Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүдийг холбосон гурван шулуун шугамаас бүрдэх геометрийн дүрс юм. Шугамын холболтын цэгүүд нь латин үсгээр (жишээлбэл, A, B, C) тэмдэглэгдсэн гурвалжны оройнууд юм. Гурвалжны холбосон шулуун шугамуудыг сегмент гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн латин үсгээр тэмдэглэдэг. Дараах төрлийн гурвалжингуудыг ялгадаг.
- Тэгш өнцөгт.
- Бүдүүн.
- Хурц өнцөг.
- Олон талт.
- Тэгш талт.
- Хоёр талт.
Гурвалжны талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо
Урт ба өндрөөс хамааран гурвалжны талбайн томъёо
S= a*h/2,
Энд a - талбайг олох шаардлагатай гурвалжны хажуугийн урт, h - суурь руу татсан өндрийн урт.
Хероны томъёо
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
Энд √ квадрат язгуур, p нь гурвалжны хагас периметр, a,b,c гурвалжны тал бүрийн урт. Гурвалжны хагас периметрийг p=(a+b+c)/2 томъёогоор тооцоолж болно.
Сегментийн өнцөг ба урт дээр үндэслэн гурвалжны талбайн томъёо
S = (a*b*sin(α))/2,
Үүнд b,c нь гурвалжны талуудын урт, sin(α) нь хоёр талын өнцгийн синус юм.
Гурвалжны талбайн томъёог бичээстэй тойрог ба гурван талын радиусыг өгсөн
S=p*r,
Энд p нь талбайг олох шаардлагатай гурвалжны хагас периметр, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус юм.
Гурван тал ба түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
S= (a*b*c)/4*R,
Үүнд: a,b,c нь гурвалжны тал бүрийн урт, R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.
Цэгүүдийн декарт координатыг ашиглан гурвалжны талбайн томъёо
Цэгүүдийн декарт координатууд нь xOy систем дэх координатууд бөгөөд энд x нь абсцисса, y нь ординат юм. Хавтгай дээрх xOy декартын координатын систем нь О цэг дээрх нийтлэг гарал үүсэлтэй Ox ба Oy харилцан перпендикуляр тоон тэнхлэгүүд юм. Хэрэв энэ хавтгай дээрх цэгүүдийн координатыг A(x1, y1), B(x2, y2) хэлбэрээр өгвөл ) ба C(x3, y3 ), дараа нь хоёр векторын вектор үржвэрээс гаргаж авсан дараах томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
хаана || модуль гэсэн үг.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ
Тэгш өнцөгт гурвалжин нь 90 градусын өнцөгтэй гурвалжин юм. Гурвалжин нь зөвхөн нэг ийм өнцөгтэй байж болно.
Хоёр талдаа тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо
S= a*b/2,
Үүнд: a,b нь хөлний урт. Хөл нь зөв өнцгөөр зэргэлдээх талууд юм.
Гипотенуз ба хурц өнцөгт суурилсан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо
S = a*b*sin(α)/ 2,
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, sin(α) нь a, b шулуунуудын огтлолцох өнцгийн синус юм.
Хажуу ба эсрэг өнцөгт суурилсан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо
S = a*b/2*tg(β),
Энд a, b нь гурвалжны хөл, tan(β) нь a, b хөлүүдийн холбогдсон өнцгийн тангенс юм.
Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн тооцоолох вэ
Хоёр тал нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Эдгээр талуудыг талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд нөгөө тал нь суурь юм. Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.
Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолох үндсэн томъёо
S=h*c/2,
Энд c нь гурвалжны суурь, h нь гурвалжны суурь руу буулгасан өндөр.
Хажуу ба суурь дээр суурилсан ижил өнцөгт гурвалжны томъёо
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Энд c нь гурвалжны суурь, a нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг талын хэмжээ юм.
Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ
Адил талт гурвалжин нь бүх тал нь тэнцүү гурвалжин юм. Тэгш талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.
S = (√3*a*a)/4,
Үүнд: a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт.
Дээрх томьёо нь гурвалжны шаардлагатай талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд гурвалжны төрөл, тооцоололд ашиглаж болох өгөгдлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй гэдгийг санах нь чухал юм.
Заримдаа амьдралд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохын тулд ой санамжаа гүнзгийрүүлэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, та гурвалжин хэлбэртэй газрын талбайг тодорхойлох, эсвэл орон сууц эсвэл хувийн байшинд дахин засвар хийх цаг болсон, мөн гадаргуу дээр хэр их материал шаардагдахыг тооцоолох хэрэгтэй. гурвалжин хэлбэр. Та ийм асуудлыг хэдхэн минутын дотор шийдэж чаддаг байсан үе байсан, гэхдээ одоо та гурвалжны талбайг хэрхэн тодорхойлохоо санах гэж маш их хичээж байна уу?
Үүнд санаа зовох хэрэггүй! Эцсийн эцэст, хүний тархи удаан ашиглагдаагүй мэдлэгийг хаа нэгтээ алслагдсан булан руу шилжүүлэхээр шийдсэн нь хэвийн үзэгдэл бөгөөд заримдаа үүнийг олж авахад тийм ч хялбар байдаггүй. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохгүй байхын тулд энэ нийтлэлд гурвалжны шаардлагатай хэсгийг олоход хялбар болгох янз бүрийн аргуудыг багтаасан болно.
Гурвалжин бол хамгийн бага боломжит талуудын тоогоор хязгаарлагддаг олон өнцөгт хэлбэр гэдгийг сайн мэддэг. Зарчмын хувьд аливаа олон өнцөгтийг оройг нь хажуу талыг нь огтолдоггүй сегментүүдээр холбосноор хэд хэдэн гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжинг мэддэг тул та бараг ямар ч зургийн талбайг тооцоолж болно.
Амьдралд тохиолдож болох бүх гурвалжнуудын дотроос дараахь төрлүүдийг ялгаж салгаж болно: тэгш өнцөгт.
Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол түүний өнцгийн аль нэг нь зөв, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд юм. Энэ нь хагас тэгш өнцөгт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс түүний талбай нь бие биентэйгээ тэгш өнцөг үүсгэдэг талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
Хэрэв бид гурвалжны аль нэг оройгоос эсрэг тал руу буулгасан өндрийг ба суурь гэж нэрлэдэг энэ талын уртыг мэддэг бол талбайг өндөр ба суурийн үржвэрийн хагасаар тооцно. Үүнийг дараах томъёогоор бичнэ.
S = 1/2*b*h, үүнд
S - гурвалжны шаардлагатай талбай;
b, h - гурвалжны өндөр ба суурь тус тус.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолоход маш хялбар байдаг, учир нь өндөр нь эсрэг талыг хоёр хуваах бөгөөд хэмжихэд хялбар байдаг. Хэрэв талбайг тодорхойлсон бол тэгш өнцөг үүсгэгч талуудын аль нэгний уртыг өндрөөр авах нь тохиромжтой.
Энэ бүхэн мэдээж сайн, гэхдээ гурвалжны аль нэг өнцөг зөв эсэхийг яаж тодорхойлох вэ? Хэрэв бидний зургийн хэмжээ бага бол бид барилгын өнцөг, зургийн гурвалжин, ил захидал эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй өөр зүйлийг ашиглаж болно.
Харин гурвалжин газартай бол яах вэ? Энэ тохиолдолд дараах байдлаар ажиллана уу: зөв өнцгийн дээд талаас нэг талаас 3-ын үржвэр (30 см, 90 см, 3 м) зайг тоолж, нөгөө талаас 4-ийн үржвэрийг ижил хэмжээгээр хэмжинэ. пропорциональ (40 см, 160 см, 4 м). Одоо та эдгээр хоёр сегментийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг хэмжих хэрэгтэй. Хэрэв үр дүн нь 5-ын үржвэр (50 см, 250 см, 5 м) байвал өнцөг нь зөв гэж хэлж болно.
Хэрэв бидний зургийн гурван тал бүрийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тодорхойлж болно. Үүнийг илүү энгийн хэлбэртэй болгохын тулд хагас периметр гэж нэрлэгддэг шинэ утгыг ашигладаг. Энэ бол манай гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийг хагасаар хуваасан юм. Хагас периметрийг тооцоолсны дараа та томъёог ашиглан талбайг тодорхойлж эхэлж болно.
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), хаана
sqrt - квадрат язгуур;
p - хагас периметрийн утга (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - гурвалжны ирмэг (тал).
Гэхдээ гурвалжин жигд бус хэлбэртэй байвал яах вэ? Энд хоёр боломжит арга бий. Тэдний эхнийх нь ийм дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваахыг оролдох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэрийг тусад нь тооцож, дараа нь нэмнэ. Эсвэл хоёр талын өнцөг ба эдгээр талуудын хэмжээ нь мэдэгдэж байгаа бол дараах томъёог хэрэглэнэ.
S = 0.5 * ab * sinC, хаана
a,b - гурвалжны талууд;
c нь эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ.
Сүүлчийн тохиолдол нь практикт ховор тохиолддог боловч амьдралд бүх зүйл боломжтой байдаг тул дээрх томъёо нь илүүдэхгүй байх болно. Таны тооцоололд амжилт хүсье!
Талбайн тухай ойлголт
Аливаа геометрийн дүрс, ялангуяа гурвалжингийн талбайн тухай ойлголт нь дөрвөлжин гэх мэт дүрстэй холбоотой байх болно. Аливаа геометрийн дүрсийн нэгж талбайн хувьд бид тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбайг авна. Бүрэн гүйцэд болгохын тулд геометрийн дүрсүүдийн талбайн тухай ойлголтын хоёр үндсэн шинж чанарыг эргэн санацгаая.
Өмч 1:Хэрэв геометрийн дүрсүүд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2:Аливаа дүрсийг хэд хэдэн тоонд хувааж болно. Түүнээс гадна анхны зургийн талбай нь түүнийг бүрдүүлэгч бүх дүрсийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Нэг жишээ авч үзье.
Жишээ 1
Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны нэг тал нь тэгш өнцөгтийн диагональ бөгөөд нэг тал нь $5$ урттай ($5$ нүд байгаа тул), нөгөө тал нь $6$ ($6$ нүдтэй тул) байна. Тиймээс энэ гурвалжны талбай нь ийм тэгш өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь
Дараа нь гурвалжны талбай тэнцүү байна
Хариулт: 15 доллар.
Дараа нь бид гурвалжны талбайг олох хэд хэдэн аргыг авч үзэх болно, тухайлбал өндөр ба суурийг ашиглан Хероны томъёо ба тэгш талт гурвалжны талбайг ашиглан.
Гурвалжны талбайг түүний өндөр ба суурийг ашиглан хэрхэн олох вэ
Теорем 1
Гурвалжны талбайг хажуугийн урт ба тэр тал хүртэлх өндрийн үржвэрийн хагасаар олж болно.
Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна
$S=\frac(1)(2)αh$
Энд $a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүнд татсан өндөр юм.
Баталгаа.
$AC=α$ байх $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $BH$ өндрийг энэ тал руу татсан бөгөөд энэ нь $h$-тай тэнцүү байна. Зураг 2-т үзүүлсэн шиг $AXYC$ квадрат хүртэл бүтээцгээе.
$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Тиймээс гурвалжны шаардагдах талбай нь 2-р шинж чанараар тэнцүү байна
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорем нь батлагдсан.
Жишээ 2
Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол
Энэ гурвалжны суурь нь $9$-тэй тэнцүү байна ($9$ нь $9$ квадрат тул). Өндөр нь бас 9 доллар. Дараа нь теорем 1-ээр бид олж авна
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Хариулт: 40.5 доллар.
Хероны томъёо
Теорем 2
Хэрэв бидэнд $α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.
Баталгаа.
Дараах зургийг авч үзье.
Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг
Пифагорын теоремын дагуу $CBH$ гурвалжингаас бид байна
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$ гэсэн үг.
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Теорем 1-ээр бид олж авна
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Зааварчилгаа
1. Хоёр хөлийн хувьд S = a * b/2, a, b – хөл,
Талбайг тооцоолох хоёр дахь хувилбар нь котангентын оронд мэдэгдэж буй өнцгийн синусыг ашигладаг. Энэ хувилбарт дөрвөлжиннь мэдэгдэж буй талын уртын квадратыг өнцгүүдийн синусаар үржүүлж, эдгээр өнцгийн давхар синусанд хуваасантай тэнцүү: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2) *нүгэл (α + β)). Жишээлбэл, 15 см-ийн мэдэгдэж буй талтай ижил гурвалжны хувьд, түүнтэй зэргэлдээ булангууд 40° ба 60°-д талбайн тооцоо дараах байдлаар харагдана: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 квадрат сантиметр.
Гурвалжны талбайг тооцоолох хувилбар нь өнцгийг агуулдаг. Талбай нь мэдэгдэж буй талын уртын квадраттай тэнцүү байх ба өнцгийн тус бүрийн шүргэгчээр үржүүлж, эдгээр өнцгийн шүргэгчийн нийлбэрийг хоёр дахин хуваана: S = A*A*tg(α)*tg. (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Жишээлбэл, 15 см-ийн хажуу талтай, зэргэлдээх өмнөх алхмуудад ашигласан гурвалжны хувьд булангууд 40° ба 60°-д талбайн тооцоо дараах байдлаар харагдана: (15*15*тг(40)*тг(60))/(2*(тг(40)+тг(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 сантиметр квадрат.
Гурвалжин бол гурван орой, гурван талтай хамгийн энгийн олон өнцөгт юм. Нэг өнцөг нь зөв гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд ерөнхий гурвалжны бүх томъёог хэрэглэнэ. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг зөв өнцгийн шинж чанарыг харгалзан өөрчилж болно.
Зааварчилгаа
Талбайг олох үндсэн гурвалжинсуурийн дундуур дараах байдлаар: S = 1/2 * b * h, b нь тал юм гурвалжин, ба h - гурвалжин. Өндөр гурвалжиноройноос татсан перпендикуляр юм гурвалжинэсрэг заалтыг агуулсан мөрөнд. Тэгш өнцөгтийн хувьд гурвалжин k b өндөр нь а хөлтэй давхцдаг. Ингэснээр та талбайг тооцоолох томъёог авах болно гурвалжинөнцөгтэй: S = 1/2 * a * b.
Санаж үз. Тэгш өнцөгт a = 3, b = 4. Дараа нь S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Тооцоол. дөрвөлжинадилхан гурвалжин, гэхдээ одоо зөвхөн нэг тал нь мэдэгдэж байг b = 4. Мөн α, tan α = 3/4 өнцөг нь бас мэдэгдэж байна. Дараа нь тригонометрийн функцийн шүргэгч α илэрхийллээс a хөлийг илэрхийлнэ: tg α = a/b => a = b * tan α. Тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолохын тулд энэ утгыг томъёонд орлуулна уу гурвалжинмөн бид дараахийг авна: S = 1/2 * a * b = 1/2 * b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
Тэгш өнцөгт тэгш өнцөгтийн талбайн тооцоог онцгой тохиолдол болгон авч үзье гурвалжин. Хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ. Тэгш өнцөгтийн хувьд гурвалжин a = b болж байна. Энэ тохиолдолд Пифагорын теоремыг бичнэ үү: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Дараа нь энэ утгыг талбайг тооцоолох томъёонд дараах байдлаар орлуулна уу: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2/2) = c^2/4 .
Хэрэв бичээстэй тойргийн r ба R тойргийн радиусууд мэдэгдэж байвал дөрвөлжинтэгш өнцөгт гурвалжин S = r^2 + 2 * r * R томъёогоор тооцоолно. Гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг r = 1, хүрээлэгдсэн тойргийн радиус гэж үзье. гурвалжинтойрог R = 5/2. Дараа нь S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.
Сэдвийн талаархи видео
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна: R = c / 2. Тэгш өнцөгт гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусыг r = (a + b – c) / 2 томъёогоор олно.
Энэ бол хамгийн энгийн геометрийн дүрсүүдийн нэг бөгөөд гурван цэгийг хосоор холбосон гурван сегмент нь онгоцны нэг хэсгийг хязгаарладаг. Гурвалжны зарим параметрүүдийг (талуудын урт, өнцөг, бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, өндөр гэх мэт) янз бүрийн хослолоор мэдэх нь онгоцны энэ хязгаарлагдмал хэсгийн талбайг тооцоолох боломжийг олгодог.
Зааварчилгаа
Хэрэв гурвалжны хоёр талын урт (A ба B) ба тэдгээрийн өнцгийн хэмжээ (γ) мэдэгдэж байвал гурвалжны талбай (S) нь талуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байх болно. мэдэгдэж байгаа өнцгийн синус: S=A∗B∗sin(γ)/2.
Хэрэв дурын гурвалжны бүх гурван талын урт (A, B, C) мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг (S) тооцоолоход нэмэлт хувьсагч болох хагас периметрийг (p) оруулах нь илүү тохиромжтой. Энэ хувьсагчийг бүх талын уртын нийлбэрийн хагасаар тооцно: p=(A+B+C)/2. Энэ хувьсагчийг ашигласнаар энэ хувьсагч дээрх хагас периметрийн үржвэрийн квадрат язгуур болон талуудын уртыг тодорхойлж болно: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Хэрэв бүх талуудын уртаас (A, B, C) гадна дурын гурвалжны ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын урт (R) нь мэдэгдэж байгаа бол хагас периметргүйгээр хийж болно - талбай. (S) нь бүх талын уртын үржвэрийг тойргийн дөрөв дахин радиустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна: S=A ∗B∗C/(4∗R).
Хэрэв гурвалжны бүх өнцгийн утгууд (α, β ба γ) ба түүний аль нэг талын урт (A) мэдэгдэж байвал талбай (S) нь квадратын үржвэрийн харьцаатай тэнцүү байх болно. мэдэгдэж байгаа талын уртыг түүнтэй зэргэлдээ орших хоёр өнцгийн синусын эсрэг талын нэг өнцгийн давхар синустай харьцуулна: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).
Хэрэв дурын гурвалжны бүх өнцгийн утгууд (α, β ба γ) ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиус (R) нь мэдэгдэж байгаа бол талбай (S) нь радиус ба квадратын квадратаас хоёр дахин их байх болно. бүх өнцгийн синусууд: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
Сэдвийн талаархи видео
Гурвалжны эзэлхүүнийг олох нь үнэхээр энгийн ажил биш юм. Гурвалжин бол хоёр хэмжээст дүрс, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь бүхэлдээ нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь ердөө л эзлэхүүнгүй гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, та байхгүй зүйлийг олж чадахгүй. Гэхдээ бууж өгөхгүй байцгаая! Бид дараах таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч болно: хоёр хэмжээст дүрсийн эзэлхүүн нь түүний талбай юм. Бид гурвалжны талбайг хайх болно.
Танд хэрэгтэй болно
- хуудас, харандаа, захирагч, тооны машин
Зааварчилгаа
Захирагч, харандаа ашиглан цаасан дээр зур. Гурвалжныг сайтар судалж үзээд энэ нь хавтгай дээр зурсан тул үнэхээр гурвалжингүй гэдэгт итгэлтэй байж болно. Гурвалжны талуудыг тэмдэглэ: нэг тал нь "a", нөгөө тал нь "b", гурав дахь тал нь "c" байна. Гурвалжны оройг "A", "B", "C" үсгээр тэмдэглэ.
Гурвалжны аль ч талыг захирагчаар хэмжиж, үр дүнг бич. Үүний дараа түүний эсрэг талын оройноос хэмжсэн тал руу перпендикулярыг сэргээж, ийм перпендикуляр нь гурвалжны өндөр байх болно. Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд перпендикуляр "h" нь "A" оройноос "c" тал руу сэргээгддэг. Үүссэн өндрийг захирагчаар хэмжиж, хэмжилтийн үр дүнг бичнэ үү.
Яг перпендикулярыг сэргээх нь танд хэцүү байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та өөр томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гурвалжны бүх талыг захирагчаар хэмжинэ. Үүний дараа "p" гурвалжны хагас периметрийг тооцоолохдоо үүссэн талуудын уртыг нэмж, тэдгээрийн нийлбэрийг хагасаар хуваана. Хагас периметрийн утгыг таны мэдэлд байгаа бол та Хэроны томъёог ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та дараах язгуурыг авах хэрэгтэй: p(p-a)(p-b)(p-c).
Та гурвалжны шаардлагатай хэсгийг авсан. Гурвалжны эзэлхүүнийг олох асуудал шийдэгдээгүй ч дээр дурдсанчлан эзлэхүүн нь . Гурван хэмжээст ертөнцөөс үндсэндээ гурвалжин болох эзэлхүүнийг олж болно. Хэрэв бид анхны гурвалжин гурван хэмжээст пирамид болсон гэж төсөөлвөл ийм пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн уртыг бидний олж авсан гурвалжны талбайн үржвэр болно.
тэмдэглэл
Хэдий чинээ нарийвчлалтай хэмжих тусам таны тооцоо илүү нарийвчлалтай болно.
Эх сурвалжууд:
- Тооны машин "Бүх зүйлд" - лавлагаа утгын портал
- гурвалжны эзэлхүүн
Гурвалжин бол гурван тал, гурван оройноос бүрддэг хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Энгийн байдлаас шалтгаалан гурвалжинг эрт дээр үеэс янз бүрийн хэмжилт хийхэд ашиглаж ирсэн бөгөөд өнөөдөр энэ дүрс нь практик болон өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.
Гурвалжны онцлог
Энэ зургийг эрт дээр үеэс тооцоололд ашиглаж ирсэн, тухайлбал газар судлаач, одон орон судлаачид гурвалжны шинж чанарыг ашиглан газар нутаг, зайг тооцоолоход ашигладаг. Энэ дүрсийн талбайгаар ямар ч n-гонын талбайг илэрхийлэхэд хялбар байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг эртний эрдэмтэд олон өнцөгтийн талбайн томъёог гаргахад ашигладаг байжээ. Гурвалжин, ялангуяа тэгш өнцөгт гурвалжинтай тогтмол ажиллах нь математикийн бүхэл бүтэн салбар болох тригонометрийн үндэс суурь болсон.
Гурвалжингийн геометр
Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг эрт дээр үеэс судалж ирсэн: гурвалжны тухай хамгийн анхны мэдээлэл нь 4000 жилийн өмнөх Египетийн папирусаас олдсон. Дараа нь уг дүрсийг Эртний Грекд судалж, гурвалжингийн геометрт хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Евклид, Пифагор, Херон нар юм. Гурвалжны судалгаа хэзээ ч зогссонгүй бөгөөд 18-р зуунд Леонхард Эйлер дүрсийн ортоцентр ба Эйлерийн тойрог гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. 19-20-р зууны зааг дээр гурвалжны талаар бүх зүйл мэдэгдэж байсан мэт санагдах үед Фрэнк Морли өнцгийн трисекторын теоремыг, Ваклав Сиерпински фрактал гурвалжинг санал болгов.
Сургуулийн геометрийн хичээлээс бидэнд танил болсон хэд хэдэн төрлийн хавтгай гурвалжин байдаг.
- цочмог - зургийн бүх булангууд нь хурц;
- мохоо - зураг нь нэг мохоо өнцөгтэй (90 градусаас дээш);
- тэгш өнцөгт - зураг нь 90 градустай тэнцүү нэг зөв өнцгийг агуулна;
- isosceles - хоёр тэнцүү талтай гурвалжин;
- тэгш талт - бүх тэгш талуудтай гурвалжин.
- Бодит амьдрал дээр бүх төрлийн гурвалжин байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болдог.
Гурвалжны талбай
Талбай гэдэг нь тухайн зураг хавтгайн хэр их хэсгийг хамарч байгааг тооцоолдог. Гурвалжны талбайг бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн талууд, өндөр, өнцөг, радиус, түүнчлэн Хероны томъёог ашиглан эсвэл хавтгайг хязгаарласан шугамын дагуу давхар интегралыг тооцоолох замаар зургаан аргаар олж болно. Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн энгийн томъёо нь:
a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.
Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр геометрийн дүрсийн өндрийг олох нь бидэнд үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Манай тооны машины алгоритм нь дараахь зүйлийг мэдэж байгаа талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно.
- гурван тал;
- хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
- нэг тал ба хоёр булан.
Гурван хажуугийн талбайг тодорхойлохын тулд бид Хероны томъёог ашиглана:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
Энд p нь гурвалжны хагас периметр.
Хоёр тал ба өнцгийн талбайг сонгодог томъёогоор тооцоолно.
S = a × b × sin(alfa),
альфа нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.
Талбайг нэг тал ба хоёр өнцгөөр тодорхойлохын тулд бид дараахь харьцааг ашиглана.
a / нүгэл (альфа) = б / нүгэл (бета) = в / нүгэл (гамма)
Энгийн пропорцийг ашиглан бид хоёр дахь талын уртыг тодорхойлж, дараа нь S = a × b × sin (alfa) томъёог ашиглан талбайг тооцоолно. Энэхүү алгоритм нь бүрэн автоматжуулсан бөгөөд та зөвхөн заасан хувьсагчдыг оруулаад үр дүнгээ авахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Амьдралаас авсан жишээнүүд
Хучилтын хавтан
Та шалыг гурвалжин хавтангаар хучимаар байна гэж бодъё, шаардлагатай материалын хэмжээг тодорхойлохын тулд та плитаны талбай, шалны талбайг мэдэх хэрэгтэй. Хэмжээ нь a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см хэмжээтэй хавтанг ашиглан 6 хавтгай дөрвөлжин метр гадаргууг боловсруулах шаардлагатай гэж бодъё, гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд тооцоолуур Хероны томъёог ашигладаг. Үр дүн:
Тиймээс нэг хавтангийн элементийн талбай нь 0.021 хавтгай дөрвөлжин метр байх бөгөөд шалыг тохижуулахын тулд танд 6/0.021 = 285 гурвалжин хэрэгтэй болно. 20, 21, 29 тоонууд нь Пифагорын гурвалсан тоог бүрдүүлдэг. Энэ нь зөв, манай тооны машин гурвалжны бүх өнцгийг тооцоолсон бөгөөд гамма өнцөг нь яг 90 градус байна.
Сургуулийн даалгавар
Сургуулийн асуудлын хувьд та гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй, учир нь тал нь a = 5 см, альфа ба бета өнцөг нь тус тус 30 ба 50 градус байна. Энэ асуудлыг гараар шийдэхийн тулд эхлээд харьцааны харьцаа ба эсрэг өнцгийн синусыг ашиглан b талын утгыг олж, дараа нь S = a × b × sin(alfa) энгийн томъёогоор талбайг тодорхойлно. Цаг хэмнэж, тооцоолуурын маягт руу өгөгдлийг оруулаад шууд хариулт авцгаая
Тооцоологчийг ашиглахдаа өнцөг болон талыг зөв зааж өгөх нь чухал бөгөөд эс тэгвээс үр дүн нь буруу байх болно.
Дүгнэлт
Гурвалжин бол бодит амьдрал дээр ч, хийсвэр тооцоололд ч олддог өвөрмөц дүрс юм. Ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу.
