Асуудал 1. ABC гурвалжны оройнуудын координатууд өгөгдсөн: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Олно: 1) AB талын урт; 2) AB ба ВС талуудын тэгшитгэл, тэдгээрийн өнцгийн коэффициент; 3) хоёр цифрийн нарийвчлалтай радиан дахь B өнцөг; 4) CD өндөр ба түүний уртын тэгшитгэл; 5) дундаж AE-ийн тэгшитгэл ба энэ медианыг CD өндөртэй огтлолцох K цэгийн координатууд; 6) AB талтай параллель К цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл; 7) CD шулуун шугамтай харьцуулахад А цэгт тэгш хэмтэй байрлалтай М цэгийн координатууд.
Шийдэл:
1. A(x 1 ,y 1) ба B(x 2 ,y 2) цэгүүдийн хоорондох d зайг томъёогоор тодорхойлно.
(1)-ийг ашигласнаар бид AB талын уртыг олно.
2. A(x 1 ,y 1) ба B(x 2 ,y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
(2)
А ба В цэгүүдийн координатыг (2) орлуулснаар бид AB талын тэгшитгэлийг олж авна.
y-ийн сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид AB талын тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл хэлбэрээр олно.
хаана
B ба C цэгүүдийн координатыг (2) орлуулснаар BC шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.
Эсвэл 
3. Өнцгийн коэффициентүүд нь тус тус тэнцүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тангенсыг томъёогоор тооцоолдог нь мэдэгдэж байна.
(3)
Хүссэн B өнцгийг AB ба BC шулуун шугамаар үүсгэсэн бөгөөд тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд нь олддог: (3) -ийг ашиглан бид олж авна.
Эсвэл баяртай.
4. Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
(4)
CD өндөр нь AB тал руу перпендикуляр байна. CD-ийн өндрийн налууг олохын тулд шугамуудын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг ашиглана. Түүнээс хойш 
С цэгийн координат ба өндрийн олсон өнцгийн коэффициентийг (4)-д орлуулж бид олж авна.
CD-ийн өндрийн уртыг олохын тулд эхлээд D цэгийн координат - AB ба CD шулуун шугамуудын огтлолцлын цэгийг тодорхойлно. Системийг хамтдаа шийдэх нь:
бид олдог 
тэдгээр. D(8;0).
(1) томъёог ашиглан бид CD-ийн өндрийн уртыг олно.
5. Дундаж AE-ийн тэгшитгэлийг олохын тулд эхлээд сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах томьёог ашиглан ВС талын дунд байх Е цэгийн координатыг тодорхойлно.
(5)
Тиймээс,
А ба Е цэгүүдийн координатыг (2) орлуулснаар бид медианы тэгшитгэлийг олно.
CD өндөр ба медиан AE-ийн огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг хамтдаа шийднэ.
Бид олдог.
6. Хүссэн шулуун шугам нь AB талтай параллель байх тул түүний өнцгийн коэффициент AB шулууны өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байна. Олдсон K цэгийн координат ба өнцгийн коэффициентийг (4)-д орлуулснаар бид олж авна 
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. AB шулуун нь CD шулуунтай перпендикуляр байх тул CD шулуунтай харьцангуй А цэгт тэгш хэмтэй байрлалтай хүссэн M цэг AB шулуун дээр байна. Үүнээс гадна D цэг нь AM сегментийн дунд цэг юм. Томъёо (5) ашиглан бид хүссэн M цэгийн координатыг олно.
ABC гурвалжин, CD өндөр, медиан AE, KF шулуун ба M цэгийг xOy координатын системд зурсан. 1.
Даалгавар 2.
Өгөгдсөн A(4; 0) цэг ба өгөгдсөн x=1 шулуун хүртэлх зай нь 2-той тэнцүү цэгүүдийн байршлын тэгшитгэлийг үүсгэ. 
Шийдэл:
xOy координатын системд бид A(4;0) цэг ба x = 1 шулуун шугамыг байгуулна. M(x;y) цэгүүдийн хүссэн геометрийн байршлын дурын цэг байцгаая. Өгөгдсөн х = 1 шулуунд MB перпендикулярыг буулгаж В цэгийн координатыг тодорхойлъё. В цэг нь өгөгдсөн шулуун дээр байрлах тул түүний абсцисса нь 1-тэй тэнцүү байна. В цэгийн ординат нь М цэгийн ординаттай тэнцүү байна. Тиймээс B(1;y) (Зураг 2).
Асуудлын нөхцөлийн дагуу |МА|: |MV| = 2. Зайнууд |MA| болон |MB| 1-р асуудлын (1) томъёоноос бид дараах зүйлийг олно.
Зүүн ба баруун талыг квадрат болгосноор бид авна
эсвэл
Үүссэн тэгшитгэл нь бодит хагас тэнхлэг нь a = 2, төсөөллийн хагас тэнхлэг нь гипербола юм.
Гиперболын голомтыг тодорхойлъё. Гиперболын хувьд тэгш байдал хангагдана 
- гиперболын заль мэх. Таны харж байгаагаар өгөгдсөн A(4;0) цэг нь гиперболын зөв фокус юм.
Үүссэн гиперболын хазайлтыг тодорхойлъё.
Гиперболын асимптотуудын тэгшитгэл нь ба хэлбэртэй байна. Иймээс эсвэл ба нь гиперболын асимптотууд юм. Гиперболыг бүтээхийн өмнө бид түүний асимптотуудыг байгуулдаг.
Асуудал 3. А(4; 3) цэг ба шулуун шугам y = 1-ээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байршлын тэгшитгэлийг үүсгэ. Гарсан тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул.
Шийдэл: M(x; y) нь хүссэн геометрийн цэгүүдийн цэгүүдийн нэг байг. М цэгээс y = 1 шулуун шугам руу перпендикуляр MB буулгая (Зураг 3). В цэгийн координатыг тодорхойлъё. Мэдээж В цэгийн абсцисса нь М цэгийн абсцисса, В цэгийн ординат нь 1, өөрөөр хэлбэл B(x; 1)-тэй тэнцүү байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу |MA|=|MV|. Иймээс хүссэн цэгүүдийн геометрийн байршилд хамаарах дурын M(x;y) цэгийн хувьд дараах тэгш байдал үнэн болно.
Гарсан тэгшитгэл нь параболын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулахын тулд y + 2 = Y гэж үзвэл параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. 
"Хавтгай дээрх аналитик геометр" стандарт ажлын зарим даалгаврыг шийдвэрлэх жишээ
Оройнуудыг өгсөн, 
,
ABC гурвалжин. Олно:
Гурвалжны бүх талын тэгшитгэл;
Гурвалжинг тодорхойлох шугаман тэгш бус байдлын систем ABC;
Оройноос нь татсан гурвалжны өндөр, медиан ба биссектрисын тэгшитгэл А;
Гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэг;
Гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэг;
Хажуу тал руу доошлуулсан өндрийн урт AB;
Булан А;
Зураг зурах.
Гурвалжны оройг координаттай болго: А (1; 4), IN (5; 3), ХАМТ(3; 6). Тэр даруй зураг зурцгаая:
1. Гурвалжны бүх талын тэгшитгэлийг бичихдээ координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглана. x 0 , y 0 ) ба ( x 1 , y 1 ):
=
Тиймээс (-ын оронд орлуулах) x 0 , y 0 ) цэгийн координат А, оронд нь ( x 1 , y 1 ) цэгийн координат IN, бид шугамын тэгшитгэлийг авна AB:
Үүссэн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэл болно AB, ерөнхий хэлбэрээр бичсэн. Үүний нэгэн адил бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг олно АС:
Мөн шулуун шугамын тэгшитгэл Нар:
2. Гурвалжны цэгүүдийн олонлог болохыг анхаарна уу ABCгурван хагас хавтгайн огтлолцлыг илэрхийлэх ба хагас хавтгай бүрийг шугаман тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлж болно. Хэрэв бид аль нэг талын тэгшитгэлийг авбал ∆ ABC, Жишээ нь AB, дараа нь тэгш бус байдал
Тэгээд 
Шугамын эсрэг талд байрлах цэгүүдийг тодорхойлох AB. Бид C цэг байрлах хагас хавтгайг сонгох хэрэгтэй, түүний координатыг хоёр тэгш бус байдалд орлъё.
Хоёр дахь тэгш бус байдал нь зөв байх бөгөөд энэ нь шаардлагатай цэгүүдийг тэгш бус байдлаар тодорхойлно гэсэн үг юм
.
Бид BC шулуун шугам, түүний тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хийдэг 
. Бид A (1, 1) цэгийг туршилтын цэг болгон ашигладаг.
Энэ нь шаардлагатай тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.
.
Хэрэв бид AC шулуун шугамыг (туршилтын B цэг) шалгавал бид дараахь зүйлийг авна.
Энэ нь шаардлагатай тэгш бус байдал нь хэлбэртэй байна гэсэн үг юм
Эцэст нь бид тэгш бус байдлын системийг олж авдаг.
"≤", "≥" тэмдгүүд нь гурвалжны хажуу талууд дээр байрлах цэгүүд нь гурвалжинг бүрдүүлдэг цэгүүдийн багцад багтдаг гэсэн үг юм. ABC.
3. а) Оройноос унасан өндрийн тэгшитгэлийг олохын тулд Атал руу Нар, талын тэгшитгэлийг авч үзье Нар:
. 
Координат бүхий вектор Нархажуу тийш перпендикуляр Атиймээс өндөртэй зэрэгцээ байна. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичье 
:
вектортой параллель АЭнэ нь t-ээс хасагдсан өндрийн тэгшитгэл юм. Нар.
тал руу Нарб) Хажуугийн дунд хэсгийн координатыг ол 
томъёоны дагуу: 
Энд IN- эдгээр нь t-ийн координатууд юм. 
, А ХАМТ– координат t.
. Орлуулж аваад авцгаая: АЭнэ цэг ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам
шаардлагатай медиан нь: 
в) Бид тэгш өнцөгт гурвалжинд гурвалжны суурь хүртэл нэг оройгоос буух өндөр, медиан ба биссектриса тэнцүү байна гэсэн үндэслэлээр биссектрисын тэгшитгэлийг хайх болно. Хоёр векторыг олъё 
ба тэдгээрийн урт:
Дараа нь вектор 
вектортой ижил чиглэлтэй байна 
, ба түүний урт 
Үүний нэгэн адил нэгж вектор 
вектортой чиглэлтэй давхцаж байна 
Вектор нийлбэр
өнцгийн биссектрисатай чиглэлд давхцах вектор юм А. Тиймээс хүссэн биссектрисын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
4) Бид аль нэг өндрийн тэгшитгэлийг байгуулсан. Өөр өндрийн тэгшитгэлийг жишээ нь оройноос нь байгуулъя IN. Хажуу тал АСтэгшитгэлээр өгөгдсөн 
Тэгэхээр вектор 
перпендикуляр АС, улмаар хүссэн өндөртэй зэрэгцээ байна. Дараа нь оройг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл INвекторын чиглэлд 
(жишээ нь перпендикуляр АС), дараах хэлбэртэй байна:
Гурвалжны өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог нь мэдэгдэж байна. Ялангуяа энэ цэг нь олсон өндрийн огтлолцол, i.e. тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх:
- энэ цэгийн координатууд.
5. Дунд ABкоординаттай 
. Хажуу талын медиан тэгшитгэлийг бичье AB.Энэ шугам нь координат (3, 2) ба (3, 6) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.
Шулуун шугамын тэгшитгэл дэх бутархайн хуваагч дахь тэг нь энэ шулуун нь ординатын тэнхлэгтэй параллель гүйж байгааг анхаарна уу.
Медиануудын огтлолцлын цэгийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хангалттай.
Гурвалжны медиануудын огтлолцох цэг нь координаттай байдаг 
.
6. Хажуу тал руу доошлуулсан өндрийн урт AB,цэгээс зайтай тэнцүү байна ХАМТшулуун шугам руу ABтэгшитгэлтэй 
ба томъёогоор олно:
7. Өнцгийн косинус Авектор хоорондын өнцгийн косинусын томъёог ашиглан олж болно 
в) Бид тэгш өнцөгт гурвалжинд гурвалжны суурь хүртэл нэг оройгоос буух өндөр, медиан ба биссектриса тэнцүү байна гэсэн үндэслэлээр биссектрисын тэгшитгэлийг хайх болно. Хоёр векторыг олъё 
, энэ нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг тэдгээрийн уртын үржвэрт харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
.
1. АВ ба ВС талуудын тэгшитгэл ба тэдгээрийн өнцгийн коэффициент.
Даалгавар нь эдгээр шугамууд дамжин өнгөрөх цэгүүдийн координатыг өгдөг тул өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ашиглах болно $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ орлуулж тэгшитгэлүүдийг олоорой
AB шугамын тэгшитгэл $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ AB шулуун шугамын налуу нь \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)-тэй тэнцүү байна.
BC шулууны тэгшитгэл $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ BC шугамын налуу нь \-тэй тэнцүү байна. (k_( BC) = -7\)
2. Хоёр оронтой тооны нарийвчлалтай радиан дахь B өнцөг
B өнцөг нь AB ба BC шулуунуудын хоорондох өнцөг бөгөөд $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ өнцгийн коэффициентүүдийн утгыг орлуулах томъёогоор тооцоолно. эдгээр мөрүүдээс $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \ойролцоогоор 0.79$$
3. AB талын урт
AB талын уртыг цэгүүдийн хоорондох зайгаар тооцоолох ба \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) -тэй тэнцүү байна. = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD-ийн өндөр ба түүний уртын тэгшитгэл.
Өгөгдсөн C(4;13) цэгийг өгөгдсөн чиглэлд - АВ шулуун шугамд перпендикуляр \(y-y_0=k(x-x_0)) томъёогоор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын томъёог ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг олох болно. \). Перпендикуляр шулуунуудын шинж чанарыг ашиглан \(k_(CD)\) өндрийн өнцгийн коэффициентийг олъё \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) $$k_(CD)= -\frac(1) авна. )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Тэгшитгэлд шулуун шугамыг орлуулахад $$y гарна. - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Бид өндрийн уртыг дараах байдлаар хайх болно. Тоолуур дахь $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ томъёог ашиглан C(4;13) цэгээс AB шулуун шугам хүртэлх зай нь тэгшитгэл юм. AB шулуун шугамыг энэ хэлбэрт оруулъя \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , үр дүнг орлуул. тэгшитгэл болон цэгийн координатыг томьёонд оруулах $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. AE медиан ба К цэгийн координатуудын тэгшитгэл, энэ медианыг CD өндөртэй огтлолцох.
Бид медианы тэгшитгэлийг өгөгдсөн A(-6;8) ба Е хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл гэж хайх бөгөөд Е цэг нь В ба С цэгүүдийн дундах цэг бөгөөд түүний координатууд нь томъёо \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) цэгүүдийн координатыг орлуулна \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), тэгвэл медиан AE-ийн тэгшитгэл нь дараах $$\frac(x+6)(5+) болно. 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$-ийн огтлолцох цэгийн координатыг олъё. өндөр ба дундаж, i.e. Үүний тулд бид $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \ системийн тэгшитгэлийг үүсгэнэ. frac(4)(3)x+ \frac(23)(3)\төгсгөл(тохиолдлууд)=>\эхлэх(тохиолдол)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\төгсгөл(тохиолдлууд)=>$$ $$\эхлэх(тохиолдол)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\төгсгөх(тохиолдол)=> \эхлэх(тохиолдол)25у =175\\3y = 4x+23\төгсгөх(тохиолдол)=> $ $$$\эхлэх(тохиолдол) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\төгсгөх(тохиолдол)$$ Уулзвар цэгийн координат \(K(-\frac(1)(2); 7)\)
6. К цэгээр AB талтай параллель өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.
Хэрэв шулуун шугам параллель байвал тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), \(K(-\frac(1)(2);7)\) цэгийн координатууд мөн мэдэгдэж байна. , өөрөөр хэлбэл. шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохын тулд өгөгдсөн чиглэлд өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог хэрэглэж \(y - y_0=k(x-x_0)\), өгөгдлийг орлуулж $ авна. $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ доллар
8. CD шулуун шугамтай харьцуулахад А цэгт тэгш хэмтэй M цэгийн координатууд.
М цэг нь AB шулуун дээр байрладаг, учир нь CD нь энэ талын өндөр юм. Үүнийг хийхийн тулд CD ба AB-ийн огтлолцох цэгийг олъё, $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - тэгшитгэлийн системийг шийдье; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\төгсгөл(тохиолдол) =>\эхлэх(тохиолдол)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\төгсгөх(тохиолдол) => $$$$\эхлэх(тохиолдол)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\төгсгөл(тохиолдлууд) =>
\эхлэх(тохиолдол)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\төгсгөл(тохиолдол) => $$$$\эхлэх(тохиолдол)x=-2\\y=5 \төгсгөл(тохиолдол)$$ D(-2;5) цэгийн координатууд. AD=DK нөхцлийн дагуу цэг хоорондын энэ зайг Пифагорын томъёогоор олно \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), AD ба DK нь Тэгш тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузууд ба \(Δx =x_2-x_1\) ба \(Δy=y_2-y_1\) нь эдгээр гурвалжнуудын хөл, өөрөөр хэлбэл. М цэгийн хөлийг олоод координатыг олъё. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), дараа нь координатыг олъё. цэгийн M нь тэнцүү байх болно \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), мөн \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), цэгийн координатууд \( M(2;2)\) болохыг бид олж мэдсэн.
1. Гурвалжны оройг өгөгдсөн ABC.А(–9; –2), IN(3; 7), ХАМТ(1; –7).
1) хажуугийн урт AB;
2) талуудын тэгшитгэл ABТэгээд АСба тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд;
3) өнцөг Арадианаар;
4) өндрийн тэгшитгэл ХАМТДба түүний урт;
5) өндөр нь байх тойргийн тэгшитгэл ХАМТДдиаметр байдаг;
6) гурвалжинг тодорхойлох шугаман тэгш бус байдлын систем ABC.
Шийдэл. Зураг зурцгаая.
1. AB талын уртыг олъё.Хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тодорхойлно
2. Талуудын тэгшитгэлийг олцгооёAB ТэгээдАС ба тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд.
Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичье.
Энэ бол шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм. Y-ийн хувьд үүнийг шийдье, бид олж авлаа
, шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна 
Үүнтэй адилаар тал АС-ийн хувьд бидэнд байна.
шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна 
3. Бид олох болнобуланА
радианд.
Энэ бол хоёр векторын хоорондох өнцөг юм 
Тэгээд 
. Векторуудын координатыг бичье. Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь тэнцүү байна
4. Бид олох болноөндрийн тэгшитгэлХАМТ
Д
ба түүний урт.
, тиймээс тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд нь хамаарлаар холбогддог 
.
Өнцгийн коэффициентээр өндрийн тэгшитгэлийг бичье
Цэг 
нь CD шулуунд хамаарах тул координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангадаг тул бид 
Эцэст нь 
эсвэл
Бид өндрийн уртыг C цэгээс AB шулуун шугам хүртэлх зайгаар тооцоолно
5. Тойргийн тэгшитгэлийг олцгооё, ямар өндөрт зориулагдсанХАМТ Д диаметр байдаг.
Бид D цэгийн координатыг тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа AB ба CD хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэг гэж олдог.
Тойргийн төв болох О цэгийн координатыг олъё. Энэ бол CD хэсгийн дунд хэсэг юм.
Тойргийн радиус нь 
Тойргийн тэгшитгэлийг бичье.
6) Гурвалжинг тодорхойлъёABC шугаман тэгш бус байдлын систем.
CB шугамын тэгшитгэлийг олъё.
Шугаман тэгш бус байдлын систем иймэрхүү харагдах болно.
2. Энэ тэгшитгэлийн системийг Крамерын томьёог ашиглан шийд. Үүссэн шийдлийг шалгана уу.
Шийдэл.Энэ системийн тодорхойлогчийг тооцоолъё.
.
Тодорхойлогчдыг олцгооё 
мөн системийг шийдэх:
Шалгалт:
Хариулт:
3. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж, ашиглан шийд
урвуу матриц. Үүссэн шийдлийг шалгана уу
Шийдэл.
А матрицын тодорхойлогчийг олъё
матриц нь ганц биш бөгөөд урвуу утгатай. Бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг олж, нэгдлийн матриц үүсгэцгээе. 
Урвуу матриц нь дараах хэлбэртэй байна. 
Үржүүлэлтийг хийцгээе 
шийдлийн векторыг ол.
Шалгалт
. 
Хариулт: 
Шийдэл.
Н = (2, 1). Хэвийн векторт перпендикуляр түвшний шугамыг зурж, хэвийн чиглэлд шилжүүлнэ.
Зорилгын функц нь А цэг дээр хамгийн багадаа, В цэг дээр хамгийн ихдээ хүрдэг. Бид эдгээр цэгүүдийн координатыг тэдгээрийн байрлах огтлолцол дээрх шулуунуудын тэгшитгэлийг хамтад нь шийдэж олдог.
5. Аялал жуулчлалын компани илүү их зүйлийг шаарддаггүй Агурван тонны автобус, түүнээс дээш биш В
таван тоннын автобус. Нэгдүгээр маркийн автобусны үнэ 20 мянган ам.доллар, хоёрдугаар маркийн автобус
40000 доллар Аялал жуулчлалын компани үүнээс илүүгүй хуваарилж болно -тай c.u.
Брэнд бүрийн хэдэн автобусыг тусад нь худалдаж авах ёстой бөгөөд ингэснээр тэдний нийт
(нийт) даац хамгийн их байсан. Асуудлыг графикаар шийд.
А= 20 В= 18 -тай= 1000000
Шийдэл.
Бодлогын математик загварыг бүтээцгээе .
-ээр тэмдэглэе 
- худалдан авах тонн тус бүрийн автобусны тоо. Худалдан авалтын зорилго нь зорилгын функцээр тодорхойлсон худалдан авсан машинуудын хамгийн их даацтай байх явдал юм
Даалгаврын хязгаарлалтыг худалдаж авсан автобусны тоо, тэдгээрийн өртөгөөр тодорхойлно.
Асуудлыг графикаар шийдье. . Бид асуудлын боломжит шийдлүүдийн бүсийг, мөн түвшний шугамын хэвийн шугамыг байгуулдаг Н = (3, 5). Хэвийн векторт перпендикуляр түвшний шугамыг зурж, хэвийн чиглэлд шилжүүлнэ.
Зорилгын функц нь тухайн цэг дээр дээд цэгтээ хүрдэг 
, зорилгын функц нь утгыг авдаг.
Шийдэл. 1. Функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл тооны шугам юм.
2, Функц нь тэгш, сондгой ч биш.
3. x=0 үед у=20
4. Бид функцийг монотон ба экстремумын хувьд шалгадаг.
Деривативын тэгийг олцгооё
Функцийн хөдөлгөөнгүй цэгүүд.
Үхрийн тэнхлэг дээр хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг зурж, тэнхлэгийн хэсэг бүр дээр деривативын тэмдгүүдийг шалгацгаая.
- хамгийн дээд цэг 
; 
- хамгийн бага оноо 
5. Функцийн графикийг гүдгэр ба хотгорыг шалгана. Хоёр дахь деривативыг авч үзье
Функцийн графикийн гулзайлтын цэг.
At 
- функц нь гүдгэр; цагт 
- функц нь хотгор юм.
Функцийн график иймэрхүү харагдаж байна
6. [-1” интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол; 4]
Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё 
Хамгийн бага цэг дээр функц нь утгыг авдаг тул сегмент дэх хамгийн бага утгыг авдаг [-1; 4] функц нь хамгийн бага цэг дээр, хамгийн ихийг интервалын зүүн хил дээр авдаг.
7. Тодорхой бус интегралуудыг олж, интегралын үр дүнг шалгана уу
ялгах.
Шийдэл.
Шалгалт.
Энд тригонометрийн томъёоны дагуу косинусын үржвэрийг нийлбэрээр сольсон.
