондгой функц x > 0 үед нэмэгдэхэд x үед мөн нэмэгдэнэ< 0

d) Сондгой функц x > 0-д буурахад x-ийн хувьд мөн буурна< 0

Функцийн экстремум

Функцийн хамгийн бага цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөршүүд нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) > f тэгш бус байдал нь тэг болно. сэтгэл хангалуун (x_(0)) . y_(min) - мин цэг дэх функцийн тэмдэглэгээ.

Функцийн хамгийн дээд цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөрш нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) тэгш бус байдал хангагдана.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Урьдчилсан нөхцөл

Фермагийн теоремоор: x_(0) цэг дээр дифференциал болох f(x) функц энэ цэг дээр экстремумтай байх үед f"(x)=0 байна.

Хангалттай нөхцөл

1. Дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжих үед x_(0) нь хамгийн бага цэг болно;
2. x_(0) - хөдөлгөөнгүй x_(0) цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү шилжих үед л хамгийн их цэг байх болно.

Интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Тооцооллын алхамууд:

1. f"(x) деривативыг хайж байна;
2. Функцийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэгүүдийг олж, сегментэд хамаарахыг сонгоно;
3. f(x) функцийн утгууд нь сегментийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэг, төгсгөлд олддог. Хүлээн авсан үр дүн нь бага байх болно функцийн хамгийн бага утга, ба түүнээс дээш - хамгийн том.