Бодит тоо, тооны тэнхлэг дээрх зураг. Бодит тоо, тооны тэнхлэг дээрх дүрс Тоон тэгш бус байдал, тэдгээрийн шинж чанарууд

2 НЭГДҮГЭЭР ЗЭРГИЙН ТЭГШ БУС БАЙДАЛ
1-р бүлгээс давтагдах бодлогуудыг шийдэж сэдвийг судалж эхэл

§ 4. ТЭГШ БУС БАЙДАЛ

Тоон тэгш бус байдал ба тэдгээрийн шинж чанарууд

175. Тоонуудын хооронд тэгш бус байдлын тэмдэг тавь АТэгээд б, хэрэв мэдэгдэж байгаа бол:
1) (а - б) - эерэг тоо;
2) (а - б) - сөрөг тоо;
3) (а - б) нь сөрөг бус тоо юм.

176. X, Хэрэв:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг ашиглан бичнэ үү.
1) X- эерэг тоо;
2) цагт- сөрөг тоо;
3) | А| - тоо нь сөрөг биш;
4) хоёр эерэг тооны арифметик дундаж АТэгээд бтэдгээрийн геометрийн дундажаас багагүй;
5) хоёр рационал тооны нийлбэрийн абсолют утга АТэгээд бнэр томъёоны үнэмлэхүй утгуудын нийлбэрээс хэтрэхгүй.

178. Та тоонуудын тэмдгийн талаар юу хэлж чадах вэ? АТэгээд б, Хэрэв:

1) a b> 0; 2) а / б > 0; 3) a b< 0; 4) а / б < 0?

179. 1) Дараах тоог өсөх дарааллаар байрлуулж, тэгш бус байдлын тэмдгээр холбоно: 0; -5; 2. Энэ оруулгыг хэрхэн унших вэ?

2) Дараах тоонуудыг тэгш бусын тэмдгээр холбон буурах дарааллаар байрлуул: -10; 0.1;- 2/3. Энэ оруулгыг хэрхэн унших вэ?

180. Тус бүр нь 2-ын цифр агуулсан гурван оронтой тоонуудыг өсөх дарааллаар бичнэ үү; 0; 5, тэдгээрийг тэгш бус тэмдгээр холбоно.

181. 1) Тодорхой урттай нэг хэмжилтийн хувьд лЭнэ нь 217 см-ээс их, гэхдээ 218 см-ээс бага болохыг олж тогтоосон бөгөөд эдгээр тоог уртын утгын хил хязгаар болгон авч хэмжилтийн үр дүнг бич л.

2) Объектыг жинлэх үед энэ нь 19.5 Г-аас хүнд, харин 20.0 Г-аас хөнгөн байсан нь тогтоогдсон. Жинлэх үр дүнг хязгаарыг зааж бич.

182. Тодорхой объектыг 0.05 кг-ийн нарийвчлалтайгаар жинлэх үед жинг олж авсан
P ≈ 26.4 кг. Энэ зүйлийн жингийн хязгаарыг заана уу.

183. Тооны тэнхлэгийн хаана нь тухайн тоог илэрхийлэх цэг байрладаг X, Хэрэв:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Тооны тэнхлэг дээрх бүхэл тоон утгыг олж, заана уу X, тэгш бус байдлыг хангах.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. 141-152-ын хооронд 9-ийн аль үржвэр байх вэ? Тоон шугамын дүрслэлийг өг.

186. Хоёр тооны аль нь 103-аас их, 115-аас бага, эхний тоо нь 13-ын үржвэр, хоёр дахь нь 3-ын үржвэр бол аль нь илүү болохыг тодорхойл. Геометрийн дүрслэл үзүүл.

187. Зөв бутархайг агуулсан хамгийн ойрын бүхэл тоо хэд вэ? Хоёр бүхэл тоог тэдгээрийн хоорондох бүх буруу бутархайгаар зааж өгөх боломжтой юу?

188. Математик, физик, түүхийн 6 ном худалдаж авсан. Математикийн ном түүхийнхээс илүү, физикийнх нь түүхийнхээс бага ном авсан бол хичээл тус бүрээр хичнээн ном худалдаж авсан бэ?

189. Алгебрийн хичээлийн үеэр гурван оюутны мэдлэгийг шалгасан. Эхнийх нь 2-оос дээш оноо авсан, 2-р нь 3-аас өндөр оноо авсан нь мэдэгдэж, сурагч бүрийн авсан оноо 2-оос дээш байвал сурагч бүр ямар үнэлгээ авсан бэ?

190. Шатрын тэмцээнд A, B, C, D шатарчид хамгийн сайн үр дүнд хүрсэн. Хэрэв А нь D-ээс илүү оноо авсан, Б нь оноо авсан нь мэдэгдэж байвал тэмцээнд оролцогч тус бүр ямар байр эзэлсэнийг олж мэдэх боломжтой юу? С-ээс бага?

191. Өгөгдсөн тэгш бус байдал a > b. Үргэлж тийм үү a c > b c? Жишээ хэлнэ үү.

192. Өгөгдсөн тэгш бус байдал А< б. Тэгш бус байдал үнэн үү? А > - б?

193. Тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр хоёр талыг илэрхийллээр үржүүлэх боломжтой юу? X 2 + 1, хаана X- ямар нэгэн оновчтой тоо байна уу?

194. Тэгш бус байдлын хоёр талыг хаалтанд заасан хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) А < - 1 (А); 5) б < - 3 (-б); 6)X -2 > 1 (X).

195. Бүхэл бүтэн төрлийн тэгш бус байдалд хүргэнэ:

196. Функц өгсөн y = kx, Хаана к цагтаргумент нэмэгдэж байна X, хэрэв: 1) к> 0; 2) к < 0? Обосновать ответы.

197. Функц өгсөн y = kx + b, Хаана к =/= 0, б=/= 0. Функцийн утга хэрхэн өөрчлөгдөх цагтаргументуудын утгыг бууруулж байна X, хэрэв: 1) к > 0; 2) к < 0? Обосновать ответы.

198. Үүнийг нотлох a > bТэгээд -тай> 0, тэгвэл а / в > б / в; Хэрэв a > bТэгээд -тай< 0, то а / в < б / в .

199. Тэгш бус байдлын хоёр талыг хаалтанд заасан тоогоор хуваа.

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) А < - 2А 2 (А);
4) А > А 2 (А); 5) А 3 > А 2 (-А).

200. Тэгш бус байдлын гишүүнийг гишүүнээр нэмнэ үү:

1) 12 > 11 ба 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) А - 2 < 8 + бба 5 - 2 А < 2 - б;
4) X 2 + 1 > 2XТэгээд X - 3 < 9 - X 2 .

201. Гүдгэр дөрвөлжингийн диагональ бүр хагас периметрээс бага гэдгийг батал.

202. Гүдгэр дөрвөлжингийн эсрэг талын хоёр талын нийлбэр нь диагональуудын нийлбэрээс бага болохыг батал.

203. Хоёр дахь тэгш бус байдлын гишүүнийг эхнийхээс гишүүнээр хас.

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2А- 1 > 3б; 2б > 3.

204. Үүнийг нотлох | x |< а , Тэр - А< х < а .

205. Дараах тэгш бус байдлыг давхар тэгш бус байдлаар бич.
1) | Т |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Тоон тэнхлэг дээр бүх утгуудын багцыг заана уу X, тэгш бус байдлыг хангах: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Хэрэв - гэдгийг нотлох А< х < а , дараа нь | x |< А.

208. Давхар тэгш бус байдлыг товчилсон тэмдэглэгээгээр соль:
1) -2 < А < 2; 2) -1 < 2П < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Ойролцоогоор урт л= 24.08(±0.01) мм. Урт хязгаарыг тогтоох л.

210. Тоолуурын хэмжүүр ашиглан ижил зайг таван удаа хэмжихэд дараах үр дүн гарсан: 21.56; 21.60; 21.59; 21.55; 21.61 (м). Үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааны хязгаарыг харуулсан хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундажийг ол.

211. Ачааллыг жинлэх үед P = 16.7 (± 0.4%) кг авсан. R жингийн хязгаарыг ол.

212. А≈ 16.4, харьцангуй алдаа ε = 0.5%. Үнэмлэхүй алдааг ол
Δ амөн ойролцоо тоо байх хил хязгаарыг тогтооно.

213. Ойролцоо утгыг заасан тооны зөв цифрээр авсан тохиолдолд дараах тоо тус бүрийн ойролцоо утгын харьцангуй алдааны хязгаарыг тодорхойлно уу: 1) 11/6 гурван зөв оронтой; 2) √5 дөрвөн зөв цифртэй.

214. Газрын зураг ашиглан хоёр хотын хоорондох зайг хэмжихэд 24.4 см-ээс их, харин 24.8 см-ээс бага байгааг олж тогтоосон бөгөөд газрын зургийн масштаб нь 1: 2.500.000 бол үнэмлэхүй тооцооны алдааг олоорой.

215. Тооцооллыг хийж, үр дүнгийн үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тодорхойлно. x = a + b - c, Хэрэв А= 7.22 (±0.01); 3.14< б < 3,17; -тай= 5.4(±0.05).

216. Тэгш бус байдлын гишүүнийг гишүүнээр үржүүлэх:

1) 7 > 5 ба 3 >2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)А> 2 ба б < -2.

217. Өгөгдсөн тэгш бус байдал А > б. Үргэлж тийм үү А 2 > б 2? Жишээ хэлнэ үү.

218. Хэрэв a > b > 0 ба Птэгвэл натурал тоо дээш > б. Нотлох.

219. Аль нь илүү вэ: (0.3) 20 эсвэл (0.1) 10?

220. Хэрэв a > b > 0 эсвэл б< а < 0, дараа нь 1 / а < 1 / б. Нотлох.

221. Талбайн уртыг хэмжихэд ±2 м-ийн алдаа, өргөнийг хэмжихэд алдаа гарах боломжтой бол 437 м урт, 162 м өргөнтэй тэгш өнцөгт талбайн талбайг тооцоол. ±1 м байх боломжтой.

Тодорхойлолт 1. Тооны тэнхлэг гарал үүсэл, масштаб, чиглэлийг сонгосон шулуун шугам гэж нэрлэдэг.

Теорем 1. Тооны шулуун дээрх цэгүүд болон бодит тоонуудын хооронд нэгийг харьцах (бижекция) байна.

Хэрэгцээ.Тоон шулуун дээрх цэг бүр бодит тоотой тохирч байгааг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд нэгж урттай масштабын сегментийг тусад нь тавьцгаая

хэрэв тийм бол гол нь энэ цэгийн зүүн талд хэвтэх болно , ба цэг
аль хэдийн баруун тийшээ илүү. Дараагийн сегмент
хуваах
хэсгүүд болон сегментийг хойш тавих ба хэрэв тийм бол гол нь энэ цэгийн зүүн талд хэвтэх болно , ба цэг
аль хэдийн баруун тийшээ илүү. Тиймээс үе шат бүрт тоо
,
... Хэрэв энэ журам тодорхой үе шатанд дуусвал бид дугаарыг авна
(цэгний координат тооны тэнхлэг дээр). Хэрэв үгүй ​​бол дурын интервалын зүүн хилийг "тоо" гэж нэрлэе. сул талтай”, харин зөв нь – “тоотой илүүдэлтэй", эсвэл "тооны ойролцоо дутагдалтай эсвэл илүүдэлтэй, мөн тоо нь өөрөө төгсгөлгүй үечилсэн бус (яагаад?) аравтын бутархай байх болно. Иррационал тооны рациональ ойртсон бүх үйлдлүүд болохыг харуулж болно хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддог.

Хангалттай байдал.Аливаа бодит тоо нь тооны тэнхлэгийн нэг цэгтэй тохирч байгааг харуулъя. 

Тодорхойлолт 2. Хэрэв
, дараа нь тоон интервал
дуудсансегмент , Хэрэв
, дараа нь тоон интервал дуудсанинтервал , Хэрэв
, дараа нь тоон интервал
дуудсанхагас интервал .

ТУХАЙ
тодорхойлолт 3. Хэрэв сегментэд байгаа бол
сегментүүд нь үүрлэсэн байна
, А
, дараа нь ийм системийг SHS гэж нэрлэдэг (үүрлэсэн сегментүүдийн систем ).

Тодорхойлолт 4. Тэд ингэж хэлдэг

(сегментийн урт
тэг рүү чиглэдэг , тэгсэн тохиолдолд
), Хэрэв.

Тодорхойлолт 5. Байгаа SBC
CSS (гэрээт сегментийн систем) гэж нэрлэдэг.

Кантор-Дедекинд аксиом: Аливаа SHS-д нэг дор бүгдэд нь хамаарах нэг цэг байдаг.

Тооны оновчтой ойролцоолсоноос хойш гэрээт сегментүүдийн системээр, дараа нь оновчтой тоогоор төлөөлж болно Хэрэв агшилтын сегментийн системд бүгдэд нэгэн зэрэг хамаарах нэг цэг байвал тоон тэнхлэгийн нэг цэгтэй тохирно ( Канторын теорем). Үүнийг зөрчилдөөнөөр харуулъя.

. Болъё Тэгээд ийм хоёр цэг, ба
,
. Т
яаж, яаж,
, Тэр
. Гэхдээ өөрөөр хэлбэл,
, мөн тэдгээр. зарим тооноос эхлэн
,
ямар ч тогтмолоос бага байх болно. Энэ зөрчилдөөн нь юу шаардлагатай байгааг нотолж байна. ■

Тиймээс бид тооны тэнхлэг тасралтгүй ("нүх" байхгүй) бөгөөд түүн дээр өөр тоо байрлуулах боломжгүй гэдгийг харуулсан. Гэсэн хэдий ч бид ямар ч бодит тооноос (ялангуяа сөрөг тооноос) үндсийг хэрхэн гаргаж авахаа мэдэхгүй хэвээр байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна.
. 5-р зүйлд бид энэ асуудлыг шийдэх болно.

3. 4. Ирмэгийн онол

Тодорхойлолт 1. Цөөн хэдэн
дээрээс нь хязгаарласан (доороос ), хэрэв тоо байгаа бол , ийм
. Тоо дуудсандээд (доод ) ирмэг .

Тодорхойлолт 2. Цөөн хэдэнхязгаарлагдмал , хэрэв энэ нь дээрээс болон доороос хоёуланг нь хязгаарласан бол.

Тодорхойлолт 3. Яг дээд ирмэг Бодит тооны багцаас дээгүүр хязгаарлагдсан
дуудсан :

(тэдгээр. - дээд нүүрний нэг);

(тэдгээр. - хөдлөхгүй).

Сэтгэгдэл. Тооны багцын яг дээд хязгаар (SUB).
гэж тэмдэглэсэн
(лат. дээд- томоос хамгийн жижиг нь).

Сэтгэгдэл. TNG-д тохирох тодорхойлолт ( яг доод ирмэг) өөртөө өг. TNG дугаарыг тохируулсан
гэж тэмдэглэсэн
(лат. infinum- хамгийн жижиг нь хамгийн том нь).

Сэтгэгдэл. харьяалагдаж болно
, Эсвэл үгүй ​​ч байж магадгүй. Тоо нь сөрөг бодит тоонуудын олонлогийн TVG, эерэг бодит тоонуудын олонлогийн TVG бөгөөд аль нэгэнд нь эсвэл нөгөөд хамаарахгүй. Тоо нь натурал тоонуудын багцын TNG бөгөөд тэдгээрт хамаарна.

Асуулт гарч ирнэ: аливаа хязгаарлагдмал олонлог яг тодорхой хил хязгаартай юу, хэд байдаг вэ?

Теорем 1. Дээр хязгаарлагдсан бодит тоонуудын хоосон бус аливаа багц нь өвөрмөц TVG-тэй байдаг. (үүнтэй адилаар TNG-ийн теоремыг өөрөө томьёолж, нотлох).

Дизайн.Цөөн хэдэн
дээр хязгаарлагдсан бодит тоонуудын хоосон бус олонлог. Дараа нь
Тэгээд
. Сегментийг хуваа

П
хагаст хувааж, сегмент гэж нэрлэнэ
дараах шинж чанаруудтай нэг нь:

шугамын сегмент
дор хаяж нэг цэгийг агуулна
. (жишээлбэл, цэг );

бүх олон түмэн
цэгийн зүүн талд байрладаг , өөрөөр хэлбэл
.

Энэ процедурыг үргэлжлүүлснээр бид SSS авдаг
. Тиймээс Канторын теоремын дагуу өвөрмөц цэг бий , нэг дор бүх сегментэд хамаарах. Үүнийг харуулъя
.

Үүнийг харуулъя
(тэдгээр. - нүүрний нэг). Үүний эсрэгээр гэж бодъё
. Учир нь
, Тэр
аль болох хурдан
,
, өөрөөр хэлбэл
, өөрөөр хэлбэл
. Оноо сонгох дүрмийн дагуу
, цэг үргэлж зүүн тийш , өөрөөр хэлбэл
, тиймээс, ба
. Гэхдээ бүх зүйл байхаар сонгосон
, А
, өөрөөр хэлбэл Тэгээд
. Энэ зөрчил нь теоремын энэ хэсгийг баталж байна.

Үл хувиршгүй байдлаа харуулъя , өөрөөр хэлбэл
. Засчихъя
мөн тоог ол. дагуу
сегментийг сонгох дүрэм 1-тэй. Үүнийг бид сая харууллаа
, өөрөөр хэлбэл
, эсвэл
. Тиймээс
, эсвэл
. ■

Тэнхлэг гэдэг нь хоёр боломжит чиглэлийн аль нэгийг эерэгээр сонгосон шулуун шугам юм (эсрэг чиглэлийг сөрөг гэж үзнэ). Эерэг чиглэлийг ихэвчлэн сумаар заадаг. Тоон (эсвэл координатын) тэнхлэг нь эхлэлийн цэг (эсвэл гарал үүсэл) O болон хуваарийн нэгж эсвэл OE масштабын сегментийг сонгосон тэнхлэг юм (Зураг 1).

Тиймээс шугаман дээрх чиглэл, гарал үүсэл, масштабыг зааж өгөх замаар тооны тэнхлэгийг тодорхойлно.

Бодит тоонуудыг тооны тэнхлэг дээрх цэгүүдийг ашиглан дүрсэлдэг. Бүхэл тоог цэгээр төлөөлдөг бөгөөд эерэг бүхэл тоотой тохиолдолд хуваарийн сегментийг шаардлагатай тооны O цэгээс баруун тийш, сөрөг тохиолдолд зүүн тийш тавих замаар олж авдаг. Тэг нь O эхлэлийн цэгээр илэрхийлэгддэг (О үсэг нь өөрөө тэгийг санагдуулдаг; энэ нь "эхлэл" гэсэн утгатай ориго үгийн эхний үсэг юм). Бутархай (рационал) тоог бас тэнхлэгийн цэгүүдээр илэрхийлдэг; жишээлбэл, тоонд тохирох цэгийг барихын тулд гурван хуваарийн сегмент болон хуваарийн сегментийн өөр гуравны хэсгийг O-ийн зүүн талд (1-р зураг дээрх А цэг) байрлуулна. Зураг дээрх А цэгээс гадна. 1 нь мөн B, C, D цэгүүдийг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь -2 тоог илэрхийлдэг; 3/2; 4.

Хязгааргүй тооны бүхэл тоо байдаг боловч тооны тэнхлэг дээр бүхэл тоонууд нь "сийрэг" байрлалтай цэгүүдээр дүрслэгдсэн байдаг. Рационал цэгүүд нь тэнхлэг дээр маш "нягт" байрладаг - тэнхлэгийн аль ч жижиг хэсэгт оновчтой тоог илэрхийлэх хязгааргүй олон цэг байгааг харуулахад хэцүү биш юм. Гэсэн хэдий ч тооны шулуун дээр оновчтой тооны дүрс биш цэгүүд байдаг. Хэрэв тооны тэнхлэг дээр бид хөлтэй OEC тэгш өнцөгт гурвалжны OS-ийн гипотенузтай тэнцүү OA сегментийг байгуулбал энэ сегментийн урт (Пифагорын теоремын 216-р зүйлийн дагуу) тэнцүү байх ба А цэг болохгүй. рационал тооны дүрс.

Түүхээс харахад уртыг тоогоор илэрхийлэх боломжгүй сегментүүд (рационал тоо!) байсан нь иррационал тоонуудыг нэвтрүүлэхэд хүргэсэн юм.

Рационал тоонуудтай хамт бүх бодит тоонуудын багцыг бүрдүүлдэг иррационал тоонуудыг нэвтрүүлсэн нь тооны тэнхлэг дээрх цэг бүр нь түүний үйлчилдэг дүр төрхтэй нэг бодит тоотой тохирч байгааг харуулж байна. Харин ч бодит тоо бүрийг тооны тэнхлэг дээрх маш тодорхой цэгээр илэрхийлдэг. Бодит тоо ба тооны тэнхлэг дээрх цэгүүдийн хооронд нэгийг харьцах харилцаа тогтоогддог.

Бид тооны тэнхлэгийг тасралтгүй шулуун гэж үздэг бөгөөд түүний цэгүүд нь бодит тоонуудтай нэг нэгээр нь харгалздаг тул бид бодит тооны олонлогийн тасралтгүй байдлын шинж чанарын тухай ярьж байна (6-р зүйл).

Тодорхой утгаараа (бид үүнийг заагаагүй) оновчтой тоонуудтай харьцуулашгүй илүү иррационал тоонууд байдгийг бас тэмдэглэе.

Зураг нь тоон тэнхлэгийн энэ А цэг болох тоог энэ цэгийн координат гэж нэрлэдэг; a нь А цэгийн координат гэдгийг дараах байдлаар бичнэ: A (a). Аливаа А цэгийн координатыг OA сегментийн OA/OE-ийн OE масштабын сегменттэй харьцуулсан харьцаагаар илэрхийлэгдэх ба энэ нь O эх үүсвэрээс сөрөг чиглэлд орших цэгүүдэд хасах тэмдгээр оноогдсон байна.

Одоо хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатуудыг танилцуулъя. Нийтлэг гарал үүсэлтэй Ox ба Oy хоёр харилцан перпендикуляр тоон тэнхлэгүүдийг авч үзье (практикт өөр өөр масштабын нэгж бүхий координатын тэнхлэгүүдийг ихэвчлэн ашигладаг). Эдгээр тэнхлэгүүд (Зураг 3) хавтгай дээр декартын тэгш өнцөгт координатын системийг бүрдүүлдэг гэж үзье. О цэгийг координатын гарал үүсэл, Ox, Oy тэнхлэгийг координатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг (Ox тэнхлэгийг абсцисса тэнхлэг, Oy тэнхлэгийг ординатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг). Зураг дээр. 3, ердийнх шиг абсцисса тэнхлэг нь хэвтээ, ордны тэнхлэг нь босоо байна. Координатын системийг тодорхойлсон хавтгайг координатын хавтгай гэнэ.

Хавтгай дээрх цэг бүрт хос тоо оноодог - өгөгдсөн координатын системтэй харьцуулахад энэ цэгийн координатууд. Тухайлбал, Үхэр ба Ой тэнхлэг дээрх М цэгийн тэгш өнцөгт проекцийг Зураг дээр үзүүлэв. 3 дамжин

Цэг нь тоон тэнхлэг дээрх цэгийн хувьд х координат (абсцисса), тоон тэнхлэг дээрх цэгийн хувьд у координат (ординат) байна. Эдгээр хоёр y тоог (заасан дарааллаар бичсэн) М цэгийн координат гэж нэрлэдэг.

Үүний зэрэгцээ тэд бичдэг: (x, y).

Тиймээс, хавтгай дээрх цэг бүр нь бодит тоонуудын дараалсан хос (x, y) - энэ цэгийн декартын тэгш өнцөгт координатуудтай холбоотой байдаг. "Захиалгат хос" гэсэн нэр томъёо нь хосын эхний тоо болох абсцисс, хоёр дахь ординатыг хооронд нь ялгах ёстойг харуулж байна. Эсрэгээр, хос тоо бүр (x, y) нь нэг M цэгийг тодорхойлдог бөгөөд үүний хувьд х нь абсцисса, у нь ординат болдог. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын системийг тодорхойлох нь хавтгай дээрх цэгүүд болон эрэмбэлэгдсэн хос бодит тоонуудын хооронд нэг нэгээр нь харьцах харьцааг тогтооно.

Координатын тэнхлэгүүд нь координатын хавтгайг дөрвөн хэсэг, дөрвөн квадратад хуваадаг. Зурагт үзүүлсэн шиг квадратуудыг дугаарласан. 3, Ром тоогоор.

Дараах хүснэгтэд үзүүлснээр цэгийн координатын тэмдгүүд нь аль квадратад байрлаж байгаагаас хамаарна.

Тэнхлэг дээр байрлах цэгүүдийн у ординат тэгтэй тэнцүү, Ой тэнхлэг дээрх цэгүүд нь тэгтэй тэнцүү абсциссатай байна. O эхийн координат хоёулаа тэгтэй тэнцүү байна: .

Жишээ 1. Хавтгай дээр цэгүүдийг байгуул

Уусмалыг Зураг дээр үзүүлэв. 4.

Хэрэв тодорхой цэгийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол Үх, Ой тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координат ба координатын гарал үүслийг зааж өгөхөд хялбар байдаг: Ox тэнхлэгтэй харьцуулахад M-тэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байх болно. координаттай харьцуулахад M-тэй тэгш хэмтэй цэгийн, эцэст нь эхтэй харьцуулахад M-тэй тэгш хэмтэй цэгийн координатууд (-x, -y) болно.

Та мөн координатын өнцгийн биссектрисатай харьцуулахад тэгш хэмтэй хос цэгийн координатуудын хоорондын хамаарлыг зааж болно (Зураг 5); хэрэв эдгээр М цэгүүдийн аль нэг нь х ба у координаттай бол хоёр дахь цэгийн абсцисса нь эхний цэгийн ординаттай, ординат нь эхний цэгийн абсциссатай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, координатын өнцгийн биссектрисатай харьцуулахад M-тэй тэгш хэмтэй N цэгийн координатууд энэ байрлалыг батлахын тулд O AM ба OBN тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авч үзье. Тэдгээр нь координатын өнцгийн биссектрисатай харьцангуй тэгш хэмтэй байрладаг тул тэнцүү байна. Тэдний харгалзах хөлийг харьцуулж үзвэл бидний мэдэгдлийн зөв гэдэгт бид итгэлтэй байх болно.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг тэнхлэгүүдийн чиглэл болон масштабын сегментийн хэмжээг өөрчлөхгүйгээр эх O цэгийг шинэ O цэг рүү шилжүүлснээр хувиргаж болно. Зураг дээр. Зураг 6-д хоёр координатын системийг нэгэн зэрэг харуулав: "хуучин" нь О гарал үүсэл ба "шинэ" нь О гарал үүсэлтэй. Дурын M цэг одоо хоёр хос координаттай байна, нэг нь хуучин координатын системтэй, нөгөө нь харьцангуй. шинэ рүү. Хэрэв хуучин систем дэх шинэ гарал үүслийн координатыг -ээр тэмдэглэсэн бол М цэгийн хуучин координат ба түүний шинэ координат (x, y) хоорондын холболтыг томъёогоор илэрхийлнэ.

Эдгээр томъёог координатын системийн дамжуулах томъёо гэж нэрлэдэг; Зурагт заасны дагуу тэдгээрийг зурахдаа. 6, хуучин болон шинэ системийн аль алиных нь эхний квадратад байрлах M цэгийн хамгийн тохиромжтой байрлалыг сонгосон.

М цэгийн аль ч байршилд томъёо (8.1) үнэн хэвээр байгаа эсэхийг шалгаж болно.

Хавтгай дээрх М цэгийн байрлалыг түүний декарт тэгш өнцөгт координат y-ээр төдийгүй өөр аргаар тодорхойлж болно. Жишээ нь, M цэгийг O-ийн эхлэлтэй холбож үзье (Зураг 7) Дараах хоёр тоог авч үзье: сегментийн урт ба энэ сегментийн налуу өнцөг нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй байна Энэ нь тэнхлэгийг OM-тэй нийлэхээс өмнө эргүүлэх ёстой өнцөг гэж тодорхойлогддог бөгөөд хэрэв эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг хийгдсэн бол эерэг, өөрөөр хэлбэл тригонометрийн уламжлалт байдлаар сөрөг гэж тооцогддог , өнцөг нь туйлын өнцөг, хос тоо нь М цэгийн туйлын координат юм. Таны харж байгаагаар цэгийн туйлын координатыг тодорхойлохын тулд та зөвхөн нэг координатын тэнхлэг Ox (энэ тохиолдолд гэж нэрлэдэг) зааж өгөх хэрэгтэй. туйлын тэнхлэг). Зурагт үзүүлсэн шиг туйлын болон декартын тэгш өнцөгт координатыг нэгэн зэрэг авч үзэх нь тохиромжтой. 7.

Цэгийн туйлын өнцгийг тухайн цэгийг хоёрдмол утгаар зааж өгснөөр тодорхойлно: хэрэв цэгийн туйл өнцгүүдийн нэг бол өнцөг бүрийг

түүний туйлын өнцөг байх болно. Туйлын радиус ба өнцгийг зааж өгснөөр цэгийн байрлалыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно. O эх (туйлын координатын системийн туйл гэж нэрлэдэг) нь 0-тэй тэнцүү радиустай, О цэгт тодорхой туйлын өнцөг тогтоогдоогүй;

Цэгийн декарт ба туйлын координатуудын хооронд дараахь хамаарал байна.

тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтоос шууд дагана (97-р зүйл). Эдгээр харилцаа нь өгөгдсөн туйлуудаас декарт координатуудыг олох боломжийг танд олгоно. Дараахь томъёонууд:

урвуу асуудлыг шийдэх боломжийг танд олгоно: цэгийн өгөгдсөн декарт координатыг ашиглан түүний туйлын координатыг ол.

Энэ тохиолдолд утгын дагуу (эсвэл) эхний тойрог доторх өнцгийн хоёр боломжит утгыг олох боломжтой; тэдгээрийн аль нэгийг нь soef тэмдгээр сонгодог. Та мөн өнцгийг шүргэгчээр нь тодорхойлж болно: , гэхдээ энэ тохиолдолд түүний байрлах дөрөвний нэгийг soef эсвэл тэмдгээр тодорхойлно.

Туйлын координатаар нь тодорхойлсон цэгийг туйлын өнцөг болон радиусын дагуу (декарт координатыг тооцохгүйгээр) байгуулна.

Жишээ 2. Цэгүүдийн декарт координатыг ол.

$R$ бодит тоонуудын багц нь рационал ба иррационал тоонуудаас бүрддэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн.

Рационал тоог үргэлж аравтын бутархай (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй үечилсэн) хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Иррационал тоог хязгааргүй боловч үе үе бус аравтын бутархай хэлбэрээр бичдэг.

Бодит тоонуудын багц $R$ нь мөн $-\infty $ ба $+\infty $ элементүүдийг агуулдаг бөгөөд $-\infty тэгш бус байдал хадгалагдана.

Бодит тоог илэрхийлэх аргуудыг авч үзье.

Энгийн бутархай

Энгийн бутархайг хоёр натурал тоо ба хэвтээ бутархай шугам ашиглан бичдэг. Бутархай мөр нь үнэндээ хуваах тэмдгийг орлуулдаг. Шугамын доорх тоо нь бутархайн хуваагч (хуваагч), шугамын дээрх тоо нь хуваагч (хуваагч) юм.

Тодорхойлолт

Бутархай нь хуваагчаас бага бол бутархайг зөв гэж нэрлэдэг. Эсрэгээр, хэрэв бутархай нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байвал бутархайг буруу бутархай гэж нэрлэдэг.

Энгийн бутархайн хувьд энгийн, бараг ойлгомжтой харьцуулах дүрмүүд байдаг ($m$,$n$,$p$ - натурал тоо):

1. ижил хуваагчтай хоёр бутархайн, илүү том тоологчтой нь их байна, өөрөөр хэлбэл, $m>n$-д $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $;
2. ижил тоологчтой хоёр бутархайн жижиг хуваагчтай нь их байна, өөрөөр хэлбэл, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ m байна.
3. зөв бутархай нь үргэлж нэгээс бага байдаг; буруу бутархай нь үргэлж нэгээс их байдаг; тоологч нь хуваагчтай тэнцүү байх бутархай нь нэгтэй тэнцүү байна;
4. Буруу бутархай бүр зөв бутархай бүрээс их байна.

Аравтын тоо

Аравтын тооны тэмдэглэгээ (аравтын бутархай) хэлбэртэй байна: бүхэл хэсэг, аравтын бутархай, бутархай хэсэг. Энгийн бутархайн аравтын бутархай тэмдэглэгээг "өнцөг"-тэй хуваагчаар хуваах замаар олж авч болно. Үүний үр дүнд төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай үүсч болно.

Тодорхойлолт

Бутархай хэсгийн цифрүүдийг аравтын бутархай гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд аравтын бутархайн дараах эхний цифрийг аравны орон гэж нэрлэдэг, хоёр дахь нь зуутын орон, гурав дахь нь мянгатын орон гэх мэт.

Жишээ 1

Аравтын бутархай 3.74-ийн утгыг тодорхойл. Бид авна: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Аравтын бутархай тоог дугуйлж болно. Энэ тохиолдолд та дугуйрсан цифрийг зааж өгөх ёстой.

Дугуйлах дүрэм дараах байдалтай байна.

1. энэ цифрийн баруун талд байгаа бүх цифрүүдийг тэгээр солино (хэрэв эдгээр цифрүүд нь аравтын бутархайн өмнө байвал) эсвэл хасагдана (хэрэв эдгээр цифрүүд аравтын бутархайн дараа байвал);
2. хэрэв өгөгдсөн цифрийн дараах эхний цифр 5-аас бага бол энэ цифрийн цифр өөрчлөгдөхгүй;
3. Хэрэв өгөгдсөн цифрийн дараах эхний цифр 5 ба түүнээс дээш байвал энэ цифрийн цифр нэгээр нэмэгдэнэ.

Жишээ 2

1. 17302 тоог мянгад дугуйлъя: 17000.
2. 17378 тоог 17400 зуугаар дугуйлъя.
3. 17378.45 тоог 17380 болтол бөөрөнхийлье.
4. 378.91434 тоог 100-ын нарийвчлалтайгаар дугуйлцгаая: 378.91.
5. 378.91534 тоог 100-ын нарийвчлалтайгаар дугуйлцгаая: 378.92.

Аравтын тоог бутархай болгон хувирга.

Тохиолдол 1

Аравтын тоо нь төгсгөлийн аравтын бутархайг илэрхийлнэ.

Дараах жишээ нь хөрвүүлэх аргыг харуулж байна.

Жишээ 2

Бидэнд: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Бид үүнийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараахь зүйлийг авна.

Бутархайг багасгаж болно: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Тохиолдол 2

Аравтын бутархай нь хязгааргүй үечилсэн бутархайг илэрхийлдэг.

Хувиргах арга нь үечилсэн аравтын бутархайн үечилсэн хэсгийг хязгааргүй бууралттай геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр гэж үзэж болох явдалд суурилдаг.

Жишээ 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.74$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.01$ байна.

Жишээ 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.08$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.1$ байна.

Хязгааргүй бууралттай геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг $s=\frac(a)(1-q) $ томьёогоор тооцоолох ба $a$ нь эхний гишүүн, $q$ нь $ прогрессийн хуваагч юм. \зүүн (0

Жишээ 6

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай $0,\left(72\right)$-ийг жирийн нэг болгон хөрвүүлье.

Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.72$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.01$ байна. Бид дараахийг авна: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11) доллар. Тиймээс $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Жишээ 7

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай $0.5\left(3\right)$-ийг ердийн нэг болгон хөрвүүлье.

Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.03$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.1$ байна. Бид дараахийг авна: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30) доллар.

Тиймээс $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Бодит тоог тооны тэнхлэг дээрх цэгүүдээр илэрхийлж болно.

Энэ тохиолдолд бид тооны тэнхлэгийг эх (цэг $O$), эерэг чиглэл (сумаар харуулсан) болон масштаб (утга харуулах) сонгосон хязгааргүй шулуун шугам гэж нэрлэдэг.

Бүх бодит тоо ба тооны тэнхлэг дээрх бүх цэгүүдийн хооронд нэг нэгээр харгалзах харилцаа байдаг: цэг бүр нь нэг тоотой тохирч, эсрэгээр тоо бүр нэг цэгтэй тохирч байна. Иймээс бодит тоонуудын багц нь тоон шугам тасралтгүй бөгөөд хязгааргүй байдаг шиг тасралтгүй бөгөөд хязгааргүй байдаг.

Бодит тооны олонлогийн зарим дэд олонлогуудыг тоон интервал гэж нэрлэдэг. Тоон интервалын элементүүд нь тодорхой тэгш бус байдлыг хангадаг $x\in R$ тоонууд юм. $a\in R$, $b\in R$, $a\le b$-д оруулъя. Энэ тохиолдолд интервалын төрлүүд дараах байдалтай байж болно.

1. $\left(a,\; b\right)$ интервал. Үүний зэрэгцээ $a
2. $\left$ сегмент. Үүнээс гадна $a\le x\le b$.
3. Хагас сегмент эсвэл хагас интервал $\left$. Үүнээс гадна $ a \le x
4. Хязгааргүй интервалууд, жишээ нь $a

Цэгийн хөрш гэж нэрлэгддэг интервалын төрөл нь бас чухал юм. Өгөгдсөн $x_(0) \in R$ цэгийн хөрш нь $\left(a,\; b\right)$ дотроо энэ цэгийг агуулсан дурын интервал, өөрөөр хэлбэл $a 0$ нь түүний радиус юм.

Тооны үнэмлэхүй утга

$x$ бодит тооны үнэмлэхүй утга (эсвэл модуль) нь сөрөг бус бодит тоо $\left|x\right|$ бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог: $\left|x\right|=\left\(\ эхлэх(массив)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Геометрийн хувьд $\left|x\right|$ гэдэг нь тооны шулуун дээрх $x$ ба 0 цэгүүдийн хоорондох зайг хэлнэ.

Үнэмлэхүй утгын шинж чанарууд:

1. тодорхойлолтоос харахад $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. нийлбэрийн модуль ба хоёр тооны зөрүүний модулийн хувьд дараах тэгш бус байдал хүчинтэй байна: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, түүнчлэн $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. үржвэрийн модуль ба хоёр тооны хэсгийн модулийн хувьд дараах тэгшитгэл үнэн байна: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ болон $\left|\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

$a>0$ дурын тооны үнэмлэхүй утгын тодорхойлолт дээр үндэслэн дараахь хос тэгш бус байдлын эквивалентыг тогтоож болно.

1. хэрэв $\left|x\right|
2. хэрэв $\left|x\right|\le a$ бол $-a\le x\le a$;
3. хэрэв $\left|x\right|>a$ бол $xa$;
4. хэрэв $\left|x\right|\ge a$ бол $x\le -a$ эсвэл $x\ge a$.

Жишээ 8

$\left|2\cdot x+1\right| тэгш бус байдлыг шийд

Энэ тэгш бус байдал нь $-7 тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

Эндээс бид авах болно: $ -8