$R$ бодит тоонуудын багц нь рационал ба иррационал тоонуудаас бүрддэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн.

Рационал тоог үргэлж аравтын бутархай (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй үечилсэн) хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Иррационал тоог хязгааргүй боловч үе үе бус аравтын бутархай хэлбэрээр бичдэг.

Бодит тоонуудын багц $R$ нь мөн $-\infty $ ба $+\infty $ элементүүдийг агуулдаг бөгөөд $-\infty тэгш бус байдал хадгалагдана.

Бодит тоог илэрхийлэх аргуудыг авч үзье.

Энгийн бутархай

Энгийн бутархайг хоёр натурал тоо ба хэвтээ бутархай шугам ашиглан бичдэг. Бутархай мөр нь үнэндээ хуваах тэмдгийг орлуулдаг. Шугамын доорх тоо нь бутархайн хуваагч (хуваагч), шугамын дээрх тоо нь хуваагч (хуваагч) юм.

Тодорхойлолт

Бутархай нь хуваагчаас бага бол бутархайг зөв гэж нэрлэдэг. Эсрэгээр, хэрэв бутархай нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байвал бутархайг буруу бутархай гэж нэрлэдэг.

Энгийн бутархайн хувьд энгийн, бараг ойлгомжтой харьцуулах дүрмүүд байдаг ($m$,$n$,$p$ - натурал тоо):

1. ижил хуваагчтай хоёр бутархайн, илүү том тоологчтой нь их байна, өөрөөр хэлбэл, $m>n$-д $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $;
2. ижил тоологчтой хоёр бутархайн жижиг хуваагчтай нь их байна, өөрөөр хэлбэл, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ m байна.
3. зөв бутархай нь үргэлж нэгээс бага байдаг; буруу бутархай нь үргэлж нэгээс их байдаг; тоологч нь хуваагчтай тэнцүү байх бутархай нь нэгтэй тэнцүү байна;
4. Бутархай бутархай бүр зөв бутархай бүрээс их байна.

Аравтын тоо

Аравтын тооны тэмдэглэгээ (аравтын бутархай) хэлбэртэй байна: бүхэл хэсэг, аравтын бутархай, бутархай хэсэг. Энгийн бутархайн аравтын бутархай тэмдэглэгээг "өнцөг"-тэй хуваагчаар хуваах замаар олж авч болно. Үүний үр дүнд төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл төгсгөлгүй үечилсэн бутархай үүсч болно.

Тодорхойлолт

Бутархай хэсгийн цифрүүдийг аравтын бутархай гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд аравтын бутархайн дараах эхний цифрийг аравны орон гэж нэрлэдэг, хоёр дахь нь зуутын орон, гурав дахь нь мянгатын орон гэх мэт.

Жишээ 1

Аравтын бутархай 3.74-ийн утгыг тодорхойл. Бид авна: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Аравтын бутархай тоог дугуйлж болно. Энэ тохиолдолд та дугуйрсан цифрийг зааж өгөх ёстой.

Дугуйлах дүрэм дараах байдалтай байна.

1. энэ цифрийн баруун талд байгаа бүх цифрүүдийг тэгээр солино (хэрэв эдгээр цифрүүд нь аравтын бутархайн өмнө байвал) эсвэл хасагдана (хэрэв эдгээр цифрүүд аравтын бутархайн дараа байвал);
2. хэрэв өгөгдсөн цифрийн дараах эхний цифр 5-аас бага бол энэ цифрийн цифр өөрчлөгдөхгүй;
3. Хэрэв өгөгдсөн цифрийн дараах эхний цифр 5 ба түүнээс дээш байвал энэ цифрийн цифр нэгээр нэмэгдэнэ.

Жишээ 2

1. 17302 тоог мянгад дугуйлъя: 17000.
2. 17378 тоог 17400 зуугаар дугуйлъя.
3. 17378.45 тоог 17380 болтол бөөрөнхийлье.
4. 378.91434 тоог 100-ын нарийвчлалтайгаар дугуйлцгаая: 378.91.
5. 378.91534 тоог 100-ын нарийвчлалтайгаар дугуйлцгаая: 378.92.

Аравтын тоог бутархай болгон хувирга.

Тохиолдол 1

Аравтын тоо нь төгсгөлийн аравтын бутархайг илэрхийлнэ.

Дараах жишээ нь хөрвүүлэх аргыг харуулж байна.

Жишээ 2

Бидэнд: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Бид үүнийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараахь зүйлийг авна.

Бутархайг багасгаж болно: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Тохиолдол 2

Аравтын бутархай нь хязгааргүй үечилсэн бутархайг илэрхийлдэг.

Хувиргах арга нь үечилсэн аравтын бутархайн үечилсэн хэсгийг хязгааргүй бууралттай геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр гэж үзэж болох явдалд суурилдаг.

Жишээ 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.74$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.01$ байна.

Жишээ 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.08$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.1$ байна.

Хязгааргүй бууралттай геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг $s=\frac(a)(1-q) $ томьёогоор тооцоолох ба $a$ нь эхний гишүүн, $q$ нь $ прогрессийн хуваагч юм. \зүүн (0

Жишээ 6

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай $0,\left(72\right)$-ийг жирийн нэг болгон хөрвүүлье.

Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.72$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.01$ байна. Бид дараахийг авна: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11) доллар. Тиймээс $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Жишээ 7

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай $0.5\left(3\right)$-ийг ердийн нэг болгон хөрвүүлье.

Прогрессийн эхний гишүүн $a=0.03$, прогрессийн хуваагч нь $q=0.1$ байна. Бид дараахийг авна: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30) доллар.

Тиймээс $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Бодит тоог тооны тэнхлэг дээрх цэгүүдээр илэрхийлж болно.

Энэ тохиолдолд бид тооны тэнхлэгийг эх (цэг $O$), эерэг чиглэл (сумаар харуулсан) болон масштаб (утга харуулах) сонгосон хязгааргүй шулуун шугам гэж нэрлэдэг.

Бүх бодит тоо ба тооны тэнхлэг дээрх бүх цэгүүдийн хооронд нэг нэгээр харгалзах харилцаа байдаг: цэг бүр нь нэг тоотой тохирч, эсрэгээр тоо бүр нэг цэгтэй тохирч байна. Иймээс бодит тоонуудын багц нь тоон шугам тасралтгүй бөгөөд хязгааргүй байдаг шиг тасралтгүй бөгөөд хязгааргүй байдаг.

Бодит тооны олонлогийн зарим дэд олонлогуудыг тоон интервал гэж нэрлэдэг. Тоон интервалын элементүүд нь тодорхой тэгш бус байдлыг хангадаг $x\in R$ тоонууд юм. R$-д $a\, R$-д $b\, $a\le b$-д оруулъя. Энэ тохиолдолд интервалын төрлүүд дараах байдалтай байж болно.

1. $\left(a,\; b\right)$ интервал. Үүний зэрэгцээ $a
2. $\left$ сегмент. Үүнээс гадна $a\le x\le b$.
3. Хагас сегмент эсвэл хагас интервал $\left$. Үүнээс гадна $ a \le x
4. Хязгааргүй интервалууд, жишээ нь $a

Цэгийн хөрш гэж нэрлэгддэг интервалын төрөл нь бас чухал юм. Өгөгдсөн $x_(0) \in R$ цэгийн хөрш нь $\left(a,\; b\right)$ дотроо энэ цэгийг агуулсан дурын интервал, өөрөөр хэлбэл $a 0$ нь түүний радиус юм.

Тооны үнэмлэхүй утга

$x$ бодит тооны үнэмлэхүй утга (эсвэл модуль) нь сөрөг бус бодит тоо $\left|x\right|$ бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог: $\left|x\right|=\left\(\ эхлэх(массив)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Геометрийн хувьд $\left|x\right|$ гэдэг нь тооны шулуун дээрх $x$ ба 0 цэгүүдийн хоорондох зайг хэлнэ.

Үнэмлэхүй утгын шинж чанарууд:

1. тодорхойлолтоос $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. нийлбэрийн модуль болон хоёр тооны зөрүүний модулийн хувьд дараах тэгш бус байдал хүчинтэй байна: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, түүнчлэн $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. үржвэрийн модуль ба хоёр тооны хэсгийн модулийн хувьд дараах тэгшитгэл үнэн байна: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ болон $\left|\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

$a>0$ дурын тооны үнэмлэхүй утгын тодорхойлолт дээр үндэслэн дараахь хос тэгш бус байдлын эквивалентыг тогтоож болно.

1. хэрэв $\left|x\right|
2. хэрэв $\left|x\right|\le a$ бол $-a\le x\le a$;
3. хэрэв $\left|x\right|>a$ бол $xa$;
4. хэрэв $\left|x\right|\ge a$ бол $x\le -a$ эсвэл $x\ge a$.

Жишээ 8

$\left|2\cdot x+1\right| тэгш бус байдлыг шийд

Энэ тэгш бус байдал нь $-7 тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

Эндээс бид авах болно: $ -8

№1. Рационал тооны шинж чанарууд.

 Эмх цэгцтэй байдал . Аливаа оновчтой тоонуудын хувьд тэдгээрийн хооронд гурвын зөвхөн нэгийг ялгахыг зөвшөөрдөг дүрэм байдаг. харилцаа: "", "" эсвэл "". Энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг захиалгын дүрэмба дараах байдлаар томьёологдсон: хоёр эерэг тоо ба хоёр бүхэл тоотой ижил хамаарлаар холбоотой; хоёр эерэг бус тоо нь хоёр сөрөг бус тоотой ижил харилцаатай; Хэрэв гэнэт энэ нь сөрөг биш, харин сөрөг байвал.

Бутархай нэмэх

 Нэмэлт үйл ажиллагаа . нэгтгэх дүрэм, энэ нь тэдгээрийг зарим оновчтой тоогоор захидал харилцаанд оруулдаг. Энэ тохиолдолд дугаарыг өөрөө дууддаг хэмжээ u тоонуудыг тэмдэглэж, ийм тоог олох үйл явцыг дуудна нийлбэр. Дүгнэлтийн дүрэм нь дараах хэлбэртэй байна. .

 Үржүүлэх үйл ажиллагаа . Аливаа оновчтой тоонуудын хувьд ийм тоо байдаг үржүүлэх дүрэм, энэ нь тэдгээрийг зарим оновчтой тоогоор захидал харилцаанд оруулдаг. Энэ тохиолдолд дугаарыг өөрөө дууддаг ажил тоонууд ба тэмдэглэгдсэн байдаг бөгөөд ийм тоог олох үйл явцыг мөн нэрлэдэг үржүүлэх. Үржүүлэх дүрэм дараах байдалтай байна. .

 Дамжин өнгөрөх чадвар захиалгын харилцаа.Дурын гурвалсан оновчтой тоонуудын хувьд, хэрэв бага ба бага бол бага, тэнцүү бол тэнцүү байна.

 Солих чадвар нэмэлт.Рационал нэр томъёоны байршлыг өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй.

 Нийгэмлэг нэмэлт.Гурван оновчтой тоог нэмэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

 Бэлэн байдалтэг . Нэмэх үед бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 0 рационал тоо байдаг.

 Эсрэг тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь эсрэг рационал тоотой байдаг бөгөөд энэ тоо нь нэмэхэд 0 болно.

 Үржүүлэхийн шилжих чадвар.Рационал хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй.

 Үржүүлэхийн холбоо.Гурван оновчтой тоог үржүүлэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

 Бэлэн байдалнэгж . Үржүүлэхэд бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 1 рационал тоо байдаг.

 Бэлэн байдалхарилцан тоо . Ямар ч тэгээс бусад рационал тоо нь урвуу рационал тоотой бөгөөд үүнийг үржүүлэхэд 1 болно.

 Тархалт нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэх.Үржүүлэх үйлдлийг нэмэх үйлдэлтэй хуваарилах хуулиар зохицуулдаг.

 Нэмэх үйлдэлтэй дарааллын харьцааны холболт.Рационал тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талд ижил рационал тоог нэмж болно.

 Захиалгын хамаарал ба үржүүлэх үйлдлийн хоорондын холбоо.Рационал тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг ижил эерэг рационал тоогоор үржүүлж болно.

 Архимедийн аксиом . Ямар ч оновчтой тооноос үл хамааран та тэдгээрийн нийлбэр нь давсан олон нэгжийг авч болно.

№2. Бодит тооны модуль.

Тодорхойлолт . Сөрөг бус бодит х тооны модуль нь тоо өөрөө байна: | x | = x; Сөрөг бодит х тооны модуль нь эсрэг тоо: I x | = - x.

Товчхондоо ингэж бичжээ.

2. Бодит тооны модулийн геометрийн утга

Бодит тоо ба түүний геометрийн R олонлог руу буцъя загварууд- тооны шугам. Шулуун дээр a ба b хоёр цэгийг (а ба b хоёр бодит тоо) тэмдэглэж, a ба b цэгүүдийн хоорондох зайг (a, b) (Грек цагаан толгойн "rho" үсэг) гэж тэмдэглэе. Энэ зай нь b - a, хэрэв b > a (Зураг 101) бол a - b, хэрэв a > b (Зураг 102), эцэст нь a = b бол тэгтэй тэнцүү байна.

Гурван тохиолдлыг бүгдийг нэг томъёогоор тусгасан болно:

b) Тэгшитгэл | x + 3.2 | = 2 бид | хэлбэрээр дахин бичнэ x - (- 3.2) | = 2 ба цааш нь (x, - 3.2) = 2. Координатын шугам дээр цэгээс хасагдсан хоёр цэг байдаг - 3.2 нь 2-тэй тэнцүү зайд. Эдгээр нь - 5.2 ба - 1.2 (Зураг . 104) . Тэгэхээр тэгшитгэл нь хоёр байна үндэс: -5.2 ба - 1.2.

№4.БОДИТ ТООНЫ БАГЦ

Рационал тооны олонлог ба иррационал тооны олонлогийн нэгдлийг олонлог гэнэ хүчинтэй (эсвэл жинхэнэ ) тоо . Бодит тоонуудын багцыг тэмдгээр тэмдэглэнэ Р. Мэдээжийн хэрэг, .

Бодит тоонууд дээр харагдаж байна тооны тэнхлэг Өөцэгүүд (Зураг). Энэ тохиолдолд бодит тоо бүр нь тоон тэнхлэгийн тодорхой цэгтэй, тэнхлэг дээрх цэг бүр нь тодорхой бодит тоотой тохирч байна.

Тиймээс "бодит тоо" гэсэн үгийн оронд "цэг" гэж хэлж болно.

№5. Тоон интервалууд.

№6. Тоон функц.

Хэрэв тоо бүр нэг тоотой холбоотой байвал тооны багцыг өгье y, дараа нь тэд зураг авалт дээр ингэж хэлдэг Дтоогоор өгсөн функц :

Олон Ддуудсан функцийн домэйн болон томилогдсон Д (е (x)). Бүх элементүүдээс бүрдсэн багц е (x), хаана гэж нэрлэдэг функцийн хүрээ болон томилогдсон Э (е (x)).

Тоо xихэвчлэн дууддаг функцийн аргумент эсвэл бие даасан хувьсагч ба тоо y- хамааралтай хувьсагч эсвэл үнэндээ функц хувьсагч x. Утгатай тохирох тоог дуудна функцийн утга цэг дээр ба тэмдэглэнэ

Функцийг тохируулахын тулд е, та дараахийг зааж өгөх хэрэгтэй:

1) түүний тодорхойлолтын хүрээ Д (е (x));

2) дүрмийг зааж өгөх е, үүгээр утга бүр нь тодорхой утгатай холбоотой байдаг y = е (x).

№7. Урвуу функц,

Урвуу функц

Хэрэв аргумент ба функцийн үүрэг эсрэгээр байвал xфункц болох болно y. Энэ тохиолдолд бид нэртэй шинэ функцийн тухай ярьж байна урвуу функц.Бидэнд функц байна гэж бодъё:

v = у 2 ,

Хаана у- маргаан, a v- функц. Хэрэв бид тэдний дүрийг өөрчилвөл бид авах болно у функц болгон v :

Хэрэв бид хоёр функцын аргументыг -ээр тэмдэглэвэл x , мөн функц – дамжуулан y, тэгвэл бидэнд хоёр функц байна:

тус бүр нь нөгөөгийнхөө урвуу тал юм.

ЖИШЭЭ. Эдгээр функцууд нь бие биенээсээ урвуу байна:

1) нүгэл xболон Арксин x, учир нь хэрэв y= нүгэл x, Тэр x= Арксин y;

2) cos xболон Arccos x, учир нь хэрэв y= cos x, Тэр x= Аркос y;

3) бор xболон Арктан x, учир нь хэрэв y= бор x, Тэр x= Арктан y;

4) д xболон ln x, учир нь хэрэв y= д x, Тэр x= бүртгэл y.

Урвуу тригонометрийн функцууд- тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай математик функцууд. Зургаан функцийг ихэвчлэн урвуу тригонометрийн функц гэж ангилдаг.

арксин(тэмдэг: arcsin)

нуман косинус(тэмдэг: arccos)

арктангенс(тэмдэглэл: arctg; гадаадын уран зохиолд arktan)

арккотангенс(тэмдэглэл: arcctg; гадаадын уран зохиолд arccotan)

нуман хэлбэртэй(тэмдэг: нуман сек)

арккосекант(тэмдэглэл: arccosec; гадаад уран зохиолд arccsc)

№8. Үндсэн үндсэн функцууд. Үндсэн функцууд

Урвуу тригонометрийн функцууд нь олон утгатай (хязгааргүй ач холбогдолтой) бөгөөд тэдэнтэй ажиллахдаа үндсэн утгуудыг ашигладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

№9. Нарийн төвөгтэй тоо

хэлбэрээр бичигдсэн байна: a+ би. Энд аТэгээд б – бодит тоо, А би – төсөөллийн нэгж, өөрөөр хэлбэл. би 2 = –1. Тоо а дуудсан абсцисса, a б – ординатнийлмэл тоо a+ би. Хоёр комплекс тоо a+ би Тэгээд а – би гэж нэрлэдэг коньюгатнийлмэл тоо.

Бодит тоонуудыг шулуун шугамын цэгүүдээр дүрсэлж болох ба зурагт үзүүлсэн шиг А цэг нь 4, В цэг нь -5 тоог илэрхийлнэ. Эдгээр ижил тоонуудыг зөвхөн уртаас гадна чиглэлийг харгалзан OA, OB сегментүүдээр илэрхийлж болно.

Тоон шугамын М цэг бүр нь ямар нэг бодит тоог илэрхийлдэг (Хэрэв OM хэрчим нь уртын нэгжтэй тохирч байвал оновчтой, харьцуулашгүй бол иррациональ). Энэ нь тооны шулуун дээр нийлмэл тоонуудад зай үлдээдэггүй.

Гэхдээ нарийн төвөгтэй тоонуудыг тооны хавтгайд дүрсэлж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр тэнхлэг дээр ижил масштабтай тэгш өнцөгт координатын системийг хавтгайд сонгоно.

Нарийн төвөгтэй тоо a + b iабсцисса х нь абсциссатай тэнцүү M цэгээр илэрхийлэгдэнэ анийлмэл тоо, y-ийн ординат нь ординаттай тэнцүү байна бнийлмэл тоо.

БОДИТ ТООН II

§ 44 Бодит тооны геометрийн дүрслэл

Рационал тоонуудын нэгэн адил геометрийн бодит тоонууд нь шулуун дээрх цэгүүдээр дүрслэгддэг.

Болъё л дурын шулуун шугам, О нь түүний зарим цэг (Зураг 58). Эерэг бодит тоо бүр α -ийн зайд О-ийн баруун талд байрлах А цэгийг холбоно α уртын нэгж.

Хэрэв, жишээ нь, α = 2.1356..., тэгвэл

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд А цэг нь шулуун дээр байх ёстой л тоонуудын харгалзах цэгүүдийн баруун талд

2; 2,1; 2,13; ... ,

харин тоонуудын харгалзах цэгүүдийн зүүн талд

3; 2,2; 2,14; ... .

Эдгээр нөхцөлүүд нь шугаман дээр тодорхойлогддог болохыг харуулж болно л бодит тооны геометрийн дүрс гэж үздэг цорын ганц А цэг α = 2,1356... .

Үүний нэгэн адил сөрөг бодит тоо бүрийн хувьд β O цэгийн зүүн талд | зайд байрлах В цэгийг холбоно β | уртын нэгж. Эцэст нь бид "тэг" тоог О цэгтэй холбоно.

Тиймээс 1-ийн тоог шулуун шугамаар дүрслэх болно л О-ийн баруун талд нэг нэгж уртын зайд байрлах А цэг (Зураг 59), тоо - √2 - Б цэгээр, О-ийн зүүн талд √2 уртын нэгжийн зайд байрлах гэх мэт. .

Шулуун шугам дээр яаж гэдгийг харуулъя л луужин болон захирагч ашиглан та √2, √3, √4, √5 гэх мэт бодит тоонуудад тохирох цэгүүдийг олох боломжтой. Үүний тулд юуны өмнө бид урт нь илэрхийлэгдсэн хэрчмүүдийг хэрхэн бүтээхийг харуулах болно. эдгээр тоогоор. АВ уртын нэгжээр авсан хэрчмийг авъя (Зураг 60).

А цэг дээр бид энэ хэрчимд перпендикуляр байгуулж, үүн дээр AB хэрчимтэй тэнцүү АС сегментийг зурна. Дараа нь Пифагорын теоремыг ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна. BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Тиймээс BC сегмент нь √2 урттай байна. Одоо C цэг дээр BC хэрчимтэй перпендикуляр байгуулаад түүн дээрх D цэгийг сонгон CD хэрчмийг нэг нэгж AB урттай тэнцүү болгоё. Дараа нь BCD тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид дараахь зүйлийг олно.

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Тиймээс BD сегмент нь √3 урттай байна. Цаашид тайлбарласан процессыг үргэлжлүүлснээр бид уртыг √4, √5 гэх мэт тоогоор илэрхийлсэн BE, BF, ... сегментүүдийг олж авч болно.

Одоо шулуун шугам дээр л √2, √3, √4, √5 гэх мэт тоонуудын геометрийн дүрслэл болох цэгүүдийг олоход хялбар байдаг.

Жишээлбэл, BC сегментийг О цэгийн баруун талд (Зураг 61) буулгаснаар бид √2 тооны геометрийн дүрс болох C цэгийг олж авна. Үүнтэй адилаар, BD сегментийг О цэгийн баруун талд байрлуулснаар бид D цэгийг авна, энэ нь √3 гэх мэт тооны геометрийн дүрс юм.

Гэсэн хэдий ч тоон мөрөнд луужин, захирагч ашигладаг гэж бодож болохгүй л өгөгдсөн аливаа бодит тоонд тохирох цэгийг олох боломжтой. Жишээлбэл, зөвхөн луужин, захирагчтай бол урт нь тоогоор илэрхийлэгдэх сегментийг байгуулах боломжгүй гэдгийг баталсан. π = 3.14... . Тиймээс тооны шугам дээр л Ийм байгууламжийн тусламжтайгаар энэ тоонд тохирох цэгийг зааж өгөх боломжгүй юм.

Тиймээс, бодит тоо бүрийн хувьд α тодорхой тодорхойлогдсон зарим цэгийг шулуун шугамтай холбох боломжтой л . Энэ цэг нь | зайд байх болно α | уртын нэгж ба хэрэв O-ийн баруун талд байна α > 0, мөн O-ийн зүүн талд, хэрэв α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой л . Уг нь тоог нь өгөөч α А цэг нь тохирох бөгөөд тоо β - цэг B. Дараа нь, хэрэв α > β , дараа нь A нь B-ийн баруун талд байх болно (Зураг 62, a); хэрэв α < β , дараа нь A нь B-ийн зүүн талд хэвтэх болно (Зураг 62, b).

Рационал тоонуудын геометрийн дүрсийн талаар § 37-д ярихдаа бид дараахь асуултыг тавьсан: шулуун дээрх аль ч цэгийг зарим зүйлийн геометрийн дүрс гэж үзэж болох уу? оновчтойтоо? Тэр үед бид энэ асуултад хариулж чадаагүй; Одоо бид үүнд тодорхой хариулж чадна. Шулуун дээр иррационал тоонуудын геометрийн дүрслэлийн үүрэг гүйцэтгэдэг цэгүүд байдаг (жишээлбэл, √2). Тиймээс шулуун дээрх цэг бүр оновчтой тоог илэрхийлдэггүй. Гэхдээ энэ тохиолдолд өөр нэг асуулт гарч ирнэ: тооны шулуун дээрх аль ч цэгийг заримынх нь геометрийн дүрс гэж үзэж болох уу? хүчинтэйтоо? Энэ асуудал аль хэдийн нааштай шийдэгдсэн.

Үнэн хэрэгтээ, А нь шулуун дээрх дурын цэг байг л , O-ийн баруун талд хэвтэж байна (Зураг 63).

OA сегментийн уртыг зарим эерэг бодит тоогоор илэрхийлнэ α (§ 41-ийг үзнэ үү). Тиймээс А цэг нь тооны геометрийн дүрс юм α . Үүнтэй адилаар O цэгийн зүүн талд байрлах В цэг бүрийг сөрөг бодит тооны геометрийн дүрс гэж үзэж болно. β , Хаана β - VO сегментийн урт. Эцэст нь О цэг нь тэг тооны геометрийн дүрслэл болдог. Шулуун шугамын хоёр өөр цэг гэдэг нь ойлгомжтой л ижил бодит тооны геометрийн дүрс байж болохгүй.

Дээр дурдсан шалтгааны улмаас тодорхой O цэгийг "анхны" цэг (өгөгдсөн уртын нэгжийн хувьд) гэж заасан шулуун шугамыг нэрлэдэг. тооны шугам.

Дүгнэлт. Бүх бодит тоонуудын олонлог ба тооны шулуун дээрх бүх цэгүүдийн олонлог нь нэгийг харьцах харьцаанд байна.

Энэ нь бодит тоо бүр нь тоон шулуун дээрх нэг цэгт, харин эсрэгээр, тоон шулуун дээрх цэг бүрт, ийм харгалзах байдлаар нэг, сайн тодорхойлогдсон бодит тоо таарч байна гэсэн үг юм.

Дасгал

320. Эдгээр цэгүүд тоонуудтай тохирч байвал тоон шулуун дээрх хоёр цэгийн аль нь зүүн талд, аль нь баруун талд байгааг ол.

a) 1.454545... ба 1.455454...; в) 0 ба - 1.56673...;

б) - 12.0003... ба - 12.0002...; г) 13.24... ба 13.00....

321. Эдгээр цэгүүд нь тоонуудтай тохирч байвал хоёр цэгийн аль нь тоон шулуун дээр эхлэх О цэгээс цааш байрлаж байгааг олоорой.

a) 5.2397... ба 4.4996...; .. в) -0.3567... ба 0.3557... .

г) - 15.0001 ба - 15.1000...;

322. Энэ хэсэгт √ урттай хэрчмийг байгуулахыг харуулсан n Луужин ба захирагч ашиглан та дараах байдлаар үргэлжлүүлж болно: эхлээд √2 урттай хэрчим, дараа нь √3 урттай сегмент гэх мэт урттай сегментийг √ урттай хэсэгт хүрэх хүртэл барина. n . Гэхдээ засвар бүрийн хувьд n > 3 энэ үйл явцыг хурдасгах боломжтой. Жишээлбэл, та √10 урттай сегментийг хэрхэн барьж эхлэх вэ?

323*. Луужин, захирагч ашиглан 1-ийн тоонд тохирох тооны шулуун дээрх цэгийг хэрхэн олох вэ? α , тоонд харгалзах цэгийн байрлал бол α , энэ нь мэдэгдэж байна уу?

Модуль бүхий тэгшитгэл, шийдвэрлэх арга. 1-р хэсэг.

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техникийг шууд судалж эхлэхээс өмнө модулийн мөн чанар, түүний геометрийн утгыг ойлгох нь чухал юм. Модулийн тодорхойлолт, түүний геометрийн утгыг ойлгоход ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг тавьсан болно. Модульчлагдсан хаалтыг нээх интервалын арга гэж нэрлэгддэг арга нь маш үр дүнтэй тул үүнийг ашиглан модулиар ямар ч тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх боломжтой юм. Энэ хэсэгт бид интервалын арга ба хүн амыг орлуулах гэсэн хоёр стандарт аргыг нарийвчлан судлах болно.

Гэсэн хэдий ч бидний харж байгаагаар эдгээр аргууд нь үргэлж үр дүнтэй байдаг, гэхдээ үргэлж тохиромжтой байдаггүй бөгөөд урт, бүр тийм ч тохиромжтой биш тооцооллыг хийхэд хүргэдэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү их цаг хугацаа шаардагддаг. Тиймээс тодорхой тэгшитгэлийн бүтцийн шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг аргуудыг мэдэх нь чухал юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох, шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, график арга, модулийн тэмдгийн дор модуль агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Бид дараагийн хэсэгт эдгээр аргуудыг авч үзэх болно.

Тооны модулийг тодорхойлох. Модулийн геометрийн утга.

Юуны өмнө модулийн геометрийн утгатай танилцъя:

Тоонуудын модуль a (|a|)тоон шулуун дээрх эх үүсвэрээс (0 цэг) цэг хүртэлх зайг дуудна А(а).

Энэ тодорхойлолт дээр үндэслэн зарим жишээг авч үзье.

|7| - энэ нь 0-ээс 7 цэг хүртэлх зай, мэдээж 7-тэй тэнцүү. → | 7 |=7

|-5|- энэ 0-ээс цэг хүртэлх зай -5 ба энэ нь тэнцүү байна: 5. → |-5| = 5

Зай сөрөг байж болохгүй гэдгийг бид бүгд ойлгодог! Тиймээс |x| ≥ 0 үргэлж!

Тэгшитгэлийг шийдье: |x |=4

Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар уншиж болно: 0 цэгээс х цэг хүртэлх зай нь 4. Тиймээ, 0-ээс бид зүүн, баруун тийш хоёуланг нь хөдөлгөж болно, энэ нь зүүн тийшээ тэнцүү зайд шилжинэ гэсэн үг юм. 4 бид цэг дээр дуусна: -4, баруун тийш шилжвэл бид цэг дээр дуусна: 4. Үнэхээр, |-4 |=4 ба |4 |=4.

Тиймээс хариулт нь x=±4 байна.

Хэрэв та өмнөх тэгшитгэлийг сайтар судалж үзвэл: 0-ээс цэг хүртэлх тооны шулууны баруун талын зай нь тухайн цэгтэй тэнцүү, 0-ээс зүүн тийш тоо хүртэлх зай нь эсрэгээрээ тэнцүү байна. тоо! 0-ийн баруун талд байгаа тоонууд эерэг, 0-ийн зүүн талд байгаа тоонууд сөрөг байна гэдгийг ойлгосноор бид томъёолдог. тооны модулийн тодорхойлолт: тооны модуль (үнэмлэхүй утга). X(|x|) нь өөрөө тоо юм X, хэрэв x ≥0 бол тоо – X, хэрэв x<0.

Энд бид тооны шулуун дээрх цэгүүдийн багцыг олох хэрэгтэй, 0-ээс 3-аас бага зайтай байх ба тоон шулууныг төсөөлж, түүн дээр 0-ийг зааж, зүүн тийш явж, нэг (-1), хоёрыг тоолъё. (-2) ба гурав (-3), зогсоо. Дараа нь 3-аас хол орших цэгүүд эсвэл 0-ээс 3-аас их зайтай байх болно, одоо бид баруун тийшээ явна: нэг, хоёр, гурав, дахин зогс. Одоо бид бүх оноогоо сонгоод x интервалыг авна: (-3;3).

Та үүнийг тодорхой харж, чадахгүй бол цаасан дээр зурж, энэ дүрслэл танд бүрэн ойлгомжтой байхаар харах нь чухал бөгөөд залхуурах хэрэггүй бөгөөд дараах ажлуудын шийдлийг оюун ухаандаа олж харахыг хичээ. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

Хоёр дахь баганад байгаа хачирхалтай даалгавруудыг та анзаарсан уу? Үнэн хэрэгтээ зай нь сөрөг байж болохгүй тул: |x|=-5- шийдэл байхгүй, мэдээж 0-ээс бага байж болохгүй, тиймээс: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 нь бүгд тоо.

Шийдэл бүхий зургуудыг хурдан харж сурсны дараа үргэлжлүүлэн уншина уу.

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.

Зорилго:

Тоног төхөөрөмж: проектор, дэлгэц, хувийн компьютер, мультимедиа үзүүлэн

Хичээлийн явц

1. Зохион байгуулалтын мөч.

2. Сурагчдын мэдлэгийг шинэчлэх.

2.1. Гэрийн даалгаврын талаар оюутнуудын асуултанд хариулна уу.

2.2. Кроссворд шийдвэрлэх (онолын материалыг давтах) (Слайд 2):

(Хүчин төгөлдөр – Кроссворд тааварыг шийдсэний дараа тодруулсан босоо баганаас өнөөдрийн хичээлийн сэдвийн нэрийг уншина уу.

(Слайд 3, 4)

3. Шинэ сэдвийн тайлбар. а 3.1. – Залуус аа, та модуль гэсэн ойлголттой аль хэдийн танилцсан, та | тэмдэглэгээг ашигласан байна

| . Өмнө нь бид рационал тоонуудын тухай л ярьдаг байсан. Одоо бид аливаа бодит тооны модулийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх хэрэгтэй.

Бодит тоо бүр нь тоон шулуун дээрх нэг цэгтэй тохирч, эсрэгээр тооны шулуун дээрх цэг бүр нь нэг бодит тоотой тохирч байна. Бодит тоонуудын хувьд рационал тоон дээрх үйлдлүүдийн бүх үндсэн шинж чанарууд хадгалагдана. Бодит тооны модулийн тухай ойлголтыг танилцуулав.

(Слайд 5). xТодорхойлолт. Сөрөг бус бодит тооны модуль x| = xэнэ дугаарыг өөрөө дууд: | X; сөрөг бодит тооны модуль x| = – x .

– эсрэг дугаар руу залгах: |

Хичээлийн сэдэв, модулийн тодорхойлолтыг дэвтэртээ бичнэ үү. Практикт янз бүрийнмодулийн шинж чанарууд , Жишээ нь. :

(Слайд 6) Модулийн тодорхойлолт, шинж чанарыг ашиглахын тулд №16.3 (а, б) – 16.5 (а, б)-ыг амаар бөглөнө үү. .

(Слайд 7) X 3.4. Аливаа бодит тооны хувьд xтооцоолж болно | y = |x| .

| , өөрөөр хэлбэл Бид функцийн талаар ярьж болно = |x| Даалгавар 1. График байгуулж, функцийн шинж чанарыг жагсаа

Самбар дээрх нэг сурагч функцийн график зурж байна

Зураг 1.

Үл хөдлөх хөрөнгийг оюутнууд жагсаасан. (Слайд 10)

1) Тодорхойлолтын домэйн – (– ∞; + ∞) .

2) x = 0 үед y = 0; x үед y > 0< 0 и x > 0.

3) Функц тасралтгүй байна.

4) x = 0-ийн хувьд y naib = 0, y naib байхгүй.

5) Функц нь дээрээс хязгаарлагдахгүй, доороос хязгаарлагддаг.

6) Функц нь туяа дээр буурч (– ∞; 0), цацраг дээр нэмэгддэг )