Гурвалжны периметрийг олох томъёо. Гурвалжны периметр: ойлголт, шинж чанар, тодорхойлох арга

Агуулга:

Периметр нь хоёр хэмжээст хэлбэрийн хилийн нийт урт юм. Хэрэв та гурвалжны периметрийг олохыг хүсвэл түүний бүх талуудын уртыг нэмэх хэрэгтэй; Хэрэв та гурвалжны ядаж нэг талын уртыг мэдэхгүй бол үүнийг олох хэрэгтэй. Энэ нийтлэл танд (a) мэдэгдэж байгаа гурван талтай гурвалжны периметрийг хэрхэн олохыг хэлэх болно; (б) зөвхөн хоёр тал нь мэдэгдэж байгаа тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг хэрхэн олох; (в) хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн тохиолдолд дурын гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ (косинусын теоремыг ашиглан).

Алхам

1 Эдгээр гурван талын дагуу

1. 1 Периметрийг олохын тулд дараах томъёог ашиглана. P = a + b + c, энд a, b, c нь гурван талын урт, P нь периметр юм.
2. 2 Гурван талын уртыг ол.Бидний жишээнд: a = 5, b = 5, c = 5.
   • Гурван тал нь ижил урттай тул тэгш талт гурвалжин юм. Гэхдээ дээрх томъёо нь ямар ч гурвалжинд хамаарна.
3. 3 Периметрийг олохын тулд бүх гурван талын уртыг нэмнэ.Бидний жишээнд: 5 + 5 + 5 = 15, өөрөөр хэлбэл P = 15.
   • Өөр нэг жишээ: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 Хариултдаа хэмжих нэгжийг зааж өгөхөө бүү мартаарай.Бидний жишээн дээр талууд нь сантиметрээр хэмжигддэг тул таны эцсийн хариулт нь сантиметрийг (эсвэл асуудлын мэдэгдэлд заасан нэгжийг) багтаасан байх ёстой.
   • Бидний жишээн дээр тал бүр нь 5 см тул эцсийн хариулт нь P = 15 см байна.

2 Тэгш өнцөгт гурвалжны өгөгдсөн хоёр талын хувьд

1. 1 Пифагорын теоремыг санаарай.Энэ теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог бөгөөд математикийн хамгийн алдартай, хэрэглээний теоремуудын нэг юм. Теорем нь аливаа тэгш өнцөгт гурвалжинд талууд нь дараах хамаарлаар холбогддог: a 2 + b 2 = c 2, энд a, b нь хөл, в нь гипотенуз юм.
2. 2 Гурвалжин зурж, талуудыг a, b, c гэж тэмдэглэ.Тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал нь гипотенуз юм. Энэ нь зөв өнцгийн эсрэг байрладаг. Гипотенузыг "c" гэж тэмдэглэ. Хөлийг (зөв өнцгөөр зэргэлдээх талууд) "a" ба "b" гэж тэмдэглэнэ.
3. 3 Мэдэгдэж буй талуудын утгыг Пифагорын теоремд орлуулна (a 2 + b 2 = c 2).Үсгийн оронд асуудлын тайлбарт өгөгдсөн тоог орлуулна уу.
   • Жишээлбэл, a = 3 ба b = 4. Эдгээр утгыг Пифагорын теоремд орлуулна уу: 3 2 + 4 2 = c 2.
   • Өөр нэг жишээ: a = 6 ба c = 10. Дараа нь: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Үл мэдэгдэх талыг олохын тулд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.Үүнийг хийхийн тулд эхлээд талуудын мэдэгдэж буй уртыг квадрат болгоно (зөвхөн танд өгсөн тоог өөрөө үржүүлнэ). Хэрэв та гипотенузыг хайж байгаа бол хоёр талын квадратуудыг нэмж, үүссэн нийлбэрийн квадрат язгуурыг авна. Хэрэв та хөл хайж байгаа бол гипотенузын квадратаас мэдэгдэж буй хөлийн квадратыг хасч, үр дүнгийн квадрат язгуурыг авна уу.
   • Эхний жишээнд: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2; 25= c 2 ; √25 = с. Тиймээс c = 25.
   • Хоёр дахь жишээнд: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. 36-г тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлж, дараахыг авна уу: b 2 = 64; b = √64. Тиймээс b = 8.
5. 5
   • Бидний эхний жишээнд: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • Бидний хоёр дахь жишээнд: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн дагуу

1. 1 Гурвалжны аль ч талыг хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгвөл косинусын хуулийг ашиглан олж болно.Энэ теорем нь ямар ч гурвалжинд хамаарах бөгөөд маш хэрэгтэй томьёо юм. Косинусын теорем: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), энд a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь гурвалжны харгалзах талуудын эсрэг талын өнцөг юм.
2. 2 Гурвалжин зурж, талуудыг a, b, c гэж тэмдэглэнэ; харгалзах талуудын эсрэг талын өнцгийг A, B, C гэж тэмдэглэнэ (өөрөөр хэлбэл "a" талын эсрэг талын өнцөг, "A" гэх мэт).
   • Жишээлбэл, 10 ба 12 талуудтай гурвалжин, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 97 °, өөрөөр хэлбэл a = 10, b = 12, C = 97 ° байна.
3. 3 Томъёонд өгсөн утгыг орлуулж, үл мэдэгдэх "c" талыг ол.Эхлээд мэдэгдэж буй талуудын уртыг квадрат болгож, үүссэн утгыг нэмнэ. Дараа нь C өнцгийн косинусыг ол (тооцоолуур эсвэл онлайн тооцоолуур ашиглан). Мэдэгдэж буй талуудын уртыг өгөгдсөн өнцгийн косинусаар 2-оор (2abcos(C)) үржүүлнэ. Үр дүнгийн утгыг хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс (a 2 + b 2) хасвал c 2 болно. Үл мэдэгдэх "c" талын уртыг олохын тулд энэ утгын квадрат язгуурыг авна. Бидний жишээнд:
   • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0.12187)
   • c 2 = 244 – (-29.25)
   • c 2 = 244 + 29.25
   • c 2 = 273.25
   • c = 16.53
4. 4 Периметрийг олохын тулд гурван талын уртыг нэмнэ.Периметрийг дараах томъёогоор тооцоолдог гэдгийг санаарай: P = a + b + c.
   • Бидний жишээнд: P = 10 + 12 + 16.53 = 38.53.

Периметр гэдэг нь хавтгай (хоёр хэмжээст) геометрийн дүрсийн бүх талын уртыг илэрхийлдэг хэмжигдэхүүн юм. Янз бүрийн геометрийн хэлбэрийн хувьд периметрийг олох янз бүрийн арга байдаг.

Энэ нийтлэлээс та дүрсийн периметрийг түүний мэдэгдэж буй царайнаас хамааран янз бүрийн аргаар хэрхэн олохыг сурах болно.

Боломжит аргууд:

• тэгш өнцөгт эсвэл бусад гурвалжны бүх гурван тал нь мэдэгдэж байгаа;
• Мэдэгдэж байгаа хоёр нүүртэй тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг хэрхэн олох;
• хоёр нүүр ба тэдгээрийн хооронд байрлах өнцөг (косинусын томъёо) нь төвийн шугам, өндөргүй тодорхой байна.

Эхний арга: зургийн бүх талыг мэддэг

Гурван нүүр нь мэдэгдэж байгаа гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ, та дараах томъёог ашиглах ёстой: P = a + b + c, энд a,b,c нь гурвалжны бүх талуудын мэдэгдэж буй уртууд, P нь зургийн периметр юм.

Жишээлбэл, зургийн гурван тал нь мэдэгдэж байна: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см Энэ нь периметрийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

Энэ томъёо нь ямар ч гурвалжинд тохирно., та зөвхөн түүний бүх талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тодорхойгүй бол та өөр аргуудыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд бид доор хэлэлцэх болно.

Өөр нэг жишээ: a = 15 см, b = 13 см, c = 17 см периметрийг тооцоол: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

Хүлээн авсан хариултдаа хэмжих нэгжийг тэмдэглэх нь маш чухал юм. Бидний жишээн дээр талуудын уртыг сантиметрээр (см) зааж өгсөн боловч бусад хэмжилтийн нэгжүүд байдаг өөр өөр даалгаварууд байдаг.

Хоёрдахь арга: тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний мэдэгдэж буй хоёр тал

Шийдвэрлэх шаардлагатай даалгаврыг хоёр нүүрний урт нь мэдэгдэж байгаа тэгш өнцөгт дүрс өгсөн боловч гурав дахь нь тодорхойгүй тохиолдолд Пифагорын теоремыг ашиглах шаардлагатай.

Тэгш өнцөгт гурвалжны нүүрний хоорондын хамаарлыг дүрсэлдэг. Энэ теоремоор тодорхойлсон томьёо нь геометрийн хамгийн сайн мэддэг, хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг теоремуудын нэг юм. Тэгэхээр теорем өөрөө:

Аливаа тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлно: a^2 + b^2 = c^2, энд a ба b нь зургийн хөл, c нь гипотенуз юм.

• Гипотенуз. Энэ нь үргэлж зөв өнцгийн (90 градус) эсрэг байрладаг бөгөөд гурвалжны хамгийн урт ирмэг юм. Математикийн хувьд гипотенузыг c үсгээр тэмдэглэдэг заншилтай байдаг.
• Хөл- эдгээр нь тэгш өнцөгт хамаарах тэгш өнцөгт гурвалжны ирмэгүүд бөгөөд a ба b үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Нэг хөл нь мөн зургийн өндөр юм.

Тиймээс, хэрэв асуудлын нөхцөл нь ийм геометрийн дүрсийн гурван нүүрний хоёрын уртыг зааж өгсөн бол Пифагорын теоремыг ашиглан гурав дахь нүүрний хэмжээсийг олох шаардлагатай бөгөөд дараа нь эхний аргын томъёог ашиглана.

Жишээлбэл, бид 2 хөлийн уртыг мэддэг: a = 3 см, b = 5 см утгыг теоремд орлуулна уу: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2. => 25 = c ^2 => c = 5 см Тиймээс, ийм гурвалжны гипотенуз нь 5 см юм. Өөрөөр хэлбэл, дүрсийн хоёр хөл нь 3 см ба 4 см бол гипотенуз нь 5 см байна.

Хэрэв аль нэг хөлний урт нь тодорхойгүй бол томъёог дараах байдлаар хувиргах шаардлагатай: c^2 – a^2 = b^2. Нөгөө хөлний хувьд эсрэгээрээ.

Жишээгээр үргэлжлүүлье. Одоо та зургийн периметрийг олох стандарт томъёо руу шилжих хэрэгтэй: P = a + b + c. Манай тохиолдолд: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Гурав дахь арга: хоёр нүүрэн дээр, тэдгээрийн хоорондох өнцөг

Ахлах сургууль, их дээд сургуульд та периметрийг олох энэ аргыг ихэвчлэн ашиглах хэрэгтэй болдог. Хэрэв асуудлын нөхцөл нь хоёр талын урт, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн хэмжээг зааж өгсөн бол та косинусын теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

Энэ теорем нь ямар ч гурвалжинд хамаатай бөгөөд энэ нь геометрийн хамгийн хэрэгтэй зүйл юм. Теорем нь өөрөө иймэрхүү харагдаж байна: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), энд a,b,c нь нүүрний стандарт урт ба A,B юм. ба С нь гурвалжны харгалзах нүүрний эсрэг байрлах өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл, А нь а талын эсрэг талын өнцөг гэх мэт.

Гурвалжныг дүрсэлсэн, a ба b талууд нь 100 см ба 120 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 97 градус байна гэж төсөөлье. Энэ нь a = 100 см, b = 120 см, C = 97 градус байна.

Энэ тохиолдолд таны хийх ёстой зүйл бол бүх мэдэгдэж буй утгыг косинусын теоремд орлуулах явдал юм. Мэдэгдэж буй нүүрний уртыг квадрат болгож, дараа нь мэдэгдэж буй талуудыг хооронд нь хоёроор үржүүлж, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлнэ. Дараа нь та нүүрний квадратуудыг нэмж, тэдгээрээс олж авсан хоёр дахь утгыг хасах хэрэгтэй. Квадрат язгуурыг эцсийн утгаас авсан - энэ нь гурав дахь, урьд өмнө мэдэгдээгүй тал байх болно.

Зургийн бүх гурван тал тодорхой болсны дараа бидний аль хэдийн дуртай байсан эхний аргаар тайлбарласан зургийн периметрийг олох стандарт томъёог ашиглах нь хэвээр байна.

Урьдчилсан мэдээлэл

Хавтгай дээрх аливаа хавтгай геометрийн периметрийг түүний бүх талуудын уртын нийлбэрээр тодорхойлно. Гурвалжин нь үүнээс үл хамаарах зүйл биш юм. Нэгдүгээрт, бид гурвалжингийн тухай ойлголт, түүнчлэн талуудаас хамааран гурвалжны төрлүүдийг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 1

Бид гурвалжинг сегментээр холбосон гурван цэгээс бүрдсэн геометрийн дүрс гэж нэрлэнэ (Зураг 1).

Тодорхойлолт 2

1-р тодорхойлолтын хүрээнд бид цэгүүдийг гурвалжны орой гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт 3

1-р тодорхойлолтын хүрээнд бид сегментүүдийг гурвалжны талууд гэж нэрлэнэ.

Аливаа гурвалжин нь 3 орой, мөн гурван талтай байх нь ойлгомжтой.

Талуудын харилцан хамаарлаас хамааран гурвалжныг масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гэж хуваадаг.

Тодорхойлолт 4

Гурвалжны аль нь ч нөгөө талтайгаа тэнцүү биш бол бид гурвалжны масштаб гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт 5

Гурвалжны хоёр тал нь бие биетэйгээ тэнцүү, гэхдээ гурав дахь тал нь тэнцүү биш бол гурвалжны тэгш өнцөгт гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт 6

Гурвалжны бүх талууд нь хоорондоо тэнцүү бол бид гурвалжинг тэгш талт гэж нэрлэнэ.

Та эдгээр гурвалжны бүх төрлийг Зураг 2-оос харж болно.

Скален гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ?

Хажуугийн урт нь $α$, $β$, $γ$-тэй тэнцүү масштабтай гурвалжинг өгье.

Дүгнэлт:Масштабтай гурвалжны периметрийг олохын тулд түүний бүх талуудын уртыг хооронд нь нэмэх хэрэгтэй.

Жишээ 1

$34$см, $12$см, $11$см-тэй тэнцэх масштабтай гурвалжны периметрийг ол.

$P=34+12+11=57$ см

Хариулт: 57 доллар см.

Жишээ 2

$6$ ба $8$см см хэмжээтэй тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг ол.

Эхлээд Пифагорын теоремыг ашиглан энэ гурвалжны гипотенузын уртыг олъё. Үүнийг $α$ гэж тэмдэглэе

$α=10$ Скален гурвалжны периметрийг тооцоолох дүрмийн дагуу бид олж авна.

$P=10+8+6=24$ см

Хариулт: $24$ харна уу.

Хоёр талт гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ?

Бидэнд ижил өнцөгт гурвалжин өгье, талуудын урт нь $α$, суурийн урт нь $β$-тэй тэнцүү байна.

Хавтгай геометрийн дүрсийн периметрийг тодорхойлсноор бид үүнийг олж авна

$P=α+α+β=2α+β$

Дүгнэлт:Тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг олохын тулд суурийн урттай талуудын уртыг хоёр дахин нэмнэ.

Жишээ 3

Талууд нь $12$см, суурь нь $11$см бол ижил өнцөгт гурвалжны периметрийг ол.

Дээр дурдсан жишээнээс бид үүнийг харж байна

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Хариулт: 35 доллар харна уу.

Жишээ 4

Суурь руу татсан өндөр нь $8$см, суурь нь $12$см бол ижил өнцөгт гурвалжны периметрийг ол.

Асуудлын нөхцлийн дагуу зургийг харцгаая.

Гурвалжин нь тэгш өнцөгт тул $BD$ нь бас медиан тул $AD=6$см.

Пифагорын теоремыг ашиглан $ADB$ гурвалжингаас хажуу талыг олно. Үүнийг $α$ гэж тэмдэглэе

Адил өнцөгт гурвалжны периметрийг тооцоолох дүрмийн дагуу бид олж авна

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Хариулт: $32$ харна уу.

Тэгш талт гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ?

Бүх талын урт нь $α$-тай тэнцүү тэгш талт гурвалжинг өгье.

Хавтгай геометрийн дүрсийн периметрийг тодорхойлсноор бид үүнийг олж авна

$P=α+α+α=3α$

Дүгнэлт:Тэгш талт гурвалжны периметрийг олохын тулд гурвалжны хажуугийн уртыг 3 доллараар үржүүлнэ.

Жишээ 5

Тал нь $12$см бол тэгш талт гурвалжны периметрийг ол.

Дээр дурдсан жишээнээс бид үүнийг харж байна

$P=3\cdot 12=36$ см

Гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ? Бидний хүн нэг бүр сургуульд сурч байхдаа энэ асуултыг асуусан. Энэхүү гайхалтай дүрийн талаар мэддэг бүхнээ санаж, асуусан асуултанд хариулахыг хичээцгээе.

Гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултын хариулт нь ихэвчлэн маш энгийн байдаг - та түүний бүх талуудын уртыг нэмэх процедурыг хийх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч хүссэн утгыг олох хэд хэдэн энгийн аргууд байдаг.

зөвлөгөө өгөх

Гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиус (r) ба түүний талбай (S) нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд та ердийн томъёог ашиглах хэрэгтэй:

Хажуугийн хажууд байрлах α ба β гэсэн хоёр өнцгийг мэддэг бол хажуугийн уртыг өөрөө мэддэг бол периметрийг маш алдартай томъёогоор олох боломжтой бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Хэрэв та зэргэлдээ талуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох β өнцгийг мэддэг бол периметрийг олохын тулд периметрийг дараах томъёогоор тооцоолно.

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),

Энд b2 ба a2 нь зэргэлдээ талуудын уртын квадратууд юм. Радикал илэрхийлэл нь косинусын теоремыг ашиглан илэрхийлсэн үл мэдэгдэх гурав дахь талын урт юм.

Хэрэв та периметрийг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байгаа бол үнэндээ энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Үүнийг томъёогоор тооцоолно уу:

b нь гурвалжны суурь, а нь талууд.

Энгийн гурвалжны периметрийг олохын тулд хамгийн энгийн томъёог ашиглана уу.

энд a нь хажуугийн урт.

Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн эсвэл дотор нь бичээстэй тойргийн радиус л мэдэгдэж байвал түүний периметрийг хэрхэн олох вэ? Хэрэв гурвалжин тэгш талтай бол дараах томъёог хэрэглэнэ.

P = 3R√3 = 6r√3,

Энд R ба r нь тойрог ба бичээстэй тойргийн радиусууд юм.

Хэрэв гурвалжин нь тэгш өнцөгт байвал дараахь томъёог хэрэглэнэ.

P=2R (sinβ + 2sinα),

Энд α нь сууринд байрлах өнцөг, β нь суурийн эсрэг талын өнцөг юм.

Ихэнхдээ математикийн асуудлыг шийдвэрлэх нь гүнзгий дүн шинжилгээ хийх, шаардлагатай томьёог олох, гаргах тодорхой чадварыг шаарддаг бөгөөд энэ нь олон хүмүүсийн мэддэг шиг нэлээд хэцүү ажил юм. Хэдийгээр зарим асуудлыг зөвхөн нэг томъёогоор шийдэж болно.

Гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах үндсэн томъёог олон төрлийн гурвалжны төрлөөс хамааруулан авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны периметрийг олох гол дүрэм бол энэ мэдэгдэл юм: гурвалжны периметрийг олохын тулд та тохирох томъёог ашиглан түүний бүх талуудын уртыг нэмэх хэрэгтэй.

Үүнд b, a, c нь гурвалжны талуудын урт, P нь гурвалжны периметр юм.

Энэ томъёоны хэд хэдэн онцгой тохиолдол байдаг. Таны асуудлыг "тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ?" гэж томъёолсон гэж бодъё. Энэ тохиолдолд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

P = b + a + √(b2 + a2)

Энэ томъёонд b ба a нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөлний шууд урт юм. Эртний агуу эрдэмтэн Пифагорын теоремоос олж авсан илэрхийлэлийг (гипотенуз) хажуугийн оронд ашигладаг болохыг таахад хялбар байдаг.

Хэрэв та гурвалжин ижил төстэй асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ мэдэгдлийг ашиглах нь логик юм: периметрийн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй тохирч байна. Танд ΔABC ба ΔA1B1C1 гэсэн хоёр ижил төстэй гурвалжин байна гэж бодъё. Дараа нь ижил төстэй байдлын коэффициентийг олохын тулд ΔABC периметрийг ΔA1B1C1 периметрт хуваах шаардлагатай.

Эцэст нь хэлэхэд, гурвалжны периметрийг танд байгаа анхны өгөгдлөөс хамааран янз бүрийн арга техник ашиглан олж болно гэдгийг тэмдэглэж болно. Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд онцгой тохиолдол байдаг гэдгийг нэмж хэлэх хэрэгтэй.

Ихэнхдээ математикийн асуудлууд нь гүнзгий дүн шинжилгээ хийх, шийдлийг хайх, шаардлагатай мэдэгдэл, томъёог сонгох чадварыг шаарддаг. Энэ төрлийн ажилд төөрөлдөх нь амархан. Гэсэн хэдий ч шийдэл нь нэг томъёог хэрэглэхэд хүргэдэг асуудлууд байдаг. Ийм асуудалд гурвалжны периметрийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт багтдаг.

Гурвалжны янз бүрийн төрлүүдтэй холбоотойгоор энэ асуудлыг шийдэх үндсэн томъёог авч үзье.

1. Гурвалжны периметрийг олох үндсэн дүрэм бол гурвалжны периметр нь түүний бүх талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Томъёо P=a+b+c. Энд a, b, c нь гурвалжны талуудын урт, P нь периметр юм.
2. Энэ томъёоны онцгой тохиолдлууд байдаг. Жишээлбэл:
3. Хэрэв асуудал нь тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг хэрхэн олохыг асуувал сонгодог томьёо (1-р цэгийг үзнэ үү) болон бага өгөгдөл шаарддаг томъёог хоёуланг нь ашиглаж болно: P=a+b+ (a 2 +b 2). Энд a, b нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн урт юм. Гурав дахь тал (гипотенуз) нь Пифагорын теоремын илэрхийллээр солигдсоныг анзаарахад хялбар байдаг.
4. Тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг P=2*a+b томъёогоор олно. Энд а нь гурвалжны хажуугийн урт, b нь суурийн урт юм.
5. тэгш талт (эсвэл ердийн) гурвалжны периметрийг олохын тулд бид P=3*a илэрхийллийн утгыг тооцоолох ба энд a нь гурвалжны талын урт юм.
6. Ижил төстэй гурвалжин гарч ирэх асуудлыг шийдэхийн тулд дараах мэдэгдлийг мэдэх нь зүйтэй: периметрийн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй тэнцүү байна. Томьёог ашиглах нь тохиромжтой
   P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=k, энд ABC ~ A 1 B 1 C 1, ба k нь ижил төстэй байдлын коэффициент юм.

6, 8, 10 талуудтай ABC ба 9, 12 талтай A 1 B 1 C 1 өгөгдсөн. В өнцөг В 1 өнцөгтэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. A 1 B 1 C 1 гурвалжны периметрийг ол.

• AB=6, BC=8, AC=10- A 1 B 1 =9- B 1 C 1 =12. AB/ A 1 B 1 =BC/ B 1 C 1 гэдгийг анхаарна уу, учир нь 6/9=8/12=2/3. Мөн B=B 1 нөхцөлийн дагуу. Эдгээр өнцгүүд нь AB, BC болон A 1 B 1, B 1 C 1 талуудын хооронд байрлана. Дүгнэлт - гурвалжингийн ижил төстэй байдлын 2-р шалгуурыг үндэслэн ABC A 1 B 1 C 1. Ижил төстэй байдлын коэффициент k=2/3.
• 1-р алхам дахь томьёог ашиглан олъё P(ABC) = 6+8+10=24 (нэгж). Та 2а зүйлийн томъёог ашиглаж болно, учир нь Пифагорын теорем нь ABC тэгш өнцөгт гэдгийг баталж байна.
• 2d-р догол мөрөөс P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=2/3 байна. Иймд P(A 1 B 1 C 1)=3*P(ABC)/2=3*24/2=36 (нэгж).

БУСАД

Бага ангийн сурагч бүр гурвалжин гэж юу болох, гурвалжингийн периметр гэж юу болохыг олж мэдэхийг хичээсэн. Оролдоод үзье...

Хоёр гурвалжны ижил төстэй шинж тэмдгүүд нь ийм геометрийн шинж чанарууд бөгөөд энэ хоёрыг тогтоох боломжийг бидэнд олгодог ...

Бидний хүн нэг бүр геометрийн периметр гэх мэт чухал бүрэлдэхүүн хэсгийг сургуульд сурсан нь лавтай. Периметрийг олох нь маш энгийн ...

Юуны өмнө гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээс үүссэн геометрийн дүрс юм...

Математик бол цээжлэх, олон тооны томьёо ажиллуулах чадварыг шаарддаг нарийн төвөгтэй шинжлэх ухаан юм. Ингээд бодъё...

Хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү гурвалжинг ижил хажуу тал гэж нэрлэдэг. Эдгээр талуудыг хажуугийн гэж нэрлэдэг ба...

Олон жилийн өмнө "геометр" гэх мэт математикийн салбарыг "газрын судалгаа" гэж нэрлэдэг байсан нь сонирхолтой юм.

Геометрийн нэг үндэс бол өнцгийг хуваах туяа буюу биссектрисийг олох явдал юм. Гурвалжны биссектриса...

Тэгш өнцөгтийн диагональ олох асуудлыг гурван янзаар томъёолж болно. Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая...

Гурвалжны асуудлыг шийдэх асуудлыг (ийм бодлого гэж нэрлэдэг) геометрийн тусгай салбар -...

Квадрат нь тэгш өнцөгт, талуудтай тэнцүү параллелограмм юм. Квадрат периметрийг хэрхэн олох вэ? Периметр нь...

Тэгш өнцөгтийн уртыг олох асуудлыг янз бүрийн аргаар томъёолж болно. Хажуугийн уртыг хэрхэн олохыг олж мэдье ...

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван оройтой, тэдгээрийг холбосон гурван хэрчмтэй хавтгай дээрх дүрс юм...

Геометр бол сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт хамгийн хэцүү шинжлэх ухааны нэг юм. Шийдэл хайж байгаа хүмүүст хамгийн хэцүү нь байж магадгүй...

Та гурвалжны дунд шугамыг хэрхэн тооцоолж, олох вэ гэж гайхаж байна. Дараа нь ажилдаа орцгооё, дунд шугамын уртыг олоорой...