ДАВТАТ БА ФРАКЦИЙН ИТГЭЛИЙН ИНТЕРВАЛ

© 2008

Нийгмийн эрүүл мэндийн үндэсний хүрээлэн, Осло, Норвеги

Уг нийтлэлд Уолд, Вилсон, Клоппер - Пирсон аргуудыг ашиглан давтамж ба пропорцын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох, өнцгийн хувиргалт, Вальдын аргыг Агрести - Колл залруулга ашиглан тайлбарлаж, авч үзсэн болно. Энэхүү материал нь давтамж, пропорцын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргуудын талаархи ерөнхий мэдээллийг өгдөг бөгөөд сэтгүүл уншигчдын өөрсдийн судалгааны үр дүнг танилцуулахдаа итгэх интервал ашиглахаас гадна ажил эхлэхийн өмнө тусгай ном зохиол унших сонирхлыг бий болгох зорилготой юм. ирээдүйн хэвлэлүүд дээр.

Түлхүүр үгс: итгэлийн интервал, давтамж, пропорц

Өмнөх нийтлэлүүдийн нэг нь чанарын өгөгдлийн тайлбарыг товч дурдаж, тэдгээрийн интервалын тооцоолол нь популяцид судалж буй шинж чанарын илрэлийн давтамжийг тодорхойлох цэгийн тооцооноос илүү тохиромжтой гэж мэдээлсэн. Үнэн хэрэгтээ, судалгааг түүврийн өгөгдлийг ашиглан хийдэг тул үр дүнг популяцид үзүүлэх проекц нь түүвэрлэлтийн тодорхой бус байдлын элементийг агуулсан байх ёстой. Итгэлийн интервал нь тооцоолж буй параметрийн нарийвчлалын хэмжүүр юм. Эмч нарт зориулсан үндсэн статистикийн талаархи зарим номууд давтамжийн итгэлцлийн интервалын сэдвийг бүрэн үл тоомсорлодог нь сонирхолтой юм. Энэ нийтлэлд бид давтамжийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэд хэдэн аргыг авч үзэх болно, энэ нь давтагдахгүй байх, төлөөлөх чадвар, түүнчлэн ажиглалтын бие биенээсээ хараат бус байдал зэрэг түүврийн шинж чанарыг илтгэнэ. Энэ өгүүлэлд давтамж гэдэг нь тодорхой утга нь нийлбэрт хэдэн удаа тохиолдохыг харуулсан үнэмлэхүй тоо биш, харин судалж буй шинж чанар илэрч буй судалгаанд оролцогчдын эзлэх хувийг тодорхойлдог харьцангуй утга гэж ойлгодог.

Биоанагаахын судалгаанд 95% итгэлийн интервалыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэхүү итгэлцлийн интервал нь тухайн үеийн 95%-д жинхэнэ хувь хэмжээ унадаг талбар юм. Өөрөөр хэлбэл, популяцид шинж тэмдгийн илрэлийн давтамжийн жинхэнэ утга нь 95% -ийн итгэлцлийн интервал дотор байна гэж бид 95% найдвартай хэлж чадна.

Анагаах ухааны судлаачдад зориулсан статистикийн ихэнх гарын авлагад давтамжийн алдааг томъёогоор тооцдог гэж мэдээлдэг

Энд p нь түүвэр дэх шинж чанарын илрэлийн давтамж (0-ээс 1 хүртэлх утга). Ихэнх дотоодын шинжлэх ухааны нийтлэлүүд нь дээж (p) дахь шинж чанарын илрэлийн давтамж, түүнчлэн түүний алдаа (s) -ийг p ± s хэлбэрээр илэрхийлдэг. Гэсэн хэдий ч популяцид шинж тэмдгийн илрэлийн давтамжийн 95% -ийн итгэлцлийн интервалыг өгөх нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнд дараах утгыг багтаасан болно.

өмнө.

Зарим гарын авлагад жижиг дээжийн хувьд 1.96-ийн утгыг N - 1 зэрэглэлийн эрх чөлөөний хувьд t-ийн утгаар солихыг зөвлөж байна, энд N нь түүвэр дэх ажиглалтын тоо юм. t утгыг бараг бүх статистикийн сурах бичигт байдаг t тархалтын хүснэгтээс олно. Вальдын аргын хувьд t-ийн тархалтыг ашиглах нь доор авч үзсэн бусад аргуудтай харьцуулахад мэдэгдэхүйц давуу талыг өгдөггүй тул зарим зохиогчид үүнийг зөвлөдөггүй.

Давтамж эсвэл пропорцын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох дээр дурдсан аргыг 1939 онд Вальд, Вольфовиц нарын бүтээл хэвлэгдсэний дараа өргөн дэлгэр хэрэглэж эхэлсэн тул Абрахам Вальдын (1902-1950) хүндэтгэлд зориулж Валд гэж нэрлэсэн. Гэсэн хэдий ч энэ аргыг 1812 онд Пьер Саймон Лаплас (1749-1827) санал болгосон.

Wald арга нь маш их алдартай боловч түүний хэрэглээ нь ихээхэн бэрхшээлтэй холбоотой байдаг. Энэ аргыг жижиг түүврийн хэмжээтэй, түүнчлэн шинж чанарын илрэлийн давтамж 0 эсвэл 1 (0% эсвэл 100%) хандлагатай байдаг ба 0 ба 1 давтамжийн хувьд боломжгүй тохиолдолд хэрэглэхийг зөвлөдөггүй. алдааг тооцоолоход ашигладаг хэвийн тархалтын ойролцоо тооцоолол нь n · p тохиолдолд "ажиллахгүй"< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

Шинэ хувьсагч хэвийн тархалттай тул φ хувьсагчийн 95%-ийн итгэлийн интервалын доод ба дээд хязгаар нь φ-1.96 ба φ+1.96зүүн"> байх болно.

Жижиг дээжийн хувьд 1.96-ийн оронд t утгыг N – 1 эрх чөлөөний градусаар солихыг зөвлөж байна. Энэ арга нь сөрөг утгыг үүсгэдэггүй бөгөөд Вальдын аргаас илүү давтамжийн итгэлийн интервалыг илүү нарийвчлалтай тооцоолох боломжийг олгодог. Нэмж дурдахад энэ нь эмнэлгийн статистикийн талаархи дотоодын олон лавлах номонд дурдсан байдаг боловч энэ нь анагаах ухааны судалгаанд өргөн хэрэглэгддэггүй. 0 эсвэл 1-д ойртох давтамжийн хувьд өнцгийн хувиргалтыг ашиглан итгэлцлийн интервалыг тооцоолохыг зөвлөдөггүй.

Анагаах ухааны судлаачдад зориулсан статистикийн үндэсийн талаархи ихэнх номнуудад итгэх интервалыг тооцоолох аргуудын тайлбар энд төгсдөг бөгөөд энэ асуудал нь зөвхөн дотоодын төдийгүй гадаадын уран зохиолын хувьд ч нийтлэг байдаг. Хоёр арга хоёулаа их хэмжээний түүврийг илэрхийлдэг төв хязгаарын теорем дээр суурилдаг.

Дээрх аргуудыг ашиглан итгэлцлийн интервалыг тооцоолоход учир дутагдалтай байгааг харгалзан Клоппер, Пирсон нар 1934 онд судалж буй шинж чанарын хоёртын тархалтыг харгалзан яг итгэлийн интервал гэж нэрлэгддэг аргыг санал болгосон. Энэ аргыг олон тооны онлайн тооцоолуур дээр ашиглах боломжтой боловч энэ аргаар олж авсан итгэлийн интервал нь ихэнх тохиолдолд хэтэрхий өргөн байдаг. Үүний зэрэгцээ консерватив үнэлгээ шаардлагатай тохиолдолд энэ аргыг хэрэглэхийг зөвлөж байна. Аргын консерватив байдлын зэрэг нь түүврийн хэмжээ буурах тусам нэмэгддэг, ялангуяа N< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

Олон статистикчдийн үзэж байгаагаар давтамжийн итгэлийн интервалын хамгийн оновчтой үнэлгээг 1927 онд санал болгосон Вилсоны аргаар хийдэг боловч дотоодын биоанагаахын судалгаанд бараг ашиглагдаагүй байна. Энэ арга нь маш жижиг болон маш том давтамжийн аль алиных нь итгэлийн интервалыг тооцоолох боломжийг олгодог төдийгүй цөөн тооны ажиглалтад ч хэрэг болно. Ерөнхийдөө Вилсоны томъёоны дагуу итгэх интервал нь хэлбэртэй байна

95% -ийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолохдоо 1.96 утгыг авдаг бол N нь ажиглалтын тоо, p нь түүвэрт шинж чанарын илрэлийн давтамж юм. Энэ аргыг онлайн тооцоолуур дээр ашиглах боломжтой тул ашиглах нь асуудал биш юм. мөн энэ аргыг n p-д хэрэглэхийг зөвлөдөггүй< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Вилсоны аргаас гадна Агрести-Коллын залруулга бүхий Вальдын арга нь давтамжийн итгэлийн интервалын оновчтой тооцооллыг өгдөг гэж үздэг. Агрести-Колл залруулга нь түүвэр дэх шинж чанарын илрэлийн давтамжийг Вальдын томьёо дахь (p) p`-ээр солих бөгөөд тооцоолохдоо тоологч дээр 2, хуваарьт 4 нэмэгдэхийг тооцоолоход, өөрөөр хэлбэл, p` = (X + 2) / (N + 4), X нь судалж буй шинж чанарыг агуулсан судалгаанд оролцогчдын тоо, N нь түүврийн хэмжээ юм. Энэ өөрчлөлт нь үйл явдлын давтамж 0% эсвэл 100% ойртож, дээж бага байхаас бусад тохиолдолд Вилсоны томъёотой маш төстэй үр дүнг гаргадаг. Давтамжийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолох дээрх аргуудаас гадна жижиг дээжийн хувьд Wald болон Wilson аргуудын аль алинд нь тасралтгүй байдлын засварыг санал болгосон боловч судалгаанаас үзэхэд тэдгээрийг ашиглах нь зохисгүй юм.

Хоёр жишээ ашиглан итгэлцлийн интервалыг тооцоолох дээрх аргуудын хэрэглээг авч үзье. Эхний тохиолдолд бид санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон 1000 судалгаанд оролцогчдын томоохон түүврийг судалж, тэдгээрийн 450 нь судалж буй шинж чанартай (энэ нь эрсдэлт хүчин зүйл, үр дүн эсвэл бусад шинж чанар байж болно) 0.45 эсвэл 45 давтамжтай байдаг. %. Хоёрдахь тохиолдолд судалгааг жижиг түүвэр, жишээ нь ердөө 20 хүн, зөвхөн 1 судалгаанд оролцогч (5%) нь судалж буй шинж чанарыг ашиглан хийдэг. Уолдын арга, Агрести-Коллын залруулга бүхий Вальдын арга, Вилсоны аргыг ашиглан итгэлцлийн интервалыг Жефф Саурогийн (http://www. /wald. htm) боловсруулсан онлайн тооны машин ашиглан тооцоолсон. Вилсоны тасралтгүй байдлын залруулсан итгэлийн интервалыг Wassar Stats: Statistical Computation вэбсайтаас (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html) өгсөн тооны машиныг ашиглан тооцоолсон. Өнцгийн Фишерийн хувиргалтын тооцоог 19 ба 999 градусын эрх чөлөөний чухал t утгыг ашиглан гараар хийсэн. Тооцооллын үр дүнг хоёр жишээн дээр хүснэгтэд үзүүлэв.

Текстэд тайлбарласан хоёр жишээний хувьд итгэлцлийн интервалыг зургаан өөр аргаар тооцоолсон

Хүснэгтээс харахад эхний жишээн дээр "ерөнхийдөө хүлээн зөвшөөрөгдсөн" Вальдын аргыг ашиглан тооцоолсон итгэлцлийн интервал нь сөрөг мужид ордог бөгөөд энэ нь давтамжийн хувьд байж болохгүй. Харамсалтай нь Оросын уран зохиолд ийм тохиолдол цөөнгүй гардаг. Өгөгдлийг давтамж, алдааны хувьд үзүүлэх уламжлалт арга нь энэ асуудлыг хэсэгчлэн далдалдаг. Жишээлбэл, шинж тэмдгийн илрэлийн давтамжийг (хувийн хувьд) 2.1 ± 1.4 гэж харуулсан бол энэ нь 2.1% (95% CI: -0.7; 4.9) шиг "нүдэнд халдсан" биш юм. адилхан зүйл. Агрести-Коллын залруулга, өнцгийн хувиргалтыг ашиглан тооцоолсон Вальдын арга нь доод хязгаарыг тэг рүү чиглүүлдэг. Вилсоны тасралтгүй байдлыг зассан арга ба "яг арга" нь Вилсоны аргаас илүү өргөн итгэлийн интервалыг үүсгэдэг. Хоёрдахь жишээний хувьд, бүх аргууд нь ойролцоогоор ижил итгэлийн интервалыг өгдөг (ялгаа нь зөвхөн мянганы нэгээр илэрдэг) бөгөөд энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь энэ жишээн дээрх үйл явдлын давтамж нь 50% -иас тийм ч их ялгаатай биш бөгөөд түүврийн хэмжээ нь нэлээд том.

Энэ асуудлыг сонирхож буй уншигчдад бид R. G. Newcombe болон Brown, Cai, Dasgupta нарын итгэлийн интервалыг тооцоолох 7 ба 10 өөр аргыг ашиглахын давуу болон сул талуудыг харуулсан бүтээлүүдийг санал болгож болно. Дотоодын гарын авлагуудаас бид онолын нарийвчилсан тайлбараас гадна Уолд, Вилсон нарын аргуудыг танилцуулсан ном, мөн бином давтамжийн тархалтыг харгалзан итгэлийн интервалыг тооцоолох аргыг санал болгож байна. Үнэгүй онлайн тооны машинуудаас (http://www. /wald. htm болон http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html) гадна давтамжийн итгэлцлийн интервалыг (зөвхөн биш!) ашиглан тооцоолж болно. Тагнуулын төв газрын хөтөлбөр ( Confidence Intervals Analysis) -ийг http://www. анагаахын сургууль. сотон. ac. uk/cia/ .

Дараагийн өгүүллээр чанарын өгөгдлийг харьцуулах нэг хувьсах аргуудыг авч үзэх болно.

Ном зүй

ХҮРЭЭНИЙ ИТГЭЛИЙН ИНТЕРВАЛ

А. М.Гржибовский

Нийгмийн эрүүл мэндийн үндэсний хүрээлэн, Осло, Норвеги

Уг өгүүлэлд дуран пропорцын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэд хэдэн аргыг танилцуулж байна, тухайлбал Уолд, Вилсон, арксин, Агрести-Коул, Клоппер-Пирсоны аргууд. Уг нийтлэлд хоёр тоот пропорцын итгэлийн интервалын үнэлгээний асуудлын талаархи ерөнхий танилцуулгыг өгсөн бөгөөд түүний зорилго нь уншигчдыг өөрсдийн эмпирик судалгааны үр дүнг танилцуулахдаа итгэлийн интервал ашиглахад түлхэц өгөх төдийгүй статистикийн номноос лавлахыг уриалах явдал юм. өөрийн өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийх, гар бичмэл бэлтгэхээс өмнө.

Түлхүүр үгс: итгэлийн интервал, пропорц

Холбогдох мэдээлэл:

– Нийгмийн эрүүл мэндийн үндэсний хүрээлэнгийн ахлах зөвлөх, Осло, Норвеги

Итгэлийн интервал ( Англи Итгэлийн интервалууд) өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд тооцдог статистикт хэрэглэгддэг интервалын тооцооллын нэг хэлбэр. Эдгээр нь популяцийн үл мэдэгдэх статистик үзүүлэлтийн жинхэнэ утга нь сонгосон статистикийн ач холбогдлын түвшингээр тодорхойлогддог магадлал бүхий утгын хүрээнд байгаа гэсэн мэдэгдлийг хийх боломжийг бидэнд олгодог.

Хэвийн тархалт

Өгөгдлийн олонлогийн дисперс (σ 2) мэдэгдэж байгаа үед z-оноо нь итгэлийн хязгаарыг (итгэлийн интервалын төгсгөлийн цэгүүд) тооцоолоход ашиглаж болно. T-тархалтыг ашиглахтай харьцуулахад z оноог ашиглах нь зөвхөн илүү нарийссан итгэлийн интервалыг төдийгүй хүлээгдэж буй утга ба стандарт хазайлтын (σ) илүү найдвартай тооцооллыг бий болгох боломжийг олгоно, учир нь z-оноо нь дараах үзүүлэлт дээр суурилдаг. хэвийн тархалт.

Томъёо

Мэдээллийн олонлогийн стандарт хазайлт мэдэгдэж байгаа тохиолдолд итгэлцлийн интервалын хилийн цэгүүдийг тодорхойлохын тулд дараах томъёог ашиглана.

Жишээ

Түүврийн хэмжээ 25 ажиглалт, түүврийн хүлээгдэж буй утга 15, популяцийн стандарт хазайлт 8 байна гэж үзье. α=5%-ийн ач холбогдлын түвшний хувьд Z-оноо Z α/2 =1.96 байна. Энэ тохиолдолд итгэлцлийн интервалын доод ба дээд хязгаарууд байх болно

Тиймээс бид 95% магадлалтайгаар хүн амын математикийн хүлээлт 11.864-18.136 хооронд буурна гэж хэлж болно.

Итгэлийн интервалыг нарийсгах аргууд

Бидний судалгааны зорилгод хүрэхийн тулд хүрээ хэтэрхий өргөн байна гэж бодъё. Итгэлийн интервалын хүрээг багасгах хоёр арга бий.

1. Статистикийн ач холбогдлын түвшинг бууруулах α.
2. Түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлэх.

Статистикийн ач холбогдлын түвшинг α=10% болгон бууруулснаар Z α/2 =1.64-тэй тэнцүү Z-оноо гарна. Энэ тохиолдолд интервалын доод ба дээд хилүүд байх болно

Мөн итгэлийн интервалыг өөрөө ингэж бичиж болно

Энэ тохиолдолд бид 90% -ийн магадлалтайгаар популяцийн математикийн хүлээлт хязгаарт багтах болно гэж таамаглаж болно.

Хэрэв бид α статистикийн ач холбогдлын түвшинг бууруулахгүй байхыг хүсч байвал түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлэх нь цорын ганц хувилбар юм. Үүнийг 144 ажиглалт болгон нэмэгдүүлснээр бид итгэлийн хязгаарын дараах утгыг олж авна

Итгэлийн интервал нь өөрөө дараах хэлбэртэй байна

Тиймээс статистикийн ач холбогдлын түвшинг бууруулахгүйгээр итгэлийн интервалыг нарийсгах нь түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлэх замаар л боломжтой юм. Хэрэв түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлэх боломжгүй бол статистикийн ач холбогдлын түвшинг бууруулах замаар л итгэлийн интервалыг нарийсгаж болно.

Хэвийн хэмжээнээс өөр тархалтын итгэлийн интервалыг байгуулах

Хэрэв популяцийн стандарт хазайлт тодорхойгүй эсвэл тархалт нь хэвийн хэмжээнээс өөр байвал t-тархалтыг ашиглан итгэлцлийн интервалыг байгуулна. Энэ техник нь Z оноо дээр суурилсан техниктэй харьцуулахад илүү их итгэлийн интервалаар илэрхийлэгддэг илүү консерватив юм.

Томъёо

Итгэлийн интервалын доод ба дээд хязгаарыг t-тархалтад үндэслэн тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Оюутны тархалт эсвэл t-тархалт нь зөвхөн нэг параметрээс хамаардаг - эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо, энэ нь атрибутын бие даасан утгуудын тоо (түүвэр дэх ажиглалтын тоо) -тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн тооны эрх чөлөөний зэрэг (n) болон статистикийн ач холбогдлын түвшин α-ийн Оюутны t-тестийн утгыг лавлах хүснэгтээс харж болно.

Жишээ

Түүврийн хэмжээ нь 25 бие даасан утга, түүврийн хүлээгдэж буй утга 50, түүврийн стандарт хазайлт 28 байна гэж үзье. Статистикийн ач холбогдлын α=5% -ийн итгэлцлийн интервалыг байгуулах шаардлагатай.

Манай тохиолдолд эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо 24 (25-1) байдаг тул Статистикийн ач холбогдлын түвшний α=5%-ийн Студентийн t тестийн харгалзах хүснэгтийн утга нь 2.064 байна. Тиймээс итгэлийн интервалын доод ба дээд хязгаарууд байх болно

Мөн интервалыг өөрөө хэлбэрээр бичиж болно

Тиймээс хүн амын математикийн хүлээлт 95% -ийн магадлалтай гэж хэлж болно.

t тархалтыг ашиглах нь статистикийн ач холбогдлыг багасгах эсвэл түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлэх замаар итгэлийн интервалыг нарийсгах боломжийг олгодог.

Бидний жишээн дэх статистикийн ач холбогдлыг 95% -иас 90% болгон бууруулснаар бид Оюутны t-тестийн харгалзах хүснэгтийн утгыг 1.711-ийг олж авна.

Энэ тохиолдолд 90% -ийн магадлалаар хүн амын математикийн хүлээлт хязгаарт байна гэж бид хэлж чадна.

Хэрэв бид статистикийн ач холбогдлыг бууруулахыг хүсэхгүй байгаа бол түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлэх нь цорын ганц хувилбар юм. Энэ нь жишээний анхны нөхцөл шиг 25 биш харин 64 бие даасан ажиглалт гэж үзье. 63 зэрэглэлийн эрх чөлөөний (64-1) Оюутны t тестийн хүснэгтийн утга, статистикийн ач холбогдлын түвшин α=5% 1.998 байна.

Энэ нь 95% -ийн магадлалаар хүн амын математикийн хүлээлт хязгаарт байх болно гэж хэлэх боломжийг бидэнд олгодог.

Том дээж

Том түүвэр гэдэг нь бие даасан ажиглалтын тоо 100-аас давсан өгөгдлийн популяциас авсан түүврийг хэлнэ. Статистикийн судалгаагаар популяцийн тархалт хэвийн бус байсан ч том түүврүүд хэвийн тархалттай байдгийг статистик судалгаагаар тогтоосон. Үүнээс гадна ийм дээжийн хувьд z оноо ба t-тархалтыг ашиглах нь итгэлцлийн интервалыг байгуулахад ойролцоогоор ижил үр дүнг өгдөг. Тиймээс том түүврийн хувьд t-тархалтын оронд хэвийн тархалтад z-оноо ашиглахыг зөвшөөрнө.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

Итгэлийн интервалууд.

Итгэлийн интервалын тооцоолол нь харгалзах параметрийн дундаж алдаа дээр суурилдаг. Итгэлийн интервал Тооцоолсон параметрийн бодит үнэ цэнэ (1-a) магадлалын хүрээнд ямар хязгаарт багтаж байгааг харуулна. Энд a нь ач холбогдлын түвшин, (1-a) -ийг итгэлийн магадлал гэж бас нэрлэдэг.

Эхний бүлэгт бид жишээ нь арифметик дундажийн хувьд нийт тохиолдлын 95%-д нь жинхэнэ популяцийн дундаж нь дундажийн 2 стандарт алдааны дотор байгааг харуулсан. Ийнхүү дундаж утгын 95%-ийн итгэлийн интервалын хилийг түүврийн дунджаас дундаж утгын дундаж алдаанаас хоёр дахин их хэмжээгээр тусгаарлана, өөрөөр хэлбэл. бид итгэлийн түвшнээс хамааран дундажийн дундаж алдааг тодорхой коэффициентоор үржүүлнэ. Дундаж болон дунджийн зөрүүний хувьд Оюутны коэффициент (Оюутны тестийн эгзэгтэй утга), хувьцааны хувь ба зөрүүний хувьд z шалгуурын критик утгыг авна. Коэффициент ба дундаж алдааны үржвэрийг өгөгдсөн параметрийн хамгийн их алдаа гэж нэрлэж болно, i.e. үүнийг үнэлэх үед бидний олж авах хамгийн дээд хэмжээ.

Итгэлийн интервал Арифметик дундаж : .

Энд жишээ дундаж байна;

Арифметик дундажийн дундаж алдаа;

с -дээжийн стандарт хазайлт;

n

f = n-1 (Оюутны коэффициент).

Итгэлийн интервал арифметик дундажийн ялгаа :

Түүврийн дундаж хоорондын ялгаа энд байна;

- арифметик дундажийн зөрүүний дундаж алдаа;

s 1 , s 2 -дээжийн стандарт хазайлт;

n1, n2

Өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин a болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор Оюутны тестийн эгзэгтэй утга f=n 1 +n 2-2 (Оюутны коэффициент).

Итгэлийн интервал хувьцаа :

.

Энд d нь түүврийн бутархай;

- дундаж бутархай алдаа;

n– түүврийн хэмжээ (бүлгийн хэмжээ);

Итгэлийн интервал хувьцааны зөрүү :

Энд жишээ хувьцааны ялгаа байна;

– арифметик дундажийн зөрүүний дундаж алдаа;

n1, n2– дээжийн хэмжээ (бүлгийн тоо);

Өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд z шалгуурын эгзэгтэй утга a ( , , ).

Шалгуур үзүүлэлтүүдийн зөрүүний итгэлцлийн интервалыг тооцоолсноор бид нэгдүгээрт, зөвхөн түүний цэгийн тооцоог бус нөлөөллийн боломжит утгыг шууд хардаг. Хоёрдугаарт, бид тэг таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл үгүйсгэх талаар дүгнэлт хийж болно, гуравдугаарт, туршилтын хүч чадлын талаар дүгнэлт хийж болно.

Итгэлийн интервал ашиглан таамаглалыг шалгахдаа дараах дүрмийг баримтлах ёстой.

Хэрэв дундаж утгын зөрүүний 100(1-а) хувийн итгэлцлийн интервал нь тэгийг агуулаагүй бол ялгаа нь ач холбогдлын а түвшинд статистикийн ач холбогдолтой; эсрэгээр, хэрэв энэ интервал нь тэгийг агуулж байвал ялгаа нь статистикийн хувьд ач холбогдолтой биш юм.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв энэ интервал нь тэгтэй байвал харьцуулж буй үзүүлэлт нь нөгөө бүлэгтэй харьцуулахад аль нэг бүлэгт их эсвэл бага байж болно гэсэн үг юм. ажиглагдсан ялгаа нь тохиолдлоос үүдэлтэй.

Туршилтын хүчийг итгэлийн интервал доторх тэгийн байршлаар шүүж болно. Хэрэв тэг нь интервалын доод эсвэл дээд хязгаарт ойрхон байвал илүү олон тооны бүлгийг харьцуулж үзвэл ялгаа нь статистикийн ач холбогдолтой болно. Хэрэв тэг нь интервалын дунд ойрхон байвал энэ нь туршилтын бүлгийн үзүүлэлтийн өсөлт, бууралт хоёулаа адилхан магадлалтай бөгөөд магадгүй үнэхээр ялгаа байхгүй гэсэн үг юм.

Жишээ нь:

Хоёр өөр төрлийн мэдээ алдуулалтыг хэрэглэх үед мэс заслын нас баралтыг харьцуулахын тулд: 61 хүн нэгдүгээр төрлийн мэдээ алдуулалтаар хагалгаанд орж, 8 хүн нас барж, хоёрдугаар төрлийн 67 хүн, 10 хүн нас баржээ.

d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

Харьцуулсан аргуудын үхлийн ялгаа нь 100(1-a) = 95% магадлалтай (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) эсвэл (-0.14; 0.104) хооронд байх болно. Интервал нь тэгийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. Хоёр өөр төрлийн мэдээ алдуулалттай адил нас баралтын таамаглалыг үгүйсгэх аргагүй.

Тиймээс нас баралтын түвшин 14% хүртэл буурч, 95% -ийн магадлалтайгаар 10.4% хүртэл өсөх болно, өөрөөр хэлбэл. тэг нь ойролцоогоор интервалын дунд байдаг тул эдгээр хоёр арга нь үхлийн хувьд үнэхээр ялгаатай биш гэж маргаж болно.

Өмнө дурьдсан жишээн дээр шалгалтын оноогоор ялгаатай дөрвөн бүлгийн оюутнуудад товших тестийн үед дарах дундаж хугацааг харьцуулсан. Шалгалтанд 2 ба 5-р дүнгээр тэнцсэн оюутнуудын даралтын дундаж хугацааны итгэлцлийн интервал болон эдгээр дунджийн зөрүүний итгэлийн интервалыг тооцоолъё.

Оюутны коэффициентийг Оюутны хуваарилалтын хүснэгтийг ашиглан олно (хавсралтыг үзнэ үү): эхний бүлгийн хувьд: = t(0.05;48) = 2.011; хоёр дахь бүлгийн хувьд: = t(0.05;61) = 2.000. Тиймээс эхний бүлгийн итгэлцлийн интервал: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), хоёр дахь бүлгийн хувьд (156.55- 2,000*1.88 ; 156.85.*) 160.3). Тиймээс шалгалтыг 2-оор өгсөн хүмүүсийн хувьд дарах дундаж хугацаа 95% -ийн магадлалтайгаар 157.8 мс-ээс 166.6 мс, 5-д тэнцсэн хүмүүсийн хувьд - 152.8 мс-ээс 160.3 мс хооронд 95% магадлалтай байна. .

Та мөн тэг таамаглалыг зөвхөн дундаж утгуудын зөрүүгээр бус харин итгэлцлийн интервал ашиглан шалгаж болно. Жишээлбэл, манай тохиолдолд, хэрэв утгуудын итгэлийн интервалууд давхцаж байвал тэг таамаглалыг үгүйсгэх аргагүй юм. Сонгосон ач холбогдлын түвшинд таамаглалыг үгүйсгэхийн тулд харгалзах итгэлийн интервалууд давхцаж болохгүй.

Шалгалтанд 2 ба 5-р үнэлгээтэй тэнцсэн бүлгүүдийн даралтын дундаж хугацааны зөрүүний итгэлцлийн интервалыг олъё. Дундажын зөрүү: 162.19 – 156.55 = 5.64. Оюутны коэффициент: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. Бүлгийн стандарт хазайлт нь дараахтай тэнцүү байна: ; . Бид дундажийн зөрүүний дундаж алдааг тооцоолно: . Итгэлийн интервал: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

Тэгэхээр шалгалтанд 2 ба 5 оноо авсан бүлгүүдийн даралтын дундаж хугацааны зөрүү нь -0,044 мс-ээс 11,33 мс хооронд байх болно. Энэ интервалд тэг орно, өөрөөр хэлбэл. Шалгалтанд сайн тэнцсэн хүмүүсийн даралтын дундаж хугацаа шалгалтанд хангалтгүй тэнцсэн хүмүүстэй харьцуулахад нэмэгдэж эсвэл буурч болно, жишээлбэл. тэг таамаглалыг үгүйсгэх боломжгүй. Гэхдээ тэг нь доод хязгаарт ойрхон байгаа бөгөөд сайн давсан хүмүүсийн хувьд дарах хугацаа багасах магадлал өндөр байдаг. Тиймээс бид 2 ба 5-ыг давсан хүмүүсийн даралтын дундаж хугацааны ялгаа байсаар байгаа бөгөөд дундаж хугацааны өөрчлөлт, дундаж хугацааны тархалт, түүврийн хэмжээ зэргээс шалтгаалан бид тэдгээрийг илрүүлж чадаагүй гэж дүгнэж болно.

Туршилтын хүч нь буруу тэг таамаглалыг үгүйсгэх магадлал, i.e. хаана байгаа ялгааг олох.

Туршилтын хүчийг ач холбогдлын түвшин, бүлгүүдийн хоорондох ялгааны хэмжээ, бүлэг дэх утгын тархалт, дээжийн хэмжээ зэргээс хамаарч тодорхойлно.

Оюутны t тест болон дисперсийн шинжилгээнд мэдрэмжийн диаграммыг ашиглаж болно.

Шалгуурын хүчийг шаардлагатай тооны бүлгийг урьдчилан тодорхойлоход ашиглаж болно.

Итгэлийн интервал нь өгөгдсөн магадлалаар тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга ямар хязгаарт багтаж байгааг харуулдаг.

Итгэлийн интервалыг ашиглан та статистик таамаглалыг шалгаж, шалгуур үзүүлэлтийн мэдрэмжийн талаар дүгнэлт хийж болно.

Уран зохиол.

Гланз С. – Бүлэг 6,7.

Реброва О.Ю. – х.112-114, х.171-173, х.234-238.

Сидоренко Е.В. – х.32-33.

Оюутнуудын өөрийгөө шалгах асуултууд.

1. Шалгуурын хүч нь юу вэ?

2. Ямар тохиолдолд шалгуур үзүүлэлтийн хүчийг үнэлэх шаардлагатай вэ?

3. Эрчим хүчийг тооцоолох арга.

6. Итгэлийн интервал ашиглан статистик таамаглалыг хэрхэн шалгах вэ?

7. Итгэлийн интервалыг тооцоолохдоо шалгуур үзүүлэлтийн хүчийг юу гэж хэлж болох вэ?

Даалгаврууд.

Ихэнхдээ үнэлгээчин нь тухайн үл хөдлөх хөрөнгийн зах зээлд дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай болдог. Хэрэв зах зээл хөгжсөн бол танилцуулсан объектуудыг бүхэлд нь шинжлэхэд хүндрэлтэй байж болох тул дүн шинжилгээ хийхэд объектын дээжийг ашигладаг. Энэ дээж нь үргэлж нэг төрлийн байдаггүй; Энэ зорилгоор үүнийг ашигладаг итгэлийн интервал. Энэхүү судалгааны зорилго нь итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хоёр аргын харьцуулсан дүн шинжилгээ хийж, estimatica.pro систем дэх өөр өөр дээжтэй ажиллахдаа оновчтой тооцоолох хувилбарыг сонгох явдал юм.

Итгэлийн интервал гэдэг нь түүврийн үндсэн дээр тооцоолсон шинж чанарын утгуудын интервал бөгөөд энэ нь мэдэгдэж буй магадлалаар ерөнхий популяцийн тооцоолсон параметрийг агуулдаг.

Итгэмжлэлийн интервалыг тооцоолох гол зорилго нь түүврийн өгөгдөл дээр үндэслэн ийм интервалыг байгуулах бөгөөд ингэснээр тооцоолсон параметрийн утга энэ интервалд байгаа эсэхийг өгөгдсөн магадлалаар хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл итгэлийн интервал нь тодорхой магадлал бүхий тооцоолсон утгын үл мэдэгдэх утгыг агуулна. Интервал илүү өргөн байх тусам алдаа их байх болно.

Итгэлийн интервалыг тодорхойлох өөр өөр аргууд байдаг. Энэ нийтлэлд бид 2 аргыг авч үзэх болно.

• дундаж ба стандарт хазайлтаар;
• t-статистикийн чухал утгаар (Оюутны коэффициент).

CI-ийг тооцоолох янз бүрийн аргуудын харьцуулсан шинжилгээний үе шатууд:

1. өгөгдлийн дээжийг бүрдүүлэх;

2. бид үүнийг статистикийн аргуудыг ашиглан боловсруулдаг: дундаж утга, медиан, дисперс гэх мэтийг тооцдог;

3. итгэлийн интервалыг хоёр аргаар тооцоолох;

4. цэвэрлэсэн дээж болон үр дүнд нь итгэх интервалд дүн шинжилгээ хийнэ.

Үе шат 1. Өгөгдлийн түүвэрлэлт

Түүврийг estimatica.pro системийг ашиглан үүсгэсэн. Түүвэрт “Хрущев” маягийн зохион байгуулалттай 3-р үнийн бүсэд 1 өрөө орон сууц худалдах 91 саналыг оруулсан.

Хүснэгт 1. Анхны дээж

Зураг 1. Анхны дээж

Үе шат 2. Анхны дээжийг боловсруулах

Статистикийн аргыг ашиглан дээжийг боловсруулахын тулд дараахь утгыг тооцоолох шаардлагатай.

1. Арифметик дундаж

2. Медиан - түүврийг тодорхойлох тоо: түүврийн элементүүдийн яг тал хувь нь голчоос их, нөгөө тал нь голчоос бага байна.

(сондгой тооны утга бүхий дээжийн хувьд)

3. Хүрээ - дээж дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгын зөрүү

4. Variance - өгөгдлийн өөрчлөлтийг илүү нарийвчлалтай тооцоолоход ашигладаг

5. Түүврийн стандарт хазайлт (цаашид - SD) нь арифметик дундажийн эргэн тойронд тохируулгын утгуудын тархалтын хамгийн түгээмэл үзүүлэлт юм.

6. Вариацын коэффициент - тохируулгын утгуудын тархалтын зэргийг илэрхийлнэ

7. хэлбэлзлийн коэффициент - түүвэр дэх үнийн хэт утгын дундаж хэлбэлзлийн харьцангуй хэлбэлзлийг тусгадаг.

Хүснэгт 2. Анхны түүврийн статистик үзүүлэлт

Өгөгдлийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог хэлбэлзлийн коэффициент нь 12.29%, харин хэлбэлзлийн коэффициент нь хэт өндөр байна. Тиймээс бид анхны дээж нь нэгэн төрлийн биш гэж хэлж болох тул итгэлийн интервалыг тооцоолоход шилжье.

Үе шат 3. Итгэлийн интервалын тооцоо

Арга 1. Дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан тооцоолох.

Итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тодорхойлно: хамгийн бага утга - стандарт хазайлтыг дундажаас хасна; хамгийн их утга - стандарт хазайлтыг медиан дээр нэмнэ.

Тиймээс итгэлийн интервал (47179 CU; 60689 CU)

Цагаан будаа. 2. Итгэлийн интервалд багтах утгууд 1.

Арга 2. t-статистикийн критик утгыг ашиглан итгэлцлийн интервал байгуулах (Оюутны коэффициент)

С.В. Грибовский "Хөрөнгийн үнэ цэнийг тооцоолох математикийн аргууд" номондоо Оюутны коэффициентээр дамжуулан итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргыг тодорхойлсон. Энэ аргыг ашиглан тооцоолохдоо үнэлэгч нь итгэлийн интервалыг бий болгох магадлалыг тодорхойлдог ач холбогдлын түвшинг ∝ өөрөө тохируулах ёстой. Ихэвчлэн 0.1-ийн ач холбогдлын түвшинг ашигладаг; 0.05 ба 0.01. Тэд 0.9-ийн итгэлийн магадлалд тохирч байна; 0.95 ба 0.99. Энэ аргын тусламжтайгаар математикийн хүлээлт ба дисперсийн жинхэнэ утгыг бараг үл мэдэгдэх гэж үздэг (энэ нь практик тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд бараг үргэлж үнэн байдаг).

Итгэлийн интервалын томъёо:

n - дээжийн хэмжээ;

t-статистикийн эгзэгтэй утга (Оюутны тархалт) ач холбогдлын түвшин ∝, эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо n-1, тусгай статистикийн хүснэгтүүд эсвэл MS Excel (→"Статистик"→ STUDIST) ашиглан тодорхойлсон;

∝ - ач холбогдлын түвшин, ∝=0.01 гэж авна.

Цагаан будаа. 2. Итгэлийн интервалд багтах утгууд 2.

Үе шат 4. Итгэлийн интервалыг тооцоолох янз бүрийн аргуудын шинжилгээ

Итгэлийн интервалыг тооцоолох хоёр арга - медиан ба Оюутны коэффициентээр дамжуулан интервалын өөр өөр утгыг бий болгосон. Үүний дагуу бид хоёр өөр цэвэрлэсэн дээж авсан.

Хүснэгт 3. Гурван дээжийн статистик.

Гүйцэтгэсэн тооцоонд үндэслэн бид янз бүрийн аргаар олж авсан итгэлцлийн интервалын утгууд огтлолцдог гэж хэлж болно, тиймээс та үнэлгээчний үзэмжээр тооцооллын аль ч аргыг ашиглаж болно.

Гэсэн хэдий ч estimatica.pro системд ажиллахдаа зах зээлийн хөгжлийн түвшингээс хамааран итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргыг сонгох нь зүйтэй гэж бид үзэж байна.

• хэрэв зах зээл хөгжөөгүй бол энэ тохиолдолд тэтгэвэрт гарсан объектын тоо бага байгаа тул дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан тооцоолох аргыг ашиглана;
• Хэрэв зах зээл хөгжсөн бол том хэмжээний анхны түүврийг бүрдүүлэх боломжтой тул тооцооллыг t-статистикийн эгзэгтэй утгыг (Оюутны коэффициент) ашиглана.

Нийтлэлийг бэлтгэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно.

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Эд хөрөнгийн үнэ цэнийг үнэлэх математик аргууд. Москва, 2014 он

2. Системийн өгөгдөл estimatica.pro

Итгэлийн интервал нь статистикийн салбараас бидэнд ирдэг. Энэ бол үл мэдэгдэх параметрийг найдвартай өндөр түвшинд үнэлэхэд зориулагдсан тодорхой хүрээ юм. Үүнийг тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол жишээ юм.

Та санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг, жишээлбэл, үйлчлүүлэгчийн хүсэлтэд серверийн хариу өгөх хурдыг судлах хэрэгтэй гэж бодъё. Хэрэглэгч тодорхой сайтын хаягийг бичих бүрт сервер өөр өөр хурдтайгаар хариу үйлдэл үзүүлдэг. Тиймээс, судалж буй хариу өгөх хугацаа нь санамсаргүй юм. Тиймээс итгэлийн интервал нь энэ параметрийн хил хязгаарыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд дараа нь 95% магадлалтайгаар сервер бидний тооцоолсон мужид байх болно гэж хэлж болно.

Эсвэл та компанийн барааны тэмдгийн талаар хэдэн хүн мэддэгийг олж мэдэх хэрэгтэй. Итгэлийн интервалыг тооцоолохдоо жишээлбэл, 95% магадлалтайгаар үүнийг мэддэг хэрэглэгчдийн эзлэх хувь 27% -иас 34% хооронд байна гэж хэлэх боломжтой болно.

Энэ нэр томьёотой нягт холбоотой нь итгэлийн магадлалын утга юм. Энэ нь хүссэн параметрийг итгэлцлийн интервалд оруулах магадлалыг илэрхийлнэ. Бидний хүссэн хүрээ хэр их байх нь энэ утгаас хамаарна. Энэ нь их байх тусам итгэлийн интервал нарийсдаг ба эсрэгээр. Ихэвчлэн 90%, 95% эсвэл 99% гэж тохируулдаг. 95% нь хамгийн алдартай нь юм.

Энэ үзүүлэлт нь ажиглалтын тархалтад нөлөөлдөг бөгөөд түүний тодорхойлолтыг судалж буй шинж чанар нь дагаж мөрддөг гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Түүний хэлснээр, хэвийн гэдэг нь магадлалын нягтараар тодорхойлогдох тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх магадлалын тархалт юм. Хэрэв хэвийн тархалтын таамаглал буруу байвал тооцоолол буруу байж болно.

Эхлээд итгэлийн интервалыг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдье Энд хоёр боломжит тохиолдол бий. Тархалт (санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын зэрэг) нь мэдэгдэхгүй байж болно. Хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол бидний итгэлийн интервалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - тэмдэг,

t - Лапласын хуваарилалтын хүснэгтээс авсан параметр,

σ нь дисперсийн квадрат язгуур юм.

Хэрэв зөрүү нь тодорхойгүй бол бид хүссэн шинж чанарын бүх утгыг мэдэж байвал үүнийг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд дараах томъёог ашиглана уу.

σ2 = х2ср - (хср)2, энд

х2ср - судлагдсан шинж чанарын квадратуудын дундаж утга,

(хср)2 нь энэ шинж чанарын квадрат юм.

Энэ тохиолдолд итгэлцлийн интервалыг тооцоолох томъёо бага зэрэг өөрчлөгдөнө.

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - түүврийн дундаж,

α - тэмдэг,

t нь Оюутны хуваарилалтын хүснэгтийг ашиглан олох параметр юм t = t(ɣ;n-1),

sqrt(n) - нийт түүврийн хэмжээний квадрат язгуур,

s нь дисперсийн квадрат язгуур юм.

Энэ жишээг авч үзье. 7 хэмжилтийн үр дүнд үндэслэн судлагдсан шинж чанар нь 30, түүврийн дисперс нь 36-тай тэнцүү байна гэж тодорхойлсон гэж бодъё. 99% магадлалтайгаар үнэнийг агуулсан итгэлцлийн интервалыг олох шаардлагатай. хэмжсэн параметрийн утга.

Эхлээд t нь ямар тэнцүү болохыг тодорхойлъё: t = t (0.99; 7-1) = 3.71. Дээрх томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Дисперсийн итгэлцлийн интервалыг мэдэгдэж буй дундаж болон математикийн хүлээлтийн талаархи мэдээлэл байхгүй тохиолдолд хоёуланг нь тооцдог бөгөөд зөвхөн дисперсийн цэгийн шударга бус үнэлгээний утгыг л мэддэг. Бид үүнийг тооцоолох томъёог энд өгөхгүй, учир нь тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд хэрэв хүсвэл интернетээс олж болно.

Excel эсвэл сүлжээний үйлчилгээг ашиглан итгэлцлийн интервалыг тодорхойлох нь тохиромжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.