Параллелограммын дунд шугамын уртын томъёо. Гурвалжин, дөрвөлжин, параллелограмм

дунд шугамПланиметрийн тоонууд - өгөгдсөн зургийн хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент. Энэхүү үзэл баримтлалыг гурвалжин, дөрвөлжин, трапецын дүрслэлд ашигладаг.

Гурвалжны дунд шугам

Үл хөдлөх хөрөнгө

• гурвалжны дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.
• дунд шугам нь 1/2 коэффициенттэй анхныхтай ижил төстэй, ижил төстэй гурвалжинг таслав; түүний талбай нь анхны гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна.
• Гурван дунд шугам нь анхны гурвалжинг дөрвөн тэнцүү гурвалжинд хуваана. Эдгээр гурвалжнуудын төв хэсгийг нэмэлт буюу дунд гурвалжин гэж нэрлэдэг.

Шинж тэмдэг

• хэрчм нь гурвалжны аль нэг талтай параллель бөгөөд гурвалжны нэг талын дунд цэгийг нөгөө талд байрлах цэгтэй холбовол энэ нь дунд шугам болно.

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам- дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Эхний мөр нь эсрэг талын 2 талыг холбодог. Хоёр дахь нь өөр 2 эсрэг талыг холбодог. Гурав дахь нь хоёр диагональ төвүүдийг холбодог (бүх дөрвөн өнцөгт диагональууд огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваагддаггүй).

• Хэрэв гүдгэр дөрвөлжингийн дунд шугам нь дөрвөлжингийн диагональуудтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол диагональ нь тэнцүү байна.
• Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал үүнтэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд.
• Дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөн өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньон параллелограмм гэж нэрлэдэг;
• Сүүлчийн цэг нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: Гүдгэр дөрвөн өнцөгт та дөрөв зурж болно хоёр дахь төрлийн дунд шугамууд. Хоёр дахь төрлийн дунд шугамууд- диагональуудтай параллель зэргэлдээх талуудын дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх дөрвөн өнцөгт доторх дөрвөн сегмент. Дөрөв хоёр дахь төрлийн дунд шугамуудгүдгэр дөрвөн өнцөгтийг дөрвөн гурвалжин, нэг төв дөрвөн өнцөгт болгон хайчилж ав. Энэхүү төв дөрвөн өнцөгт нь Вариньон параллелограмм юм.
• Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамуудын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дундын цэгүүдийг холбосон сегментийг хоёр хуваана. Нэмж дурдахад энэ нь дөрвөлжингийн оройн төв юм.
• Дурын дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын вектор нь суурийн векторуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапецын дунд шугам

Трапецын дунд шугам

Трапецын дунд шугам- энэ трапецын хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент. Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг трапецын хоёр дахь дунд шугам гэж нэрлэдэг.

Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно. E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Хаана МЭТэгээд МЭӨ- трапецын суурь.

Гурвалжны дунд шугам

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Гурвалжны дунд шугам нь гурав дахь талтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.
• Гурван дунд шугамыг зурахад 1/2 коэффициенттэй анхныхтай төстэй (бүр гомотетик) 4 тэнцүү гурвалжин үүснэ.
• дунд шугам нь үүнтэй төстэй гурвалжинг таслах бөгөөд түүний талбай нь анхны гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна.

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам- дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Эхний мөр нь эсрэг талын 2 талыг холбодог. Хоёр дахь нь өөр 2 эсрэг талыг холбодог. Гурав дахь нь хоёр диагональ төвүүдийг холбодог (бүх дөрвөн өнцөгт огтлолцдог төв байдаггүй)

• Хэрэв гүдгэр дөрвөлжингийн дунд шугам нь дөрвөлжингийн диагональуудтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол диагональ нь тэнцүү байна.
• Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал үүнтэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд.
• Дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөн өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньон параллелограмм гэж нэрлэдэг;
• Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамуудын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дундын цэгүүдийг холбосон сегментийг хоёр хуваана. Үүнээс гадна энэ нь дөрвөлжингийн оройн төв юм.
• Дурын дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын вектор нь суурийн векторуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапецын дунд шугам

Трапецын дунд шугам- энэ трапецын хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент. Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг трапецын хоёр дахь дунд шугам гэж нэрлэдэг.

Үл хөдлөх хөрөнгө

• дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

бас үзнэ үү

Тэмдэглэл

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдэд "Дунд шугам" гэж юу болохыг хараарай:

ДУНД ШУГАМ- (1) трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон трапецын сегмент. Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү; (2) гурвалжны, энэ гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим: энэ тохиолдолд гурав дахь тал... ... Том Политехникийн нэвтэрхий толь бичиг

Гурвалжин (трапец) нь гурвалжны хоёр талын (трапецын талууд) дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмийг хэлнэ... Том нэвтэрхий толь бичиг

дунд шугам- 24 төвийн шугам: Мөрний зузаан нь ховилын өргөнтэй тэнцүү байхаар утаснуудын профайлаар дамжин өнгөрөх төсөөллийн шугам. Эх сурвалж… Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах ном

Гурвалжин (трапец), гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент (трапецын талууд). * * * ДУНД ШУГАМ Гурвалжны (трапецын) дунд шугам, гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим (трапецын хажуу талууд) ... нэвтэрхий толь бичиг

дунд шугам- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 мм linija, dalijanti teniso paviršių išilgai pusiau болсон. attikmenys: англи хэл. төв шугам; midtrack line vok. Миттеллини, Орос. дунд шугам…Sporto terminų žodynas

дунд шугам- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. attikmenys: англи хэл. төв шугам; midtrack line vok. Миттеллини, Орос. дунд шугам…Sporto terminų žodynas

дунд шугам- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. attikmenys: англи хэл. төв шугам; midtrack line vok. Миттеллини, Орос. дунд шугам…Sporto terminų žodynas

1) С.Л. гурвалжин, гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент (гурав дахь талыг суурь гэж нэрлэдэг). С.л. гурвалжны суурь нь параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү; гурвалжны c-г хуваадаг хэсгүүдийн талбай. л.,... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон гурвалжны сегмент. Гурвалжны гурав дахь талыг гэж нэрлэдэг гурвалжны суурь. С.л. гурвалжин нь суурьтай параллель бөгөөд уртын хагастай тэнцүү байна. Аль ч гурвалжинд S. l. тасалдаг ...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Гурвалжин (трапецын тал), гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент (трапецын талууд) ... Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

Гомелийн сургуулийн сурагчдын математик, түүний хэрэглээ, мэдээллийн технологийн шинжлэх ухаан, практикийн бага хурал "Хайлт"

Боловсрол, судалгааны ажил

Геометрийн хэлбэрийн төв шугамууд

Морозова Елизавета

Гомель 2010 он

Оршил

1. Дунд шугамын шинж чанарууд

2. Гурвалжин, дөрвөлжин, параллелограмм

3. Дөрвөн өнцөгт, тетраэдр. Массын төвүүд

4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, шоо

Дүгнэлт

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Өргөдөл

Оршил

Геометр бол ерөнхий соёлын салшгүй хэсэг бөгөөд геометрийн аргууд нь ертөнцийг танин мэдэх хэрэгсэл болж, хүрээлэн буй орон зайн талаархи шинжлэх ухааны санаа бодлыг бий болгох, орчлон ертөнцийн зохицол, төгс төгөлдөр байдлыг нээхэд хувь нэмэр оруулдаг. Геометр нь гурвалжингаас эхэлдэг. Одоогоос хоёр мянган жилийн турш гурвалжин нь геометрийн бэлгэдэл байсаар ирсэн боловч энэ нь бэлгэдэл биш юм. Гурвалжин бол геометрийн атом юм. Гурвалжин нь шавхагдашгүй юм - түүний шинэ шинж чанарууд байнга нээгддэг. Түүний бүх мэдэгдэж буй шинж чанаруудын талаар ярихын тулд танд Их нэвтэрхий толь бичигтэй харьцуулах хэмжээний эзлэхүүн хэрэгтэй. Бид геометрийн хэлбэрийн дунд шугам, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярихыг хүсч байна.

Бидний ажил геометрийн хичээлийг бүхэлд нь хамарсан теоремуудын гинжийг мөрддөг. Энэ нь гурвалжны дунд шугамуудын тухай теоремоос эхэлж, тетраэдр болон бусад олон талтуудын сонирхолтой шинж чанаруудад хүргэдэг.

Зургийн дунд шугам нь тухайн зургийн хоёр талын дундын цэгүүдийг холбосон хэсэг юм.

1. Дунд шугамын шинж чанарууд

Гурвалжны шинж чанарууд:

Гурван дунд шугамыг зурахад 1/2 коэффициенттэй анхныхтай төстэй 4 тэнцүү гурвалжин үүснэ.

дунд шугам нь гурвалжны суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү;

дунд шугам нь үүнтэй төстэй гурвалжинг таслах бөгөөд түүний талбай нь түүний талбайн дөрөвний нэг юм.

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд:

Хэрэв гүдгэр дөрвөлжингийн дунд шугам нь дөрвөлжингийн диагональуудтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол диагональ нь тэнцүү байна.

дөрвөлжингийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал үүнтэй тэнцүү байх ба зөвхөн энэ тохиолдолд.

дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөн өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньоны параллелограмм гэж нэрлэдэг;

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамуудын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дундын цэгүүдийг холбосон сегментийг хоёр хуваана. Үүнээс гадна энэ нь дөрвөлжингийн оройн төв юм.

Трапецын шинж чанарууд:

дунд шугам нь трапецын суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү;

Хоёр талт трапецын талуудын дунд цэгүүд нь ромбын оройнууд юм.

2. Гурвалжин, дөрвөлжин, параллелограмм

Аливаа KLM гурвалжинд AKM, BLK, CLM гэсэн гурван тэнцүү гурвалжинг хавсаргаж болох бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь KLM гурвалжинтай хамт параллелограмм үүсгэдэг (Зураг 1). Энэ тохиолдолд AK = ML = KB, мөн K орой нь гурвалжны гурван өөр өнцөгтэй тэнцүү гурван өнцөгтэй зэргэлдээ байх ба нийт 180°, тиймээс K нь AB хэрчмийн дунд; Үүний нэгэн адил L нь BC сегментийн дунд цэг, M нь CA сегментийн дунд цэг юм.

Теорем 1. Хэрэв бид аль ч гурвалжны талуудын дунд цэгүүдийг холбовол бид дөрвөн тэнцүү гурвалжинг олж авах бөгөөд дунд нь нөгөө гурвалжинг тус бүртэй параллелограмм үүсгэдэг.

Энэхүү томъёолол нь гурвалжны гурван дунд шугамыг нэг дор багтаасан болно.

Теорем 2. Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь гурвалжны гурав дахь талтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна (1-р зургийг үз).

Энэ теорем ба түүний эсрэгээр гурвалжны суурьтай параллель шулуун шугам нь нөгөө талыг нь хагасаар хуваадаг гурвалжны нэг талын дунд хэсэг нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.

Гурвалжны дунд шугамуудын теоремоос трапецын дунд шугамын шинж чанар (Зураг 2), түүнчлэн дурын дөрвөлжингийн талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментүүдийн теоремуудыг дагаж мөрддөг.

Теорем 3. Дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Энэ параллелограммын талууд нь дөрвөлжингийн диагональуудтай параллель бөгөөд тэдгээрийн урт нь диагональуудын уртын хагастай тэнцүү байна.

Үнэн хэрэгтээ хэрэв K ба L нь AB ба ВС талуудын дунд цэг (Зураг 3) бол KL нь ABC гурвалжны дунд шугам тул KL сегмент нь АС диагональтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна; хэрэв M ба N нь CD ба AD талуудын дунд цэг бол MN хэрчим нь мөн АС-тай параллель бөгөөд AC/2-тэй тэнцүү байна. Тиймээс KL ба MN хэрчмүүд нь хоорондоо параллель ба тэнцүү бөгөөд энэ нь KLMN дөрвөлжин параллелограмм гэсэн үг юм.

Теорем 3-ын үр дүнд бид нэгэн сонирхолтой баримтыг олж авлаа (4-р хэсэг).

Теорем 4. Аливаа дөрвөн өнцөгтийн хувьд эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментүүд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагддаг.

Эдгээр сегментүүдэд та параллелограммын диагональуудыг харж болно (3-р зургийг үз), параллелограммд диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана (энэ цэг нь параллелограммын тэгш хэмийн төв юм).

3 ба 4-р теоремууд болон бидний үндэслэл нь гүдгэр бус дөрвөлжин болон өөрөө огтлолцдог дөрвөлжин битүү тасархай шугамын хувьд үнэн хэвээр байгааг бид харж байна (Зураг 4; сүүлчийн тохиолдолд KLMN параллелограмм нь "муухай" болж магадгүй юм. - K, L, M, N цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг).

Гурвалжны медиануудын үндсэн теоремыг 3 ба 4-р теоремуудаас хэрхэн гаргаж болохыг харцгаая.

Теорем5 . Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог ба түүгээр 2:1 харьцаатай хуваагдана (медианыг зурсан оройноос нь тооцно).

ABC гурвалжны AL ба SC хоёр медианыг зуръя. Тэдний огтлолцох цэгийг O гэж үзье. Гүдгэр бус дөрвөлжин ABCO-ийн талуудын дунд цэгүүд нь K, L, M ба N цэгүүд (Зураг 5) - параллелограммын оройнууд ба түүний диагональуудын KM ба LN огтлолцох цэг нь бидний тохиргооны хувьд байх болно. медиануудын огтлолцох цэг O. Тэгэхээр, AN = NO = OL ба CM = MO = OK, өөрөөр хэлбэл О цэг нь AL ба CK медиан бүрийг 2: 1 харьцаагаар хуваана.

Дундаж SC-ийн оронд бид В оройноос авсан медианыг авч үзээд AL медианыг 2:1 харьцаагаар хуваадаг, өөрөөр хэлбэл, ижил О цэгээр дамждаг эсэхийг шалгаж болно.

3. Дөрвөн өнцөгт ба тетраэдр. Массын төвүүд

3 ба 4-р теоремууд нь A, B, C, D дөрвөн орой нь нэг хавтгайд оршдоггүй AB, BC, CD, DA дөрвөн холбоосоос бүрдэх аливаа орон зайн битүү тасархай шугамын хувьд үнэн юм.

Ийм орон зайн дөрвөн өнцөгтийг цаасан дээрээс ABCD дөрвөн өнцөгтийг хайчилж аваад тодорхой өнцгөөр диагналаар гулзайлгах замаар олж авч болно (Зураг 6, а). ABC ба ADC гурвалжны KL ба MN дунд шугамууд нь АС сегменттэй параллель байх ба AC/2-той тэнцүү байх нь тодорхой байна. (Энд бид параллель шугамын үндсэн шинж чанар орон зайд үнэн хэвээр байна гэсэн баримтыг ашиглаж байна: хэрэв KL ба MN хоёр шулуун нь AC гурав дахь шулуунтай параллель байвал KL ба MN нь нэг хавтгайд хэвтэж, бие биетэйгээ параллель байна.)

Тиймээс K, L, M, N цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм; Тиймээс KM ба LN сегментүүд огтлолцож, огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана. Дөрвөн өнцөгтийн оронд тетраэдр - гурвалжин ABCD пирамидуудын тухай ярьж болно: түүний AB, AC, CD, DA ирмэгүүдийн K, L, M, N дунд цэгүүд нь үргэлж нэг хавтгайд байрладаг. Энэ хавтгайн дагуу тетраэдрийг огтолж (Зураг 6, б) бид KLMN параллелограммыг олж авах бөгөөд түүний хоёр тал нь АС ирмэгтэй параллель, тэнцүү байна.

AC/2, нөгөө хоёр нь BD ирмэгтэй параллель бөгөөд BD/2-тэй тэнцүү.

Үүнтэй ижил параллелограммыг - тетраэдрийн "дунд хэсэг" -ийг бусад хос эсрэг талын ирмэгүүдэд зориулж байгуулж болно. Эдгээр гурван параллелограммын хоёр нь нийтлэг диагональтай байдаг. Энэ тохиолдолд диагональуудын дунд цэгүүд давхцдаг. Тиймээс бид сонирхолтой үр дүнг олж авах болно:

Теорем 6. Тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон гурван сегмент нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд түүгээрээ хагасаар хуваагддаг (Зураг 7).

Энэ болон дээр дурдсан бусад баримтуудыг массын төвийн тухай ойлголтыг ашиглан механикийн хэлээр тайлбарласан болно. 5-р теорем нь гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн нэг болох медиануудын огтлолцлын цэгийн тухай өгүүлдэг; Теорем 6-д - тетраэдрийн дөрвөн оройн гайхалтай цэгийн тухай. Эдгээр цэгүүд нь гурвалжин ба тетраэдрийн массын төвүүд юм. Эхлээд медиануудын 5-р теорем руу буцъя.

Гурвалжны орой дээр гурван ижил жинг байрлуулъя (Зураг 8).

Тус бүрийн массыг нэг болгон авч үзье. Энэ ачааллын системийн массын төвийг олъё.

Эхлээд А ба В орой дээр байрлах хоёр ачааллыг авч үзье: тэдгээрийн массын төв нь AB сегментийн дунд байрладаг тул эдгээр жинг AB сегментийн K дунд хэсэгт байрлуулсан 2 масстай нэг ачаагаар сольж болно. Зураг 8, a). Одоо та хоёр ачааллын системийн массын төвийг олох хэрэгтэй: нэг нь С цэг дээр 1 масстай, хоёр дахь нь К цэг дээр 2 масстай. Хөшүүргийн дүрмийн дагуу ийм системийн массын төв нь дээр байрладаг. O цэг, SC сегментийг 2: 1 харьцаагаар хуваана (илүү их масстай K цэгийн ачаалалд ойртох - Зураг 8, b).

Бид эхлээд В ба С цэгүүдийн ачааллыг нэгтгэж, дараа нь BC сегментийн L дунд хэсэгт үүссэн 2 массын ачааллыг А цэгийн ачаалалтай нэгтгэж болно. Эсвэл эхлээд А ба С, а ачааллыг нэгтгэж болно. Дараа нь B нэмнэ. Аль ч тохиолдолд бид ижил үр дүнд хүрэх ёстой. Тиймээс массын төв нь О цэг дээр байрлаж, оройноос нь тооцвол медиан тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмүүд бие биенээ хагасаар хуваадаг (параллелограммын диагональ үүрэг гүйцэтгэдэг) гэсэн теорем 4-ийг ижил төстэй бодолтойгоор тайлбарлаж болно: дөрвөлжингийн орой дээр ижил жинг байрлуулж, нэгтгэхэд хангалттай. тэдгээрийг хоёр аргаар хосоор нь (Зураг 9).

Мэдээжийн хэрэг, хавтгай эсвэл сансар огторгуйд (тетраэдрийн орой дээр) байрладаг дөрвөн нэгж жинг гурван аргаар хоёр хос болгон хувааж болно; массын төв нь эдгээр хос цэгүүдийг холбосон сегментүүдийн дунд цэгүүдийн дунд байрладаг (Зураг 10) - теоремын тайлбар 6. (Хавтгай дөрвөлжингийн хувьд үр дүн нь дараах байдлаар харагдана: хоёр сегментийн дунд цэгүүдийг холбосон хоёр сегмент. эсрэг талууд, мөн диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь нэг цэг дээр огтлолцдог Өө ба хагасыг нь хуваана).

Дөрвөн ижил ачааллын массын төв болох О цэгээр дамжуулан дөрвөн сегмент дамждаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг бусад гурвын массын төвтэй холбодог. Эдгээр дөрвөн сегментийг 3:1 харьцаагаар О цэгээр хуваана. Энэ баримтыг тайлбарлахын тулд эхлээд гурван жингийн массын төвийг олж, дараа нь дөрөв дэх жинг хавсаргах хэрэгтэй.

4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, шоо

Ажлын эхэнд бид гурвалжинг дунд шугамаар дөрвөн ижил гурвалжин болгон хуваасан (1-р зургийг үз). Дурын гурвалжин пирамид (тетраэдр) -ийн хувьд ижил бүтэцтэй байхыг хичээцгээе. Дараах байдлаар тетраэдрийг хэсэг болгон хайчилж авъя: орой бүрээс гарч буй гурван ирмэгийн дундуур бид хавтгай зүслэгийг зурна (Зураг 11, а). Дараа нь дөрвөн ижил жижиг тетраэдрийг тетраэдрээс таслах болно. Гурвалжинтай зүйрлэвэл голд нь өөр ижил төстэй тетраэдр бий болно гэж бодох болно. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: дөрвөн жижиг нэгийг нь салгасны дараа том тетраэдрээс үлдсэн полиэдр нь зургаан орой, найман нүүртэй байх болно - үүнийг октаэдр гэж нэрлэдэг (Зураг 11.6). Үүнийг шалгах тохиромжтой арга бол тетраэдр хэлбэртэй бяслаг ашиглах явдал юм. Үүссэн октаэдр нь тэгш хэмийн төвтэй, учир нь тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүд нь нийтлэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд түүгээр хуваагддаг.

Нэг сонирхолтой барилга нь дунд шугамаар дөрвөн гурвалжинд хуваагдсан гурвалжинтай холбоотой: бид энэ дүрсийг тодорхой тетраэдрийн хөгжил гэж үзэж болно.

Цааснаас огтолсон хурц гурвалжинг төсөөлье. Үүнийг дунд шугамын дагуу нугалж, оройнууд нь нэг цэг дээр нийлж, цаасны ирмэгийг нааж, бүх дөрвөн нүүр нь тэнцүү гурвалжин хэлбэртэй тетраэдрийг олж авна; түүний эсрэг талын ирмэгүүд тэнцүү байна (Зураг 12). Ийм тетраэдрийг хагас тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ тетраэдрийн гурван "дунд хэсэг" бүр - талууд нь эсрэг талын ирмэгүүдтэй параллель, хагастай тэнцүү параллелограммууд нь ромб байх болно.

Тиймээс эдгээр параллелограммын диагональууд - эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон гурван сегмент нь бие биентэйгээ перпендикуляр байна. Хагас жигд тетраэдрийн олон шинж чанаруудын дотроос бид дараахь зүйлийг тэмдэглэж байна: түүний орой бүр дээр нийлж буй өнцгийн нийлбэр нь 180 ° -тай тэнцүү байна (эдгээр өнцөг нь анхны гурвалжны өнцөгтэй тэнцүү байна). Ялангуяа тэгш талт гурвалжингаар эхэлбэл ердийн тетраэдртэй болно

Ажлын эхэнд бид гурвалжин бүрийг том гурвалжны дунд шугамаас үүссэн гурвалжин гэж үзэж болохыг олж харсан. Ийм бүтээн байгуулалтад орон зайд шууд аналоги байхгүй. Гэхдээ ямар ч тетраэдрийг параллелепипедийн "цөм" гэж үзэж болох бөгөөд тетраэдрийн бүх зургаан ирмэг нь нүүрний диагональ болж үйлчилдэг. Үүнийг хийхийн тулд сансарт дараах бүтээн байгуулалтыг хийх хэрэгтэй. Тетраэдрийн ирмэг бүрээр бид эсрэг талын ирмэгтэй зэрэгцээ хавтгайг зурдаг. Тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгээр зурсан онгоцууд хоорондоо параллель байх болно (тэдгээр нь "дунд хэсгийн" хавтгайтай параллель байна - тетраэдрийн бусад дөрвөн ирмэгийн дунд оройтой параллелограмм). Энэ нь гурван хос зэрэгцээ хавтгайг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол нь хүссэн параллелепипедийг үүсгэдэг (хоёр зэрэгцээ хавтгай нь параллель шулуун шугамын дагуу гуравны нэгээр огтлолцдог). Тетраэдрийн орой нь баригдсан параллелепипедийн дөрвөн зэргэлдээ биш орой болж үйлчилдэг (Зураг 13). Эсрэгээр, ямар ч параллелепипед дээр та зэргэлдээгүй дөрвөн оройг сонгож, гурвыг нь дайран өнгөрдөг онгоцоор булангийн тетраэдрүүдийг таслах боломжтой. Үүний дараа "цөм" үлдэх болно - тетраэдр, ирмэг нь параллелепипедийн нүүрний диагональ юм.

Хэрэв анхны тетраэдр нь хагас тогтмол байвал баригдсан параллелепипедийн нүүр бүр нь ижил диагональ бүхий параллелограмм болно, өөрөөр хэлбэл. тэгш өнцөгт.

Үүний эсрэгээр бол тэгш өнцөгт параллелепипедийн "цөм" нь хагас жигд тетраэдр юм. Гурван ромбус - ийм тетраэдрийн дунд хэсэг нь харилцан перпендикуляр гурван хавтгайд байрладаг. Тэд булангуудыг таслах замаар ийм тетраэдрээс олж авсан октаэдрийн тэгш хэмийн хавтгай болж үйлчилдэг.

Энгийн тетраэдрийн хувьд түүний эргэн тойронд дүрслэгдсэн параллелепипед нь шоо байх болно (Зураг 14), энэ шоогийн нүүрний төвүүд буюу тетраэдрийн ирмэгүүдийн дунд хэсэг нь ердийн октаэдрын оройнууд байх болно. Тэдний нүүр нь ердийн гурвалжин юм. (Октаэдрийн тэгш хэмийн гурван хавтгай нь тетраэдрийг квадрат хэлбэрээр огтолж байна.)

Тиймээс, 14-р зурагт бид нэн даруй Платоникийн таван хатуу биетийн гурвыг (ердийн олон талт) харж байна - шоо, тетраэдр, октаэдр.

Дүгнэлт

Хийсэн ажилд үндэслэн дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

Дунд шугамууд нь геометрийн хэлбэрийн янз бүрийн ашигтай шинж чанартай байдаг.

Нэг теоремыг дүрсийн төв шугамыг ашиглан баталж, мөн механикийн хэлээр тайлбарлаж болно - массын төвийн тухай ойлголтыг ашиглан.

Дунд шугамыг ашиглан янз бүрийн планиметр (параллелограмм, ромб, дөрвөлжин) ба стереометрийн дүрс (шоо, октаэдр, тетраэдр гэх мэт) барьж болно.

Дунд шугамын шинж чанарууд нь аливаа түвшний асуудлыг оновчтой шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Ашигласан эх сурвалж, уран зохиолын жагсаалт

ЗХУ-ын Шинжлэх Ухааны Академи, Утга зохиолын Шинжлэх Ухааны Академийн физик, математикийн шинжлэх ухааны түгээмэл сэтгүүл. “Квант No6 1989 х. 46.

С.Аксимова. Хөгжилтэй математик. – Санкт-Петербург, “Тригон”, 1997 х. 526.

V.V. Шлыков, Л.Е. Зезетко. Геометрийн практик хичээл, 10-р анги: багш нарт зориулсан гарын авлага - Mn.: TetraSystems, 2004 х. 68.76, 78.

Өргөдөл

Трапецын дунд шугам яагаад диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайрч болохгүй гэж?

BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - параллелепипед. E ба F цэгүүд нь нүүрний диагональуудын огтлолцох цэгүүд юм. AA1B 1 B ба BB 1 C 1 C тус тус, K ба T цэгүүд нь AD ба DC хавирганы дунд цэгүүд юм. EF болон CT шугамууд параллель байгаа нь үнэн үү?

Гурвалжин призмийн ABCA 1 B 1 C 1 цэгүүд нь AB ба BC ирмэгүүдийн дунд байдаг. T ба K цэгүүд нь AB 1 ба BC 1 сегментүүдийн дунд байна. TK болон OF шууд шугамууд хэрхэн байрладаг вэ?

ABCA 1 B 1 C 1 нь энгийн гурвалжин призм бөгөөд бүх ирмэг нь хоорондоо тэнцүү байна. О цэг нь CC 1 ирмэгийн дунд байх ба F цэг нь BB] ирмэг дээр байрлах тул BF: FB X =1:3. AO шулуун шугамтай параллель F цэгийг дайран өнгөрч буй l шулуун ABC хавтгайтай огтлолцох K цэгийг байгуул. KF = 1 см бол призмийн нийт гадаргуугийн талбайг тооцоол.

зураг

Өмнө нь. 2. Энэ геометрийн зураг. Энэ зурагхаалттай хэлбэрээр үүсдэг шугам. Гүдгэр ба гүдгэр бус байдаг. У тооталууд байдаг ..., сектор, бөмбөрцөг, сегмент, синус, дунд, дундаж шугам, харьцаа, шинж чанар, зэрэг, стереометр, секант...

Тодорхойлолт

Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.

Теорем (параллелограммын эхний тэмдэг)

Дөрвөн өнцөгтийн хоёр тал нь тэнцүү бөгөөд параллель бол дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.

Баталгаа

\(AB\) ба \(CD\) талууд нь \(ABCD\) ба \(AB = CD\) дөрвөн өнцөгт параллель байг.

Энэ дөрвөн өнцөгтийг \(ABC\) ба \(CDA\) хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваасан \(AC\) диагональ зуръя. Эдгээр гурвалжнууд нь хоёр талдаа тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь (\(AC\) нийтлэг тал, нөхцөлөөр \(AB = CD\), \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\) огтлолцол дээрх хөндлөн өнцгүүд юм. Зэрэгцээ шугамын \ (AB\) ба \(CD\) секант \(AC\) ), тэгэхээр \(\өнцөг 3 = \өнцөг 4\) . Харин \(3\) ба \(4\) өнцгүүд \(AD\) ба \(BC\) шугамуудын огтлолцол дээр \(AC\) хөндлөн хэвтэх тул \(AD\параллель BC) \) . Тиймээс \(ABCD\) дөрвөлжин дээр эсрэг талууд нь хос параллель байдаг тул \(ABCD\) дөрвөлжин нь параллелограмм юм.

Теорем (параллелограммын хоёр дахь тэмдэг)

Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд хосоороо тэнцүү бол энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.

Баталгаа

Энэ \(ABCD\) дөрвөлжингийн диагональ \(AC\) зурж \(ABC\) ба \(CDA\) гурвалжинд хуваая.

Эдгээр гурвалжин нь гурван талдаа тэнцүү (\(AC\) – нийтлэг, \(AB = CD\) ба \(BC = DA\) нөхцөлөөр), тиймээс \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\) – хөндлөн хэвтэнэ. \(AB\) болон \(CD\) болон секант \(AC\) дээр. Үүнээс үүдэн \(AB\зэрэгцээ CD\) . \(AB = CD\) ба \(AB\зэрэгцээ CD\) тул параллелограммын эхний шалгуурын дагуу \(ABCD\) дөрвөлжин параллелограмм байна.

Теорем (параллелограммын гурав дахь тэмдэг)

Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцож, огтлолцох цэгээр хагас хуваагдсан бол энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.

Баталгаа

\(AC\) ба \(BD\) диагональууд \(O\) цэгт огтлолцох ба энэ цэгээр хоёр хуваагдсан \(ABCD\) дөрвөлжин өнцөгтийг авч үзье.

Гурвалжин \(AOB\) ба \(COD\) гурвалжны тэгш байдлын эхний тэмдгийн дагуу тэнцүү байна (\(AO = OC\), \(BO = OD\) нөхцөлөөр, \(\ өнцөг AOB = \ өнцөг COD\) босоо өнцгөөр), тэгэхээр \(AB = CD\) болон \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\) . \(1\) ба \(2\) өнцгүүдийн тэгшитгэлээс (хөндлөн хэвтэх \(AB\) ба \(CD\) ба секант \(AC\) ) нь \(AB\зэрэгцээ CD болно. \) .

Тэгэхээр \(ABCD\) дөрвөлжин дээр \(AB\) ба \(CD\) талууд тэнцүү ба параллель байна, энэ нь параллелограммын эхний шалгуурын дагуу \(ABCD\) дөрвөлжин параллелограмм гэсэн үг юм. .

Параллелограммын шинж чанарууд:

1. Параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү, эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү байна.

2. Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана.

Параллелограммын биссектрисын шинж чанарууд:

1. Параллелограммын биссектриса нь түүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг таслав.

2. Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса нь зөв өнцгөөр огтлолцоно.

3. Эсрэг өнцгийн биссектрисын хэрчмүүд нь тэнцүү ба параллель байна.

Баталгаа

1) \(ABCD\) параллелограмм, \(AE\) өнцгийн биссектрис \(BAD\) байг.

\(1\) ба \(2\) өнцгүүд нь тэнцүү бөгөөд \(AD\) ба \(BC\) зэрэгцээ шугамууд ба \(AE\) секанттай хөндлөн хэвтэнэ. \(AE\) нь биссектриса учраас \(1\) ба \(3\) өнцгүүд тэнцүү байна. Эцэст нь \(\өнцөг 3 = \өнцөг 1 = \өнцөг 2\), энэ нь \(ABE\) гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна гэсэн үг.

2) \(ABCD\) нь параллелограмм, \(AN\) ба \(BM\) өнцгийн биссектрисаг \(BAD\) ба \(ABC\) тус тус тэмдэглэе.

Зэрэгцээ шугам ба хөндлөн огтлолын нэг талт өнцгийн нийлбэр нь \(180^(\circ)\)-тэй тэнцүү тул \(\өнцөг DAB + \өнцөг ABC = 180^(\circ)\).

\(AN\) ба \(BM\) нь биссектриса учраас \(\өнцгийн BAN + \өнцгийн ABM = 0.5(\өнцгийн DAB + \өнцгийн ABC) = 0.5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), хаана \(\өнцөг AOB = 180^\circ - (\өнцөг BAN + \өнцөг ABM) = 90^\circ\).

3. \(AN\) ба \(CM\) параллелограммын өнцгийн биссектрисаг \(ABCD\) гэж үзье.

Параллелограммын эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү тул \(\өнцөг 2 = 0.5\cdot\өнцөг BAD = 0.5\cdot\өнцөг BCD = \өнцөг 1\). Нэмж дурдахад \(1\) ба \(3\) өнцгүүд нь тэнцүү бөгөөд \(AD\) ба \(BC\) зэрэгцээ шугамууд ба секант \(CM\), дараа нь \(\өнцөг 2) байна. = \өнцөг 3\) бөгөөд энэ нь \(AN\зэрэгцээ CM\) гэсэн үг юм. Нэмж хэлэхэд, \(AM\параллель CN\) , тэгвэл \(ANCM\) нь параллелограмм тул \(AN = CM\) .

Зөвхөн хоёр тал нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгтийг нэрлэдэг трапец.

Трапецын зэрэгцээ талуудыг түүний гэж нэрлэдэг шалтгаанууд, мөн параллель биш талуудыг дуудна талууд. Хэрэв талууд тэнцүү бол ийм трапец нь тэгш өнцөгт юм. Суурийн хоорондох зайг трапецын өндөр гэж нэрлэдэг.

Дунд шугамын трапец

Дунд шугам нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм. Трапецын дунд шугам нь түүний суурьтай параллель байна.

Теорем:

Хэрэв нэг талын дундыг огтолж буй шулуун шугам нь трапецын суурьтай параллель байвал трапецын хоёр дахь талыг хоёр хуваана.

Теорем:

Дунд шугамын урт нь түүний суурийн уртын арифметик дундажтай тэнцүү байна

MN дунд шугам, AB ба CD - суурь, AD ба BC - хажуу талууд

MN = (AB + DC)/2

Теорем:

Трапецын дунд шугамын урт нь суурийн уртын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Гол ажил: Трапецын суурийн голд төгсгөл нь байрлах хэрчмийг трапецын дунд шугам нь хоёр хуваадаг болохыг батал.

Гурвалжингийн дунд шугам

Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмийг гурвалжны дунд шугам гэнэ. Энэ нь гурав дахь талтай параллель бөгөөд урт нь гурав дахь талын уртын хагастай тэнцүү байна.
Теорем: Гурвалжны нэг талын дунд цэгийг огтолж байгаа шулуун нь нөгөө талтай параллель байвал гурав дахь талыг нь хуваана.

AM = MC ба BN = NC =>

Гурвалжин ба трапецын дунд шугамын шинж чанарыг ашиглах

Сегментийг тодорхой тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваах.
Даалгавар: AB сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваа.
Шийдэл:
Эх нь А цэг, AB шулуун дээр оршдоггүй санамсаргүй туяа p гэж үзье. Бид p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5 дээр 5 тэнцүү сегментийг дараалан байрлуулна.
Бид A 5-ыг B-тэй холбож, A 4, A 3, A 2, A 1-ээр дамжуулан A 5 B-тэй параллель шугамуудыг татдаг. Тэд AB-ийг B 4, B 3, B 2, B 1 цэгүүдээр тус тус огтолно. Эдгээр цэгүүд AB сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваана. Үнэхээр BB 3 A 3 A 5 трапецаас бид BB 4 = B 4 B 3 болохыг харж байна. Үүнтэй адилаар B 4 B 2 A 2 A 4 трапецаас бид B 4 B 3 = B 3 B 2-г авна.

Трапецаас B 3 B 1 A 1 A 3 байхад B 3 B 2 = B 2 B 1 байна.
Дараа нь B 2 AA 2-оос B 2 B 1 = B 1 A. Дүгнэж хэлэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна.
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB хэрчмийг өөр тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваахын тулд бид ижил тооны тэнцүү хэсгүүдийг p туяанд тусгах хэрэгтэй болох нь тодорхой байна. Дараа нь дээр дурдсан аргаар үргэлжлүүлнэ үү.