УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

"Кривлянская дунд сургууль"

Жабинковский дүүрэг

ФИБОНАЧЧИГИЙН ТООО БА АЛТАН ХАРЬЦАА

Судалгааны ажил

Ажил дууссан:

10-р ангийн сурагч

Садовничик Валерия Алексеевна

Удирдагч:

Лавренюк Лариса Николаевна,

компьютерийн шинжлэх ухааны багш ба

Математикийн 1-р зэрэглэл

Фибоначчийн тоо ба мөн чанар

Ургамлын бүтэц, хөгжлийн онцлог шинж чанар нь спираль юм. Гайхамшигт яруу найрагч төдийгүй байгаль судлаач Гёте хүртэл эргэлтийг бүх организмын нэг онцлог шинж чанар, амьдралын дотоод мөн чанарын нэг илрэл гэж үздэг байв. Ургамлын шөрмөс нь спираль хэлбэрээр эргэлдэж, модны их бие дэх эд эсийн өсөлт нь спираль хэлбэрээр, наранцэцгийн үр нь спираль хэлбэрээр байрладаг, үндэс, найлзуурууд ургах явцад спираль хөдөлгөөн (нутагдал) ажиглагддаг.

Эхлээд харахад навч, цэцэгсийн тоо маш өргөн хүрээнд өөрчлөгдөж, ямар ч үнэ цэнийг авч чаддаг мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ ийм дүгнэлт нь үндэслэлгүй болж хувирдаг. Судалгаанаас харахад ургамал дахь ижил нэртэй эрхтнүүдийн тоо дур зоргоороо байдаггүй; ихэвчлэн олддог үнэт зүйлс, маш ховор байдаг.

Амьд байгальд таван өнцөгт тэгш хэм дээр суурилсан хэлбэрүүд өргөн тархсан байдаг - далайн од, далайн зулзага, цэцэг.

Зураг 13. Цөцгийн цэцэг

Chamomile нь 55 эсвэл 89 дэлбээтэй.

Зураг 14. Chamomile

Пиретрум нь 34 дэлбээтэй.

Зураг. 15. Пиретрум

Нарсны боргоцойг харцгаая. Түүний гадаргуу дээрх масштабууд нь ойролцоогоор зөв өнцгөөр огтлолцдог хоёр спираль дагуу хатуу тогтмол байрладаг. Нарсны боргоцой дахь ийм спиральуудын тоо 8 ба 13 эсвэл 13 ба 21 байна.

Зураг 16. Конус

Наранцэцгийн сагсанд үрийг хоёр спираль хэлбэрээр байрлуулсан байдаг бөгөөд тэдгээрийн тоо ихэвчлэн 34/55, 55/89 байдаг.

Зураг 17. Наранцэцэг

Бүрхүүлийг нарийвчлан авч үзье. Хэрэв та санамсаргүй байдлаар авсан эхний бүрхүүлийн "хатуу хавирга" -ын тоог тоолвол 21 болж хувирна. Хоёр, гурав, тав, арав дахь бүрхүүлийг авъя - тэд бүгд гадаргуу дээр 21 хавиргатай болно. Зөөлөн биетүүд сайн инженерүүд төдийгүй Фибоначчийн тоог "мэддэг" байсан бололтой.

Зураг 18. Бүрхүүл

Ойролцоох Фибоначчийн тоонуудын байгалийн хослолыг энд дахин харж байна: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Тэдний хязгаар дахь харьцаа нь 0.61803 тоогоор илэрхийлэгдсэн алтан пропорциональ руу чиглэдэг.

Фибоначчийн тоо ба амьтад

Далайн одны цацрагийн тоо нь Фибоначчийн тоонуудын цуваатай тохирч байгаа эсвэл тэдгээртэй маш ойрхон бөгөөд 5.8, 13,21,34,55-тай тэнцүү байна.

Зураг 19. Далайн од

Орчин үеийн артроподууд маш олон янз байдаг. Хавч нь мөн таван хос хөлтэй, сүүл дээрээ таван өдтэй, хэвлий нь таван сегментэд хуваагддаг, хөл тус бүр нь таван хэсгээс бүрддэг.

Зураг. 20. хавч

Зарим шавжны хэвлий нь найман сегментээс бүрддэг, найман хэсгээс бүрдсэн гурван хос мөчрүүд байдаг ба амны нүхнээс найман өөр антентай төстэй эрхтэнүүд гарч ирдэг. Бидний сайн мэдэх шумуул гурван хос хөлтэй, хэвлий нь найман хэсэгт хуваагддаг, толгой дээрээ таван антентай байдаг. Шумуулын авгалдай нь 12 сегментэд хуваагддаг.

Зураг. 21. Шумуул

Байцааны ялааны хэвлий нь таван хэсэгт хуваагддаг, гурван хос хөлтэй, авгалдай нь найман хэсэгтэй байдаг. Хоёр далавч тус бүр нь нимгэн судлуудаар найман хэсэгт хуваагддаг.

Олон шавжны гинжит 13 сегментэд хуваагддаг, тухайлбал, арьсан цох, салст цох, Моориш боогер гэх мэт. Ихэнх хортон шавьжны хувьд катерпиллар нь 13 сегментэд хуваагддаг. Цог хорхойн хөлний бүтэц нь маш онцлог шинж чанартай байдаг. Хөл бүр нь дээд амьтдын адил гурван хэсгээс бүрдэнэ - мөр, шуу, сарвуу. Цог хорхойн нимгэн, задгай хөл нь таван хэсэгт хуваагддаг.

Соногийн задгай, тунгалаг, жингүй далавч нь байгалийн "инженерийн" ур чадварын шилдэг бүтээл юм. Энэ жижигхэн нисдэг булчингийн онгоцны дизайны үндэс нь ямар харьцаатай вэ? Олон тооны соногийн далавчны урт ба биеийн уртын харьцаа 4/3 байна. Соногийн бие нь том бие, урт нимгэн сүүл гэсэн хоёр үндсэн хэсэгт хуваагддаг. Бие нь толгой, цээж, хэвлий гэсэн гурван хэсэгтэй. Хэвлий нь таван сегментэд хуваагддаг бөгөөд сүүл нь найман хэсгээс бүрдэнэ. Энд та гурван хос хөлийг гурван хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Зураг. 22. Соно

Бүхэл бүтэн хэсгийг хэсэг болгон хуваах энэ дарааллаар Фибоначчийн тоонуудын цуваа дэлгэгдэж байгааг харахад хэцүү биш юм. Соногийн сүүл, бие, нийт урт нь хоорондоо алтан харьцаагаар холбогддог: сүүл ба биеийн уртын харьцаа нь нийт уртыг сүүлний урттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Соно нь алтан харьцааны хуулийн дагуу бүтээгдсэн тул ийм төгс харагддаг нь гайхах зүйл биш юм.

Хагарлаар бүрхэгдсэн тахирын дэвсгэр дээр яст мэлхий харагдах нь гайхалтай үзэгдэл юм. Бүрхүүлийн голд том нийлсэн эвэрлэг хавтан бүхий том зууван талбай, ирмэгийн дагуу жижиг ялтсуудын хил байдаг.

Зураг. 23. Мэлхий

Ямар ч яст мэлхийг ав - бидэнтэй ойрхон байгаа намаг яст мэлхийээс аварга том далайн яст мэлхий хүртэл - тэдгээрийн бүрхүүл дээрх хэв маяг нь ижил төстэй гэдэгт та итгэлтэй байх болно: зууван талбар дээр 13 нийлсэн эвэрлэг хавтан байдаг - төвд 5 хавтан, 8 нь. ирмэгүүд, захын хил дээр 21 орчим ялтсууд (Чилийн яст мэлхий бүрхүүлийнхээ захын дагуу яг 21 хавтантай). Мэлхий хөл дээрээ 5 хуруутай, нугасны багана нь 34 нугаламаас тогтдог. Эдгээр бүх утгууд нь Фибоначчийн тоотой тохирч байгааг харахад хялбар байдаг. Үүний үр дүнд яст мэлхийн хөгжил, түүний биеийг бүрдүүлэх, бүхэлд нь хэсэг болгон хуваах нь Фибоначчийн тооны цуврал хуулийн дагуу явагдсан.

Дэлхий дээрх хамгийн өндөр амьтад бол хөхтөн амьтад юм. Олон төрлийн амьтдын хавирганы тоо арван гуравтай тэнцүү буюу ойр байдаг. Шал өөр хөхтөн амьтдын хувьд - халим, тэмээ, буга, архи - хавирганы тоо 13 ± 1. Нугаламын тоо маш их ялгаатай байдаг, ялангуяа нэг төрлийн амьтдад ч гэсэн өөр өөр урттай байж болох сүүлтэй байдаг. Гэхдээ тэдний олонх нь нугаламын тоо 34 ба 55-тай тэнцүү буюу ойролцоо байдаг. Иймээс аварга буга 34, халим 55 нугаламтай байдаг.

Гэрийн тэжээвэр амьтдын мөчдийн араг яс нь гурван ижил ясны холбоосоос бүрддэг: аарцагны яс, шуу яс (шилбэ) ба сарвууны яс (хөл). Хөл нь эргээд гурван ясны холбоосоос бүрдэнэ.

Олон гэрийн тэжээвэр амьтдын шүдний тоо Фибоначчийн тоонд чиглэдэг: туулай 14 хос, нохой, гахай, морь 21 ± 1 хос шүдтэй. Зэрлэг амьтдын шүдний тоо илүү өргөн хүрээтэй байдаг: нэг тарваган махчинд 54, хөхлөгт - 34, нэг зүйлийн далайн гахайд 233 хүрдэг. Гэрийн тэжээвэр амьтдын араг ясны ясны нийт тоо (шүдийг оруулаад) нэг бүлэгт 230-д ойрхон, нөгөө бүлэгт - 300. Араг ясны ясны тоо нь жижиг сонсголын яс, тогтворгүй ясны ясыг агуулдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Эдгээрийг харгалзан үзвэл олон амьтдын араг ясны нийт тоо 233 орчим, бусад нь 300-аас давах болно. Бидний харж байгаагаар араг ясны хөгжил дагалддаг биеийн хуваагдал нь тодорхойлогддог. амьтдын янз бүрийн эрхтнүүдийн ясны тооны салангид өөрчлөлт бөгөөд эдгээр тоо нь Фибоначчийн тоотой тохирч эсвэл 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 эгнээ үүсгэдэг. Ихэнх тахианы өндөгний хэмжээ нь 4: 3 (зарим нь 3/2), хулууны үр - 3: 2, тарвасны үр - 3/2 байна. Нарсны боргоцойны уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа 2: 1 байна. Хусан навчны хэмжээ дунджаар маш ойрхон, царсны боргоцой - 5: 2 байна.

Хэрэв та цэцгийн зүлгийг хоёр хэсэгт (өвс, цэцэг) хуваах шаардлагатай бол эдгээр судал нь ижил өргөнтэй байх ёсгүй гэж үздэг бөгөөд хэрэв та тэдгээрийг 5: 8 харьцаагаар авбал илүү үзэсгэлэнтэй байх болно 8: 13, өөрөөр хэлбэл. "алтан харьцаа" гэж нэрлэгддэг пропорцийг ашигла.

Фибоначчийн тоо ба гэрэл зураг

Гэрэл зургийн урлагт хэрэглэхэд алтан харьцаа нь хүрээг хоёр хэвтээ, хоёр босоо шугамаар тэгш бус 9 тэгш өнцөгт болгон хуваадаг. Тэнцвэртэй зураг авахад хялбар болгохын тулд гэрэл зурагчид даалгавраа бага зэрэг хялбарчилж, Фибоначчийн тоонуудын дагуу хүрээг 9 тэнцүү тэгш өнцөгт болгон хувааж эхлэв. Ийнхүү алтан харьцааны дүрмийг гуравны нэгийн дүрэм болгон өөрчилсөн нь найрлагын нэг зарчмыг илэрхийлдэг.

Зураг. 24. Хүрээ ба алтан харьцаа

Орчин үеийн дижитал камерын харагчдад фокусын цэгүүд нь 2/8 байрлалд эсвэл алтан харьцаагаар хүрээг хуваах төсөөллийн шугамууд дээр байрладаг.

Зураг 25. Дижитал камер ба фокусын цэгүүд

Зураг 26.

Зураг 27. Гэрэл зураг ба фокус цэгүүд

Гуравны нэгийн дүрэм нь ландшафт эсвэл хөрөг зураг, натюрморт эсвэл сурвалжлага авах эсэхээс үл хамааран бүх сэдэвт зохиолд хамаарна. Таны эв найрамдлын мэдрэмж олж авах, ухаангүй болох хүртэл гуравны нэгийн энгийн дүрмийг дагаж мөрдвөл илэрхий, эв найртай, тэнцвэртэй гэрэл зураг авах боломжтой болно.

Зураг 28. Гэрэл зураг ба тэнгэр, газрын харьцаа 1-ээс 2.

Үзүүлэн үзүүлэх хамгийн амжилттай жишээ бол ландшафт юм. Бүтцийн зарчим нь тэнгэр ба газар (эсвэл усны гадаргуу) нь 1: 2 харьцаатай байх ёстой. Хүрээний гуравны нэг нь тэнгэрт, гуравны хоёр нь газар, эсвэл эсрэгээрээ байх ёстой.

Зураг 29. Спираль хэлбэрээр эргэлдэж буй цэцгийн зураг

Фибоначчи ба орон зай

Дэлхий дээрх ус ба газрын харьцаа 62% ба 38% байна.

Дэлхий болон Сарны хэмжээ нь алтан харьцаатай байдаг.

Зураг 30. Дэлхий ба Сарны хэмжээ

Зурагт дэлхий болон сарны харьцангуй хэмжээсийг масштабаар харуулав.

Дэлхийн радиусыг зурцгаая. Дэлхийн төв цэгээс сарны төв цэг хүртэл урт нь тэнцүү байх сегментийг зурцгаая). Өгөгдсөн хоёр шулууны хэрчмийг холбон гурвалжин үүсгэх шугамын хэрчим зуръя. Бид алтан гурвалжин авдаг.

Санчир гариг ​​алтан харьцааг хэд хэдэн хэмжигдэхүүнээр харуулдаг

Зураг 31. Санчир гариг ​​ба түүний цагиргууд

Санчир гаригийн диаметр нь цагирагны диаметртэй алтан харьцаатай маш нягт холбоотой бөгөөд үүнийг ногоон шугамаар харуулав.Радиус доторЦэнхэр шугамаар харуулсан шиг цагиргуудын дотоод хэсэг нь цагирагны гаднах диаметртэй маш ойролцоо харьцаатай байна.

Нарнаас гарагуудын зай нь алтан харьцааг дагадаг.

Зураг 32. Нарнаас гарагуудын зай

Өдөр тутмын амьдрал дахь алтан харьцаа

Алтан харьцаа нь өдөр тутмын хэрэглээний бүтээгдэхүүний маркетинг, дизайнд хэв маяг, сэтгэл татам байдлыг бий болгоход ашиглагддаг. Олон жишээ бий, гэхдээ бид зөвхөн цөөн хэдэн жишээг тайлбарлах болно.

Зураг 33. СүлдToyota

Зураг 34. Алтан харьцаа ба хувцас

Зураг 34. Алтан харьцаа ба автомашины дизайн

Зураг 35. СүлдApple

Зураг 36. СүлдGoogle

Кейс судалгаа

Одоо бид олж авсан мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлэх болно. Эхлээд 8-р ангийн сурагчдын дунд хэмжилт хийцгээе.

Хэрэв та телевизийн зургийг анхааралтай ажиглавал түүний хэмжээ нь 16-аас 9 эсвэл 16-аас 10 байх бөгөөд энэ нь алтан харьцаатай ойролцоо байна.

Хэмжилт, барилга угсралтын ажлыг гүйцэтгэх CorelDRAW X4 болон Russia 24 мэдээллийн сувгийн хүрээг ашиглан та дараахь зүйлийг олж авах боломжтой.

a) хүрээний урт ба өргөний харьцаа 1.7 байна.

б) хүрээн дэх хүн яг 3/8 зайд байрлах фокусын цэгүүдэд байрладаг.

Дараа нь "Известия" сонины албан ёсны микроблог, өөрөөр хэлбэл твиттер хуудас руу хандъя. 4:3 талтай дэлгэцийн хувьд хуудасны "толгой" нь хуудасны нийт өндрийн 3/8 байна.

Цэргийн малгайг сайтар ажиглавал та дараахь зүйлийг олж харах боломжтой.

a) ОХУ-ын Батлан ​​хамгаалахын сайдын таг нь заасан хэсгүүдийн 21.73-аас 15.52-ийн харьцаатай, 1.4-тэй тэнцүү байна.

б) Бүгд Найрамдах Беларусь улсын хилийн хамгаалалтын малгай нь заасан хэсгүүдийн 44.42-аас 21.33 хүртэлх хэмжээтэй, энэ нь 2.1-тэй тэнцүү байна.

в) ЗХУ-ын үеийн таг нь 49.67-31.04-ийн заасан хэсгүүдийн хэмжээстэй бөгөөд энэ нь 1.6-тай тэнцүү байна.

Энэ загварын хувьд даашинзны урт нь 113.13 мм байна.

Хэрэв бид "хамгийн тохиромжтой" урттай даашинзыг "дуусгавал" ийм зураг авах болно.

Бүх хэмжилтүүд нь зарим алдаатай байдаг, учир нь тэдгээрийг гэрэл зургаас авсан бөгөөд энэ нь чиг хандлагыг харахад саад болохгүй - хамгийн тохиромжтой бүх зүйл нь алтан харьцааг тодорхой хэмжээгээр агуулдаг.

Дүгнэлт

Амьд байгалийн ертөнц нь бидэнд огт өөр юм шиг санагддаг - хөдөлгөөнт, өөрчлөгддөг, гайхалтай олон янз байдаг. Амьдрал бидэнд олон янз байдал, бүтээлч хослолуудын өвөрмөц байдлын гайхалтай багт наадам харуулж байна! Амьгүй байгалийн ертөнц бол юуны түрүүнд түүний бүтээлүүдэд тогтвортой байдал, гоо үзэсгэлэнг өгдөг тэгш хэмийн ертөнц юм. Байгалийн ертөнц бол юуны түрүүнд "алтан харьцааны хууль" үйлчилдэг эв найрамдлын ертөнц юм.

“"Алтан харьцаа" нь үнэний тэр мөч юм шиг санагддаг бөгөөд үүнгүйгээр ерөнхийдөө юу ч оршин тогтнох боломжгүй юм. Судалгааны элемент болгон бид юу ч авч байсан "алтан харьцаа" хаа сайгүй байх болно; Энэ нь харагдахуйц ажиглагдаагүй байсан ч энэ нь эрчим хүчний, молекулын эсвэл эсийн түвшинд явагдах нь гарцаагүй.

Үнэн хэрэгтээ байгаль нь үндсэн хуулиудын илрэл нь нэг хэвийн (тиймээс нэгдмэл!) болж хувирдаг. Түүний олсон "хамгийн амжилттай" шийдлүүд нь олон төрлийн объект, зохион байгуулалтын олон янзын хэлбэрт хамаарна. Байгууллагын тасралтгүй байдал, салангид байдал нь материйн хос нэгдэл - түүний корпускуляр ба долгионы шинж чанараас үүдэлтэй бөгөөд химийн шинжлэх ухаанд нэвтэрч, бүхэл стехиометрийн хууль тогтоомж, тогтмол ба хувьсах найрлагатай химийн нэгдлүүдийг өгдөг. Ботаникийн хувьд тасралтгүй байдал, салангид байдал нь филлотаксис, салангид байдлын квант, өсөлтийн квант, орон зай-цаг хугацааны зохион байгуулалтын салангид байдлын нэгдэл, тасралтгүй байдлын өвөрмөц илэрхийлэлийг олдог. Одоо ургамлын эрхтнүүдийн тоон харьцаанд А.Гурскийн оруулсан "олон тооны харьцааны зарчим" гарч ирэв - химийн үндсэн хуулийн бүрэн давталт.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр бүх үзэгдлүүд Фибоначчийн дараалал дээр суурилдаг гэсэн мэдэгдэл хэтэрхий чанга сонсогдож байгаа ч чиг хандлага нь илт харагдаж байна. Түүнээс гадна тэр өөрөө энэ дэлхийн бүх зүйл шиг төгс төгөлдөр байдлаас хол байна.

Фибоначчийн цуврал бол байгалиасаа илүү суурь, төгс алтан харьцааны логарифмын дараалалд дасан зохицох оролдлого гэсэн таамаг байдаг бөгөөд энэ нь бараг ижил, зөвхөн хаанаас ч эхэлж, хаашаа ч хүрэхгүй юм. Байгальд ямар нэгэн бүхэл бүтэн эхлэл хэрэгтэй, түүнээс эхэлж юу ч байхгүй; Фибоначчийн дарааллын эхний нөхцлүүдийн харьцаа нь Алтан харьцаанаас хол байна. Гэхдээ бид цаашаа явах тусам эдгээр хазайлтууд улам бүр жигдрэх болно. Аливаа цувралыг тодорхойлохын тулд түүний дараалсан гурван нэр томъёог мэдэхэд хангалттай. Гэхдээ алтан дарааллын хувьд биш, хоёр нь хангалттай, энэ нь нэгэн зэрэг геометрийн болон арифметик прогресс юм. Үүнийг бусад бүх дарааллын үндэс гэж бодож магадгүй юм.

Алтан логарифмын дарааллын гишүүн бүр нь Алтан пропорц () -ийн хүч юм. Цувралын нэг хэсэг нь иймэрхүү харагдаж байна:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Хэрэв бид Алтан харьцааны утгыг аравтын бутархайн гурван орон хүртэл дугуйрвал бид авна=1,618 , дараа нь цуврал дараах байдалтай харагдана.... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Дараагийн нэр томъёо бүрийг зөвхөн өмнөхийг үржүүлээд зогсохгүй авах боломжтой1,618 , гэхдээ өмнөх хоёрыг нэмснээр. Тиймээс хоёр зэргэлдээ элементийг нэмснээр экспоненциал өсөлтийг олж авдаг. Энэ бол эхлэл төгсгөлгүй цуврал бөгөөд Фибоначчийн дараалал ийм байхыг хичээдэг. Маш тодорхой эхлэлтэй, тэр хэзээ ч амжилтанд хүрдэггүй, идеал руу тэмүүлдэг. Энэ бол амьдрал.

Гэсэн хэдий ч бидний харж, уншсан бүх зүйлтэй холбоотойгоор нэлээд логик асуултууд гарч ирдэг.
Эдгээр тоонууд хаанаас ирсэн бэ? Орчлон ертөнцийг төгс болгохыг хичээсэн энэ архитектор хэн бэ? Бүх зүйл түүний хүссэнээр байсан уу? Хэрэв тийм бол яагаад буруу болсон бэ? Мутаци? Чөлөөт сонголт уу? Дараа нь юу болох вэ? Спираль буржгар эсвэл тайлж байна уу?

Нэг асуултын хариултыг олсны дараа та дараагийн асуултыг авах болно. Хэрэв та үүнийг шийдвэл хоёр шинэ зүйл авах болно. Тэдэнтэй харьцсаны дараа дахиад гурав гарч ирнэ. Тэдгээрийг бас шийдсэний дараа та шийдэгдээгүй таван зүйлтэй болно. Дараа нь найм, дараа нь арван гурав, 21, 34, 55...

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт

Васютинский, Н.Алтан харьцаа / Васютинский Н, Москва, Залуу харуул, 1990, - 238 х. - (Эврика).

Воробьев, Н.Н. Фибоначчийн тоо,

Хандалтын горим: . Хандалтын огноо: 2015.11.17.

Хандалтын горим: . Нэвтрэх огноо: 2015.11.16.

Хандалтын горим: . Нэвтрэх огноо: 2015.11.13.

Орчлон ертөнцөд тайлагдаагүй олон нууц байсаар байгаа бөгөөд тэдгээрийн заримыг эрдэмтэд аль хэдийн тодорхойлж, тайлбарлаж чадсан байна. Фибоначчийн тоо ба алтан харьцаа нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг тайлж, түүний хэлбэр, харааны оновчтой ойлголтыг бий болгох үндэс суурийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүний тусламжтайгаар хүн гоо үзэсгэлэн, эв найрамдлыг мэдэрч чаддаг.

Алтан харьцаа

Алтан харьцааны хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох зарчим нь бүхэл бүтэн ертөнц, түүний хэсгүүдийн бүтэц, үйл ажиллагааны төгс төгөлдөр байдлын үндэс бөгөөд түүний илрэлийг байгаль, урлаг, технологид харж болно. Алтан пропорцын тухай сургаал нь эртний эрдэмтдийн тоон шинж чанарын талаархи судалгааны үр дүнд бий болсон.

Энэ нь эртний философич, математикч Пифагорын хийсэн сегментийн хуваагдлын харьцаа ба харьцааны онол дээр суурилдаг. Тэрээр сегментийг X (жижиг) ба Y (том) гэсэн хоёр хэсэгт хуваахдаа том ба жижиг хэсгийн харьцаа нь тэдгээрийн нийлбэрийн (бүх сегмент) харьцаатай тэнцүү байх болно гэдгийг нотолсон.

Үр дүн нь тэгшитгэл юм: x 2 - x - 1=0,гэж шийдэгддэг x=(1±√5)/2.

Хэрэв бид 1/x харьцааг авч үзвэл энэ нь тэнцүү байна 1,618…

Эртний сэтгэгчид алтан харьцааг ашиглаж байсныг нотлох баримтыг 3-р зуунд бичсэн Евклидийн "Элементүүд" номонд оруулсан болно. Тогтмол таван өнцөгт байгуулахдаа энэ дүрмийг ашигласан МЭӨ. Пифагорчуудын дунд энэ дүрс нь тэгш хэмтэй, тэгш хэмтэй байдаггүй тул ариун гэж тооцогддог. Пентаграм нь амьдрал, эрүүл мэндийг бэлэгддэг.

Фибоначчийн тоо

Хожим нь Фибоначчи гэгдэх болсон Италийн математикч Пизагийн Леонардогийн алдарт Liber abaci ном 1202 онд хэвлэгджээ. Түүнд эрдэмтэн анх удаагаа тоонуудын нийлбэр болох цувралын загварыг иш татсан байдаг. Өмнөх 2 цифр. Фибоначчийн тооны дараалал дараах байдалтай байна.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 гэх мэт.

Эрдэмтэн мөн хэд хэдэн хэв маягийг иш татав.

• Цувралаас дараагийн тоонд хуваасан дурын тоо нь 0.618 гэсэн утгатай тэнцүү байна. Түүгээр ч барахгүй Фибоначчийн эхний тоонууд ийм тоог өгдөггүй, гэхдээ бид дарааллын эхнээс шилжих тусам энэ харьцаа улам бүр үнэн зөв байх болно.
• Хэрэв та цувралын тоог өмнөх тоонд хуваах юм бол үр дүн нь 1.618 болно.
• Нэг тоог дараагийн нэгээр хуваасан тоо нь 0.382 гэсэн утгыг харуулна.

Алтан харьцааны холболт ба хэв маягийн хэрэглээ, Фибоначчийн тоо (0.618) нь зөвхөн математикт төдийгүй байгаль, түүх, архитектур, барилга байгууламж болон бусад олон шинжлэх ухаанд байдаг.

Архимед спираль ба алтан тэгш өнцөгт

Байгальд маш түгээмэл байдаг спиральуудыг Архимед судалж, тэгшитгэлийг нь хүртэл гаргаж авсан. Спираль хэлбэр нь алтан харьцааны хуулиуд дээр суурилдаг. Үүнийг задлахдаа пропорц болон Фибоначчийн тоог ашиглах боломжтой уртыг олж авдаг.

Талууд нь 1.618:1 пропорциональ "алтан тэгш өнцөгт" байгуулснаар Фибоначчийн тоо ба алтан харьцааны параллель байдлыг харж болно. Энэ нь том тэгш өнцөгтөөс жижиг хэсгүүд рүү шилжих замаар бүтээгдсэн бөгөөд ингэснээр талуудын урт нь цувралын тоотой тэнцүү байна. Мөн "1" квадратаас эхлэн урвуу дарааллаар барьж болно. Энэ тэгш өнцөгтийн булангуудыг огтлолцлын төвд шугамаар холбоход Фибоначчи буюу логарифм спираль үүснэ.

Алтан пропорцийг ашигласан түүх

Египетийн эртний архитектурын олон дурсгалыг алтан харьцаагаар барьсан: алдартай Хеопс пирамидууд гэх мэт. Эртний Грекийн архитекторууд тэдгээрийг сүм хийд, амфитеатр, цэнгэлдэх хүрээлэн зэрэг архитектурын объектуудыг барихад өргөн ашигладаг байв. Жишээлбэл, ийм пропорцийг эртний Парфенон сүм, (Афин) болон бусад объектуудыг барьж байгуулахад ашигласан бөгөөд энэ нь математикийн хэв маягт суурилсан эв зохицлыг харуулсан эртний архитектурын шилдэг бүтээл болсон.

Дараа зуунд алтан харьцааны сонирхол буурч, хэв маяг нь мартагдсан боловч Францискийн лам Л.Пасиоли ​​ди Боргогийн "Тэнгэрлэг хувь хэмжээ" (1509) номоор Сэргэн мандалтын үед дахин сэргэв. Энэ нь "алтан харьцаа" хэмээх шинэ нэрийг бий болгосон Леонардо да Винчигийн зургуудыг агуулсан байв. Алтан харьцааны 12 шинж чанарыг мөн шинжлэх ухаанаар нотолсон бөгөөд зохиолч энэ нь байгаль, урлагт хэрхэн илэрдэг талаар ярьж, үүнийг "ертөнц, байгалийг бий болгох зарчим" гэж нэрлэсэн.

Витрувийн хүн Леонардо

Леонардо да Винчигийн 1492 онд Витрувий номыг зурахдаа ашигласан зураг нь хүний ​​дүрсийг хоёр байрлалтай, гараа хажуу тийш нь дэлгэн дүрсэлсэн байдаг. Дүрсийг тойрог, дөрвөлжин хэлбэрээр бичжээ. Энэхүү зургийг Леонардо Ромын архитектор Витрувиусын зохиолуудад судалсны үндсэн дээр тодорхойлсон хүний ​​биеийн (эрэгтэй) каноник харьцаа гэж үздэг.

Биеийн төв нь гар, хөлний төгсгөлөөс ижил зайд байх цэг нь хүйс, гарны урт нь хүний ​​өндөртэй тэнцүү, мөрний хамгийн их өргөн = өндрийн 1/8, цээжний дээд хэсгээс үс хүртэлх зай = 1/7, цээжний оройноос толгойн орой хүртэл = 1/6 гэх мэт.

Тэр цагаас хойш уг зургийг хүний ​​биеийн дотоод тэгш хэмийг харуулсан тэмдэг болгон ашиглаж ирсэн.

Леонардо хүний ​​дүр дэх пропорциональ харьцааг тодорхойлохдоо "Алтан харьцаа" гэсэн нэр томъёог ашигласан. Жишээлбэл, бэлхүүсээс хөл хүртэлх зай нь хүйснээс толгойны орой хүртэлх зайтай ижил өндөр нь эхний урттай (бэлхүүсээс доош) хамааралтай байдаг. Энэхүү тооцоо нь алтан пропорцийг тооцоолохдоо сегментүүдийн харьцаатай ижил төстэй байдлаар хийгдсэн бөгөөд 1.618 хандлагатай байна.

Эдгээр бүх зохицсон харьцааг уран бүтээлчид ихэвчлэн үзэсгэлэнтэй, гайхалтай бүтээлүүдийг бүтээхэд ашигладаг.

16-19-р зууны алтан харьцааны судалгаа

Алтан харьцаа ба Фибоначчийн тоог ашиглан пропорцын талаархи судалгаа олон зууны турш үргэлжилж байна. Леонардо да Винчитэй зэрэгцэн Германы зураач Альбрехт Дюрер хүний ​​биеийн зөв пропорцын онолыг боловсруулахаар ажиллаж байжээ. Энэ зорилгоор тэрээр тусгай луужин хүртэл бүтээжээ.

16-р зуунд Эдгээр дүрмийг ургамал судлалд анх хэрэглэсэн одон орон судлаач И.Кеплерийн бүтээл нь Фибоначчийн тоо болон алтан харьцааны хоорондын уялдаа холбоотой асуудалд зориулагдсан байв.

19-р зуунд алтан харьцааг шинэ "нээлт" хүлээж байв. Германы эрдэмтэн профессор Зейсигийн “Гоо зүйн судалгаа” хэвлэгдсэнээр. Тэрээр эдгээр пропорцийг үнэмлэхүй болгож, байгалийн бүх үзэгдлийн хувьд түгээмэл байдаг гэж тунхагласан. Тэрээр асар олон тооны хүмүүс, эс тэгвээс тэдний биеийн харьцаа (2 мянга орчим) дээр судалгаа хийсэн бөгөөд үүний үр дүнд үндэслэн биеийн янз бүрийн хэсгүүдийн харьцааны статистикийн батлагдсан хэв маягийн талаар дүгнэлт хийсэн: мөрний урт, шуу, гар, хуруу гэх мэт.

Шүлэг бичихдээ урлагийн объектууд (ваар, архитектурын бүтэц), хөгжмийн өнгө, хэмжээ зэргийг судалж үзсэн - Зейсиг энэ бүгдийг сегмент, тооны уртаар харуулсан бөгөөд тэрээр "математик гоо зүй" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. Үр дүнг хүлээн авсны дараа Фибоначчийн цувралыг олж авсан нь тогтоогджээ.

Фибоначчийн тоо ба байгаль дахь алтан харьцаа

Ургамал, амьтны ертөнцөд өсөлт, хөдөлгөөний чиглэлд ажиглагддаг тэгш хэмийн хэлбэрээр морфологи руу чиглэсэн хандлага байдаг. Алтан харьцаа ажиглагдаж буй тэгш хэмтэй хэсгүүдэд хуваах - энэ хэв маяг нь олон ургамал, амьтанд байдаг.

Бидний эргэн тойрон дахь байгалийг Фибоначчийн тоогоор дүрсэлж болно, жишээлбэл:

• аливаа ургамлын навч, мөчрүүдийн байршил, түүнчлэн зай нь өгөгдсөн 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 гэх мэт цуврал тоотой хамааралтай;
• янз бүрийн чиглэлд эрчилсэн спираль дагуу хоёр эгнээ байрлуулсан наранцэцгийн үр (боргоцой дээрх масштаб, хан боргоцой);
• гүрвэлийн сүүл ба бүх биеийн уртын харьцаа;
• өндөгний хэлбэр, хэрэв та түүний өргөн хэсгийг нөхцлөөр зурвал;
• хүний ​​гар дээрх хурууны хэмжээтэй харьцаа.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн сонирхолтой хэлбэрт эргэлдэж буй эмгэн хумсны бүрхүүл, аалзны тор дээрх хээ, хар салхины доторх салхины хөдөлгөөн, ДНХ-ийн давхар мушгиа, галактикийн бүтэц зэрэг нь Фибоначчийн дарааллыг агуулдаг.

Урлагт алтан харьцааг ашиглах

Алтан харьцааг урлагт ашиглах жишээг хайж буй судлаачид янз бүрийн архитектурын объект, урлагийн бүтээлийг нарийвчлан судалж байна. Олимпийн Зевс, Аполло Белведер, Аполлон Бельведер нарын барималуудыг бүтээгчид нь алтан харьцааг баримталдаг алдартай уран баримлын бүтээлүүд байдаг.

Леонардо да Винчигийн бүтээлүүдийн нэг болох "Мона Лизагийн хөрөг" нь олон жилийн турш эрдэмтдийн судалгааны сэдэв байсаар ирсэн. Тэд уг бүтээлийн найрлага нь бүхэлдээ энгийн таван өнцөгт од болгон нэгтгэсэн "алтан гурвалжин"-аас бүрддэг болохыг олж мэдэв. Да Винчигийн бүх бүтээлүүд нь түүний мэдлэг нь хүний ​​биеийн бүтэц, харьцааны талаар ямар гүн гүнзгий мэдлэгтэй байсны нотолгоо бөгөөд үүний ачаар тэрээр Мона Лизагийн гайхалтай нууцлаг инээмсэглэлийг олж авч чадсан юм.

Архитектур дахь алтан харьцаа

Жишээлбэл, эрдэмтэд "алтан харьцаа" -ын дүрмийн дагуу бүтээсэн архитектурын шилдэг бүтээлүүдийг судалж үзсэн: Египетийн пирамидууд, Пантеон, Парфенон, Нотр Дам де Парисын сүм, Гэгээн Василий сүм гэх мэт.

Парфенон - Эртний Грекийн хамгийн үзэсгэлэнтэй барилгуудын нэг (МЭӨ 5-р зуун) нь 8 багана, өөр өөр талдаа 17 баганатай бөгөөд түүний өндрийг хажуугийн урттай харьцуулсан харьцаа нь 0.618 байна. Түүний фасад дээрх цухуйлтыг "алтан харьцаа" -ын дагуу хийсэн (доорх зураг).

Архитектурын объектуудын харьцааны модульчлагдсан системийг ("модульор" гэж нэрлэдэг) сайжруулж, амжилттай хэрэгжүүлсэн эрдэмтдийн нэг бол Францын архитектор Ле Корбюзье байв. Модулятор нь хүний ​​биеийн хэсгүүдэд нөхцөлт хуваагдахтай холбоотой хэмжих систем дээр суурилдаг.

Оросын архитектор М.Казаков бол Москвад хэд хэдэн орон сууцны барилга, Кремлийн Сенатын барилга, Голицын эмнэлэг (одоогийн Н.И.Пироговын нэрэмжит 1-р клиник) зэрэг хуулиудыг зураг төсөл боловсруулахдаа ашигласан архитекторуудын нэг юм. алтан харьцааны тухай бүтээн байгуулалт.

Дизайн дахь пропорцийг ашиглах

Хувцасны дизайнд бүх загвар зохион бүтээгчид хүний ​​​​биеийн харьцаа, алтан харьцааны дүрмийг харгалзан шинэ дүр төрх, загварыг бий болгодог, гэхдээ байгалиасаа бүх хүмүүс хамгийн тохиромжтой харьцаатай байдаггүй.

Ландшафтын дизайныг төлөвлөж, ургамал (мод, бут сөөг), усан оргилуур, жижиг архитектурын объектын тусламжтайгаар гурван хэмжээст цэцэрлэгт хүрээлэнгийн найрлагыг бий болгохдоо "бурханлаг харьцаа" -ын хуулийг бас ашиглаж болно. Эцсийн эцэст, цэцэрлэгт хүрээлэнгийн найрлага нь зочдод сэтгэгдэл төрүүлэхэд чиглэгдсэн байх ёстой бөгөөд тэд үүнийг чөлөөтэй жолоодож, найрлагын төвийг олох боломжтой болно.

Цэцэрлэгт хүрээлэнгийн бүх элементүүд нь геометрийн бүтэц, харьцангуй байрлал, гэрэлтүүлэг, гэрлийн тусламжтайгаар зохицол, төгс төгөлдөр байдлын сэтгэгдэл төрүүлэхийн тулд ийм харьцаатай байдаг.

Алтан харьцааг кибернетик, технологид ашиглах

Алтан зүсэлт ба Фибоначчийн тооны хуулиуд нь энергийн шилжилт, химийн нэгдлүүдийг бүрдүүлдэг элементар тоосонцортой холбоотой процессууд, сансрын системүүд, ДНХ-ийн генетикийн бүтцэд илэрдэг.

Үүнтэй төстэй үйл явц нь хүний ​​​​биед тохиолддог бөгөөд түүний амьдралын биоритмууд, эрхтнүүдийн үйл ажиллагаа, жишээлбэл, тархи эсвэл алсын хараагаар илэрдэг.

Орчин үеийн кибернетик, компьютерийн шинжлэх ухаанд алтан харьцааны алгоритм ба хэв маягийг өргөн ашигладаг. Шинэхэн програмистуудын шийдэх энгийн даалгавруудын нэг бол томъёо бичих, програмчлалын хэл ашиглан Фибоначчийн тоонуудын нийлбэрийг тодорхой тоо хүртэл тодорхойлох явдал юм.

Алтан харьцааны онолын орчин үеийн судалгаа

20-р зууны дунд үеэс эхлэн алтан харьцааны хуулиудын асуудал, хүний ​​амьдралд үзүүлэх нөлөөллийн сонирхол эрс нэмэгдэж, математикч, угсаатны судлаач, биологич, философич, эмнэлгийн ажилчид, эдийн засагч, хөгжимчид зэрэг янз бүрийн мэргэжлээр ажилладаг олон эрдэмтдийн сонирхол эрс нэмэгдэж байна. , гэх мэт.

АНУ-д The ​​Fibonacci Quarterly сэтгүүл 1970-аад оноос хэвлэгдэж эхэлсэн бөгөөд энэ сэдвээр бүтээлүүд хэвлэгджээ. Алтан харьцааны ерөнхий дүрмүүд ба Фибоначчийн цувралыг мэдлэгийн янз бүрийн салбарт ашигласан бүтээлүүд хэвлэлд гарч байна. Жишээлбэл, мэдээллийн кодчилол, химийн судалгаа, биологийн судалгаа гэх мэт.

Энэ бүхэн нь алтан хувь нь шинжлэх ухааны суурь асуудлуудтай олон талт холбоотой бөгөөд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн олон бүтээл, үзэгдлийн тэгш хэмээр илэрдэг гэсэн эртний болон орчин үеийн эрдэмтдийн дүгнэлтийг баталж байна.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Фибоначчийн тоо ба алтан харьцаахүрээлэн буй ертөнцийг ойлгох, түүний хэлбэр, оновчтой харааны ойлголтыг бий болгох үндэс суурийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүний тусламжтайгаар тэрээр гоо үзэсгэлэн, эв найрамдлыг мэдрэх боломжтой болно.

Алтан харьцааны хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох зарчим нь бүхэл бүтэн ертөнц, түүний хэсгүүдийн бүтэц, үйл ажиллагааны төгс төгөлдөр байдлын үндэс бөгөөд түүний илрэлийг байгаль, урлаг, технологид харж болно. Алтан пропорцын тухай сургаал нь эртний эрдэмтдийн тоон шинж чанарын талаархи судалгааны үр дүнд бий болсон.

Эртний сэтгэгчид алтан харьцааг ашиглаж байсныг нотлох баримтыг 3-р зуунд бичсэн Евклидийн "Элементүүд" номонд оруулсан болно. Тогтмол таван өнцөгт байгуулахдаа энэ дүрмийг ашигласан МЭӨ. Пифагорчуудын дунд энэ дүрс нь тэгш хэмтэй, тэгш хэмтэй байдаггүй тул ариун гэж тооцогддог. Пентаграм нь амьдрал, эрүүл мэндийг бэлэгддэг.

Фибоначчийн тоо

Хожим нь Фибоначчи гэгдэх болсон Италийн математикч Пизагийн Леонардогийн алдарт Liber abaci ном 1202 онд хэвлэгджээ. Түүнд эрдэмтэн анх удаагаа тоонуудын нийлбэр болох цувралын загварыг иш татсан байдаг. Өмнөх 2 цифр. Фибоначчийн тооны дараалал дараах байдалтай байна.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 гэх мэт.

Эрдэмтэн мөн хэд хэдэн хэв маягийг иш татав.

Цувралаас дараагийн тоонд хуваасан дурын тоо нь 0.618 гэсэн утгатай тэнцүү байна. Түүгээр ч барахгүй Фибоначчийн эхний тоонууд ийм тоог өгдөггүй, гэхдээ бид дарааллын эхнээс шилжих тусам энэ харьцаа улам бүр үнэн зөв байх болно.

Хэрэв та цувралын тоог өмнөх тоонд хуваах юм бол үр дүн нь 1.618 болно.

Нэг тоог дараагийн нэгээр хуваасан тоо нь 0.382 гэсэн утгыг харуулна.

Алтан харьцааны холболт ба хэв маягийн хэрэглээ, Фибоначчийн тоо (0.618) нь зөвхөн математикт төдийгүй байгаль, түүх, архитектур, барилга байгууламж болон бусад олон шинжлэх ухаанд байдаг.

Практик зорилгоор тэдгээр нь Φ = 1.618 эсвэл Φ = 1.62 гэсэн ойролцоо утгатай хязгаарлагддаг. Бөөрөнхий хувийн утгын хувьд алтан харьцаа нь аливаа утгыг 62% ба 38% гэсэн харьцаагаар хуваах явдал юм.

Түүхээс үзэхэд алтан зүсэлтийг анх АВ хэрчимийг С цэгээр хоёр хэсэгт хуваах гэж нэрлэдэг байсан (AC сегмент бага ба ВС том сегмент), ингэснээр AC/BC = BC/AB сегментүүдийн уртын хувьд үнэн байв. Энгийнээр хэлбэл, алтан харьцаа нь сегментийг тэгш бус хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд ингэснээр том хэсэг нь бүхэлдээ сегменттэй холбоотой байдаг шиг жижиг хэсэг нь том хэсэгтэй холбоотой байдаг. Хожим нь энэ ойлголтыг дурын хэмжигдэхүүн болгон өргөжүүлсэн.

Φ тоог бас нэрлэдэгалтан тоо.

Алтан харьцаа нь олон гайхамшигтай шинж чанартай боловч үүнээс гадна олон зохиомол шинж чанаруудтай холбоотой байдаг.

Одоо дэлгэрэнгүй:

GS-ийн тодорхойлолт нь сегментийг хоёр хэсэгт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр (бүх сегмент) том хэсэгтэй харьцуулахад том хэсэг нь жижиг хэсэгтэй холбоотой байдаг.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид c сегментийг бүхэлд нь 1 гэж авбал a сегмент нь 0.618, b сегмент - 0.382-тэй тэнцүү байх болно. Тиймээс, хэрэв бид жишээлбэл, 3S зарчмын дагуу баригдсан сүмийг авбал түүний өндөр нь 10 метр бол бөмбөгөртэй бөмбөрийн өндөр нь 3.82 см, өндөр нь 3.82 см байх болно. бүтцийн суурь нь 6.18 см байх болно (тодорхой болгохын тулд тоонуудыг тэгшхэн авсан нь тодорхой байна)

ZS болон Фибоначчийн тоонуудын хооронд ямар холбоотой вэ?

Фибоначчийн дарааллын дугаарууд нь:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Тоонуудын загвар нь дараагийн тоо бүр өмнөх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 гэх мэт.

мөн зэргэлдээх тоонуудын харьцаа нь ZS-ийн харьцаанд ойртдог.
Тэгэхээр 21: 34 = 0.617, 34: 55 = 0.618 байна.

Өөрөөр хэлбэл, GS нь Фибоначчийн дарааллын тоон дээр суурилдаг.

“Алтан харьцаа” гэдэг нэр томьёог Леонардо Да Винчи “Математикч биш хэн ч миний бүтээлийг уншиж зүрхлэхийг бүү зөвшөөр” гэж хэлж, “Витрувын хүн” хэмээх алдарт зургаараа хүний ​​биеийн харьцааг харуулсан гэж үздэг. ”. "Хэрэв бид орчлон ертөнцийн хамгийн төгс бүтээл болох хүний ​​дүрсийг бүсээр уяж, бүсээс хөл хүртэлх зайг хэмжих юм бол энэ утга нь ижил бүсээс толгойны орой хүртэлх зайтай хамааралтай болно. яг л хүний ​​бүх өндөр нь бэлхүүсээс хөл хүртэлх урттай холбоотой байдаг."

Фибоначчийн тооны цувралыг спираль хэлбэрээр нүдээр загварчилсан (материалжуулсан).

Байгаль дээр GS спираль дараах байдалтай байна.

Үүний зэрэгцээ спираль хаа сайгүй ажиглагддаг (байгаль дээр төдийгүй):

Ихэнх ургамлын үр нь спираль хэлбэрээр байрладаг
- Аалз спираль хэлбэрээр сүлждэг
- Хар салхи спираль шиг эргэлдэж байна
- Айсан цаа бугын сүрэг спираль хэлбэрээр тарж байна.
- ДНХ молекул нь давхар мушгиа хэлбэртэй мушгирсан байдаг. ДНХ-ийн молекул нь 34 ангстромын урт, 21 ангстром өргөнтэй, босоо байдлаар холбогдсон хоёр мушгианаас тогтдог. 21 ба 34 тоонууд Фибоначчийн дарааллаар бие биенээ дагадаг.
- Үр хөврөл нь спираль хэлбэрээр хөгждөг
- Дотор чихний дунгийн спираль
- Ус нь спираль хэлбэрээр урсдаг
- Спираль динамик нь хүний ​​хувийн шинж чанар, түүний үнэлэмжийг спираль хэлбэрээр харуулдаг.
- Мэдээж Галакси өөрөө спираль хэлбэртэй

Тиймээс байгаль өөрөө Алтан хэсгийн зарчмын дагуу бүтээгдсэн гэж маргаж болно, иймээс энэ харьцаа нь хүний ​​нүдээр илүү зохицсон байдаг. Энэ нь дэлхийн дүр төрхийг "засварлах" эсвэл нэмэлт зүйл шаарддаггүй.

Кино. Бурханы тоо. Бурханы няцаашгүй нотолгоо; Бурханы тоо. Бурханы маргаангүй нотолгоо.

ДНХ молекулын бүтцэд алтан харьцаа

Амьд биетийн физиологийн шинж чанаруудын талаархи бүх мэдээлэл нь бичил харуурын ДНХ молекулд хадгалагддаг бөгөөд бүтэц нь алтан харьцааны хуулийг агуулдаг. ДНХ-ийн молекул нь босоо тэнхлэгт холбогдсон хоёр спиральаас бүрдэнэ. Эдгээр спираль бүрийн урт нь 34 ангстром, өргөн нь 21 ангстром юм. (1 ангстром нь сантиметрийн зуун сая дахь нэг юм).

21 ба 34 нь Фибоначчийн тоонуудын дарааллаар бие биенээ дагаж байгаа тоонууд бөгөөд өөрөөр хэлбэл ДНХ молекулын логарифм спираль урт ба өргөний харьцаа нь алтан харьцаа 1:1.618 гэсэн томъёог агуулдаг.

Бичил ертөнцийн бүтэц дэх алтан харьцаа

Геометрийн дүрс нь зөвхөн гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт эсвэл зургаан өнцөгтөөр хязгаарлагдахгүй. Хэрэв бид эдгээр дүрсийг өөр хоорондоо өөр өөр аргаар холбовол гурван хэмжээст геометрийн шинэ дүрсүүд гарч ирнэ. Үүний жишээ бол шоо эсвэл пирамид гэх мэт дүрсүүд юм. Гэхдээ тэднээс гадна бидний өдөр тутмын амьдралд таарч байгаагүй, нэрийг нь магадгүй анх удаа сонсож байгаа гурван хэмжээст дүрсүүд бас бий. Ийм гурван хэмжээст дүрсүүдийн дунд тетраэдр (ердийн дөрвөн талт дүрс), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр гэх мэт орно. Додекаэдр нь 13 таван өнцөгтөөс, икосаэдр нь 20 гурвалжингаас бүрдэнэ. Математикчид эдгээр тоонууд нь математикийн хувьд маш амархан хувирдаг бөгөөд тэдгээрийн өөрчлөлт нь алтан харьцааны логарифм спираль томьёоны дагуу явагддаг гэдгийг тэмдэглэжээ.

Бичил ертөнцийн хувьд алтан харьцаагаар бүтээгдсэн гурван хэмжээст логарифмын хэлбэрүүд хаа сайгүй байдаг. Жишээлбэл, олон тооны вирусууд икозаэдр гурван хэмжээст геометрийн хэлбэртэй байдаг. Магадгүй эдгээр вирусуудаас хамгийн алдартай нь Адено вирус юм. Адено вирусын уургийн бүрхүүл нь тодорхой дарааллаар байрлуулсан 252 нэгж уургийн эсээс үүсдэг. Икосаэдрийн өнцөг булан бүрт таван өнцөгт призм хэлбэртэй 12 нэгж уургийн эсүүд байдаг бөгөөд эдгээр булангуудаас баяжуулалт хэлбэртэй бүтэцүүд үргэлжилдэг.

Вирусын бүтэц дэх алтан харьцааг 1950-иад онд анх илрүүлсэн. Лондонгийн Биркбек коллежийн эрдэмтэд А.Клуг, Д.Каспар нар. 13 Полио вирус нь логарифмын хэлбэрийг харуулсан анхны хүн юм. Энэ вирусын хэлбэр нь Rhino 14 вирусын хэлбэртэй төстэй болсон.

Хүний оюун ухаанд ч бүтээхэд хэцүү, бүтэц нь алтан харьцааг агуулсан гурван хэмжээст цогц хэлбэрийг вирус яаж үүсгэдэг вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Вирусын эдгээр хэлбэрийг нээсэн вирус судлаач А.Клуг дараах тайлбарыг өгч байна.

"Доктор Каспар бид хоёр вирусын бөмбөрцөг бүрхүүлийн хувьд хамгийн оновчтой хэлбэр нь икосаэдр хэлбэрийн тэгш хэм гэдгийг харуулсан. Энэ дараалал нь холбох элементүүдийн тоог багасгадаг ... Бакминстер Фуллерийн геодезийн хагас бөмбөрцөг кубуудын ихэнх нь ижил төстэй геометрийн зарчим дээр баригдсан. 14 Ийм шоо суурилуулах нь маш нарийвчлалтай, нарийвчилсан тайлбар диаграммыг шаарддаг. Харин ухамсаргүй вирусууд өөрсдөө уян хатан, уян хатан уургийн эсийн хэсгүүдээс ийм нарийн төвөгтэй бүрхүүл үүсгэдэг."

Математикийг "бүх шинжлэх ухааны хатан хаан" гэж нэрлэдэг гэж та сонсож байсан уу? Та энэ мэдэгдэлтэй санал нийлж байна уу? Математик таны хувьд сурах бичигт уйтгартай бодлогууд хэвээр үлдэж байгаа цагт та энэ шинжлэх ухааны гоо үзэсгэлэн, олон талт байдал, тэр ч байтугай хошин шогийг мэдрэх нь бараг боломжгүй юм.

Гэхдээ математикт бидний нийтлэг зүйл, үзэгдлийн талаар сонирхолтой ажиглалт хийхэд тусалдаг сэдвүүд байдаг. Тэр ч байтугай манай Орчлон ертөнцийг бүтээх нууцын хөшиг рүү нэвтрэхийг хичээ. Дэлхий дээр математикийн тусламжтайгаар дүрсэлж болох сонирхолтой загварууд байдаг.

Фибоначчийн тоонуудыг танилцуулж байна

Фибоначчийн тоотооны дарааллын элементүүдийг нэрлэ. Үүнд цувралын дараагийн тоо бүрийг өмнөх хоёр тоог нэгтгэн гаргаж авдаг.

Жишээ дараалал: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Та сөрөг утгатай Фибоначчийн тооны цувралыг эхлүүлж болно n. Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд дараалал нь хоёр талт (өөрөөр хэлбэл сөрөг ба эерэг тоонуудыг хамардаг) бөгөөд хоёр чиглэлд хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Ийм дарааллын жишээ: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Энэ тохиолдолд томъёо дараах байдалтай байна.

F n = F n+1 - F n+2эсвэл та үүнийг хийж болно: F -n = (-1) n+1 Fn.

Одоо бидний мэддэг "Фибоначчийн тоо" гэж эртний Энэтхэгийн математикчид Европт ашиглагдаж эхлэхээс өмнө мэддэг байсан. Энэ нэр нь ерөнхийдөө нэг үргэлжилсэн түүхэн анекдот юм. Фибоначчи өөрөө амьдралынхаа туршид өөрийгөө хэзээ ч Фибоначчи гэж нэрлэж байгаагүйгээс эхэлье - энэ нэрийг Пизагийн Леонардо нас барснаас хойш хэдхэн зууны дараа хэрэглэж эхэлсэн. Гэхдээ бүгдийг дарааллаар нь ярья.

Пизагийн Леонардо буюу Фибоначчи

Худалдаачны хүү математикч болж, улмаар Дундад зууны үед Европын анхны томоохон математикч хэмээн хойч үедээ хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Наад зах нь Фибоначчийн тоонуудын ачаар (энэ нь одоохондоо ингэж нэрлэгдээгүй байсан гэдгийг бид санаж байна). Үүнийг тэрээр 13-р зууны эхээр "Либер абачи" ("Абакийн ном", 1202) бүтээлдээ дүрсэлсэн байдаг.

Би аавтайгаа хамт Дорнод руу аялж, Леонардо араб багш нартай математикийн чиглэлээр суралцсан (тэр үед тэд энэ асуудал болон бусад олон шинжлэх ухааны хамгийн шилдэг мэргэжилтнүүд байсан). Тэрээр Эртний болон Эртний Энэтхэгийн математикчдын бүтээлийг араб хэлээр орчуулан уншсан.

Уншсан бүхнээ сайтар ойлгож, өөрийн сониуч сэтгэлгээг ашиглан Фибоначчи математикийн талаар хэд хэдэн шинжлэх ухааны бүтээл туурвисан бөгөөд үүнд дээр дурдсан "Абакийн ном" багтжээ. Үүнээс гадна би бүтээсэн:

• "Practica geometriae" ("Геометрийн дадлага", 1220);
• "Флос" ("Цэцэг", 1225 - куб тэгшитгэлийн судалгаа);
• “Liber quadratorum” (“Квадратуудын ном”, 1225 – тодорхойгүй квадрат тэгшитгэлийн бодлого).

Тэрээр математикийн тэмцээнүүдийн маш их шүтэн бишрэгч байсан тул тэрээр төрөл бүрийн математикийн бодлогуудыг шинжлэхэд ихээхэн анхаарал хандуулдаг байв.

Леонардогийн амьдралын талаар маш бага намтар мэдээлэл үлдсэн. Математикийн түүхэнд орж ирсэн Фибоначчийн нэрний хувьд зөвхөн 19-р зуунд л түүнд оноосон юм.

Фибоначчи ба түүний асуудлууд

Фибоначчийн дараа дараагийн зуунд математикчдын дунд маш их алдартай байсан олон тооны асуудлууд үлдсэн. Бид Фибоначчийн тоогоор шийдэгдсэн туулайн асуудлыг авч үзэх болно.

Туулай бол зөвхөн үнэ цэнэтэй үслэг эдлэл биш юм

Фибоначчи дараахь нөхцлийг тавьсан: ийм сонирхолтой үүлдрийн шинэ төрсөн туулай (эрэгтэй, эмэгтэй) байдаг бөгөөд тэд тогтмол (хоёр дахь сараас эхлэн) үр удмаа гаргадаг - үргэлж нэг шинэ хос туулай. Мөн таны таамаглаж байгаагаар эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүс.

Эдгээр нөхцөлт туулайг хязгаарлагдмал орчинд байрлуулж, урам зоригтойгоор үржүүлдэг. Мөн ямар нэгэн нууцлаг туулайн өвчнөөр нэг ч туулай үхдэггүй гэж заасан байдаг.

Жилд хэдэн туулай авах вэ гэдгээ тооцоолох хэрэгтэй.

• 1 сарын эхээр бид 1 хос туулайтай. Сарын сүүлээр тэд гэрлэнэ.
• Хоёр дахь сар - бид аль хэдийн 2 хос туулайтай (хос нь эцэг эхтэй + 1 хос нь тэдний үр удам юм).
• Гурав дахь сар: Эхний хос нь шинэ хосыг төрүүлж, хоёр дахь хос хосыг төрүүлдэг. Нийт - 3 хос туулай.
• Дөрөвдүгээр сар: Эхний хос нь шинэ хос төрүүлдэг, хоёр дахь хос нь цаг алдахгүй, мөн шинэ хос төрүүлдэг, гурав дахь хос нь дөнгөж нийлж байна. Нийт - 5 хос туулай.

туулайн тоо n th сар = өмнөх сарын хос туулайн тоо + шинэ төрсөн хосын тоо (одооноос 2 сарын өмнө хос туулайтай ижил тооны хос туулай байна). Энэ бүгдийг дээр дурдсан томъёогоор тайлбарлав. F n = F n-1 + F n-2.

Тиймээс бид дахин давтагдах (тайлбар рекурс– доор) тооны дараалал. Дараагийн тоо бүр өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү байна:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Та дарааллыг удаан хугацаанд үргэлжлүүлж болно: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Гэхдээ бид тодорхой хугацаа буюу нэг жилийг тогтоосон тул 12 дахь "нүүдэл" дээр гарсан үр дүнг сонирхож байна. Тэдгээр. Дарааллын 13 дахь гишүүн: 377.

Асуудлын хариулт: Хэрэв заасан бүх нөхцөл хангагдсан бол 377 туулай авна.

Фибоначчийн тооны дарааллын нэг шинж чанар нь маш сонирхолтой юм. Хэрэв та цувралаас хоёр дараалсан хосыг авч, их тоог бага тоонд хуваавал үр дүн нь аажмаар ойртох болно. алтан харьцаа(Та энэ талаар дэлгэрэнгүйг нийтлэлээс уншиж болно).

Математикийн хувьд, "харилцааны хязгаар a n+1руу a nалтан харьцаатай тэнцүү".

Тооны онолын бусад асуудлууд

1. 7-д хуваагдаж болох тоог ол.Мөн 2,3,4,5,6-д хуваавал үлдэгдэл нь нэг болно.
2. Квадрат тоог ол. Хэрэв та 5-ыг нэмж эсвэл 5-ыг хасвал дахин квадрат тоо гарч ирдэг гэдгийг мэддэг.

Эдгээр асуудлын хариултыг өөрөө хайхыг бид танд санал болгож байна. Та энэ нийтлэлийн сэтгэгдэлд сонголтоо үлдээж болно. Дараа нь бид таны тооцоолол зөв эсэхийг танд хэлэх болно.

Рекурсын тайлбар

Рекурс– энэ объект эсвэл процессыг агуулсан объект, процессын тодорхойлолт, тайлбар, дүрслэл. Өөрөөр хэлбэл, мөн чанартаа объект эсвэл үйл явц нь өөрийн нэг хэсэг юм.

Рекурсийг математик, компьютерийн шинжлэх ухаан, тэр ч байтугай урлаг, нийтийн соёлд өргөн ашигладаг.

Фибоначчийн тоог давталтын хамаарлыг ашиглан тодорхойлно. Дугаарын хувьд n>2 n- e тоо тэнцүү байна (n – 1) + (n – 2).

Алтан харьцааны тайлбар

Алтан харьцаа- бүхэл хэсгийг (жишээлбэл, сегментийг) дараах зарчмын дагуу холбогдох хэсгүүдэд хуваах: том хэсэг нь жижиг хэсэгтэй бүхэл утгын адил (жишээлбэл, хоёр сегментийн нийлбэр) хамааралтай байна. илүү том хэсэг рүү.

Алтан харьцааны тухай анхны дурдлагыг Евклид "Элементүүд" (МЭӨ 300 орчим) зохиолоос олж болно. Тогтмол тэгш өнцөгтийг бүтээх ажлын хүрээнд.

Бидэнд танил болсон нэр томъёог 1835 онд Германы математикч Мартин Ом гүйлгээнд нэвтрүүлсэн.

Хэрэв бид алтан харьцааг ойролцоогоор тайлбарлавал энэ нь ойролцоогоор 62% ба 38% гэсэн хоёр тэнцүү бус хэсэгт пропорциональ хуваагдлыг илэрхийлнэ. Тоон утгаараа алтан харьцаа нь тоо юм 1,6180339887 .

Алтан харьцаа нь дүрслэх урлаг (Леонардо да Винчи болон Сэргэн мандалтын үеийн бусад зураачдын зурсан зургууд), архитектур, кино урлаг (С. Есенштейн "Байлдааны Потемкин") болон бусад салбарт практик хэрэглээг олж авдаг. Удаан хугацааны туршид алтан харьцаа нь хамгийн гоо зүйн харьцаа гэж үздэг байсан. Энэ үзэл бодол өнөөг хүртэл алдартай хэвээр байна. Хэдийгээр судалгааны үр дүнгээс харахад ихэнх хүмүүс энэ пропорцийг хамгийн амжилттай сонголт гэж үздэггүй бөгөөд хэт урт (пропорциональ бус) гэж үздэг.

• Хэсгийн урт -тай = 1, А = 0,618, б = 0,382.
• Хандлага -тайруу А = 1, 618.
• Хандлага -тайруу б = 2,618

Одоо Фибоначчийн тоонууд руу буцаж орцгооё. Түүний дарааллаас хоёр дараалсан гишүүнийг авъя. Илүү их тоог жижиг тоонд хувааж, ойролцоогоор 1.618 болно. Одоо бид ижил том тоо болон цувралын дараагийн гишүүнийг (өөрөөр хэлбэл илүү том тоо) ашиглаж байна - тэдгээрийн харьцаа эрт 0.618 байна.

Энд жишээ байна: 144, 233, 377.

233/144 = 1.618 ба 233/377 = 0.618

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та дарааллын эхнээс (жишээлбэл, 2, 3, 5) тоонуудтай ижил туршилт хийхийг оролдвол юу ч ажиллахгүй. За бараг л. Алтан харьцааны дүрмийг дарааллын эхэнд бараг дагаж мөрддөггүй. Гэхдээ та цувралын дагуу явж, тоо нэмэгдэх тусам энэ нь маш сайн ажилладаг.

Фибоначчийн тоонуудын бүхэл бүтэн цувралыг тооцоолохын тулд дараалсан гурван гишүүний дарааллыг мэдэхэд хангалттай. Та үүнийг өөрөө харж болно!

Алтан тэгш өнцөгт ба Фибоначчийн спираль

Фибоначчийн тоо ба алтан харьцааны өөр нэг сонирхолтой параллель бол "алтан тэгш өнцөгт" гэж нэрлэгддэг зүйл юм: талууд нь 1.618-аас 1-ийн харьцаатай. Гэхдээ бид 1.618 гэж юу болохыг аль хэдийн мэддэг болсон, тийм үү?

Жишээлбэл, Фибоначчийн цувралын 8 ба 13 гэсэн дараалсан хоёр гишүүнийг авч, өргөн = 8, урт = 13 гэсэн параметртэй тэгш өнцөгтийг байгуулъя.

Дараа нь бид том тэгш өнцөгтийг жижиг хэсгүүдэд хуваана. Шаардлагатай нөхцөл: тэгш өнцөгтийн талуудын урт нь Фибоначчийн тоотой тохирч байх ёстой. Тэдгээр. Том тэгш өнцөгтийн хажуугийн урт нь хоёр жижиг тэгш өнцөгтийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байх ёстой.

Энэ зурагт хэрхэн яаж хийгдсэн (хялбар байхын тулд тоонуудыг латин үсгээр тэмдэглэсэн).

Дашрамд хэлэхэд та урвуу дарааллаар тэгш өнцөгтийг барьж болно. Тэдгээр. 1-ийн талтай квадратуудыг барьж эхлээрэй. Үүний тулд дээр дурдсан зарчмыг удирдлага болгон Фибоначчийн тоотой тэнцүү талуудтай зургуудыг хийж дуусгана. Онолын хувьд үүнийг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно - эцсийн эцэст Фибоначчийн цуврал нь албан ёсоор хязгааргүй юм.

Хэрэв бид зураг дээр олж авсан тэгш өнцөгтүүдийн булангуудыг гөлгөр шугамаар холбовол бид логарифмын спираль авна. Өөрөөр хэлбэл, түүний онцгой тохиолдол бол Фибоначчийн спираль юм. Энэ нь ялангуяа хил хязгааргүй, хэлбэр дүрсээ өөрчилдөггүй гэдгээрээ онцлог юм.

Үүнтэй төстэй спираль ихэвчлэн байгальд байдаг. Далайн хясаа нь хамгийн гайхалтай жишээнүүдийн нэг юм. Түүгээр ч барахгүй дэлхийгээс харж болох зарим галактикууд спираль хэлбэртэй байдаг. Хэрэв та зурагтаар гарч буй цаг агаарын мэдээг анхаарч үзвэл, хиймэл дагуулаас зураг авахдаа циклонууд ижил төстэй спираль хэлбэртэй болохыг анзаарсан байх.

ДНХ-ийн спираль нь алтан хэсгийн дүрмийг дагаж мөрддөг нь сонирхолтой юм - түүний гулзайлтын интервалаас харгалзах хэв маягийг харж болно.

Ийм гайхалтай "санамсаргүй тохиолдлууд" нь оюун ухааныг өдөөж, орчлон ертөнцийн бүх үзэгдэл дагаж мөрддөг тодорхой нэг алгоритмын тухай ярихад хүргэдэг. Энэ нийтлэлийг яагаад ингэж нэрлэснийг та одоо ойлгож байна уу? Математик танд ямар гайхалтай ертөнцүүдийг нээж чадах вэ?

Байгаль дахь Фибоначчийн тоо

Фибоначчийн тоо ба алтан харьцааны хоорондох холбоо нь сонирхолтой хэв маягийг санал болгодог. Байгалийн хувьд, тэр байтугай түүхэн үйл явдлын үеэр Фибоначчийн тоотой төстэй дарааллыг олохыг оролдох нь маш сонирхолтой юм. Мөн байгаль үнэхээр ийм таамаглалыг бий болгодог. Гэхдээ бидний амьдралын бүх зүйлийг математик ашиглан тайлбарлаж, тайлбарлаж болох уу?

Фибоначчийн дарааллыг ашиглан дүрсэлж болох амьд биетүүдийн жишээ:

• ургамал дахь навч (болон мөчир) -ийн байршил - тэдгээрийн хоорондох зай нь Фибоначчийн тоо (филлотаксис) -тай хамааралтай;

• наранцэцгийн үрийг зохион байгуулах (үрийг янз бүрийн чиглэлд мушгисан хоёр эгнээнд байрлуулсан: нэг эгнээ цагийн зүүний дагуу, нөгөө нь цагийн зүүний эсрэг);

• нарсны боргоцой масштабын зохион байгуулалт;
• цэцгийн дэлбээ;
• хан боргоцойны эсүүд;
• хүний ​​гар дээрх хурууны фалангуудын уртын харьцаа (ойролцоогоор) гэх мэт.

Комбинаторикийн асуудлууд

Фибоначчийн тоог комбинаторикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.

Комбинаторикзориулалтын олонлогоос тодорхой тооны элемент сонгох, тоолох гэх мэтийг судалдаг математикийн салбар юм.

Ахлах сургуулийн түвшинд зориулагдсан комбинаторикийн асуудлын жишээг авч үзье (эх сурвалж - http://www.problems.ru/).

Даалгавар №1:

Леша 10 шаттай шатаар авирдаг. Нэг удаа тэр нэг алхам эсвэл хоёр алхам үсэрдэг. Леша шатаар хэдэн замаар авирч чадах вэ?

Леша шатаар авирч болох хэд хэдэн арга зам nалхамуудыг тэмдэглэе болон n.Үүнийг дагадаг a 1 = 1, a 2= 2 (эцсийн эцэст Леша нэг эсвэл хоёр алхмаар үсэрдэг).

Мөн Леша шатаар үсэрдэг гэдэгтэй санал нэг байна n> 2 алхамууд. Тэр анх удаагаа хоёр алхам үсэрсэн гэж бодъё. Энэ нь асуудлын нөхцөл байдлын дагуу тэр өөр үсрэх шаардлагатай гэсэн үг юм n - 2алхамууд. Дараа нь авиралтыг дуусгах хэд хэдэн арга замыг тодорхойлсон болно a n–2. Хэрэв бид Леша анх удаагаа нэг алхам үсэрсэн гэж үзвэл авиралтыг дуусгах хэд хэдэн арга замыг тайлбарлах болно. a n–1.

Эндээс бид дараахь тэгш байдлыг олж авна. a n = a n–1 + a n–2(танил харагдаж байна, тийм үү?).

Бид мэдэж байгаа болохоор a 1Тэгээд a 2Асуудлын нөхцлийн дагуу 10 алхам байдаг гэдгийг санаарай, бүгдийг дарааллаар нь тооцоол a n: a 3 = 3, a 4 = 5, а 5 = 8, a 6 = 13, а 7 = 21, а 8 = 34, а 9 = 55, а 10 = 89.

Хариулт: 89 арга.

Даалгавар №2:

Та зөвхөн "a" ба "b" үсгүүдээс бүрдэх 10 үсэгтэй үгсийн тоог олох хэрэгтэй бөгөөд дараалан хоёр "b" үсэг агуулаагүй байх ёстой.

-ээр тэмдэглэе a nүгийн тоо урт nзөвхөн "а" ба "б" үсгээс бүрдэх ба дараалан хоёр "б" үсэг агуулаагүй үсэг. гэсэн үг, a 1= 2, a 2= 3.

Дарааллаар нь a 1, a 2, <…>, a nБид дараагийн гишүүдээ өмнөх гишүүдээрээ дамжуулан илэрхийлэх болно. Тиймээс урттай үгсийн тоо байна n"б" давхар үсэг агуулаагүй, "а" үсгээр эхэлдэг үсэг a n–1. Хэрэв үг урт бол nүсэг нь "б" үсгээр эхэлдэг, ийм үгийн дараагийн үсэг нь "а" байх нь логик юм (эцэст нь асуудлын нөхцлийн дагуу хоёр "б" байж болохгүй). Тиймээс урттай үгсийн тоо байна nэнэ тохиолдолд бид үсгүүдийг гэж тэмдэглэнэ a n–2. Эхний болон хоёр дахь тохиолдолд аль ч үг (урт n - 1Тэгээд n - 2үсэг тус тус) давхар "б" байхгүй.

Бид яагаад гэдгийг зөвтгөж чадсан a n = a n–1 + a n–2.

Одоо тооцоолъё a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, а 10= а 9+ а 8= 144. Тэгээд бид сайн мэддэг Фибоначчийн дарааллыг олж авдаг.

Хариулт: 144.

Даалгавар №3:

Нүдэнд хуваагдсан соронзон хальс байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь баруун тийшээ явж, тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилдэг. Соронзон хальсны эхний дөрвөлжин дээр царцаа тавь. Тэр соронзон хальсны аль ч нүдэнд байгаа тэр зөвхөн баруун тийшээ хөдөлж чадна: нэг нүд эсвэл хоёр. Царцаа соронзон хальсны эхнээс үсрэх хэд хэдэн арга байдаг n- эсүүд үү?

Туузан дагуу царцааг хөдөлгөх хэд хэдэн арга замыг зааж өгье n--р эсүүд дуртай a n. Энэ тохиолдолд a 1 = a 2= 1. Мөн дотор n+1Царцаа аль нэгээс --р нүдэнд орж болно n--р үүр, эсвэл дээгүүр нь үсрэх замаар. Эндээс a n + 1 = a n - 1 + a n. Хаана a n = Fn - 1.

Хариулт: Fn - 1.

Та өөрөө ижил төстэй бодлого үүсгэж, ангийнхантайгаа математикийн хичээл дээр шийдвэрлэхийг оролдож болно.

Алдартай соёл дахь Фибоначчийн тоо

Мэдээжийн хэрэг, Фибоначчийн тоо гэх мэт ер бусын үзэгдэл хүмүүсийн анхаарлыг татахаас өөр аргагүй юм. Энэхүү хатуу батлагдсан загварт сэтгэл татам, бүр нууцлаг зүйл байсаар байна. Фибоначчийн дараалал нь янз бүрийн жанрын орчин үеийн алдартай соёлын олон бүтээлд ямар нэгэн байдлаар "гэрэлтсэн" нь гайхах зүйл биш юм.

Бид тэдний заримын талаар танд хэлэх болно. Тэгээд чи өөрийгөө дахин хайх гэж оролдоно. Хэрэв та үүнийг олсон бол сэтгэгдэл дээр бидэнтэй хуваалцаарай - бид ч бас сонирхож байна!

• Фибоначчийн тоог Дан Брауны бестселлер "Да Винчи код" номонд дурдсан байдаг: Фибоначчийн дараалал нь номын гол баатруудын сейф нээхэд ашигладаг код болдог.
• 2009 онд Америкийн "Ноён хэн ч биш" киноны нэг ангид байшингийн хаяг нь Фибоначчийн дарааллын нэг хэсэг юм - 12358. Үүнээс гадна өөр нэг ангид гол дүрийн хүн утасны дугаар руу залгах ёстой бөгөөд энэ нь үндсэндээ адилхан боловч бага зэрэг гажсан (5-ын дараа нэмэлт цифр) дараалал: 123-581-1321.
• 2012 оны "Холболт" цувралын гол дүр болох аутизмтай хүү дэлхий дээр болж буй үйл явдлуудын зүй тогтлыг ялгаж салгаж чаддаг. Үүнд Фибоначчийн тоогоор дамжуулан. Мөн эдгээр үйл явдлыг тоогоор дамжуулан удирд.
• Doom RPG гар утсанд зориулсан java тоглоомыг хөгжүүлэгчид нэг түвшний нууц хаалгыг байрлуулсан байна. Үүнийг нээдэг код нь Фибоначчийн дараалал юм.
• 2012 онд Оросын рок хамтлаг Splin "Оптик хуурмаг" концепт цомгоо гаргасан. Найм дахь дууг “Фибоначчи” гэдэг. Бүлгийн удирдагч Александр Васильевын шүлгүүд Фибоначчийн тоонуудын дарааллаар тоглодог. Дараалсан есөн гишүүний хувьд тохирох тооны мөр байна (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Галт тэрэг хөдөллөө

1 Нэг үе тасарлаа

1 Нэг ханцуй нь чичирч байв

2 Ингээд л юмаа аваарай

Ингээд л юмаа аваарай

3 Буцалж буй ус авах хүсэлт

Галт тэрэг гол руу явдаг

Галт тэрэг тайга дундуур явдаг<…>.

• Жеймс Линдоны Лимерик (тодорхой хэлбэрийн богино шүлэг - ихэвчлэн таван мөрт, тодорхой шүлгийн схемтэй, агуулгын хувьд инээдэмтэй, эхний болон сүүлчийн мөрүүд нь бие биенээ давтдаг эсвэл хэсэгчлэн давтдаг) мөн Фибоначчийн ишлэлийг ашигладаг. инээдмийн мотивийн дараалал:

Фибоначчийн эхнэрүүдийн өтгөн хоол

Энэ нь зөвхөн тэдний ашиг тусын тулд байсан, өөр юу ч биш.

Цуу ярианы дагуу эхнэрүүд жинлэв.

Тус бүр нь өмнөх хоёртой адил юм.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

Өнөөдөр бид танд олон сонирхолтой, хэрэгтэй зүйлийг хэлж чадсан гэдэгт найдаж байна. Жишээлбэл, та одоо эргэн тойрныхоо байгальд Фибоначчийн спираль хайж болно. Магадгүй та "амьдрал, орчлон ертөнц, ерөнхийдөө нууцыг" тайлж чадах хүн байх болно.

Комбинаторикийн асуудлыг шийдэхдээ Фибоначчийн тоонуудын томъёог ашиглана уу. Та энэ нийтлэлд тайлбарласан жишээнүүдэд найдаж болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Мэдээжийн хэрэг та математик бол бүх шинжлэх ухааны хамгийн чухал нь гэсэн санааг мэддэг. Гэхдээ олон хүн үүнтэй санал нийлэхгүй байж магадгүй, учир нь... Заримдаа математик бол зүгээр л бодлого, жишээ болон үүнтэй төстэй уйтгартай зүйлс юм шиг санагддаг. Гэсэн хэдий ч математик бидэнд танил зүйлсийг огт танихгүй талаас нь хялбархан харуулж чадна. Түүгээр ч барахгүй тэрээр орчлон ертөнцийн нууцыг илчилж чадна. Яаж? Фибоначчийн тоонуудыг харцгаая.

Фибоначчийн тоо гэж юу вэ?

Фибоначчийн тоонууд нь тоон дарааллын элементүүд бөгөөд дараагийн тоо бүр нь өмнөх хоёрыг нийлбэрээр илэрхийлэгддэг, жишээлбэл: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Дүрмээр бол ийм дарааллыг дараах томъёогоор бичнэ: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Фибоначчийн тоонууд нь "n"-ийн сөрөг утгуудаас эхэлж болох боловч энэ тохиолдолд дараалал нь хоёр талт байх болно - энэ нь эерэг ба сөрөг тоог хоёуланг нь хамарч, хоёр чиглэлд хязгааргүй байх хандлагатай байх болно. Ийм дарааллын жишээ нь: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 байж болно. , 21, 34, томъёо нь: F n = F n+1 - F n+2 эсвэл F -n = (-1) n+1 Fn байх болно.

Фибоначчийн тоог бүтээгч нь Дундад зууны үеийн Европын анхны математикчдын нэг болох Пизагийн Леонардо гэж нэрлэгддэг бөгөөд түүнийг Фибоначчи гэж нэрлэдэг бөгөөд тэрээр нас барснаасаа хойш олон жилийн дараа энэ хочийг авсан юм.

Амьдралынхаа туршид Пизагийн Леонардо математикийн тэмцээнд маш их дуртай байсан тул түүний бүтээлүүд (“Liber abaci” / “Book of Abacus”, 1202; “Practica geometriae” / “Practice of Geometry”, 1220, “Flos”). / "Цэцэг", 1225) - куб тэгшитгэлийн судалгаа, "Либер квадрат" / "Квадратуудын ном", 1225 - тодорхойгүй квадрат тэгшитгэлийн талаархи асуудлууд) нь бүх төрлийн математикийн бодлогуудыг ихэвчлэн шинжилдэг.

Фибоначчийн амьдралын замын талаар маш бага зүйл мэддэг. Гэхдээ түүний асуудлууд дараагийн зуунд математикийн хүрээлэлд асар их нэр хүндтэй байсан нь тодорхой юм. Бид эдгээрийн аль нэгийг цаашид авч үзэх болно.

Туулайтай холбоотой Фибоначчийн асуудал

Даалгаврыг дуусгахын тулд зохиогч дараахь нөхцлийг тавьсан: сонирхолтой шинж чанараараа ялгагддаг шинэ төрсөн туулай (эм, эрэгтэй) байдаг - амьдралын хоёр дахь сараас эхлэн тэд шинэ хос туулай гаргадаг - мөн эмэгтэй ба эрэгтэй. Туулайг хязгаарлагдмал орчинд байлгаж, байнга үржүүлдэг. Мөн нэг ч туулай үхдэггүй.

Даалгавар: жилийн туулайн тоог тодорхойлох.

Шийдэл:

Бидэнд:

• Сарын сүүлээр нийлдэг эхний сарын эхээр нэг хос туулай
• Хоёр дахь сард хоёр хос туулай (эхний хос ба төл)
• Гурав дахь сард гурван хос туулай (эхний хос, өмнөх сарын эхний хосын төл, шинэ төл)
• Дөрөв дэх сард таван хос туулай (эхний хос, эхний хосын нэг ба хоёр дахь төл, эхний хосын гурав дахь төл, хоёрдугаар хосын эхний төл)

Сарын туулайн тоо “n” = өнгөрсөн сарын туулайн тоо + шинэ хос туулайн тоо, өөрөөр хэлбэл дээрх томьёо: F n = F n-1 + F n-2. Үүний үр дүнд шинэ тоо бүр өмнөх хоёр тооны нийлбэртэй тохирч байгаа давтагдах тооны дараалал (бид дараа нь рекурсын тухай ярих болно) үүсдэг.

1 сар: 1 + 1 = 2

2 сар: 2 + 1 = 3

3 сар: 3 + 2 = 5

4 дэх сар: 5 + 3 = 8

5 сар: 8 + 5 = 13

6 сар: 13 + 8 = 21

7 дахь сар: 21 + 13 = 34

8 дахь сар: 34 + 21 = 55

9 сар: 55 + 34 = 89

10 дахь сар: 89 + 55 = 144

11 дэх сар: 144 + 89 = 233

12 сар: 233+ 144 = 377

Энэ дараалал нь тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилж болох боловч жилийн дараа туулайн тоог олох даалгавар бол 377 хос юм.

Фибоначчийн тоонуудын нэг шинж чанар нь хэрэв та хоёр дараалсан хосыг харьцуулж, томыг нь жижгээр нь хуваах юм бол үр дүн нь алтан харьцаа руу шилжих болно гэдгийг энд тэмдэглэх нь чухал бөгөөд бид доор ярих болно. .

Энэ хооронд бид Фибоначчийн тоон дээрх хоёр асуудлыг санал болгож байна.

• Хэрэв та түүнээс 5-ыг хасвал эсвэл 5-ыг нэмбэл дахин дөрвөлжин тоо гарах болно гэдгийг бид зөвхөн мэддэг квадрат тоог тодорхойл.
• 2, 3, 4, 5 эсвэл 6-д хуваахад 1-ийн үлдэгдэл үлдэх нөхцөлтэйгээр 7-д хуваагдах тоог тодорхойл.

Ийм даалгавар нь оюун ухааныг хөгжүүлэх маш сайн арга төдийгүй зугаа цэнгэл байх болно. Мөн интернэтээс мэдээлэл хайж эдгээр асуудлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг мэдэж болно. Бид тэдэнд анхаарлаа хандуулахгүй, харин түүхээ үргэлжлүүлэх болно.

Рекурс ба алтан харьцаа гэж юу вэ?

Рекурс

Рекурс гэдэг нь тухайн объект эсвэл процессыг өөртөө агуулсан аливаа объект, үйл явцын тодорхойлолт, тодорхойлолт, дүрс юм. Өөрөөр хэлбэл объект эсвэл процессыг өөрийн нэг хэсэг гэж нэрлэж болно.

Рекурсийг зөвхөн математикийн шинжлэх ухаанд төдийгүй компьютерийн шинжлэх ухаан, нийтийн соёл, урлагт өргөн ашигладаг. Фибоначчийн тоонд хамаарах тоо нь “n>2” байвал “n” = (n-1)+(n-2) гэж хэлж болно.

Алтан харьцаа

Алтан харьцаа гэдэг нь бүхэл бүтэн хэсгийг зарчмын дагуу холбоотой хэсгүүдэд хуваах явдал юм: том нь жижиг нь нийт үнэ цэнэ нь том хэсэгтэй адил хамааралтай байдаг.

Алтан харьцааг анх Евклид ("Элементүүд" хэмээх зохиол, МЭӨ 300 онд) дурьдсан бөгөөд ердийн тэгш өнцөгтийн барилгын тухай ярьжээ. Гэсэн хэдий ч илүү танил ойлголтыг Германы математикч Мартин Ом нэвтрүүлсэн.

Ойролцоогоор алтан харьцааг 38% ба 68% гэсэн хоёр өөр хэсэгт пропорциональ хуваах хэлбэрээр илэрхийлж болно. Алтан харьцааны тоон илэрхийлэл нь ойролцоогоор 1.6180339887 байна.

Практикт алтан харьцааг архитектур, дүрслэх урлаг (бүтээлүүдийг харах), кино урлаг болон бусад салбарт ашигладаг. Удаан хугацааны туршид, одоогийнх шиг, алтан харьцааг гоо зүйн харьцаа гэж үздэг байсан ч ихэнх хүмүүс үүнийг пропорциональ бус уртасгасан гэж үздэг.

Та дараах пропорцийг баримтлан алтан харьцааг өөрөө тооцоолохыг оролдож болно.

• Сегментийн урт a = 0.618
• Хэсгийн урт b= 0.382
• Сегментийн урт c = 1
• c ба a = 1.618 харьцаа
• c ба b-ийн харьцаа = 2.618

Одоо алтан харьцааг Фибоначчийн тоонуудад хэрэглэцгээе: бид түүний дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүнийг авч, томыг нь жижиг болгон хуваана. Бид ойролцоогоор 1.618 авдаг. Хэрэв бид ижил том тоог аваад дараа нь дараагийн том тоонд хувавал ойролцоогоор 0.618 болно. Өөрөө туршаад үзээрэй: 21, 34 эсвэл өөр тоогоор "тоглох". Хэрэв бид энэ туршилтыг Фибоначчийн дарааллын эхний тоогоор хийвэл ийм үр дүн байхгүй болно, учир нь алтан харьцаа нь дарааллын эхэнд "ажилладаггүй". Дашрамд хэлэхэд Фибоначчийн бүх тоог тодорхойлохын тулд та зөвхөн эхний гурван дараалсан тоог мэдэх хэрэгтэй.

Эцэст нь хэлэхэд, бодоход хэрэгтэй хоол.

Алтан тэгш өнцөгт ба Фибоначчийн спираль

"Алтан тэгш өнцөгт" нь алтан харьцаа ба Фибоначчийн тоонуудын өөр нэг хамаарал юм, учир нь... түүний харьцаа 1.618-аас 1 байна (1.618 тоог санаарай!).

Энд жишээ байна: бид Фибоначчийн дарааллаас хоёр тоог, жишээлбэл 8 ба 13-ыг авч, 8 см өргөн, 13 см урттай тэгш өнцөгт зурж, дараа нь бид үндсэн тэгш өнцөгтийг жижиг хэсгүүдэд хуваана урт ба өргөн нь Фибоначчийн тоотой тохирч байх ёстой - том тэгш өнцөгтийн нэг ирмэгийн урт нь жижиг ирмэгийн хоёр урттай тэнцүү байх ёстой.

Үүний дараа бид бүх тэгш өнцөгтүүдийн булангуудыг гөлгөр шугамаар холбож, логарифмын спираль - Фибоначчийн спираль тусгай тохиолдлыг олж авдаг. Үүний гол шинж чанар нь хил хязгааргүй, хэлбэр өөрчлөгдөх явдал юм. Ийм спираль нь ихэвчлэн байгальд байдаг: хамгийн тод жишээ бол нялцгай биетний хясаа, хиймэл дагуулын зураг дээрх циклонууд, тэр ч байтугай олон тооны галактикууд юм. Гэхдээ хамгийн сонирхолтой нь амьд организмын ДНХ ч мөн адил дүрэмд захирагддаг, учир нь энэ нь спираль хэлбэртэй гэдгийг та санаж байна уу?

Эдгээр болон бусад олон "санамсаргүй" санамсаргүй тохиолдлууд өнөөг хүртэл эрдэмтдийн ухамсарыг хөдөлгөж, Орчлон ертөнц дэх бүх зүйл нэг алгоритм, үүнээс гадна математикийн нэг алгоритмд захирагддаг болохыг харуулж байна. Мөн энэ шинжлэх ухаан нь маш олон уйтгартай нууц, нууцыг нуудаг.