Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хэлбэр. Онлайн тооцоолуур

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээ нь. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,тэгэхгүй бол та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томьёо ашиглан шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Энэ сэдэв нь тийм ч энгийн биш олон томъёоны улмаас эхлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Ийм тэгшитгэлийг ойр ойрхон шийдсний дараа л боломжтой. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд бид хамгийн том зэрэг нь эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичигдсэн тохиолдолд тэдгээрийн тодорхой тэмдэглэгээг санал болгож байна. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол элбэг байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.

Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.

Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
хариулт нь нэг тоо байх болно;
тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.

Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий томьёо шиг харагдахгүй. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бол бүрэн тэгшитгэл юм. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс, зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.

Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолохын тулд доор бичсэн тэгш байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.

Коэффициент утгыг энэ томъёонд орлуулсны дараа та өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг авч болно. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Хэрэв тоо сөрөг байвал квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.

Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээсээ өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.

Эхлээд хоёр дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг харцгаая. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг авч, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.

Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлэх замаар шийднэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.

Доорх нь квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим алхмуудыг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" гэсэн өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээ авч болно. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.

Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь зэрэггүй, хамгийн сүүлд - зүгээр л тоо.

Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлнэ. Үүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх шаардлагатай. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

Үүнтэй ижил аргаар фракцаас салахыг зөвлөж байна. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.

Жишээ

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.

Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.

Эхний үндэс нь дараах утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлээс олно: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5х 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2x − x 2 = 0. Цаашид квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичиж эхлэх болно: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахь ашигтай зөвлөмжийг ашиглаж, бүх зүйлийг үржүүлэх цаг болжээ. хасах нэг. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.

Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь та ижил төстэй нэр томъёог авчирч, эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.

"Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвийг үргэлжлүүлснээр энэ нийтлэл дэх материал нь квадрат тэгшитгэлтэй танилцах болно.

Бүгдийг нарийвчлан авч үзье: квадрат тэгшитгэлийн мөн чанар, тэмдэглэгээ, дагалдах нэр томъёог тодорхойлох, бүрэн бус ба бүрэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схемд дүн шинжилгээ хийх, язгуур ба ялгах томъёотой танилцах, язгуур ба коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоох, Мэдээжийн хэрэг бид практик жишээнүүдийн харааны шийдлийг өгөх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадрат тэгшитгэл, түүний төрлүүд

Тодорхойлолт 1

Квадрат тэгшитгэлгэж бичсэн тэгшитгэл юм a x 2 + b x + c = 0, Хаана x– хувьсагч, a, b ба в- зарим тоо, харин атэг биш.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, учир нь үндсэндээ квадрат тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн алгебрийн тэгшитгэл юм.

Өгөгдсөн тодорхойлолтыг жишээ болгон тайлбарлая: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 2

a, b ба тоонууд вквадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд юм a x 2 + b x + c = 0, коэффициент байхад аэхний, эсвэл ахлах, эсвэл x 2 дахь коэффициент гэж нэрлэдэг, b - хоёр дахь коэффициент, эсвэл коэффициент x, А вчөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 6, хоёр дахь коэффициент − 2 , мөн чөлөөт нэр томъёо нь тэнцүү байна − 11 . Коэффициентүүд байхад анхаарлаа хандуулцгаая бба/эсвэл в сөрөг байвал маягтын богино хэлбэрийг ашиглана 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, үгүй 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Энэ талыг бас тодруулъя: хэрэв коэффициентүүд байвал аба/эсвэл бтэнцүү 1 эсвэл − 1 , дараа нь тэд квадрат тэгшитгэлийг бичихэд тодорхой оролцохгүй байж болох бөгөөд энэ нь заасан тоон коэффициентийг бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд y 2 − y + 7 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 1, хоёр дахь коэффициент нь − 1 .

Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл

Эхний коэффициентийн утгыг үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан ба буураагүй гэж хуваана.

Тодорхойлолт 3

Багасгасан квадрат тэгшитгэлнь тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэл юм. Тэргүүлэх коэффициентийн бусад утгуудын хувьд квадрат тэгшитгэлийг бууруулаагүй болно.

Жишээ дурдъя: квадрат тэгшитгэлүүд x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, тэргүүлэгч коэффициент тус бүр нь 1 байна.

9 x 2 − x − 2 = 0- эхний коэффициент нь ялгаатай буураагүй квадрат тэгшитгэл 1 .

Аль ч буураагүй квадрат тэгшитгэлийг хоёр талыг эхний коэффициентээр (тэнцүү хувиргалт) хуваах замаар багасгасан тэгшитгэл болгон хувиргаж болно. Хувиргасан тэгшитгэл нь өгөгдсөн бууруулаагүй тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх болно.

Тодорхой жишээг авч үзэх нь буураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг тодорхой харуулах боломжийг бидэнд олгоно.

Жишээ 1

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 тэгшитгэл өгөгдсөн . Анхны тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай.

Шийдэл

Дээрх схемийн дагуу бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 6-д хуваана. Дараа нь бид: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, мөн энэ нь дараахтай ижил байна: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0ба цааш нь: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Эндээс: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Тиймээс өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна.

Хариулт: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу орцгооё. Үүнд бид үүнийг тодорхойлсон a ≠ 0. Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй нөхцөл шаардлагатай a x 2 + b x + c = 0цагаас хойш яг дөрвөлжин байсан a = 0энэ нь үндсэндээ шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг b x + c = 0.

Коэффициент болсон тохиолдолд бТэгээд втэгтэй тэнцүү (энэ нь тус тусдаа болон хамтад нь боломжтой), квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 4

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- ийм квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x + c = 0,коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь хаана байна бТэгээд в(эсвэл хоёулаа) тэг байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл– бүх тоон коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш квадрат тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүдийг яагаад яг ийм нэрээр нэрлэсэн талаар ярилцъя.

b = 0 үед квадрат тэгшитгэл хэлбэрийг авна a x 2 + 0 x + c = 0, энэ нь ижил байна a x 2 + c = 0. At c = 0гэж бичсэн квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x + 0 = 0, энэ нь тэнцүү байна a x 2 + b x = 0. At b = 0Тэгээд c = 0тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно a x 2 = 0. Бидний олж авсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Үнэн хэрэгтээ энэ баримт нь энэ төрлийн тэгшитгэлийн нэрийг өгсөн - бүрэн бус.

Жишээлбэл, x 2 + 3 x + 4 = 0 ба − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 нь бүрэн квадрат тэгшитгэл; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь дараах төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүдийг ялгах боломжийг олгодог.

a x 2 = 0, энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна b = 0ба c = 0;
a · x 2 + c = 0 үед b = 0;
a · x 2 + b · x = 0 үед c = 0.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрөл бүрийн шийдлийг дараалан авч үзье.

a x 2 =0 тэгшитгэлийн шийдэл

Дээр дурдсанчлан энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна бТэгээд в, тэгтэй тэнцүү. Тэгшитгэл a x 2 = 0эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргаж болно x 2 = 0, бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваах замаар олж авна а, тэгтэй тэнцүү биш. Тодорхой баримт бол тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 = 0учир нь энэ тэг юм 0 2 = 0 . Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг зэрэглэлийн шинж чанараар тайлбарлаж болно: дурын тооны хувьд p,тэгтэй тэнцүү биш, тэгш бус байдал нь үнэн p 2 > 0, үүнээс энэ нь хэзээ гэсэн үг p ≠ 0тэгш байдал p 2 = 0хэзээ ч хүрэхгүй.

Тодорхойлолт 5

Ийнхүү a x 2 = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хувьд өвөрмөц язгуур байна x = 0.

Жишээ 2

Жишээлбэл, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье − 3 x 2 = 0. Энэ нь тэгшитгэлтэй тэнцүү юм x 2 = 0, түүний цорын ганц үндэс x = 0, тэгвэл анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай - тэг.

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дараагийн мөрөнд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдэл байна, энд b = 0, c ≠ 0, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байна. a x 2 + c = 0. Тэгшитгэлийн нэг талаас гишүүнийг нөгөө тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэг тал руу нь сольж, тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш тоонд хуваах замаар энэ тэгшитгэлийг хувиргая.

шилжүүлэх втэгшитгэлийг өгдөг баруун гар талд a · x 2 = − c;
тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана а, бид x = - c a гэж төгсдөг.

Үүний дагуу бидний хувиргалт нь тэнцүү бөгөөд үр дүнд нь гарсан тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог. Үнэт зүйлс нь юу вэ аТэгээд вилэрхийллийн утга - c a хамаарна: энэ нь хасах тэмдэгтэй байж болно (жишээлбэл, хэрэв a = 1Тэгээд c = 2, дараа нь - c a = - 2 1 = - 2) эсвэл нэмэх тэмдэг (жишээлбэл, хэрэв a = − 2Тэгээд c = 6, дараа нь - c a = - 6 - 2 = 3); тэг биш учраас c ≠ 0. Нөхцөл байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье - c a< 0 и - c a > 0 .

тохиолдолд - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа х p 2 = - c a тэгш байдал үнэн байж болохгүй.

- c a > 0 үед бүх зүйл өөр байна: квадрат язгуурыг санаарай, тэгвэл x 2 = - c a тэгшитгэлийн үндэс нь - c a тоо байх нь тодорхой болно, учир нь - c a 2 = - c a. - - c a тоо нь мөн x 2 = - c a тэгшитгэлийн язгуур гэдгийг ойлгоход хэцүү биш: үнэхээр, - - c a 2 = - c a.

Тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй болно. Үүнийг бид зөрчилдөх аргыг ашиглан харуулж чадна. Эхлэхийн тулд дээр дурдсан язгууруудын тэмдэглэгээг тодорхойлъё x 1Тэгээд − x 1. x 2 = - c a тэгшитгэл мөн язгууртай гэж үзье x 2, энэ нь үндэснээс ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулах замаар бид мэднэ xҮүний үндэс нь бид тэгшитгэлийг шударга тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Учир нь x 1Тэгээд − x 1бид бичнэ: x 1 2 = - c a , мөн төлөө x 2- x 2 2 = - c a . Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд дээр үндэслэн бид нэг зөв тэгш байдлын нэр томъёог нөгөөгөөсөө хасах бөгөөд энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгнө. x 1 2 − x 2 2 = 0. Сүүлийн тэгшитгэлийг дахин бичихийн тулд бид тоонуудтай үйлдлийн шинж чанарыг ашигладаг (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Эдгээр тоонуудын ядаж нэг нь тэг байхад л хоёр тооны үржвэр тэг болно гэдгийг мэддэг. Дээрхээс харахад ийм байна x 1 − x 2 = 0ба/эсвэл x 1 + x 2 = 0, энэ нь адилхан x 2 = x 1ба/эсвэл x 2 = − x 1. Эхэндээ тэгшитгэлийн үндэс гэж тохиролцсон тул илт зөрчилдөөн гарч ирэв x 2-аас ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Тэгэхээр тэгшитгэл нь x = - c a ба x = - - c a -аас өөр үндэсгүй гэдгийг бид нотолсон.

Дээрх бүх аргументуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье.

Тодорхойлолт 6

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + c = 0 x 2 = - c a тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь:

- c a -д үндэс байхгүй болно< 0 ;
- c a > 0-ийн хувьд x = - c a ба x = - - c a гэсэн хоёр үндэстэй болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг өгье a x 2 + c = 0.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн 9 x 2 + 7 = 0.Үүний шийдлийг олох шаардлагатай байна.

Шийдэл

Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлье, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрээ авна 9 x 2 = − 7.
Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье 9 , бид x 2 = - 7 9-д хүрнэ. Баруун талд бид хасах тэмдэгтэй тоог харж байгаа бөгөөд энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм. Дараа нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй болно.

Хариулт:тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй.

Жишээ 4

Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − x 2 + 36 = 0.

Шийдэл

36-г баруун тийш шилжүүлье: − x 2 = − 36.
Хоёр хэсгийг хоёуланг нь хувааж үзье − 1 , бид авдаг x 2 = 36. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж болно x = 36 эсвэл x = - 36.
Үндэсийг гаргаж аваад эцсийн үр дүнг бичье: бүрэн бус квадрат тэгшитгэл − x 2 + 36 = 0хоёр үндэстэй x = 6эсвэл x = − 6.

Хариулт: x = 6эсвэл x = − 6.

a x 2 +b x=0 тэгшитгэлийн шийдэл

Гурав дахь төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе c = 0. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох a x 2 + b x = 0, бид хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглах болно. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хаалтанд оруулан нийтлэг хүчин зүйлийг хасъя. x. Энэ алхам нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг түүний эквивалент болгон хувиргах боломжийг олгоно x (a x + b) = 0. Мөн энэ тэгшитгэл нь эргээд тэгшитгэлийн багцтай тэнцэнэ x = 0Тэгээд a x + b = 0. Тэгшитгэл a x + b = 0шугаман ба түүний үндэс: x = − b a.

Тодорхойлолт 7

Ийнхүү бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x = 0хоёр үндэстэй болно x = 0Тэгээд x = − b a.

Материалыг жишээгээр бататгая.

Жишээ 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Бид үүнийг гаргана xхаалтны гадна бид x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна x = 0ба 2 3 x - 2 2 7 = 0. Одоо та үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Тэгшитгэлийн шийдлийг дараах байдлаар товч бичнэ үү.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 эсвэл 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 эсвэл x = 3 3 7

Хариулт: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд язгуур томъёо байдаг.

Тодорхойлолт 8

x = - b ± D 2 · a, энд D = b 2 − 4 a c– квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэгддэг.

x = - b ± D 2 · a гэж бичих нь үндсэндээ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a гэсэн үг юм.

Энэ томъёог хэрхэн гаргаж авсан, хэрхэн хэрэглэхийг ойлгох нь ашигтай байх болно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх даалгавартай тулгарцгаая a x 2 + b x + c = 0. Хэд хэдэн ижил төстэй хувиргалтыг хийцгээе:

тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваана а, тэгээс ялгаатай нь бид дараах квадрат тэгшитгэлийг олж авна: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Гарсан тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүтэн квадратыг сонгоцгооё.
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
Үүний дараа тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Одоо сүүлийн хоёр нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх боломжтой бөгөөд үүний дараа бид дараахь зүйлийг авна: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Эцэст нь бид сүүлчийн тэгш байдлын баруун талд бичигдсэн илэрхийллийг хувиргана.
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Ингээд бид анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлд хүрнэ. a x 2 + b x + c = 0.

Бид өмнөх догол мөрөнд ийм тэгшитгэлийн шийдлийг судалж үзсэн (бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх). Өмнө нь олж авсан туршлага нь x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжтой болгодог.

b 2 - 4 a c 4 a 2-тай< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 үед тэгшитгэл нь x + b 2 · a 2 = 0, тэгвэл x + b 2 · a = 0 болно.

Эндээс цорын ганц язгуур х = - b 2 · a тодорхой байна;

b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0-ийн хувьд дараах нь үнэн байх болно: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , энэ нь x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - b 2 - 4 -тэй ижил байна · a · c 4 · a 2, i.e. тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (тиймээс анхны тэгшитгэл) тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх нь b илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна гэж дүгнэж болно. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 баруун талд бичигдсэн. Мөн энэ илэрхийллийн тэмдэг нь тоологчийн тэмдгээр өгөгдөнө, (хүлээн авагч 4 a 2үргэлж эерэг байх болно), өөрөөр хэлбэл илэрхийллийн тэмдэг b 2 − 4 a c. Энэ илэрхийлэл b 2 − 4 a cнэрийг өгсөн - квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба D үсэг нь түүний тэмдэглэгээ гэж тодорхойлогддог. Энд та ялгаварлагчийн мөн чанарыг бичиж болно - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэстэй байх эсэх, хэрэв тийм бол язгуурын тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр байна.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэл рүү буцъя. Үүнийг ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Дахин дүгнэлтээ хийцгээе:

Тодорхойлолт 9

цагт Д< 0 тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй;
цагт D=0тэгшитгэл нь нэг язгууртай x = - b 2 · a ;
цагт D > 0тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Радикалуудын шинж чанарт үндэслэн эдгээр үндэсийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: x = - b 2 · a + D 2 · a эсвэл - b 2 · a - D 2 · a. Мөн бид модулиудыг нээж, бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачвал: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Тиймээс бидний үндэслэлийн үр дүн нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авсан явдал юм.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант Дтомъёогоор тооцоолно D = b 2 − 4 a c.

Эдгээр томьёо нь дискриминант тэгээс их байх үед жинхэнэ язгуурыг хоёуланг нь тодорхойлох боломжтой болгодог. Дискриминант нь тэг байх үед хоёр томьёог хэрэглэснээр квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэлтэй ижил язгуур гарна. Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг байгаа тохиолдолд квадрат язгуурын томъёог ашиглахыг оролдвол сөрөг тооны язгуурыг авах шаардлагатай тулгарах бөгөөд энэ нь биднийг бодит тооны хамрах хүрээнээс халах болно. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй байх болно, гэхдээ бидний олж авсан ижил язгуур томъёогоор тодорхойлогддог хос цогц коньюгат язгуур боломжтой.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Квадрат тэгшитгэлийг язгуур томьёо ашиглан шууд шийдэх боломжтой боловч ерөнхийдөө нийлмэл язгуурыг олох шаардлагатай үед үүнийг хийдэг.

Ихэнх тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хайх гэсэн үг юм. Дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд дискриминантыг тодорхойлж, сөрөг биш эсэхийг шалгах нь оновчтой юм (эсвэл бид тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэх болно), дараа нь тооцооллыг үргэлжлүүлнэ. язгуурын үнэ цэнэ.

Дээрх үндэслэл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг боловсруулах боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт 10

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх a x 2 + b x + c = 0, шаардлагатай:

томъёоны дагуу D = b 2 − 4 a cялгах утгыг олох;
дээр D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
D = 0-ийн хувьд x = - b 2 · a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг ол;
D > 0 бол квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг x = - b ± D 2 · a томъёогоор тодорхойлно.

Дискриминант нь тэг байх үед та x = - b ± D 2 · a томъёог ашиглаж болно, энэ нь x = - b 2 · a томъёотой ижил үр дүнг өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Ялгаварлагчийн өөр өөр утгуудын жишээнүүдийн шийдлийг өгье.

Жишээ 6

Бид тэгшитгэлийн язгуурыг олох хэрэгтэй x 2 + 2 x − 6 = 0.

Шийдэл

Квадрат тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүдийг бичье: a = 1, b = 2 ба c = − 6. Дараа нь бид алгоритмын дагуу үргэлжлүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. Дискриминантыг тооцоолж эхэлцгээе, үүний төлөө бид a, b коэффициентүүдийг орлуулах болно. Тэгээд вялгах томъёонд: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

Тэгэхээр бид D > 0 гарна, энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно гэсэн үг юм.
Тэдгээрийг олохын тулд бид x = - b ± D 2 · a язгуур томъёог ашигладаг бөгөөд харгалзах утгуудыг орлуулснаар бид дараахийг авна: x = - 2 ± 28 2 · 1. Үүссэн илэрхийлэлийг язгуур тэмдэгээс хүчин зүйлээ хасаад дараа нь бутархайг багасгаж хялбаршуулъя.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 эсвэл x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 эсвэл x = - 1 - 7

Хариулт: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Жишээ 7

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Шийдэл

Ялгаварлагчийг тодорхойлъё: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Дискриминантийн энэ утгаар анхны тэгшитгэл нь x = - b 2 · a томъёогоор тодорхойлогддог зөвхөн нэг язгууртай болно.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Хариулт: x = 3.5.

Жишээ 8

Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Шийдэл

Энэ тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүд нь: a = 5, b = 6, c = 2 байна. Бид ялгагчийг олохын тулд эдгээр утгуудыг ашигладаг: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. Тооцоолсон дискриминант нь сөрөг тул анхны квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно.

Хэрэв даалгавар нь нийлмэл үндэсийг зааж өгөх юм бол бид язгуур томъёог ашиглан цогцолбор тоогоор үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 эсвэл x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i эсвэл x = - 3 5 - 1 5 · i.

Хариулт:жинхэнэ үндэс байхгүй; нийлмэл үндэс нь дараах байдалтай байна: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт нарийн төвөгтэй үндэс хайх стандарт шаардлага байхгүй тул хэрэв шийдлийн явцад ялгаварлагч сөрөг гэж тодорхойлогдвол жинхэнэ үндэс байхгүй гэсэн хариултыг шууд бичнэ.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

Үндсэн томьёо x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) нь илүү авсаархан өөр томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжийг олгодог. эсвэл 2 · n хэлбэрийн коэффициенттэй, жишээлбэл, 2 3 эсвэл 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Энэ томьёо хэрхэн гарсныг харуулъя.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох даалгавартай тулгаръя. Бид алгоритмын дагуу ажиллана: бид D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) ялгагчийг тодорхойлж, үндсэн томъёог ашиглана:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c илэрхийллийг D 1 гэж тэмдэглэе (заримдаа үүнийг D " гэж тэмдэглэдэг). Дараа нь 2 · n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо дараах хэлбэртэй болно.

x = - n ± D 1 a, энд D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, эсвэл D 1 = D 4 гэдгийг харахад хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь ялгаварлагчийн дөрөвний нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, D 1 тэмдэг нь D тэмдэгтэй ижил бөгөөд энэ нь D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэх үзүүлэлт болж чадна гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт 11

Тиймээс 2 n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

олох D 1 = n 2 − a · c ;
D 1 дээр< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 = 0 үед x = - n a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тодорхойлно;
D 1 > 0-ийн хувьд x = - n ± D 1 a томъёог ашиглан хоёр бодит язгуурыг тодорхойлно.

Жишээ 9

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2 · (− 3) гэж илэрхийлж болно. Дараа нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, a = 5, n = - 3 ба c = - 32 гэж дахин бичнэ.

Дириминантийн дөрөв дэх хэсгийг тооцоолъё: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Үр дүнгийн утга нь эерэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай гэсэн үг юм. Харгалзах язгуур томъёог ашиглан тэдгээрийг тодорхойлно.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 эсвэл x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 эсвэл x = - 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ердийн томъёог ашиглан тооцоо хийх боломжтой боловч энэ тохиолдолд шийдэл нь илүү төвөгтэй байх болно.

Хариулт: x = 3 1 5 эсвэл x = - 2.

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа анхны тэгшитгэлийн хэлбэрийг оновчтой болгох боломжтой бөгөөд энэ нь үндсийг тооцоолох үйл явцыг хялбаршуулах болно.

Жишээ нь: 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 квадрат тэгшитгэлийг 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-ээс илүү хялбар шийдэх нь ойлгомжтой.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь түүний хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, дээр бид хоёр талыг 100-д хуваах замаар олж авсан 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 тэгшитгэлийн хялбаршуулсан дүрслэлийг үзүүлэв.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь хоёрдогч анхны тоо биш үед ийм хувиргалт хийх боломжтой. Дараа нь бид ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчаар хуваадаг.

Жишээ болгон бид 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 квадрат тэгшитгэлийг ашигладаг. Түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудын GCD-ийг тодорхойлъё: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хувааж, 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг олъё.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлснээр та ихэвчлэн бутархай коэффициентээс салдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь түүний коэффициентүүдийн хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлнэ. Жишээ нь: 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэсэг бүрийг LCM (6, 3, 1) = 6-аар үржүүлбэл илүү хялбар х 2 + 4 x хэлбэрээр бичнэ. − 18 = 0.

Эцэст нь бид квадрат тэгшитгэлийн эхний коэффициент дэх хасахаас бараг үргэлж салдаг гэдгийг тэмдэглэж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийн тэмдгүүдийг өөрчлөх замаар хоёр талыг - 1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) үр дүнд хүрдэг. Жишээлбэл, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 квадрат тэгшитгэлээс та түүний хялбаршуулсан хувилбар 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 руу очиж болно.

Үндэс ба коэффициент хоорондын хамаарал

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо x = - b ± D 2 · a нь тэгшитгэлийн язгуурыг тоон коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Энэ томьёо дээр үндэслэн бид язгуур болон коэффициентийн хоорондох бусад хамаарлыг тодорхойлох боломжтой.

Хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой нь Вьета теоремын томъёо юм.

x 1 + x 2 = - b a ба x 2 = c a.

Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициент бөгөөд язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хараад түүний язгууруудын нийлбэр 7 3, язгуурын үржвэр нь 22 3 болохыг шууд тодорхойлох боломжтой.

Та мөн квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондох өөр хэд хэдэн холболтыг олж болно. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр илэрхийлж болно.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээ нь. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо. Бодит, олон, төвөгтэй язгуурын тохиолдлыг авч үздэг. Квадрат гурвалжны коэффициент. Геометрийн тайлбар. Үндэс ба факторинг тодорхойлох жишээ.

Үндсэн томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье:
(1) .
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс(1) томъёогоор тодорхойлно:
; .
Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэгтгэж болно.
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол хоёр дахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийг хүчин зүйлийн үржвэр (фактор) хэлбэрээр илэрхийлж болно.
.

Дараа нь бид бодит тоо гэж таамаглаж байна.
Ингээд авч үзье квадрат тэгшитгэлийн дискриминант:
.
Хэрэв дискриминант эерэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр өөр бодит язгууртай байна.
; .
Дараа нь квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв дискриминант нь тэгтэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр олон (тэнцүү) бодит язгууртай байна.
.
Факторжуулалт:
.
Хэрэв дискриминант сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр нийлмэл нийлмэл үндэстэй байна.
;
.
Энд төсөөллийн нэгж байна, ;
ба язгуурын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь:
; .
Дараа нь

.

График тайлбар

Хэрэв та функцийг зурвал
,
Энэ нь парабол бол графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
.
Үед график нь х тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр огтолж байна.
үед график нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.
үед график х тэнхлэгийг огтолдоггүй.

Ийм графикуудын жишээг доор харуулав.

Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой ашигтай томьёо

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

Бид хувиргалтыг хийж (f.1) ба (f.3) томъёог ашигладаг:

,
Хаана
; .

Тиймээс бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийн томъёог дараах хэлбэрээр авсан.
.
Энэ нь тэгшитгэл байгааг харуулж байна

-д тоглосон
Мөн .
Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм
.

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох жишээ

Жишээ 1

(1.1) .

Шийдэл

.
Бидний (1.1) тэгшитгэлтэй харьцуулбал коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй байна.
;
;
.

Эндээс бид квадрат гурвалжны үржвэрийг олж авна.

.

y = функцийн график 2 x 2 + 7 x + 3х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь абсцисса тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр дайран өнгөрдөг.
Мөн .
Эдгээр цэгүүд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (1.1).

Хариулт

;
;
.

Жишээ 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(2.1) .

Шийдэл

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
.
Анхны тэгшитгэл (2.1)-тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэл нь хоёр олон (тэнцүү) үндэстэй байна.
;
.

Дараа нь гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

y = x функцийн график 2 - 4 x + 4нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгт (тэнхлэг) нэг цэг дээр хүрнэ:
.
Энэ цэг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (2.1). Энэ үндсийг хоёр удаа хүчин зүйлээр ялгасан тул:
,
тэгвэл ийм язгуурыг ихэвчлэн олон тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тэд хоёр ижил үндэстэй гэдэгт итгэдэг.
.

Хариулт

;
.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(3.1) .

Шийдэл

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
(1) .
Анхны тэгшитгэлийг (3.1) дахин бичье:
.
(1) -тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Ялгаварлагч нь сөрөг, .

Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.
;
;
.

Та нарийн төвөгтэй үндэс олж болно:

.

Дараа нь

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Функцийн график нь х тэнхлэгийг огтолдоггүй. Жинхэнэ үндэс байхгүй.

Хариулт

Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй. Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.
;
;
.