Ижил эзэлхүүнтэй хоёр дүрсийг ижил хэмжээтэй гэж нэрлэдэг. Тэнцүү ба тэнцүү тоонууд

VIII анги: Сэдэв 3. Дүрсүүдийн талбай. Пифагорын теорем.

1. Талбайн тухай ойлголт. Тэнцүү хэмжээтэй тоонууд.

Хэрэв урт нь шугамын тоон шинж чанар бол талбай нь битүү дүрсийн тоон шинж чанар юм. Хэдийгээр бид өдөр тутмын амьдралаас нутаг дэвсгэрийн тухай ойлголтыг сайн мэддэг ч энэ ойлголтыг хатуу тодорхойлох нь тийм ч хялбар биш юм. Хаалттай дүрсийн талбайг дараахь утгатай сөрөг бус хэмжигдэхүүн гэж нэрлэж болно Зургийн талбайг хэмжих шинж чанарууд:

Тэнцүү тоонууд тэнцүү талбайтай байна. Хэрэв өгөгдсөн хаалттай дүрсийг хэд хэдэн хаалттай тоонд хуваасан бол зургийн талбай нь түүнийг бүрдүүлсэн дүрсүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна (Зураг 1-ийн зургийг дараах байдлаар хуваана). nтоо; энэ тохиолдолд зургийн талбай, хаана байна Си- дөрвөлжин би-р зураг).

Зарчмын хувьд томъёолсон шинж чанартай олон тооны хэмжигдэхүүнийг гаргаж авах боломжтой бөгөөд ингэснээр зургийн талбайг тодорхойлдог. Гэхдээ хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой утга бол дөрвөлжингийн талбайг түүний хажуугийн квадрат гэж тодорхойлдог зүйл юм. Энэ "гэрээ" -ийг тоонуудын талбайг хэмжих гурав дахь шинж чанар гэж нэрлэе.

Квадратын талбай нь түүний талын квадраттай тэнцүү байна (Зураг 2).

Энэхүү тодорхойлолтоор тоонуудын талбайг квадрат нэгжээр хэмждэг ( см 2, км 2, га=100м 2).

Зураг тэнцүү талбайтай байхыг нэрлэдэг хэмжээтэй тэнцүү .

Сэтгэгдэл: Тэнцүү тоонууд нь тэнцүү талбайтай, өөрөөр хэлбэл тэнцүү тоонууд нь ижил хэмжээтэй байна. Гэхдээ ижил хэмжээтэй дүрс нь үргэлж тэнцүү байдаггүй (жишээлбэл, 3-р зурагт тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас бүрдсэн дөрвөлжин ба тэгш өнцөгт гурвалжинг харуулсан) тоонууд дуудсан адил бүрдсэн ); дөрвөлжин ба гурвалжин нь ижил хэмжээтэй боловч тэнцүү биш, учир нь тэдгээр нь давхцдаггүй).

Дараа нь бид зургийн талбайг хэмжих томъёолсон шинж чанарууд дээр үндэслэн бүх үндсэн төрлийн олон өнцөгтүүдийн талбайг (тэгш өнцөгтийн талбайг олох сайн мэддэг томъёог оруулаад) тооцоолох томъёог гаргаж авах болно.

2. Тэгш өнцөгтийн талбай. Параллелограммын талбай.

Тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох томъёо: Тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний хажуугийн хоёр талын үржвэртэй тэнцүү байна (Зураг 4).

Өгөгдсөн:

ABCD- тэгш өнцөгт;

МЭ=а, AB=б.

Нотлох: SABCD=а× б.

Нотолгоо:

1. Хажуу талыг нь сунгана ABсегментийн хувьд B.P.=а, ба хажуу тал МЭ- сегментийн хувьд Д.В.=б. Параллелограмм байгуулъя APRV(Зураг 4). оноос хойш Ð А=90°, APRV- тэгш өнцөгт. Үүний зэрэгцээ AP=а+б=AV, Þ APRV- талтай дөрвөлжин ( а+б).

2. Бид тэмдэглэе МЭӨÇ RV=Т, CDÇ PR=Q. Дараа нь BCQP- талтай дөрвөлжин а, CDVT- талтай дөрвөлжин б, CQRT- талтай тэгш өнцөгт аТэгээд б.

Параллелограммын талбайг тооцоолох томъёо: Параллелограммын талбай нь түүний өндөр ба суурийн үржвэртэй тэнцүү байна (Зураг 5).

Сэтгэгдэл: Параллелограммын суурийг ихэвчлэн өндрийг зурсан тал гэж нэрлэдэг; Параллелограммын аль ч тал суурь болж чадах нь ойлгомжтой.

Өгөгдсөн:

ABCD– p/g;

Б.Х.^МЭ, ХÎ МЭ.

Нотлох: SABCD=МЭ× Б.Х..

Нотолгоо:

1. Суурь руу аваачъя МЭөндөр CF(Зураг 5).

2. МЭӨïê HF, Б.Х.ïê CF, Þ BCFH- тодорхойлолтоор p/g. Ð Х=90°, Þ BCFH- тэгш өнцөгт.

3. BCFH– p/g, Þ p/g шинж чанарын дагуу Б.Х.=CF, Þ Д BAH=Д CDFгипотенуз ба хөлний дагуу ( AB=CD St. p/g дагуу, Б.Х.=CF).

4. SABCD=SABCF+СД CDF=SABCF+СД BAH=SBCFH=Б.Х.× МЭӨ=Б.Х.× МЭ. #

3. Гурвалжны талбай.

Гурвалжны талбайг тооцоолох томъёо: Гурвалжны талбай нь түүний өндөр ба суурийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна (Зураг 6).

Сэтгэгдэл: Энэ тохиолдолд гурвалжны суурь нь өндрийг зурсан тал юм. Гурвалжны гурван талын аль нэг нь түүний суурь болж чадна.

Өгөгдсөн:

Б.Д^А.С., ДÎ А.С..

Нотлох: .

Нотолгоо:

1. Г-г гүйцээцгээе ABC p/y хүртэл ABKCоройгоор дамжин өнгөрөх замаар Бшууд Б.К.ïê А.С., дээрээс нь дамжин C- шулуун CKïê AB(Зураг 6).

2. Д ABC=Д KCBгурван талдаа ( МЭӨ- ерөнхий, AB=KCТэгээд А.С.=К.Б.дагуу St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Үр дүн 2: Хэрэв бид p/u D гэж үзвэл ABCөндөртэй А.Х., гипотенуз руу татсан МЭӨ, Тэр . Тиймээс, p/u-д Гипотенуз руу татсан D-ke өндөр нь түүний хөлний үржвэрийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. . Энэ хамаарлыг асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

4. Гурвалжны талбайг олох томьёоны үр дүн: ижил өндөр эсвэл суурьтай гурвалжны талбайн харьцаа; зураг дээрх тэнцүү гурвалжин; гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагональуудаас үүссэн гурвалжны талбайн шинж чанар.

Гурвалжны талбайг тооцоолох томъёоноос хоёр үр дагавар нь энгийн байдлаар гардаг.

1. Тэнцүү өндөртэй гурвалжны талбайн харьцаа тэдгээрийн суурийн харьцаатай тэнцүү байна (Зураг 8-д). ).

2. Тэнцүү суурьтай гурвалжны талбайн харьцаа тэдгээрийн өндрийн харьцаатай тэнцүү байна (Зураг 9-д ).

Сэтгэгдэл: Асуудлыг шийдэхдээ нийтлэг өндөртэй гурвалжингууд ихэвчлэн тулгардаг. Энэ тохиолдолд, дүрмээр бол тэдгээрийн суурь нь нэг шулуун шугам дээр байрладаг бөгөөд суурийн эсрэг талын орой нь нийтлэг байдаг (жишээлбэл, 10-р зурагт). С 1:С 2:С 3=а:б:в). Ийм гурвалжны нийт өндрийг харж сурах хэрэгтэй.

Мөн гурвалжны талбайг тооцоолох томъёо нь олох боломжийг олгодог ашигтай баримтуудыг өгдөг. Зураг дээрх тэнцүү гурвалжин:

1. Дурын гурвалжны медиан нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана (Зураг 11-д D А.Б.М.болон Д МУЗөндөр А.Х.- ерөнхий ба үндэслэл Б.М.Тэгээд С.М.медианы тодорхойлолтоор тэнцүү; Үүнээс үзэхэд Д А.Б.М.болон Д МУЗхэмжээтэй тэнцүү).

2. Параллелограммын диагональууд нь дөрвөн тэнцүү гурвалжинд хуваагдана (Зураг 12-т А.О.- гурвалжны медиан АНУгурвалжны өмнөх шинж чанаруудаас шалтгаалсан p/g, Þ диагональуудын шинж чанараар ABOТэгээд ADOхэмжээтэй тэнцүү; учир нь Б.О.- гурвалжны медиан ABC, гурвалжин ABOТэгээд BCOхэмжээтэй тэнцүү; учир нь CO- гурвалжны медиан BCD, гурвалжин BCOТэгээд DCOхэмжээтэй тэнцүү; Тиймээс, СД ADO=СД ABO=СД BCO=СД DCO).

3. Трапецын диагональууд нь түүнийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг; тэдгээрийн хажуугийн хажуугийн хоёр нь тэнцүү хэмжээтэй байна (Зураг 13).

Өгөгдсөн:

ABCD- трапец;

МЭӨïê МЭ; А.С.Ç Б.Д=О.

Нотлох: СД ABO=СД DCO.

Нотолгоо:

1. Өндөрийг зурцгаая Б.Ф.Тэгээд CH(Зураг 13). Тэгвэл Д АНУболон Д ACDсуурь МЭ- ерөнхий ба өндөр Б.Ф.Тэгээд CHтэнцүү; Þ СД АНУ=СД ACD.

2. СД ABO=СД АНУ ‑ СД AOD=СД ACD ‑ СД AOD=СД DCO. #

Хэрэв та гүдгэр дөрвөлжингийн диагональуудыг зурвал (Зураг 14) дөрвөн гурвалжин үүсдэг бөгөөд тэдгээрийн талбайнууд нь санахад маш хялбар харьцаатай байдаг. Энэ харилцааны гарал үүсэл нь зөвхөн гурвалжны талбайг тооцоолох томъёонд тулгуурладаг; Гэсэн хэдий ч энэ нь уран зохиолд маш ховор байдаг. Асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай тул доор томъёолж, нотлох харилцааг анхааралтай ажиглах хэрэгтэй.

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагональуудаас үүссэн гурвалжны талбайн шинж чанар: Хэрэв гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагональууд ABCDцэг дээр огтлолцоно О, дараа нь (Зураг 14).

ABCD- гүдгэр дөрвөлжин;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" өргөн "149" өндөр "20">.

Нотолгоо:

1. Б.Ф.- нийт өндөр D AOBболон Д BOC; Þ СД AOB:СД BOC=А.О.:CO.

2. Д.Х.- нийт өндөр D AODболон Д C.O.D.; Þ СД AOD:СД C.O.D.=А.О.:CO.

5. Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайн харьцаа.

Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайн харьцааны тухай теорем: Тэнцүү өнцөгтэй гурвалжны талбайнууд нь эдгээр өнцгийг хүрээлж буй талуудын үржвэртэй холбоотой байдаг (Зураг 15).

Өгсөн:

Д ABC, Д А 1Б 1C 1;

Ð BAC=Ð Б 1А 1C 1.

Нотлох:

.

Нотолгоо:

1. Цацраг дээр хэвтүүлнэ ABсегмент AB 2=А 1Б 1, мөн цацраг дээр А.С.- сегмент А.С. 2=А 1C 1 (Зураг 15). Тэгвэл Д AB 2C 2=D А 1Б 1C 1 хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг ( AB 2=А 1Б 1 ба А.С. 2=А 1CБарилга байгууламжаар 1, Р Б 2А.С. 2=р Б 1А 1C 1 нөхцөлөөр). гэсэн үг, .

2. Цэгүүдийг холбоно уу CТэгээд Б 2.

3. CH- нийт өндөр D AB 2Cболон Д ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Гурвалжны биссектрисын өмч.

Тэнцүү өнцгүүдтэй гурвалжны талбайн харьцаа ба ижил өндөртэй гурвалжны талбайн харьцааны тухай теоремуудыг ашигласнаар бид асуудлыг шийдвэрлэхэд нэн тустай, дүрсийн талбайтай шууд хамааралгүй баримтыг нотолж байна. :

Гурвалжны биссектрисын шинж чанар:Гурвалжны биссектриса нь зурсан талыг нь зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Өгөгдсөн:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Нотолгоо:

1..gif" өргөн="72 өндөр=40" өндөр="40">.

3. 1 ба 2-р цэгээс бид дараахь зүйлийг авна. , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Сэтгэгдэл:Хэт гишүүд эсвэл дунд гишүүдийг зөв харьцаагаар сольж болох тул гурвалжны биссектрисын шинж чанарыг дараах хэлбэрээр санах нь илүү тохиромжтой (Зураг 16): .

7. Трапецын талбай.

Трапецын талбайг тооцоолох томъёо: Трапецын талбай нь түүний өндрийн үржвэр ба суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Өгөгдсөн:

ABCD- трапец;

МЭӨïê МЭ;

Б.Х.- өндөр.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" өргөн "127" өндөр "36">.

Нотолгоо:

1. Диагональ зуръя Б.Дба өндөр DF(Зураг 17). BHDF– тэгш өнцөгт, Þ Б.Х. = DF.

Үр дагавар: Ижил өндөртэй трапецын талбайн харьцаа нь тэдгээрийн дунд шугамын харьцаатай (эсвэл суурийн нийлбэрийн харьцаа) тэнцүү байна.

8. Харилцан перпендикуляр диагональ бүхий дөрвөн өнцөгтийн талбай.

Харилцан перпендикуляр диагональ бүхий дөрвөлжингийн талбайг тооцоолох томъёо: Харилцан перпендикуляр диагональ бүхий дөрвөн өнцөгтийн талбай нь диагональуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

ABCD- дөрвөлжин;

А.С.^Б.Д.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Нотолгоо:

1. Бид тэмдэглэе А.С.Ç Б.Д=О. Түүнээс хойш А.С.^Б.Д, А.О.- өндөр D АНУ, А CO- өндөр D CBD(Зураг 18a ба 18б гүдгэр ба гүдгэр бус дөрвөлжингийн тохиолдлуудад тус тус).

2.
("+" эсвэл "-" тэмдэг нь гүдгэр ба гүдгэр бус дөрвөлжингийн тохиолдлуудад тохирно). #

Пифагорын теорем нь олон төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг; Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны үл мэдэгдэх талыг түүний мэдэгдэж буй хоёр тал дээр үндэслэн олох боломжийг олгодог. Пифагорын теоремын олон нотолгоо байдаг. Квадрат ба гурвалжны талбайг тооцоолох томъёонд үндэслэн тэдгээрийн хамгийн энгийнийг танилцуулъя.

Пифагорын теорем: Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн:

Д ABC– p/u;

Ð А=90°.

Нотлох:

МЭӨ 2=AB 2+А.С. 2.

Нотолгоо:

1. Бид тэмдэглэе А.С.=а, AB=б. Үүнийг туяа дээр тавьцгаая ABсегмент B.P.=а, мөн цацраг дээр А.С.- сегмент CV=б(Зураг 19). Цэгээр нь зурцгаая Пшууд PRïê AV, мөн цэгээр дамжуулан В- шулуун VRïê AP. Дараа нь APRV- тодорхойлолтоор p/g. Түүнээс гадна Р А=90°, APRV- тэгш өнцөгт. Тэгээд учир нь AV=а+б=AP, APRV- талтай дөрвөлжин а+б, Мөн SAPRV=(а+б)2. Дараа нь бид талыг нь хуваана PRцэг Qсегментүүдэд PQ=бТэгээд QR=а, ба хажуу тал RV- цэг Тсегментүүдэд RT=бТэгээд ТВ=а.

2. Д ABC=Д PQB=Д RTQ=Д VCTхоёр талдаа, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, МЭӨ=QB=T.Q.=C.T., мөн https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Учир нь МЭӨ=QB=T.Q.=C.T., CBQT- ромбус Үүний зэрэгцээ QBC=180°-(р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- дөрвөлжин, ба SCBQT=МЭӨ 2.

4. . Тэгэхээр, МЭӨ 2=AB 2+А.С. 2. #

Пифагорын урвуу теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны шинж тэмдэг бөгөөд гурвалжны гурван талыг ашиглан зөв өнцөгтэй эсэхийг шалгах боломжийг олгодог.

Пифагорын теоремыг эсрэгээр нь: Гурвалжны хажуугийн квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол гурвалжин нь тэгш өнцөгт, хамгийн урт тал нь гипотенуз юм.

Өгөгдсөн:

МЭӨ 2=AB 2+А.С. 2.

Нотлох:Д ABC– p/u;

Ð А=90°.

Нотолгоо:

1. Тэгш өнцөг үүсгэ А 1 ба сегментүүдийг хажуу тал дээр нь тавь А 1Б 1=ABТэгээд А 1C 1=А.С.(Зураг 20). Хүлээн авсан p/u Д А 1Б 1CПифагорын теоремоор 1 Б 1C 12=А 1Б 12+А 1C 12=AB 2+А.С. 2; гэхдээ нөхцөл байдлын дагуу AB 2+А.С. 2=МЭӨ 2; Þ Б 1C 12=МЭӨ 2, Þ Б 1C 1=МЭӨ.

2. Д ABC=Д А 1Б 1Cгурван талдаа 1 ( А 1Б 1=ABТэгээд А 1C 1=А.С.барилга байгууламжаар, Б 1C 1=МЭӨ 1-р цэгээс) Þ Ð А=Ð А 1=90°, Þ D ABC- p/u. #

Хажуугийн уртыг натурал тоогоор илэрхийлсэн тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг нэрлэнэ Пифагорын гурвалжин , мөн харгалзах натурал тоонуудын гурвалсан тоонууд байна Пифагорын гурван ихэр . Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийг санах нь ашигтай байдаг (эдгээр тоонуудын том нь нөгөө хоёрын квадратын нийлбэртэй тэнцүү). Энд Пифагорын гурвалсан хэд хэдэн байна:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Египетэд 3, 4, 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг зөв өнцгийг барихад ашигласан тул ийм гурвалжин дуудсан Египет .

10. Хероны томъёо.

Хероны томъёо нь дурын гурвалжны талбайг гурван талаас нь олох боломжийг олгодог бөгөөд олон асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Хероны томъёо: Талтай гурвалжны талбай а, бТэгээд вдараах томъёогоор тооцоолно: , энд гурвалжны хагас периметр.

Өгсөн:

МЭӨ=а; А.С.=б; AB=в.). Дараа нь .

4. Гурвалжны талбайг тооцоолох томъёонд өндрийн үр дүнгийн илэрхийллийг орлуулна уу: . #

Өдөр тутмын амьдралдаа бид олон янзын объектоор хүрээлэгдсэн байдаг. Тэдний зарим нь ижил хэмжээтэй, ижил хэлбэртэй байдаг. Жишээлбэл, хоёр ижил хуудас эсвэл хоёр ижил саван, хоёр ижил зоос гэх мэт.

Геометрийн хувьд ижил хэмжээ, хэлбэртэй дүрсийг нэрлэдэг тэнцүү тоонууд. Доорх зурагт A1 ба A2 гэсэн хоёр зургийг харуулав. Эдгээр тоонуудын тэгш байдлыг тогтоохын тулд бид тэдгээрийн аль нэгийг нь ул мөрний цаасан дээр хуулах хэрэгтэй. Дараа нь ул мөрний цаасыг хөдөлгөж, нэг зургийн хуулбарыг өөр зурагтай нэгтгэнэ үү. Хэрэв тэдгээр нь таарч байвал эдгээр тоонууд ижил тоо байна гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд ердийн тэнцүү тэмдгийг ашиглан A1 = A2 гэж бичнэ.

Хоёр геометрийн дүрсийн тэгш байдлыг тодорхойлох

Эхний дүрсийг ул мөрний цаасан дээр биш харин хоёр дахь зураг дээр наасан байна гэж бид төсөөлж болно. Тиймээс, ирээдүйд бид хуулбарыг нь биш, харин өөр дүрс дээр зургийг өөрөө наах талаар ярих болно. Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид тодорхойлолтыг гаргаж болно хоёр геометрийн дүрсийн тэгш байдал.

Хоёр геометрийн дүрсийг нэг дүрсийг нөгөө дээр нь нааж нэгтгэж чадвал тэнцүү гэж нэрлэдэг. Геометрийн хувьд зарим геометрийн дүрсүүдийн (жишээлбэл, гурвалжин) тусгай шинж чанаруудыг томъёолсон байдаг бөгөөд биелсэн тохиолдолд эдгээр тоо тэнцүү гэж хэлж болно.

Хичээлдээ тусламж хэрэгтэй байна уу?

Дүрс, хэмжээ нь ижил байвал тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг.Энэ тодорхойлолтоос харахад жишээлбэл, хэрэв өгөгдсөн тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин нь тэнцүү талбайтай бол тэдгээр нь өөр хэлбэртэй байдаг тул тэдгээр нь ижил дүрс болж чадахгүй хэвээр байна. Эсвэл хоёр тойрог нь ижил хэлбэртэй байх нь гарцаагүй, гэхдээ тэдгээрийн радиус нь өөр бол хэмжээ нь таарахгүй байгаа тул эдгээр нь тэнцүү тоо биш юм. Жишээлбэл, ижил урттай хоёр сегмент, ижил радиустай хоёр тойрог, хос тэнцүү талуудтай хоёр тэгш өнцөгт (нэг тэгш өнцөгтийн богино тал нь нөгөөгийн богино талтай тэнцүү, нэг тэгш өнцөгтийн урт тал нь тэгш өнцөгт) юм. нөгөө талын урт талтай тэнцүү).

Ижил хэлбэртэй дүрсүүд тэнцүү эсэхийг нүдээр тодорхойлоход хэцүү байж болно. Тиймээс энгийн дүрсүүдийн тэгш байдлыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийг хэмждэг (захирагч эсвэл луужин ашиглан). Сегментүүд нь урттай, тойрог нь радиустай, тэгш өнцөгт нь урт ба өргөнтэй, квадрат нь зөвхөн нэг талтай. Бүх тоог харьцуулах боломжгүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээлбэл, шугамын тэгш байдлыг тодорхойлох боломжгүй, учир нь ямар ч шугам хязгааргүй тул бүх шугамыг бие биетэйгээ тэнцүү гэж хэлж болно. Цацрагийн хувьд ч мөн адил. Хэдийгээр тэд эхлэлтэй ч төгсгөлгүй.

Хэрэв бид нарийн төвөгтэй (дурын) тоонуудтай харьцаж байгаа бол тэдгээр нь ижил хэлбэртэй эсэхийг тодорхойлоход хэцүү байж болно. Эцсийн эцэст, тоонуудыг орон зайд эргүүлж болно. Доорх зургийг харна уу. Эдгээр тоо ижил хэлбэртэй байна уу, үгүй ​​юу гэдгийг хэлэхэд хэцүү.

Тиймээс тоон үзүүлэлтүүдийг харьцуулах найдвартай зарчимтай байх шаардлагатай. Энэ нь иймэрхүү байна: ижил тоонууд бие биен дээрээ давхцаж байна.

Хоёр дүрсийг давхцуулж харьцуулахын тулд тэдгээрийн аль нэгэнд нь ул мөрний цаас (тунгалаг цаас) түрхээд, дүрсний хэлбэрийг хуулж (зурна). Тэд хоёр дахь зураг дээр ул мөрний цаасан дээр хуулбарлахыг оролддог бөгөөд ингэснээр тоонууд давхцаж байна. Хэрэв энэ нь амжилттай бол өгөгдсөн тоонууд тэнцүү байна. Үгүй бол тоонууд тэнцүү биш байна. Ул мөрний цаасыг түрхэхдээ хүссэнээрээ эргүүлэхээс гадна эргүүлэх боломжтой.

Хэрэв та дүрсийг өөрөө хайчилж чадвал (эсвэл тэдгээр нь тусдаа хавтгай объект бөгөөд зураагүй) ул мөрний цаас шаардлагагүй болно.

Геометрийн дүрсийг судлахдаа тэдгээрийн хэсгүүдийн тэгш байдалтай холбоотой олон шинж чанарыг анзаарч болно. Тиймээс, хэрэв та диаметрийн дагуу тойрог нугалах юм бол түүний хоёр тал нь тэнцүү болж хувирна (тэдгээр нь давхцах болно). Хэрэв та тэгш өнцөгтийг диагональ байдлаар огтолвол хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин гарч ирнэ. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг 180 градус эргүүлбэл хоёр дахь нь давхцах болно. Өөрөөр хэлбэл диагональ нь тэгш өнцөгтийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Ямар тоонуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг вэ?

Зургийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, давхардсан үед давхцдаг.

Энэ асуултад хариулах нийтлэг алдаа бол геометрийн дүрсийн тэнцүү талууд ба өнцгийг дурдах замаар хариулах явдал юм. Гэхдээ энэ нь геометрийн дүрсийн талууд нь шулуун байх албагүй гэдгийг харгалзан үзэхгүй. Тиймээс зөвхөн геометрийн дүрсүүдийг давхарласан үед давхцах нь тэдний тэгш байдлын шинж тэмдэг байж болно.

Практикт үүнийг давхцуулж шалгахад хялбар байдаг;

Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хүртээмжтэй байдаг, ихэвчлэн тэнцүү тоонууд шууд харагддаг.

Геометрийн параметрүүд нь давхцаж буй тоонуудыг тэнцүү тоонууд гэнэ. Эдгээр үзүүлэлтүүд нь: талуудын урт, өнцгийн хэмжээ, зузаан.

Тоонууд тэнцүү гэдгийг ойлгох хамгийн хялбар арга бол давхаргыг ашиглах явдал юм. Хэрэв тоонуудын хэмжээ ижил байвал тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг.

ТэнцүүЗөвхөн ижил параметртэй геометрийн дүрсүүдийг л нэрлэсэн:

1) периметр;

2) талбай;

4) хэмжээс.

Өөрөөр хэлбэл, нэг дүрсийг нөгөөд нь давхарласан бол тэдгээр нь давхцах болно.

Хэрэв дүрсүүд ижил периметр эсвэл талбайтай бол тэдгээр нь тэнцүү байна гэж үзэх нь алдаа юм. Үнэн хэрэгтээ ижил талбайтай геометрийн дүрсийг талбайн хувьд тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Тэнцүү дүрсүүд нь ижил хэмжээтэй, хэлбэр, талбай, периметртэй байдаг. Гэхдээ талбайн хувьд тэнцүү тоонууд хоорондоо тэнцүү биш байж болно.

Геометрийн хувьд дүрмийн дагуу тэнцүү дүрс нь ижил талбай, периметртэй байх ёстой, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь туйлын ижил хэлбэр, хэмжээтэй байх ёстой. Мөн бие биен дээрээ наасан үед тэд бүрэн таарч байх ёстой. Хэрэв ямар нэгэн зөрүү байгаа бол эдгээр тоонуудыг тэнцүү гэж нэрлэх боломжгүй болно.

Зураг нь бие биен дээрээ давхцах үед бүрэн давхцаж байвал тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэж болно, өөрөөр хэлбэл. тэдгээр нь ижил хэмжээ, хэлбэр, тиймээс талбай, периметр, түүнчлэн бусад шинж чанартай байдаг. Тэгэхгүй бол тоонуудын тэгш байдлын тухай ярьж болохгүй.

Тэнцүү гэдэг үг нь мөн чанарыг агуулдаг.

Эдгээр нь бие биетэйгээ бүрэн ижил төстэй тоонууд юм. Өөрөөр хэлбэл, тэд бүрэн давхцдаг. Хэрэв дүрсийг нэг нэгээр нь байрлуулсан бол тэдгээр нь бүх талаараа давхцах болно.

Тэд адилхан, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна.

Тэнцүү гурвалжнуудаас ялгаатай нь (нөхцөлүүдийн аль нэгийг нь биелүүлэхэд хангалттай болохыг тодорхойлохын тулд - тэгш байдлын шинж тэмдгүүд) ижил дүрсүүд нь зөвхөн хэлбэр төдийгүй хэмжээстэй байдаг.

Та суперпозицийн аргыг ашиглан нэг зураг нөгөөтэй тэнцүү эсэхийг тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд тоонууд нь хоёр тал ба булантай тохирч байх ёстой. Эдгээр нь тэнцүү тоонууд байх болно.

Зөвхөн ийм тоонуудыг давхарласан үед талууд болон өнцөг нь бүрэн давхцаж байвал тэнцүү байж болно. Үнэн хэрэгтээ хамгийн энгийн олон өнцөгтүүдийн хувьд тэдгээрийн талбайн тэгш байдал нь тоонуудын тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Жишээ нь: a талтай квадрат нь ижил талтай өөр квадраттай үргэлж тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгт ба ромбуудад мөн адил хамаарна - хэрэв тэдгээрийн талууд нь өөр тэгш өнцөгтийн талуудтай тэнцүү бол тэдгээр нь тэнцүү байна. Илүү төвөгтэй жишээ: гурвалжин нь тэнцүү талуудтай, харгалзах өнцөгтэй бол тэдгээр нь хоорондоо тохирно. Гэхдээ эдгээр нь зөвхөн онцгой тохиолдол юм. Илүү ерөнхий тохиолдолд тоонуудын тэгш байдлыг суперпозициар нотолсон хэвээр байгаа бөгөөд планиметрийн энэхүү суперпозицийг хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг.

Геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг бол дүрс юм. Энэ нэр томъёо нь хязгаарлагдмал тооны шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дээрх цэгүүдийн багцыг хэлнэ. Зарим тоог тэнцүү гэж үзэж болох бөгөөд энэ нь хөдөлгөөний тухай ойлголттой нягт холбоотой юм. Геометрийн дүрсийг тусад нь биш, харин нэг талаараа бие биентэйгээ уялдуулан авч үзэж болно - тэдгээрийн харилцан зохион байгуулалт, холбоо барих, зэргэлдээ байдал, "хоорондын", "дотор" байрлал, "илүү" гэсэн ойлголтоор илэрхийлэгдсэн харилцаа холбоо. “бага”, “тэнцүү” .Геометр нь дүрсийн хувьсах шинж чанарыг судалдаг, i.e. тодорхой геометрийн хувиргалтуудын үед өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа тэдгээр. Тодорхой дүрсийг бүрдүүлдэг цэгүүдийн хоорондох зай өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа орон зайн ийм өөрчлөлтийг хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг: параллель орчуулга, ижил хувиргалт, тэнхлэгийг тойрон эргэх, шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэм. эсвэл хавтгай, төвийн, эргэлтийн, зөөврийн тэгш хэмийн .

Хөдөлгөөн ба тэнцүү тоо

Тэнцүү ба тэнцүү тоонууд