Функц нь x-ийн бүх бодит утгын хувьд нэмэгдэж байна. Экспоненциал функцийг ялгах

Экспоненциал функцийн талаархи лавлагаа мэдээллийг өгдөг - үндсэн шинж чанар, график, томъёо. Дараах сэдвүүдийг авч үзнэ: тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц, монотон байдал, урвуу функц, дериватив, интеграл, чадлын цуваа өргөтгөл, комплекс тоогоор дүрслэх.

Тодорхойлолт

Экспоненциал функцнь a-тай тэнцүү n тооны үржвэрийн ерөнхий дүгнэлт юм.
y (n) = a n = a·a·a···a,
бодит тоон x олонлогт:
y (x) = a x.
Энд a нь тогтмол бодит тоо бөгөөд үүнийг дууддаг экспоненциал функцийн үндэс.
a суурьтай экспоненциал функцийг мөн нэрлэдэг суурийн илтгэгч a.

Ерөнхий дүгнэлтийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
Байгалийн хувьд x = 1, 2, 3,... , экспоненциал функц нь x хүчин зүйлийн үржвэр юм:
.
Түүгээр ч зогсохгүй энэ нь тоонуудыг үржүүлэх дүрмийн дагуу (1.5-8) () шинж чанартай байдаг. Бүхэл тоонуудын тэг ба сөрөг утгуудын хувьд экспоненциал функцийг (1.9-10) томъёогоор тодорхойлно. Бутархай утгуудын хувьд x = m/n рационал тоонуудын хувьд (1.11) томъёогоор тодорхойлно. Бодит байдлын хувьд экспоненциал функц нь дарааллын хязгаар гэж тодорхойлогддог:
,
х-д нийлэх рационал тоонуудын дурын дараалал энд байна: .
Энэ тодорхойлолтоор экспоненциал функц нь бүгдэд тодорхойлогдсон бөгөөд байгалийн x-ийн нэгэн адил шинж чанарыг (1.5-8) хангана.

Экспоненциал функцийн тодорхойлолт ба түүний шинж чанарын баталгааны нарийн математикийн томъёоллыг "Экспоненциал функцийн шинж чанарын тодорхойлолт ба нотолгоо" хуудсанд өгсөн болно.

Экспоненциал функцийн шинж чанарууд

Экспоненциал функц y = a x нь бодит тооны олонлог () дээр дараах шинж чанартай байна.
(1.1) тодорхойлогдсон ба тасралтгүй, төлөө , бүх ;
(1.2) нь ≠ 1 олон утгатай;
(1.3) үед хатуу нэмэгддэг, -д хатуу буурдаг,
тогтмол байна;
(1.4) үед;
үед;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Бусад ашигтай томъёо.
.
Өөр экспонент суурьтай экспоненциал функц рүү хөрвүүлэх томъёо:

b = e үед бид экспоненциалаар дамжуулан экспоненциал функцийн илэрхийлэлийг олж авна.

Хувийн үнэт зүйлс

, , , , .

Зураг дээр экспоненциал функцийн графикуудыг харуулав
y (x) = a x
дөрвөн утгын хувьд зэрэглэлийн суурь: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ба a = 1/8 . 1 экспоненциал функц нь монотоноор нэмэгддэг. А зэрэглэлийн суурь нь том байх тусам өсөлт нь хүчтэй болно. At 0 < a < 1 экспоненциал функц нь монотоноор буурдаг. a экспонент бага байх тусам бууралт хүчтэй болно.

Өсөх, уруудах

Экспоненциал функц нь хатуу монотон тул экстремумгүй. Үүний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.

	y = a x , a > 1	у = сүх, 0 < a < 1
Тодорхойлолтын домэйн	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Утгын хүрээ	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотон	монотоноор нэмэгддэг	монотоноор буурдаг
Тэг, у = 0	Үгүй	Үгүй
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у = 1	у = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Урвуу функц

a суурьтай экспоненциал функцийн урвуу нь а суурийн логарифм юм.

Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.

Экспоненциал функцийг ялгах

Экспоненциал функцийг ялгахын тулд түүний суурийг e тоо болгон бууруулж, деривативын хүснэгт болон нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Үүнийг хийхийн тулд логарифмын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй
ба деривативын хүснэгтээс томъёо:
.

Экспоненциал функцийг өгье:
.
Бид үүнийг суурь e-д авчирдаг:

Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлье. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг танилцуулна уу

Дараа нь

Деривативын хүснэгтээс бид (х хувьсагчийг z-ээр солино уу):
.
Тогтмол тул x-тэй харьцах z-ийн дериватив нь тэнцүү байна
.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
.

Экспоненциал функцийн дериватив

.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Экспоненциал функцийг ялгах жишээ

Функцийн деривативыг ол
у = 3 5 х

Шийдэл

Экспоненциал функцийн суурийг e тоогоор илэрхийлье.
3 = e ln 3
Дараа нь
.
Хувьсагч оруулна уу
.
Дараа нь

Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.
Түүнээс хойш 5 лн 3тогтмол бол z-ийн x-тэй холбоотой дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу бид:
.

Хариулах

Интеграл

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

Комплекс тооны функцийг авч үзье z:
е (z) = a z
Энд z = x + iy; 2 = - 1 .
би
А комплекс тогтмолыг r модуль ба φ аргументаар илэрхийлье.
Дараа нь

.
a = r e i φ
φ = φ φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Ерөнхийдөө,
0 + 2 πn Энд n нь бүхэл тоо. Тиймээс функц f(z)
.

бас тодорхойгүй байна. Үүний гол ач холбогдлыг ихэвчлэн авч үздэг

Цуврал өргөтгөл
Ашигласан уран зохиол:

И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Оросын биеийн тамирын заал

ХИЙСЭН БАЙДАЛ

Дууссан

10 "F" ангийн сурагч Сергей Бурмистров

Удирдагч

Математикийн багш

Юлина О.А.

Нижний Новгород

Функц ба түүний шинж чанаруудЧиг үүрэг- хувьсах хамааралцагт хувьсагчаас , x хэрэв утга тус бүр X хувьсах хамаарал .

нэг утгатай таарч байнаХувьсагч x-

Хувьсагч y-хамааралтай хувьсагч

Функцийн утга -утга учир хувьсах хамаарал, заасан утгатай харгалзах хэрэв утга тус бүр .

Функцийн хамрах хүрээ ньбие даасан хувьсагчийн авдаг бүх утгууд.

Функцийн хүрээ (утгын багц) -функцийн хүлээн зөвшөөрсөн бүх утгууд.

Функц нь тэгш-хэн нэгний төлөө бол хэрэв утга тус бүр f(x)=f(-x)

Функц нь хачирхалтай -хэн нэгний төлөө бол хэрэв утга тус бүрфункцийн тодорхойлолтын мужаас тэгш байдал f(-x)=-f(x)

Функцийг нэмэгдүүлэх -хэрэв байгаа бол x 1Тэгээд x 2,тиймэрхүү x 1 < x 2, тэгш бус байдал хэвээр байна f( x 1 ) x 2 )

Функцийг бууруулах -хэрэв байгаа бол x 1Тэгээд x 2,тиймэрхүү x 1 < x 2, тэгш бус байдал хэвээр байна f( x 1 )>f( x 2 )

Функцийг тодорхойлох аргууд

¨ Функцийг тодорхойлохын тулд аргументын утга тус бүрд тохирох функцийн утгыг олох арга замыг зааж өгөх хэрэгтэй. Функцийг тодорхойлох хамгийн түгээмэл арга бол томъёог ашиглах явдал юм хувьсах хамаарал =f(x), Хаана f(x)-хувьсагчтай илэрхийлэл хэрэв утга тус бүр. Энэ тохиолдолд функцийг томъёогоор өгсөн эсвэл функцийг өгсөн гэж хэлдэг аналитик байдлаар.

¨ Практикт үүнийг ихэвчлэн ашигладаг хүснэгтфункцийг тодорхойлох арга. Энэ аргын тусламжтайгаар хүснэгтэд байгаа аргументуудын утгуудын функцын утгыг харуулсан хүснэгтийг өгсөн болно. Хүснэгтийн функцүүдийн жишээ бол квадратуудын хүснэгт ба шоо дөрвөлжин хүснэгт юм.

Функцийн төрөл ба тэдгээрийн шинж чанарууд

1) Тогтмол функц -томъёогоор өгөгдсөн функц у= б , Хаана б-зарим тоо. y=b тогтмол функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель, ординат тэнхлэгийн (0;b) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

2) Шууд пропорциональ байдал -томъёогоор өгөгдсөн функц у= kx , хаана k¹0. Тоо кдуудсан пропорциональ хүчин зүйл .

Функциональ шинж чанарууд y=kx :

1. Функцийн муж нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм

2. y=kx- сондгой функц

3. k>0 үед функц нэмэгдэх ба k үед<0 убывает на всей числовой прямой

3)Шугаман функц-томъёогоор өгөгдсөн функц y=kx+b, Хаана кТэгээд б - бодит тоо. Хэрэв ялангуяа k=0, тэгвэл бид тогтмол функцийг авна y=b; Хэрэв b=0, дараа нь бид шууд пропорциональ байдлыг олж авна y=kx .

Функциональ шинж чанарууд y=kx+b :

1. Домэйн - бүх бодит тоонуудын багц

2. Үйл ажиллагаа y=kx+bерөнхий хэлбэр, өөрөөр хэлбэл. тэгш, сондгой ч биш.

3. k>0 үед функц нэмэгдэх ба k үед<0 убывает на всей числовой прямой

Функцийн график нь шулуун .

4)Урвуу пропорциональ -томъёогоор өгөгдсөн функц y=k /X,хаана k¹0 Тоо кдуудсан урвуу пропорциональ байдлын коэффициент.

Функциональ шинж чанарууд y=k / х:

1. Домэйн - тэгээс бусад бүх бодит тоонуудын багц

2. y=k / хувьсагчаас - сондгой функц

3. Хэрэв k>0 бол функц (0;+¥) интервал дээр (-¥;0) буурна. Хэрэв к<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Функцийн график нь гипербол .

5)Чиг үүрэг y=x2

Функциональ шинж чанарууд y=x2:

2. y=x2 - жигд функц

3. Интервал дээр функц буурна

Функцийн график нь парабол .

6)Чиг үүрэг y=x 3

Функциональ шинж чанарууд y=x 3:

1. Тодорхойлолтын домэйн - бүх тооны шугам

2. y=x 3 - сондгой функц

3. Функц нь бүх тооны шугамын дагуу нэмэгддэг

Функцийн график нь куб парабол

7)Байгалийн илтгэгчтэй чадлын функц -томъёогоор өгөгдсөн функц y=x n, Хаана n- натурал тоо. n=1 үед бид y=x функцийг олж авбал түүний шинж чанарыг 2-р догол мөрөнд авч үзнэ. n=2;3-ын хувьд y=x 2 функцийг олж авна; y=x 3 . Тэдний шинж чанарыг дээр дурдсан болно.

n нь хоёроос их дурын тэгш тоо байг: 4,6,8... Энэ тохиолдолд функц y=x n y=x 2 функцтэй ижил шинж чанартай байна. Функцийн график нь y=x 2 параболыг санагдуулна, зөвхөн |x|>1-ийн графын салбарууд n том байх тусам эгц өсөх ба |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

n нь гурваас их дурын сондгой тоо байг: 5,7,9... Энэ тохиолдолд функц y=x n y=x 3 функцтэй ижил шинж чанартай байна. Функцийн график нь куб параболыг санагдуулна.

8)Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц -томъёогоор өгөгдсөн функц y=x -n , Хаана n- натурал тоо. n=1-ийн хувьд бид y=1/x-ийг авна; энэ функцийн шинж чанарыг 4-р зүйлд авч үзнэ.

n нь нэгээс их сондгой тоо байг: 3,5,7... Энэ тохиолдолд функц y=x -n y=1/x функцтэй үндсэндээ ижил шинж чанаруудтай.

n нь тэгш тоо байя, жишээ нь n=2.

Функциональ шинж чанарууд y=x -2 :

1. Функц нь бүх x¹0-д тодорхойлогдсон

2. y=x -2 -жигд функц

3. Функц (0;+¥) буурч, (-¥;0) нэмэгдэнэ.

Хоёроос их n-тэй ямар ч функц ижил шинж чанартай байна.

9)Чиг үүрэг у= Ö хэрэв утга тус бүр

Функциональ шинж чанарууд у= Ö хэрэв утга тус бүр :

1. Тодорхойлолтын хүрээ - туяа.
Функцийн утгын хүрээ нь байна зай [1; 3].
1. x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5 үед функцийн утга тэг болно.
Функцийн утга тэг байх аргументын утгыг функц тэг гэж нэрлэдэг.
// тэдгээр. Энэ функцийн хувьд тоонууд нь -3;-1;1.5; 4.5 нь тэг.
2. Интервалаар [ 4.5; 3) ба (1; 1.5) ба (4.5; 5.5] f функцийн график нь абсцисса тэнхлэгээс дээш байрлах ба абсцисса тэнхлэгийн доор (-3; -1) ба (1.5; 4.5) интервалд энэ нь байна. дараах байдлаар тайлбарлав: [ 4.5; 3) ба (1; 1.5) болон (4.5; 5.5) интервалд функц эерэг утгыг, (-3; -1) ба (1.5; 4.5) интервал дээр сөрөг утгыг авна.
Заасан интервал бүрийг (функц нь ижил тэмдгийн утгыг авдаг) функцийн тогтмол тэмдгийн интервал гэж нэрлэдэг f.//i.e. жишээ нь (0; 3) интервалыг авбал энэ функцийн хувьд тогтмол тэмдгийн интервал биш юм.
Математикийн хувьд функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг хайхдаа хамгийн их урттай интервалуудыг зааж өгдөг заншилтай байдаг. //Тэд. интервал (2; 3) байна тэмдгийн тогтмол байдлын интервалфункц f, гэхдээ хариулт нь интервалыг оруулах ёстой [ 4.5; 3) интервалыг агуулсан (2; 3).
3. Хэрэв та x тэнхлэгийн дагуу 4.5-аас 2 хүртэл шилжих юм бол функцийн график буурч, өөрөөр хэлбэл функцийн утга буурч байгааг анзаарах болно. //Математикт интервал дээр [ 4.5; 2] функц буурна.
x 2-оос 0 хүртэл өсөхөд функцийн график дээшилнэ, өөрөөр хэлбэл. функцын утгууд нэмэгддэг. //Математикт интервал дээр [ 2; 0] функц нэмэгдэнэ.
Энэ интервалаас x1 ба x2 аргументын аль нэг хоёр утгын хувьд x2 > x1, f (x2) > f (x1) тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд f функцийг дуудна. // эсвэл функц дуудагдана тодорхой интервалаар нэмэгддэг, хэрэв энэ интервал дахь аргументийн аль нэг утгуудын хувьд аргументийн том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал.//өөрөөр хэлбэл. x их байх тусмаа у.
f функцийг дуудна тодорхой интервалаар буурч байна, хэрэв энэ интервалаас x1 ба x2 аргументын аль нэг хоёр утгын хувьд x2 > x1 байх тохиолдолд f(x2) тэгш бус байдал зарим интервалд буурч байгаа бол энэ интервалаас аргументийн аль нэг утгуудын хувьд илүү их утга байна. аргумент нь функцийн бага утгатай тохирч байна. //тэд. x их байх тусмаа у бага.
Хэрэв функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын домэйн дээр нэмэгдвэл түүнийг дуудна нэмэгдэж байна.
Хэрэв функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд буурч байвал түүнийг дуудна буурч байна.
Жишээ 1.нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн график.
Жишээ 2.
Үзэгдлийг тодорхойл. f(x) = 3x + 5 шугаман функц нэмэгдэж байна уу эсвэл буурч байна уу?
Баталгаа. Тодорхойлолтуудыг ашиглацгаая. x1 ба x2 нь аргументийн дурын утгууд ба x1 байг< x2., например х1=1, х2=7

Функцийн тэг
Функцийн тэг нь утга юм хэрэв утга тус бүр, энэ үед функц 0 болж хувирна, өөрөөр хэлбэл f(x)=0.
Тэг нь функцийн графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм Өө.
Функцийн паритет
Функц нь аль ч байсан ч дуудагддаг хэрэв утга тус бүртодорхойлолтын мужаас f(-x) = f(x) тэгш байдал биелнэ

Тэгш функц нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна Өө
Сондгой паритын функц
Функцийг хэрэв байгаа бол сондгой гэж нэрлэдэг хэрэв утга тус бүртодорхойлолтын мужаас f(-x) = -f(x) тэгш байдал биелнэ.

Хачирхалтай функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
Тэгш, сондгой ч биш функцийг ерөнхий функц гэнэ.
Функцийг нэмэгдүүлэх
Хэрэв аргументийн том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал f(x) функцийг өсөж байна гэж хэлнэ, өөрөөр хэлбэл.
Буурах функц
Хэрэв аргументын том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал f(x) функцийг бууралт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.

Функц нь зөвхөн буурч эсвэл зөвхөн нэмэгддэг интервалуудыг дууддаг монотон байдлын интервалууд. f(x) функц нь монотон байдлын 3 интервалтай:

Үйлчилгээг ашиглан нэг хэвийн байдлын интервалыг олоорой Өсөх ба буурах функцийн интервалууд
Орон нутгийн дээд хэмжээ
Цэг x 0хэрэв байгаа бол орон нутгийн дээд цэг гэж нэрлэдэг хэрэв утга тус бүрцэгийн ойр орчмоос x 0тэгш бус байдал нь: f(x 0) > f(x)
Орон нутгийн доод хэмжээ
Цэг x 0хэрэв байгаа бол орон нутгийн хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг хэрэв утга тус бүрцэгийн ойр орчмоос x 0тэгш бус байдал: f(x 0)< f(x).

Орон нутгийн максимум цэгүүд болон орон нутгийн хамгийн бага цэгүүдийг орон нутгийн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг.

орон нутгийн экстремум цэгүүд.
Функцийн давтамж
f(x) функцийг үетэй, үетэй гэж нэрлэдэг Т, хэрэв байгаа бол хэрэв утга тус бүр f(x+T) = f(x) тэгш байдал биелнэ.
Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд
Функц нь зөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг байх интервалуудыг тогтмол тэмдгийн интервал гэнэ.

Функцийн тасралтгүй байдал
Хэрэв x → x 0 гэсэн функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол f(x) функцийг x 0 цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг. .
Хагарлын цэгүүд
Тасралтгүй байдлын нөхцөл зөрчигдсөн цэгүүдийг функцийн таслах цэг гэнэ.

x 0- эвдрэх цэг.
Функцуудыг зурах ерөнхий схем
1. D(y) функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.
2. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
3. Функцийг тэгш, сондгой эсэхийг шалга.
4. Функцийг үечилсэн байдлыг шалгана уу.
5. Функцийн монотон байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг ол.
6. Функцийн гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгийг ол.
7. Функцийн асимптотуудыг ол.
8. Судалгааны үр дүнд үндэслэн график байгуул.
Жишээ:Функцийг судалж, графикийг зур: y = x 3 – 3x
1) Функц нь бүхэл тоон тэнхлэг дээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойлолтын муж нь D(y) = (-∞; +∞).
2) Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол:
OX тэнхлэгтэй: x 3 – 3x = 0 тэгшитгэлийг шийд
OY тэнхлэгтэй: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
3) Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг олж мэд:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Үүнээс үзэхэд функц нь сондгой байна.
4) Функц нь үе үе биш юм.
5) Функцийн монотон байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг олъё: y’ = 3x 2 - 3.
Чухал цэгүүд: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Функцийн гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгийг ол: y’’ = 6x
Чухал цэгүүд: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
7) Функц нь тасралтгүй, асимптотгүй.
8) Судалгааны үр дүнд үндэслэн бид функцийн графикийг байгуулна.