Тоонууд ертөнцийн дүр төрхөөр. Тооны мифопоэтик үндэс. Тоонуудыг ангилах функц. Тооны философи [Хятад, Пифагорын уламжлал]. Тоонуудын семантик. Тоонуудын семантик өвөрмөц байдал 1 Тэгээд 2 . 2 "үндсэн монадын" хувьд ( В.Н. Топоров). 3 давуу байдлаар. 3 динамик бүрэн бүтэн байдлын бэлэг тэмдэг болгон ба 4 статик бүрэн бүтэн байдлын бэлэг тэмдэг болгон. Мифопоэтик уламжлал дахь тооны парадигматик ба синтагматик. Тоонуудын космогоник функцууд. Тооны цувралын нэгэн төрлийн байх хандлага. Тоо ба үг. Урлагт тоонуудын семантикчлал. "Тоон" бичвэрүүд [хуримтлагдсан болон томьёолсон үлгэр, шившлэг, залбирал, хуйвалдаан, оньсого гэх мэт]. Тоонуудыг десакралжуулж, домоггүй болгох.

Бодит объектуудыг оновчтой болгох, нэгтгэх. Иж бүрдэл геометрийн элементүүд ба ижил тэмдэгтүүд [шугам, дүрс, бие]. Геометрийн тэмдгүүдийн үүрэг: ангилал, орон зайн бүтцийн тодорхойлолт [орон зай-цаг хугацааны с д, ёс зүй, объект, зан үйлийн талууд гэх мэт].

Мифопоэтик уламжлалын хамгийн онцлог геометрийн тэмдэг, тэдгээрийн хослолууд, семантикууд.

Тойрог , түүний гарал үүсэл, утгын нэг төрлийн бус байдал. Тойрог нь хамгийн тохиромжтой биеийн загвар болох [бөмбөрцөг]. Эв нэгдэл, хязгааргүй байдлын санаа. Тойргийн териоморф дүрс [дэлхий; загас, луу, сүүлээ залгидаг]. Тойрог ба мөчлөгийн санаа [цаг хугацаа, орон зайн мөчлөг, дугуй хуанли, нарны бэлгэдэл]. Тойрог ба дэлхийн мод, дэлхийн хүйс. Тойрог бол хүч чадлын бэлгэ тэмдэг юм. Тойрог нь нийгмийн бүтцийн бэлгэдэл болсон [гэрлэлтийн холбоо, нутаг дэвсгэрийн хуваагдал гэх мэт]. Тойрог, дугуй дүрс нь эмэгтэйлэг байдлын илэрхийлэл юм. Тойргийг бусад бэлгэдлийн дүрсүүдтэй хослуулсан [дөрвөлжин, загалмай, нумын утас]. Тойргийн функциональ олон талт байдал. Сүлд тэмдэг, сүлд тэмдэгт дэх дугуй.

Дөрвөлжин , түүний уламжлалт домогт семантик [дэг журам, мэргэн ухаан, газар нутаг, тэгш байдал гэх мэт]. Дэлхийн модны дөрвөлжин ба хэвтээ бүтэц. Хоёртын сөрөг хүчний ангиллын системүүд [орон зайн үндсэн параметрүүд]. Ариун сүмийн барилгуудын загвар болгон талбай. Квадратыг тойрогтой харьцуулах. Дөрвөлжин нь эрэгтэй хүний ​​илэрхийлэл юм. Зан үйлийн практикт талбайн үүрэг. Талбайн функциональ олон янз байдал. Сүлд тэмдэг, сүлд тэмдэг бүхий дөрвөлжин. Дөрвөлжин ба хөндлөн.

Загалмай - дээд нандин үнэт зүйлсийн бэлэг тэмдэг. Загалмай нь төвийн санаа юм. Загалмайг олох, турших, босгох сэдэл. Загалмайн антропоморфоцентрик байдал ба хүний ​​загалмай. Загалмай нь сүнслэг байдлын загвар юм. Загалмай нь дэлхийн модны хувилбар юм. Загалмайн дүрсний нэг төрлийн бус байдал. Загалмайн түүх. Загалмайн нэрний этимологи, утга зүй [зовлон, үхэх, амилалтын дүр төрх; амьдрал ба үхэл, аз жаргал ба аз жаргалын хоорондох сонголт]. Загалмайн зан үйлийн үйл ажиллагаа. Домогийн орон зайд загалмай [загалмайн зам, хөндлөн ба уулзвар]. Загалмайн ижил төстэй үүрэг гүйцэтгэдэг бусад домгийн зургуудтай харилцах харилцаа [Египет, Еврей, Грекийн уламжлалууд]. Загалмай болон бусад дүрсүүд [тойрог, бөмбөг, зангуу, зүрх, туяа, хөнжил, тагтаа гэх мэт]. Загалмайн бэлгэдэл. Загалмайн сортууд [Грек, Мальта, Теутоник, Гэгээн Эндрю, давхар гэх мэт]. Сүлд, сфрагистик, бэлгэ тэмдэгт загалмай. Загалмай ба сэлэм . Илдний хоёрдмол утгатай семантик. Шударга ёс, эв нэгдлийн бэлэг тэмдэг болох илд. Илд, аянга зэргийг тодорхойлох.

Хас тэмдэг - хамгийн эртний тэмдэгтүүдийн нэг. Хятад, Эртний Египт, эртний Христийн шашны уламжлалт бэлгэдэл дэх хас тэмдэг ["gammed загалмай"). Хас тэмдэг нь "Арийн зарчмын" бэлгэ тэмдэг юм.

Симболизм олон өнцөгт : гурвалжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт. Хятадын триграмм ба гексаграмм.

Домог ба шашны систем дэх геометрийн тэмдгийн үйл ажиллагааны синтаксик ба хувиргах талууд [шинэ утгыг бий болгох, бусад тэмдэг, тэмдэг болгон хувиргах]. Геометрийн тэмдгийн сэтгэцийн тодорхой бүтцэд үзүүлэх нөлөө. Геометрийн тэмдэглэгээг ашиглан лого, барааны тэмдэг гэх мэт.

Курс ашигладаг геометрийн хэл, математикийн хичээлд (ялангуяа ахлах сургуулийн геометрийн шинэ хичээлд) баталсан тэмдэглэгээ, тэмдэгтүүдээс бүрдсэн.

Төрөл бүрийн тэмдэглэгээ, тэмдэг, тэдгээрийн хоорондын холболтыг хоёр бүлэгт хувааж болно.

I бүлэг - геометрийн дүрсүүдийн тэмдэглэгээ ба тэдгээрийн хоорондын хамаарал;

II бүлэг геометрийн хэлний синтаксик үндсийг бүрдүүлдэг логик үйлдлүүдийн тэмдэглэгээ.

Энэ хичээлд ашигласан математикийн тэмдгүүдийн бүрэн жагсаалтыг доор харуулав. Геометрийн дүрсийг төсөөлөхөд ашигладаг тэмдэгтүүдэд онцгой анхаарал хандуулдаг.

I бүлэг

ГЕОМЕТРИЙН ЗУРГУУД БА ТЭДНИЙ ХАРИЛЦААНЫ ЗААВАР ТЭМЦЭЭН

A. Геометрийн дүрсүүдийн тэмдэглэгээ

1. Геометрийн дүрсийг тодорхойлсон - F.

2. Цэгүүдийг латин цагаан толгойн том үсгээр эсвэл араб тоогоор тэмдэглэнэ.

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Проекцын хавтгайтай холбоотой дур мэдэн байрласан мөрүүдийг латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Түвшингийн шугамыг дараах байдлаар тэмдэглэв: h - хэвтээ; f - урд.

Дараах тэмдэглэгээг шулуун шугамын хувьд мөн ашигладаг.

(AB) - А ба В цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам;

[AB) - А цэгээс эхлэлтэй туяа;

[AB] - А ба В цэгүүдээр хязгаарлагдсан шулуун шугамын сегмент.

4. Гадаргууг Грек цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Гадаргууг тодорхойлох арга замыг онцлон тэмдэглэхийн тулд түүнийг тодорхойлсон геометрийн элементүүдийг зааж өгөх хэрэгтэй, жишээлбэл:

α(a || b) - α хавтгай нь a ба b зэрэгцээ шугамаар тодорхойлогддог;

β(d 1 d 2 gα) - β гадаргууг d 1 ба d 2 хөтөч, генератор g ба параллелизмын α хавтгайгаар тодорхойлно.

5. Өнцгийг дараах байдлаар зааж өгсөн болно.

∠ABC - В цэг дээрх оройтой өнцөг, түүнчлэн ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Өнцөг: утгыг (зэрэг хэмжүүр) өнцгөөс дээш байрлуулсан тэмдгээр заана.

ABC өнцгийн хэмжээ;

φ өнцгийн хэмжээ.

Зөв өнцгийг дотор нь цэгтэй дөрвөлжин тэмдэглэнэ

7. Геометрийн дүрс хоорондын зайг хоёр босоо сегментээр - ||.

Жишээ нь:

|AB| - А ба В цэгүүдийн хоорондох зай (AB сегментийн урт);

|Аа| - А цэгээс a шугам хүртэлх зай;

|Аα| - А цэгээс α гадаргуу хүртэлх зай;

|ab| - a ба b шугамын хоорондох зай;

|αβ| α ба β гадаргуугийн хоорондох зай.

8. Проекцын хавтгайн хувьд дараах тэмдэглэгээг хүлээн авна: π 1 ба π 2, энд π 1 нь хэвтээ проекцын хавтгай;

π 2 - урд талын проекцын хавтгай.

Проекцын онгоцыг солих эсвэл шинэ онгоц нэвтрүүлэх үед сүүлийнх нь π 3, π 4 гэх мэтээр тодорхойлогддог.

9. Проекцын тэнхлэгүүд нь: x, y, z, энд x нь абсцисса тэнхлэг; y - ординатын тэнхлэг; z - тэнхлэгийг хэрэглэх.

Монжийн тогтмол шулуун шугамын диаграммыг k гэж тэмдэглэнэ.

10. Цэг, шугам, гадаргуугийн төсөөлөл, аливаа геометрийн дүрсийг эх хувьтай ижил үсгээр (эсвэл тоогоор) тэмдэглэж, тэдгээрийг олж авсан проекцын хавтгайд харгалзах дээд бичээсийг нэмнэ.

A, B, C, D, ... , L, M, N, цэгүүдийн хэвтээ проекцууд; A, B, C, D, ... , L, M " , N", ... цэгүүдийн урд талын проекцууд; a" , b" , c" , d" , ... , l", m", n" , - шугамын хэвтээ төсөөлөл; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m ", n" , ... шугамын урд талын төсөөлөл; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... гадаргуугийн хэвтээ проекцууд; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... гадаргуугийн урд талын проекц.

11. Онгоцны (гадаргуу) ул мөрийг хэвтээ эсвэл урд талынхтай ижил үсгээр тэмдэглэж, 0α гэсэн дэд бичгийг нэмж, эдгээр шугамууд проекцын хавтгайд хэвтэж, α хавтгайд (гадаргуу) хамаарах болохыг онцлон тэмдэглэв.

Тиймээс: h 0α - хавтгай (гадаргуу) α-ийн хэвтээ ул мөр;

f 0α - онгоцны урд талын ул мөр (гадаргуу) α.

12. Шулуун шугамын (шугам) ул мөрийг том үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд түүгээр шугамын огтлолцох проекцын хавтгайн нэрийг (Латин транскрипцээр) тодорхойлсон үгсийг тухайн шугамтай хамаарлыг харуулсан дэд үсгээр тэмдэглэнэ.

Жишээ нь: H a - шулуун шугамын хэвтээ ул мөр (шугам) a;

F a - шулуун шугамын урд талын ул мөр (шугам) a.

13. Цэг, шугамын дарааллыг (ямар ч зураг) 1,2,3,..., n гэсэн дэд үсгээр тэмдэглэнэ:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ;

α 1, α 2, α 3,...,α n;

Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n гэх мэт.

Геометрийн дүрсийн бодит утгыг олж авахын тулд хувиргасны үр дүнд олж авсан цэгийн туслах проекцийг 0 дэд тэмдэгтэй ижил үсгээр тэмдэглэнэ.

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Аксонометрийн төсөөлөл

14. Цэг, шугам, гадаргуугийн аксонометрийн проекцийг 0-ийн дээд үсгээр тэмдэглэнэ.

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Хоёрдогч проекцуудыг дээд тэмдэгт 1-ээр тэмдэглэнэ.

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Сурах бичигт байгаа зургуудыг уншихад хялбар болгохын тулд дүрслэлийн материалыг зохиохдоо хэд хэдэн өнгийг ашигладаг бөгөөд тус бүр нь тодорхой семантик утгатай байдаг: хар зураас (цэг) нь анхны өгөгдлийг заана; ногоон өнгө нь туслах график байгууламжийн шугаманд ашиглагддаг; улаан шугамууд (цэгүүд) нь барилгын ажлын үр дүн эсвэл онцгой анхаарал хандуулах ёстой геометрийн элементүүдийг харуулдаг.

Геометрийн тэмдэг нь шулуун, муруй, эвдэрсэн, хосолсон бүх төрлийн шугам юм. Эдгээр нь геометрийн хэлбэрүүд юм - тойрог, загалмай, гурвалжин гэх мэт. Мөн эдгээр нь бөмбөг, шоо, пирамид гэх мэт биетүүд юм. Хоёр хэмжээст орон зайд эдгээр ер бусын тэмдгүүд нь дүрсний дүр төрхийг олж авдаг.

Геометр нь сансар огторгуйн бүтэц, түүнчлэн зан үйлийн орон зайн бүтэц (сүм, булш), ариун нандин зүйлсийн хэлбэрийг илэрхийлдэг. Геометрийн тэмдгүүдийн тусламжтайгаар нийгмийн нийгмийн бүтэц, бүтэц, түүнчлэн оюун санааны (ёс зүйн) орон зай (хайр, итгэл, найдвар, тэсвэр тэвчээр гэх мэт) -ийг хамгийн алдартай геометрийн тэмдгүүдийг илүү нарийвчлан авч үзье ид шид, шинжлэх ухаанд хоёуланд нь ашигладаг.

ГЕОМЕТРИЙН ХАМГИЙН ТЭМДЭГЛЭГҮҮД:

Шугамууд

Ихэнхдээ ид шидийн хувьд аянга, ус, шороо, могой гэх мэттэй холбоотой шулуун шугам, эвдэрсэн (зигзаг), спираль, вольтыг ашигладаг. Мөн шулуун өнцгөөр тасарсан тасралтгүй шугамыг шидэт тэмдэг болгон ашиглаж болно. Энэ мөр нь эхлэл ба төгсгөл байхгүй - үүрд мөнх байдлыг бэлэгддэг. Эртний Грекд меандрийг лабиринттай, эртний Хятадад хойд дүртэй харьцуулдаг байв.

Спираль

Спираль бол нэлээд хоёрдмол утгатай тэмдэг юм. Эртний Египет, Месопотами, Энэтхэг, Хятад, Европ, Япон, Далайн орнууд, Колумбын өмнөх Америк, Скандинавын орнууд, Крит зэрэг орнуудад спираль ид шидийн бэлгэдэл болгон ашиглагдаж байжээ. Спираль нь нар, сарны энерги, аянга, аянга, шуурга, бүтээлч хүчний бэлгэдэл юм.

Гурвалжин

Энэхүү геометрийн дүрс нь түүний бэлгэдлийг тодорхойлдог. Гурвалжин нь 3-ын тоог, түүнчлэн төрөлт-амьдрал-үхэл, бие-сэтгэл-сэтгэл, аав-ээж-үрс, тэнгэр-дэлхий-далд ертөнц гэсэн бүх хослолоороо гурвалжин дүрсийг бэлэгддэг.

Бусад зүйлсийн дотор гурвалжин нь дэлхийн үржил шим, гэрлэлт, дөл, уул, пирамид, бие махбодийн тогтвортой байдал, Бурханы толгойн бэлгэдэл юм.

Хэрэв та гурван гурвалжинг холбовол Пифагорын эрүүл мэндийн бэлгэдлийг авах болно. Энэ тэмдэг нь мөн Масоны бэлгэ тэмдэг юм.

Гурвалжин дотор байрлах хас тэмдэг нь сансар огторгуйн эв найрамдлын бэлгэдэл юм.

Дөрвөлжин дотор байрлах гурвалжин нь тэнгэрлэг ба хүн төрөлхтөн, тэнгэрлэг ба газар дэлхий, оюун санааны болон бие махбодын бүх зүйлийн хослолын бэлгэдэл юм.

Тойрог доторх гурвалжин нь бүхэл бүтэн гурвалжингийн бэлгэдэл бөгөөд огтлолцсон хоёр гурвалжин нь бурханлаг чанар, гал, усны хослол, сүнсний материйн ялалтыг илэрхийлдэг.

Давидын од

Домогт өгүүлснээр Давидын зургаан хошуут од буюу зургаан өнцөгт нь МЭӨ 10-р зуунд Израилийн хаан Давидын сүлд байжээ. Энэ бэлгэдлийн нэрийн үндэс болсон энэ ер бусын баримт байв. Энэ тэмдгийг библийн Мосегийн үеийн Вавилоны хаан Куригалсугийн сахиус, Соломон хааны тамга дээр дүрсэлсэн байв.

Пентаграм

Пентаграм (таван хошуут од) нь хүний ​​дүрсийн нэгэн адил бичил ертөнцийн бэлгэдэл юм. Хүчний таван нууцлаг төв, хүний ​​таван мэдрэхүй, байгалийн таван элемент, хүний ​​биеийн таван мөчийг төлөөлдөг. Пентаграмын тусламжтайгаар хүн намхан амьтдыг удирдаж, өндөр амьтдаас тусламж хүсэх боломжтой.

Дөрвөлжин

Талбай нь тогтвортой байдал, тогтвортой байдлын бэлгэдэл бөгөөд дөрвөн элементийн хаалттай, ид шидийн нэгдлийн төгс хэлбэр юм.

Пентагон

Пентагон бол од хэлбэртэй ердийн таван өнцөгт юм. Энэ бол мөнх, төгс төгөлдөр байдал, орчлон ертөнцийн бэлгэдэл юм. Пентагон нь эрүүл мэндийн сахиус болж чаддаг. Хэрэв энэ тэмдэгийг хаалган дээр зурсан бол шулам, бузар муу зүйлийг зайлуулна. Пентагоныг янз бүрийн ид шидийн хуйвалдаан, зан үйлд ашигладаг.

Зургаан өнцөгт

Зургаан өнцөгт - ердийн зургаан өнцөгт нь гоо үзэсгэлэн, эв найрамдлын бэлэг тэмдэг юм. Энэ нь бас хүний ​​дүр төрх юм - хоёр гар, хоёр хөл, толгой, их бие. Нэг талдаа зургаан өнцөгт нь өнцөгтэй, нөгөө талдаа тойрог хэлбэртэй ойрхон байдаг тул ид шидийн зан үйлд энэ нь эрч хүч, амар амгалангийн санаа, түүнчлэн нартай холбоотой байдаг.

Тойрог

Тойрог бол бүрэн бүтэн байдал, эв нэгдэл, төгс төгөлдөр байдлын бүх нийтийн бэлэг тэмдэг юм. Эрт дээр үеэс бөөрөнхий хэлбэр нь байгаль дээрх хамгийн байгалийн хэлбэр байсан тул ариун нандин гэж тооцогддог. Тойрог нь орчин үеийн ертөнцөд орон зай-цаг хугацааны тасралтгүй гэж нэрлэгддэг зүйлийг, мөн цаг хугацаа, орон зайн гадна орших зүйлийг бэлгэддэг. Тойрог нь эхлэл ч, төгсгөл ч үгүй, дээд ч биш, доод ч үгүй.

Төв хэсэгт цэг бүхий тойрог нь цаг хугацааны бүрэн мөчлөгийн бэлгэдэл юм. Зурхайд тойрог нь Нарны, алхимийн хувьд Нар, Сарны бэлгэдэл юм.

Түүний байрлах тойрог нь Диваажин ба түүний төвөөс урсах дөрвөн голыг, мөн Амьдралын модыг төлөөлдөг.

Загалмай

Загалмайн тэмдгийн гарал үүсэл нь неолитын эрин үеэс эхэлдэг. Загалмай бол хамгийн ариун нандин үнэт зүйлсийн хамгийн түгээмэл шашны бэлгэдлийн нэг юм. Гол бэлгэдлийн санаа нь дотоод болон гадаад байдлыг ялгах зорилготой тойрог ба дөрвөлжингаас ялгаатай нь загалмай нь төвийн санаа, түүнээс гарах үндсэн чиглэлийг онцолж өгдөг. Нэг ёсондоо загалмай бол дэлхийн төв бөгөөд тэнгэр, газар хоёрын холболтын цэг - сансрын тэнхлэг юм.

Загалмай нь ихэвчлэн хүн эсвэл антропоморф бурхадын загвар болдог. Үүний зэрэгцээ загалмай нь оюун санааны талыг, босоо болон хэвтээ чиглэлд эцэс төгсгөлгүй, эв найртай сунгах чадварыг бууруулдаг.

Босоо чиглэлд - энэ бол сүнсний өгсөлт, Бурханд тэмүүлэх хүсэл эрмэлзэл, мөнх байдал: од, оюунлаг, эерэг, идэвхтэй, эрэгтэй хүч.

Хэвтээ чиглэлд энэ нь дэлхийн, оновчтой, идэвхгүй, сөрөг, эмэгтэйлэг хүч юм. Ерөнхийдөө загалмай нь андрогин (нөгөө хүйсийн шинж чанартай нэг хүйсийн хувь хүн) үүсгэдэг бөгөөд мөн чанар дахь хоёрдмол байдал, эсрэг тэсрэг талуудын нэгдлийг илэрхийлдэг. Загалмай нь амьдралын бүрэн бүтэн байдалд зайлшгүй шаардлагатай босоо болон хэвтээ байдлаар хүний ​​сүнсний сүнслэг нэгдэл, бүрэн бүтэн байдлыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл, загалмай нь гараа сунгасан хүний ​​дүрс, мөн сүнс нь матери руу бууж ирсний бэлгэдэл юм.

Загалмайн янз бүрийн хэлбэрүүд мэдэгдэж байна. Дээд талын гогцоотой загалмай нь бурханлаг мэдлэгийн хаалгыг нээж өгдөг түлхүүр гэж ойлгогддог. Бэлгэ тэмдгийн Т хэлбэрийн хэсэг нь мэргэн ухааныг илэрхийлдэг - дусал хэлбэртэй тойрог - гогцоотой Кест

T хэлбэрийн загалмай - tau загалмай. Эртний Египетчүүдийн дунд энэ тэмдэг нь бух эсвэл хуцны эвэрний байршлыг илэрхийлдэг байв - босоо хэсэг нь амьтны ам юм. Эртний иудейчүүдийн дунд энэ нь хүлээгдэж буй Мессиагийн бэлгэдэл байв. Эртний Ромд гэмт хэрэгтнүүдийг ийм загалмай дээр цовдлуулдаг байсан - үүнийг цаазлах хэрэгсэл болгон ашигладаг байв.

Хожим нь янз бүрийн шашны хөдөлгөөн, улс төрийн эвлэлд тэд Бургунд, Мальта, Андреевский гэх мэт тодорхой хэлбэрээр өөрсдийгөө зохион бүтээжээ.

Хас тэмдэг

Хас тэмдэг нь ижил гогцоотой загалмай бөгөөд түүний төгсгөл нь Хинду шашны бэлгэдэл болох Грек үсгийн гамма хэлбэртэй нугалж байна. Ази, Европт хас тэмдгийг нууц ид шидийн тэмдэг гэж үздэг байв. Энэ бол нар, амьдрал, үржил шимийн эх үүсвэр бөгөөд аянга цахилгаан, тэнгэрийн галын бэлгэдэл юм.

Хязгааргүй байдал.Ж.Уоллис (1655).

Анх Английн математикч Жон Валисийн "Шусан хэсгүүдийн тухай" зохиолоос олдсон.

Байгалийн логарифмын суурь. Л.Эйлер (1736).

Математикийн тогтмол, трансцендент тоо. Энэ дугаарыг заримдаа дууддаг өдгүйшотландчуудын хүндэтгэлдэрдэмтэн Напиер, "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар" бүтээлийн зохиогч (1614). Тогтмол нь анх 1618 онд хэвлэгдсэн Непиерийн дээр дурдсан бүтээлийн англи орчуулгын хавсралтад далд хэлбэрээр гарч ирэв. Тогтмолыг анх Швейцарийн математикч Якоб Бернулли хүүгийн орлогын хязгаарлах утгын асуудлыг шийдэж байхдаа тооцоолжээ.

2,71828182845904523...

Энэ тогтмолыг үсгээр тэмдэглэсэн анхны хэрэглээ б, 1690-1691 онд Лейбницийн Гюйгенст бичсэн захидлуудаас олдсон. Захидал дЭйлер үүнийг 1727 онд ашиглаж эхэлсэн бөгөөд энэ захидлыг бичсэн анхны хэвлэл нь 1736 онд "Механик буюу хөдөлгөөний шинжлэх ухаан, аналитик байдлаар тайлбарласан" бүтээл байв. тус тус, дихэвчлэн дууддаг Эйлерийн дугаар. Яагаад энэ захидлыг сонгосон бэ? д, яг тодорхойгүй. Магадгүй энэ нь үг түүгээр эхэлдэгтэй холбоотой байх экспоненциал("заагч", "экпоненциал"). Өөр нэг таамаглал бол үсэг юм а, б, вТэгээд галь хэдийн бусад зорилгоор нэлээд өргөн хэрэглэгдэж ирсэн, мөн данхны "үнэгүй" захидал байсан.

Тойрог диаметртэй харьцуулсан харьцаа. В.Жонс (1706), Л.Эйлер (1736).

Математикийн тогтмол, иррационал тоо. "Пи" тоо, хуучин нэр нь Людольфын тоо юм. Аливаа иррационал тооны нэгэн адил π нь төгсгөлгүй үечилсэн бус аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

π =3.141592653589793...

Энэ тоог анх удаа Грекийн π үсгээр тэмдэглэхийг Британийн математикч Уильям Жонс "Математикийн шинэ танилцуулга" номондоо ашигласан бөгөөд үүнийг Леонхард Эйлерийн ажлын дараа нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн. Энэ тэмдэглэгээ нь περιφερεια - тойрог, зах, περιμετρος - периметр гэсэн грек үгсийн эхний үсгээс гаралтай. Иоганн Генрих Ламберт 1761 онд π-ийн иррационалийг, Адриен Мари Лежендре 1774 онд π 2-ын иррационалийг баталжээ. Лежендре, Эйлер нар π нь трансцендентал байж болно гэж таамагласан, өөрөөр хэлбэл. Бүхэл тооны коэффициент бүхий ямар ч алгебрийн тэгшитгэлийг хангаж чадахгүй бөгөөд үүнийг 1882 онд Фердинанд фон Линдеман баталжээ.

Төсөөллийн нэгж. Л.Эйлер (1777, хэвлэмэл - 1794).

тэгшитгэл гэдгийг мэддэг x 2 =1хоёр үндэстэй: 1 Тэгээд -1 . Төсөөллийн нэгж нь тэгшитгэлийн хоёр язгуурын нэг юм x 2 = -1, латин үсгээр тэмдэглэсэн би, өөр үндэс: -и. Энэ нэрийг Леонхард Эйлер санал болгосон бөгөөд энэ зорилгоор Латин үгийн эхний үсгийг авсан. төсөөлөл(төсөөлөл). Тэрээр мөн бүх стандарт функцийг нарийн төвөгтэй домэйнд өргөтгөсөн, i.e. байдлаар төлөөлөх тооны багц a+ib, Хаана аТэгээд б- бодит тоо. "Цогцолбор тоо" гэсэн нэр томъёог 1831 онд Германы математикч Карл Гаусс өргөнөөр хэрэглэж эхэлсэн боловч өмнө нь 1803 онд Францын математикч Лазаре Карно ижил утгаар хэрэглэж байжээ.

Нэгж векторууд. W. Hamilton (1853).

Нэгж векторууд нь ихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа декартын координатын системийн тэнхлэгүүд) холбоотой байдаг. Тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор X, тэмдэглэсэн би, тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор Ю, тэмдэглэсэн j, ба тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор З, тэмдэглэсэн к. Векторууд би, j, кнэгж вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь нэгж модультай байдаг. "Орт" гэсэн нэр томъёог Английн математикч, инженер Оливер Хевсайд (1892) нэвтрүүлсэн бөгөөд тэмдэглэгээ би, j, к- Ирландын математикч Уильям Хамилтон.

Тооны бүхэл хэсэг, эсрэг. К.Гаусс (1808).

x тооны [x] тооны бүхэл хэсэг нь x-ээс хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоо юм. Тэгэхээр =5, [-3,6]=-4. [x] функцийг мөн "х-ийн эсрэг" гэж нэрлэдэг. Бүхэл хэсгийн функцийн тэмдгийг 1808 онд Карл Гаусс нэвтрүүлсэн. Зарим математикчид 1798 онд Лежендрегийн санал болгосон E(x) тэмдэглэгээг ашиглахыг илүүд үздэг.

Параллелизмын өнцөг. Н.И. Лобачевский (1835).

Лобачевскийн хавтгай дээр - шулуун шугамын хоорондох өнцөгб, цэгээр дамжин өнгөрөхТУХАЙшугамтай зэрэгцээа, цэг агуулаагүйТУХАЙ, ба перпендикулярТУХАЙдээр а. α - энэ перпендикулярын урт. Цэг нь холдох тусамТУХАЙшулуун шугамаас апараллелизмын өнцөг 90 ° -аас 0 ° хүртэл буурдаг. Лобачевский параллелизмын өнцгийн томъёог өгсөнP( α )=2arctg e - α /q , Хаана q- Лобачевскийн орон зайн муруйлттай холбоотой зарим тогтмол.

Үл мэдэгдэх эсвэл хувьсах хэмжигдэхүүн. Р.Декарт (1637).

Математикийн хувьд хувьсагч нь авч болох утгуудын багцаар тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь физик нөхцөл байдлаас нь түр зуур авч үзсэн бодит физик хэмжигдэхүүн, бодит ертөнцөд ямар ч ижил төстэй хийсвэр хэмжигдэхүүнийг хоёуланг нь илэрхийлж болно. Хувьсагчийн тухай ойлголт 17-р зуунд үүссэн. эхэндээ байгалийн шинжлэх ухааны шаардлагын нөлөөн дор байсан бөгөөд энэ нь зөвхөн төлөв байдлыг бус хөдөлгөөн, үйл явцыг судлахад хүргэсэн. Энэхүү үзэл баримтлал нь түүнийг илэрхийлэх шинэ хэлбэрийг шаарддаг. Ийм шинэ хэлбэрүүд нь Рене Декартын үсгийн алгебр, аналитик геометр байв. Тэгш өнцөгт координатын систем болон x, y тэмдэглэгээг анх удаа 1637 онд Рене Декарт "Аргын тухай яриа" бүтээлдээ оруулжээ. Пьер Ферма мөн координатын аргыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан боловч түүний бүтээлүүд нас барсны дараа анх хэвлэгджээ. Декарт, Фермат нар координатын аргыг зөвхөн хавтгайд ашигласан. Гурван хэмжээст орон зайн координатын аргыг анх 18-р зуунд Леонхард Эйлер ашиглаж байжээ.

Вектор. О.Коши (1853).

Анхнаасаа л вектор гэдэг нь хэмжээ, чиглэл, (сонголтоор) хэрэглэх цэгтэй объект гэж ойлгогддог. Векторын тооцооллын эхлэл нь Гауссын (1831) цогцолбор тоонуудын геометрийн загвартай хамт гарч ирсэн. Хамилтон өөрийн кватернионы тооцооллын нэг хэсэг болгон векторуудтай боловсруулсан үйлдлүүдийг нийтлэв (вектор нь кватернионы төсөөллийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс үүссэн). Хэмилтон энэ нэр томъёог санал болгосон вектор(Латин үгнээс вектор, тээвэрлэгч) ба вектор шинжилгээний зарим үйлдлийг тайлбарлав. Максвелл энэхүү формализмыг цахилгаан соронзонгийн талаархи бүтээлдээ ашигласан бөгөөд ингэснээр эрдэмтдийн анхаарлыг шинэ тооцоонд хандуулсан. Удалгүй Гиббсийн "Вектор анализын элементүүд" (1880-аад он) гарч, дараа нь Heaviside (1903) нь вектор анализыг орчин үеийн дүр төрхтэй болгожээ. Вектор тэмдгийг өөрөө 1853 онд Францын математикч Августин Луис Коши хэрэглээнд нэвтрүүлсэн.

Нэмэх, хасах. Ж.Видман (1489).

Нэмэх ба хасах тэмдгийг Германы "Коссистууд" (өөрөөр хэлбэл алгебрчид) математикийн сургуульд зохион бүтээсэн бололтой. Эдгээрийг 1489 онд хэвлэгдсэн Ян (Иоханнес) Видманы "Бүх худалдаачдад зориулсан хурдан бөгөөд тааламжтай данс" сурах бичигт ашигласан. Өмнө нь нэмэлтийг үсгээр тэмдэглэдэг байсан х(Латин хэлнээс нэмэх"илүү") эсвэл латин үг гэх мэт("ба" холболт) ба хасах - үсэг м(Латин хэлнээс хасах"бага, бага") Видманы хувьд нэмэх тэмдэг нь зөвхөн нэмэх төдийгүй "ба" гэсэн холбоосыг орлодог. Эдгээр тэмдгүүдийн гарал үүсэл нь тодорхойгүй байгаа ч өмнө нь арилжаанд ашиг, алдагдлын үзүүлэлт болгон ашиглаж байсан байх. Хоёр тэмдэг нь удалгүй Европт түгээмэл болсон - Италиас бусад нь хуучин тэмдэглэгээг зуун жилийн турш үргэлжлүүлэн хэрэглэсээр ирсэн.

Үржүүлэх. В.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).

Ташуу загалмай хэлбэрээр үржүүлэх тэмдгийг 1631 онд англи хүн Уильям Оутред нэвтрүүлсэн. Түүний өмнө энэ үсгийг ихэвчлэн ашигладаг байсан М, гэхдээ бусад тэмдэглэгээг бас санал болгосон: тэгш өнцөгт тэмдэг (Францын математикч Эригон, 1634), од (Швейцарийн математикч Иоганн Рахн, 1659). Хожим нь Готфрид Вильгельм Лейбниц загалмайг үсэгтэй андуурахгүйн тулд цэгээр (17-р зууны сүүлч) сольжээ. x; Түүний өмнө ийм бэлгэдлийг Германы одон орон судлаач, математикч Региомонтанус (15-р зуун) болон Английн эрдэмтэн Томас Херриот (1560 -1621) нар олжээ.

Хэлтэс. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).

Уильям Оутред налуу зураасыг / хуваах тэмдэг болгон ашигласан. Готфрид Лейбниц хуваагдлыг хоёр цэгээр тэмдэглэж эхлэв. Тэднээс өмнө энэ үсгийг ихэвчлэн ашигладаг байсан Д. Фибоначчигаас эхлээд Херон, Диофант, Арабын бүтээлүүдэд ашигласан фракцийн хэвтээ шугамыг бас ашигладаг. Англи, АНУ-д 1659 онд Иоганн Рахн (магадгүй Жон Пелл оролцсон) санал болгосон ÷ (обелус) тэмдэг өргөн тархсан. Америкийн Математикийн Стандартын Үндэсний Хорооны оролдлого ( Математикийн шаардлагын үндэсний хороо) obelus-ийг дадлагаас зайлуулах (1923) амжилтгүй болсон.

Хувь. M. de la Porte (1685).

Нэгжээр авсан бүхэл бүтэн зууны нэг. "Хувь" гэдэг үг нь өөрөө "зуун" гэсэн утгатай латин "pro centum"-аас гаралтай. 1685 онд Парист Матье де ла Портегийн "Арилжааны арифметикийн гарын авлага" ном хэвлэгджээ. Нэг газар тэд хэдэн хувийн тухай ярьж, дараа нь "cto" (центо гэсэн үг) гэж нэрлэсэн. Гэтэл бичээч энэ "cto"-г бутархай гэж андуураад "%" гэж хэвлэсэн. Тиймээс үсгийн алдаанаас болж энэ тэмдэг ашиглалтад орсон.

Зэрэг. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).

Экспонентийн орчин үеийн тэмдэглэгээг Рене Декарт өөрийн " Геометр"(1637) Гэсэн хэдий ч, зөвхөн 2-оос их илтгэгчтэй байгалийн хүчний хувьд. Дараа нь Исаак Ньютон тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг сөрөг болон бутархай илтгэгч (1676) болгон өргөтгөсөн бөгөөд энэ үед тайлбарыг аль хэдийн санал болгосон: Фламандын математикч инженер Саймон Стивин, Английн математикч Жон Уоллис, Францын математикч Альберт Жирард нар.

Арифметик үндэс n- бодит тооны 1-р зэрэглэл А≥0, - сөрөг бус тоо n--р зэрэгтэй тэнцүү байна А. 2-р зэргийн арифметик язгуурыг квадрат язгуур гэж нэрлэх ба зэргийг заахгүйгээр бичиж болно: √. 3-р зэргийн арифметик язгуурыг шоо язгуур гэнэ. Дундад зууны математикчид (жишээлбэл, Кардано) квадрат язгуурыг R x (Латин хэлнээс) тэмдгээр тэмдэглэсэн. Радикс, үндэс). Орчин үеийн тэмдэглэгээг анх 1525 онд Косист сургуулийн Германы математикч Кристоф Рудольф хэрэглэж байжээ. Энэ тэмдэг нь ижил үгийн загварчилсан эхний үсгээс гаралтай радикал. Эхлээд радикал илэрхийллээс дээш шугам байхгүй байсан; дараа нь Декарт (1637) өөр зорилгоор (хашилтын оронд) нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ шинж чанар нь удалгүй язгуур тэмдэгтэй нэгджээ. 16-р зуунд шоо язгуурыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн: R x .u.cu (лат. Radix universalis cubica). Альберт Жирард (1629) дурын зэргийн язгуурт танил тэмдэглэгээг ашиглаж эхэлсэн. Энэ форматыг Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц нарын ачаар бий болгосон.

Логарифм, аравтын логарифм, натурал логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А.Приншейм (1893).

"Логарифм" гэсэн нэр томъёо нь Шотландын математикч Жон Напиерт хамаардаг. "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар", 1614); Энэ нь λογος (үг, хамаарал) ба αριθμος (тоо) гэсэн грек үгсийн нийлбэрээс үүссэн. Ж.Напиерийн логарифм нь хоёр тооны харьцааг хэмжих туслах тоо юм. Логарифмын орчин үеийн тодорхойлолтыг анх Английн математикч Уильям Гардинер (1742) өгсөн. Тодорхойлолтоор бол тооны логарифм бдээр суурилсан а (а ≠ 1, a > 0) - илтгэгч м, энэ тоог өсгөх ёстой а(логарифмын суурь гэж нэрлэдэг) авах б. Томилогдсон бүртгэл a b.Тэгэхээр, м = бүртгэл а б, Хэрэв a m = b.

Аравтын бутархай логарифмын анхны хүснэгтүүдийг Оксфордын математикийн профессор Хенри Бриггс 1617 онд хэвлүүлсэн. Тиймээс гадаадад аравтын логарифмыг ихэвчлэн Бригс логарифм гэж нэрлэдэг. "Натурал логарифм" гэсэн нэр томъёог Пьетро Менголи (1659), Николас Меркатор (1668) нар нэвтрүүлсэн боловч Лондонгийн математикийн багш Жон Спиделл 1619 онд натурал логарифмын хүснэгтийг эмхэтгэсэн.

19-р зууны эцэс хүртэл логарифмын хувьд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ байгаагүй. азүүн ба тэмдгийн дээр заасан бүртгэл, дараа нь дээр нь. Эцсийн эцэст математикчид үндсэн суурь тавих хамгийн тохиромжтой газар нь тэмдэгтийн дараа шугамын доор байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. бүртгэл. Логарифмын тэмдэг - "логарифм" гэсэн үгийн товчлолын үр дүн - логарифмын эхний хүснэгтүүд гарч ирэхтэй зэрэгцэн янз бүрийн хэлбэрээр гарч ирдэг, жишээлбэл. Бүртгэл- И.Кеплер (1624), Г.Бриггс (1631), бүртгэл- Б.Кавальери (1632). Зориулалт lnУчир нь натурал логарифмыг Германы математикч Альфред Прингшейм (1893) нэвтрүүлсэн.

Синус, косинус, тангенс, котангенс. В.Оутред (17-р зууны дунд үе), И.Бернулли (18-р зуун), Л.Эйлер (1748, 1753).

Синус болон косинусын товчлолыг 17-р зууны дунд үед Уильям Оутред нэвтрүүлсэн. Тангенс ба котангенсийн товчлолууд: тг, ctg 18-р зуунд Иоганн Бернуллигийн танилцуулсан бөгөөд тэд Герман, Орост өргөн тархсан. Бусад оронд эдгээр функцүүдийн нэрийг ашигладаг бор, орАльберт Жирард бүр эрт буюу 17-р зууны эхээр санал болгосон. Леонхард Эйлер (1748, 1753) тригонометрийн функцүүдийн онолыг орчин үеийн хэлбэрт оруулсан бөгөөд бодит бэлгэдлийг нэгтгэсний төлөө бид түүнд өртэй."Тригонометрийн функц" гэсэн нэр томъёог 1770 онд Германы математикч, физикч Георг Симон Клюгел нэвтрүүлсэн.

Энэтхэгийн математикчид анх синусын шугам гэж нэрлэдэг "арха-жива"("хагас утас", өөрөөр хэлбэл хагас хөвч), дараа нь үг "арча"хаягдаж, синусын шугамыг энгийнээр нэрлэж эхлэв "жива". Араб орчуулагчид энэ үгийг орчуулаагүй "жива"Араб үг "ватар", утас, хөвчийг илэрхийлж, араб үсгээр буулгаж, синусын шугамыг дуудаж эхлэв. "жиба". Араб хэлэнд богино эгшгийг тэмдэглээгүй, харин үгэнд урт "i" гэж бичдэг "жиба""th" хагас эгшигтэй адил тэмдэглэсэн арабууд синус шугамын нэрийг дуудаж эхлэв. "жиб", энэ нь шууд утгаараа "хөндий", "синус" гэсэн утгатай. Араб хэл дээрх бүтээлүүдийг латин хэл рүү орчуулахдаа Европын орчуулагчид уг үгийг орчуулсан "жиб"Латин үг синус, ижил утгатай."Шүргэх" гэсэн нэр томъёо (лат.шүргэгч- хүрэх) -ийг Данийн математикч Томас Финк "Бөөрөнхий геометр" (1583) номондоо танилцуулсан.

Арксин. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Урвуу тригонометрийн функцууд нь тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай математик функцууд юм. Урвуу тригонометрийн функцийн нэр нь "нуман" угтварыг (лат. нум- нуман).Урвуу тригонометрийн функцууд нь ихэвчлэн арксинус (арксин), арккосин (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксекант (arcsec) болон арксекант (arccosec) гэсэн зургаан функцийг агуулдаг. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тусгай тэмдгийг Даниел Бернулли (1729, 1736) анх ашигласан.Урвуу тригонометрийн функцийг угтвар ашиглан тэмдэглэх арга нум(лат. нум, нум) Австрийн математикч Карл Шерфертэй хамт гарч ирсэн бөгөөд Францын математикч, одон орон судлаач, механикч Жозеф Луис Лагранжийн ачаар нэгтгэгджээ. Жишээлбэл, ердийн синус нь тойргийн нумын дагуух хөвчийг олох боломжийг олгодог бөгөөд урвуу функц нь эсрэг талын асуудлыг шийддэг гэсэн үг юм. 19-р зууны эцэс хүртэл Англи, Германы математикийн сургуулиуд өөр тэмдэглэгээг санал болгосон: нүгэл -1 болон 1/sin, гэхдээ тэдгээр нь өргөн хэрэглэгддэггүй.

Гипербол синус, гипербол косинус. V. Риккати (1757).

Английн математикч Абрахам де Мойврын (1707, 1722) бүтээлүүдээс түүхчид гиперболын функцүүдийн анхны дүр төрхийг олж илрүүлжээ. Орчин үеийн тодорхойлолт, тэдгээрийн нарийвчилсан судалгааг Италийн Винчензо Риккати 1757 онд "Opusculorum" бүтээлдээ хийж, мөн тэдгээрийн тэмдэглэгээг санал болгов. Ш,ch. Риккати нэгж гиперболыг авч үзэхээс эхэлсэн. Гиперболын функцүүдийн шинж чанаруудын бие даасан нээлт, цаашдын судалгааг Германы математикч, физикч, гүн ухаантан Иоганн Ламберт (1768) хийж, ердийн ба гипербол тригонометрийн томьёоны өргөн параллелизмыг тогтоожээ. Н.И. Дараа нь Лобачевский энэхүү параллелизмыг энгийн тригонометрийг гиперболоор сольсон Евклидийн бус геометрийн нийцтэй байдлыг нотлохыг оролдсон.

Тригонометрийн синус ба косинус нь координатын тойрог дээрх цэгийн координат байдаг шиг гиперболын синус ба косинус нь гиперболын цэгийн координат юм. Гипербол функцууд нь экспоненциалаар илэрхийлэгддэг бөгөөд тригонометрийн функцуудтай нягт холбоотой байдаг. sh(x)=0.5(e x -e -x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). Тригонометрийн функцуудтай зүйрлэвэл гипербол тангенс ба котангенс нь гиперболын синус ба косинус, косинус ба синусуудын харьцаагаар тодорхойлогддог.

Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, 1684 онд хэвлэгдсэн).

Функцийн өсөлтийн үндсэн, шугаман хэсэг.Хэрэв функц y=f(x)нэг хувьсагч x-д байна x=x 0дериватив, нэмэгдэлΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)функцууд f(x)хэлбэрээр төлөөлж болноΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , гишүүн хаана байна Р-тай харьцуулахад хязгааргүй жижигΔx. Анхны гишүүнdy=f"(x 0 )Δxэнэ тэлэлтэд ба функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг f(x)цэг дээрx 0. IN Готфрид Лейбниц, Якоб, Иоганн Бернулли нарын бүтээлүүд"ялгаа"нэмэгдэх гэсэн утгаар хэрэглэгдэж байсан, үүнийг И.Бернулли Δ-ээр тэмдэглэсэн. Г.Лейбниц (1675, 1684 онд хэвлэгдсэн) "хязгааргүй бага зөрүү" гэсэн тэмдэглэгээг ашигласан.г- үгийн эхний үсэг"дифференциал", -аас түүний үүсгэсэн"ялгаа".

Тодорхой бус интеграл. Г.Лейбниц (1675, 1686 онд хэвлэгдсэн).

"Интеграл" гэдэг үгийг анхны хэвлэлд Якоб Бернулли (1690) ашигласан. Магадгүй энэ нэр томъёо нь латин хэлнээс гаралтай байх бүхэл тоо- бүхэлд нь. Өөр нэг таамаглалаар бол үндэс нь латин үг байв интегро- өмнөх байдалд нь оруулах, сэргээх. ∫ тэмдэг нь математикт интегралыг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд латин үгийн эхний үсгийн загварчилсан дүрслэл юм. хураангуй -нийлбэр. Үүнийг анх Германы математикч, дифференциал ба интеграл тооцоог үндэслэгч Готфрид Лейбниц 17-р зууны сүүлчээр хэрэглэж байжээ. Дифференциал ба интеграл тооцооллын өөр нэг үндэслэгчдийн нэг Исаак Ньютон өөрийн бүтээлүүддээ интегралын өөр бэлгэдлийг санал болгоогүй боловч функцын дээрх босоо зураас эсвэл функцийн урд байрлах дөрвөлжин тэмдэг эсвэл янз бүрийн хувилбаруудыг туршиж үзсэн. хиллэдэг. Функцийн тодорхойгүй интеграл y=f(x)нь тухайн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог юм.

Тодорхой интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).

Функцийн тодорхой интеграл f(x)доод хязгаартай аба дээд хязгаар бялгаа гэж тодорхойлж болно F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Хаана F(x)- функцийн зарим эсрэг дериватив f(x) . Тодорхой интеграл a ∫ b f(x)dx х тэнхлэг ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна x=aТэгээд x=bба функцийн график f(x). Бидний сайн мэдэх хэлбэрийн тодорхой интегралын загварыг 19-р зууны эхээр Францын математикч, физикч Жан Батист Жозеф Фурье санал болгосон.

Дериватив. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).

Дериватив гэдэг нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог дифференциал тооцооллын үндсэн ойлголт юм f(x)аргумент өөрчлөгдөх үед x . Хэрэв ийм хязгаар байгаа бол аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байдаг тул функцийн өсөлтийг түүний аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж тодорхойлдог. Хэзээ нэгэн цагт хязгаарлагдмал деривативтай функцийг тухайн цэгт дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Деривативыг тооцоолох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Урвуу үйл явц нь интеграци юм. Сонгодог дифференциал тооцоонд деривативыг ихэвчлэн хязгаарын онолын ойлголтоор тодорхойлдог боловч түүхэндээ хязгаарын онол дифференциал тооцооноос хожуу гарч ирсэн.

"Үүсмэл" гэсэн нэр томъёог 1797 онд Жозеф Луис Лагранж, анхны тоог ашиглан деривативын тэмдэглэгээг мөн тэрээр (1770, 1779) нэвтрүүлсэн бөгөөд dy/dx- Готфрид Лейбниц 1675 онд. Цагийн деривативыг үсэг дээр цэгээр тэмдэглэх арга нь Ньютон (1691)-ээс гаралтай."Функцийн дериватив" гэсэн орос хэллэгийг Оросын математикч анх ашигласанВасилий Иванович Висковатов (1779-1812).

Хэсэгчилсэн дериватив. А.Лжендре (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).

Олон хувьсагчийн функцүүдийн хувьд хэсэгчилсэн деривативууд тодорхойлогддог - үлдсэн аргументууд нь тогтмол байна гэсэн таамаглалаар тооцсон аргументуудын аль нэгэнд хамаарах деривативууд. Тэмдэглэлүүд ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y 1786 онд Францын математикч Адриен Мари Лежендре танилцуулсан; еx",z x "- Жозеф Луис Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 з/ ∂ x 2, ∂ 2 з/ ∂ x ∂ y- хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд - Германы математикч Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Зөрүү, өсөлт. И.Бернулли (17-р зууны сүүл - 18-р зууны эхний хагас), Л.Эйлер (1755).

Өсөлтийг Δ үсгээр тэмдэглэхийг анх Швейцарийн математикч Иоган Бернулли ашигласан. Дельта тэмдэг нь 1755 онд Леонхард Эйлерийн ажлын дараа нийтлэг хэрэглээнд нэвтэрсэн.

нийлбэр. Л.Эйлер (1755).

Нийлбэр нь хэмжигдэхүүнүүдийг (тоо, функц, вектор, матриц гэх мэт) нэмсний үр дүн юм. a 1, a 2, ..., a n n тооны нийлбэрийг тэмдэглэхийн тулд Грекийн “сигма” Σ үсгийг ашиглана: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Нийлбэрийн Σ тэмдгийг 1755 онд Леонхард Эйлер нэвтрүүлсэн.

Ажил. К.Гаусс (1812).

Бүтээгдэхүүн нь үржүүлгийн үр дүн юм. a 1, a 2, ..., a n n тооны үржвэрийг тэмдэглэхийн тулд Грекийн pi Π үсгийг ашиглана: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i. . Жишээлбэл, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Бүтээгдэхүүний Π тэмдгийг 1812 онд Германы математикч Карл Гаусс нэвтрүүлсэн. Оросын математикийн уран зохиолд "бүтээгдэхүүн" гэсэн нэр томъёог анх 1703 онд Леонтий Филиппович Магницкий олж авчээ.

Факториал. К. Крамп (1808).

n тооны факториал (n! гэж тэмдэглэсэн, "en факториал" гэж нэрлэдэг) нь n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэр юм: n! = 1·2·3·...·n. Жишээлбэл, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Тодорхойлолтоор 0 гэж тооцогдоно! = 1. Факториал нь зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоонд тодорхойлогддог. n-ийн факториал нь n элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3! = 6, үнэхээр,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Гурван элементийн бүх зургаан ба зөвхөн зургаан сэлгэлт.

"Факториал" гэсэн нэр томъёог Францын математикч, улс төрч Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800) нэвтрүүлсэн бөгөөд n! - Францын математикч Кристиан Крамп (1808).

Модуль, үнэмлэхүй утга. K. Weierstrass (1841).

Бодит х тооны абсолют утга нь дараах байдлаар тодорхойлогддог сөрөг бус тоо юм: |x| = x нь x ≥ 0 ба |x| = -x хувьд x ≤ 0. Жишээ нь, |7| = 7, |- 0.23| = -(-0.23) = 0.23. z = a + ib цогцолбор тооны модуль нь √(a 2 + b 2)-тай тэнцүү бодит тоо юм.

"Модуль" гэсэн нэр томъёог Английн математикч, философич, Ньютоны шавь Рожер Котес санал болгосон гэж үздэг. Готфрид Лейбниц мөн энэ функцийг ашигласан бөгөөд үүнийг "модуль" гэж нэрлэж, моль х гэж тэмдэглэв. Үнэмлэхүй хэмжигдэхүүнийг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн тэмдэглэгээг 1841 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс нэвтрүүлсэн. Нарийн төвөгтэй тоонуудын хувьд энэ ойлголтыг 19-р зууны эхээр Францын математикч Аугустин Коши, Жан Роберт Арган нар нэвтрүүлсэн. 1903 онд Австрийн эрдэмтэн Конрад Лоренц векторын уртын хувьд ижил төстэй тэмдэглэгээг ашигласан.

Норм. E. Schmidt (1908).

Норм гэдэг нь векторын орон зайд тодорхойлогдсон, векторын урт эсвэл тооны модулийн тухай ойлголтыг нэгтгэсэн функц юм. "Норм" тэмдгийг (Латин "norma" - "дүрэм", "загвар" гэсэн үгнээс) 1908 онд Германы математикч Эрхард Шмидт нэвтрүүлсэн.

Хязгаар. S.Lhuillier (1786), В.Гамильтон (1853), олон тооны математикчид (XX зууны эхэн үе хүртэл)

Хязгаар гэдэг нь математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд тодорхой хувьсагчийн үнэ цэнэ нь өөрчлөгдөх явцад тодорхой тогтмол утгад хязгааргүй ойртдог гэсэн үг юм. Хязгаарын тухай ойлголтыг 17-р зууны хоёрдугаар хагаст Исаак Ньютон, мөн 18-р зууны Леонхард Эйлер, Жозеф Луис Лагранж зэрэг математикч нар зөн совингоор ашиглаж байжээ. Дарааллын хязгаарлалтын анхны хатуу тодорхойлолтыг 1816 онд Бернард Болзано, 1821 онд Августин Коши нар өгсөн. Лим тэмдгийг (Латин хэлний шохой - хил гэсэн үгийн эхний 3 үсэг) 1787 онд Швейцарийн математикч Саймон Антуан Жан Люильер гарч ирсэн боловч түүний хэрэглээ нь орчин үеийнхтэй адилгүй байв. Лим хэллэгийг илүү танил хэлбэрээр анх Ирландын математикч Уильям Хамилтон 1853 онд ашигласан.Weierstrass орчин үеийнхтэй ойролцоо тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн боловч танил сумны оронд тэнцүү тэмдгийг ашигласан. Сум нь 20-р зууны эхээр хэд хэдэн математикчдийн дунд нэгэн зэрэг гарч ирсэн - жишээлбэл, 1908 онд Английн математикч Годфрид Харди.

Zeta функц, d Риман зета функц. Б.Риманн (1857).

Комплекс хувьсагчийн аналитик функц s = σ + it, σ > 1-ийн хувьд Дирихле нийлсэн цувралаар үнэмлэхүй, жигд тодорхойлогддог:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

σ > 1-ийн хувьд Эйлерийн үржвэрийн дүрслэл хүчинтэй байна:

ζ(s) = Πх (1-p -s) -s ,

хаана бүтээгдэхүүнийг бүх үндсэн х. Зета функц нь тооны онолд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг.Бодит хувьсагчийн функцийн хувьд zeta функцийг 1737 онд (1744 онд хэвлэгдсэн) L. Euler нэвтрүүлж, түүнийг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэхийг заажээ. Дараа нь энэ функцийг Германы математикч Л.Дирихлет, ялангуяа Оросын математикч, механикч П.Л. Чебышев анхны тооны тархалтын хуулийг судлахдаа. Гэсэн хэдий ч zeta функцийн хамгийн гүнзгий шинж чанаруудыг Германы математикч Георг Фридрих Бернхард Риманы (1859) ажлын дараа нээсэн бөгөөд zeta функцийг комплекс хувьсагчийн функц гэж үзсэн; Тэрээр мөн 1857 онд "zeta функц" гэсэн нэр болон ζ(s) гэсэн тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн.

Гамма функц, Эйлер Γ функц. А.Лжендре (1814).

Гамма функц нь факториал гэсэн ойлголтыг комплекс тоонуудын талбарт өргөжүүлдэг математик функц юм. Ихэвчлэн Γ(z) гэж тэмдэглэдэг. G-функцийг анх 1729 онд Леонхард Эйлер танилцуулсан; Энэ нь дараах томъёогоор тодорхойлогддог.

Γ(z) = лимn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Олон тооны интеграл, хязгааргүй үржвэр, цувааны нийлбэрийг G функцээр илэрхийлдэг. Аналитик тооны онолд өргөн хэрэглэгддэг. "Гамма функц" гэсэн нэр ба Γ(z) тэмдэглэгээг 1814 онд Францын математикч Адриен Мари Лежендре санал болгосон.

Бета функц, В функц, Эйлер В функц. Ж.Бинет (1839).

p>0, q>0-д тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон p ба q хоёр хувьсагчийн функц:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Бета функцийг Γ-функцээр илэрхийлж болно: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Бүхэл тоонуудын гамма функц нь хүчин зүйлийн ерөнхий дүгнэлт болдог шиг бета функц нь нэг ёсондоо бином коэффициентүүдийн ерөнхий дүгнэлт юм.

Бета функц нь олон шинж чанарыг тодорхойлдогэнгийн бөөмсоролцож байна хүчтэй харилцан үйлчлэл. Энэ онцлогийг Италийн онолын физикч анзаарсанГабриэль Венециано 1968 онд. Энэ нь эхлэлийг тавьсан юмхэлхээний онол.

"Бета функц" гэсэн нэр ба B(p, q) гэсэн тэмдэглэгээг 1839 онд Францын математикч, механик, одон орон судлаач Жак Филипп Мари Бинет нэвтрүүлсэн.

Лаплас оператор, Лаплас. Р. Мерфи (1833).

x 1, x 2, ..., x n хувьсагчийн φ(x 1, x 2, ..., x n) функцийг оноодог шугаман дифференциал оператор Δ:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Ялангуяа нэг хувьсагчийн φ(x) функцийн хувьд Лаплас оператор нь 2-р деривативын оператортой давхцдаг: Δφ = d 2 φ/dx 2. Δφ = 0 тэгшитгэлийг ихэвчлэн Лапласын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг; Эндээс л "Лаплас оператор" эсвэл "Лаплас" гэсэн нэр гарч ирсэн. Δ гэсэн тэмдэглэгээг 1833 онд Английн физикч, математикч Роберт Мерфи нэвтрүүлсэн.

Хамилтон оператор, набла оператор, Хамилтониан. O. Heaviside (1892).

Маягтын вектор дифференциал оператор

∇ = ∂/∂x би+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · к,

Хаана би, j, Мөн к- координатын нэгж векторууд. Вектор шинжилгээний үндсэн үйлдлүүд болон Лаплас операторыг Набла оператороор дамжуулан байгалийн аргаар илэрхийлдэг.

1853 онд Ирландын математикч Уильям Роуэн Хамилтон энэ операторыг танилцуулж, ∇ тэмдгийг урвуу хэлбэртэй Грек үсгээр Δ (дельта) болгон бүтээжээ. Хэмилтонд тэмдгийн үзүүр нь зүүн тийш чиглэсэн байсан бөгөөд хожим нь Шотландын математикч, физикч Питер Гутри Тэйтийн бүтээлүүдэд тэмдэг нь орчин үеийн хэлбэрийг олж авсан. Хамилтон энэ тэмдэгтийг "atled" гэж нэрлэсэн ("дельта" гэдэг үгийг арагшаа уншина). Хожим нь Английн эрдэмтэд, тэр дундаа Оливер Хэвисайд энэ тэмдгийг Финикийн цагаан толгойн ∇ үсгийн нэрний дараа "набла" гэж нэрлэх болсон. Үсгийн гарал үүсэл нь эртний Грекээр "ятга" гэсэн утгатай ναβλα (набла) ятга зэрэг хөгжмийн зэмсэгтэй холбоотой юм. Операторыг Hamilton оператор буюу набла оператор гэж нэрлэдэг байв.

Чиг үүрэг. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).

Олонлогийн элементүүдийн хоорондын хамаарлыг тусгасан математикийн ойлголт. Функцийг "хууль", "дүрэм" гэж хэлж болно, үүний дагуу нэг багцын элемент бүр (тодорхойлолтын домэйн гэж нэрлэдэг) өөр олонлогийн зарим элементтэй (утгын домэйн гэж нэрлэдэг) холбоотой байдаг. Функцийн математик ойлголт нь нэг хэмжигдэхүүн нь нөгөө хэмжигдэхүүний утгыг хэрхэн бүрэн тодорхойлдог тухай зөн совингийн санааг илэрхийлдэг. Ихэнхдээ "функц" гэсэн нэр томъёо нь тоон функцийг хэлдэг; өөрөөр хэлбэл, зарим тоог бусадтай харгалзах функц юм. Удаан хугацааны туршид математикчид хаалтгүйгээр аргументуудыг зааж өгсөн, жишээлбэл, φх.Энэхүү тэмдэглэгээг анх 1718 онд Швейцарийн математикч Иоганн Бернулли хэрэглэж байжээ.Зөвхөн олон аргумент эсвэл аргумент нь нийлмэл илэрхийлэл байсан тохиолдолд хашилтыг ашигласан. Тэр үеийн цуурай нь өнөөг хүртэл ашиглагдаж байгаа бичлэгүүд юмsin x, log x

гэх мэт. Гэвч аажмаар f(x) хаалт хэрэглэх нь ерөнхий дүрэм болсон. Үүний гол гавьяа нь Леонхард Эйлерт хамаарна.

Тэгш байдал. R. Бичлэг (1557). Тэнцүү гэсэн тэмдгийг Уэльсийн эмч, математикч Роберт Рекорд 1557 онд санал болгосон; Тэмдгийн тойм нь хоёр зэрэгцээ сегментийн дүрсийг дуурайсан тул одоогийнхоос хамаагүй урт байв. Дэлхий дээр ижил урттай хоёр зэрэгцээ хэрчмээс илүү тэнцүү зүйл байхгүй гэж зохиолч тайлбарлав. Үүнээс өмнө эртний болон дундад зууны үеийн математикт тэгш байдлыг үгээр илэрхийлдэг байсан (жишээлбэл est egale ). 17-р зуунд Рене Декарт æ (лат.), мөн тэрээр коэффициент нь сөрөг байж болохыг харуулахын тулд орчин үеийн тэнцүү тэмдгийг ашигласан. Франсуа Вьет хасалтыг илэрхийлэхийн тулд тэнцүү тэмдгийг ашигласан. Бичлэгийн тэмдэг тэр даруй өргөн тархсангүй. Эрт дээр үеэс шулуун шугамын параллель байдлыг илэрхийлэхийн тулд ижил тэмдгийг ашигладаг байсан нь Бичлэгийн тэмдгийн тархалтад саад болж байв; Эцэст нь параллелизмын тэмдгийг босоо болгохоор шийдсэн. Эх газрын Европт "=" тэмдгийг Готфрид Лейбниц 17-18-р зууны эхэн үед буюу Роберт Рекорд нас барснаас хойш 100 гаруй жилийн дараа нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ зорилгоор анх ашигласан.

Ойролцоогоор тэнцүү, ойролцоогоор тэнцүү. А.Гюнтер (1882).

гарын үсэг зурах " ≈ "-г 1882 онд Германы математикч, физикч Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер "ойролцоогоор тэнцүү" харилцааны бэлгэдэл болгон ашиглаж эхэлсэн.

Илүү, бага. Т.Харриот (1631).

Эдгээр хоёр тэмдгийг 1631 онд Английн одон орон судлаач, математикч, угсаатны зүйч, орчуулагч Томас Харриот нэвтрүүлсэн бөгөөд үүнээс өмнө "илүү" ба "бага" гэсэн үгсийг хэрэглэж байжээ.

Харьцуулах чадвар. К.Гаусс (1801).

Харьцуулалт гэдэг нь n ба m хоёр бүхэл тоонуудын хоорондын хамаарлыг хэлнэ, өөрөөр хэлбэл эдгээр тоонуудын n-m ялгаа нь өгөгдсөн бүхэл тоо a хуваагдаж, харьцуулах модуль гэж нэрлэгддэг; Энэ нь: n≡m(mod а) гэж бичигдсэн бөгөөд “n ба m тоонуудыг харьцуулж болох модуль a” гэж уншина. Жишээлбэл, 3≡11(mod 4), учир нь 3-11 нь 4-т хуваагддаг; 3 ба 11 тоонуудыг харьцуулах боломжтой модуль 4. Конгруентууд нь тэгш байдлын шинж чанаруудтай төстэй олон шинж чанартай байдаг. Тиймээс, харьцуулалтын нэг хэсэгт байрлах нэр томъёог эсрэг тэмдгээр нөгөө хэсэгт шилжүүлж, ижил модультай харьцуулалтыг нэмж, хасах, үржүүлэх, харьцуулалтын хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлэх гэх мэт боломжтой. Жишээ нь.

3≡9+2(mod 4) ба 3-2≡9(mod 4)

Үүний зэрэгцээ жинхэнэ харьцуулалт. Мөн 3≡11(mod 4) ба 1≡5(mod 4) хос зөв харьцуулалтаас дараах байдалтай байна.

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(загварын 4)

3·1≡11·5(загварын 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(загварын 4)

Тооны онол нь янз бүрийн харьцуулалтыг шийдвэрлэх аргуудыг авч үздэг, жишээлбэл. нэг төрлийн харьцуулалтыг хангасан бүхэл тоог олох аргууд.Модулогийн харьцуулалтыг анх Германы математикч Карл Гаусс 1801 онд гаргасан "Арифметик судлал" номондоо ашигласан. Тэрээр мөн математикт бий болсон харьцуулалтын бэлгэдлийг санал болгосон.

Баримтлал. Б.Риманн (1857).

Identity гэдэг нь түүнд орсон үсгүүдийн зөвшөөрөгдөх утгын хувьд хүчинтэй хоёр аналитик илэрхийллийн тэгш байдал юм. a+b = b+a тэгшитгэл нь a ба b-ийн бүх тоон утгуудад хүчинтэй тул ижил төстэй байдал юм. Зарим тохиолдолд 1857 оноос хойш зарим тохиолдолд "≡" тэмдгийг ("ижил тэнцүү" гэж уншина) ашигладаг байсан бөгөөд үүнийг зохиогч нь Германы математикч Георг Фридрих Бернхард Риманн юм. Та бичиж болно a+b ≡ b+a.

Перпендикуляр байдал. П.Эригон (1634).

Перпендикуляр байдал нь хоёр шулуун, хавтгай эсвэл шулуун ба хавтгайн харьцангуй байрлал бөгөөд заасан дүрсүүд нь тэгш өнцөг үүсгэдэг. Перпендикуляр байдлыг илэрхийлэх ⊥ тэмдгийг Францын математикч, одон орон судлаач Пьер Эригон 1634 онд нэвтрүүлсэн. Перпендикуляр байдлын тухай ойлголт нь хэд хэдэн ерөнхий ойлголттой байдаг боловч тэдгээр нь дүрмээр бол ⊥ тэмдгээр дагалддаг.

Параллелизм. В.Оутред (нас барсны дараах хэвлэл 1677).

Зэрэгцээ байдал нь тодорхой геометрийн дүрс хоорондын хамаарал юм; жишээ нь, шулуун. Янз бүрийн геометрээс хамааран өөр өөрөөр тодорхойлсон; жишээлбэл, Евклидийн геометр, Лобачевскийн геометрт. Зэрэгцээ байдлын шинж тэмдгийг эрт дээр үеэс мэддэг байсан бөгөөд үүнийг Александрийн Херон, Паппус нар ашиглаж байжээ. Эхэндээ энэ тэмдэг нь одоогийн тэнцүү гэсэн тэмдэгтэй төстэй байсан (зөвхөн илүү өргөтгөсөн) боловч сүүлийнх гарч ирснээр төөрөгдөлд орохгүйн тулд тэмдгийг босоо || эргүүлсэн. Энэ нь 1677 онд Английн математикч Уильям Оутредийн бүтээлүүдийн нас барсны дараах хэвлэлд анх удаа ийм хэлбэрээр гарч ирэв.

Уулзвар, нэгдэл. Ж.Пиано (1888).

Олонлогуудын огтлолцол гэдэг нь өгөгдсөн бүх олонлогт нэгэн зэрэг хамаарах эдгээр болон зөвхөн тэдгээр элементүүдийг агуулсан олонлог юм. Олонлогуудын нэгдэл нь анхны олонлогийн бүх элементүүдийг агуулсан олонлог юм. Уулзвар ба нэгдэл нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу тодорхой олонлогт шинэ багц хуваарилах олонлог дээрх үйлдлүүд юм. ∩ ба ∪-ээр тус тус тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, хэрэв

A= (♠ ♣ )Тэгээд B= (♣ ♦),

Тэр

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Агуулж байна, агуулна. E. Schroeder (1890).

Хэрэв А ба В нь хоёр олонлог бөгөөд А-д В-д хамаарахгүй элемент байхгүй бол тэд В-д А-г агуулж байна гэж тэд A⊂B эсвэл B⊃A гэж бичдэг (Б нь А-г агуулдаг). Жишээлбэл,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

1890 онд Германы математикч, логикч Эрнст Шрөдер "агуулсан" ба "агуулагдсан" гэсэн тэмдэглэгээг бий болгосон.

Холбоо. Ж.Пиано (1895).

Хэрэв a нь А олонлогийн элемент бол a∈A гэж бичээд “a нь А-д харьяалагдана” гэж уншина уу. Хэрэв a нь А олонлогийн элемент биш бол a∉A гэж бичээд "a нь А-д хамаарахгүй" гэж уншина уу. Эхлээд "агуулагдсан" ба "харьяалах" ("элемент юм") харилцааг ялгаж салгадаггүй байсан ч цаг хугацаа өнгөрөхөд эдгээр ойлголтуудыг ялгах шаардлагатай болсон. ∈ тэмдгийг анх 1895 онд Италийн математикч Жузеппе Пеано хэрэглэж байжээ. ∈ тэмдэг нь Грекийн εστι - байх гэсэн үгийн эхний үсгээс гаралтай.

Түгээмэл байдлын хэмжигч, оршихуйн хэмжигдэхүүн. Г.Гентзэн (1935), К.Пирс (1885).

Хэмжигч нь предикатын (математикийн мэдэгдэл) үнэний мужийг заадаг логик үйлдлүүдийн ерөнхий нэр юм. Философичид предикатын үнэний хүрээг хязгаарладаг логик үйлдлүүдэд эртнээс анхаарч ирсэн боловч тэдгээрийг үйлдлүүдийн тусдаа анги гэж тодорхойлоогүй байна. Хэмжээ-логикийн бүтцийг шинжлэх ухаан, өдөр тутмын ярианд өргөн ашигладаг боловч тэдгээрийг албан ёсны болгох нь зөвхөн 1879 онд Германы логикч, математикч, философич Фридрих Людвиг Готлоб Фрежийн "Үзэл баримтлалын тооцоо" номонд гарсан. Фрежийн тэмдэглэгээ нь нүсэр график бүтээц шиг харагдаж байсан тул хүлээн аваагүй. Дараа нь илүү олон амжилттай тэмдэгтүүдийг санал болгосон боловч нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ нь 1885 онд Америкийн философич, логикч, математикч Чарльз Пирсийн санал болгосон экзистенциал хэмжигдэхүүн ("оршдог", "байдаг" гэж уншина уу) болон ∀ Германы математикч, логикч Герхард Карл Эрих Гентзений 1935 онд оршин тогтнох хэмжигдэхүүнтэй зүйрлэснээр (англи үгийн урвуу үсгээр бичсэн) бүх нийтийн хэмжигдэхүүнийг ("ямар ч", "бүр бүр", "бүгд" гэж уншина уу) Оршихуй (оршихуй) ба Аливаа (ямар ч)). Жишээлбэл, бичлэг хийх

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

дараах байдлаар уншина: “ямар ч ε>0-ийн хувьд δ>0 байх тул бүх x-ийн хувьд x 0-тэй тэнцүү биш бөгөөд |x-x 0 | тэгш бус байдлыг хангадаг.<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Хоосон багц. Н.Бурбаки (1939).

Ганц элемент агуулаагүй олонлог. Хоосон багцын тэмдгийг 1939 онд Николас Бурбакигийн номонд танилцуулсан. Бурбаки бол 1935 онд байгуулагдсан Францын математикчдын нэгдсэн нууц нэр юм. Бурбаки бүлгийн гишүүдийн нэг нь Ø тэмдгийн зохиогч Андре Вайл байв.

Q.E.D. Д.Кнут (1978).

Математикийн хувьд нотлох баримтыг тодорхой дүрмүүд дээр үндэслэсэн, тодорхой өгүүлбэр үнэн болохыг харуулах дараалал гэж ойлгодог. Сэргэн мандалтын үеэс эхлэн нотолгооны төгсгөлийг математикчид "Quod Erat Demonstrandum" буюу "Нотлох шаардлагатай байсан зүйл" гэсэн латин хэллэгээс "Q.E.D." гэсэн товчлолоор тэмдэглэсэн байдаг. 1978 онд Америкийн компьютерийн шинжлэх ухааны профессор Дональд Эдвин Кнут компьютерийн зохион байгуулалтын ΤΕΧ системийг бүтээхдээ Унгар гаралтай Америкийн математикч Пол Ричард Халмосын нэрэмжит "Халмос тэмдэг" гэж нэрлэгддэг дүүргэсэн дөрвөлжин тэмдгийг ашигласан. Өнөөдөр нотлох баримтыг дуусгахыг ихэвчлэн Халмос тэмдэгээр илэрхийлдэг. Үүнээс гадна бусад тэмдгүүдийг ашигладаг: хоосон дөрвөлжин, тэгш өнцөгт гурвалжин, // (урагш чиглэсэн хоёр ташуу зураас), мөн Оросын "ch.t.d." товчлол.

ГЕОМЕТРИЙН ТЭМДЭГ ГЕОМЕТРИЙН ТЭМДЭГ

геометрийн элементүүдтэй ижил хэлбэртэй, домог, шашны салбарт өргөн хэрэглэгдэх домог поэтик тэмдгүүдийн анги, түүнчлэн хожуу үеийн бэлгэдэл, бэлгэ тэмдэг (ялангуяа сүлд дууг харна уу). Г.с-д. Үлгэр домог, шашны тогтолцооны хүрээнд ашиглах үед тодорхойлогддог тэмдгүүдэд геометрийн дүрс, шугам (шулуун, муруй, хугарсан ба тэдгээрийн зарим хослол), түүнчлэн бие (бөмбөг, шоо, конус, пирамид, параллелепипед гэх мэт). G. s-ийн харьцангуй энгийн байдал. G. s ашиглан мифопоэтик объектуудыг загварчлах тогтвортой байдал, нарийвчлалыг баталгаажуулсан. Бодит объектуудыг оновчтой болгох, нэгтгэхтэй холбоотой геометрийн "код" нь ангилах, ялангуяа оршин тогтнох янз бүрийн хүрээнүүдийн нэгдмэл байдлыг онцолсон бүх нийтийн схемийг бий болгоход тохиромжтой хэрэгсэл болж үйлчилдэг байв. тойрог - дөрвөлжин).Г.с. бүтцийг тодорхойлсон зайбосоо болон хэвтээ талаасаа (бүтэцгүй гэхээсээ ялгаатай эмх замбараагүй байдал,геометрийн системийн тусламжтайгаар хэзээ ч дүрсэлж байгаагүй), орон зайн болон цаг хугацааны хавтгайд, түүнчлэн сансар огторгуйн улам бүр "нягтсан" зургууд: дэлхий, улс орон, хот, суурин, ордон, сүм, булш; багийн нийгмийн бүтэц (ялангуяа гэрлэлт, ураг төрлийн харилцааны үүднээс түүний бүтэц); ёс зүйн "орон зай" (харьц. Г. с., итгэл, хайр, итгэл найдвар, тууштай байдал, чин бишрэл, шударга ёс, үнэн, дэг журам, хууль гэх мэт ойлголтуудыг илэрхийлдэг). Г.с. зан үйлийн орон зайн бүтэц, ариун нандин зүйлсийн хэлбэрийг далдлах. Домог, шашин шүтлэг, яруу найргийн бэлгэдлийн геометрийн шугамуудаас хамгийн түгээмэл нь шулуун (заримдаа сумаар тодорхойлогддог), тасархай (гол төлөв зигзаг хэлбэрээр), янз бүрийн төрлийн "ердийн" муруйнууд, ялангуяа спираль, волют, аянга, аянга, дэлхий, ус, могой зэрэгтэй холбоотой. Меандр нь ялангуяа өргөн тархсан (нарны сүйх тэрэг дэлхийд ойртоход ширгэсэн домогт бага Азийн голын нэр байсан. Фаэтонба зүйр цэцэн хэллэгээр алдартай, харьц. Страб. XII 577 дараагийн; Лив. XXXVIII, 13; Овид. Уулзсан. VIII, 162 гэх мэт) нь зөв өнцгөөр тасарсан үргэлжилсэн шугам бөгөөд эхлэл төгсгөлгүй, үүрд мөнхийг бэлгэддэг. Эртний Хятадад меандрыг хойд дүр, аянгатай холбодог байсан бол Эртний Грект домогт хааны лабиринттай харьцуулдаг байв.Минос
(дараа нь меандр нь гоёл чимэглэлийн стандарт хэлбэрүүдийн нэг болсон). Г.с-аас. ба тэдгээрийн хослолууд нь тойрог, дөрвөлжин,мандал, загалмай, хас тэмдэг Төрөл бүрийн олон өнцөгт (ихэвчлэн "ердийн") онцгой анхаарал хандуулах ёстой: янз бүрийн домог, яруу найргийн нөхцөлд дэлхийн үр өгөөжтэй хүч, гэрлэлт, аюулгүй байдлыг бэлэгддэг гурвалжин; дөл, бурхны толгой, уул, пирамид, гурвал, 3-р тоо, бие махбодийн тогтвортой байдал; төрөлт - амьдрал - үхэл, амьдрал - үхэл - шинэ амьдрал (дахин төрөлт), бие - оюун ухаан - сүнс, эцэг - эх - хүүхэд, сансрын гурван бүс (тэнгэр - газар - доод ертөнц); давхар гурвалжин - Уул, хойд, баСэт, өмнөд (эртний Египетчүүдийн дунд); гурван холбогдсон гурвалжин - үнэмлэхүй бэлгэдэл, Пифагорын эрүүл мэндийн бэлэг тэмдэг, Масоны бэлгэ тэмдэг; орой нь доошоо гурвалжин, орой нь дээшээ гурвалжин - эмэгтэйлэг зарчим, ус, газар доорх ертөнцийн хүч, сар (Египетийн иероглиф) ба эрэгтэй зарчмыг тус тус илэрхийлдэг.тэнгэрийн хүч; хас тэмдгийг хүрээлсэн гурвалжин нь сансар огторгуйн эв найрамдлын бэлгэдэл юм; дөрвөлжин дэх гурвалжин - бурханлаг ба хүн төрөлхтөн, тэнгэрлэг ба дэлхийн, сүнслэг ба бие махбодь; тойрог дотор гурвалжин - нэг гурвалжин; огтлолцсон хоёр гурвалжин - бурханлаг байдал, гал ба усны нэгдэл, сүнсний материйн ялалт.
Од хэлбэртэй ердийн таван өнцөгт Пентагон нь мөнх, төгс байдал, орчлон ертөнцийг бэлэгддэг; Пентагон бол эрүүл мэндийн сахиус, хаалган дээрх тэмдэг юм шулам;шившлэг, зарим зан үйлийн ид шидийн эмчилгээ; Готын бэлгэ тэмдэг, Кетзалкоатл, Мөнгөн ус,Селтик Гавайн болон бусад; Америкийн Энэтхэгийн тотем; таван шархны бэлэг тэмдэг Есүс Христ,Грекчүүд загалмайн тэмдэг болгон ашигладаг; хөгжил цэцэглэлтийн шинж тэмдэг, иудейчүүдийн дунд амжилт хүсье, Соломоны домогт түлхүүр; Японы нийгэм дэх өндөр статусын шинж тэмдэг гэх мэт.
Зургаан өнцөгт, ердийн зургаан өнцөгт - элбэг дэлбэг байдал, гоо үзэсгэлэн, эв найрамдал, эрх чөлөө, гэрлэлт, хайр дурлал, нигүүлсэл, таашаал, амар амгалан, харилцан ойлголцол, тэгш хэмийн бэлэг тэмдэг (6-ын тооны бэлгэдэл ижил), хүний ​​дүр төрх (хоёр гар, хоёр хөл, толгой, их бие), Пифагорын амьдралын хэв маяг, сайн аз; өнцөг байгаа эсэх, нэгдүгээрт, тойрогтой ойролцоо хэлбэр, хоёрдугаарт, зургаан өнцөгтийг энерги, амар амгалан, нэгэн зэрэг амар амгалан, нартай харьцуулах боломжийг олгодог; Эртний Хятадад долоон дахин төвтэй (6+1) бүрэн бүтэн байдлын санаа нь зургаан өнцөгттэй холбоотой байв.
Хятадын триграмм гэх мэт геометрийн бүтцийн бэлгэдлийг онцгой дурдах хэрэгтэй (үзнэ үү. Ба гуа), тус бүр нь бетоноос хийсвэр рүү шилжих цуврал ойлголтуудыг илэрхийлдэг. Анх 8 триграмм бүтээгдсэн: (циан) - тэнгэр - бүтээлч байдал - цайз, (кун) - газар - гүйцэтгэл - зориулалт, (жэн) - аянга - догдлол - хөдөлгөөн, (кан) - ус - усанд орох - аюул, (ген) - уул - үлдэгдэл - халдашгүй байдал, (нар) - салхи (мод) - сайжруулалт - нэвтрэлт, (ли) - гал - нэгдэл - тунгалаг байдал, (үлээлт) - цөөрөм - шийдэл - баяр баясгалан. Хоёр триграмын хослол гэж үзэж болох гексаграммууд нь бэлгэдлийн чухал утгатай байв. Эртний Хятадын "Өөрчлөлтийн ном" (I Ching)-ийн дагуу дэлхийн үйл явц нь гэрэл ба харанхуйн хүч, хурцадмал байдал, нийцлийн янз бүрийн харьцаагаар тодорхойлогддог 64 нөхцөл байдлын хэлбэрээр хэрэгждэг бөгөөд бодит байдлыг дүрсэлсэн зургаан өнцөгт дүрсээр тодорхойлогддог. бүхэлд нь. Триграммуудын харилцан хамаарал нь гексаграммын өвөрмөц байдлыг тодорхойлсон. Үүний зэрэгцээ, триграмын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бүхэлд нь авч үзвэл бэлгэдлийн тайлбарыг хүлээн авсан (жишээлбэл, доод триграм - дотоод амьдрал, урагшлах, бий болгох, дээд триграм - гадаад ертөнц, ухрах, нурах) ба тус бүр нь гексаграммыг бүрдүүлдэг гурван хос шинж чанараас (дээд - тэнгэр, дунд - хүн, доод - дэлхий). Эцэст нь зөгнөлийн практикт гексаграмын нийгэм, хүний ​​бие, амьтны биетэй холбоотой бие даасан байрлалын бэлгэдлийг харгалзан үзсэн. Hexagrams-тай холбоотой эдгээр санаанууд нь дэлхийн бүтцийг синтетик загварчлах бусад оролдлогуудад тэргүүлэх байр суурь эзэлдэг (Швейцарийн зохиолч Г. Хессегийн "Шилэн ирмэгийн тоглоом" романыг үзнэ үү).
Г.с-тэй холбогдуулан. Домог ба шашны системд синтакс (домог ба яруу найргийн бичвэр дэх геометрийн системийг хослуулах нь зөвхөн шинэ албан ёсны бүтцийг бий болгодог төдийгүй шинэ утгыг бий болгодог) ба хувирах (харилцаа тогтоох) гэсэн хоёр зүйлийг тэмдэглэх нь зүйтэй. түүхэн бичвэрүүдийн урвуу байдал. жишээлбэл, бусад тэмдэг, тэмдэгтүүд рүү тоо(эсвэл цагаан толгойн үсэг)] бөгөөд энэ нь семантик инвариантууд, тэдгээрийг илэрхийлэх аргуудыг тогтоох боломжийг олгодог. Лхагва. Зарим уламжлал дахь үсгийн макро ба микро сансар огторгуйн хамаарал (Византийн эртний неоплатонистууд ба гностикуудын туршлага).
Төрөл бүрийн Г. ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь уран сайхны хэлбэрийн элемент болдог (архитектур, чимэглэл гэх мэт стандартчилагдсан блокууд). Г.с. сэтгэцийн зохих бүтцэд нөлөөлж, шинэ нөхцөл байдлыг дуурайж чаддаг домог-яруу найргийн тэмдэг, тэмдгүүдийн чухал давхаргыг бүрдүүлдэг. Ялангуяа геометрийн системийг ашиглах нь энэ өмч дээр суурилдаг. далд ухамсарт психофизик нөлөө үзүүлэх, бэлгэ тэмдэг, барааны тэмдэг үүсгэхэд ашиглах.
Лит.:Щуцкий Ю., Хятадын сонгодог "Өөрчлөлтийн ном", М., 1960; Аверинцев С.С., Византийн эртний уран зохиолын яруу найраг, М., 1977, х. 123-24, 206-07;
Гранет М., Ла pensée chinoise, П., 1934; Ehrlich E. L., Die Kultsymbolik im Alten Testament und im nachbiblischen Judentum, Stuttg., 1969; Herrmann F., Symbollk In den Religionen der Naturvölker, Stuttg., 1961; Danielou J., Les symboles chrétiens primitifs, P., ; Жобс Г., Домог зүй, ардын аман зохиол, бэлгэдлийн толь бичиг, pt. 1-3, N.Y., 1962; Гимбутас М., Хуучин Европын бурхад ба дарь эх: МЭӨ 7000-аас 3500 он, домог, домог, шашны дүрс, Берк. - Лос Анг., 1974, х. 124-32.
Топоров хотод.

(Эх сурвалж: "Дэлхийн ард түмний домог.")

Бусад толь бичгүүдэд "ГЕОМЕТРИЙН ТЭМДЭГ" гэж юу болохыг харна уу.

Юникод дээр 1,112,064 (= 220 + 216 − 211) тэмдэгтийн байрлал байгаа бөгөөд тэдгээрийн 100,000 гаруй нь одоогоор ашиглагдаж байна. Эхний 256 танил тал нь ISO 8859 1 (“Латин 1”) тэмдэгтийн хүснэгттэй давхцаж байна. Код... ... Википедиа

Юникод нь 1,114,112 (= 220 + 216) тэмдэгтийн байрлалтай бөгөөд үүнээс 100,000 гаруй нь одоогоор ашиглагдаж байгаа эхний 256 тэмдэгт нь ISO 8859 1 (“Латин 1”) тэмдэгтийн хүснэгттэй тохирч байна. Кодын орон зай нь... ... Wikipedia-ийн дагуу 17 "онгоц"-т хуваагдана

ШЯН ШУ ЖИ ШЮЭ (Хятадын тэмдэг, тоо судлал, тоо судлал) нь өргөн утгаараа, эртний танин мэдэхүйн бүтцээс генетикийн гаралтай бүх нийтийн онолын систем, үндсэндээ мантик ангиллын систем бөгөөд ... ... Философийн нэвтэрхий толь бичиг

Тэмдэг ба тооны тухай сургаал, зап. тоон зүй. Өргөн утгаараа, эртний танин мэдэхүйн бүтцээс генетикийн гаралтай бүх нийтийн онолын систем, юуны түрүүнд мантик ангиллын үзэл; уламжлалт Хятадад үүрэг гүйцэтгэсэн...... Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг

Алтагийн хадны урлаг* Алтагийн хадны урлаг** ЮНЕСКО-гийн Дэлхийн өвд бүртгэгдсэн... Википедиа

Энэ нийтлэл нь хүний ​​нөхөн үржихүйн тогтолцооны эрхтэний тухай юм. "Үтрээ" гэсэн нэр томъёоны бусад утгыг Үтрээ (утга) -аас үзнэ үү. "Үтрээний" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. Үтрээ ... Википедиа

Энэ нийтлэл нь хүний ​​нөхөн үржихүйн тогтолцооны эрхтэний тухай юм. Үтрээ гэсэн нэр томъёоны бусад утгыг Үтрээ (утга) -аас үзнэ үү Аарцгийн бүс дэх эмэгтэй дотоод эрхтэнүүд: 1 фаллопийн хоолой; 2 давсаг; 3 нийтийн яс; 4 G цэг; 5 клитор; 6 шээсний суваг; 7...Википедиа

Энэ нийтлэл нь хүний ​​нөхөн үржихүйн тогтолцооны эрхтэний тухай юм. Үтрээ гэсэн нэр томъёоны бусад утгыг Үтрээ (утга) -аас үзнэ үү Аарцгийн бүс дэх эмэгтэй дотоод эрхтэнүүд: 1 фаллопийн хоолой; 2 давсаг; 3 нийтийн яс; 4 G цэг; 5 клитор; 6 шээсний суваг; 7...Википедиа

Японы уламжлалт цэцэг засах урлаг. Шууд утгаараа икебана бол амьдардаг цэцэг юм. Европын урлагт цэцгийн баглаа зохион байгуулах нь түүнийг бүтээсэн хүний ​​ур чадварыг харуулдаг бол икебана бүтээгчид түүгээр нь илчлэхийг хичээдэг... ... Бүх Япон

Номууд

• Барилга. Барилгын их дээд сургуулиудад зориулсан франц хэл, 2-р хэвлэл, илч. болон нэмэлт Бакалаврын зэрэг олгох сурах бичиг, Ирина Евгеньевна Зайцева. Сурах бичиг нь оюутанд барилгын чиглэлээр анхны уран зохиолыг бие даан уншихад бэлтгэх, орчуулгагүйгээр уншсан зүйлийг ойлгоход тусална. Бүх материалыг танилцуулсан ...