Статистикийн дундаж утгууд. Арифметик дундаж Дундаж утгын математик тэмдэглэгээ

Эдийн засгийн судалгаанд хэрэглэгддэг статистик үзүүлэлтүүдийн хамгийн түгээмэл хэлбэр нь статистикийн популяцийн шинж чанарын ерөнхий тоон үзүүлэлт болох дундаж утга юм. Дундаж утга нь янз бүрийн шинж чанаруудын аль нэгнийх нь дагуу ижил төстэй үзэгдлийн ерөнхий шинж чанарыг өгдөг. Энэ нь хүн амын нэгжид хамаарах энэхүү шинж чанарын түвшинг илэрхийлдэг. Дундаж хэмжигдэхүүнийг өргөнөөр ашиглах болсон нь тэдгээр нь эдийн засаг дахь үзэгдэл, үйл явцыг шинжлэхэд зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл болгодог олон эерэг шинж чанартай байдагтай холбон тайлбарладаг.

Дундаж утгын хамгийн чухал шинж чанар нь судалж буй хүн амын бүх нэгжид нийтлэг байдаг зүйлийг тусгадаг явдал юм. Хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын утга нь олон хүчин зүйлийн нөлөөн дор нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд хэлбэлздэг бөгөөд тэдгээрийн дунд үндсэн болон санамсаргүй байж болно. Жишээлбэл, корпорацийн хувьцааны үнийг бүхэлд нь түүний санхүүгийн байдал тодорхойлдог. Үүний зэрэгцээ, тодорхой өдөр, тодорхой бирж дээр нөхцөл байдлаас шалтгаалан эдгээр хувьцааг өндөр эсвэл бага үнээр зарж болно. Дундаж үзүүлэлтийн мөн чанар нь санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын хазайлтыг арилгаж, үндсэн хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй өөрчлөлтийг харгалзан үздэгт оршино. Энэ нь дундаж утгыг бие даасан нэгжид хамаарах бие даасан шинж чанаруудаас хийсвэрлэх боломжийг олгодог.

Дундаж утгыг ашиглах ерөнхий зарчмуудыг авч үзье.

1. Тодорхой тохиолдол бүрийн дундаж утгыг тодорхойлохдоо судалж буй шинж чанаруудын хамаарал, түүнчлэн тооцоолох боломжтой өгөгдлийг харгалзан дундаж үзүүлэлтийн чанарын агуулгад үндэслэнэ.

2. Дундаж утгыг юуны өмнө нэгэн төрлийн хүн амын дундаас гаргах ёстой. Чанарын хувьд нэгэн төрлийн популяци нь бүлэглэх аргыг олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь ерөнхий үзүүлэлтүүдийн системийг тооцоолоход үргэлж оролцдог.

3. Нийт дундаж үзүүлэлтийг бүлгийн дундаж үзүүлэлтээр батлах ёстой. Тухайлбал, тус бүрийн ургацын динамик байдалд дүн шинжилгээ хийхэд нийт дундаж ургац буурч байна гэж бодъё. Гэсэн хэдий ч, энэ ургацын ургац нь хөрс, цаг уурын болон бусад нөхцөл байдлаас хамаардаг бөгөөд тухайн бүс нутагт харилцан адилгүй байдаг. Дүүргүүдийг ялгаагаар нь бүлэглэж, бүлгийн дундаж үзүүлэлтүүдийн динамик байдалд дүн шинжилгээ хийснээр зарим дүүрэгт дундаж ургац өөрчлөгдөөгүй эсвэл нэмэгдэж байгаа бөгөөд бүгд найрамдах улсын нийт дундаж буурсан нь өсөлттэй холбоотой болохыг олж мэдэх боломжтой. энэ хөдөө аж ахуйн ургацын нийт үйлдвэрлэлд бага ургацтай талбайн эзлэх хувь . Мэдээжийн хэрэг, бүлгийн дундаж динамик нь ургацын өөрчлөлтийн хэв маягийг илүү нарийн тусгадаг бол нийт дундажийн динамик нь зөвхөн ерөнхий үр дүнг харуулдаг.

Дунджийг тооцох хүн амын нэгжийг оновчтой сонгох шаардлагатай.

Дундаж гэсэн ангиллыг түүний тухай ойлголтоор дамжуулан илрүүлж болно өмчийг тодорхойлох. Энэхүү үзэл баримтлалын дагуу дундаж нь нийт хүн амын ерөнхий шинж чанар болохын хувьд энэ хүн амын бүх нэгжтэй холбоотой тодорхой утгад төвлөрөх ёстой. Энэ утгыг функцээр илэрхийлж болно: (x 1,x 2,…x n).

Энэ утга нь ихэнх тохиолдолд бодит эдийн засгийн категорийг тусгасан байдаг тул дундаж үзүүлэлтийг тодорхойлох шинж чанарын тухай ойлголтыг заримдаа тодорхойлох үзүүлэлтийн ойлголтоор сольдог.

Хэрэв дээрх функцэд бүх x 1, x 2, x n утгуудыг дундаж утгаараа x͞ орлуулсан бол энэ функцийн утга ижил хэвээр байх ёстой.

ƒ(x 1 ,x 2 ,…,x n)=ƒ(x͞, x͞, …,x͞)

Энэ тэгшитгэл дээр үндэслэн дундажийг тодорхойлно. Практикт олон тохиолдолд дундажийг тодорхойлох боломжтой дундажийн анхны харьцаагаар дамжуулан(ОУСС) эсвэл түүний логик томъёо:

Жишээлбэл, аж ахуйн нэгжийн ажилчдын дундаж цалинг тооцоолохын тулд нийт цалингийн санг ажилчдын тоонд хуваах шаардлагатай.

Дундажийн анхны харьцааны тоологч нь түүнийг тодорхойлох үзүүлэлт юм. Дундаж цалингийн хувьд ийм тодорхойлох үзүүлэлт бол цалингийн сан юм. Бидэнд ямар анхан шатны мэдээлэл байгаа эсэхээс үл хамааран - нийт цалингийн сан эсвэл цалингийн хэмжээ, хувь хүний ​​​​албан тушаалд ажиллаж буй ажилчдын тоо, эсвэл бусад анхны өгөгдөл зэргийг мэддэг эсэхээс үл хамааран ямар ч тохиолдолд дундаж цалинг зөвхөн энэ анхны харьцааны дундаж үзүүлэлтээр олж авах боломжтой.

Эдийн засгийн шинжилгээнд ашигласан үзүүлэлт бүрийн хувьд зөвхөн нэг жинхэнэ анхны харьцааг бүрдүүлж, дундажийг тооцож болно. Жишээлбэл, та банкинд хадгаламжийн дундаж хэмжээг тооцоолох шаардлагатай бол анхны харьцаа дараах байдалтай байна.

ОУСС=

Одоо дундаж үзүүлэлтүүдийн төрлийг авч үзье. Дундажийн төрлийг сонгохдоо тухайн үзүүлэлтийн эдийн засгийн агуулга, эх сурвалж мэдээллээр тодорхойлогдоно. Тодорхой тохиолдол бүрт дундаж утгуудын аль нэгийг ашиглана:

Арифметик

Гармоник

Геометр

Квадрат

Куб гэх мэт.

Жагсаалтад орсон дундаж үзүүлэлтүүд нь ангилалд хамаарна тайвшруулахдундаж ба ерөнхий томъёогоор нэгтгэгдэнэ (c-ийн өөр утгын хувьд):

Энд x i нь авч үзэж буй шинж чанарын i-р хувилбар (i=1͞,k); f i нь i-р хувилбарын хувийн жин юм.

Эхлээд дундаж хүчийг авч үзье.

Дундаж утгыг статистикт өргөн ашигладаг. Дундаж утгууд нь арилжааны үйл ажиллагааны чанарын үзүүлэлтүүдийг тодорхойлдог: түгээлтийн зардал, ашиг, ашиг орлого гэх мэт.

Дундаж - Энэ бол нийтлэг ерөнхий арга техникүүдийн нэг юм. Дундаж үзүүлэлтийн мөн чанарыг зөв ойлгох нь зах зээлийн эдийн засагт түүний онцгой ач холбогдлыг тодорхойлдог бөгөөд дундаж нь хувь хүний ​​​​болон санамсаргүй байдлаар дамжуулан ерөнхий ба шаардлагатай зүйлийг тодорхойлох, эдийн засгийн хөгжлийн чиг хандлагыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

дундаж утга - эдгээр нь судалж буй үзэгдлийн ерөнхий нөхцөл, хэв маягийн нөлөөллийг илэрхийлдэг ерөнхий үзүүлэлтүүд юм.

Статистикийн дундаж үзүүлэлтийг статистикийн зөв зохион байгуулалттай массын ажиглалтын (тасралтгүй ба сонгомол) массын өгөгдөлд үндэслэн тооцдог. Гэсэн хэдий ч чанарын хувьд нэгэн төрлийн популяцийн (массын үзэгдэл) массын өгөгдлөөс тооцоолсон тохиолдолд статистик дундаж нь бодитой бөгөөд ердийн байх болно. Жишээлбэл, хэрэв та хоршоо, төрийн өмчит үйлдвэрийн газруудын дундаж цалинг тооцож, үр дүнг нийт хүн амд хүргэх юм бол дундаж нь зохиомол, учир нь энэ нь нэг төрлийн бус хүн амд тооцогддог тул ийм дундаж нь бүх утгыг алддаг.

Дундаж хэмжигдэхүүний тусламжтайгаар ажиглалтын бие даасан нэгжид нэг шалтгааны улмаас үүссэн шинж чанарын утгын зөрүүг арилгадаг.

Жишээлбэл, худалдагчийн дундаж бүтээмж нь олон шалтгаанаас хамаардаг: мэргэшил, ажилласан хугацаа, нас, үйлчилгээний хэлбэр, эрүүл мэнд гэх мэт.

Дундаж гарц нь нийт хүн амын ерөнхий өмчийг илэрхийлдэг.

Дундаж утга нь судалж буй шинж чанарын утгын тусгал тул энэ үзүүлэлттэй ижил хэмжигдэхүүнээр хэмжигддэг.

Дундаж утга бүр нь судалж буй хүн амыг аль нэг шинж чанарын дагуу тодорхойлдог. Хэд хэдэн чухал шинж чанаруудын дагуу судалж буй популяцийн талаар бүрэн, иж бүрэн ойлголттой болохын тулд ерөнхийдөө үзэгдлийг янз бүрийн өнцгөөс дүрсэлж чадах дундаж утгын системтэй байх шаардлагатай.

Өөр өөр дундаж үзүүлэлтүүд байдаг:

Арифметик дундаж;

геометрийн дундаж;

гармоник дундаж;

дундаж квадрат;

дундаж он дараалал.

Статистикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг дундаж үзүүлэлтүүдийн заримыг авч үзье.

Арифметик дундаж

Энгийн арифметик дундаж (жингүй) нь шинж чанарын бие даасан утгуудын нийлбэрийг эдгээр утгуудын тоонд хуваасантай тэнцүү байна.

Онцлогийн бие даасан утгыг хувилбар гэж нэрлэдэг бөгөөд x(); популяцийн нэгжийн тоог n, шинж чанарын дундаж утгыг тэмдэглэнэ . Тиймээс арифметик энгийн дундаж нь дараахтай тэнцүү байна.

Дискрет тархалтын цуврал мэдээллээс харахад ижил шинж чанарын утгууд (хувилбарууд) хэд хэдэн удаа давтагддаг нь тодорхой байна. Тиймээс x сонголт нийтдээ 2 удаа, x сонголт 16 удаа тохиолддог гэх мэт.

Түгээх эгнээн дэх шинж чанарын ижил утгуудын тоог давтамж эсвэл жин гэж нэрлэдэг бөгөөд n тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Нэг ажилтны дундаж цалинг бодъё руб.:

Ажилчдын бүлэг тус бүрийн цалингийн сан нь сонголт, давтамжийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү бөгөөд эдгээр бүтээгдэхүүний нийлбэр нь бүх ажилчдын нийт цалингийн санг өгдөг.

Үүний дагуу тооцооллыг ерөнхий хэлбэрээр танилцуулж болно.

Үр дүнгийн томъёог жигнэсэн арифметик дундаж гэж нэрлэдэг.

Боловсруулалтын үр дүнд статистик материалыг зөвхөн салангид тархалтын цуврал хэлбэрээр төдийгүй хаалттай эсвэл нээлттэй интервал бүхий интервалын вариацын цуврал хэлбэрээр танилцуулж болно.

Бүлэглэсэн өгөгдлийн дундажийг жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан тооцоолно.

Эдийн засгийн статистикийн практикт заримдаа бүлгийн дундаж буюу хүн амын бие даасан хэсгийн дундажийг (хэсэгчилсэн дундаж) ашиглан дундажийг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Ийм тохиолдолд бүлгийн болон хувийн дундажийг (x) хувилбар болгон авч, үүний үндсэн дээр нийт дундажийг энгийн жигнэсэн арифметик дундажаар тооцдог.

Арифметик дундажийн үндсэн шинж чанарууд .

Арифметик дундаж нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.

1. X шинж чанарын утга бүрийн давтамжийг n дахин багасгах буюу нэмэгдүүлэхээс арифметик дундажийн утга өөрчлөгдөхгүй.

Хэрэв бүх давтамжийг ямар нэгэн тоогоор хувааж эсвэл үржүүлбэл дундаж утга өөрчлөгдөхгүй.

2. Тодорхойлолтын хувь хүний ​​утгын нийтлэг үржүүлэгчийг дунджийн тэмдгээс давж авч болно.

3. Хоёр ба түүнээс дээш хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дундажуудын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна:

4. Хэрэв x = c, энд c нь тогтмол утга бол
.

5. X шинж чанарын утгуудын арифметик дундаж x-ээс хазайх нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Гармоник дундаж.

Арифметик дундажаас гадна статистик нь атрибутын урвуу утгын арифметик дундажийн урвуу утгын гармоник дундажийг ашигладаг. Арифметик дундажтай адил энэ нь энгийн бөгөөд жинтэй байж болно.

Вариацын цувааны шинж чанарууд нь дундаж үзүүлэлтүүдийн хамт горим ба медиан юм.

Загвар - энэ нь судалж буй популяцид хамгийн их давтагддаг шинж чанарын (хувилбар) үнэ цэнэ юм. Дискрет тархалтын цувралын хувьд горим нь хамгийн өндөр давтамжтай хувилбарын утга байх болно.

Тэнцүү интервалтай интервалын тархалтын цувралын хувьд горимыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана
- горимыг агуулсан интервалын анхны утга;

- модаль интервалын утга;

- модаль интервалын давтамж;

- модальаас өмнөх интервалын давтамж;

- модаль нэгээс хойшхи интервалын давтамж.

Медиан - энэ бол вариацын цувралын дунд байрлах сонголт юм. Хэрэв тархалтын цуваа нь салангид бөгөөд сондгой тооны гишүүдтэй бол медиан нь эрэмбэлэгдсэн цувралын дунд байрлах сонголт байх болно (захиалсан цуваа гэдэг нь популяцийн нэгжүүдийн өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулах явдал юм).

Дундаж(математик, статистикийн хувьд) тооны багц - бүх тооны нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваасан. Энэ нь төв хандлагын хамгийн түгээмэл хэмжүүрүүдийн нэг юм.

Үүнийг Пифагорчууд (геометрийн дундаж ба гармоник дундажтай хамт) санал болгосон.

Арифметик дундажийн онцгой тохиолдлууд нь дундаж (ерөнхий популяци) ба түүврийн дундаж (түүвэр) юм.

Оршил

Өгөгдлийн багцыг тэмдэглэе X = (x 1 , x 2 , …, x n), дараа нь түүврийн дундаж утгыг ихэвчлэн хувьсагчийн дээгүүр хэвтээ зураасаар заадаг (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), дуудлага " xшугамтай").

Грекийн μ үсгийг нийт хүн амын арифметик дундажийг илэрхийлэхэд ашигладаг. Дундаж утга нь тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд μ нь байна магадлалын дундажэсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт. Хэрэв багц Xнь магадлалын дундаж μ, дараа нь дурын түүврийн хувьд санамсаргүй тоонуудын цуглуулга юм x биэнэ олонлогоос μ = E( x би) нь энэ түүврийн математикийн хүлээлт юм.

Практикт μ ба x ¯ (\displaystyle (\bar (x)) хоёрын ялгаа нь μ нь ердийн хувьсагч юм, учир нь та нийт хүн амыг бус түүврийг харж болно. Тиймээс хэрэв түүврийг санамсаргүй байдлаар (магадлалын онолын хувьд) төлөөлвөл x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (гэхдээ μ биш) түүвэр дээрх магадлалын тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно ( дундажийн магадлалын тархалт).

Эдгээр хоёр хэмжигдэхүүнийг ижил аргаар тооцоолно.

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_) (1)+\cdots +x_(n)).)

Хэрэв Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, дараа нь математикийн хүлээлт Xхэмжигдэхүүнийг давтан хэмжихэд утгын арифметик дундаж гэж үзэж болно X. Энэ бол их тооны хуулийн нэг илрэл юм. Тиймээс үл мэдэгдэх хүлээгдэж буй утгыг тооцоолохын тулд түүврийн дундаж утгыг ашиглана.

Дундаж гэдэг нь анхан шатны алгебрээр батлагдсан n+ 1 тоо дунджаас дээгүүр байна nшинэ тоо нь хуучин дунджаас их, зөвхөн шинэ тоо нь дунджаас бага тохиолдолд бага байх ба зөвхөн шинэ тоо нь дундажтай тэнцүү байвал өөрчлөгдөхгүй. Илүү их n, шинэ болон хуучин дундаж хоорондын ялгаа бага байх болно.

Эрчим хүчний дундаж, Колмогоровын дундаж, гармоник дундаж, арифметик-геометрийн дундаж болон янз бүрийн жигнэсэн дундаж (жишээ нь, жигнэсэн арифметик дундаж, жигнэсэн геометрийн дундаж, жигнэсэн гармоник дундаж) зэрэг хэд хэдэн "дундаж" байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ

• Гурван тооны хувьд та тэдгээрийг нэмж, 3-т хуваах хэрэгтэй.

• Дөрвөн тооны хувьд та тэдгээрийг нэмж, 4-т хуваах хэрэгтэй.

Эсвэл энгийн: 5+5=10, 10:2. Учир нь бид 2 тоог нэмж байгаа бөгөөд энэ нь бид хэдэн тоог нэмсэн гэсэн үг юм, бид тэр олон тоог хуваадаг.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Тасралтгүй тархсан хэмжигдэхүүний хувьд f (x) (\displaystyle f(x)), интервал дээрх арифметик дундаж [ a ; b ] (\displaystyle ) нь тодорхой интегралаар тодорхойлогддог.

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Дундаж ашиглах зарим асуудал

Бат бөх чанар дутмаг

Хэдийгээр арифметик утгыг ихэвчлэн дундаж буюу төв чиг хандлага болгон ашигладаг боловч энэ ойлголт нь баттай статистик биш бөгөөд энэ нь арифметик дундаж нь "их хазайлт"-аас ихээхэн нөлөөлдөг гэсэн үг юм. Их хэмжээний хазайлтын коэффициент бүхий тархалтын хувьд арифметик дундаж нь "дундаж" гэсэн ойлголттой тохирохгүй байж болох бөгөөд найдвартай статистикийн дундаж утгууд (жишээлбэл, медиан) нь төвийг илүү сайн дүрсэлж болох нь анхаарал татаж байна. хандлага.

Сонгодог жишээ бол дундаж орлогыг тооцоолох явдал юм. Арифметик дундажийг медиан гэж буруу тайлбарлаж болох бөгөөд энэ нь бодит байдлаас илүү өндөр орлоготой хүмүүс байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүргэж болзошгүй юм. “Дундаж” орлогыг ихэнх хүмүүс энэ тоо орчим орлоготой гэж тайлбарладаг. Энэхүү "дундаж" (арифметик дундаж утгаараа) орлого нь ихэнх хүмүүсийн орлогоос өндөр байдаг, учир нь дунджаас их хэмжээний хазайлттай өндөр орлого нь арифметик дундажийг ихээхэн хазайлттай болгодог (эсрэгээр нь дундаж орлого нь дундаж утгаараа). Ийм хазайлтыг "эсэргүүцдэг"). Гэсэн хэдий ч, энэ "дундаж" орлого нь дундаж орлоготой ойролцоо байгаа хүмүүсийн тооны талаар юу ч хэлдэггүй (мөн модаль орлогын ойролцоох хүмүүсийн тооны талаар юу ч хэлдэггүй). Гэсэн хэдий ч, хэрэв та "дундаж", "ихэнх хүмүүс" гэсэн ойлголтыг хөнгөнөөр авч үзвэл ихэнх хүмүүс бодит байдлаасаа өндөр орлоготой гэсэн буруу дүгнэлт хийж болно. Жишээлбэл, Вашингтоны Медина хотын оршин суугчдын жилийн цэвэр орлогын арифметик дундажаар тооцсон "дундаж" цэвэр орлогын тайлан нь Билл Гейтсийн ачаар гайхалтай их тоо гарах болно. Дээжийг авч үзье (1, 2, 2, 2, 3, 9). Арифметик дундаж нь 3.17 боловч зургаан утгын тав нь энэ дунджаас доогуур байна.

Нийлмэл хүү

Хэрэв тоонууд үржүүлэх, гэхдээ үгүй нугалах, та арифметик дундаж биш геометрийн дундажийг ашиглах хэрэгтэй. Санхүүгийн хөрөнгө оруулалтын өгөөжийг тооцоолоход ихэвчлэн ийм тохиолдол гардаг.

Жишээлбэл, хэрэв хувьцааны үнэ эхний жилд 10% буурч, хоёр дахь жилдээ 30% өссөн бол эдгээр хоёр жилийн "дундаж" өсөлтийг арифметик дундаж (−10% + 30%) / 2 гэж тооцох нь буруу юм. = 10%; Энэ тохиолдолд зөв дундажийг жилийн нийлмэл өсөлтийн хурдаар өгсөн бөгөөд энэ нь зөвхөн 8.16653826392% ≈ 8.2% жилийн өсөлтийн хурдыг өгдөг.

Үүний шалтгаан нь хувь хэмжээ бүрт шинэ эхлэлийн цэг байдаг: 30% нь 30% юм. эхний жилийн эхэн үеийн үнээс бага тооноос:Хэрэв хувьцааны үнэ 30 доллараас эхэлж 10% унасан бол хоёр дахь жилийн эхэнд 27 долларын үнэтэй болно. Хэрэв хувьцааны үнэ 30%-иар өссөн бол хоёр дахь жилийн эцэст 35.1 доллар болно. Энэхүү өсөлтийн арифметик дундаж нь 10%, гэхдээ хувьцааны үнэ 2 жилийн хугацаанд ердөө 5.1 доллараар өссөн тул 8.2% -ийн дундаж өсөлт нь 35.1 долларын эцсийн үр дүнг өгдөг.

[30 доллар (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 доллар (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 доллар]. Хэрэв бид арифметик дундаж 10% -ийг ижил аргаар ашиглавал бид бодит утгыг авахгүй: [30 доллар (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 доллар].

2 жилийн эцсийн нийлмэл хүү: 90% * 130% = 117%, өөрөөр хэлбэл, нийт өсөлт 17%, жилийн дундаж хүү 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) ))\ойролцоогоор 108,2\%), өөрөөр хэлбэл, жилийн дундаж өсөлт 8,2% байна.

Чиглэл

Циклийн дагуу өөрчлөгддөг зарим хувьсагчийн арифметик дундажийг тооцоолохдоо (фаз эсвэл өнцөг гэх мэт) онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Жишээлбэл, 1° ба 359°-ын дундаж нь 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° байх болно. Энэ тоо нь хоёр шалтгааны улмаас буруу байна.

• Нэгдүгээрт, өнцгийн хэмжигдэхүүнийг зөвхөн 0 ° -аас 360 ° хүртэлх зайд (эсвэл радианаар хэмжихэд 0-ээс 2π хүртэл) тодорхойлно. Тиймээс ижил хос тоог (1° ба -1°) эсвэл (1° ба 719°) гэж бичиж болно. Хос бүрийн дундаж утга өөр байна: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2) ))=0 ^(\circ )), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ тойрог)).
• Хоёрдугаарт, энэ тохиолдолд 0°-ийн утга (360°-тай тэнцэх) нь геометрийн хувьд илүү сайн дундаж утга байх болно, учир нь тоонууд нь бусад утгаас 0°-оос бага хазайдаг (0°-ийн утга нь хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байна). Харьцуулах:
  • 1 ° тоо нь 0 ° -аас зөвхөн 1 ° -аар хазайсан;
  • 1°-ын тоо нь тооцоолсон дундаж 180°-аас 179°-аар хазайсан байна.

Дээрх томьёог ашиглан тооцоолсон мөчлөгт хувьсагчийн дундаж утгыг бодит дундажтай харьцуулахад тоон хүрээний дунд хүртэл зохиомлоор шилжүүлнэ. Үүнээс болж дундажийг өөр аргаар тооцдог, тухайлбал хамгийн бага хэлбэлзэлтэй тоог (төв цэг) дундаж утга болгон сонгоно. Мөн хасахын оронд модульчлагдсан зайг (өөрөөр хэлбэл тойргийн зай) ашигладаг. Жишээлбэл, 1°-аас 359°-ын хоорондох модульчлагдсан зай нь 358° биш 2° байна (359° ба 360°-ын хоорондох тойрог дээр==0° - нэг градус, 0° ба 1° хооронд - мөн 1°, нийтдээ - 2 °).

Дундаж утга

Дундаж утга- тоо, функцийн багцын тоон шинж чанар (математикийн хувьд); - тэдгээрийн утгуудын хамгийн бага ба хамгийн том хооронд тодорхой тоо.

Үндсэн мэдээлэл

Дундаж хэмжигдэхүүнүүдийн онолыг хөгжүүлэх эхлэл нь Пифагорын сургуулийн пропорцийг судлах явдал байв. Үүний зэрэгцээ дундаж хэмжээ, пропорциональ гэсэн ойлголтуудын хооронд хатуу ялгаа байгаагүй. Пропорцын онолыг арифметикийн үүднээс хөгжүүлэхэд чухал түлхэц болсон Грекийн математикчид - Герасын Никомахус (МЭ 1-р зууны сүүл - 2-р зууны эхэн үе), Александрийн Паппус (МЭ 3-р зуун). Дундаж гэсэн ойлголтыг хөгжүүлэх эхний үе шат бол дундажийг тасралтгүй пропорцын төв гишүүн гэж үзэж эхэлсэн үе шат юм. Гэвч дундажийг прогрессийн төв утга гэж үзэх нь n гишүүний дараалалтай уялдуулан дундаж гэсэн ойлголтыг бие биенээ дагасан дарааллаас үл хамааран гаргах боломжийг олгодоггүй. Үүний тулд дундаж утгыг албан ёсоор нэгтгэх шаардлагатай. Дараагийн шат бол тасралтгүй пропорцоос прогресс руу шилжих явдал юм - арифметик, геометр, гармоник ( Англи).

Статистикийн түүхэнд анх удаа дундаж үзүүлэлтийг өргөнөөр ашиглах болсон нь Английн эрдэмтэн В.Петтигийн нэртэй холбоотой юм. В.Петти дундаж утгыг эдийн засгийн категориудтай холбож статистикийн утгыг өгөхийг оролдсон анхны хүмүүсийн нэг юм. Гэвч Петти дундаж хэмжээ гэдэг ойлголтыг тайлбарлаж, ялгаж салгаагүй. А.Кветлетийг дундаж хэмжигдэхүүнүүдийн онолыг үндэслэгч гэж үздэг. Тэрээр дундаж хэмжигдэхүүнүүдийн онолыг тууштай хөгжүүлж, математик үндэслэлээр хангахыг хичээсэн анхны хүмүүсийн нэг юм. A. Quetelet дундажийг бодит дундаж ба арифметик дундаж гэсэн хоёр төрлийг ялгасан. Үнэн хэрэгтээ дундаж нь бодитой байгаа зүйл, тоог илэрхийлдэг. Үнэн хэрэгтээ дундаж буюу статистик дундаж нь ижил чанарын, дотоод утгаараа ижил төстэй үзэгдлүүдээс гаралтай байх ёстой. Арифметик дундаж нь нэг төрлийн боловч ялгаатай олон тооны хамгийн ойрын санааг өгдөг тоо юм.

Дундаж төрөл бүр нь энгийн эсвэл жигнэсэн дундаж хэлбэрээр гарч болно. Дунд хэлбэрийн зөв сонголт нь судалгааны объектын материаллаг шинж чанараас хамаарна. Дунджаар тооцож буй шинж чанарын бие даасан утгууд давтагдахгүй бол энгийн дундаж томъёог ашиглана. Практик судалгаанд судалж буй шинж чанарын бие даасан утгууд нь судалж буй популяцийн нэгжид хэд хэдэн удаа тохиолдох тохиолдолд шинж чанарын бие даасан утгуудын давталтын давтамж нь дундаж чадлын тооцооны томъёонд байдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээрийг жигнэсэн дундаж томъёо гэж нэрлэдэг.

Математикийн дундаж үзүүлэлтүүдийн шатлал

• Функцийн дундаж утга нь олон янзаар тодорхойлогддог ойлголт юм.
  • Бүр тодруулбал, дурын функц дээр үндэслэн Колмогоровын утгыг олон тооны тоогоор тодорхойлдог.
    • чадлын дундаж нь ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha )) бүхий Колмогоровын дундаж үзүүлэлтүүдийн онцгой тохиолдол юм. Янз бүрийн зэрэгтэй дундажууд нь дундажуудын тэгш бус байдалаар холбогддог. Хамгийн түгээмэл онцгой тохиолдлууд:
      1. арифметик дундаж (α = 1 (\displaystyle \alpha =1));
      2. дундаж квадрат (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
      3. гармоник дундаж (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
      4. α → 0 (\displaystyle \alpha \to 0) байдлаар тасралтгүйгээр геометрийн дундаж нь цаашид тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь мөн Колмогоровын ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x)-ийн дундаж утга юм.
• Жигнэсэн дундаж гэдэг нь дурын шугаман хослолын хувьд дундаж утгыг нэгтгэн дүгнэх явдал юм.
  • Жинлэсэн арифметик дундаж.
  • Жинлэсэн геометрийн дундаж.
  • Жинлэсэн гармоник дундаж.
• дундаж он дараалал - тухайн нэгж эсвэл нийт хүн амын шинж чанарын утгыг цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг.
• a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))) томъёогоор тодорхойлогддог логарифмын дундаж \ ln(a_(1)/a_(2))))), дулааны инженерчлэлд ашигладаг
• ГОСТ 27905.4-88 стандартын дагуу цахилгаан тусгаарлагчид тодорхойлсон логарифмын дундаж утгыг l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + гэж тодорхойлно. . . + . . . l o g a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...+a_(n)))) (дурын суурьтай логарифм)

Магадлалын онол, статистикийн чиглэлээр

• параметрийн бус арга - горим, медиан.
• санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттэй ижил байна. Үндсэндээ энэ нь түүний тархалтын функцийн дундаж утга юм.

Тэмдэг

Тэмдэг(Эртний Грек σύμβολον - " (уламжлалт) тэмдэг, дохио") нь объектын чанарыг илтгэх тэмдэг, объект, амьтны дүрс; аливаа ойлголт, санаа, үзэгдлийн ердийн тэмдэг 2.

Заримдаа тэмдэг, тэмдэг нь өөр өөр байдаг, учир нь тэмдэгтээс ялгаатай нь тэмдэг нь нийгэм-норматив (сүнслэг) гүн гүнзгий хэмжигдэхүүнтэй холбоотой байдаг.

Өгүүллэг

Тэмдгийн тухай ойлголт нь уран сайхны дүр төрх, зүйрлэл, харьцуулалт зэрэг ангилалтай нягт холбоотой байдаг. Жишээлбэл, эртний эртний үед загалмай нь Христийн шашны бэлгэдэл болжээ. нэр хүндгүй эх сурвалж?]. Орчин үед хас тэмдэг нь Үндэсний социализмын бэлгэдэл болжээ.

Ф.И.Гиренок орчин үеийн соёлд "тэмдэг ба бэлгэдлийн хоорондох" ялгаа арилсан бол бэлгэдлийн өвөрмөц байдал нь хэт бодит байдлын илэрхийлэл болдогт анхаарлаа хандуулав.

А.Ф.Лосев бэлгэдлийг "үзэл санаа, юмсын бодит ижил төстэй байдал" гэж тодорхойлсон. Тэмдгүүд бүр дүрсийг агуулдаг боловч үүнийг багасгах боломжгүй, учир нь энэ нь дүрстэй салшгүй холбоотой, гэхдээ үүнтэй ижил биш тодорхой утгыг агуулдаг. Дүрс ба утга хоёр нь бэлгэдлийн хоёр элементийг бүрдүүлдэг бөгөөд бие биенгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Иймээс тэмдэгтүүд нь зөвхөн тайлбарын хүрээнд бэлгэдлийн хэлбэрээр (юм биш) оршдог.

20-р зуунд нео-Кант Кассирер бэлгэдлийн тухай ойлголтыг ерөнхийд нь гаргаж, хэл, домог, шашин шүтлэг, урлаг, шинжлэх ухаан зэрэг соёлын үзэгдлийн өргөн хүрээг "бэлэгдлийн хэлбэрүүд" гэж ангилсан бөгөөд үүгээр дамжуулан хүн эргэн тойрон дахь эмх замбараагүй байдлыг зохион байгуулдаг. Урлаг нь дүрслэх зөн совингийн арга бөгөөд бэлгэдлийн шинж чанартай гэж өмнө нь Кант нотолсон.

Нарны туяаны тойрогт бичээстэй таван хошуу яг юу гэсэн үг болохыг сонирхож байна уу?

Никита авга ах

Бусдын хариултыг уншсаны дараа хүмүүс пентаграм дахь Чөтгөрийн бэлгэдлийг шууд олж хардаг нь тэр даруй тодорхой болно))) Хүмүүс мэдэхийг хүсдэггүй, Сатанаас айх айдас нь тэдний мэдлэгийг орлодог.
Пентаграм, мөн тойрог нь эртний хамгаалалтын тэмдэг юм. Мөн зөв пентаграм нь хоёр төгсгөлд байрладаг. Миний харж байгаагаар зурган дээр урвуу таван хошуу байхгүй. Зүгээр л дугуй хэлбэртэй энгийн пентаграммыг туяа, тэмтрүүл, дөл (?)
Онолын хувьд энэ нь зөвхөн хамгаалалтын шинж тэмдэг төдийгүй материаллаг сүнслэг байдлын ялалтын бэлгэдэл юм. Эдгээр нь дөрвөн алхимийн элемент, дээр нь эфир юм.

Мөн урвуутай пентаграм нь эсрэгээр - материаллаг сүнслэг байдлын ялалтыг бэлэгддэг. Ерөнхийдөө Сатанизмыг Диавол шүтлэгтэй андуурч болохгүй. Эдгээр нь хоёр өөр зүйл бөгөөд хүмүүс мэдлэггүй, айдас, таамаглал, таамаглал, уран зөгнөлтэй байдаг тул бүгдийг нэг бийрээр будах дуртай байдаг.

Ганц бие хэрээ

20-р зууны хамгийн алдартай илбэчин Алистер Кроули урвуу хэлбэртэй пентаграммыг дэлхий ертөнцийг амьдруулдаг нарны туяа хэлбэрээр дүрсэлсэн сүнс гэж тайлбарлажээ. Бусад эзотерикчид урвуу таван хошуу нь тэнгэрээс дэлхий рүү энерги цутгадаг тул материалист хандлагын бэлгэдэл гэж үздэг бол энгийн пентаграм нь энергийг дээш чиглүүлдэг бөгөөд энэ нь хүн төрөлхтний оюун санааны эрэл хайгуулын бэлгэдэл юм.

Өө, өрлөгүүд маш олон янзын тэмдэгтэй байдаг ...
Энэ нь Каббалист зүйл байх магадлалтай.
Та яагаад Сатаны бэлгэдлийг сонирхож байна вэ? ! Үүнийг толгойноосоо зайлуул - тэдний хэлснээр энэ нь төгсгөл болно.

) болон түүврийн дундаж(ууд).

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

• 1 / 5

  Өгөгдлийн багцыг тэмдэглэе X = (x 1 , x 2 , …, x n), дараа нь түүврийн дундаж утгыг ихэвчлэн хувьсагчийн дээгүүр хэвтээ зураасаар заадаг (" гэж дууддаг" xшугамтай").

  Грекийн μ үсгийг нийт хүн амын арифметик дундажийг илэрхийлэхэд ашигладаг. Дундаж утга нь тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд μ нь байна магадлалын дундажэсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт. Хэрэв багц Xнь магадлалын дундаж μ, дараа нь дурын түүврийн хувьд санамсаргүй тоонуудын цуглуулга юм x биэнэ олонлогоос μ = E( x би) нь энэ түүврийн математикийн хүлээлт юм.

  Практикт μ ба хоорондын ялгаа x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))μ нь ердийн хувьсагч юм, учир нь та нийт олонлогоос илүү түүврийг харж болно. Тиймээс хэрэв түүвэр санамсаргүй (магадлалын онолын хувьд) байвал x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(гэхдээ μ биш) түүвэр дээрх магадлалын тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно (дундаж магадлалын тархалт).

  Эдгээр хоёр хэмжигдэхүүнийг ижил аргаар тооцоолно.

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_) (1)+\cdots +x_(n)).)

  Жишээ

  • Гурван тооны хувьд та тэдгээрийг нэмж, 3-т хуваах хэрэгтэй.
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\ displaystyle (\ frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Дөрвөн тооны хувьд та тэдгээрийг нэмж, 4-т хуваах хэрэгтэй.
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\ displaystyle (\ frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Эсвэл энгийн: 5+5=10, 10:2. Учир нь бид 2 тоог нэмж байгаа бөгөөд энэ нь бид хэдэн тоог нэмсэн гэсэн үг юм, бид тэр олон тоог хуваадаг.

  Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Дундаж ашиглах зарим асуудал

  Бат бөх чанар дутмаг

  Хэдийгээр арифметик утгыг ихэвчлэн дундаж буюу төв чиг хандлага болгон ашигладаг боловч энэ ойлголт нь баттай статистик биш бөгөөд энэ нь арифметик дундаж нь "их хазайлт"-аас ихээхэн нөлөөлдөг гэсэн үг юм. Их хэмжээний хазайлтын коэффициент бүхий тархалтын хувьд арифметик дундаж нь "дундаж" гэсэн ойлголттой тохирохгүй байж болох бөгөөд найдвартай статистикийн дундаж утгууд (жишээлбэл, медиан) нь төвийг илүү сайн дүрсэлж болох нь анхаарал татаж байна. хандлага.

  Сонгодог жишээ бол дундаж орлогыг тооцоолох явдал юм. Арифметик дундажийг медиан гэж буруу тайлбарлаж болох бөгөөд энэ нь бодит байдлаас илүү өндөр орлоготой хүмүүс байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүргэж болзошгүй юм. “Дундаж” орлогыг ихэнх хүмүүс энэ тоо орчим орлоготой гэж тайлбарладаг. Энэхүү "дундаж" (арифметик дундаж утгаараа) орлого нь ихэнх хүмүүсийн орлогоос өндөр байдаг, учир нь дунджаас их хэмжээний хазайлттай өндөр орлого нь арифметик дундажийг ихээхэн хазайлттай болгодог (эсрэгээр нь дундаж орлого нь дундаж утгаараа). Ийм хазайлтыг "эсэргүүцдэг"). Гэсэн хэдий ч, энэ "дундаж" орлого нь дундаж орлоготой ойролцоо байгаа хүмүүсийн тооны талаар юу ч хэлдэггүй (мөн модаль орлогын ойролцоох хүмүүсийн тооны талаар юу ч хэлдэггүй). Гэсэн хэдий ч, хэрэв та "дундаж", "ихэнх хүмүүс" гэсэн ойлголтыг хөнгөнөөр авч үзвэл ихэнх хүмүүс бодит байдлаасаа өндөр орлоготой гэсэн буруу дүгнэлт хийж болно. Жишээлбэл, Вашингтоны Медина хотын оршин суугчдын жилийн цэвэр орлогын арифметик дундажаар тооцсон "дундаж" цэвэр орлогын тайланг Билл Гейтсээс шалтгаалсан гайхалтай их тоо гарах болно. Дээжийг авч үзье (1, 2, 2, 2, 3, 9). Арифметик дундаж нь 3.17 боловч зургаан утгын тав нь энэ дунджаас доогуур байна.

  Нийлмэл хүү

  Хэрэв тоонууд үржүүлэх, гэхдээ үгүй нугалах, та арифметик дундаж биш геометрийн дундажийг ашиглах хэрэгтэй. Санхүүгийн хөрөнгө оруулалтын өгөөжийг тооцоолоход ихэвчлэн ийм тохиолдол гардаг.

  Жишээлбэл, хэрэв хувьцааны үнэ эхний жилд 10% буурч, хоёр дахь жилдээ 30% өссөн бол эдгээр хоёр жилийн "дундаж" өсөлтийг арифметик дундаж (−10% + 30%) / 2 гэж тооцох нь буруу юм. = 10%; Энэ тохиолдолд зөв дундажийг жилийн нийлмэл өсөлтийн хурдаар өгсөн бөгөөд энэ нь зөвхөн 8.16653826392% ≈ 8.2% жилийн өсөлтийн хурдыг өгдөг.

  Үүний шалтгаан нь хувь хэмжээ бүрт шинэ эхлэлийн цэг байдаг: 30% нь 30% юм. эхний жилийн эхэн үеийн үнээс бага тооноос:Хэрэв хувьцааны үнэ 30 доллараас эхэлж 10% унасан бол хоёр дахь жилийн эхэнд 27 долларын үнэтэй болно. Хэрэв хувьцааны үнэ 30%-иар өссөн бол хоёр дахь жилийн эцэст 35.1 доллар болно. Энэхүү өсөлтийн арифметик дундаж нь 10%, гэхдээ хувьцааны үнэ 2 жилийн хугацаанд ердөө 5.1 доллараар өссөн тул 8.2% -ийн дундаж өсөлт нь 35.1 долларын эцсийн үр дүнг өгдөг.

  [30 доллар (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 доллар (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 доллар]. Хэрэв бид арифметик дундаж 10% -ийг ижил аргаар ашиглавал бид бодит утгыг авахгүй: [30 доллар (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 доллар].

  2 жилийн эцсийн нийлмэл хүү: 90% * 130% = 117%, өөрөөр хэлбэл нийт өсөлт 17%, жилийн дундаж нийлмэл хүү 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\ойролцоогоор 108.2\%), өөрөөр хэлбэл, жилд дунджаар 8.2% -иар өссөн нь хоёр шалтгааны улмаас буруу байна.

  Дээрх томьёог ашиглан тооцоолсон мөчлөгт хувьсагчийн дундаж утгыг бодит дундажтай харьцуулахад тоон хүрээний дунд хүртэл зохиомлоор шилжүүлнэ. Үүнээс болж дундажийг өөр аргаар тооцдог, тухайлбал хамгийн бага хэлбэлзэлтэй тоог (төв цэг) дундаж утга болгон сонгоно. Мөн хасахын оронд модульчлагдсан зайг (өөрөөр хэлбэл тойргийн зай) ашигладаг. Жишээлбэл, 1°-аас 359°-ын хоорондох модульчлагдсан зай нь 358° биш 2° байна (359° ба 360°-ын хоорондох тойрог дээр==0° - нэг градус, 0° ба 1° хооронд - мөн 1°, нийтдээ - 2 °).

  Дундаж утгын мөн чанар, утга.

  Үнэмлэхүй ба харьцангуй үнэ цэнэ.

  Бүлгүүдийн төрлүүд.

  Бүлэглэлийн тусламжтайгаар шийдсэн ажлуудаас хамааран дараахь төрлүүдийг ялгадаг.

  Типологийн

  Бүтцийн

  Аналитик

  Типологийн гол үүрэг бол нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийг чанарын хувьд нэгэн төрлийн бүлгүүдийг тодорхойлох замаар ангилах явдал юм.

  Чанарын нэгэн төрлийн байдал гэдэг нь судалж буй эд хөрөнгийн хувьд хүн амын бүх нэгж хөгжлийн нэг хуулийг дагаж мөрддөг гэсэн утгаар ойлгогддог. Жишээлбэл:аж ахуйн нэгжүүдийг эдийн засгийн салбараас бүлэглэх.

  Нийгэм эдийн засгийн үзэгдлийн хэмжээг илэрхийлдэг үзүүлэлтийг үнэмлэхүй утга гэнэ.

  Статистикийн харьцангуй утга нь үзэгдлийн хоорондын тоон хамаарлыг илэрхийлдэг үзүүлэлт юм. Энэ нь нэг үнэмлэхүй утгыг нөгөө үнэмлэхүй утгад хуваах замаар олж авдаг. Бидний харьцуулалт хийдэг хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг суурьэсвэл харьцуулах суурь.

  Үнэмлэхүй хэмжигдэхүүнийг үргэлж хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

  Харьцангуй утгыг коэффициент, хувь, ppm гэх мэтээр илэрхийлнэ.

  Харьцангуй утга нь харьцуулсан утга нь харьцуулсан баазаас хэдэн удаа, хэдэн хувиар их эсвэл бага байгааг харуулдаг.

  Статистикт 8 төрлийн харьцангуй хэмжигдэхүүн байдаг.

  Дундаж нь хамгийн түгээмэл хураангуй статистикийн нэг юм. Тэд цөөн тооны нэгжээс бүрдсэн статистикийн популяцийг нэг тоогоор тодорхойлохыг зорьдог. Дундаж нь их тооны хуультай нягт холбоотой. Энэхүү хамаарлын мөн чанар нь олон тооны ажиглалт хийснээр ерөнхий статистикийн санамсаргүй хазайлт нь бие биенээ үгүйсгэж, дунджаар статистикийн хэв маяг илүү тодорхой гарч ирдэгт оршино.

  Аргыг ашиглах дундажДараахь үндсэн ажлуудыг шийдэж байна.

  1. Юм үзэгдлийн хөгжлийн түвшний онцлог.

  2. Хоёр ба түүнээс дээш түвшний харьцуулалт.

  3. Нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийн харилцан хамаарлыг судлах.

  4. Нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийн орон зайн байршлын шинжилгээ.

  Эдгээр асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд статистикийн арга зүй нь янз бүрийн төрлийн дундажийг боловсруулсан.

  Арифметик дундажийг тооцоолох аргыг тодруулахын тулд бид дараах тэмдэглэгээг ашиглана.

  X - арифметик тэмдэг

  X (X1, X2, ... X3) - тодорхой шинж чанарын хувилбарууд

  n - хүн амын нэгжийн тоо

  Атрибутын дундаж утга

  Эх сурвалжаас хамааран арифметик дундажийг хоёр аргаар тооцоолж болно.

  1. Хэрэв статистик ажиглалтын өгөгдлийг бүлэглээгүй эсвэл бүлэглэсэн хувилбарууд ижил давтамжтай байвал энгийн арифметик дундажийг тооцоолно.

  2. Хэрэв өгөгдөлд бүлэглэсэн давтамж өөр байвал жигнэсэн арифметик дундажийг тооцоолно.

  

  Сонголтуудын тоо (давтамж).

  Давтамжийн нийлбэр

  Дискрет болон интервалын вариацын цувралд арифметик дундажийг өөр өөрөөр тооцдог.

  Дискрет цувралд шинж чанарын хувилбаруудыг давтамжаар үржүүлж, эдгээр бүтээгдэхүүнийг нэгтгэж, үр дүнгийн нийлбэрийг давтамжийн нийлбэрт хуваана.

  Дискрет цувралд арифметик дундажийг тооцоолох жишээг авч үзье.

  Интервалын цувралд шинж чанарын утгыг интервал хэлбэрээр өгдөг тул арифметик дундажийг тооцоолохын өмнө интервалын цувралаас салангид цуврал руу шилжих хэрэгтэй.

  Харгалзах интервалуудын дунд хэсгийг Си сонголт болгон ашигладаг. Тэдгээр нь доод ба дээд хязгаарын нийлбэрийн хагасаар тодорхойлогддог.

  Хэрэв интервал нь доод хязгааргүй бол түүний дундыг дээд хязгаар ба дараах интервалуудын утгын хагасын зөрүүгээр тодорхойлно. Дээд хязгаар байхгүй тохиолдолд интервалын дунд хэсгийг доод хязгаарын нийлбэр ба өмнөх интервалын утгын хагасаар тодорхойлно. Дискрет цувралд шилжсэний дараа дээр дурдсан аргын дагуу дараагийн тооцооллыг хийнэ.

  Хэрэв жин fi-г үнэмлэхүй утгаар биш, харин харьцангуйгаар өгвөл арифметик дундажийг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.

  

  pi - бүх давтамжийн нийлбэрт хувилбаруудын давтамж хэдэн хувь байгааг харуулсан бүтцийн харьцангуй утгууд.

  Хэрэв бүтцийн харьцангуй утгыг хувиар биш, харин хувьцаагаар тодорхойлсон бол арифметик дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

  Дундаж утга

  Дундаж утга- тоо, функцийн багцын тоон шинж чанар (математикийн хувьд); - тэдгээрийн утгуудын хамгийн бага ба хамгийн том хооронд тодорхой тоо.

  Үндсэн мэдээлэл

  Дундаж хэмжигдэхүүнүүдийн онолыг хөгжүүлэх эхлэл нь Пифагорын сургуулийн пропорцийг судлах явдал байв. Үүний зэрэгцээ дундаж хэмжээ, пропорциональ гэсэн ойлголтуудын хооронд хатуу ялгаа байгаагүй. Пропорцын онолыг арифметикийн үүднээс хөгжүүлэхэд чухал түлхэц болсон Грекийн математикчид - Герасын Никомахус (МЭ 1-р зууны сүүл - 2-р зууны эхэн үе), Александрийн Паппус (МЭ 3-р зуун). Дундаж гэсэн ойлголтыг хөгжүүлэх эхний үе шат бол дундажийг тасралтгүй пропорцын төв гишүүн гэж үзэж эхэлсэн үе шат юм. Гэвч дундажийг прогрессийн төв утга гэж үзэх нь n гишүүний дараалалтай уялдуулан дундаж гэсэн ойлголтыг бие биенээ дагасан дарааллаас үл хамааран гаргах боломжийг олгодоггүй. Үүний тулд дундаж утгыг албан ёсоор нэгтгэх шаардлагатай. Дараагийн шат бол тасралтгүй пропорцоос прогресс руу шилжих явдал юм - арифметик, геометр, гармоник ( Англи).

  Статистикийн түүхэнд анх удаа дундаж үзүүлэлтийг өргөнөөр ашиглах болсон нь Английн эрдэмтэн В.Петтигийн нэртэй холбоотой юм. В.Петти дундаж утгыг эдийн засгийн категориудтай холбож статистикийн утгыг өгөхийг оролдсон анхны хүмүүсийн нэг юм. Гэвч Петти дундаж хэмжээ гэдэг ойлголтыг тайлбарлаж, ялгаж салгаагүй. А.Кветлетийг дундаж хэмжигдэхүүнүүдийн онолыг үндэслэгч гэж үздэг. Тэрээр дундаж хэмжигдэхүүнүүдийн онолыг тууштай хөгжүүлж, математик үндэслэлээр хангахыг хичээсэн анхны хүмүүсийн нэг юм. A. Quetelet дундажийг бодит дундаж ба арифметик дундаж гэсэн хоёр төрлийг ялгасан. Үнэн хэрэгтээ дундаж нь бодитой байгаа зүйл, тоог илэрхийлдэг. Үнэн хэрэгтээ дундаж буюу статистик дундаж нь ижил чанарын, дотоод утгаараа ижил төстэй үзэгдлүүдээс гаралтай байх ёстой. Арифметик дундаж нь нэг төрлийн боловч ялгаатай олон тооны хамгийн ойрын санааг өгдөг тоо юм.

  Дундаж төрөл бүр нь энгийн эсвэл жигнэсэн дундаж хэлбэрээр гарч болно. Дунд хэлбэрийн зөв сонголт нь судалгааны объектын материаллаг шинж чанараас хамаарна. Дунджаар тооцож буй шинж чанарын бие даасан утгууд давтагдахгүй бол энгийн дундаж томъёог ашиглана. Практик судалгаанд судалж буй шинж чанарын бие даасан утгууд нь судалж буй популяцийн нэгжид хэд хэдэн удаа тохиолдох тохиолдолд шинж чанарын бие даасан утгуудын давталтын давтамж нь дундаж чадлын тооцооны томъёонд байдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээрийг жигнэсэн дундаж томъёо гэж нэрлэдэг.

  Математикийн дундаж үзүүлэлтүүдийн шатлал

  • Функцийн дундаж утга нь олон янзаар тодорхойлогддог ойлголт юм.
    • Бүр тодруулбал, дурын функц дээр үндэслэн Колмогоровын утгыг олон тооны тоогоор тодорхойлдог.
      • чадлын дундаж нь ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha )) бүхий Колмогоровын дундаж үзүүлэлтүүдийн онцгой тохиолдол юм. Янз бүрийн зэрэгтэй дундажууд нь дундажуудын тэгш бус байдалаар холбогддог. Хамгийн түгээмэл онцгой тохиолдлууд:
        1. арифметик дундаж (α = 1 (\displaystyle \alpha =1));
        2. дундаж квадрат (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
        3. гармоник дундаж (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
        4. α → 0 (\displaystyle \alpha \to 0) байдлаар тасралтгүйгээр геометрийн дундаж нь цаашид тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь мөн Колмогоровын ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x)-ийн дундаж утга юм.
  • Жигнэсэн дундаж гэдэг нь дурын шугаман хослолын хувьд дундаж утгыг нэгтгэн дүгнэх явдал юм.
    • Жинлэсэн арифметик дундаж.
    • Жинлэсэн геометрийн дундаж.
    • Жинлэсэн гармоник дундаж.
  • дундаж он дараалал - тухайн нэгж эсвэл нийт хүн амын шинж чанарын утгыг цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг.
  • a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))) томъёогоор тодорхойлогддог логарифмын дундаж \ ln(a_(1)/a_(2))))), дулааны инженерчлэлд ашигладаг
  • ГОСТ 27905.4-88 стандартын дагуу цахилгаан тусгаарлагчид тодорхойлсон логарифмын дундаж утгыг l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + гэж тодорхойлно. . . + . . . l o g a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...+a_(n)))) (дурын суурьтай логарифм)

  Магадлалын онол, статистикийн чиглэлээр

  Үндсэн нийтлэл: Түгээх төвийн үзүүлэлтүүд
  • параметрийн бус арга - горим, медиан.
  • санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттэй ижил байна. Үндсэндээ энэ нь түүний тархалтын функцийн дундаж утга юм.

  Ямар тэмдэг нь арифметик дундажийг илэрхийлдэг вэ?

  Нийлбэр нь капиталын эпсилон гэж бодъё...

  Ксения

  Арифметик дундаж нь ажиглагдсан болон судлагдсан шинж чанаруудын бие даасан утгыг бүлэглэх хязгаар юм. Статистикийн хувьд арифметик дундажийг ихэвчлэн шинж чанарын бие даасан утгууд (эсвэл туршилтын тодорхой үр дүн) - x1, x2, x3 гэх мэтээр, мөн шинж чанарын нийт тоо (эсвэл туршилтын тоо) -аар илэрхийлдэг. n.
  Олон тооны хэмжилтийн үед эерэг ба сөрөг санамсаргүй алдаа ижил төстэй тохиолддог. Аливаа физик хэмжигдэхүүнийг олон удаа хэмжсэнээс түүний арифметик дундаж утгыг тодорхойлж болно. Давтан хэмжилт нь эцсийн үр дүн болон бие даасан хэмжилтийн аль алинд нь хэмжилтийн нарийвчлалыг тогтоох, өөрөөр хэлбэл хэмжсэн утгын олж авсан үр дүн орших хил хязгаарыг олох боломжийг олгодог.
  Тодорхой хэмжигдэхүүний n хэмжилтээр бид n өөр утгыг олж авдаг. Хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад хамгийн ойр байх нь бүх хэмжилтийн арифметик дундаж болно.
  Хэрэв бид бие даасан хэмжилтийг a\, az, a3, ..an гэж тэмдэглэвэл хэмжсэн утгын арифметик дундаж утгыг дараах томъёогоор тодорхойлно.
  П
  n - at + ag + - + D„_\1 a,-
  A _ ------------------
  =Y-^
  ^ J П
  Хувь хүний ​​хэмжилтийн утгууд нь арифметик дундаж утга a0-аас дараах утгуудаар ялгаатай байна.
  Хэмжсэн хэмжигдэхүүний арифметик дундаж утга ба бие даасан хэмжилтийн утгын хоорондох зөрүүгийн үнэмлэхүй утгыг (Да^Даг,...) бие даасан хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа гэж нэрлэдэг. Хэмжилтийн харьцангуй алдааг тодорхойлж, эцсийн үр дүнг бүртгэхэд шаардлагатай бүх хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааны арифметик дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.
  ^-. (2)
  Энэ алдааг хэмжилтийн дундаж үнэмлэхүй алдаа гэж нэрлэдэг. Үнэмлэхүй алдааны нэг шинж тэмдгийг хүлээн авснаар бид хамгийн том алдааг санаатайгаар авдаг.
  

  Арифметик дундаж нь юу вэ? Арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ?

  Арифметик дундажийн томъёо?

  Алекс-89

  Хэд хэдэн тооны арифметик дундаж нь эдгээр тоонуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваасан юм.

  x av - арифметик дундаж

  S - тоонуудын нийлбэр

  n - тооны тоо.

  Жишээлбэл, 3, 4, 5, 6 тоонуудын арифметик дундажийг олох хэрэгтэй.

  Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийг нэмж, үүссэн дүнг 4-т хуваах хэрэгтэй.

  (3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

  Алсу - ш

  Математикчийн хувьд би энэ сэдвээр асуултуудыг сонирхож байна.

  Би асуудлын түүхээс эхэлье. Дундаж утгыг эрт дээр үеэс бодож ирсэн. Арифметик дундаж, геометрийн дундаж, гармоник дундаж. Эдгээр үзэл баримтлалыг эртний Грект Пифагорчууд санал болгосон.

  Тэгээд одоо бидний сонирхож буй асуулт. Юу гэсэн үг вэ хэд хэдэн тооны арифметик дундаж:

  Тиймээс тоонуудын арифметик дундажийг олохын тулд бүх тоог нэмж, үр дүнгийн нийлбэрийг гишүүний тоонд хуваах хэрэгтэй.

  Томъёо нь:

  
  

  Жишээ. 100, 175, 325 гэсэн тоонуудын арифметик дундажийг ол.

  Гурван тооны арифметик дундажийг олох томъёог ашиглацгаая (өөрөөр хэлбэл n-ийн оронд 3 байх болно; та бүх 3 тоог нэмж, үр дүнгийн нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд, өөрөөр хэлбэл 3-т хуваах хэрэгтэй). Бидэнд: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

  Хариулт: 200.

  Арифметик нь математикийн хамгийн анхан шатны салбар гэж тооцогддог бөгөөд тоонуудын энгийн үйлдлийг судалдаг. Тиймээс арифметик дундажийг олоход маш хялбар байдаг. Тодорхойлолтоос эхэлье. Арифметик дундаж нь ижил төрлийн хэд хэдэн дараалсан үйлдлүүдийн дараа аль тоо нь үнэнд хамгийн ойр байгааг харуулсан утга юм. Жишээлбэл, зуун метрийн зайд гүйх үед хүн өөр өөр цагийг харуулдаг боловч дундаж утга нь жишээлбэл, 12 секундын дотор байх болно. Ийм байдлаар арифметик дундажийг олох нь тодорхой цувралын бүх тоог (уралдааны үр дүн) дараалан нэгтгэж, энэ нийлбэрийг эдгээр уралдааны тоонд (оролдолт, тоо) хуваахад хүргэдэг. Томъёоны хэлбэрээр энэ нь дараах байдалтай байна.

  Сариф = (Х1+Х2+..+Хn)/n

  Арифметик дундаж нь хэд хэдэн тооны хоорондох дундаж тоо юм.

  Жишээлбэл, 2 ба 4 тоонуудын дундах тоо нь 3 байна.

  Арифметик дундажийг олох томъёо нь:

  Та бүх тоог нэмж, эдгээр тоонуудын тоонд хуваах хэрэгтэй.

  

  Жишээлбэл, бид 2, 5, 8 гэсэн 3 тоотой.

  Арифметик дундажийг олох:

  X=(2+5+8)/3=15/3=5

  Арифметик дундажийн хэрэглээний хамрах хүрээ нэлээд өргөн.

  Жишээлбэл, сегмент дээрх хоёр цэгийн координатыг мэдэхийн тулд та энэ сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох боломжтой.

  Жишээлбэл, сегментийн координатууд: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

  Энэ сегментийн дунд хэсгийг X3,Y3,Z3 координатаар тэмдэглэе.

  Бид координат бүрийн дунд цэгийг тусад нь олдог.

  Сайхан далбаа

  Арифметик дундаж нь тоонуудыг нэгтгэж, тэдгээрийн тоонд хуваасан үр дүнд гарсан хариулт нь арифметик дундаж юм.

  Жишээ нь: Катя гахайн банкинд 50 рубль, Максим 100 рубль, Саша 150 рубль хийсэн. Гахайн банкинд 50 + 100 + 150 = 300 рубль, одоо бид энэ дүнг гурваар хуваадаг (гурван хүн мөнгө оруулсан). Тэгэхээр 300: 3 = 100 рубль. Эдгээр 100 рубль нь арифметик дундаж байх бөгөөд тус бүрийг гахайн банкинд хийнэ.

  Ийм энгийн жишээ байна: нэг хүн мах иддэг, өөр хүн байцаа иддэг, арифметик дундажаар хоёулаа байцаатай ороомог иддэг.

  Дундаж цалинг ч мөн адил тооцдог...

  Арифметик дундаж нь өгөгдсөн...

  Тэдгээр. Зүгээр л, бидэнд өөр өөр урттай хэд хэдэн саваа байгаа бөгөөд тэдгээрийн дундаж утгыг мэдэхийг хүсч байна.

  Үүний тулд бид тэдгээрийг нэгтгэж, урт саваа авч, шаардлагатай тооны хэсэгт хуваах нь логик юм.

  Энд арифметик дундаж гарч ирнэ ...

  Томъёо ингэж гарна: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

  Шувуу 2014

  Арифметик дундаж нь бүх утгуудын нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн тоонд хуваагдана.

  Жишээлбэл, 2, 3, 5, 6 гэсэн тоонууд. Та тэдгээрийг 2+ 3+ 5 + 6 = 16 нэмэх хэрэгтэй

  Бид 16-г 4-т хувааж, 4-ийн хариултыг авна.

  4 нь эдгээр тоонуудын арифметик дундаж юм.

  Азамат

  Арифметик дундаж нь тоонуудын нийлбэрийг эдгээр тоонуудын тоонд хуваасан юм. Мөн арифметик дундажийг олох нь маш энгийн.

  Тодорхойлолтоос харахад бид тоонуудыг авч, нэмж, тоогоор нь хуваах ёстой.

  Нэг жишээ хэлье: бидэнд 1, 3, 5, 7 тоонууд өгөгдсөн бөгөөд бид эдгээр тоонуудын арифметик дундажийг олох хэрэгтэй.

  • эхлээд эдгээр тоог (1+3+5+7) нэмээд 16-г авна
  • Бид үр дүнг 4 (тоо хэмжээ): 16/4-т хувааж, 4-ийг авах хэрэгтэй.

  Тэгэхээр 1, 3, 5, 7 тоонуудын арифметик дундаж нь 4 байна.

  Арифметик дундаж - өгөгдсөн үзүүлэлтүүдийн дундаж утга.

  Энэ нь бүх үзүүлэлтүүдийн нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваах замаар олно.

  Жишээлбэл, би 200, 250, 180, 220, 230 грамм жинтэй 5 алимтай.

  Бид 1 алимны дундаж жинг дараах байдлаар олно.

  • бид бүх алимны нийт жинг хайж байна (бүх үзүүлэлтүүдийн нийлбэр) - энэ нь 1080 граммтай тэнцүү,
  • нийт жинг алимны тоонд хуваана 1080:5 = 216 грамм. Энэ бол арифметик дундаж юм.

  Энэ нь статистикийн хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг үзүүлэлт юм.

  Ногоон чебуречек

  Бид үүнийг сургуулиасаа мэддэг. Математикийн сайн багштай хэн бүхэн энэ энгийн үйлдлийг анх удаа санаж чадна.

  Арифметик дундажийг олохдоо та боломжтой бүх тоог нэмж, тэдгээрийн тоонд хуваах хэрэгтэй.

  Жишээлбэл, би дэлгүүрээс 1 кг алим, 2 кг банана, 3 кг жүрж, 1 кг киви худалдаж авсан. Би дунджаар хэдэн кг жимс худалдаж авсан бэ?

  7/4 = 1.8 кг. Энэ нь арифметик дундаж болно.

  Byemon epu

  Математикийн сүүлийн шалгалтыг өгч байснаа санаж байна

  Тиймээс арифметик дундажийг олох шаардлагатай болсон.

  Сайхан сэтгэлтэй хүмүүс юу хийхийг санал болгосон нь сайн хэрэг, тэгэхгүй бол асуудал гарах болно.

  Жишээлбэл, бидэнд 4 тоо байна.

  Тоонуудыг нэмээд тоогоор нь хуваа (энэ тохиолдолд 4)

  Жишээлбэл, 2,6,1,1 тоонууд. 2+6+1+1-ийг нэмээд 4 = 2.5-д хуваа

  Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэгэхээр арифметик дундаж нь бүх тооны дундаж юм.