Ротор (математик)

Ротор, эсвэл эргүүлэг- вектор талбар дээрх вектор дифференциал оператор.

Томилогдсон

(орос хэл дээрх уран зохиолд) эсвэл

(Англи уран зохиолд),

мөн дифференциал операторыг вектор талбараар вектор үржүүлэх байдлаар:

Энэ операторын тодорхой вектор талбарт хийсэн үйлдлийн үр дүн Фдуудсан талбайн ротор Фэсвэл товчхондоо зүгээр л ротор Фшинэ вектор талбарыг илэрхийлнэ:

Ялзах талбай Ф(вектор ялзралтын урт ба чиглэл Форон зайн цэг бүрт) нь талбайн эргэлтийн бүрэлдэхүүн хэсгийг тодорхой хэмжээгээр тодорхойлдог Фцэг бүрт тус тус.

Зөн совингийн дүрс

Хэрэв v(x,y,z) нь хийн хурдны (эсвэл шингэний урсгалын) талбар юм ялзрах v- урсгалд байрлах маш жижиг, хөнгөн тоосны (эсвэл бөмбөлөгний) өнцгийн хурдны вектортой пропорциональ вектор (мөн хий эсвэл шингэний хөдөлгөөнөөр татагддаг; гэхдээ хэрэв хүсвэл бөмбөгний төвийг засах боломжтой. эргэн тойрондоо чөлөөтэй эргэлдэж чадах л бол).

Тодруулбал ялзрах v = 2 ω , Хаана ω - энэ өнцгийн хурд.

Энэ баримтын энгийн жишээг доороос үзнэ үү.

Энэ зүйрлэлийг нэлээд хатуу томъёолж болно (доороос үзнэ үү). Эргэлтийн үндсэн тодорхойлолтыг (дараагийн догол мөрөнд өгөгдсөн) ийм аргаар олж авсантай тэнцүү гэж үзэж болно.

Математикийн тодорхойлолт

Вектор талбарын буржгар нь чиглэл бүр дээрх проекц нь вектор юм nконтурын дагуух вектор орны эргэлтийн харилцааны хязгаар Л, энэ нь хавтгай талбайн ирмэг Δ С, энэ чиглэлд перпендикуляр, энэ талбайн хэмжээ, талбайн хэмжээ нь тэг болох хандлагатай байгаа бөгөөд талбай өөрөө нэг цэг хүртэл агших үед:

Контурыг гатлах чиглэлийг чиглэл рүү харахад контурыг сонгохоор сонгосон Лцагийн зүүний дагуу алхсан.

Гурван хэмжээст декартын координатын системд роторыг (дээр тодорхойлсон) дараах байдлаар тооцоолно (энд). Ф- декартын бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй тодорхой вектор талбарыг илэрхийлдэг ба - декартын координатын нэгж векторууд):

Тохиромжтой болгох үүднээс бид роторыг nabla оператор (зүүн талд) ба вектор талбарын вектор бүтээгдэхүүн болгон албан ёсоор илэрхийлж болно.

(Сүүлийн тэгш байдал нь вектор үржвэрийг тодорхойлогч байдлаар илэрхийлдэг.)

Холбогдох тодорхойлолтууд

Дурын цэг дээр буржгар нь тэг байх вектор талбарыг нэрлэнэ эргэлтгүй мөн байна боломж. Эдгээр нөхцөл нь бие биедээ шаардлагатай бөгөөд хангалттай байдаг тул хоёр нэр томъёо нь практик синоним юм. (Гэсэн хэдий ч энэ нь зөвхөн холбогдсон домэйн дээр тодорхойлсон талбаруудын хувьд үнэн юм).

Боломжийн харилцан нөхцөл байдал ба талбайн эргэлтийн шинж чанарын талаар бага зэрэг дэлгэрэнгүй мэдээллийг доороос үзнэ үү (Үндсэн шинж чанарууд).

Эсрэгээрээ буржгар нь тэгтэй тэнцүү биш талбарыг ихэвчлэн дууддаг эргүүлэг , ийм талбар нь боломжит байж болохгүй.

Ерөнхий ойлголт

Дурын хэмжээсийн орон зайд тодорхойлсон вектор (болон псевдовектор) талбарт хэрэглэсэн роторын хамгийн шууд ерөнхий дүгнэлт нь (зайны хэмжээ нь талбайн векторын хэмжээстэй давхцаж байгаа тохиолдолд) дараах байдалтай байна.

индексүүдтэй мТэгээд n 1-ээс орон зайн хэмжээс хүртэл.

Үүнийг мөн гадаад бүтээгдэхүүн гэж бичиж болно:

Энэ тохиолдолд ротор нь валентын хоёр дахь тэгш хэмийн эсрэг тензорын талбар юм.

3-р хэмжээсийн хувьд энэ тензорыг Леви-Сивита тэмдэгтэй эргүүлэх нь дээрх өгүүлэлд өгсөн гурван хэмжээст роторын ердийн тодорхойлолтыг өгдөг.

Хоёр хэмжээст орон зайн хувьд хэрэв хүсвэл псевдоскаляр бүтээгдэхүүнтэй ижил төстэй томъёог ашиглаж болно (ийм ротор нь псевдоскаляр байх бөгөөд уламжлалт вектор бүтээгдэхүүний өгөгдсөн хоёр тэнхлэгийн ортогональ тэнхлэгт проекцтой давхцах болно. хэмжээст орон зай - хэрэв бид хоёр хэмжээст орон зайг зарим гурван хэмжээст орон зайд суулгаж, уламжлалт вектор бүтээгдэхүүн нь утга учиртай гэж үзвэл).

Вектор талбайн хамгийн чухал шинж чанарууд нь ротор ба дивергенц юм. Энэ хэсэгт бид вектор талбайн эдгээр шинж чанаруудын математик тайлбар, дифференциал үйлдлүүдийг ашиглан тэдгээрийг тооцоолох аргуудыг авч үзэх болно. Энэ тохиолдолд бид зөвхөн декартын координатын системийг ашиглана. Бид дараагийн бүлэгт дивергенц ба роторын илүү бүрэн тодорхойлолт, тэдгээрийн физик утгыг авч үзэх болно. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тооцоог муруйн шугаман координатын системд дараа нь авч үзэх болно.

Гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон вектор талбарыг авч үзье.

Тодорхойлолт 1. Вектор талбарын ялгаа нь илэрхийллээр тодорхойлогддог тоо юм

Харгалзах хэсэгчилсэн деривативууд авч үзэж буй цэг дээр байгаа гэж үздэг. Вектор талбарын ялгааг градиенттай адил nabla оператор ашиглан бичиж болно

Энд дивергенцийг векторуудын скаляр үржвэрээр илэрхийлнэ Ф. Зөрчлийн талбарыг үүсгэсэн эх сурвалжийн нягтыг тодорхойлдог гэдгийг нотлох баримтгүйгээр тэмдэглэе.

Жишээ 1. Нэг цэг дээрх вектор талбарын ялгааг тооцоол.

Тодорхойлолт 2. Вектор талбарын буржгар нь илэрхийллээр тодорхойлогддог вектор юм

Үзүүлсэн нийлбэрт зэргэлдээх үзүүлэлтүүдийн индексүүд нь дүрмийг харгалзан дугуй солих дүрмийн дагуу өөрчлөгддөг болохыг анхаарна уу.

Вектор талбарын буржгарыг nabla оператор ашиглан бичиж болно

Ротор нь вектор талбарыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх хандлагыг тодорхойлдог тул үүнийг заримдаа эргүүлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тусгайлсан байдаг. curlF.

Жишээ 1. Нэг цэг дээрх вектор талбарын буржгарыг тооцоол.

Заримдаа вектор талбарын градиентийг тооцоолох шаардлагатай болдог. Энэ тохиолдолд вектор талбарын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн градиентийг тооцоолно. Үр дүн нь векторын градиентийг тодорхойлдог хоёрдугаар зэрэглэлийн тензор юм. Энэ тензорыг матрицаар дүрсэлж болно

Ийм объектыг дүрслэхийн тулд тензорын тэмдэглэгээг ашиглах нь тохиромжтой

итгэх. Тензор аргыг ашиглах нь ийм объект дээр математик үйлдлүүдийг хялбаршуулдаг. Тензорын тооцооллын төхөөрөмжийн дэлгэрэнгүй танилцуулгыг "Дээд математикийн нэмэлт бүлгүүд" хичээлтэй зэрэгцүүлэн заадаг "Тензорын шинжилгээний үндэс" хичээлд оруулсан болно.

Жишээ 1. Вектор талбарын градиентийг тооцоол.

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид тензорын тэмдэглэгээг ашигладаг. Бидэнд байна

Энд Кронекерийн тэмдэг нь таних матриц юм.

Жишээ 2. Скаляр талбайн градиентийг тооцоолж, илэрхийллүүдийг харьцуул.

Набла операторын зарим шинж чанарууд

Өмнө нь бид вектор ялгах операторыг нэвтрүүлсэн

Энэ операторыг ашиглан бид тензорын талбар дахь үндсэн дифференциал үйлдлүүдийг бичсэн.

Оператор нь ялгах операторын ерөнхий ойлголт бөгөөд деривативын харгалзах шинж чанаруудтай:

1) нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна

2) тогтмол үржүүлэгчийг операторын тэмдэгээс гаргаж болно

Вектор функцийн хэл рүү орчуулбал эдгээр шинж чанарууд нь дараах хэлбэртэй байна.

Эдгээр томьёо нь нэг хувьсагчийн функцийн деривативын харгалзах томьёотой ижил аргаар гарган авдаг.

Хамилтон операторыг ашиглах нь тензорын талбарт ялгахтай холбоотой олон үйлдлийг хялбарчлах боломжийг бидэнд олгодог. Гэсэн хэдий ч, энэ оператор нь вектор оператор бөгөөд болгоомжтой ажиллах ёстой гэдгийг санаарай. Энэ операторын зарим програмыг авч үзье. Энэ тохиолдолд харгалзах томьёог Гамильтон оператор болон уламжлалт тэмдэглэгээгээр бичнэ.

Хаалттай гадаргуу дээрх вектор талбайн урсгалыг авч үзэхдээ вектор талбайн орон нутгийн шинж чанар болох дивергенцын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Үүний нэгэн адил, векторын талбайн эргэлтийг авч үзэхдээ харгалзах шинж чанарыг танилцуулж болно.

Зарим зүйлийг авч үзье Мба вектор талбар а . Нэгж вектороор тодорхойлогддог зарим чиглэлийг сонгоцгооё n ба векторт перпендикуляр хавтгай n мөн цэгээр дамжин өнгөрөх М. Гол санааг тойруулъя Мтойм Л, өгөгдсөн хавтгайд хэвтэж байна. Энэ контурын дагуух векторын талбайн эргэлтийг тооцоолж, энэ эргэлтийн талбайн харьцааг авч үзье С, контураар хязгаарлагдсан Л:

Одоо энэ харьцааны хязгаарыг олъё С®0, контурын хувьд Лцэг хүртэл багасдаг Монгоцноос гарахгүйгээр. Энэ хязгаар гэж нэрлэдэг ротор вектор талбар а М цэг дээр:

. (7.6)

Тайлбар 3. Ротор нь векторын талбайн "эргэлтийн бүрэлдэхүүн хэсэг"-ийн шинж чанар тул ялзрах гэж тэмдэглэнэ. Гэсэн хэдий ч заримдаа ротор гэдэг үгийн оронд " эргүүлэг" ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн буржгар.

Одоо декартын координатын систем дэх роторын томъёог гаргая. Болъё n тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байна Оз, мөн контур Лнь D талуудтай тэгш өнцөгт юм xболон Д y, хэлхээ нь цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байх үед (7.3-р зургийг үз). Дараа нь бид авна

Эхний улиралд бид авдаг

(хэсгүүд Д.А.Тэгээд МЭӨэндээс хойш үл тоомсорлож болно x=constТэгээд dx=0). Дараа нь

Үүнтэй адилаар бид хоёр дахь улиралдаа авдаг

Үүний үр дүнд бид олдог

Үүнтэй адилаар бид бусад координатын тэнхлэгүүд дээрх төсөөллийг тооцоолно.

, .

Вектор хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар хийж болно.

Энэ томъёог бэлгэдлийн хэлбэрээр илүү нягт бичиж болно.

. (7.8)

Тодорхойлогчийг эхний эгнээний дагуу өргөтгөх замаар (7.7) томъёог (7.8)-аас авна.

Жишээ 7.4.Вектор талбарын буржгарыг тооцоол а =x 2 y 3 би +j +z к М(1;1;1) цэг дээр.

Шийдэл.Үүнийг бичээд үзье

Тиймээс,

Жишээ 7.5.Эргэдэг биеийн хурдны талбайн роторыг ол v =–w y би +w x j .

Шийдэл.Учир нь v x=–w y, v y=w x, v z=0, тэгвэл

Тиймээс хатуу биеийн аль ч цэгийн хурдны ротор нь өнцгийн хурдаас хоёр дахин их байна. Роторын олсон механик утга нь илүү өргөн утгатай. Жишээлбэл, шингэний урсгалд иртэй дугуй нь эргэлтийн тэнхлэгийг ялзралын дагуу чиглүүлсэн бол хамгийн их эргэлтийн хурдтай байх болно. а , эргэлтийн хурд нь -тэй тэнцүү байх болно.

Талбайн онол

Мөн гэж нэрлэдэг вектор шинжилгээ. Зарим хүмүүсийн хувьд талбарын онол гэж нэрлэгддэг векторын шинжилгээ =) Эцэст нь бид энэ сонирхолтой сэдэв рүү орлоо, гэхдээ энэ дээд математикийн хэсгийг энгийн гэж нэрлэж болохгүй, гэхдээ би дараагийн нийтлэлүүдэд хоёр зорилгод хүрэхийг хичээх болно.

a) харилцан яриа юу болохыг хүн бүр ойлгохын тулд;

б) ингэснээр "дамми" нар наад зах нь энгийн зүйлийг - ядаж цагийн оюутнуудад санал болгож буй даалгаврын түвшинд шийдэж сурдаг.

Бүх материалыг алдартай хэв маягаар танилцуулах бөгөөд хэрэв танд илүү нарийн, бүрэн мэдээлэл хэрэгтэй бол жишээлбэл, Фихтенхольцын 3-р боть эсвэл Wiki-г үзэх боломжтой.

Тэгээд тэр даруй гарчгийг тайлъя. Онолын хувьд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна - сайтын шилдэг уламжлалуудын дагуу бид түүний үндсийг шинжилж, практик дээр анхаарлаа хандуулах болно. За, "талбар" гэдэг үгийг та юутай холбодог вэ?

Зүлгэн талбай, хөл бөмбөгийн талбай... Илүү их үү? Үйл ажиллагааны талбар, туршилтын талбар. Сайн байцгаана уу хүмүүнлэгүүд! ...Сургуулийн курсээс үү? Цахилгаан орон, соронзон, цахилгаан соронзон..., за. Бидний амьдарч буй дэлхийн таталцлын талбар. Гайхалтай! Тэгэхээр талбайн талаар хэн ингэж хэлсэн бэ? хүчинтэйТэгээд нийлмэл тоо? ... зарим мангас энд цугларсан байна! =) Баярлалаа алгебраль хэдийн өнгөрчээ.

Дараагийн хичээлүүдэд бид тодорхой ойлголттой танилцах болно талбайнууд, амьдралын тодорхой жишээнүүд, мөн вектор шинжилгээний сэдэвчилсэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах. Талбайн онолыг таны зөв таамаглаж байгаагаар ой мод, гол мөрөн, нуур, тосгоны байшин байдаг талбарт хамгийн сайн судалдаг бөгөөд би хүн бүрийг зуны халуун дулаан бодит байдалд шумбахыг урьж байна. Дараа нь сайхан дурсамжинд:

Өнөөдөр авч үзсэн утгаараа талбарууд нь скалярТэгээд вектор, мөн бид тэдний "барилгын материал" -аас эхлэх болно.

Нэгдүгээрт, скаляр. Ихэнхдээ энэ нэр томъёог буруугаар тодорхойлдог тоо. Үгүй ээ, бүх зүйл арай өөр байна: скалярутга тус бүрийг илэрхийлж болох хэмжигдэхүүн юм ганцхан тоо. Физикт массын олон жишээ бий: урт, өргөн, талбай, эзэлхүүн, нягт, температур гэх мэт. Энэ бүхэн скаляр хэмжигдэхүүнүүд юм. Дашрамд хэлэхэд масс нь бас жишээ юм.

Хоёрдугаарт, вектор. Би хичээл дээр векторын алгебрийн тодорхойлолтыг хөндсөн шугаман хувиргалтмөн түүний хувийн хувилгаануудын нэг Мэдэхгүй байх нь ердөө боломжгүй юм=) Ердийн векторилэрхийлэгддэг хоёр ба түүнээс дээш тоо(таны координатаар). Нэг хэмжээст векторын хувьд ч гэсэн ганцхан тоо хангалттай биш– учир нь вектор бас чиглэлтэй байдаг. Мөн вектор бол хэрэглээний цэг үнэгүй биш. Векторууд нь физик хүчний талбай, хурд болон бусад олон хэмжигдэхүүнүүдийг тодорхойлдог.

За, одоо та хөнгөн цагаан өргөст хэмх хурааж эхэлж болно.

Скаляр талбар

Хэрэв тус бүрзарим нэг цэг орон зайн хэсгүүдтодорхой дугаарыг өгдөг (ихэвчлэн жинхэнэ), тэгвэл энэ нутагт өгөгдсөн гэж хэлдэг скаляр талбар.

Жишээлбэл, дэлхийгээс гарч буй перпендикулярыг авч үзье цацраг. Ойлгомжтой байхын тулд хүрзээ наа =) Юу скаляр талбаруудБи энэ туяанаас асууж болох уу? Хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл өндөр талбар– цацрагийн цэг бүрийг газрын түвшнээс дээш өндрөөр нь тогтоосон үед. Эсвэл жишээ нь атмосферийн даралтын талбар– энд цацрагийн цэг бүр нь тухайн цэг дэх атмосферийн даралтын тоон утгатай тохирч байна.

Одоо нуур руу ойртож, гадаргуу дээр нь онгоц зурцгаая. Хэрэв онгоцны "ус" хэсгийн цэг бүр нуурын гүнтэй холбоотой бол скаляр талбайг өгнө үү. Эдгээр цэгүүдэд та бусад скаляр хэмжигдэхүүнүүдийг, жишээлбэл, усны гадаргуугийн температурыг авч үзэж болно.

Скаляр талбайн хамгийн чухал шинж чанартүүнийх хувирамтгай байдалкоординатын системтэй харьцуулахад. Хэрэв бид үүнийг хүний хэл рүү орчуулбал хүрз / нуурыг аль талаас нь харах нь хамаагүй - скаляр талбар (өндөр, гүн, температур гэх мэт)энэ өөрчлөгдөхгүй. Түүнээс гадна скаляр талбайг, жишээ нь, гүнийг өөр гадаргуу дээр, жишээлбэл, тохиромжтой гадаргуу дээр байрлуулж болно тархи, эсвэл шууд усны гадаргуу дээр. Яагаад болохгүй гэж? Нуурын дээгүүр байрлах дэлхийн бөмбөрцгийн цэг бүрт тоо өгөх боломжгүй гэж үү? Би зөвхөн тав тухтай байдлыг хангах үүднээс хавтгай байхыг санал болгосон.

Өөр нэг координат нэмье. Гартаа чулуу ав. Энэ чулууны цэг бүрийг түүнд зааж өгч болно физик нягтрал. Дахин хэлэхэд бид үүнийг ямар координатын системд тооцож байгаагаас үл хамааран, бид үүнийг гартаа хэрхэн мушгихаас үл хамааран скаляр нягтын талбар өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Гэсэн хэдий ч зарим хүмүүс энэ баримттай маргаж магадгүй =) Энэ бол философийн чулуу юм.

Цэвэр математикийн үүднээс (биет болон бусад хувийн утгаас гадуур)скаляр талбарыг манай "ердийн" функцээр тодорхойлдог нэг , хоёр , гуравболон бусад хувьсагч. Үүний зэрэгцээ талбайн онолд эдгээр функцүүдийн уламжлалт шинж чанаруудыг өргөн ашигладаг, тухайлбал тодорхойлолтын домэйн, түвшний шугам ба гадаргуу.

Гурван хэмжээст орон зайд бүх зүйл ижил байна:
– энд орон зайн зөвшөөрөгдөх цэг бүр өгөгдсөн цэгээс эхлэлтэй вектортой холбоотой байна. "Зөвшөөрөгдөх" нь функцийг тодорхойлох талбараар тодорхойлогддог бөгөөд хэрэв тэдгээр нь тус бүрийг "X", "E", "Z" болгонд тодорхойлсон бол вектор талбарыг бүхэлд нь орон зайд зааж өгнө.

! Тэмдэглэлүүд : векторын талбаруудыг мөн эсвэл үсгээр, тэдгээрийн бүрдэл хэсгүүдийг эсвэл тус тус тэмдэглэнэ.

Дээр дурдсанаас харахад хамгийн багадаа математикийн хувьд скаляр болон векторын орон зайг бүхэлд нь тодорхойлж болох нь тодорхой болсон. Гэсэн хэдий ч би ийм ойлголттой тул харгалзах физик жишээнүүдэд болгоомжтой хандсан температур, хүндийн хүч(эсвэл бусад) эцэст нь хаа нэгтээогт байхгүй байж болно. Гэхдээ энэ бол аймшгийн биш, харин шинжлэх ухааны уран зохиол =) Зөвхөн шинжлэх ухааны уран зөгнөлт биш. Учир нь салхи нь дүрмээр бол чулуун дотор үлээдэггүй.

Зарим вектор талбарууд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (ижил хурдны талбарууд)цаг хугацааны явцад хурдан өөрчлөгддөг тул олон физик загварууд нэмэлт бие даасан хувьсагчийг авч үздэг. Дашрамд хэлэхэд энэ нь скаляр талбарт хамаарна - температур нь үнэндээ цаг хугацааны хувьд "хөлдөөсөн" биш юм.

Гэсэн хэдий ч, математикийн хүрээнд бид өөрсдийгөө гурвалаар хязгаарлах бөгөөд ийм талбарууд "уулзах" үед бид тодорхой цаг хугацааны тогтсон мөч эсвэл тухайн талбар өөрчлөгдөөгүй цаг хугацааг илтгэнэ.

Вектор шугамууд

Хэрэв скаляр талбаруудыг тайлбарлавал шугам ба тэгш гадаргуу, тэгвэл векторын талбайн "хэлбэрийг" тодорхойлж болно вектор шугамууд. Энэ сургуулийн туршлагыг олон хүн санаж байгаа байх: соронзыг цаасан доор, дээр нь байрлуулсан байдаг (харцгаая!) төмрийн үртэс асгарна, энэ нь зүгээр л талбайн шугамын дагуу "эгнэсэн".

Би үүнийг илүү энгийнээр томъёолохыг хичээх болно: вектор шугамын цэг бүр нь эхлэл юм талбайн векторөгөгдсөн цэг дээр шүргэгч дээр байрладаг:

Мэдээжийн хэрэг, ерөнхий тохиолдолд шугамын векторууд өөр өөр урттай байдаг тул дээрх зурагт зүүнээс баруун тийш шилжих үед урт нь нэмэгддэг - энд бид жишээлбэл соронз руу ойртож байна гэж үзэж болно. Хүчтэй физик талбаруудад вектор шугамуудыг - гэж нэрлэдэг. цахилгаан шугам. Өөр нэг энгийн жишээ бол дэлхийн таталцлын орон юм: түүний талбайн шугамууд туяагаригийн төвд эхлэлтэй, векторууд хүндийн хүчтуяа өөрсдөө шууд байрладаг.

Хурдны талбайн вектор шугамууд гэж нэрлэгддэг одоогийн шугамууд. Шороон шуургыг дахин төсөөлөөд үз дээ - тоосны тоосонцор агаарын молекулуудын хамт эдгээр шугамын дагуу хөдөлдөг. Голын нэгэн адил: шингэний молекулууд (зөвхөн биш) хөдөлж буй замууд нь шууд утгаараа урсгалтай байдаг. Ерөнхийдөө талбайн онолын олон ухагдахуун нь гидродинамикаас гаралтай бөгөөд бид нэгээс олон удаа тулгарах болно.

Хэрэв "хавтгай" вектор талбарыг тэгээс өөр функцээр өгвөл түүний талбарын шугамыг дараахаас олж болно дифференциал тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг өгнө гэр бүлхавтгай дээрх вектор шугамууд. Заримдаа даалгаварт хэд хэдэн ийм шугам зурах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн хүндрэл учруулдаггүй - бид "tse"-ийн хэд хэдэн тохиромжтой утгыг сонгосон, заримыг нь зурсан. гипербол, болон захиалга.

Орон зайн вектор талбайн нөхцөл байдал илүү сонирхолтой юм. Түүний талбайн шугамууд нь харилцаа холбоогоор тодорхойлогддог . Энд бид шийдэх хэрэгтэй Хоёр дифференциал тэгшитгэлийн систембас хоёр гэр бүлтэй болно орон зайн гадаргуу. Эдгээр гэр бүлийн огтлолцлын шугамууд нь орон зайн вектор шугамууд болно. Хэрэв бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд ("pe", "ku", "er") тэг биш бол техникийн хэд хэдэн шийдэл байдаг. Би эдгээр бүх аргыг авч үзэхгүй. (учир нь нийтлэл нь зохисгүй хэмжээтэй болж өсөх болно), гэхдээ би вектор талбарын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байх нийтлэг тохиолдлуудад анхаарлаа хандуулах болно. Бүх сонголтыг нэг дор жагсаацгаая:

хэрэв , дараа нь системийг шийдэх шаардлагатай;
хэрэв , дараа нь систем;
мөн хэрэв бол .

Зарим шалтгааны улмаас бид удаан хугацаанд дасгал хийгдээгүй байна:

Жишээ 1

Вектор талбайн талбайн шугамуудыг ол

Шийдэл: энэ асуудалд бид шийддэг систем:

Утга нь маш энгийн. Хэрэв функц нь нуурын гүний скаляр талбарыг зааж өгсөн бол харгалзах вектор функц нь олонлогийг тодорхойлно. эрх чөлөөгүйвекторууд, тус бүр нь чиглэлийг заадаг хурдан өсөлтнэг цэгийн доод хэсэг ба энэ өсөлтийн хурд.

Хэрэв функц нь орон зайн тодорхой бүсийн скаляр температурын талбарыг зааж өгсөн бол харгалзах вектор талбар нь чиглэл, хурдыг тодорхойлдог. хамгийн хурдан халаалтэнэ хэсгийн бүх цэгт орон зай.

Математикийн ерөнхий бодлогыг авч үзье.

Жишээ 3

Скаляр талбар ба цэг өгөгдсөн. Шаардлагатай:

1) скаляр талбайн градиент функцийг зохиох;

Аль нь тэнцүү байна боломжит зөрүү .

Өөрөөр хэлбэл, боломжит талбарт зөвхөн маршрутын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд чухал байдаг. Хэрэв эдгээр цэгүүд давхцаж байвал хаалттай контурын дагуух хүчний нийт ажил тэгтэй тэнцүү байх болно.

Газраас өд түүж гарааны цэгт хүргэцгээе. Энэ тохиолдолд бидний хөдөлгөөний замнал дахин дур зоргоороо байна; та үзэгээ унагаж, дахин авч болно гэх мэт.

Эцсийн үр дүн яагаад тэг болсон бэ?

Өд "а" цэгээс "б" цэг хүртэл унасан уу? Унав. Таталцлын хүч энэ ажлыг гүйцэтгэсэн.

Үзэг нь "а" цэгийг буцааж оносон уу? Ойлголоо. Энэ нь яг адилхан ажил хийсэн гэсэн үг таталцлын эсрэг, мөн ямар "адал явдал", ямар хүчээр хамаагүй - салхи түүнийг эргүүлж байсан ч хамаагүй.

Анхаарна уу : Физикийн хувьд хасах тэмдэг нь эсрэг чиглэлийг илэрхийлдэг.

Тиймээс хүчний хийсэн нийт ажил тэг болно.

Би дээр дурдсанчлан, ажлын бие махбодийн болон энгийн ойлголт нь өөр өөр байдаг. Энэ ялгаа нь өд, бүр тоосго биш, жишээлбэл төгөлдөр хуурыг сайн ойлгоход тусална :)

Хамтдаа төгөлдөр хуураа өргөж, шатаар доошлуул. Гудамжинд чир. Хүссэн хэмжээгээрээ, хаана ч хамаагүй. Хэрэв хэн ч тэнэгийг дуудсан бол багажийг буцааж авчир. Та ажиллаж байсан уу? Мэдээж. Долоо дахь хөлс хүртэл. Гэхдээ физикийн үүднээс авч үзвэл ямар ч ажил хийгээгүй.

"Боломжийн зөрүү" гэсэн хэллэг нь боломжит электростатик талбайн талаар илүү их ярихыг хүсч байгаа боловч уншигчдыг цочирдуулах нь ямар нэгэн байдлаар хүмүүнлэг биш юм =) Түүнээс гадна тоо томшгүй олон жишээ бий, учир нь ямар ч градиент талбар нь боломжит, үүнээс хэдэн арван зоос байдаг.

Гэхдээ "арван хэдэн төгрөг" гэж хэлэхэд амархан: энд бидэнд вектор талбар өгөгдсөн - боломжтой эсэхийг яаж тодорхойлох вэ?

Вектор талбайн ротор

Эсвэл түүнийг эргүүлэгбүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд үүнийг мөн вектороор илэрхийлдэг.

Дахин өдийг гартаа аваад голын эрэг дагуу болгоомжтой явуулцгаая. Туршилтын цэвэр байдлын үүднээс бид үүнийг төвтэй харьцуулахад нэгэн төрлийн, тэгш хэмтэй гэж үзэх болно. Тэнхлэг дээшээ наалддаг.

Ингээд авч үзье вектор талбародоогийн хурд, мөн өдний төв байрладаг усны гадаргуу дээрх тодорхой цэг.

Хэрэв орвол энэ үедүзэг нь цагийн зүүний эсрэг эргэдэг, дараа нь бид үүнийг гарч байгаа зүйлтэй тааруулна эрх чөлөөгүйдээш чиглэсэн вектор. Үүний зэрэгцээ үзэг хэдий чинээ хурдан эргэлдэнэ, төдий чинээ энэ вектор уртасна, ... яагаад ч юм надад нарны хурц туяанд маш хар юм шиг санагддаг... Хэрэв эргэлт цагийн зүүний дагуу явбал вектор доош "харна". Хэрэв үзэг огт эргэхгүй бол вектор нь тэг болно.

Уулзах - энэ бол роторын вектор вектор хурдны талбар, энэ нь шингэний "эргэлдэх" чиглэлийг тодорхойлдог энэ үедба үзэгний эргэлтийн өнцгийн хурд (гэхдээ гүйдлийн чиглэл эсвэл хурд биш!).

Голын бүх цэгүүд эргэлдэх вектортой ("усан дор" байгаа газруудыг оруулаад) нь тодорхой байна. одоогийн хурдны вектор талбарБид шинэ вектор талбарыг тодорхойлсон!

Хэрэв вектор талбар нь функцээр өгөгдсөн бол түүний роторын талбар нь дараах байдлаар өгөгдөнө вектор функц:

Түүнээс гадна, хэрэв векторууд роторын талбайголууд нь том хэмжээтэй бөгөөд чиглэлээ өөрчлөх хандлагатай байдаг, энэ нь бид ороомог, тайван бус голын тухай ярьж байна гэсэн үг биш юм. (жишээ рүү буцах). Энэ нөхцөл байдлыг шулуун суваг дээр ажиглаж болно - жишээлбэл, дунд хэсэгт хурд өндөр, эрэг орчмоор бага байх үед. Энэ нь үзэгний эргэлтийг бий болгодог өөр өөр урсгалын хурдВ хөршодоогийн шугамууд.

Нөгөө талаас, хэрэв роторын векторууд богино байвал энэ нь "ороомог" уулын гол байж болно! оруулах нь чухал юм зэргэлдээх одоогийн шугамуудгүйдлийн өөрөө хурд (хурдан эсвэл удаан)бага зэрэг ялгаатай байв.

Эцэст нь бид дээр тавьсан асуултанд хариулъя: боломжит талбайн аль ч цэгт түүний ротор нь тэг байна:

Өөрөөр хэлбэл тэг вектор.

Боломжит талбар гэж бас нэрлэдэг эргэлтгүйталбар.

Мэдээжийн хэрэг "хамгийн тохиромжтой" урсгал байдаггүй, гэхдээ үүнийг ихэвчлэн ажиглаж болно хурдны талбарГол мөрөн боломжийн ойролцоо байдаг - янз бүрийн объектууд тайван хөвж, эргэдэггүй, ... та бас энэ зургийг төсөөлж байсан уу? Гэсэн хэдий ч тэд маш хурдан сэлж, муруй дагуу сэлж, дараа нь удааширч, хурдсах боломжтой - гүйдлийн хурд нь гүйдлийн хурдтай байх нь чухал юм. зэргэлдээх одоогийн шугамууд хадгалагдаж байсан тогтмол.

Мэдээжийн хэрэг, бидний мөнх бус таталцлын талбар. Дараагийн туршилтанд ямар ч хүнд, нэгэн төрлийн объект тохиромжтой, жишээлбэл, битүү ном, нээлгүйгээр лааз шар айраг, дашрамд хэлэхэд, далавчаа хүлээсэн тоосго =) Түүний төгсгөлийг гараараа барь. , дээш өргөөд чөлөөтэй уналтад болгоомжтой суллана. Энэ нь эргэхгүй. Хэрэв тийм бол энэ нь таны "хувийн хүчин чармайлт" эсвэл таны авсан тоосго буруу байсан. Залхуурах хэрэггүй бөгөөд энэ баримтыг шалгаарай! Зүгээр л цонхоор юу ч бүү хая, энэ нь өд биш болсон

Үүний дараа цэвэр ухамсартай, аяыг нь дээшлүүлснээр та практик ажилдаа буцаж болно.

Жишээ 5

Вектор талбар нь боломжит гэдгийг харуулж, түүний потенциалыг ол

Шийдэл: нөхцөл нь талбайн боломжийг шууд илэрхийлдэг бөгөөд бидний даалгавар бол энэ баримтыг нотлох явдал юм. Роторын функц эсвэл тэдний хэлснээр өгөгдсөн талбайн роторыг олцгооё.

Тохиромжтой болгохын тулд бид талбайн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бичнэ.

тэгээд тэднийг хайж эхэлцгээе хэсэгчилсэн деривативууд- тэдгээрийг зүүнээс баруун тийш "эргэдэг" дарааллаар "ангилах" нь тохиромжтой:
- Тэгээд шуудүүнийг шалгана уу (тэг бус үр дүн гарсан тохиолдолд нэмэлт ажил хийхээс зайлсхийх). Үргэлжлүүлье: