Шинжлэх ухаанаар батлагдсан: Хагас унтаж байхдаа нарийн төвөгтэй асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Энгийн ба нийлмэл тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурах вэ

52. Тэгшитгэлийн илүү төвөгтэй жишээнүүд.
Жишээ 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) учир нийтлэг хуваагч нь x 2 – 1 байна. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x 2 – 1-ээр үржүүлье. Бид дараахыг олж авна.

эсвэл бууруулсны дараа

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5х + 5 – 3х + 3 = 15

2x = 7 ба x = 3½

Өөр нэг тэгшитгэлийг авч үзье:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Дээрх байдлаар шийдвэл бид дараахь зүйлийг авна.

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 эсвэл 2x = 2 ба x = 1.

Хэрэв авч үзсэн тэгшитгэл бүрийн х-г олдсон тоогоор солих юм бол бидний тэгш байдал зөв эсэхийг харцгаая.

Эхний жишээнд бид дараахь зүйлийг авна.

Эргэлзэх газар байхгүй гэдгийг бид харж байна: бид x-ийн тоог олсон бөгөөд ингэснээр шаардлагатай тэгш байдлыг хангах болно.

Хоёр дахь жишээний хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) эсвэл 5/0 – 3/2 = 15/0

Эндээс эргэлзээ төрж байна: бид тэг хуваахтай тулгарсан бөгөөд энэ нь боломжгүй юм. Хэрэв ирээдүйд бид энэ хуваагдалд шууд бус ч гэсэн тодорхой утгыг өгч чадвал олсон x - 1 шийдэл нь бидний тэгшитгэлийг хангаж байгаа гэдэгтэй санал нийлж болно. Тэр болтол бидний тэгшитгэлд шууд утгатай шийдэл байхгүй гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Үл мэдэгдэх нь тэгшитгэлд байгаа бутархайн хуваагчдад ямар нэгэн байдлаар орсон тохиолдолд ижил төстэй тохиолдлууд тохиолдож болох бөгөөд шийдэл олдох үед эдгээр хуваагчдын зарим нь тэг болж хувирдаг.

Жишээ 2.

Энэ тэгшитгэл нь пропорциональ хэлбэртэй байгааг та шууд харж болно: x + 3 тоог x – 1 тоотой харьцуулсан харьцаа нь 2x + 3 тоог 2x – 2 тоотой харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Энэ нөхцөл байдлыг харгалзан пропорциональ үндсэн шинж чанар болох бутархайгаас тэгшитгэлийг чөлөөлөхийн тулд энд хэрэглэхээр шийдээрэй (туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү). Дараа нь тэр авах болно:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2х 2 + 6х – 2х – 6 = 2х 2 + 3х – 2х – 3.

Энд бид энэ тэгшитгэлийг даван туулахгүй байх вий гэсэн болгоомжлолыг тэгшитгэлд x 2-той нөхцлүүд багтсанаас үүдэлтэй байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч бид тэгшитгэлийн хоёр талаас 2х 2-ыг хасч болно - энэ нь тэгшитгэлийг зөрчихгүй; тэгвэл x 2-той нөхцлүүд устаж, бид дараахыг авна.

6х – 2х – 6 = 3х – 2х – 3

Үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тийш, мэдэгдэж буй нэр томъёог баруун тийш шилжүүлье - бид дараахь зүйлийг авна.

3x = 3 эсвэл x = 1

Энэ тэгшитгэлийг санаж байна

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

x (x = 1)-ийн олсон утга нь бутархай тус бүрийн хуваагчийг алга болгож байгааг бид даруй анзаарах болно; Бид тэгээр хуваах асуудлыг авч үзэх хүртэл ийм шийдлээс татгалзах ёстой.

Хэрэв бид пропорциональ шинж чанарыг ашиглах нь асуудлыг хүндрүүлж, өгөгдсөн зүйлийн хоёр талыг нийтлэг хуваагчаар үржүүлснээр илүү энгийн тэгшитгэл гаргаж болно гэдгийг тэмдэглэвэл 2(x – 1) - эцэст нь 2x – 2 болно. = 2 (x – 1) , тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

2(x + 3) = 2x – 3 эсвэл 2x + 6 = 2x – 3 эсвэл 6 = –3,

энэ нь боломжгүй юм.

Энэ нөхцөл байдал нь энэ тэгшитгэлд энэ тэгшитгэлийн хуваагчийг тэг болгохгүй шууд утгатай шийдэл байхгүй байгааг харуулж байна.
Одоо тэгшитгэлийг шийдье:

(3х + 5)/(х – 1) = (2х + 18)/(2х – 2)

2(x – 1) тэгшитгэлийн хоёр талыг, өөрөөр хэлбэл нийтлэг хуваагчаар үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

6x + 10 = 2x + 18

Олдсон шийдэл нь хуваагчийг арилгадаггүй бөгөөд шууд утгатай:

эсвэл 11 = 11

Хэрэв хэн нэгэн нь хоёр хэсгийг 2(x - 1)-ээр үржүүлэхийн оронд пропорциональ шинж чанарыг ашиглавал дараахь зүйлийг авах болно.

(3х + 5)(2х – 2) = (2х + 18)(х – 1) эсвэл
6х 2 + 4х – 10 = 2х 2 + 16х – 18.

Энд x 2-той нөхцлүүд устахгүй. Үл мэдэгдэх бүх нэр томъёог зүүн тийш, мэдэгдэж буй нэр томъёог баруун тийш шилжүүлбэл бид авах болно

4х 2 – 12х = –8

x 2 – 3x = –2

Одоо бид энэ тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй. Ирээдүйд бид ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж, хоёр шийдлийг олох талаар сурах болно: 1) та x = 2 ба 2) x = 1-ийг авч болно. Хоёр шийдлийг шалгахад хялбар:

1) 2 2 – 3 2 = –2 ба 2) 1 2 – 3 1 = –2

Хэрэв бид анхны тэгшитгэлийг санаж байвал

(3х + 5) / (х – 1) = (2х + 18) / (2х – 2),

Дараа нь бид одоо түүний хоёр шийдлийг олж авах болно гэдгийг харах болно: 1) x = 2 нь шууд утгатай бөгөөд хуваагчийг тэг рүү эргүүлдэггүй шийдэл, 2) x = 1 нь хуваагчийг тэг болгож хувиргах шийдэл юм. шууд утга агуулаагүй.

Жишээ 3.

Энэ тэгшитгэлд багтсан бутархайн нийтлэг хуваагчийг хуваагч бүрийг хүчин зүйл болгон олцгооё.

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Нийтлэг хуваагч нь (x – 3)(x – 2)(x + 1) юм.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлье (мөн бид үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно:

нийтлэг хуваагчаар (x – 3) (x – 2) (x + 1). Дараа нь фракц бүрийг бууруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) эсвэл
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Эндээс бид дараахь зүйлийг авна.

–x = –13 ба x = 13.

Энэ шийдэл нь шууд утгатай: энэ нь хуваагчийг алга болгохгүй.

Хэрэв бид тэгшитгэлийг авбал:

Дараа нь дээрхтэй яг ижил зүйлийг хийвэл бид авах болно

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

хаанаас авах вэ?

энэ нь боломжгүй юм. Энэ нөхцөл байдал нь шууд утгатай сүүлчийн тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжгүй гэдгийг харуулж байна.

Энгийн ба нийлмэл тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурах вэ

Хүндэт эцэг эх!

Математикийн анхан шатны сургалтгүйгээр орчин үеийн хүнийг хүмүүжүүлэх боломжгүй юм. Сургуульд математик нь олон холбогдох салбаруудад туслах хичээл болдог. Сургуулийн дараах амьдралд тасралтгүй боловсрол нь бодит хэрэгцээ болж, сургуулийн хэмжээнд анхан шатны сургалт, тэр дундаа математикийн хичээлийг шаарддаг.

Бага сургуульд зөвхөн үндсэн сэдвүүдийн талаархи мэдлэгийг бий болгоод зогсохгүй логик сэтгэлгээ, төсөөлөл, орон зайн үзэл баримтлалыг хөгжүүлж, энэ хичээлийн сонирхлыг бий болгодог.

Тасралтгүй байдлын зарчмыг баримталснаар бид хамгийн чухал сэдэв болох "Нэгдэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл ажиллагааны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын хамаарал" дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Энэ хичээлээр та нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар хялбархан сурах боломжтой. Хичээлийн үеэр та нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алхам алхмаар зааварчилгааг нарийвчлан судлах болно.

Хүүхдүүдээ энгийн бөгөөд төвөгтэй тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сургах вэ гэсэн асуулт олон эцэг эхчүүдэд эргэлздэг. Хэрэв тэгшитгэлүүд нь энгийн бол энэ нь асуудлын тал хувь юм, гэхдээ нарийн төвөгтэй зүйлүүд бас байдаг - жишээлбэл, интеграл. Дашрамд дурдахад, манай гаригийн шилдэг оюун ухаантнууд шийдвэрлэхээр тэмцэж буй тэгшитгэлүүд бас байдаг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд маш их хэмжээний мөнгөн урамшуулал өгдөг. Жишээлбэл, хэрэв та санаж байгаа болПерелманмөн хэдэн саяын нэхэмжлээгүй мөнгөн урамшуулал.

Гэхдээ эхлээд энгийн математик тэгшитгэл рүү буцаж, тэгшитгэлийн төрлүүд болон бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэрийг давтъя. Бага зэрэг халаалт:

_________________________________________________________________________

ДУЛААХ

Багана бүрийн нэмэлт тоог ол:

2) Багана бүрт ямар үг дутуу байна вэ?

3) Эхний баганын үгсийг 2-р баганын үгстэй холбоно.

"Тэгшитгэл" "Тэгш байдал"

4) "Тэгш байдал" гэж юу болохыг та хэрхэн тайлбарлах вэ?

5) "Тэгшитгэл"-ийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ тэгш байдал мөн үү? Энэ нь юугаараа онцлог вэ?

нийлбэр хугацаа

бага зэргийн ялгаа

хасах бүтээгдэхүүн

хүчин зүйлтэгш байдал

ногдол ашиг

тэгшитгэл

Дүгнэлт: Тэгшитгэл гэдэг нь утгыг нь олох ёстой хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

_______________________________________________________________________

Би бүлэг бүрийг эсгий үзэг ашиглан цаасан дээр тэгшитгэл бичихийг урьж байна: (самбар дээр)

Бүлгийн аль нэг нь математик хэлээр тэгшитгэлээ уншиж, шийдлийнхээ талаар тайлбар өгөх ёстой, өөрөөр хэлбэл үйлдлийн (алгоритм) мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр гүйцэтгэж буй үйлдлийг хэлэх ёстой.

Дүгнэлт: Бид бүх төрлийн энгийн тэгшитгэлийг алгоритм ашиглан шийдэж, үг хэллэгийг уншиж, бичиж болно.

Би шинэ төрлийн тэгшитгэл гарч ирсэн асуудлыг шийдэхийг санал болгож байна.

Дүгнэлт: Бид тэгшитгэлийн шийдэлтэй танилцсан бөгөөд тэдгээрийн нэг хэсэг нь тоон илэрхийллийг агуулсан, утгыг нь олж, энгийн тэгшитгэлийг олж авах ёстой.

________________________________________________________________________

Шийдэл нь энгийн тэгшитгэлийн гинжийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан тэгшитгэлийн өөр хувилбарыг авч үзье. Нийлмэл тэгшитгэлийн тухай нэг танилцуулга энд байна.

Би хүн бүрийг математик хэлээр өгүүлбэр бичихийг санал болгож байна.

x ба 4 ба 3 тоонуудын зөрүүний үржвэр нь 15 байна.

ДҮГНЭЛТ: Үүссэн асуудалтай нөхцөл байдал нь хичээлийн зорилгоо тодорхойлоход түлхэц болж байна: үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсэг нь илэрхийлэл болох тэгшитгэлийг шийдэж сурах. Ийм тэгшитгэл нь нийлмэл тэгшитгэл юм.

__________________________________________________________________________

Эсвэл бидний аль хэдийн судалсан тэгшитгэлийн төрлүүд бидэнд туслах болов уу? (алгоритмууд)

Алдартай тэгшитгэлүүдийн аль нь бидний тэгшитгэлтэй төстэй вэ? X * a = b

МАШ ЧУХАЛ АСУУЛТ: Зүүн талд байгаа илэрхийлэл юу вэ - нийлбэр, зөрүү, үржвэр эсвэл коэффициент?

(x - 4) * 3 = 15 (Бүтээгдэхүүн)

Яагаад? (сүүлийн үйлдэл нь үржүүлэх учраас)

Дүгнэлт:Ийм тэгшитгэлийг хараахан авч үзээгүй байна. Гэхдээ илэрхийлэл бол бид үүнийг шийдэж чаднаx - 4карт (y - igrek) тавь, та үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгийг олох энгийн алгоритмыг ашиглан амархан шийдэж болох тэгшитгэлийг авах болно.

Нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ алхам бүрт автоматжуулсан түвшинд үйлдлийг сонгох, үйлдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тайлбарлах, нэрлэх шаардлагатай байдаг.

(y - 5) * 4 = 28
у - 5 = 28: 4
у - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)

Дүгнэлт:Өөр өөр боловсролтой ангиудад энэ ажлыг өөрөөр зохион байгуулж болно. Илүү бэлтгэгдсэн ангиудад, тэр ч байтугай анхан шатны нэгтгэлийн хувьд ч гэсэн хоёр биш, гурав ба түүнээс дээш үйлдэл хийх илэрхийлэлийг ашиглаж болно, гэхдээ тэдгээрийн шийдэл нь илүү олон алхам шаарддаг бөгөөд алхам бүр нь энгийн тэгшитгэлийг олж авах хүртэл тэгшитгэлийг хялбаршуулдаг. Мөн та үйлдлүүдийн үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсэг хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ажиглаж болно.

_____________________________________________________________________________

ДҮГНЭЛТ:

Бид маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой зүйлийн талаар ярихдаа: "Асуудлыг хоёр, хоёр нь дөрөв гэдэг шиг ойлгомжтой!"

Гэхдээ хоёр, хоёр нь дөрөвтэй тэнцэнэ гэдгийг олж мэдэхээс өмнө хүмүүс олон, олон мянган жилийн турш суралцах ёстой байв.

Сургуулийн сурах бичгүүдийн арифметик, геометрийн олон дүрмийг эртний Грекчүүд хоёр мянга гаруй жилийн өмнө мэддэг байсан.

Та ямар нэг зүйлийг тоолох, хэмжих, харьцуулах шаардлагатай газар бүрт математикгүйгээр хийж чадахгүй.

Хүмүүс тоолж, хэмжиж, харьцуулж мэдэхгүй бол яаж амьдрах байсныг төсөөлөхөд бэрх. Математик үүнийг заадаг.

Өнөөдөр та сургуулийн амьдралд орж, сурагчдын дүрд тоглож, эрхэм эцэг эхчүүд та бүхнийг ур чадвараа хэмжүүрээр үнэлэхийг урьж байна.

Энэ видеон дээр бид ижил алгоритмыг ашиглан шийдсэн шугаман тэгшитгэлийн бүхэл бүтэн багцыг шинжлэх болно - тиймээс тэдгээрийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг.

Эхлээд тодорхойлъё: шугаман тэгшитгэл гэж юу вэ, аль нь хамгийн энгийн гэж нэрлэгддэг вэ?

Шугаман тэгшитгэл гэдэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай, зөвхөн нэгдүгээр зэрэгтэй тэгшитгэл юм.

Хамгийн энгийн тэгшитгэл нь бүтээцийг хэлнэ:

Бусад бүх шугаман тэгшитгэлийг алгоритмыг ашиглан хамгийн энгийн болгон бууруулна.

1. Хэрэв байгаа бол хашилтыг дэлгэнэ үү;
2. Хувьсагч агуулсан нэр томъёог тэнцүү тэмдгийн нэг тал руу, хувьсагчгүй нөхцөлийг нөгөө тал руу нь шилжүүлэх;
3. Тэнцүү тэмдгийн зүүн ба баруун талд ижил төстэй нэр томъёо өгөх;
4. Гарсан тэгшитгэлийг $x$ хувьсагчийн коэффициентэд хуваа.

Мэдээжийн хэрэг, энэ алгоритм нь үргэлж тусалдаггүй. Баримт нь заримдаа эдгээр бүх заль мэх хийсний дараа $ x $ хувьсагчийн коэффициент тэгтэй тэнцүү болж хувирдаг. Энэ тохиолдолд хоёр сонголт байж болно:

1. Тэгшитгэлд шийдэл огт байхгүй. Жишээлбэл, $0\cdot x=8$ гэх мэт зүйл гарч ирэхэд, i.e. зүүн талд нь тэг, баруун талд нь тэгээс өөр тоо байна. Доорх видеон дээр бид ийм нөхцөл байдал үүсч болох хэд хэдэн шалтгааныг авч үзэх болно.
2. Шийдэл нь бүх тоо юм. Тэгшитгэлийг $0\cdot x=0$ бүтэц болгон бууруулсан үед ийм боломжтой цорын ганц тохиолдол юм. Бид ямар ч $x$-г орлуулахаас үл хамааран "тэг нь тэгтэй тэнцүү" болж хувирах нь маш логик юм. зөв тоон тэгшитгэл.

Одоо энэ бүхэн хэрхэн явагддагийг бодит жишээн дээр харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Өнөөдөр бид шугаман тэгшитгэлүүдтэй харьцаж байгаа бөгөөд зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд юм. Ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэл гэдэг нь яг нэг хувьсагчийг агуулсан аливаа тэгшитгэлийг хэлдэг бөгөөд энэ нь зөвхөн эхний зэрэгтэй байдаг.

Ийм бүтээн байгуулалтыг ойролцоогоор ижил аргаар шийддэг.

1. Юуны өмнө, хэрэв байгаа бол (бидний сүүлийн жишээн дээрх шиг) хаалтуудыг өргөжүүлэх хэрэгтэй;
2. Дараа нь ижил төстэй зүйлийг нэгтгэнэ
3. Эцэст нь хувьсагчийг тусгаарлах, i.e. хувьсагчтай холбоотой бүх зүйлийг буюу түүнд агуулагдаж буй нэр томьёог нэг тал руу шилжүүлж, үүнгүйгээр үлдсэн бүх зүйлийг нөгөө тал руу шилжүүлнэ.

Дараа нь дүрмээр бол та үүссэн тэгш байдлын тал бүр дээр ижил төстэй зүйлсийг авчрах хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа "x" коэффициентээр хуваах л үлддэг бөгөөд бид эцсийн хариултыг авах болно.

Онолын хувьд энэ нь сайхан бөгөөд энгийн мэт харагддаг боловч практик дээр ахлах сургуулийн туршлагатай сурагчид хүртэл маш энгийн шугаман тэгшитгэл дээр доромжилсон алдаа гаргаж чаддаг. Ихэвчлэн хаалт нээх эсвэл "нэмэх", "хасах" -ыг тооцоолоход алдаа гардаг.

Нэмж дурдахад, шугаман тэгшитгэл нь огт шийдэлгүй, эсвэл шийдэл нь бүхэл тооны шугам байх тохиолдол гардаг. ямар ч тоо. Өнөөдрийн хичээл дээр бид эдгээр нарийн ширийн зүйлийг авч үзэх болно. Гэхдээ та аль хэдийн ойлгосноор бид хамгийн энгийн ажлуудаас эхлэх болно.

Энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем

Эхлээд хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх бүх схемийг дахин бичье.

1. Хэрэв байгаа бол хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
2. Бид хувьсагчдыг тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл. Бид "X"-г агуулсан бүх зүйлийг нэг тал руу, "X"-гүй бүгдийг нөгөө тал руу шилжүүлдэг.
3. Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.
4. Бид бүгдийг "x" коэффициентээр хуваадаг.

Мэдээжийн хэрэг, энэ схем нь үргэлж ажилладаггүй; үүнд тодорхой нарийн мэдрэмж, заль мэх байдаг, одоо бид тэдэнтэй танилцах болно.

Энгийн шугаман тэгшитгэлийн бодит жишээг шийдвэрлэх

Даалгавар №1

Эхний алхам нь бид хаалт нээхийг шаарддаг. Гэхдээ тэд энэ жишээнд байхгүй тул бид энэ алхамыг алгасаж байна. Хоёр дахь шатанд бид хувьсагчдыг тусгаарлах хэрэгтэй. Анхаарна уу: бид зөвхөн хувь хүний ​​нэр томъёоны тухай ярьж байна. Үүнийг бичье:

Бид зүүн болон баруун талд ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна, гэхдээ үүнийг энд аль хэдийн хийсэн. Тиймээс бид дөрөв дэх алхам руу шилжиж байна: коэффициентээр хуваана:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тиймээс бид хариултаа авлаа.

Даалгавар №2

Бид энэ асуудлын хаалтуудыг харж байгаа тул тэдгээрийг өргөжүүлье:

Зүүн ба баруун талд хоёулаа бид ойролцоогоор ижил загварыг харж байна, гэхдээ алгоритмын дагуу ажиллацгаая, өөрөөр хэлбэл. хувьсагчдыг ялгах:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Энэ нь ямар үндэс дээр ажилладаг вэ? Хариулт: аль ч тохиолдолд. Тиймээс бид $x$ нь дурын тоо гэж бичиж болно.

Даалгавар №3

Гурав дахь шугаман тэгшитгэл нь илүү сонирхолтой юм:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Энд хэд хэдэн хаалт байгаа боловч тэдгээрийг юугаар ч үржүүлээгүй, зүгээр л өөр өөр тэмдгүүдийн өмнө тавьдаг. Тэдгээрийг задалж үзье:

Бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан хоёр дахь алхамыг гүйцэтгэдэг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Тооцоогоо хийцгээе:

Бид сүүлчийн алхамыг хийдэг - бүгдийг "x" коэффициентээр хуваана.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарах зүйлс

Хэрэв бид хэтэрхий энгийн ажлуудыг үл тоомсорловол би дараахь зүйлийг хэлмээр байна.

• Дээр хэлсэнчлэн шугаман тэгшитгэл бүр шийдэлтэй байдаггүй - заримдаа үндэс байдаггүй;
• Хэдийгээр үндэс байгаа ч гэсэн тэдний дунд тэг байж болно - үүнд буруу зүйл байхгүй.

Тэг бол бусадтай ижил тоо юм. Та үүнийг ямар ч байдлаар ялгаварлан гадуурхах ёсгүй, хэрэв та тэг авбал буруу зүйл хийсэн гэж бодож болохгүй.

Өөр нэг онцлог нь хаалт нээхтэй холбоотой юм. Анхаарна уу: тэдний өмнө "хасах" тэмдэг байгаа бол бид үүнийг арилгадаг боловч хаалтанд тэмдэглэгээг өөрчилдөг. эсрэг. Дараа нь бид үүнийг стандарт алгоритмуудыг ашиглан нээж болно: бид дээрх тооцоололд үзсэн зүйлээ авах болно.

Энэ энгийн баримтыг ойлгох нь ахлах сургуульд байхдаа ийм зүйл хийх нь энгийн зүйл мэт санагдвал тэнэг, хор хөнөөлтэй алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална.

Нарийн төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Илүү төвөгтэй тэгшитгэл рүү шилжье. Одоо бүтэц нь илүү төвөгтэй болж, янз бүрийн хувиргалт хийх үед квадрат функц гарч ирнэ. Гэсэн хэдий ч бид үүнээс айх ёсгүй, учир нь хэрэв зохиогчийн төлөвлөгөөний дагуу шугаман тэгшитгэлийг шийдэж байгаа бол хувиргах явцад квадрат функц агуулсан бүх мономиалууд цуцлагдах болно.

Жишээ №1

Мэдээжийн хэрэг, эхний алхам бол хаалтыг нээх явдал юм. Үүнийг маш болгоомжтой хийцгээе:

Одоо нууцлалыг харцгаая:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул бид үүнийг хариултанд бичнэ:

\[\varnothing\]

эсвэл үндэс байхгүй.

Жишээ №2

Бид ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Эхний алхам:

Хувьсагчтай бүх зүйлийг зүүн тийш, үүнгүйгээр баруун тийш шилжүүлье:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Мэдээжийн хэрэг, энэ шугаман тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ.

\[\varnothing\],

эсвэл үндэс байхгүй.

Шийдлийн нюансууд

Хоёр тэгшитгэл хоёулаа бүрэн шийдэгдсэн. Эдгээр хоёр илэрхийлэлийг жишээ болгон ашигласнаар бид хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлд ч гэсэн бүх зүйл тийм ч энгийн биш байж болох юм: нэг эсвэл аль нь ч биш, эсвэл хязгааргүй олон үндэс байж болно гэдгийг бид дахин батлав. Манай тохиолдолд бид хоёр тэгшитгэлийг авч үзсэн бөгөөд хоёулаа үндэсгүй.

Гэхдээ би та бүхний анхаарлыг өөр нэг баримтад хандуулахыг хүсч байна: хаалттай хэрхэн ажиллах, өмнө нь хасах тэмдэг байвал тэдгээрийг хэрхэн нээх вэ. Энэ илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй:

Нээхээсээ өмнө бүх зүйлийг "X" -ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Анхаарна уу: үрждэг бие даасан нэр томъёо бүр. Дотор нь хоёр нэр томъёо байдаг - тус тус хоёр нэр томъёо ба үржүүлсэн.

Эдгээр энгийн мэт боловч маш чухал, аюултай өөрчлөлтүүд дууссаны дараа л хаалтанд хасах тэмдэг байгаа гэсэн үүднээс нээж болно. Тийм ээ, тийм: зөвхөн одоо, өөрчлөлтүүд дуусмагц бид хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгааг санаж байгаа бөгөөд энэ нь доорх бүх зүйл тэмдгүүдийг өөрчилдөг гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ хаалт нь өөрөө алга болж, хамгийн чухал нь урд талын "хасах" нь алга болно.

Бид хоёр дахь тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хийдэг.

Би эдгээр өчүүхэн мэт жижиг баримтуудад анхаарал хандуулж байгаа нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үргэлж энгийн хувиргалтуудын дараалал байдаг тул энгийн үйлдлүүдийг тодорхой, чадварлаг гүйцэтгэх чадваргүй байх нь ахлах сургуулийн сурагчид над дээр ирж, ийм энгийн тэгшитгэлийг шийдэж сурахад хүргэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, та эдгээр ур чадвараа автоматаар эзэмшүүлэх өдөр ирэх болно. Та бүх зүйлийг нэг мөрөнд бичих бүртээ ийм олон өөрчлөлт хийх шаардлагагүй болно; Гэхдээ та дөнгөж сурч байхдаа үйлдэл бүрийг тусад нь бичих хэрэгтэй.

Бүр илүү төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Одоо бидний шийдэх гэж байгаа зүйлийг хамгийн энгийн ажил гэж нэрлэх аргагүй ч утга нь хэвээрээ л байна.

Даалгавар №1

\[\зүүн(7х+1 \баруун)\зүүн(3х-1 \баруун)-21((x)^(2))=3\]

Эхний хэсэгт байгаа бүх элементүүдийг үржүүлье.

Зарим нууцлалыг хийцгээе:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Сүүлийн алхамыг дуусгая:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Энд бидний эцсийн хариулт байна. Шийдвэрлэх явцад бид квадрат функцтэй коэффициентүүдтэй байсан ч тэдгээр нь бие биенээ цуцалсан нь тэгшитгэлийг квадрат биш шугаман болгодог.

Даалгавар №2

\[\зүүн(1-4х \баруун)\зүүн(1-3х \баруун)=6х\зүүн(2х-1 \баруун)\]

Эхний алхамыг анхааралтай хийцгээе: эхний хаалтанд байгаа элемент бүрийг хоёр дахь элемент бүрээр үржүүлнэ. Өөрчлөлтийн дараа нийт дөрвөн шинэ нэр томъёо байх ёстой:

Одоо үржүүлэлтийг гишүүн бүрт анхааралтай хийцгээе:

"X"-тэй нэр томъёог зүүн тийш, байхгүй бол баруун тийш шилжүүлье.

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:

Дахин нэг удаа бид эцсийн хариултыг хүлээн авлаа.

Шийдлийн нюансууд

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийн талаархи хамгийн чухал тэмдэглэл бол дараахь зүйл юм: бид нэгээс олон гишүүнтэй хаалтуудыг үржүүлж эхэлмэгц энэ нь дараах дүрмийн дагуу хийгддэг: эхний гишүүнийг эхнийхээс авч, элемент бүрээр үржүүлнэ. Хоёрдугаарт; Дараа нь бид эхнийхээс хоёр дахь элементийг авч, хоёр дахь элемент бүрээр ижил төстэй байдлаар үржүүлнэ. Үүний үр дүнд бид дөрвөн хугацаатай болно.

Алгебрийн нийлбэрийн тухай

Энэ сүүлчийн жишээгээр би оюутнуудад алгебрийн нийлбэр гэж юу болохыг сануулмаар байна. Сонгодог математикийн хувьд 1-7 доллар гэдэг нь энгийн бүтээн байгуулалтыг хэлдэг: нэгээс долоог хас. Алгебрийн хувьд бид дараахь зүйлийг хэлнэ: "нэг" тоонд бид "хасах долоо" гэсэн өөр тоог нэмнэ. Алгебрийн нийлбэр нь энгийн арифметикийн нийлбэрээс ингэж ялгаатай байдаг.

Бүх хувиргалт, нэмэх, үржүүлэх бүрийг хийхдээ дээр дурдсантай төстэй бүтээцүүдийг харж эхэлмэгц олон гишүүнт ба тэгшитгэлтэй ажиллахад алгебрийн хувьд ямар ч асуудал гарахгүй.

Эцэст нь, бидний саяхан үзсэнээс ч илүү төвөгтэй байх хэд хэдэн жишээг харцгаая, тэдгээрийг шийдэхийн тулд бид стандарт алгоритмаа бага зэрэг өргөжүүлэх хэрэгтэй болно.

Бутархайтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Ийм даалгавруудыг шийдвэрлэхийн тулд бид алгоритмдаа нэг алхам нэмэх шаардлагатай болно. Гэхдээ эхлээд алгоритмаа сануулъя:

1. Хаалтуудыг нээ.
2. Тусдаа хувьсагч.
3. Ижил төстэйг нь авчир.
4. Харьцаагаар хуваана.

Харамсалтай нь, энэ гайхамшигтай алгоритм нь бүх үр дүнтэй боловч бидний өмнө бутархай байх үед тийм ч тохиромжтой биш юм. Бидний доор үзэх зүйлд бид хоёр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь бутархай байна.

Энэ тохиолдолд яаж ажиллах вэ? Тийм ээ, энэ нь маш энгийн! Үүнийг хийхийн тулд та алгоритмд дахин нэг алхам нэмэх хэрэгтэй бөгөөд үүнийг эхний үйлдлээс өмнө болон дараа нь хийж болно, тухайлбал бутархай хэсгүүдээс ангижрах. Тиймээс алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бутархай хэсгүүдээс сал.
2. Хаалтуудыг нээ.
3. Тусдаа хувьсагч.
4. Ижил төстэйг нь авчир.
5. Харьцаагаар хуваана.

"Бутархайг арилгах" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Үүнийг яагаад эхний стандарт алхамын дараа болон өмнө хийж болох вэ? Үнэн хэрэгтээ манай тохиолдолд бүх бутархай нь хуваагчдаа тоон шинж чанартай байдаг, i.e. Хаа сайгүй хуваагч нь зүгээр л тоо юм. Иймд тэгшитгэлийн хоёр талыг энэ тоогоор үржүүлбэл бид бутархайгаас ангижирна.

Жишээ №1

\[\frac(\left(2x+1 \баруун)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Энэ тэгшитгэлийн бутархай хэсгүүдээс салцгаая.

\[\frac(\left(2x+1 \баруун)\left(2x-3 \баруун)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \баруун)\cdot 4\]

Анхаарна уу: бүгдийг нэг удаа "дөрөв"-өөр үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. Та хоёр хаалттай байна гэдэг нь тус бүрийг "дөрөв"-өөр үржүүлэх ёстой гэсэн үг биш юм. Ингээд бичье:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \баруун)\cdot 4\]

Одоо өргөжүүлье:

Бид хувьсагчийг хасдаг:

Бид ижил төстэй нэр томъёоны бууралтыг гүйцэтгэдэг:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \баруун) \баруун.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Бид эцсийн шийдлийг хүлээн авлаа, хоёр дахь тэгшитгэл рүү шилжье.

Жишээ №2

\[\frac(\left(1-x \баруун)\зүүн(1+5x \баруун))(5)+(x)^(2))=1\]

Энд бид ижил үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг:

\[\frac(\left(1-x \баруун)\left(1+5x \баруун)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Асуудал шийдэгдсэн.

Үнэндээ би өнөөдөр танд хэлэхийг хүссэн зүйл минь энэ.

Гол оноо

Гол дүгнэлтүүд нь:

• Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг мэдэх.
• Хаалт нээх чадвар.
• Хэрэв та хаа нэгтээ квадрат функцтэй бол санаа зовох хэрэггүй, цаашдын өөрчлөлтийн явцад тэдгээр нь багасах болно.
• Шугаман тэгшитгэлд хамгийн энгийн нь ч гэсэн гурван төрлийн язгуур байдаг: нэг язгуур, бүх тооны шугам нь үндэс, огт үндэсгүй.

Энэ хичээл нь бүх математикийг илүү сайн ойлгоход хялбар боловч маш чухал сэдвийг эзэмшихэд тань тусална гэж найдаж байна. Хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сайт руу орж, тэнд үзүүлсэн жишээнүүдийг шийдээрэй. Хамтдаа байгаарай, өөр олон сонирхолтой зүйл таныг хүлээж байна!