Заримдаа амьдралд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохын тулд ой санамжаа гүнзгийрүүлэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, та гурвалжин хэлбэртэй газрын талбайг тодорхойлох, эсвэл орон сууц эсвэл хувийн байшинд дахин засвар хийх цаг болсон, мөн гадаргуу дээр хэр их материал шаардагдахыг тооцоолох хэрэгтэй. гурвалжин хэлбэртэй. Та ийм асуудлыг хэдхэн минутын дотор шийдэж чаддаг байсан үе байсан, гэхдээ одоо та гурвалжингийн талбайг хэрхэн тодорхойлохоо санах гэж маш их хичээж байна уу?

Үүнд санаа зовох хэрэггүй! Эцсийн эцэст, хүний тархи удаан ашиглагдаагүй мэдлэгийг хаа нэгтээ алслагдсан булан руу шилжүүлэхээр шийдсэн нь хэвийн үзэгдэл бөгөөд заримдаа үүнийг олж авахад тийм ч хялбар байдаггүй. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохгүй байхын тулд энэ нийтлэлд гурвалжны шаардлагатай хэсгийг олоход хялбар болгох янз бүрийн аргуудыг багтаасан болно.

Гурвалжин бол хамгийн бага боломжит талуудын тоогоор хязгаарлагддаг олон өнцөгт хэлбэр гэдгийг сайн мэддэг. Зарчмын хувьд аливаа олон өнцөгтийг оройг нь хажуу талыг нь огтолдоггүй сегментүүдээр холбосноор хэд хэдэн гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжинг мэддэг тул та бараг ямар ч зургийн талбайг тооцоолж болно.

Амьдралд тохиолдож болох бүх гурвалжнуудын дотроос дараахь төрлүүдийг ялгаж салгаж болно: тэгш өнцөгт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол түүний өнцгийн аль нэг нь зөв, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд юм. Энэ нь хагас тэгш өнцөгт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс түүний талбай нь бие биентэйгээ тэгш өнцөг үүсгэдэг талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Хэрэв бид гурвалжны аль нэг оройгоос эсрэг тал руу буулгасан өндрийг ба суурь гэж нэрлэдэг энэ талын уртыг мэддэг бол талбайг өндөр ба суурийн үржвэрийн хагасаар тооцно. Үүнийг дараах томъёогоор бичнэ.

S = 1/2*b*h, үүнд

S - гурвалжны шаардлагатай талбай;

b, h - гурвалжны өндөр ба суурь тус тус.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолоход маш хялбар байдаг, учир нь өндөр нь эсрэг талыг хоёр хуваах бөгөөд хэмжихэд хялбар байдаг. Хэрэв талбайг тодорхойлсон бол тэгш өнцөг үүсгэгч талуудын аль нэгний уртыг өндрөөр авах нь тохиромжтой.

Энэ бүхэн мэдээж сайн, гэхдээ гурвалжны аль нэг өнцөг зөв эсэхийг яаж тодорхойлох вэ? Хэрэв бидний зургийн хэмжээ бага бол бид барилгын өнцөг, зургийн гурвалжин, ил захидал эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй өөр зүйлийг ашиглаж болно.

Гэхдээ гурвалжин газартай бол яах вэ? Энэ тохиолдолд дараах байдлаар ажиллана уу: зөв өнцгийн дээд талаас нэг талаас 3-ын үржвэр (30 см, 90 см, 3 м) зайг тоолж, нөгөө талаас 4-ийн үржвэрийг ижил хэмжээгээр хэмжинэ. пропорциональ (40 см, 160 см, 4 м). Одоо та эдгээр хоёр сегментийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг хэмжих хэрэгтэй. Хэрэв үр дүн нь 5-ын үржвэр (50 см, 250 см, 5 м) байвал өнцөг нь зөв гэж хэлж болно.

Хэрэв манай зургийн гурван тал бүрийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тодорхойлж болно. Үүнийг илүү энгийн хэлбэртэй болгохын тулд хагас периметр гэж нэрлэгддэг шинэ утгыг ашигладаг. Энэ бол манай гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийг хагасаар хуваасан юм. Хагас периметрийг тооцоолсны дараа та томъёог ашиглан талбайг тодорхойлж эхэлж болно.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), хаана

sqrt - квадрат язгуур;

p - хагас периметрийн утга (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - гурвалжны ирмэг (тал).

Гэхдээ гурвалжин жигд бус хэлбэртэй байвал яах вэ? Энд хоёр боломжит арга бий. Тэдний эхнийх нь ийм дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваахыг оролдох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэрийг тусад нь тооцож, дараа нь нэмнэ. Эсвэл хоёр талын хоорондох өнцөг болон эдгээр талуудын хэмжээ нь мэдэгдэж байгаа бол дараах томъёог хэрэглэнэ.

S = 0.5 * ab * sinC, хаана

a,b - гурвалжны талууд;

c нь эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ.

Сүүлчийн тохиолдол нь практикт ховор тохиолддог боловч амьдралд бүх зүйл боломжтой байдаг тул дээрх томъёо нь илүүдэхгүй байх болно. Таны тооцоололд амжилт хүсье!

Гурвалжин бол хүн бүрт танил дүрс юм. Энэ нь түүний олон янзын хэлбэрийг үл харгалзан. Тэгш өнцөгт, тэгш талт, хурц, тэгш өнцөгт, мохоо. Тэд тус бүр нь ямар нэгэн байдлаар өөр өөр байдаг. Гэхдээ хэн ч гурвалжны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.

Талуудын урт эсвэл өндрийг ашигладаг бүх гурвалжинд нийтлэг томъёо

Тэдгээрт батлагдсан тэмдэглэгээ: талууд - a, b, c; a, n in, n with дээрх харгалзах талууд дээрх өндөр.

1. Гурвалжны талбайг ½, тал ба түүнээс хассан өндрийн үржвэрээр тооцно. S = ½ * a * n a. Нөгөө хоёр талын томьёог ижилхэн бичих ёстой.

2. Хагас периметр гарч ирэх Хэроны томъёо (бүтэн периметрээс ялгаатай нь ихэвчлэн жижиг p үсгээр тэмдэглэдэг). Хагас периметрийг дараах байдлаар тооцоолох ёстой: бүх талыг нэмээд 2-т хуваана. Хагас периметрийн томъёо нь: p = (a+b+c) / 2. Дараа нь талбайн тэгшитгэл. зураг дараах байдалтай байна: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Хэрэв та хагас периметр ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол зөвхөн талуудын уртыг агуулсан томъёо хэрэгтэй болно: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Энэ нь өмнөхөөсөө арай урт боловч хагас периметрийг хэрхэн олохоо мартсан бол энэ нь туслах болно.

Гурвалжны өнцгийг хамарсан ерөнхий томьёо

Томьёог уншихад шаардлагатай тэмдэглэгээ: α, β, γ - өнцөг. Тэд a, b, c-ийн эсрэг талд байрладаг.

1. Үүний дагуу хоёр талын үржвэрийн тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус нь гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь: S = ½ a * b * sin γ. Бусад хоёр тохиолдлын томъёог ижил төстэй байдлаар бичих хэрэгтэй.

2. Гурвалжны талбайг нэг тал ба гурван мэдэгдэж буй өнцгөөс тооцоолж болно. S = (а 2 * нүгэл β * нүгэл γ) / (2 нүгэл α).

3. Мэдэгдэж байгаа нэг тал, хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй томьёо бас бий. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Сүүлийн хоёр томъёо нь хамгийн энгийн биш юм. Тэднийг санах нь маш хэцүү байдаг.

Бичсэн эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг мэддэг нөхцөл байдлын ерөнхий томьёо

Нэмэлт тэмдэглэгээ: r, R - радиус. Эхнийх нь бичээстэй тойргийн радиуст ашиглагддаг. Хоёр дахь нь тайлбарласан зүйлд зориулагдсан.

1. Гурвалжны талбайг тооцоолох эхний томъёо нь хагас периметртэй холбоотой. S = r * r. Үүнийг бичих өөр нэг арга бол: S = ½ r * (a + b + c).

2. Хоёр дахь тохиолдолд та гурвалжны бүх талыг үржүүлж, тойргийн радиусыг дөрөв дахин хуваах хэрэгтэй болно. Шууд утгаараа дараах байдлаар харагдана: S = (a * b * c) / (4R).

3. Гурав дахь нөхцөл байдал нь талуудыг мэдэхгүйгээр хийх боломжийг олгодог боловч бүх гурван өнцгийн утгууд хэрэгтэй болно. S = 2 R 2 * нүгэл α * нүгэл β * нүгэл γ.

Онцгой тохиолдол: тэгш өнцөгт гурвалжин

Зөвхөн хоёр хөлний урт шаардлагатай тул энэ нь хамгийн энгийн нөхцөл байдал юм. Тэдгээрийг латин a, b үсгээр тэмдэглэв. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүнд нэмсэн тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна.

Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = ½ a * b. Энэ нь санахад хамгийн хялбар юм. Тэгш өнцөгтийн талбайн томьёо шиг харагддаг тул зөвхөн хагасыг харуулсан бутархай гарч ирнэ.

Онцгой тохиолдол: ижил өнцөгт гурвалжин

Энэ нь хоёр тэнцүү талтай тул түүний талбайн зарим томъёо нь арай хялбаршуулсан мэт харагдаж байна. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох Хероны томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Хэрэв та үүнийг өөрчлөх юм бол энэ нь богино болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны Хэроны томъёог дараах байдлаар бичнэ.

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Талбайн томьёо нь талууд болон тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тодорхой бол дурын гурвалжныхаас арай хялбар харагдаж байна. S = ½ a 2 * sin β.

Онцгой тохиолдол: тэгш талт гурвалжин

Асуудлын хувьд ихэвчлэн түүний талыг мэддэг эсвэл ямар нэгэн байдлаар олж мэддэг. Дараа нь ийм гурвалжны талбайг олох томъёо дараах байдалтай байна.

S = (a 2 √3) / 4.

Гурвалжинг алаг цаасан дээр дүрсэлсэн бол талбайг олоход тулгардаг асуудлууд

Хамгийн энгийн нөхцөл байдал бол тэгш өнцөгт гурвалжинг зурах бөгөөд хөл нь цаасны зураастай давхцах явдал юм. Дараа нь та хөлөнд тохирох эсийн тоог тоолох хэрэгтэй. Дараа нь тэдгээрийг үржүүлж, хоёр хуваа.

Гурвалжин нь хурц эсвэл мохоо байвал тэгш өнцөгт рүү зурах шаардлагатай. Дараа нь үүссэн зураг нь 3 гурвалжинтай болно. Нэг нь асуудалд өгөгдсөн зүйл юм. Нөгөө хоёр нь туслах ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Сүүлийн хоёрын талбайг дээр дурдсан аргыг ашиглан тодорхойлох шаардлагатай. Дараа нь тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолж, үүнээс туслах хэсэгт тооцсон хэсгийг хас. Гурвалжны талбайг тодорхойлно.

Гурвалжны аль ч тал нь цаасны шугамтай давхцахгүй байх нөхцөл байдал илүү төвөгтэй болж хувирав. Дараа нь анхны дүрсийн оройнууд нь хажуу талдаа байхаар тэгш өнцөгт хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Энэ тохиолдолд гурван туслах гурвалжин байх болно.

Хероны томъёог ашигласан бодлогын жишээ

Нөхцөл байдал. Зарим гурвалжин нь талуудыг мэддэг. Тэдгээр нь 3, 5, 6 см-тэй тэнцүү бөгөөд та түүний талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.

Одоо та дээрх томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно. Квадрат язгуурын дор 7, 4, 2 ба 1 гэсэн дөрвөн тооны үржвэр байна. Өөрөөр хэлбэл талбай нь √(4 * 14) = 2 √(14) байна.

Хэрэв илүү нарийвчлал шаардагдахгүй бол 14-ийн квадрат язгуурыг авч болно. Энэ нь 3.74-тэй тэнцүү байна. Тэгвэл талбай нь 7.48 болно.

Хариулт. S = 2 √14 см 2 буюу 7.48 см 2.

Зөв гурвалжинтай холбоотой жишээ бодлого

Нөхцөл байдал. Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь хоёр дахь хөлөөсөө 31 см том бол гурвалжны талбай 180 см 2 бол та тэдгээрийн уртыг олох хэрэгтэй.
Шийдэл. Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй болно. Эхнийх нь газар нутагтай холбоотой. Хоёр дахь нь асуудалд өгөгдсөн хөлний харьцаатай.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Нэгдүгээрт, "a" утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулах ёстой. Үүнээс харахад: 180 = ½ (+ 31-д) * in. Зөвхөн нэг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн байгаа тул үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Хаалтуудыг нээсний дараа квадрат тэгшитгэлийг олж авна: 2 + 31 360 = 0. Энэ нь "in" гэсэн хоёр утгыг өгдөг: 9 ба - 40. Хоёр дахь тоо нь хариултын хувьд тохиромжгүй, учир нь хажуугийн урт нь гурвалжны сөрөг утга байж болохгүй.

Хоёрдахь хөлийг тооцоолоход л үлддэг: гарсан тоон дээр 31-ийг нэмбэл 40. Эдгээр нь асуудалд хайж буй тоо хэмжээ юм.

Хариулах. Гурвалжны хөл нь 9 ба 40 см байна.

Гурвалжны талбай, тал, өнцгийн дундуур талыг олох бодлого

Нөхцөл байдал. Тодорхой гурвалжны талбай нь 60 см 2 байна. Хоёр дахь тал нь 15 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 30º бол түүний аль нэг талыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнд үндэслэн хүссэн тал нь "a", мэдэгдэж буй тал нь "b", өгөгдсөн өнцөг нь "γ" байна. Дараа нь талбайн томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.

60 = ½ a * 15 * гэм 30º. Энд 30 градусын синус 0.5 байна.

Өөрчлөлтийн дараа "a" нь 60 / (0.5 * 0.5 * 15) тэнцүү болж хувирна. Энэ нь 16.

Хариулах. Шаардлагатай тал нь 16 см байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй квадратын тухай бодлого

Нөхцөл байдал. 24 см талтай дөрвөлжингийн орой нь гурвалжны зөв өнцөгтэй давхцаж байна. Нөгөө хоёр нь хажуу тийшээ хэвтэж байна. Гурав дахь нь гипотенузид хамаарна. Нэг хөлийн урт 42 см тэгш өнцөгт гурвалжны талбай хэд вэ?

Шийдэл. Хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Эхнийх нь даалгаварт заасан зүйл юм. Хоёр дахь нь анхны гурвалжны мэдэгдэж буй хөл дээр суурилдаг. Тэдгээр нь нийтлэг өнцөгтэй, зэрэгцээ шугамаар үүсгэгддэг тул ижил төстэй байдаг.

Дараа нь тэдний хөлний харьцаа тэнцүү байна. Жижиг гурвалжны хөл нь 24 см (дөрвөлжингийн тал) ба 18 см (өгөгдсөн хөл нь 42 см, дөрвөлжингийн талыг 24 см хасна) тэнцүү байна. Том гурвалжны харгалзах хөл нь 42 см ба х см байна. Гурвалжны талбайг тооцоолоход энэ "x" шаардлагатай.

18/42 = 24/х, өөрөөр хэлбэл x = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Дараа нь талбай нь 56 ба 42-ын үржвэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 1176 см 2 байна.

Хариулах. Шаардлагатай талбай нь 1176 см 2 байна.

Геометрийн дүрсийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Гурвалжны талбайн хажуу ба өндрийн томъёо
Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн урт ба энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү
Гурван тал ба тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
Гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Квадрат талбайн томъёо

Хажуугийн урттай дөрвөлжин талбайн томъёо
Дөрвөлжин талбайтүүний хажуугийн уртын квадраттай тэнцүү байна.
Диагональ уртын дагуу квадратын талбайн томъёо
Дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
S= 1 2
2

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгтийн талбай

Параллелограммын талбайн томьёо

Хажуугийн урт ба өндрийг харгалзан параллелограммын талбайн томъёо
Параллелограммын талбай
Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг дээр суурилсан параллелограммын талбайн томъёо
Параллелограммын талбайталуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
a b sin α

Ромбын талбайн томъёо

Хажуугийн урт ба өндрөөс хамааран ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хажуугийн урт ба өнцгийг харгалзан ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
Диагональуудын урт дээр үндэслэн ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапец хэлбэрийн талбайн томъёо

Трапецын Хэроны томъёо
Энд S нь трапецын талбай,
- трапецын суурийн урт;
- трапецын хажуугийн урт;

Гурвалжны талбай - томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Доор байна дурын гурвалжны талбайг олох томъёошинж чанар, өнцөг, хэмжээ зэргээс үл хамааран аливаа гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой. Томъёо нь зураг хэлбэрээр, тэдгээрийн хэрэглээний тайлбар эсвэл тэдгээрийн зөв байдлын үндэслэлийг харуулсан болно. Мөн тусдаа зураг нь томьёо дахь үсгийн тэмдэг болон зураг дээрх график тэмдэгтүүдийн хоорондын захидал харилцааг харуулж байна.

Анхаарна уу . Хэрэв гурвалжин нь тусгай шинж чанартай (исс өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) байвал доор өгөгдсөн томьёо болон зөвхөн эдгээр шинж чанартай гурвалжинд хүчинтэй нэмэлт тусгай томъёог ашиглаж болно.

"Тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо"

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Томъёоны тайлбар:
a, b, c- талбайг нь олохыг хүсч буй гурвалжны талуудын урт
r- гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус
Р- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус
h- хажуу тийшээ доошлуулсан гурвалжны өндөр
х- гурвалжны хагас периметр, талуудын нийлбэрийн 1/2 (периметр)
α - гурвалжны а талын эсрэг талын өнцөг
β - гурвалжны b талын эсрэг талын өнцөг
γ - гурвалжны в талын эсрэг талын өнцөг
h а, h б , h в- гурвалжны өндрийг a, b, c тал руу буулгасан

Өгөгдсөн тэмдэглэгээ нь дээрх зурагтай тохирч байгаа тул геометрийн бодит асуудлыг шийдэхдээ томьёоны зөв газарт зөв утгыг орлуулах нь нүдэнд харагдахуйц хялбар байх болно гэдгийг анхаарна уу.

Гурвалжны талбай нь гурвалжны өндрийн хагас үржвэр ба энэ өндрийг доошлуулах талын урт(Формула 1). Энэ томъёоны зөвийг логикоор ойлгож болно. Суурь руу буулгасан өндөр нь дурын гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах болно. Хэрэв та тус бүрийг b ба h хэмжээтэй тэгш өнцөгт болгон барьвал эдгээр гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн яг хагастай тэнцүү байх болно (Spr = bh)
Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын хагасын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус(Формула 2) (энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх жишээг доороос үзнэ үү). Хэдийгээр энэ нь өмнөхөөсөө ялгаатай мэт санагдаж байгаа ч үүнийг амархан хувиргаж болно. Хэрэв бид өндрийг B өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны синусын шинж чанарын дагуу а тал ба γ өнцгийн синусын үржвэр нь бидний зурсан гурвалжны өндөртэй тэнцүү байна. , энэ нь бидэнд өмнөх томьёог өгдөг
Дурын гурвалжны талбайг олж болно дамжуулан ажилдотор нь бичсэн тойргийн радиусын хагасыг түүний бүх талуудын уртын нийлбэрээр илэрхийлнэ(Формула 3), энгийнээр хэлбэл, та гурвалжны хагас периметрийг бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлэх хэрэгтэй (үүнийг санахад хялбар)
Дурын гурвалжны талбайг түүний бүх талуудын үржвэрийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар олж болно (Формула 4)
Формула 5 нь гурвалжны талбайг талуудын урт ба хагас периметрээр нь (бүх талуудын нийлбэрийн хагас) олох явдал юм.
Хероны томъёо(6) нь хагас периметрийн ойлголтыг ашиглахгүйгээр зөвхөн талуудын уртаар дамжуулан ижил томьёоны дүрслэл юм.
Дурын гурвалжны талбай нь гурвалжны хажуугийн квадрат ба энэ талтай зэргэлдээх өнцгийн синусын үржвэрийг энэ талын эсрэг талын өнцгийн давхар синусанд хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7)
Дурын гурвалжны талбайг түүний өнцөг бүрийн синусаар тойрсон тойргийн хоёр квадратын үржвэрээр олж болно. (Формула 8)
Хэрэв нэг талын урт ба зэргэлдээ хоёр өнцгийн утгууд мэдэгдэж байвал гурвалжны талбайг энэ талын квадратыг эдгээр өнцгийн котангентын давхар нийлбэрт хуваасан хэлбэрээр олж болно (Формула 9)
Хэрэв гурвалжны өндөр тус бүрийн уртыг л мэддэг бол (Формула 10) ийм гурвалжны талбай нь Хероны томъёоны дагуу эдгээр өндрийн урттай урвуу пропорциональ байна.
Формула 11 нь тооцоолох боломжийг танд олгоно оройнуудын координат дээр үндэслэн гурвалжны талбай, эдгээр нь орой тус бүрийн хувьд (x;y) утгуудаар тодорхойлогддог. Хувь хүний (эсвэл бүр бүх) оройн координатууд сөрөг утгын бүсэд байж болох тул үр дүнгийн утгыг модулаар авах ёстойг анхаарна уу.

Анхаарна уу. Гурвалжны талбайг олохын тулд геометрийн асуудлыг шийдэх жишээг доор харуулав. Хэрэв та энд төстэй биш геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Шийдэлд "квадрат язгуур" тэмдгийн оронд sqrt() функцийг ашиглаж болох бөгөөд үүнд sqrt нь квадрат язгуур тэмдэг, радикал илэрхийллийг хаалтанд заасан болно..Заримдаа энгийн радикал илэрхийлэлд энэ тэмдгийг ашиглаж болно √

Даалгавар. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ол

Гурвалжны талууд нь 5 ба 6 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 60 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хичээлийн онолын хэсгээс хоёр дахь томьёог ашигладаг.
Гурвалжны талбайг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар олж болох ба тэнцүү байх болно.
S=1/2 ab sin γ

Бидэнд шийдэлд шаардлагатай бүх өгөгдөл байгаа тул (томъёоны дагуу) бид асуудлын нөхцлийн утгыг зөвхөн томъёонд орлуулж болно.
S = 1/2 * 5 * 6 * нүгэл 60

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд бид синусын 60 градусын утгыг олж, илэрхийлэлд орлуулах болно. Энэ нь гурвыг хоёр удаа үржүүлсэн үндэстэй тэнцүү байх болно.
S = 15 √3 / 2

Хариулах: 7.5 √3 (багшийн шаардлагаас хамааран та 15 √3/2 үлдээж болно)

Даалгавар. Тэгш талт гурвалжны талбайг ол

Хажуу тал нь 3 см байх тэгш талт гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёог ашиглан олж болно.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c тул тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Хариулах: 9 √3 / 4.

Даалгавар. Хажуугийн уртыг өөрчлөх үед талбайг өөрчлөх

Гурвалжны талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл түүний талбай хэдэн дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл.

Гурвалжны талуудын хэмжээс нь бидэнд тодорхойгүй тул асуудлыг шийдэхийн тулд талуудын уртыг дурын тоонуудтай тэнцүү гэж үзнэ a, b, c. Дараа нь асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид өгөгдсөн гурвалжны талбайг олж, дараа нь талууд нь дөрөв дахин том гурвалжны талбайг олох болно. Эдгээр гурвалжны талбайн харьцаа нь бидэнд асуудлын хариултыг өгөх болно.

Доор бид асуудлын шийдлийн талаархи текст тайлбарыг алхам алхмаар өгдөг. Гэсэн хэдий ч эцэст нь ижил шийдлийг илүү тохиромжтой график хэлбэрээр толилуулж байна. Сонирхсон хүмүүс шийдлүүдийг нэн даруй буулгаж болно.

Шийдвэрлэхийн тулд бид Хероны томъёог ашигладаг (хичээлийн онолын хэсгээс үзнэ үү). Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн эхний мөрийг үзнэ үү)

Дурын гурвалжны талуудын уртыг a, b, c хувьсагчаар тодорхойлно.
Хэрэв талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл шинэ c гурвалжны талбай нь:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(доорх зурган дээрх хоёр дахь мөрийг харна уу)

Таны харж байгаагаар 4 нь математикийн ерөнхий дүрмийн дагуу бүх дөрвөн илэрхийллээс хаалтнаас гаргаж болох нийтлэг хүчин зүйл юм.
Дараа нь

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - зургийн гурав дахь мөрөнд
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - дөрөв дэх мөр

256 тооны язгуурыг төгс гаргаж авсан тул язгуураас нь гаргая
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн тав дахь мөрийг харна уу)

Асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид үүссэн гурвалжны талбайг анхны гурвалжны талбайд хуваах хэрэгтэй.
Илэрхийлэлүүдийг хооронд нь хувааж, үүссэн бутархайг багасгах замаар талбайн харьцааг тодорхойлъё.

Сургуулийнхаа геометрийн сургалтын хөтөлбөрөөс гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээр холбогдсон гурван сегментээс бүрдсэн дүрс гэдгийг санаж байгаа байх. Гурвалжин нь гурван өнцгийг үүсгэдэг тул дүрсний нэрийг авсан. Тодорхойлолт нь өөр байж болно. Гурвалжинг гурван өнцөгтэй олон өнцөгт гэж нэрлэж болно, хариулт нь бас зөв байх болно. Гурвалжингууд нь ижил талуудын тоо болон зураг дээрх өнцгийн хэмжээгээр хуваагдана. Тиймээс гурвалжингуудыг тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, масштаб, тэгш өнцөгт, хурц, мохоо гэж тус тусад нь ялгадаг.

Гурвалжны талбайг тооцоолох олон томъёо байдаг. Гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг сонгох, жишээлбэл. Аль томьёог ашиглах нь танаас хамаарна. Гэхдээ гурвалжны талбайг тооцоолох олон томъёонд ашигладаг зарим тэмдэглэгээг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, санаарай:

S нь гурвалжны талбай,

a, b, c гурвалжны талууд,

h нь гурвалжны өндөр,

R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус,

p нь хагас периметр.

Хэрэв та геометрийн хичээлээ бүрэн мартсан бол танд хэрэг болох үндсэн тэмдэглэгээг энд оруулав. Гурвалжны үл мэдэгдэх, нууцлаг талбайг тооцоолох хамгийн ойлгомжтой, төвөгтэй хувилбаруудыг доор харуулав. Энэ нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд таны гэр ахуйн хэрэгцээнд болон хүүхдүүдэд туслах болно. Гурвалжны талбайг аль болох хялбар тооцоолохыг санацгаая.

Манай тохиолдолд гурвалжны талбай нь: S = ½ * 2.2 см * 2.5 см = 2.75 кв. см. Талбайг квадрат сантиметрээр (кв см) хэмждэг гэдгийг санаарай.

Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний талбай.

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь нэг өнцөг нь 90 градустай тэнцүү (тиймээс зөв гэж нэрлэдэг) гурвалжин юм. Тэгш өнцөг нь хоёр перпендикуляр шугамаар (гурвалжны хувьд хоёр перпендикуляр сегмент) үүсдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөвхөн нэг тэгш өнцөг байж болно, учир нь... нэг гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байна. Үлдсэн 90 градусыг өөр 2 өнцөг, жишээлбэл 70 ба 20, 45 ба 45 гэх мэт хуваах ёстой. Тиймээс, та хамгийн гол зүйлийг санаж байна, тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг олж мэдэх л үлдлээ. Бидний өмнө ийм тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэж төсөөлөөд үз дээ, бид түүний S талбайг олох хэрэгтэй.

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох хамгийн энгийн аргыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Манай тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь: S = 2.5 см * 3 см / 2 = 3.75 кв. см.

Зарчмын хувьд гурвалжны талбайг өөр аргаар шалгах шаардлагагүй болсон Зөвхөн энэ нь өдөр тутмын амьдралд тустай бөгөөд тустай байх болно. Гэхдээ гурвалжны талбайг хурц өнцгөөр хэмжих сонголтууд бас байдаг.

2. Тооцооллын бусад аргуудын хувьд та косинус, синус, тангенсийн хүснэгттэй байх ёстой. Өөртөө дүгнэлт хий, одоо ч ашиглаж болох тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох зарим сонголтууд энд байна.

Бид эхний томьёог жижиг толботойгоор ашиглахаар шийдсэн (бид үүнийг тэмдэглэлийн дэвтэрт зурж, хуучин захирагч, протектор ашигласан) боловч зөв тооцооллыг олж авлаа.

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Бид дараах үр дүнг авсан: 3.6 = 3.7, гэхдээ эсийн шилжилтийг харгалзан бид энэ нюансыг уучилж чадна.

Хоёр талт гурвалжин ба түүний талбай.

Хэрэв та ижил өнцөгт гурвалжны томъёог тооцоолох даалгавартай тулгарвал гурвалжны талбайн үндсэн болон сонгодог томъёог ашиглах нь хамгийн хялбар арга юм.

Гэхдээ эхлээд ижил өнцөгт гурвалжны талбайг олохын өмнө энэ нь ямар дүрс болохыг олж мэдье. Хоёр тал нь ижил урттай гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ. Эдгээр хоёр талыг хажуу, гурав дахь талыг суурь гэж нэрлэдэг. Адил талт гурвалжинг ижил талт гурвалжинтай андуурч болохгүй, өөрөөр хэлбэл. бүх гурван тал нь тэнцүү энгийн гурвалжин. Ийм гурвалжинд өнцөгт, эс тэгвээс хэмжээнүүдэд онцгой хандлага байдаггүй. Гэсэн хэдий ч ижил өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг нь тэнцүү боловч тэгш талуудын хоорондох өнцгөөс ялгаатай. Тиймээс, та ижил тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох өөр ямар томъёог мэддэг болохыг олж мэдэхийн тулд эхний ба үндсэн томъёог аль хэдийн мэддэг болсон.