a ба b хоёр матриц өгөгдсөн бол ол. Матриц дээрх үйлдлүүд

-аас бүрдэнэ Тшугам ба Пбагануудыг хэмжээтэй матриц гэж нэрлэдэг n× м. Тоонууд А 11 , А 12 , ..., А mnтүүнийг гэдэг элементүүд.Матрицыг харуулсан хүснэгтийг хаалтанд бичиж тэмдэглэнэ A = (а ij ).

Хэрэв матрицын мөрийн тоо нь түүний баганын тоотой тэнцүү бол матриц гэж нэрлэгддэг. дөрвөлжин,ба түүний эгнээний тоо нь баганын тоотой тэнцүү байна - дарааллаарквадрат матриц.

Зүүн дээд буланг баруун доод булантай холбосон сегмент дээр байрлах квадрат матрицын бүх элементүүдийн багцыг гэнэ. үндсэн диагональ,баруун дээд буланг зүүн доод булантай холбосон сегмент дээр - хажуугийн диагональ.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг диагональ,үндсэн диагональ дээр ороогүй бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү бол. Үндсэн диагональ дагуух элементүүд нь нэгтэй тэнцүү, бусад нь тэг байх квадрат матрицыг гэнэ. ганц биеболон томилогдсон Э.

Хоёр матрицыг дуудна тэнцүүхэрэв тэдгээрийн мөр, баганын тоо тэнцүү бол эдгээр матрицуудын харгалзах газруудын элементүүд тэнцүү бол.

Элементүүд нь бүгд тэг байх матрицыг нэрлэдэг nullболон тэмдэглэгдсэн байна Н.

Тодорхойлолтоор матрицыг үржүүлэх А r тооны хувьд матрицын элемент бүр хэрэгтэй А r-ээр үржүүлэх.

Жишээ. Матриц өгөгдсөн A =
, матриц 3-ыг ол А.

3 A = 3
=

Матрицуудын нийлбэр АТэгээд INэлементүүд нь матрицуудын харгалзах элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх C матриц гэж нэрлэгддэг. АТэгээд IN. Зөвхөн ижил тооны мөр, баганатай матрицуудыг нэмж болно.

Жишээ. Өгөгдсөн матрицууд A =
Тэгээд IN =
. Матрицыг ол C = A + B.

C =

Матриц нэмэх шинж чанарууд:

A+B=B+A

(A+ B)+ C = A+ (B + C)

А + Н = А

Матрицын бүтээгдэхүүн Аматриц руу INзөвхөн матрицын баганын тоогоор тодорхойлогдоно Аматрицын эгнээний тоотой тэнцүү байна IN.Үржүүлэх үр дүн нь матриц юм AB,матрицтай ижил тооны мөртэй А, мөн матрицад байгаа баганын тоотой тэнцүү байна IN.

Хоёр матрицын үржвэр А (м× х) Тэгээд IN(х× n) матриц гэж нэрлэдэг ХАМТ (м× n), элементүүд нь дүрмээр тодорхойлогддог

ХАМТ ij =

Сэтгэгдэл. Хоёр матрицыг үржүүлэхийн тулд танд элементүүд хэрэгтэй биЭхний матрицын 3-р мөрийг элементүүдээр үржүүлнэ jХоёрдахь матрицын 1-р баганад үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ. Шинэ матрицын элементийг индекстэй нь авцгаая ij.

Жишээ. Өгөгдсөн a ба b матрицууд. ;. ab матрицын үржвэрийг ол.

AB=

=
=

Жишээ. Өгөгдсөн матрицууд АТэгээд IN. А=
Тэгээд B = .

Шийдэл: A =(2X3), IN= (3X2) => AB =(2X2)

AB=
 =
=

Матрицыг үржүүлэх шинж чанарууд:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

А.Е= EA= А

(AB)k = (AB)k= A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + AC/

Хөрвүүлсэн матриц А Тнь баганын оронд мөр, мөрийн оронд багана бичдэг матриц юм.

Жишээ. Матрицыг өгье A=
, Дараа нь

А Т =

Тодорхойлогч хүчин зүйлүүд.

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчматрицад тохирох А =
, дугаарыг дуудсан
=А 11 А 22 - А 12 А 21 .

Жишээ. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан тооцоол.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчматрицад тохирох

А =
, дугаарыг дуудсан
=А 11 А 22 А 33 +a 12 А 23 А 31 + a 13 А 21 А 32 - А 13 А 22 А 31 - А 12 А 21 А 33 -А 11 А 23 А 32.

Тэгш байдлын баруун талд байгаа аль бүтээгдэхүүнийг "+" тэмдгээр, аль нь "-" тэмдгээр авах ёстойг санахын тулд ашигтай дүрмийг гурвалжингийн дүрэм гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.

« + » « - »

Зураг 1.

Жишээ. Тодорхойлогчийг тооцоолох

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох хоёр дахь арга бол эхний хоёр баганыг нэмж, үндсэн диагональ ба параллель, хоёрдогч диагональ ба параллель дагуу үржвэрийг олох явдал юм.

= А 11 А 22 А 33 +a 12 А 23 А 31 + a 13 А 21 А 32 - А 13 А 22 А 31 - А 12 А 21 А 33 -А 11 А 23 А 32.

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд:

Тодорхойлогчд хоёр мөр (багана) солигдвол тэмдэг нь эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.

Тодорхойлогч дахь мөр ба багануудыг сольсон тохиолдолд түүний тэмдэг, хэмжээ өөрчлөгдөхгүй.

Хэрэв тодорхойлогч дахь хоёр мөр пропорциональ (тэнцүү) байвал энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийг (багана) тодорхой тоогоор үржүүлээд өөр мөрөнд (багана) нэмбэл түүний утга өөрчлөгдөхгүй.

Хэрэв тодорхойлогчд аль нэг мөр (багана) -ын элементүүд нийтлэг хүчин зүйлтэй бол түүнийг тодорхойлогчийн тэмдгээс хасаж болно.

Хэрэв тодорхойлогч нь хоосон мөр эсвэл багана агуулж байвал энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Насанд хүрээгүй М ijтодорхойлох элемент А ij устгаж эхээс олж авсан тодорхойлогч юм би- өө шугам ба jЭнэ элемент байрладаг багана.

Алгебрийн нэмэлт А ijтодорхойлох элемент А ijминор гэж нэрлэдэг (-1)-ээр үржүүлсэн би + j .

Тодорхойлогчийг тооцоолох гурав дахь арга бол задралын теоремыг ашиглах явдал юм.

Задаргааны теорем:Тодорхойлогч нь аливаа мөр (багана) ба тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол , тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлэх.

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

Ижил тодорхойлогчийг 4-р шинж чанарыг ашиглан тооцоолж, дараа нь тэлэлтийн теоремыг хэрэглэж болно. Бидний жишээн дээр бид эхний баганад тэг үүсгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний элементүүдийг 5-аар үржүүлж, гурав дахь эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний элементүүдийг 7-оор үржүүлж нэмнэ. матрицыг эхний баганын элементүүд рүү оруулна.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

Зааварчилгаа. Онлайн шийдлийн хувьд та матрицын илэрхийлэлийг зааж өгөх хэрэгтэй. Хоёр дахь шатанд матрицын хэмжээг тодруулах шаардлагатай болно.

Хүчин төгөлдөр үйлдлүүд: үржүүлэх (*), нэмэх (+), хасах (-), урвуу матриц A^(-1), экспоненциал (A^2, B^3), матрицын шилжүүлэг (A^T).
Үйлдлүүдийн жагсаалтыг гүйцэтгэхийн тулд цэг таслал (;) тусгаарлагч ашиглана уу. Жишээлбэл, гурван үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд:
a) 3A+4B
б) AB-VA
в) (А-Б) -1
Та үүнийг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матриц нь m мөр, n багана бүхий тэгш өнцөгт тоон хүснэгт тул матрицыг бүдүүвчээр тэгш өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлж болно.
Тэг матриц (цэг матриц)нь бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү ба 0-ээр тэмдэглэгдсэн матриц юм.
Таних матрицхэлбэрийн квадрат матриц гэж нэрлэдэг

Тодорхойлъё матриц дээрх үндсэн үйлдлүүд.

Матриц нэмэх

Жишээ 6. .
Матриц нэмэх үйл ажиллагаа нь хэд хэдэн гишүүний хувьд хамаарна. Мэдээж A+0=A.
Зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудыг нэмж болно гэдгийг дахин онцлон тэмдэглэе; Өөр өөр хэмжээтэй матрицын хувьд нэмэх үйлдлийг тодорхойлоогүй байна.

Матрицыг хасах

Матрицын үржүүлэх

Жишээ 7. Өгөгдсөн матрицууд Тэгээд . C = A·B ба D = B·A матрицуудыг ол.
Шийдэл. Юуны өмнө, A-ийн баганын тоо нь B-ийн мөрийн тоотой тэнцүү тул A·B бүтээгдэхүүн байгаа гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 8. Матриц өгөгдсөн . 3А 2 – 2А-г ол.
Шийдэл.

.
; .
.
Дараах сонирхолтой баримтыг тэмдэглэе.
Та бүхний мэдэж байгаагаар тэгээс өөр хоёр тооны үржвэр нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Матрицын хувьд үүнтэй төстэй нөхцөл байдал үүсэхгүй, өөрөөр хэлбэл тэг биш матрицын үржвэр нь тэг матрицтай тэнцүү болж хувирдаг.

МАтрицын тодорхойлолт. МАТРИЦЫН ТӨРЛҮҮД

m хэмжээтэй матриц× nбагц гэж нэрлэдэг m·nтэгш өнцөгт хүснэгтэд байрлуулсан тоонууд мшугам ба nбаганууд. Энэ хүснэгтийг ихэвчлэн хаалтанд бичдэг. Жишээлбэл, матриц нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Товчхондоо матрицыг нэг том үсгээр тэмдэглэж болно, жишээлбэл, Аэсвэл IN.

Ерөнхийдөө хэмжээсийн матриц м× nингэж бичээрэй

.

Матрицыг бүрдүүлдэг тоонуудыг дуудна матрицын элементүүд. Матрицын элементүүдийг хоёр индексээр хангах нь тохиромжтой a ij: Эхнийх нь мөрийн дугаарыг, хоёр дахь нь баганын дугаарыг заана. Жишээлбэл, а 23– элемент нь 2-р эгнээ, 3-р баганад байна.

Хэрэв матриц нь баганын тоотой ижил тооны мөртэй бол матриц гэж нэрлэгддэг. дөрвөлжин, мөн түүний мөр эсвэл баганын тоог дуудна дарааллаарматрицууд. Дээрх жишээнүүдэд хоёр дахь матриц нь квадрат - түүний дараалал 3, дөрөв дэх матриц нь 1-р дараалал юм.

Мөрүүдийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү биш матрицыг дууддаг тэгш өнцөгт. Жишээнүүдэд энэ нь эхний матриц ба гурав дахь матриц юм.

Зөвхөн нэг мөр эсвэл нэг баганатай матрицууд бас байдаг.

Зөвхөн нэг мөр бүхий матрицыг дуудна матриц - мөр(эсвэл мөр), зөвхөн нэг баганатай матриц матриц - багана.

Элементүүд нь бүгд тэг байх матрицыг нэрлэдэг nullба (0), эсвэл энгийн 0-ээр тэмдэглэнэ. Жишээ нь,

.

Үндсэн диагональБид дөрвөлжин матрицын зүүн дээд хэсгээс баруун доод булан руу чиглэсэн диагональ гэж нэрлэдэг.

Үндсэн диагональаас доош байрлах бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх квадрат матрицыг нэрлэнэ гурвалжинматриц.

.

Үндсэн диагональ дээрх элементүүдээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх квадрат матрицыг гэнэ. диагональматриц. Жишээлбэл, эсвэл.

Бүх диагональ элементүүд нь нэгтэй тэнцүү байх диагональ матриц гэж нэрлэдэг ганц биематрицыг E үсгээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, 3-р эрэмбийн таних матриц нь хэлбэртэй байна. .

МАТРИЦ ДЭЭР ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА

Матрицын тэгш байдал. Хоёр матриц АТэгээд Бижил тооны мөр, баганатай, тэдгээрийн харгалзах элементүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү гэнэ a ij = b ij. Тэгэхээр хэрэв Тэгээд , Тэр A=B, Хэрэв a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21Тэгээд a 22 = b 22.

Шилжүүлэх. Дурын матрицыг авч үзье А-аас мшугам ба nбаганууд. Үүнийг дараах матрицтай холбож болно Б-аас nшугам ба ммөр бүр нь матриц багана байдаг баганууд Аижил тоотой (тиймээс багана бүр нь матрицын мөр юм Аижил дугаартай). Тэгэхээр хэрэв , Тэр .

Энэ матриц Бдуудсан шилжүүлсэнматриц А, болон шилжилт Аруу B шилжүүлэн суулгах.

Тиймээс шилжүүлэг гэдэг нь матрицын мөр, баганын үүргийг эргүүлэх явдал юм. Матрицыг матриц руу шилжүүлсэн А, ихэвчлэн тэмдэглэдэг А Т.

Матриц хоорондын холбоо Амөн түүний шилжүүлгийг хэлбэрээр бичиж болно.

Жишээлбэл.Өгөгдсөн матрицыг шилжүүлэн ол.

Матриц нэмэх.Матрицуудыг үзье АТэгээд Бижил тооны мөр, ижил тооны баганаас бүрдэх, өөрөөр хэлбэл. байна ижил хэмжээтэй. Дараа нь матрицуудыг нэмэхийн тулд АТэгээд Бматрицын элементүүдэд шаардлагатай Аматрицын элементүүдийг нэмнэ Бижил газруудад зогсож байна. Ийнхүү хоёр матрицын нийлбэр АТэгээд Бматриц гэж нэрлэдэг C, энэ нь дүрмээр тодорхойлогддог, жишээлбэл,

Жишээ.Матрицуудын нийлбэрийг ол:

Матриц нэмэх нь дараах хуулиудад захирагдаж байгааг шалгахад хялбар байдаг: коммутатив A+B=B+Aба ассоциатив ( A+B)+C=А+(B+C).

Матрицыг тоогоор үржүүлэх.Матрицыг үржүүлэхийн тулд Атоо бүрт кматрицын бүх элемент шаардлагатай Аэнэ тоогоор үржүүлнэ. Тиймээс матрицын бүтээгдэхүүн Атоо бүрт кдүрмээр тодорхойлогддог шинэ матриц бий эсвэл .

Ямар ч тооны хувьд аТэгээд бболон матрицууд АТэгээд БДараахь тэгш байдлыг хангана.

Жишээ.

Матрицын үржүүлэх.Энэ ажиллагаа нь өвөрмөц хуулийн дагуу явагддаг. Юуны өмнө хүчин зүйлийн матрицын хэмжээ нь нийцтэй байх ёстойг анхаарна уу. Та зөвхөн эхний матрицын баганын тоо хоёр дахь матрицын мөрийн тоотой давхцаж байгаа матрицуудыг үржүүлж болно (өөрөөр хэлбэл, эхний эгнээний урт нь хоёр дахь баганын өндөртэй тэнцүү). Ажилматрицууд Аматриц биш Бшинэ матриц гэж нэрлэдэг C=AB, элементүүд нь дараах байдлаар бүрдэнэ.

Тиймээс, жишээлбэл, бүтээгдэхүүнийг олж авахын тулд (жишээ нь матрицад C) 1-р мөр ба 3-р баганад байрлах элемент 13-аас, та 1-р матрицын 1-р эгнээ, 2-р 3-р баганыг авч, дараа нь мөрийн элементүүдийг харгалзах баганын элементүүдээр үржүүлж, үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмэх хэрэгтэй. Бүтээгдэхүүний матрицын бусад элементүүдийг эхний матрицын мөр ба хоёр дахь матрицын баганын ижил төстэй бүтээгдэхүүнийг ашиглан олж авдаг.

Ерөнхийдөө хэрэв бид матрицыг үржүүлбэл A = (a ij)хэмжээ м× nматриц руу B = (b ij)хэмжээ n× х, дараа нь бид матрицыг авна Cхэмжээ м× х, түүний элементүүдийг дараах байдлаар тооцно: элемент c ijэлементүүдийн бүтээгдэхүүний үр дүнд олж авдаг биматрицын 3-р эгнээ Ахаргалзах элементүүдэд jматрицын багана Бболон тэдгээрийн нэмэлтүүд.

Энэ дүрмийн дагуу та ижил дарааллын хоёр квадрат матрицыг үржүүлж, үр дүнд нь ижил дарааллын квадрат матрицыг олж авна. Ялангуяа квадрат матрицыг үргэлж өөрөө үржүүлж болно, өөрөөр хэлбэл. квадрат.

Өөр нэг чухал тохиолдол бол мөрийн матрицыг баганын матрицаар үржүүлэх явдал бөгөөд эхнийх нь өргөн нь хоёр дахь хэсгийн өндөртэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд ингэснээр нэгдүгээр эрэмбийн матриц (өөрөөр хэлбэл нэг элемент) үүсдэг. Үнэхээр,

.

Жишээ.

Тиймээс эдгээр энгийн жишээнүүд нь ерөнхийдөө матрицууд бие биентэйгээ сэлгэдэггүй болохыг харуулж байна. A∙B ≠ B∙A . Тиймээс матрицыг үржүүлэхдээ хүчин зүйлийн дарааллыг сайтар хянах хэрэгтэй.

Матрицын үржүүлэх нь ассоциатив болон түгээлтийн хуулиудад захирагдаж байгааг шалгаж болно, i.e. (AB)C=A(BC)Тэгээд (A+B)C=AC+BC.

Мөн квадрат матрицыг үржүүлэхэд үүнийг шалгахад хялбар байдаг Атаних матриц руу Эижил дарааллаар бид дахин матрицыг олж авна А, ба AE=EA=A.

Дараах сонирхолтой баримтыг тэмдэглэж болно. Таны мэдэж байгаагаар 2 тэгээс бусад тооны үржвэр нь 0-тэй тэнцүү биш юм. Матрицын хувьд энэ нь тийм биш байж магадгүй, i.e. тэгээс өөр 2 матрицын үржвэр нь тэг матрицтай тэнцүү болж болно.

Жишээлбэл, Хэрэв , Тэр

.

ТОДОРХОЙЛОГЧИЙН ОЙЛГОЛТ

Хоёрдахь эрэмбийн матрицыг өгье - хоёр мөр, хоёр баганаас бүрдэх квадрат матриц. .

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчөгөгдсөн матрицад харгалзах тоо нь дараах байдлаар олж авсан тоо юм. a 11 a 22 - a 12 a 21.

Тодорхойлогчийг тэмдгээр илэрхийлнэ .

Тиймээс хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг олохын тулд үндсэн диагональын элементүүдийн үржвэрээс хоёр дахь диагональ дагуух элементүүдийн үржвэрийг хасах хэрэгтэй.

Жишээ.Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоол.

Үүний нэгэн адил бид гурав дахь эрэмбийн матриц болон түүнд харгалзах тодорхойлогчийг авч үзэж болно.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчГурав дахь эрэмбийн өгөгдсөн квадрат матрицад харгалзах тоо нь дараах байдлаар тэмдэглэгдсэн тоо юм.

.

Тиймээс энэ томьёо нь эхний эгнээний элементүүдийн хувьд гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөлийг өгдөг. 11, 12, 13 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоог 2-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоонд бууруулна.

Жишээ.Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол.

Үүний нэгэн адил дөрөв, тав гэх мэт тодорхойлогчдын тухай ойлголтыг танилцуулж болно. захиалга, нэр томьёоны "+" ба "-" тэмдгийг ээлжлэн 1-р эгнээний элемент болгон өргөжүүлэх замаар дарааллыг нь бууруулна.

Тэгэхээр тоонуудын хүснэгт болох матрицаас ялгаатай нь тодорхойлогч нь матрицад тодорхой байдлаар хуваарилагдсан тоо юм.

1. Ерөнхий заавар. Туршилтыг тусдаа дөрвөлжин дэвтэрт тэмдэглэгээний зайтай бөглөнө. Бүтээлийн бичвэрийг ижил өнгийн бэхээр гаргацтай бичсэн. Даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ тэдгээрийн нөхцөлийг бүрэн хангах ёстой. Зөвхөн шийдэлгүй хариулт өгсөн даалгаврыг шийдэгдээгүй гэж үзнэ. Өөр хувилбарын туршилтыг тооцохгүй. Ажлыг цэвэр, цэвэрхэн, тэмдэггүй хийх ёстой.

Хичээл эхлэхээс өмнө шалгалтыг бөглөж, бөглөж, оюутан хянуулахаар өгсөн байх ёстой.

Оюутан бүр дуусгадаг өөрийн сонголттуршилтын ажил. Сонголтын дугаарыг дүнгийн дэвтэр эсвэл оюутны картын сүүлийн цифрээр тодорхойлно. Хэрэв сүүлийн цифр нь тэг байвал арав дахь сонголтыг гүйцэтгэнэ.

2. Даалгаврын сонголтууд.

Дасгал 1

Матрицын үржвэрийг олА ТэгээдIN:

,
.

Шийдэл:

Учир нь хүчин зүйлүүд нь хэмжээстэй байдаг
Тэгээд
, дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн тодорхойлогдсон бөгөөд хэмжээстэй байна
. Тиймээс,

Даалгаврын сонголт 1

А ба В матрицын үржвэрийг ол:

,
.

Даалгавар 2

Матриц өгөгдсөнА. Матрицыг олА -1 мөн үүнийг тогтооноАА -1 =Э.

Шийдэл:

, Хаана

Матрицыг олохын тулд А -1 Юуны өмнө матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай А мөн байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүний тулд бид Sarrus аргыг ашиглана.

Матрицын элемент тус бүрийн алгебрийн нэмэлтүүдийг томъёогоор тооцоолъё.

А -1 .

.

Шалгацгаая:

Даалгаврын сонголт 2

Өгөгдсөн матриц А. А матрицыг ол -1 АА-г тогтооно -1 =Э.

Даалгавар 3

Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн (SLAE) системийн шийдлийг ол.

Крамерын арга

урвуу матрицын арга

Гауссын арга

Шийдлийг шалгана уу.

Шийдэл:

Системийн коэффициентүүдийн матрицыг бичье

Крамерын аргыг ашиглан системийг шийдье.

Нэгдүгээрт, нийцтэй байдлын нөхцөлийг авч үзье, i.e.

Тиймээс систем нь нийцтэй, өөрөөр хэлбэл. өвөрмөц шийдэлтэй.

Хаана - тодорхойлогчоос авсан солих биБагана нь чөлөөт элементүүдийн багана юм.

Хаана
- системийн шугамуудын огтлолцох цэг.

Тэгэхээр


Олдсон шийдийг системийн тэгшитгэл бүрд орлуулах замаар шалгая.

Шалгалт:

;.

Тиймээс, системд орлуулсны дараа тэгшитгэл бүр тоон шинж чанар болж хувирсныг бид харж байна. Үүний үр дүнд системийн шийдлийг зөв олсон.

Системийг урвуу матрицын аргаар шийдье.

Системийг матриц хэлбэрээр бичье.

,,.

;
. Урвуу матрицыг олъё А -1 .

, Хаана

Тодорхойлогч Крамерын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэхэд олдсон:

Матрицыг олохын тулд А -1 Үлдсэн зүйл бол матрицын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтүүдийг томъёогоор тооцоолох явдал юм.

Олдсон утгыг тооцооллын анхны томъёонд орлуулъя А -1 .

.

Шалгацгаая:

Шалгалт нь бидний олсон матрицын зөвийг баталгаажуулсан.

Үл мэдэгдэх матриц баганыг олъё:

.

Хариулт нь Крамерын аргаар олсон шийдэлтэй давхцаж байгаа тул бид үүнийг шалгахгүй.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдье.

Системийн анхан шатны хувиргалт нь матрицын энгийн хувиргалттай төстэй тул системийг шийдэхийн тулд системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг системийн эквивалент матриц руу алхам алхмаар бууруулъя.

Кронекер-Капелли теоремын дагуу өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь багасгасан матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал систем нь шийдэлтэй байдаг.

Олсон хариулт нь өмнөх аргуудын олсон хариулттай давхцаж байна. Шалгах шаардлагагүй, учир нь үүнийг өмнө нь хийсэн.