Косинусыг олох вектор өгөгдсөн. Чиглэлийн косинусууд

эдгээр нь координатын эерэг хагас тэнхлэгтэй векторын үүсгэсэн өнцгийн косинусууд юм. Чиглэлийн косинус нь векторын чиглэлийг онцгойлон зааж өгдөг. Хэрэв вектор 1 урттай бол түүний чиглэлийн косинусууд координатуудтай тэнцүү байна. Ерөнхийдөө координаттай векторын хувьд ( а; б; в) чиглэлийн косинусууд тэнцүү байна:

Үүнд: a, b, g нь векторын тэнхлэгтэй хийсэн өнцөг юм x, y, zтус тус.

21) Нэгж вектор дахь векторын задрал. Координатын тэнхлэгийн нэгж векторыг , тэнхлэгүүдийг , тэнхлэгүүдийг (Зураг 1) гэж тэмдэглэнэ.

Хавтгайд байрлах аливаа векторын хувьд дараах тэлэлт явагдана.

Хэрэв вектор орон зайд байрласан бол координатын тэнхлэгүүдийн нэгж векторуудын тэлэлт дараах хэлбэртэй байна.

22)Цэгтэй бүтээгдэхүүнТэг биш хоёр вектор ба эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоог:

23)Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг хурц байвал тэдгээрийн скаляр үржвэр эерэг байна; векторуудын хоорондох өнцөг мохоо бол эдгээр векторуудын скаляр үржвэр сөрөг байна. Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн эдгээр векторууд ортогональ байвал тэгтэй тэнцүү байна.

24) Хоёр векторын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Векторууд перпендикуляр байх нөхцөл
a(xa;ya) ба b(xb;yb) векторууд өгөгдсөн тохиолдолд л векторууд перпендикуляр байна. Хэрэв xaxb + yayb = 0 илэрхийлэл байвал эдгээр векторууд перпендикуляр байх болно.

25) Хоёр векторын вектор үржвэр.

Хоёр коллинеар бус векторын вектор үржвэр нь дараах нөхцлийг хангасан вектор c=a×b байна: 1) |c|=|a| |б| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) a, b, c векторууд нь векторуудын баруун талын триплетийг үүсгэдэг.

26) Коллинеар ба компланар векторууд..

Өгөгдсөн хоёр векторын ординат нь эхний векторын ординаттай ижил байдлаар хоёр дахь векторын абсциссатай холбоотой бол векторууд коллинеар байна а (ха;тиймээ) Мөн б (xb;yb). Эдгээр векторууд нь коллинеар байвал ха = х бТэгээд y a = у б, Хаана Р.

Векторууд −→ а,−→бба −→ вгэж нэрлэдэг хавтгай, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ байрласан хавтгай байвал.

27) Гурван векторын холимог үржвэр. Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн- а векторын скаляр үржвэр ба b ба в векторуудын вектор үржвэр. a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1) векторуудын холимог үржвэрийг ол.

Шийдэл:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай. Өгөгдсөн хоёр цэгийн хоорондох зай нь эдгээр цэгүүдийн ижил координатын квадратын зөрүүний нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

29) Энэ хамаарал дахь сегментийн хуваагдал. Хэрэв M(x; y) цэг нь өгөгдсөн ( , ) ба ( , ) хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг шулуун дээр орших ба M цэг хэрчмийг хуваах хамаарлыг өгвөл М цэгийн координатыг томъёогоор тодорхойлно.

Хэрэв M цэг нь сегментийн дунд цэг бол түүний координатыг томъёогоор тодорхойлно

30-31. Шулуун шугамын налууЭнэ шугамын налуу өнцгийн тангенс гэж нэрлэдэг. Шулуун шугамын налууг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг к. Дараа нь тодорхойлолтоор

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлгэсэн хэлбэртэй байна к- шулуун шугамын налуу, б- зарим бодит тоо. Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан та тэнхлэгтэй параллель биш дурын шулуун шугамыг тодорхойлж болно. Өө(ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын хувьд өнцгийн коэффициент тодорхойлогдоогүй).

33. Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл. Маягтын тэгшитгэл Байна шугамын ерөнхий тэгшитгэл Окси. A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = C = 0, A ≠0 – шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A = C = 0, B ≠0 – шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна

34.Сегмент дэх шугамын тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээр Оксигэсэн хэлбэртэй байна аТэгээд б- зарим тэг биш бодит тоонууд. Энэ нэр нь санамсаргүй биш юм, учир нь тоонуудын үнэмлэхүй утгууд байдаг АТэгээд бкоординатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамыг таслах сегментүүдийн урттай тэнцүү ҮхэрТэгээд Өөтус тус (сегментүүдийг гарал үүслээс нь тоолно). Тиймээс сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь энэ шугамыг зурахад хялбар болгодог. Үүнийг хийхийн тулд хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх цэгүүдийг координатаар тэмдэглэж, шугамаар тэдгээрийг шулуун шугамаар холбох хэрэгтэй.

35. Шугамын хэвийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

шулуун шугамаас эхлэл хүртэлх зай хаана байна;  – хэвийн шугам ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөг.

Ердийн тэгшитгэлийг (1) ерөнхий тэгшитгэлээс нормчлох хүчин зүйлээр үржүүлж авч болно. ,  тэмдэг нь тэмдгийн эсрэг байх тул .

Шулуун шугам ба координатын тэнхлэг хоорондын өнцгийн косинусыг чиглэлийн косинус,  – шулуун ба тэнхлэг хоорондын өнцөг,  – шулуун ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөг гэнэ.

Тиймээс хэвийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

Цэгээс хол зай шулуун шугам руутомъёогоор тодорхойлно

36. Цэг ба шугамын хоорондох зайг дараах томъёогоор тооцоолно.

Энд x 0 ба y 0 нь цэгийн координатууд, A, B, C нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн коэффициентууд юм.

37. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн болгох. Энэ нөхцөл дэх тэгшитгэл ба хавтгай нь тэгшитгэл дэх гишүүний тоо, орон зайн хэмжээсээс өөр зүйлээр бие биенээсээ ялгаатай биш юм. Тиймээс эхлээд би онгоцны талаар бүгдийг хэлж, эцэст нь шулуун шугамын талаар тайлбар хийх болно.
Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг өгье: Ax + By + Cz + D = 0.
;. Бид системийг авна: g;Mc=cosb, MB=cosa Үүнийг хэвийн хэлбэрт оруулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хэвийн болгох коэффициент M-ээр үржүүлбэл: Max+Mvu+MCz+MD=0. Энэ тохиолдолд MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa бид дараах системийг олж авна.

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Системийн бүх тэгшитгэлийг нэгтгэж, бид M*(A2 +B2+C2)=1 гарна. Одоо анхны ерөнхий тэгшитгэлийг авчрахын тулд ямар хэвийн болгох хүчин зүйлээр үржүүлэх ёстойг мэдэхийн тулд эндээс M-ийг илэрхийлэх л үлдлээ. хэвийн хэлбэрт:
M=-+1/ROOT KV A2 +B2 +C2
MD нь үргэлж тэгээс бага байх ёстой тул M тооны тэмдгийг D тооны тэмдгийн эсрэгээр авна.
Шулуун шугамын тэгшитгэлийн хувьд бүх зүйл адилхан, зөвхөн M-ийн томъёоноос C2 гэсэн нэр томъёог хасах хэрэгтэй.

38.Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл орон зайд хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

Хаана А 2 + Б 2 + C 2 ≠ 0 .

Декартын координатын систем дэх гурван хэмжээст орон зайд аливаа хавтгайг 1-р зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) дүрсэлдэг. Мөн эсрэгээр аливаа шугаман тэгшитгэл нь хавтгайг тодорхойлдог.

40.Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.Тэгш өнцөгт координатын системд Оксизгурван хэмжээст орон зайд хэлбэрийн тэгшитгэл , Хаана а, бТэгээд в– тэгээс өөр бодит тоонуудыг дуудна сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл. Тоонуудын үнэмлэхүй утгууд а, бТэгээд вкоординатын тэнхлэгүүд дээр онгоц огтолж буй сегментүүдийн урттай тэнцүү Үхэр, ӨөТэгээд Озгарал үүслээс нь тооцож тус тус тооцно. Тооны тэмдэг а, бТэгээд вкоординатын тэнхлэгт сегментүүдийг аль чиглэлд (эерэг эсвэл сөрөг) зурж байгааг харуулна

41) Ердийн хавтгай тэгшитгэл.

Хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь хэлбэрээр бичигдсэн тэгшитгэл юм

Энд , , хавтгайн чиглэлийн косинусууд хэвийн, д

p нь эхээс хавтгай хүртэлх зай юм. Нормаль косинусын чиглэлийг тооцоолохдоо гарал үүслээс хавтгай руу чиглэсэн байна гэж үзэх хэрэгтэй (хэрэв онгоц эх үүсвэрийг дайран өнгөрвөл хэвийн эерэг чиглэлийг сонгох нь хамаагүй).

42) Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай.Хавтгайг тэгшитгэлээр өгөөд цэг өгье. Дараа нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг томъёогоор тодорхойлно

Баталгаа. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь тодорхойлолтоор бол цэгээс хавтгайд татсан перпендикулярын урт юм.

Онгоц хоорондын өнцөг

Хавтгайг ба тэгшитгэлээр тус тус тодорхойл. Та эдгээр онгоцны хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй.

Онгоцууд огтлолцож дөрвөн хоёр өнцөгт өнцгийг үүсгэдэг: хоёр мохоо ба хоёр хурц буюу дөрвөн тэгш өнцөг, мохоо өнцөг хоёулаа хоорондоо тэнцүү, хурц өнцөг нь хоёулаа тэнцүү байна. Бид үргэлж хурц өнцөг хайх болно. Үүний утгыг тодорхойлохын тулд бид хавтгайн огтлолцлын шугам дээр нэг цэгийг авч, энэ цэг тус бүр дээр авдаг

онгоцууд, бид огтлолцлын шугам руу перпендикуляр зурдаг.

Координатын тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлтэй а векторын үүсгэсэн өнцгийг альфа, бета, гаммагаар тэмдэглэнэ (1-р зургийг үз). Эдгээр өнцгийн косинусуудыг а векторын чиглэлийн косинусууд гэнэ.

Зааварчилгаа

Декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх координатууд нь векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцуудтай тэнцүү тул
a1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета), a3 = |a|cos(гамма). Эндээс:
cos (alpha)=a1||a|, cos(бета) =a2||a|, cos(гамма)= a3/|a|.
Энэ тохиолдолд |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). гэсэн үг
cos (alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(бета) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2),
cos(гамма)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Чиглэлийн косинусын үндсэн шинж чанарыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Векторын чиглэлийн косинусын квадратуудын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.
Үнэхээр cos^2(альфа)+кос^2(бета)+кос^2(гамма)=
= a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) =
=(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^2+ a3^2) = 1.

Эхний арга

Жишээ нь: өгөгдсөн: вектор a=(1, 3, 5). Түүний чиглэлийн косинусуудыг ол.
Шийдэл. Бидний олсон зүйлийн дагуу бид дараахь зүйлийг бичдэг.
|a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91.
Тиймээс хариултыг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
(cos(альфа), cos(бета), cos(гамма))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35))=(0.16;0.5;0, 84).

Хоёр дахь арга зам

А векторын чиглэлийн косинусыг олохдоо скаляр үржвэрийг ашиглан өнцгийн косинусыг тодорхойлох аргыг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд бид тэгш өнцөгт декартын координат i, j, k-ийн чиглэлийн нэгж векторууд болон а хоорондын өнцгийг хэлнэ. Тэдгээрийн координатууд нь (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) байна.
Векторуудын скаляр үржвэрийг дараах байдлаар тодорхойлно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг нь φ бол хоёр салхины скаляр үржвэр (тодорхойлолтоор) вектор ба cosφ-ийн модулиудын үржвэртэй тэнцүү тоо юм. (a, b) = |a||b|cos f. Дараа нь b=i бол (a, i) = |a||i|cos(альфа),
эсвэл a1 = |a|cos(альфа). Цаашилбал, бүх үйлдлийг j ба k координатыг харгалзан 1-р аргын адил гүйцэтгэдэг.

Асуулт 6.

Хөндлөнгийн бүтээгдэхүүн: тодорхойлолт ба шинж чанар. Параллелограммын талбай ба гурвалжны координатаар скаляр үржвэрийн илэрхийлэл. Жишээ.

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд Хоёр векторын вектор үржвэр Тэгээд нь вектор , координатын векторууд хаана байна.

Векторыг өгье. Нэгж вектор нь ижил чиглэлд байна (нэгж вектор ) томъёогоор олно:

.

Тэнхлэгээ зөвшөөр координатын тэнхлэгүүдтэй өнцөг үүсгэдэг
.Тэнхлэгийн чиглэлийн косинусууд Эдгээр өнцгүүдийн косинусуудыг:. Хэрэв чиглэл нэгж вектороор өгөгдсөн , дараа нь чиглэлийн косинусууд нь түүний координат болдог, өөрөөр хэлбэл:

.

Чиглэлийн косинусууд нь хоорондоо дараахь хамаарлаар холбогддог.

Хэрэв чиглэл дурын вектороор өгөгдсөн , дараа нь энэ векторын нэгж векторыг олоод нэгж векторын илэрхийлэлтэй харьцуулна , авах:

Скаляр бүтээгдэхүүн

Цэгтэй бүтээгдэхүүн
хоёр вектор Тэгээд Энэ нь тэдгээрийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо юм.
.

Скаляр бүтээгдэхүүн нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Тиймээс,
.

Цэгийн бүтээгдэхүүний геометрийн утга: вектор ба нэгж векторын скаляр үржвэр векторын проекцтой тэнцүү байна тодорхойлсон чиглэл рүү , өөрөөр хэлбэл
.

Скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоос дараах нэгж векторын үржүүлгийн хүснэгтийг үзүүлэв.
:

.

Хэрэв векторуудыг координатаар нь өгвөл
Тэгээд
, өөрөөр хэлбэл
,
, дараа нь эдгээр векторуудыг скаляраар үржүүлж, нэгж векторуудын үржүүлэх хүснэгтийг ашиглан бид скаляр үржвэрийн илэрхийлэлийг олж авна.
вектор координатаар дамжуулан:

.

Вектор урлагийн бүтээл

Векторын хөндлөн үржвэрвектор руу вектор гэж нэрлэдэг , урт ба чиглэлийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.

Вектор бүтээгдэхүүн нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Эхний гурван шинж чанараас харахад векторуудын нийлбэрийг векторуудын нийлбэрээр үржүүлэх нь олон гишүүнтийг үржүүлэх ердийн дүрмийг дагаж мөрддөг. Хүчин зүйлийн дараалал өөрчлөгдөхгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар үржүүлнэ.

Хэрэв
Тэгээд
, дараа нь векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг харгалзан бид векторын координатыг хүчин зүйлийн векторуудын координатаас тооцоолох дүрмийг гаргаж болно.

Хэрэв бид нэгж векторыг үржүүлэх дээрх дүрмийг харгалзан үзвэл:

Хоёр векторын вектор үржвэрийн координатыг тооцоолох илэрхийлэл бичих илүү авсаархан хэлбэрийг матрицын тодорхойлогчийн тухай ойлголтыг оруулснаар байгуулж болно.

Векторуудын хувьд онцгой тохиолдлыг авч үзье Тэгээд онгоцонд харьяалагддаг
, өөрөөр хэлбэл гэж төлөөлж болно
Тэгээд
.

Хэрэв векторуудын координатыг хүснэгт хэлбэрээр дараах байдлаар бичвэл:
, дараа нь бид хоёр дахь дарааллын квадрат матрицыг тэдгээрээс үүссэн гэж хэлж болно, i.e. хэмжээ
, хоёр мөр, хоёр баганаас бүрдэнэ. Квадрат матриц бүр нь тодорхой дүрмийн дагуу матрицын элементүүдээс тооцогдох тоотой холбоотой бөгөөд тодорхойлогч гэж нэрлэгддэг. Хоёрдахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ ба хоёрдогч диагональ элементүүдийн бүтээгдэхүүний хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.

.

Энэ тохиолдолд:

Тодорхойлогчийн үнэмлэхүй утга нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү байна Тэгээд , хоёр талдаа.

Хэрэв бид энэ илэрхийллийг вектор үржвэрийн томъёотой (4.7) харьцуулбал:

Энэ илэрхийлэл нь эхний эгнээнээс гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо юм.

Тиймээс:

Гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдараах байдлаар тооцно.

ба зургаан гишүүний алгебрийн нийлбэр юм.

Гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог ашиглах нь санахад хялбар байдаг. дүрэмСаррус, үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Нэр томьёо бүр нь матрицын өөр өөр багана, өөр мөрөнд байрлах гурван элементийн үржвэр юм;

Үндсэн диагональтай зэрэгцээ тал нь гурвалжин үүсгэдэг элементүүдийн бүтээгдэхүүнүүд нэмэх тэмдэгтэй байна;

Хоёрдогч диагональд хамаарах элементүүдийн бүтээгдэхүүн ба хоёрдогч диагональтай параллель талтай гурвалжин үүсгэдэг элементүүдийн хоёр бүтээгдэхүүн нь хасах тэмдэгтэй байна.