Олон өнцөгт нь битүү тасархай шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсэг юм. Олон өнцөгтийн өнцгийг олон өнцөгтийн оройн цэгүүдээр заана. Олон өнцөгтийн булангийн орой ба олон өнцөгтийн орой нь давхцах цэгүүд юм.
Тодорхойлолт. Параллелограмм нь эсрэг талууд нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Параллелограммын шинж чанарууд
1. Эсрэг талууд тэнцүү байна.
Зураг дээр. арван нэгэн AB = CD; МЭӨ = МЭ.
2. Эсрэг өнцөг нь тэнцүү (хоёр хурц ба мохоо өнцөг).
Зураг дээр. 11∠ А = ∠C; ∠Б = ∠Д.
3 Диагональ (хоёр эсрэг талын оройг холбосон шугамын сегментүүд) огтлолцох ба огтлолцлын цэгээр хагасаар хуваагдана.
Зураг дээр. 11 сегмент А.О. = О.Ч.; Б.О. = О.Д..
Тодорхойлолт. Трапец гэдэг нь эсрэг талын хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель биш дөрвөн өнцөгт юм.
Зэрэгцээ талууд түүнийг гэдэг шалтгаанууд, нөгөө хоёр тал нь талууд.
Трапецын төрлүүд
1. Трапец, талууд нь тэнцүү биш,
дуудсан олон талт(Зураг 12).
2. Талууд нь тэнцүү трапецийг гэнэ тэгш өнцөгт(Зураг 13).
3. Нэг тал нь суурьтай тэгш өнцөг үүсгэсэн трапецийг гэнэ тэгш өнцөгт(Зураг 14).
Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг (Зураг 15) трапецын дунд шугам гэж нэрлэдэг. М.Н). Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.
Трапецийг таслагдсан гурвалжин гэж нэрлэж болно (Зураг 17), тиймээс трапецын нэр нь гурвалжны нэртэй төстэй байдаг (гурвалжин нь масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт).
Параллелограмм ба трапецын талбай
Дүрэм. Параллелограммын талбайтүүний хажуугийн үржвэр ба энэ тал руу татсан өндөртэй тэнцүү байна.
дунд шугамПланиметрийн тоонууд - өгөгдсөн зургийн хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент. Энэхүү үзэл баримтлал нь гурвалжин, дөрвөлжин, трапецын дүрслэлд ашиглагддаг.
Гурвалжны дунд шугам
Үл хөдлөх хөрөнгө
- гурвалжны дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.
- дунд шугам нь 1/2 коэффициенттэй анхныхтай ижил төстэй, ижил төстэй гурвалжинг таслав; түүний талбай нь анхны гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна.
- Гурван дунд шугам нь анхны гурвалжинг дөрвөн тэнцүү гурвалжинд хуваана. Эдгээр гурвалжнуудын төв хэсгийг нэмэлт буюу дунд гурвалжин гэж нэрлэдэг.
Шинж тэмдэг
- хэрчм нь гурвалжны аль нэг талтай параллель бөгөөд гурвалжны нэг талын дунд цэгийг нөгөө талд байрлах цэгтэй холбовол энэ нь дунд шугам болно.
Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам
Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам- дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент.
Үл хөдлөх хөрөнгө
Эхний шугам нь эсрэг талын 2 талыг холбодог. Хоёр дахь нь нөгөө 2 эсрэг талыг холбодог. Гурав дахь нь хоёр диагональ төвүүдийг холбодог (бүх дөрвөн өнцөгт диагональууд огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваагддаггүй).
- Хэрэв гүдгэр дөрвөлжингийн дунд шугам нь дөрвөлжингийн диагональуудтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол диагональ нь тэнцүү байна.
- Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал үүнтэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд.
- Дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөн өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньон параллелограмм гэж нэрлэдэг;
- Сүүлчийн цэг нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: Гүдгэр дөрвөн өнцөгт та дөрөв зурж болно хоёр дахь төрлийн дунд шугамууд. Хоёр дахь төрлийн дунд шугамууд- диагональуудтай параллель зэргэлдээх талуудын дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх дөрвөн өнцөгт доторх дөрвөн сегмент. Дөрөв хоёр дахь төрлийн дунд шугамуудгүдгэр дөрвөн өнцөгтийг дөрвөн гурвалжин, нэг төв дөрвөн өнцөгт болгон хайчилж ав. Энэхүү төв дөрвөн өнцөгт нь Вариньон параллелограмм юм.
- Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг хоёр хуваана. Үүнээс гадна энэ нь дөрвөлжингийн оройн төв юм.
- Дурын дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын вектор нь суурийн векторуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Трапецын дунд шугам
Трапецын дунд шугам
Трапецын дунд шугам- энэ трапецын хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент. Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг трапецын хоёр дахь дунд шугам гэж нэрлэдэг.
Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно. E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Хаана МЭТэгээд МЭӨ- трапецын суурь.
Геометрийн хэлбэрийн төв шугамууд
шинжлэх ухааны ажил
1. Дунд шугамын шинж чанарууд
1. Гурвалжны шинж чанарууд:
· Гурван дунд шугамыг зурахад 1/2 коэффициенттэй анхныхтай төстэй 4 тэнцүү гурвалжин үүснэ.
· дунд шугам нь гурвалжны суурьтай параллель, түүний хагастай тэнцүү;
· дунд шугам нь үүнтэй төстэй гурвалжинг таслах ба түүний талбай нь талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна.
2. Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд:
· Хэрэв гүдгэр дөрвөн өнцөгт дундын шугам нь дөрвөлжингийн диагональуудтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол диагональ нь тэнцүү байна.
· Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал түүнтэй тэнцүү байх ба зөвхөн энэ тохиолдолд.
· дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөлжингийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньоны параллелограмм гэж нэрлэдэг;
· Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамуудын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дундын цэгүүдийг холбосон хэрчимийг хоёр хуваана. Үүнээс гадна энэ нь дөрвөлжингийн оройн төв юм.
3. Трапецын шинж чанарууд:
· дунд шугам нь трапецын суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү;
Хоёр талт трапецын талуудын дунд цэгүүд нь ромбын оройнууд юм.
Бином коэффициентүүд
Cnk тоонууд нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь эцсийн дүндээ өгөгдсөн X олонлогийн дэд олонлогуудын хоорондын янз бүрийн хамаарлыг илэрхийлдэг. Тэдгээрийг (1) томъёонд үндэслэн шууд нотлох боломжтой...
Бином коэффициентүүд
1. Өргөтгөх коэффициентүүдийн нийлбэр (a + b)n нь 2n-тэй тэнцүү байна. Үүнийг батлахын тулд a = b = 1-ийг тавихад хангалттай. Дараа нь бином тэлэлтийн баруун талд бид хоёрын коэффициентүүдийн нийлбэр байх болно, зүүн талд: (1 + 1)n = 2n. 2.Гишүүдийн коэффициентүүд...
Тэгшитгэлийн тухай ойлголттой холбоотой материалын ач холбогдол, өргөн цар хүрээтэй учраас түүнийг орчин үеийн математикийн арга зүйд судлах нь тэгшитгэл, тэгш бус байдлын агуулга-арга зүйн шугамаар зохион байгуулагдаж...
Сөрөг бус бодит тоонуудын үржүүлэх хагас бүлгүүд
S нь нэгдлийн хуваагчгүй 1-тэй, хувирах үржүүлгийн бууруулж болохгүй хагас бүлэг байцгаая. Ийм хагас бүлгийг интеграл эсвэл конус гэж нэрлэдэг. Хэрэв GCD(,)=1... бол S-ийн элементүүд болон элементүүдийг хоёрдогч гэж нэрлэдэг.
Бидний судалгааны сэдэв нь дундаж утга байх тул эхлээд ном зохиолд дундаж утгыг хэрхэн тодорхойлсон талаар ярилцъя. Хэд хэдэн нөхцөлийг агуулсан хүчтэй тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна. Тодорхойлолт...
Сонгодог дундаж үзүүлэлтүүдийн ерөнхий дүгнэлт
Одоо бид бараг дунджийн хувьд дээр дурдсан аксиоматик тодорхойлолтыг тодорхойлоход бэлэн байна. Бид онцгой тохиолдлуудаас эхлэх болно - хамгийн энгийн дундаж үзүүлэлтүүд ...
Математик статистикийн үндсэн ойлголтууд
Интервалын вариацын цувааны арифметик дундажийг тооцохдоо эхлээд интервал тус бүрийн дундажийг дээд ба доод хязгаарын хагасын нийлбэрээр, дараа нь бүх цувралын дундажийг тодорхойлно. Дундаж...
Туршилтын өгөгдлийг боловсруулах хамгийн энгийн аргууд
Бодит үйл явцыг дүрслэхийн тулд дээрх аргуудыг ашиглах. Гэсэн хэдий ч аль арга нь тодорхой үйл явцыг хамгийн зөв дүрсэлсэн талаар хоёрдмол утгагүй дүгнэлт хийх боломжгүй юм. Жишээлбэл...
Пуассоны тархалт. Үйл явдлын хамгийн энгийн урсгалын аксиомууд
Одоо хоёр популяци хоёулаа хэвийн тархалтад хамрагдаж байгаа тохиолдлыг авч үзье, гэхдээ хоёр ерөнхий дисперсийн тэгш байдлын талаархи таамаглалыг шалгах нь тэгш байдлын таамаглалыг үгүйсгэж дууссан ...
Субьектив VAS ба реактив артритын үйл ажиллагааны лабораторийн шинж тэмдгүүдийн хоорондын хамаарлын регрессийн шинжилгээ
Практикийн олон тохиолдлуудад сонирхлын асуудал бол авч үзэж буй шинж чанарт тодорхой хүчин зүйлийн нөлөөлөл хэр зэрэг чухал байдаг. Энэ тохиолдолд хүчин зүйл нь реактив артрит үүсгэсэн халдварын төрөл бөгөөд ESR, CRP...
Санамсаргүй вектор
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ковариацыг тэдгээрийн хамтарсан магадлалын нягтралаар дараах хамаарлаар тодорхойлно. (57.1) (57.1) дэх интеграл нь эдгээрийн хувьд сөрөг биш байна, өөрөөр хэлбэл, төлөө, эсвэл,. Мөн эсрэгээр, хэзээ, эсвэл ...
Чийгийн агууламжийн статистик тооцоо
Төрөл бүрийн аргуудыг ашиглан тоон интеграцчилал
Тэгш өнцөгтийн аргыг интегралыг тогтмолоор солих замаар олж авна. Тогтмол утга болгон та сегментийн аль ч цэг дээрх функцийн утгыг авч болно. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг функцын утгууд нь сегментийн дунд болон төгсгөлд байдаг ...
Тоон аргууд
1 Зүүн ба баруун тэгш өнцөгтийн аргын алдааг багасгахын тулд дундаж аргыг санал болгосон, i.e. тэгш өнцөгтийн өндрийг h сегментийн дунд хэсэгт тооцох арга (Зураг 7). Зургийг харвал харахад амархан...
Гомелийн сургуулийн сурагчдын математик, түүний хэрэглээ, мэдээллийн технологийн шинжлэх ухаан, практикийн бага хурал "Хайлт"
Боловсрол, судалгааны ажил
Геометрийн хэлбэрийн төв шугамууд
Морозова Елизавета
Гомель 2010 он
Оршил
1. Дунд шугамын шинж чанарууд
2. Гурвалжин, дөрвөлжин, параллелограмм
3. Дөрвөн өнцөгт, тетраэдр. Массын төвүүд
4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, шоо
Дүгнэлт
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт
Өргөдөл
Оршил
Геометр бол ерөнхий соёлын салшгүй хэсэг бөгөөд геометрийн аргууд нь ертөнцийг танин мэдэх хэрэгсэл болж, хүрээлэн буй орон зайн талаархи шинжлэх ухааны санаа бодлыг бий болгох, орчлон ертөнцийн зохицол, төгс төгөлдөр байдлыг нээхэд хувь нэмэр оруулдаг. Геометр нь гурвалжингаас эхэлдэг. Одоогоос хоёр мянган жилийн турш гурвалжин нь геометрийн бэлгэдэл байсаар ирсэн боловч энэ нь бэлгэдэл биш юм. Гурвалжин бол геометрийн атом юм. Гурвалжин нь шавхагдашгүй юм - түүний шинэ шинж чанарууд байнга нээгддэг. Түүний бүх мэдэгдэж буй шинж чанаруудын талаар ярихын тулд танд Их нэвтэрхий толь бичигтэй харьцуулах хэмжээний эзлэхүүн хэрэгтэй. Бид геометрийн хэлбэрийн дунд шугам, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярихыг хүсч байна.
Бидний ажил геометрийн хичээлийг бүхэлд нь хамарсан теоремуудын гинжийг мөрддөг. Энэ нь гурвалжны дунд шугамуудын тухай теоремоос эхэлж, тетраэдр болон бусад олон талтуудын сонирхолтой шинж чанаруудад хүргэдэг.
Зургийн дунд шугам нь тухайн зургийн хоёр талын дундын цэгүүдийг холбосон хэсэг юм.
1. Дунд шугамын шинж чанарууд
Гурвалжны шинж чанарууд:
Гурван дунд шугамыг зурахад 1/2 коэффициенттэй анхныхтай төстэй 4 тэнцүү гурвалжин үүснэ.
дунд шугам нь гурвалжны суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү;
дунд шугам нь үүнтэй төстэй гурвалжинг таслах бөгөөд түүний талбай нь түүний талбайн дөрөвний нэг юм.
Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд:
Хэрэв гүдгэр дөрвөлжингийн дунд шугам нь дөрвөлжингийн диагональуудтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол диагональ нь тэнцүү байна.
дөрвөлжингийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал үүнтэй тэнцүү байх ба зөвхөн энэ тохиолдолд.
дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөлжингийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньоны параллелограмм гэж нэрлэдэг;
Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг хоёр хуваана. Үүнээс гадна энэ нь дөрвөлжингийн оройн төв юм.
Трапецын шинж чанарууд:
дунд шугам нь трапецын суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү;
Хоёр талт трапецын талуудын дунд цэгүүд нь ромбын оройнууд юм.
2. Гурвалжин, дөрвөлжин, параллелограмм
Аливаа KLM гурвалжинд AKM, BLK, CLM гэсэн гурван тэнцүү гурвалжинг хавсаргаж болох бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь KLM гурвалжинтай хамт параллелограмм үүсгэдэг (Зураг 1). Энэ тохиолдолд AK = ML = KB, мөн K орой нь гурвалжны гурван өөр өнцөгтэй тэнцүү гурван өнцөгтэй зэргэлдээ байх ба нийт 180°, тиймээс K нь AB хэрчмийн дунд; Үүний нэгэн адил L нь BC сегментийн дунд цэг, M нь CA сегментийн дунд цэг юм.
Теорем 1. Хэрэв бид аль ч гурвалжны талуудын дунд цэгүүдийг холбовол бид дөрвөн тэнцүү гурвалжинг олж авах бөгөөд дунд нь нөгөө гурвалжинг тус бүртэй параллелограмм үүсгэдэг.
Энэхүү томъёолол нь гурвалжны гурван дунд шугамыг нэг дор багтаасан болно.
Теорем 2. Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь гурвалжны гурав дахь талтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна (1-р зургийг үз).
Энэ теорем ба түүний эсрэгээр гурвалжны суурьтай параллель шулуун шугам нь нөгөө талыг нь хагасаар хуваадаг гурвалжны нэг талын дунд хэсэг нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.
Гурвалжны дунд шугамуудын теоремоос трапецын дунд шугамын шинж чанар (Зураг 2), түүнчлэн дурын дөрвөлжингийн талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментүүдийн теоремуудыг дагаж мөрддөг.
Теорем 3. Дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Энэ параллелограммын талууд нь дөрвөлжингийн диагональуудтай параллель бөгөөд тэдгээрийн урт нь диагональуудын уртын хагастай тэнцүү байна.
Үнэн хэрэгтээ хэрэв K ба L нь AB ба ВС талуудын дунд цэг (Зураг 3) бол KL нь ABC гурвалжны дунд шугам тул KL сегмент нь АС диагональтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна; хэрэв M ба N нь CD ба AD талуудын дунд цэг бол MN хэрчим нь мөн АС-тай параллель бөгөөд AC/2-тэй тэнцүү байна. Тиймээс KL ба MN хэрчмүүд нь хоорондоо параллель ба тэнцүү бөгөөд энэ нь KLMN дөрвөлжин параллелограмм гэсэн үг юм.
Теорем 3-ын үр дүнд бид нэгэн сонирхолтой баримтыг олж авлаа (4-р хэсэг).
Теорем 4. Аливаа дөрвөн өнцөгтийн хувьд эсрэг талын дундын цэгүүдийг холбосон сегментүүд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагддаг.
Эдгээр сегментүүдэд та параллелограммын диагональуудыг харж болно (3-р зургийг үз), параллелограммд диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана (энэ цэг нь параллелограммын тэгш хэмийн төв юм).
3 ба 4-р теоремууд болон бидний үндэслэл нь гүдгэр бус дөрвөлжин болон өөрөө огтлолцдог дөрвөлжин битүү тасархай шугамын хувьд үнэн хэвээр байгааг бид харж байна (Зураг 4; сүүлчийн тохиолдолд KLMN параллелограмм "муухай" болж хувирч магадгүй юм. - K, L, M, N цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг).
Гурвалжны медиануудын үндсэн теоремыг 3 ба 4-р теоремоос хэрхэн гаргаж болохыг харцгаая.
Теорем5 . Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог ба түүгээр 2:1 харьцаатай хуваагдана (медианыг зурсан оройноос нь тооцно).
ABC гурвалжны AL ба SC хоёр медианыг зуръя. Тэдний огтлолцох цэгийг O гэж үзье. Гүдгэр бус дөрвөлжин ABCO-ийн талуудын дунд цэгүүд нь K, L, M ба N цэгүүд (Зураг 5) - параллелограммын оройнууд ба түүний диагональуудын KM ба LN огтлолцох цэг нь бидний тохиргооны хувьд байх болно. медиануудын огтлолцох цэг O. Тэгэхээр, AN = NO = OL ба CM = MO = OK, өөрөөр хэлбэл О цэг нь AL ба CK медиан бүрийг 2: 1 харьцаагаар хуваана.
Дундаж SC-ийн оронд бид В оройноос авсан медианыг авч үзээд AL медианыг 2:1 харьцаагаар хуваадаг, өөрөөр хэлбэл, ижил О цэгээр дамждаг эсэхийг шалгаж болно.
3. Дөрвөн өнцөгт ба тетраэдр. Массын төвүүд
3 ба 4-р теоремууд нь A, B, C, D дөрвөн орой нь нэг хавтгайд оршдоггүй AB, BC, CD, DA дөрвөн холбоосоос бүрдэх аливаа орон зайн битүү тасархай шугамын хувьд үнэн юм.
Ийм орон зайн дөрвөн өнцөгтийг цаасан дээрээс ABCD дөрвөн өнцөгтийг хайчилж аваад тодорхой өнцгөөр диагналаар гулзайлгах замаар олж авч болно (Зураг 6, а). ABC ба ADC гурвалжны KL ба MN дунд шугамууд нь АС сегменттэй параллель байх ба AC/2-той тэнцүү байх нь тодорхой байна. (Энд бид параллель шугамын үндсэн шинж чанар орон зайд үнэн хэвээр байна гэсэн баримтыг ашиглаж байна: хэрэв KL ба MN хоёр шулуун нь AC гурав дахь шулуунтай параллель байвал KL ба MN нь нэг хавтгайд хэвтэж, бие биетэйгээ параллель байна.)
Тиймээс K, L, M, N цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм; Тиймээс KM ба LN сегментүүд огтлолцож, огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана. Дөрвөн өнцөгтийн оронд тетраэдр - гурвалжин ABCD пирамидуудын тухай ярьж болно: түүний AB, AC, CD, DA ирмэгүүдийн K, L, M, N дунд цэгүүд нь үргэлж нэг хавтгайд байрладаг. Энэ хавтгайн дагуу тетраэдрийг огтолж (Зураг 6, б) бид KLMN параллелограммыг олж авах бөгөөд түүний хоёр тал нь АС ирмэгтэй параллель, тэнцүү байна.
AC/2, нөгөө хоёр нь BD ирмэгтэй параллель бөгөөд BD/2-тэй тэнцүү.
Үүнтэй ижил параллелограммыг - тетраэдрийн "дунд хэсэг" -ийг бусад хос эсрэг талын ирмэгүүдэд зориулж байгуулж болно. Эдгээр гурван параллелограммын хоёр нь нийтлэг диагональтай байдаг. Энэ тохиолдолд диагональуудын дунд цэгүүд давхцдаг. Тиймээс бид сонирхолтой үр дүнг олж авах болно:
Теорем 6. Тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон гурван сегмент нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд түүгээрээ хагасаар хуваагддаг (Зураг 7).
Энэ болон дээр дурдсан бусад баримтуудыг массын төвийн тухай ойлголтыг ашиглан механикийн хэлээр тайлбарласан болно. 5-р теорем нь гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн нэг болох медиануудын огтлолцлын цэгийн тухай өгүүлдэг; Теорем 6-д - тетраэдрийн дөрвөн оройн гайхалтай цэгийн тухай. Эдгээр цэгүүд нь гурвалжин ба тетраэдрийн массын төвүүд юм. Эхлээд медиануудын 5-р теорем руу буцъя.
Гурвалжны орой дээр гурван ижил жинг байрлуулъя (Зураг 8).
Тус бүрийн массыг нэг болгон авч үзье. Энэ ачааллын системийн массын төвийг олъё.
Эхлээд А ба В орой дээр байрлах хоёр жинг авч үзье: тэдгээрийн массын төв нь AB сегментийн дунд байрладаг тул эдгээр жинг AB сегментийн дунд К хэсэгт байрлуулсан 2 масстай нэг жингээр сольж болно. (Зураг 8, а). Одоо та хоёр ачааллын системийн массын төвийг олох хэрэгтэй: нэг нь С цэг дээр 1 масстай, хоёр дахь нь К цэг дээр 2 масстай. Хөшүүргийн дүрмийн дагуу ийм системийн массын төв нь дээр байрладаг. O цэг, SC сегментийг 2: 1 харьцаагаар хуваана (илүү их масстай K цэгийн ачаалалд ойртох - Зураг 8, b).
Бид эхлээд В ба С цэгүүдийн ачааллыг нэгтгэж, дараа нь BC сегментийн L дунд хэсэгт үүссэн 2 массын ачааллыг А цэгийн ачаалалтай нэгтгэж болно. Эсвэл эхлээд А ба С, а ачааллыг нэгтгэж болно. Дараа нь B нэмнэ. Аль ч тохиолдолд бид ижил үр дүнд хүрэх ёстой. Тиймээс массын төв нь О цэг дээр байрлаж, оройноос нь тооцвол медиан тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмүүд бие биенээ хагасаар хуваадаг (параллелограммын диагональ үүрэг гүйцэтгэдэг) гэсэн теорем 4-ийг ижил төстэй бодолтойгоор тайлбарлаж болно: дөрвөлжингийн орой дээр ижил жинг байрлуулж, нэгтгэхэд хангалттай. тэдгээрийг хоёр аргаар хосоор нь (Зураг 9).
Мэдээжийн хэрэг, хавтгай эсвэл сансар огторгуйд (тетраэдрийн орой дээр) байрладаг дөрвөн нэгж жинг гурван аргаар хоёр хос болгон хувааж болно; массын төв нь эдгээр хос цэгүүдийг холбосон сегментүүдийн дунд цэгүүдийн дунд байрладаг (Зураг 10) - теоремын тайлбар 6. (Хавтгай дөрвөлжингийн хувьд үр дүн нь дараах байдлаар харагдана: хоёр сегментийн дунд цэгүүдийг холбосон хоёр сегмент. эсрэг талууд, мөн диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь нэг цэг дээр огтлолцдог Өө ба хагасыг нь хуваана).
Дөрвөн ижил ачааллын массын төв болох О цэгээр дамжуулан дөрвөн сегмент дамждаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг бусад гурвын массын төвтэй холбодог. Эдгээр дөрвөн сегментийг 3:1 харьцаагаар О цэгээр хуваана. Энэ баримтыг тайлбарлахын тулд эхлээд гурван жингийн массын төвийг олж, дараа нь дөрөв дэх жинг хавсаргах хэрэгтэй.
4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, шоо
Ажлын эхэнд бид гурвалжинг дунд шугамаар дөрвөн ижил гурвалжин болгон хуваасан (1-р зургийг үз). Дурын гурвалжин пирамид (тетраэдр) -ийн хувьд ижил бүтэцтэй байхыг хичээцгээе. Дараах байдлаар тетраэдрийг хэсэг болгон хайчилж авцгаая: орой бүрээс гарч буй гурван ирмэгийн дундуур бид хавтгай зүсэлт хийдэг (Зураг 11, а). Дараа нь дөрвөн ижил жижиг тетраэдрийг тетраэдрээс таслах болно. Гурвалжинтай зүйрлэвэл дунд нь өөр ижил төстэй тетраэдр байх болно гэж бодох болно. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: дөрвөн жижиг нэгийг нь салгасны дараа том тетраэдрээс үлдсэн полиэдр нь зургаан орой, найман нүүртэй байх болно - үүнийг октаэдр гэж нэрлэдэг (Зураг 11.6). Үүнийг шалгах тохиромжтой арга бол тетраэдр хэлбэртэй бяслаг ашиглах явдал юм. Үүссэн октаэдр нь тэгш хэмийн төвтэй, учир нь тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүд нь нийтлэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд түүгээр хуваагддаг.
Нэг сонирхолтой барилга нь дунд шугамаар дөрвөн гурвалжинд хуваагдсан гурвалжинтай холбоотой: бид энэ дүрсийг тодорхой тетраэдрийн хөгжил гэж үзэж болно.
Цааснаас огтолсон хурц гурвалжинг төсөөлье. Үүнийг дунд шугамын дагуу нугалж, оройнууд нь нэг цэг дээр нийлж, цаасны ирмэгийг нааж, бүх дөрвөн нүүр нь тэнцүү гурвалжин хэлбэртэй тетраэдрийг олж авна; түүний эсрэг талын ирмэгүүд тэнцүү байна (Зураг 12). Ийм тетраэдрийг хагас тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ тетраэдрийн гурван "дунд хэсэг" бүр - талууд нь эсрэг талын ирмэгүүдтэй параллель, хагастай тэнцүү параллелограммууд нь ромб байх болно.
Тиймээс эдгээр параллелограммын диагональууд - эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон гурван сегмент нь бие биентэйгээ перпендикуляр байна. Хагас жигд тетраэдрийн олон шинж чанаруудын дотроос бид дараахь зүйлийг тэмдэглэж байна: түүний орой бүр дээр нийлж буй өнцгийн нийлбэр нь 180 ° -тай тэнцүү байна (эдгээр өнцөг нь анхны гурвалжны өнцөгтэй тэнцүү байна). Ялангуяа тэгш талт гурвалжингаар эхэлбэл ердийн тетраэдртэй болно
Ажлын эхэнд бид гурвалжин бүрийг том гурвалжны дунд шугамаас үүссэн гурвалжин гэж үзэж болохыг олж харсан. Ийм бүтээн байгуулалтад орон зайд шууд аналоги байхгүй. Гэхдээ ямар ч тетраэдрийг параллелепипедийн "цөм" гэж үзэж болох бөгөөд тетраэдрийн бүх зургаан ирмэг нь нүүрний диагональ болж үйлчилдэг. Үүнийг хийхийн тулд сансарт дараах бүтээн байгуулалтыг хийх хэрэгтэй. Тетраэдрийн ирмэг бүрээр бид эсрэг талын ирмэгтэй зэрэгцээ хавтгайг зурдаг. Тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгээр зурсан онгоцууд хоорондоо параллель байх болно (тэдгээр нь "дунд хэсгийн" хавтгайтай параллель байна - тетраэдрийн бусад дөрвөн ирмэгийн дунд оройтой параллелограмм). Энэ нь гурван хос зэрэгцээ хавтгайг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол нь хүссэн параллелепипедийг үүсгэдэг (хоёр зэрэгцээ хавтгай нь параллель шулуун шугамын дагуу гуравны нэгээр огтлолцдог). Тетраэдрийн оройнууд нь баригдсан параллелепипедийн дөрвөн зэргэлдээ биш орой болж үйлчилдэг (Зураг 13). Эсрэгээр, ямар ч параллелепипед дээр та зэргэлдээгүй дөрвөн оройг сонгож, гурвыг нь дайран өнгөрдөг онгоцоор булангийн тетраэдрүүдийг таслах боломжтой. Үүний дараа "цөм" үлдэх болно - тетраэдр, ирмэг нь параллелепипедийн нүүрний диагональ юм.
Хэрэв анхны тетраэдр нь хагас хэвийн бол баригдсан параллелепипедийн нүүр бүр нь ижил диагональ бүхий параллелограмм болно, өөрөөр хэлбэл. тэгш өнцөгт.
Үүний эсрэгээр бол тэгш өнцөгт параллелепипедийн "цөм" нь хагас жигд тетраэдр юм. Гурван ромбус - ийм тетраэдрийн дунд хэсэг нь харилцан перпендикуляр гурван хавтгайд байрладаг. Тэд булангуудыг таслах замаар ийм тетраэдрээс олж авсан октаэдрийн тэгш хэмийн хавтгай болж үйлчилдэг.
Энгийн тетраэдрийн хувьд түүний эргэн тойронд дүрслэгдсэн параллелепипед нь шоо байх болно (Зураг 14), энэ шоогийн нүүрний төвүүд буюу тетраэдрийн ирмэгүүдийн дунд хэсэг нь ердийн октаэдрын оройнууд байх болно. Тэдний нүүр нь ердийн гурвалжин юм. (Октаэдрийн тэгш хэмийн гурван хавтгай нь тетраэдрийг квадрат хэлбэрээр огтолж байна.)
Тиймээс, 14-р зурагт бид нэн даруй Платоникийн таван хатуу биетийн гурвыг (ердийн олон талт) - шоо, тетраэдр, октаэдр гэж харж байна.
Дүгнэлт
Хийсэн ажилд үндэслэн дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.
Дунд шугамууд нь геометрийн хэлбэрийн янз бүрийн ашигтай шинж чанартай байдаг.
Нэг теоремыг дүрсүүдийн төв шугамыг ашиглан нотлохоос гадна механикийн хэлээр тайлбарлаж болно - массын төвийн тухай ойлголтыг ашиглан.
Дунд шугамыг ашиглан янз бүрийн планиметр (параллелограмм, ромб, дөрвөлжин) ба стереометрийн дүрс (шоо, октаэдр, тетраэдр гэх мэт) барьж болно.
Дунд шугамын шинж чанарууд нь аливаа түвшний асуудлыг оновчтой шийдвэрлэхэд тусалдаг.
Ашигласан эх сурвалж, уран зохиолын жагсаалт
ЗХУ-ын Шинжлэх Ухааны Академи, Утга зохиолын Шинжлэх Ухааны Академийн физик, математикийн шинжлэх ухааны түгээмэл сэтгүүл. “Квант No6 1989 х. 46.
С.Аксимова. Хөгжилтэй математик. – Санкт-Петербург, “Тригон”, 1997 х. 526.
V.V. Шлыков, Л.Е. Зезетко. Геометрийн практик хичээл, 10-р анги: багш нарт зориулсан гарын авлага - Mn.: TetraSystems, 2004 х. 68.76, 78.
Өргөдөл
Трапецын дунд шугам яагаад диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайрч болохгүй гэж?
BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - параллелепипед. E ба F цэгүүд нь нүүрний диагональуудын огтлолцох цэгүүд юм. AA1B 1 B ба BB 1 C 1 C тус тус, K ба T цэгүүд нь AD ба DC хавирганы дунд цэгүүд юм. EF болон CT шугамууд параллель байгаа нь үнэн үү?
Гурвалжин призмийн ABCA 1 B 1 C 1 цэгүүд нь AB ба BC ирмэгүүдийн дунд байдаг. T ба K цэгүүд нь AB 1 ба BC 1 сегментүүдийн дунд байна. TK болон OF шууд шугамууд хэрхэн байрладаг вэ?
ABCA 1 B 1 C 1 нь энгийн гурвалжин призм бөгөөд бүх ирмэг нь хоорондоо тэнцүү байна. О цэг нь CC 1 ирмэгийн дунд байх ба F цэг нь BB] ирмэг дээр байрлах тул BF: FB X =1:3. AO шулуун шугамтай параллель F цэгийг дайран өнгөрч буй l шулуун ABC хавтгайтай огтлолцох K цэгийг байгуул. KF = 1 см бол призмийн нийт гадаргуугийн талбайг тооцоол.
зураг
Өмнө нь. 2. Энэ геометрийн зураг. Энэ зурагхаалттай хэлбэрээр үүсдэг шугам. Гүдгэр ба гүдгэр бус байдаг. У тооталууд байдаг ..., сектор, бөмбөрцөг, сегмент, синус, дунд, дундаж шугам, харьцаа, шинж чанар, зэрэг, стереометр, секант...
Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам ба тэдгээрийн шинж чанарууд Гүйцэтгэсэн: Матвеев Дмитрий Багш: Рычкова Татьяна Викторовна "Дубна" лицей 9IM 2007 Дундаж шугам ба Вариньоны параллелограм Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын бусад шинж чанарууд Бүх теорем ба шинж чанаруудын товч жагсаалт
Вариньон параллелограмм гэж юу вэ? Энэ нь параллелограмм бөгөөд орой нь дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд юм
A B C D N M L K P Баталгаажуулах: K, L, M, N цэгүүдийг холбож AC диагональ зурах; ∆ACD-д NM нь дунд шугам бөгөөд энэ нь NM AC ба NM=1/2 AC гэсэн үг; ∆ABC-д KL нь дунд шугам бөгөөд энэ нь KL AC ба KL=1/2 АС гэсэн утгатай; NM=1/2 AC=KL, NM AC KL, энэ нь KLMN дөрвөлжин параллелограмм гэсэн үг. A L B M C D K P N Баталгаажуулах: K, L, M, N цэгүүдийг холбож DB диагональ зурах; ∆CDB-д NM нь дунд шугам бөгөөд энэ нь NM DB ба NM=1/2 DB гэсэн утгатай; ∆ADC-д KL нь дунд шугам бөгөөд KL DB ба KL=1/2 DB гэсэн утгатай; NM=1/2 DB=KL, NM DB KL, энэ нь KLMN дөрвөлжин параллелограмм гэсэн үг. KLMN нь Вариньоны параллелограмм бөгөөд KM ба NM нь ABCD-ийн дунд шугам гэдгийг баталцгаая.
Энэ нь... KLMN дөрвөлжин нь Вариньоны параллелограмм тул түүний огтлолцох цэг дээрх диагональууд нь хоёр хэсэгт хуваагдана.
Үр дүн: 1. Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамууд тэнцүү бол дөрвөлжингийн талуудын дунд цэгүүд (Вариньон параллелограммын оройнууд) нэг тойрог дээр байна. Нотлох баримт: Вариньоны параллелограммын дундын шугамууд нь тэнцүү диагональ байдаг тул энэ параллелограмм нь тэгш өнцөгт бөгөөд түүнийг тойрон тойргийг үргэлж дүрсэлж болох бөгөөд энэ нь түүний оройнууд нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм.
Үр дүн: 2. Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамууд перпендикуляр байвал дөрвөлжингийн диагональууд тэнцүү байна. Баталгаа: NL┴KM ба KM-тэй NL нь KLMN параллелограммын диагональ тул KLMN нь ромб болно. Тиймээс KL = LM = MN = NK. AC =2 KL ба BD =2 NK тул AC = BD болно. A K B L C M D N P O A P K C D M N L B
Үр дүн: A K B L C M D N P O A P K C D M N L B 3. Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд тэнцүү бол дөрвөлжингийн дунд шугамууд перпендикуляр байна. Баталгаажуулалт: АС =2 MN =2 KL, BD =2 NK =2 ML ба AC = BD тул KL = LM = MN = NK болно. Энэ нь KLMN нь ромб бөгөөд ромбын диагональууд нь перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл NL┴KM гэсэн үг юм.
Жишээлбэл: Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд Вариньон параллелограммын шинж чанаруудын аль нэгийг мэдэхгүй байж шаргуу ажиллах хэрэгтэй болно.
Вариньон параллелограммын талбай хэд вэ? Гүдгэр дөрвөлжингийн нотолгоо: ∆ABD ба ∆ANK-г авч үзье: a).
