y = sin x функцийн график. y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x функцууд

Тригонометрийн функц, функцүүдийн зан төлөвийг бид олж мэдсэн у = нүгэл х ялангуяа, бүх тооны мөрөнд (эсвэл аргументийн бүх утгын хувьд X) интервал дахь зан төлөвөөр нь бүрэн тодорхойлогддог 0 < X < π / 2 .

Тиймээс бид юуны түрүүнд функцийг графикаар зурах болно у = нүгэл х яг энэ интервалд.

Функцийнхээ утгуудын дараах хүснэгтийг хийцгээе;

Координатын хавтгай дээрх харгалзах цэгүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийг гөлгөр шугамаар холбосноор бид зурагт үзүүлсэн муруйг олж авна.

Үүссэн муруйг функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэхгүйгээр геометрийн аргаар байгуулж болно у = нүгэл х .

1. 1-р радиустай тойргийн эхний дөрөвний нэгийг 8 тэнцүү хэсэгт хуваана.

2. Тойргийн эхний дөрөв нь 0-ээс өнцөгтэй тохирч байна π / 2 . Тиймээс тэнхлэг дээр XХэсэг аваад 8 тэнцүү хэсэгт хуваая.

3. Тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугам зуръя X, мөн хуваах цэгүүдээс бид хэвтээ шугамтай огтлолцох хүртэл перпендикуляр байгуулна.

4. Гөлгөр шугамаар огтлолцох цэгүүдийг холбоно.

Одоо интервалыг харцгаая π / 2 < X < π .
Аргумент бүрийн утга Xэнэ интервалаас дараах байдлаар илэрхийлж болно

x = π / 2 + φ

Хаана 0 < φ < π / 2 . Бууруулах томъёоны дагуу

нүгэл( π / 2 + φ ) = cos φ = нүгэл( π / 2 - φ ).

Тэнхлэгийн цэгүүд Xабсциссатай π / 2 + φ Тэгээд π / 2 - φ тэнхлэгийн цэгийн талаар өөр хоорондоо тэгш хэмтэй Xабсциссатай π / 2 , мөн эдгээр цэгүүдийн синусууд ижил байна. Энэ нь функцийн графикийг олж авах боломжийг бидэнд олгодог у = нүгэл х интервалд [ π / 2 , π ] энэ функцийн графикийг шулуун шугамтай харьцуулсан интервалд зүгээр л тэгш хэмтэйгээр харуулах замаар X = π / 2 .

Одоо үл хөдлөх хөрөнгөө ашиглаж байна сондгой паритын функц у = нүгэл x,

нүгэл(- X) = - нүгэл X,

[-] интервалд энэ функцийг зурахад хялбар байдаг. π , 0].

y = sin x функц нь 2π үетэй үе үе юм ;. Тиймээс энэ функцийн графикийг бүхэлд нь байгуулахын тулд зурагт үзүүлсэн муруйг үе үе зүүн, баруун тийш үргэлжлүүлэхэд хангалттай. 2π .

Үүссэн муруйг гэж нэрлэдэг синусоид . Энэ бол функцийн график юм у = нүгэл х.

Зураг нь функцын бүх шинж чанарыг сайн харуулсан у = нүгэл х , үүнийг бид өмнө нь нотолсон. Эдгээр шинж чанаруудыг эргэн санацгаая.

1) функц у = нүгэл х бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон X , тиймээс түүний домэйн нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм.

2) функц у = нүгэл х хязгаарлагдмал. Түүний хүлээн авсан бүх утгууд нь эдгээр хоёр тоог оруулаад -1-ээс 1-ийн хооронд байна. Иймээс энэ функцийн хэлбэлзлийн хүрээг -1 тэгш бус байдлаар тодорхойлно < цагт < 1. Хэзээ X = π / 2 + 2к π функц нь 1-тэй тэнцүү хамгийн том утгыг авдаг бөгөөд x = -ийн хувьд π / 2 + 2к π - хамгийн бага утгууд нь - 1-тэй тэнцүү байна.

3) функц у = нүгэл х сондгой (синусоид нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг).

4) функц у = нүгэл х 2 үетэй үе үе π .

5) 2n интервалаар π < x < π + 2н π (n нь дурын бүхэл тоо) эерэг бөгөөд интервалаар π + 2к π < X < 2π + 2к π (k бол дурын бүхэл тоо) сөрөг байна. x = k үед π функц тэг болно. Тиймээс аргументийн эдгээр утгууд нь x (0; ± π ; ±2 π ; ...) функцийг тэг гэж нэрлэдэг у = нүгэл х

6) интервалтайгаар - π / 2 + 2н π < X < π / 2 + 2н π функц у = нүгэл x монотон болон интервалаар нэмэгддэг π / 2 + 2к π < X < 3π / 2 + 2к π энэ нь монотон байдлаар буурдаг.

Та функцийн зан төлөвт онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй у = нүгэл х цэгийн ойролцоо X = 0 .

Жишээлбэл, нүгэл 0.012 ≈ 0.012; нүгэл(-0.05) ≈ -0,05;

нүгэл 2° = нүгэл π 2 / 180 = нүгэл π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Үүний зэрэгцээ x-ийн аль ч утгын хувьд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй

| нүгэл x| < | x | . (1)

Үнэн хэрэгтээ, зурагт үзүүлсэн тойргийн радиус нь 1-тэй тэнцүү байг.
а / AOB = X.

Дараа нь нүгэл үйлд x= AC. Гэхдээ AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Энэ нумын урт нь тодорхой тэнцүү байна X, тойргийн радиус нь 1. Тэгэхээр 0-д< X < π / 2

гэм х< х.

Тиймээс функцийн сондгой байдлаас болж у = нүгэл х хэзээ гэдгийг харуулах амархан - π / 2 < X < 0

| нүгэл x| < | x | .

Эцэст нь, хэзээ x = 0

| нүгэл х | = | x |.

Тиймээс | хувьд X | < π / 2 тэгш бус байдал (1) нь батлагдсан. Үнэн хэрэгтээ энэ тэгш бус байдал |-ийн хувьд ч үнэн юм x | > π / 2 гэж байгаатай холбоотой | нүгэл X | < 1, а π / 2 > 1

Дасгал

1.Функцийн графикийн дагуу у = нүгэл х тодорхойлох: a) нүгэл 2; б) нүгэл 4; в) нүгэл (-3).

2.Функцийн графикийн дагуу у = нүгэл х интервалаас аль тоог тодорхойлох
[ - π / 2 , π / 2 ] нь синустай тэнцүү байна: a) 0.6; b) -0.8.

3. Функцийн графикийн дагуу у = нүгэл х аль тоо нь синустай болохыг тодорхойлох,
1/2-тэй тэнцүү.

4. Ойролцоогоор олох (хүснэгт ашиглахгүйгээр): a) син 1°; б) нүгэл 0.03;
в) нүгэл (-0.015); d) нүгэл (-2°30").

“Функц y = sinx, ee шинж чанар ба график” видео хичээл нь энэ сэдвээр харааны материал, мөн үүнтэй холбоотой тайлбарыг толилуулж байна. Үзүүлэн үзүүлэх явцад функцийн төрөл, түүний шинж чанарыг авч үзэж, координатын хавтгайн янз бүрийн сегментүүд дээрх үйл ажиллагаа, графикийн онцлогийг нарийвчлан тайлбарлаж, синус агуулсан тригонометрийн тэгшитгэлийн график шийдлийн жишээг тайлбарлав. Видео хичээлийн тусламжтайгаар багш сурагчдад энэ функцын талаархи ойлголтыг томъёолж, графикаар асуудлыг шийдвэрлэхийг заах нь илүү хялбар байдаг.

Видео хичээл нь боловсролын мэдээллийг цээжлэх, ойлгоход хялбар болгох хэрэгслүүдийг ашигладаг. Графикийг танилцуулах, асуудлын шийдлийг тайлбарлахдаа функцийн үйлдлийг ойлгоход тусалдаг хөдөлгөөнт эффектүүдийг ашигладаг бөгөөд шийдлийн явцыг дэс дарааллаар танилцуулдаг. Түүнчлэн, материалыг дуугарах нь багшийн тайлбарыг орлох чухал тайлбаруудаар нэмэгддэг. Тиймээс энэ материалыг харааны хэрэгсэл болгон ашиглаж болно. Шинэ сэдвээр багшийн тайлбарын оронд хичээлийн бие даасан хэсэг болгон.

Үзүүлэн үзүүлэх нь хичээлийн сэдвийг танилцуулж эхэлдэг. Синусын функцийг толилуулж байгаа бөгөөд тайлбарыг цээжлэх хайрцагт тодруулсан - s=sint, t аргумент нь ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ функцийн шинж чанаруудын тодорхойлолт нь тодорхойлолтын домэйноос эхэлдэг. Функцийн тодорхойлолтын муж нь бодит тоонуудын бүхэл тоон тэнхлэг, өөрөөр хэлбэл D(f)=(- ∞;+∞) болохыг тэмдэглэв. Хоёрдахь шинж чанар нь синусын функцийн сондгой байдал юм. Энэ шинж чанарыг сондгой функцийн хувьд f(-x)=-f(x) тэгшитгэл биелнэ гэдгийг 9-р ангид судалж байсныг сурагчдад сануулж байна. Синусын хувьд функцын сондгой байдлыг батлахыг дөрөвний нэг хэсэгт хуваасан тойрог дээр харуулав. Координатын хавтгайн янз бүрийн хэсэгт функц ямар тэмдэг авахыг мэдэж байгаа тул L(t) ба N(-t) цэгүүдийн жишээг ашиглан эсрэг тэмдэгтэй аргументуудын хувьд синусын сондгой байдлын нөхцөл хангагдана гэдгийг тэмдэглэв. Тиймээс s=sint нь сондгой функц юм. Энэ нь функцийн график эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна гэсэн үг.

Синусын гуравдахь шинж чанар нь функцүүдийн өсөлт ба бууралтын интервалыг харуулдаг. Энэ функц нь сегмент дээр нэмэгдэж, [π/2;π] сегмент дээр буурч байгааг тэмдэглэв. Энэ шинж чанарыг нэгж тойргийг харуулсан зураг дээр харуулсан бөгөөд А цэгээс цагийн зүүний эсрэг шилжих үед ординат нэмэгдэж, өөрөөр хэлбэл функцийн утга π/2 болж өсдөг. В цэгээс С руу шилжих үед, өөрөөр хэлбэл өнцөг π/2-оос π болж өөрчлөгдөхөд ордны утга буурдаг. Тойргийн 3-р улиралд С цэгээс D цэг рүү шилжихэд ординат 0-ээс -1 хүртэл буурдаг, өөрөөр хэлбэл синусын утга буурдаг. Сүүлийн улиралд D цэгээс А цэг рүү шилжихэд ординатын утга -1-ээс 0 хүртэл нэмэгддэг.Ингэснээр функцийн үйл ажиллагааны талаар ерөнхий дүгнэлт хийж болно. Дэлгэц нь [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], [(π/2)+2πk интервал дээр буурна; (3π/2)+2πk] бүхэл тоонд k.

Синусын дөрөв дэх шинж чанар нь функцийн хязгаарлагдмал байдлыг авч үздэг. Синт функц нь дээрээс болон доороос аль алинд нь хязгаарлагддаг гэдгийг тэмдэглэв. Сурагчид функцийн хязгаарлагдмал байдлын тухай ойлголттой танилцахдаа 9-р ангийн алгебрийн мэдээллийг сануулж байна. Дэлгэц дээр дээрээс хязгаарлагдсан функцийн нөхцөл гарч ирэх ба түүний хувьд функцын аль ч цэгт f(x)>=M тэгш бус байдал биелэх тодорхой тоо байна. Функцийн цэг бүрээс m тоогоор бага байдаг доор хязгаарлагдсан функцийн нөхцөлийг бид мөн санаж байна. Sint-ийн хувьд -1 нөхцөл хангагдсан байна<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Тав дахь шинж чанар нь функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгыг авч үздэг. t=-(π/2)+2πk цэг бүрт хамгийн бага -1 утгын ололт, t=(π/2)+2πk цэгүүдэд хамгийн том утгын ололтыг тэмдэглэв.

Үзсэн шинж чанарууд дээр үндэслэн сегмент дээр sint функцийн графикийг байгуулна. Функцийг бий болгохын тулд харгалзах цэгүүд дэх синусын хүснэгтэн утгыг ашиглана. π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π цэгүүдийн координатыг координатын хавтгайд тэмдэглэв. Эдгээр цэгүүдэд функцийн хүснэгтийн утгыг тэмдэглэж, тэдгээрийг гөлгөр шугамаар холбосноор бид график байгуулна.

[-π;π] сегмент дээр sint функцийн графикийг зурахдаа уг функцийн эхтэй харьцуулахад тэгш хэмийн шинж чанарыг ашиглана. Барилгын үр дүнд олж авсан шугам нь координатын гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй [-π;0] сегмент рүү хэрхэн жигд шилжиж байгааг зурагт үзүүлэв.

sin(x+2π) = sin x бууруулах томъёогоор илэрхийлсэн sint функцийн шинж чанарыг ашиглан 2π тутамд синусын график давтагдаж байгааг тэмдэглэв. Тиймээс интервал дээр [π; 3π] график нь [-π;π] дээрхтэй ижил байна. Тиймээс энэ функцийн график нь тодорхойлолтын бүхэл бүтэн хүрээнд давтагдах хэсгүүдийг [-π;π] илэрхийлнэ. Функцийн ийм графикийг синусоид гэж нэрлэдэг гэдгийг тусад нь тэмдэглэв. Синусын долгионы тухай ойлголтыг мөн танилцуулсан - [-π;π] сегмент дээр баригдсан графикийн фрагмент ба сегмент дээр баригдсан синусоид нуман . Эдгээр хэсгүүдийг цээжлэх зорилгоор дахин харуулав.

Синт функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр тасралтгүй функц бөгөөд функцийн утгын хүрээ нь сегментийн утгуудын багцад оршдог болохыг тэмдэглэв [-1;1].

Видео хичээлийн төгсгөлд sin x=x+π тэгшитгэлийн график шийдлийг авч үзнэ. Мэдээжийн хэрэг тэгшитгэлийн график шийдэл нь зүүн талын илэрхийллээр өгөгдсөн функц, баруун талын илэрхийллээр өгсөн функцийн графикийн огтлолцол байх болно. Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд координатын хавтгайг байгуулж, үүн дээр харгалзах синусоид y=sin x-ийг тоймлон, y=x+π функцийн графикт харгалзах шулуун шугамыг байгуулна. Баригдсан графикууд нь нэг B(-π;0) цэг дээр огтлолцоно. Иймд x=-π нь тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Сургуулийн уламжлалт математикийн хичээлийн үр нөлөөг нэмэгдүүлэхэд “Функц y = sinx, ee шинж чанар ба график” видео хичээл туслах болно. Та мөн зайны сургалт хийхдээ харааны материалыг ашиглаж болно. Энэхүү гарын авлага нь материалыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд нэмэлт хичээл шаардлагатай оюутнуудад сэдвийг эзэмшихэд тусална.

Текстийг тайлах:

Бидний хичээлийн сэдэв нь "y = sin x функц, түүний шинж чанар ба график" юм.

Өмнө нь бид s = sin t функцтэй аль хэдийн танилцсан бөгөөд энд tϵR (es нь синус te-тэй тэнцүү, te нь бодит тооны олонлогт хамаарна). Энэ функцийн шинж чанарыг судалж үзье:

ҮНДЭСЛЭЛ 1. Тодорхойлолтын муж нь R (er) бодит тоонуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл D(f) = (- ; +) (ef-ээс de - хасах хязгаараас нэмэх хязгаар хүртэлх интервалыг илэрхийлнэ).

ӨМЧ 2. s = sin t функц нь сондгой.

9-р ангийн хичээлээр y = f (x), x ϵX (y нь x-ийн eff-тэй тэнцүү, энд x нь x олонлогт хамаарах том) функцийг олонлогоос ямар нэгэн x утгын хувьд сондгой гэж нэрлэдэг болохыг олж мэдсэн. X тэгш байдал

f (- x) = - f (x) (х-ээс хасах eff нь х-ээс хасах ef-тэй тэнцүү).

Мөн абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй L ба N цэгүүдийн ординатууд нь эсрэг байдаг тул sin(- t) = -sint болно.

Өөрөөр хэлбэл, s = sin t нь сондгой функц бөгөөд s = sin t функцийн график нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. tOs(та o es).

ӨМЧ 3. интервал дээр [ 0; ] (тэгээс pi хүртэл хоёр) функц s = sin t [ сегмент дээр нэмэгдэж, багасна; ](пи-ээс хоёроор pi хүртэл).

Энэ нь зураг дээр тодорхой харагдаж байна: цэг нь тоон тойргийн дагуу тэгээс пи хүртэл хоёроор (А цэгээс В хүртэл) шилжих үед ордината 0-ээс 1 хүртэл, пи-ээс хоёроор пи-д шилжих үед аажмаар нэмэгддэг. B цэгээс C хүртэл), ординат нь 1-ээс 0 хүртэл аажмаар буурдаг.

Цэг гуравдугаар улирлын дагуу (С цэгээс D цэг хүртэл) шилжих үед хөдөлж буй цэгийн ординат тэгээс хасах нэг хүртэл буурч, дөрөвдүгээр улирлын дагуу шилжихэд ординат нь хасах нэгээс тэг хүртэл нэмэгддэг. Тиймээс бид ерөнхий дүгнэлт хийж болно: s = sin t функц интервал дээр нэмэгддэг

(хасах pi-ээс хоёр нэмэх хоёр пи ка-аас пи-г хоёр нэмэх хоёр пи ка), сегмент дээр буурна [; (пи-ээс хоёр нэмэх хоёр пи ка хүртэл гурван пи-г хоёр нэмэх хоёр пи ка), хаана

(ка нь бүхэл тооны олонлогт хамаарна).

ӨМЧ 4. s = sint функц нь дээрээс болон доороос хязгаарлагдана.

9-р ангийн хичээлээс хязгаарлагдмал байдлын тодорхойлолтыг эргэн сана: хэрэв функцийн бүх утга нь тодорхой тооноос багагүй бол y = f (x) функцийг доор хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. м мФункцийн тодорхойлолтын мужаас ямар ч х утгын хувьд f (x) ≥ тэгш бус байдал гарна м(x-ээс ef нь em-ээс их эсвэл тэнцүү). Хэрэв функцийн бүх утга нь тодорхой тооноос ихгүй бол y = f (x) функцийг дээрээс нь хязгаарласан гэж нэрлэдэг. М, энэ нь тоо байна гэсэн үг МФункцийн тодорхойлолтын мужаас ямар ч х утгын хувьд f (x) ≤ тэгш бус байдал гарна М(eff-ийн x нь em-ээс бага эсвэл тэнцүү) Хэрэв функц нь доороос дээш хязгаарлагдмал бол түүнийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг.

Функц руугаа буцаж орцгооё: аль ч te-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн - 1 ≤ sint≤ 1. (te-ийн синус нь хасах нэгээс их эсвэл тэнцүү, харин нэгээс бага эсвэл тэнцүү) гэсэн үгнээс хязгаарлагдмал байдал үүсдэг.

ӨМЧ 5. Функцийн хамгийн бага утга нь хасах нэгтэй тэнцүү бөгөөд функц нь t = хэлбэрийн аль ч цэгт энэ утгад хүрдэг (te нь хасах pi-ийг хоёр нэмэх хоёр оргилоор тэнцүү, функцийн хамгийн том утга нь тэнцүү байна. нэг болох ба t = хэлбэрийн аль ч цэгт функцээр хүрнэ (te нь pi үржвэрийг хоёр нэмэх хоёр пи ка).

s = sin t функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд нь s хамгийн ихийг илэрхийлнэ. ба s макс. .

Олж авсан шинж чанаруудыг ашиглан бид y = sin x (y = синус x) функцийн графикийг байгуулах болно, учир нь бид s = f (t) гэхээсээ илүү y = f (x) гэж бичихэд илүү дассан байдаг.

Эхлээд масштабыг сонгоцгооё: ординатын тэнхлэгийн дагуу хоёр нүдийг нэгж сегмент болгон авъя, абсцисса тэнхлэгийн дагуу хоёр нүд нь гурваар pi байна (≈ 1 тул). Эхлээд y = sin x функцийн графикийг сегмент дээр байгуулъя. Үүнийг бий болгохын тулд бид энэ сегмент дээр функцийн утгуудын хүснэгт хэрэгтэй бөгөөд бид холбогдох косинус ба синус өнцгийн утгын хүснэгтийг ашиглана.

Тиймээс аргумент болон функцийн утгуудын хүснэгтийг бүтээхийн тулд та үүнийг санах хэрэгтэй X(x) энэ тоо нь тэгээс pi хүртэлх зайтай тэнцүү байна цагт(Грек) энэ өнцгийн синусын утга.

Эдгээр цэгүүдийг координатын хавтгайд тэмдэглэе. Сегмент дээрх PROPERTY 3-ын дагуу

[ 0; ] (тэгээс pi хүртэл хоёроор) y = sin x функц нь [ сегмент дээр нэмэгдэж, буурдаг; ](пи-ээс хоёр хүртэл) ба үүссэн цэгүүдийг гөлгөр шугамаар холбосноор бид графикийн нэг хэсгийг авна (Зураг 1).

Гарал үүсэлтэй харьцангуй сондгой функцийн графикийн тэгш хэмийг ашиглан сегмент дээр байгаа y = sin x функцийн графикийг олж авна.

[-π; π ] (хасах pi-ээс pi хүртэл) (Зураг 2).

sin(x + 2π)= sinx гэдгийг санаарай

(х-ийн синус дээр хоёр пи нэмэх нь х-ийн синустай тэнцүү). Энэ нь x + 2π цэг дээр y = sin x функц нь x цэгтэй ижил утгыг авна гэсэн үг юм. Тэгээд (x + 2π)ϵ [π; 3π ](х нэмэх хоёр пи нь pi-ээс гурван пи хүртэлх сегментэд хамаарна), хэрэв xϵ[-π; π ], дараа нь [π сегмент дээр; 3π ] функцийн график нь [-π сегментийнхтэй яг адилхан харагдаж байна; π]. Үүний нэгэн адил сегментүүд дээр , , [-3π; -π ] гэх мэтээр y = sin x функцийн график хэрчим дээрхтэй ижил харагдана

[-π; π].(Зураг 3)

y = sin x функцийн график болох шугамыг синусын долгион гэнэ. 2-р зурагт үзүүлсэн синусын долгионы хэсгийг синус долгион гэж нэрлэдэг бол 1-р зурагт синусын долгион эсвэл хагас долгион гэж нэрлэдэг.

Бүтээсэн графикийг ашиглан бид энэ функцийн хэд хэдэн шинж чанарыг бичих болно.

ӨМЧ 6. y = sin x функц нь тасралтгүй функц юм. Энэ нь функцийн график тасралтгүй, өөрөөр хэлбэл үсрэлт, цоорхой байхгүй гэсэн үг юм.

ӨМЧ 7. y = sin x функцийн утгын муж нь [-1; 1] (хасах нэгээс нэг хүртэл) эсвэл дараах байдлаар бичиж болно: (e-ээс ef нь хасах нэгээс нэг хүртэлх сегменттэй тэнцүү).

ЖИШЭЭ авч үзье. sin x = x + π тэгшитгэлийг графикаар шийд (синус x нь x нэмэх pi).

Шийдэл. Функцийн графикуудыг байгуулъя у =нүгэл XТэгээд y = x + π.

y = sin x функцийн график нь синусоид байна.

y = x + π нь шугаман функц бөгөөд график нь (0; π) ба (- π ; 0) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

Баригдсан графикууд нь нэг огтлолцох цэгтэй байдаг - цэг B(- π;0) (координатыг хасах pi, тэгтэй байх). Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна гэсэн үг - B цэгийн абсцисса - -π. Хариулт: X = - π.

>>Математик: y = sin x, y = cos x функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикууд

y = sin x, y = cos x функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикууд

Энэ хэсэгт бид y = sin x, y = cos x функцүүдийн зарим шинж чанаруудын талаар ярилцаж, тэдгээрийн графикийг байгуулах болно.

1. y = sin X функц.

Дээрх § 20-д бид t тоо бүрийг cos t тоотой холбохыг зөвшөөрдөг дүрмийг томъёолсон, i.e. y = sin t функцийг тодорхойлсон. Түүний зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.

u = sin t функцийн шинж чанарууд.

Тодорхойлолтын муж нь бодит тоонуудын K олонлог юм.
Энэ нь дурын тоо 2 нь тооны тойргийн M(1) цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд энэ нь нарийн тодорхойлогдсон ординаттай; энэ ординат нь cos t.

u = sin t нь сондгой функц юм.

Энэ нь § 19-д нотлогдсоны дагуу аливаа t-ийн хувьд тэгш байдал бий болно
Энэ нь u = sin t функцийн график нь ямар ч сондгой функцийн графиктай адил тэгш өнцөгт координатын tOi систем дэх эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм.

Интервал дээр u = sin t функц нэмэгдэнэ
Энэ нь цэг нь тооны тойргийн эхний дөрөвний дагуу шилжих үед ординат аажмаар нэмэгддэг (0-ээс 1 хүртэл - 115-р зургийг үз), цэг нь тооны тойргийн хоёрдугаар дөрөвний дагуу шилжих үед ординат аажмаар буурдаг (1-ээс 0 хүртэл - 116-р зургийг үз).

u = sint функц нь доор болон дээр аль алинд нь хязгаарлагдана. Энэ нь § 19-д дурдсанчлан, аливаа t-ийн хувьд тэгш бус байдал хангагдсан байдаг.

(функц нь маягтын аль ч цэг дээр энэ утгад хүрдэг (функц нь маягтын аль ч цэг дээр энэ утгад хүрдэг
Хүлээн авсан шинж чанаруудыг ашиглан бид сонирхож буй функцийн графикийг байгуулна. Гэхдээ (анхаарал!) u - sin t-ийн оронд бид y = sin x гэж бичих болно (эцсийн эцэст бид у = f (t) биш харин y = f(x) гэж бичихэд илүү дассан). Энэ нь бид ердийн xOy координатын системд (мөн tOy биш) график байгуулна гэсэн үг юм.

y - sin x функцийн утгуудын хүснэгтийг хийцгээе.

Сэтгэгдэл.

"Синус" гэсэн нэр томъёоны гарал үүслийн нэг хувилбарыг өгье. Латинаар синус гэдэг нь нугалах (нумын утас) гэсэн утгатай.

Бүтээсэн график нь энэ нэр томъёог тодорхой хэмжээгээр зөвтгөдөг.

y = sin x функцийн график болох шугамыг синусын долгион гэнэ. Зурагт үзүүлсэн синусоидын хэсэг. 118 эсвэл 119-ийг синус долгион гэж нэрлэдэг ба синус долгионы 1-р зурагт үзүүлсэн хэсгийг. 117-г хагас долгион буюу синус долгионы нум гэж нэрлэдэг.

2. y = cos x функц.

y = cos x функцийн судалгааг дээр дурдсан y = sin x функцэд ашигласан ижил схемийн дагуу ойролцоогоор хийж болно. Гэхдээ бид зорилгодоо хүрэх замыг илүү хурдан сонгох болно. Нэгдүгээрт, бид өөрсдөө чухал ач холбогдолтой хоёр томъёог нотлох болно (та үүнийг ахлах сургуульд харах болно), гэхдээ одоогоор бидний зорилгод зөвхөн туслах ач холбогдолтой юм.

t-ийн дурын утгын хувьд дараах тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.

Баталгаа. t тоо нь n тоон тойргийн М цэгтэй, * + - P цэгтэй тохирч (Зураг 124; хялбар болгох үүднээс бид эхний улиралд М цэгийг авсан). AM ба АД нумууд тэнцүү ба OKM ба OLBP тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь тэнцүү байна. Энэ нь O K = Ob, MK = Pb гэсэн үг юм. Эдгээр тэгшитгэлээс болон координатын систем дэх OCM ба OBP гурвалжны байршлаас бид хоёр дүгнэлтийг гаргаж байна.

1) P цэгийн ординат нь үнэмлэхүй утгаараа давхцаж, М цэгийн абсциссатай тэмдэг; энэ нь тэр гэсэн үг

2) P цэгийн абсцисса нь үнэмлэхүй утгаараа М цэгийн ординаттай тэнцүү боловч тэмдгээр ялгаатай; энэ нь тэр гэсэн үг

М цэг нь эхний улиралд хамаарахгүй тохиолдолд ойролцоогоор ижил үндэслэлийг гүйцэтгэдэг.
Томьёог ашиглацгаая (энэ нь дээр батлагдсан томъёо боловч t хувьсагчийн оронд бид x хувьсагчийг ашигладаг). Энэ томъёо бидэнд юу өгдөг вэ? Энэ нь функцуудыг батлах боломжийг бидэнд олгодог

ижил байна, энэ нь тэдний график давхцаж байна гэсэн үг.
Функцийн графикийг зурцгаая Үүнийг хийхийн тулд эх үүсвэр нь цэг дээрх координатын туслах систем рүү шилжье (тасархай шугамыг 125-р зурагт зурсан). y = sin x функцийг шинэ координатын системд холбоно - энэ нь функцийн график байх болно. (Зураг 125), i.e. y - cos x функцийн график. Үүнийг y = sin x функцийн график шиг синус долгион гэж нэрлэдэг (энэ нь байгалийн юм).

y = cos x функцийн шинж чанарууд.

y = cos x нь тэгш функц юм.

Барилгын үе шатуудыг Зураг дээр үзүүлэв. 126:

1) y = cos x функцийн графикийг барих (илүү нарийвчлалтай, нэг хагас долгион);
2) барьсан графикийг х тэнхлэгээс 0.5 коэффициентээр сунгаснаар шаардлагатай графикийн нэг хагас долгионыг авна;
3) үүссэн хагас долгионыг ашиглан y = 0.5 cos x функцийн графикийг бүхэлд нь байгуулна.

Энэ хичээлээр бид y = sin x функц, түүний үндсэн шинж чанар, графикийг нарийвчлан авч үзэх болно. Хичээлийн эхэнд координатын тойрог дээр y = sin t тригонометрийн функцийн тодорхойлолтыг өгч, тойрог, шулуун дээрх функцийн графикийг авч үзэх болно. График дээр энэ функцийн үечлэлийг харуулж, функцийн үндсэн шинж чанарыг авч үзье. Хичээлийн төгсгөлд бид функцийн график болон түүний шинж чанарыг ашиглан хэд хэдэн энгийн бодлогыг шийдэх болно.

Сэдэв: Тригонометрийн функцууд

Хичээл: y=sinx функц, түүний үндсэн шинж чанар, график

Функцийг авч үзэхдээ аргумент бүрийн утгыг нэг функцийн утгатай холбох нь чухал. Энэ захидал харилцааны хуульба функц гэж нэрлэдэг.

-ийн захидал харилцааны хуулийг тодорхойлъё.

Аливаа бодит тоо нь нэгж тойргийн нэг цэгтэй тохирдог Цэг нь нэг ординаттай бөгөөд үүнийг тооны синус гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Аргументын утга бүр нь нэг функцийн утгатай холбоотой.

Илэрхий шинж чанарууд нь синусын тодорхойлолтоос гардаг.

Зураг нь үүнийг харуулж байна учир нь нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат юм.

Функцийн графикийг харцгаая. Аргументийн геометрийн тайлбарыг эргэн санацгаая. Аргумент нь радианаар хэмжигддэг төв өнцөг юм. Тэнхлэгийн дагуу бид бодит тоо эсвэл өнцгийг радианаар, тэнхлэгийн дагуу функцийн харгалзах утгуудыг зурах болно.

Жишээлбэл, нэгж тойрог дээрх өнцөг нь график дээрх цэгтэй тохирч байна (Зураг 2).

Бид тухайн талбайд функцийн графикийг авсан боловч синусын үеийг мэдсэнээр функцийн графикийг бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд дүрсэлж болно (Зураг 3).

Функцийн үндсэн үе нь энэ нь графикийг сегмент дээр авч, дараа нь тодорхойлолтын бүхэл бүтэн хүрээнд үргэлжлүүлж болно гэсэн үг юм.

Функцийн шинж чанарыг авч үзье:

1) Тодорхойлолтын хамрах хүрээ:

2) Утгын хүрээ:

3) сондгой функц:

4) Хамгийн бага эерэг үе:

5) Графикийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн координатууд:

6) Графикийн ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатууд:

7) Функц эерэг утгыг авах интервалууд:

8) Функц сөрөг утгыг авах интервалууд:

9) Интервалыг нэмэгдүүлэх:

10) Буурах интервалууд:

11) Хамгийн бага оноо:

12) Хамгийн бага функцууд:

13) Хамгийн их оноо:

14) Хамгийн их функцууд:

Бид функцийн шинж чанарууд болон түүний графикийг харлаа. Асуудлыг шийдвэрлэх үед шинж чанаруудыг дахин дахин ашиглах болно.

Лавлагаа

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). Ерөнхий боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин), хэвлэл. A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2009.

2. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном (профайлын түвшин), ed. A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. 10-р ангийн алгебр, математикийн анализ (математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг).

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Алгебр, математик анализын гүнзгийрүүлсэн судалгаа.-М.: Боловсрол, 1997.

5. Дээд боловсролын байгууллагад элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга (М.И. Сканави хянан засварласан - М.: Дээд сургууль, 1992).

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебрийн симулятор.-К.: A.S.K., 1997.

7. Сахакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Алгебрийн асуудал ба шинжилгээний зарчмууд (ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага - М.: Просвещение, 2003).

8. Карп А.П. Алгебрийн асуудлын цуглуулга ба шинжилгээний зарчмууд: сурах бичиг. 10-11 ангийн тэтгэмж. гүнтэй суралцсан Математик.-М.: Боловсрол, 2006.

Гэрийн даалгавар

Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном (профайлын түвшин), ed.

A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Нэмэлт вэб нөөц

3. Шалгалтанд бэлтгэх боловсролын портал ().

"Y=sin(x) функц. Тодорхойлолт ба шинж чанарууд" сэдэвт хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх. 7-10-р ангийн барилгын интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик конструктор 6.1"

Бид юу судлах вэ:

• Y=sin(X) функцийн шинж чанарууд.
• Функцийн график.
• График ба түүний масштабыг хэрхэн бүтээх вэ.
• Жишээ.

Синусын шинж чанарууд. Ү=нүгэл(X)

Залуус аа, бид тоон аргументийн тригонометрийн функцуудтай аль хэдийн танилцсан. Та тэднийг санаж байна уу?

Y=sin(X) функцийг нарийвчлан авч үзье.

Энэ функцийн зарим шинж чанарыг бичье:
1) Тодорхойлолтын домэйн нь бодит тоонуудын багц юм.
2) Функц нь сондгой. Сондгой функцийн тодорхойлолтыг санацгаая. y(-x)=-y(x) тэгш байдал хангагдсан тохиолдолд функцийг сондгой гэж нэрлэдэг. Сүнслэг томъёоноос бидний санаж байгаагаар: sin(-x)=-sin(x). Тодорхойлолт биелэгдсэн бөгөөд энэ нь Y=sin(X) нь сондгой функц гэсэн үг юм.
3) Y=sin(X) функц нь хэрчим дээр өсөж, [π/2; π]. Эхний улирлын дагуу (цагийн зүүний эсрэг) шилжихэд ординат нэмэгдэж, хоёрдугаар улиралд шилжихэд буурдаг.

4) Y=sin(X) функц нь доороос болон дээрээс хязгаарлагддаг. Энэ өмч нь үүнээс үүдэлтэй
-1 ≤ нүгэл(X) ≤ 1
5) Функцийн хамгийн бага утга нь -1 (х = - π/2+ πk үед). Функцийн хамгийн том утга нь 1 (х = π/2+ πk үед).

Y=sin(X) функцийг зурахдаа 1-5 шинж чанаруудыг ашиглая. Бид шинж чанаруудаа ашиглан графикаа дараалан бүтээх болно. Хэсэг дээр график байгуулж эхэлцгээе.

Хэмжээнд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Ординатын тэнхлэг дээр 2 нүдтэй тэнцүү нэгж сегментийг авах нь илүү тохиромжтой, абсцисса тэнхлэгт π/3-тай тэнцүү нэгж сегмент (хоёр нүд) авах нь илүү тохиромжтой (зураг харна уу).

x, y=sin(x) синус функцийн графикийг зурах

Өөрийн сегмент дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Гурав дахь шинж чанарыг харгалзан оноогоо ашиглан график байгуулъя.

Сүнслэг томъёоны хөрвүүлэх хүснэгт

Бидний функц сондгой гэсэн хоёрдахь шинж чанарыг ашиглая, энэ нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй тусгагдах боломжтой гэсэн үг юм.

sin(x+ 2π) = sin(x) гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь сегмент дээр [- π; π] график нь [π] сегментийнхтэй ижил харагдаж байна; 3π] эсвэл эсвэл [-3π; - π] гэх мэт. Бидний хийх ёстой зүйл бол өмнөх зураг дээрх графикийг бүхэлд нь x тэнхлэгийн дагуу сайтар дахин зурах явдал юм.

Y=sin(X) функцийн графикийг синусоид гэнэ.

Баригдсан графикийн дагуу хэд хэдэн шинж чанарыг бичье.
6) Ү=sin(X) функц нь хэлбэрийн аль ч сегмент дээр нэмэгддэг: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k нь бүхэл тоо бөгөөд хэлбэрийн аль ч сегмент дээр буурдаг: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – бүхэл тоо.
7) Ү=sin(X) функц нь тасралтгүй функц юм. Функцийн графикийг харцгаая, бидний функц ямар ч завсарлагагүй эсэхийг шалгаарай, энэ нь тасралтгүй гэсэн үг юм.
8) Утгын хүрээ: сегмент [- 1; 1]. Энэ нь мөн функцийн графикаас тодорхой харагдаж байна.
9) Ү=sin(X) функц - үечилсэн функц. Графикийг дахин харцгаая, функц тодорхой интервалд ижил утгыг авч байгааг харцгаая.

Синустай холбоотой асуудлын жишээ

1. sin(x)= x-π тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: y=sin(x) ба y=x-π гэсэн 2 функцийн графикийг байгуулъя (зураг харна уу).
Манай графикууд нэг цэг дээр огтлолцдог A(π;0), хариулт нь: x = π

2. y=sin(π/6+x)-1 функцийн графикийг зур

Шийдэл: y=sin(x) π/6 нэгж функцийн графикийг зүүн тийш, 1 нэгж доош шилжүүлснээр хүссэн график гарна.

Шийдэл: Функцийн графикийг байгуулж, сегментээ авч үзье [π/2; 5π/4].
Функцийн графикаас харахад сегментийн төгсгөлд π/2 ба 5π/4 цэгүүдэд тус тус хамгийн том ба хамгийн бага утгууд хүрдэг.
Хариулт: sin(π/2) = 1 – хамгийн том утга, sin(5π/4) = хамгийн бага утга.

Бие даасан шийдлийн синусын асуудлууд

• Тэгшитгэлийг шийд: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• y=sin(π/3+x)-2 функцийн графикийг зур
• y=sin(-2π/3+x)+1 функцийн графикийг зур
• y=sin(x) функцийн хэрчим дэх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол
• [- π/3 интервал дээр y=sin(x) функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол; 5π/6]