Хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хэрхэн олох вэ. Тооны дохих ба нох - хэд хэдэн тооны хамгийн их нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг үржвэр

Үржвэр гэдэг нь өгөгдсөн тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог хэлнэ. Бүлэг тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) нь бүлгийн тоо бүрт үлдэгдэл үлдээлгүй хуваагддаг хамгийн бага тоо юм. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд өгөгдсөн тооны анхны үржвэрүүдийг олох хэрэгтэй. LCM-ийг хоёр ба түүнээс дээш тооны бүлэгт хамаарах өөр хэд хэдэн аргыг ашиглан тооцоолж болно.

Алхам

Үржвэрийн цуврал

Эдгээр тоонуудыг хараарай.Энд тайлбарласан аргыг тус бүр нь 10-аас бага хоёр тоо өгсөн тохиолдолд хамгийн сайн ашигладаг. Хэрэв илүү том тоо өгөгдсөн бол өөр аргыг ашиглана.

Жишээлбэл, 5 ба 8-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Эдгээр нь жижиг тоо тул та энэ аргыг ашиглаж болно.

Үржвэр гэдэг нь өгөгдсөн тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог хэлнэ. Үржүүлэх хүснэгтээс үржвэрийг олж болно.
- Жишээлбэл, 5-ын үржвэртэй тоонууд нь: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Эхний тооны үржвэр болох хэд хэдэн тоог бич.Хоёр багц тоог харьцуулахын тулд эхний тооны үржвэрийн дор үүнийг хий.
- Жишээлбэл, 8-ын үржвэр болох тоонууд нь: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64.
Хоёр үржвэрийн олонлогт байгаа хамгийн бага тоог ол.Нийт тоог олохын тулд үржвэрийн урт цуваа бичих шаардлагатай болж магадгүй. Хоёр үржвэрийн олонлогт байгаа хамгийн бага тоо нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
- Жишээлбэл, 5 ба 8-ын үржвэрийн цувралд гарч буй хамгийн бага тоо нь 40. Иймээс 40 нь 5 ба 8-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
Ерөнхий хүчин зүйлчлэл
1. Эдгээр тоонуудыг хараарай.Энд тайлбарласан аргыг тус бүр нь 10-аас их гэсэн хоёр тоо өгөхөд илүү тохиромжтой. Хэрэв бага тоо өгөгдсөн бол өөр аргыг хэрэглэнэ.
  - Жишээлбэл, 20 ба 84 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Тоо бүр 10-аас их тул та энэ аргыг ашиглаж болно.
2. Эхний тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.Өөрөөр хэлбэл, үржүүлснээр өгөгдсөн тоог гаргах анхны тоонуудыг олох хэрэгтэй. Үндсэн хүчин зүйлсийг олсны дараа тэдгээрийг тэнцүү гэж бич.
  - Жишээлбэл, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2) ) \ дахин 10 = 20)Тэгээд 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\удаа (\mathbf (5) )=10). Ингээд 20-ийн тооны анхдагч хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 5 гэсэн тоонууд юм. Тэдгээрийг илэрхийлэл болгон бич: .
3. Хоёр дахь тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.Үүнийг эхний тоог үржүүлсэнтэй ижил аргаар хий, өөрөөр хэлбэл үржүүлснээр өгөгдсөн тоог гаргах анхны тоог ол.
  - Жишээлбэл, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ дахин 42=84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7) ) \ дахин 6 = 42)Тэгээд 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\удаа (\mathbf (2) )=6). Иймд 84-ийн тооны анхдагч хүчин зүйлүүд нь 2, 7, 3, 2 тоонууд юм. Тэдгээрийг илэрхийлэл болгон бич: .
4. Хоёр тоонд нийтлэг хүчин зүйлсийг бич.Үржүүлэх үйлдэл гэх мэт хүчин зүйлсийг бич. Хүчин зүйл бүрийг бичихдээ үүнийг хоёр илэрхийлэлд (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваахыг тайлбарласан илэрхийлэл) хас.
  - Жишээлбэл, хоёр тоо нь 2-ын нийтлэг хүчин зүйлтэй тул бичээрэй 2 × (\displaystyle 2\ дахин)мөн хоёр илэрхийлэл дэх 2-ыг таслана.
  - Хоёр тооны нийтлэг зүйл бол 2-ын өөр хүчин зүйл тул бич 2 × 2 (\displaystyle 2\ дахин 2)мөн хоёр дахь илэрхийлэлд хоёр дахь 2-ыг таслана.
5. Үлдсэн хүчин зүйлсийг үржүүлэх үйл ажиллагаанд нэмнэ.Эдгээр нь хоёр илэрхийлэлд хасагдаагүй хүчин зүйлүүд, өөрөөр хэлбэл хоёр тоонд нийтлэг биш хүчин зүйлүүд юм.
  - Жишээлбэл, илэрхийлэлд 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ 2\ дахин 5)Хоёр (2) хоёулаа нийтлэг хүчин зүйл учраас хасагдсан байна. 5-ын хүчин зүйлийг хасаагүй тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2\ дахин 2\ дахин 5)
  - Илэрхийлэлд 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ дахин 7 \ 3 \ дахин 2)хоёулаа хоёуланг нь (2) зурсан байна. 7 ба 3-р хүчин зүйлсийг хасаагүй тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ дахин 2\ дахин 5\ дахин 7\ дахин 3).
6. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоол.Үүнийг хийхийн тулд бичгээр үржүүлэх үйлдлээр тоонуудыг үржүүлнэ.
  - Жишээлбэл, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ дахин 2 \ 5 \ 7 \ дахин 3 = 420). Тэгэхээр 20 ба 84-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 420 байна.
Нийтлэг хүчин зүйлсийг олох
1. Тик-так-тое тоглоом шиг тор зур.Ийм тор нь өөр хоёр зэрэгцээ шугамтай огтлолцох (зөв өнцгөөр) хоёр зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ. Энэ нь танд гурван мөр, гурван багана өгөх болно (сүлжээ нь # дүрстэй маш төстэй харагдаж байна). Эхний мөр, хоёр дахь баганад эхний тоог бичнэ үү. Эхний мөр, гурав дахь баганад хоёр дахь тоог бичнэ үү.
  - Жишээ нь: 18 ба 30 гэсэн тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.18 гэсэн тоог эхний мөр, хоёр дахь баганад, эхний мөр, гуравдугаар баганад 30-ын тоог бич.
2. Хоёр тооны нийтлэг хуваагчийг ол.Үүнийг эхний мөр, эхний баганад бичнэ үү. Үндсэн хүчин зүйлсийг хайх нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь шаардлага биш юм.
  - Жишээлбэл, 18 ба 30 нь тэгш тоо тул тэдгээрийн нийтлэг хүчин зүйл нь 2. Тиймээс эхний мөр, эхний баганад 2 гэж бичнэ үү.
3. Тоо бүрийг эхний хуваагчаар хуваа.Тохиромжтой тоон дор хэсэг бүрийг бич. Хоёр тоог хуваах үр дүн нь хуваалт юм.
  - Жишээлбэл, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), тиймээс 18-аас доош 9 гэж бичнэ.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), тиймээс 30-аас доош 15-ыг бич.
4. Аль аль хэсэгт нийтлэг хуваагчийг ол.Хэрэв ийм хуваагч байхгүй бол дараагийн хоёр алхамыг алгасах хэрэгтэй. Үгүй бол хоёр дахь мөр, эхний баганад хуваагчийг бичнэ.
  - Жишээлбэл, 9 ба 15 нь 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь мөр, эхний баганад 3 гэж бичнэ.
5. Хэсэг бүрийг хоёр дахь хуваагчаар нь хуваа.Хуваалтын үр дүн бүрийг харгалзах хуваалтын доор бичнэ үү.
  - Жишээлбэл, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), тиймээс 9-ээс доош 3 гэж бичнэ.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), тиймээс 15-аас доош 5 гэж бичнэ.
6. Шаардлагатай бол сүлжээнд нэмэлт нүд нэмнэ.Хэмжилтүүд нийтлэг хуваагчтай болтол тайлбарласан алхмуудыг давтана.
7. Сүлжээний эхний багана ба сүүлчийн эгнээнд байгаа тоонуудыг дугуйл.Дараа нь сонгосон тоонуудыг үржүүлэх үйлдэл болгон бич.
  - Жишээлбэл, эхний баганад 2 ба 3 тоонууд, сүүлчийн мөрөнд 3 ба 5 тоонууд байгаа тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2\ дахин 3 \ дахин 3 \ дахин 5).
8. Тоонуудыг үржүүлсний үр дүнг ол.Энэ нь өгөгдсөн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох болно.
  - Жишээлбэл, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ дахин 3 \ дахин 3 \ дахин 5 = 90). Тэгэхээр 18 ба 30-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 90 байна.
Евклидийн алгоритм
1. Хуваах үйл ажиллагаатай холбоотой нэр томъёог санаарай.Ногдол ашиг нь хуваагдаж байгаа тоо юм. Хуваагч нь хуваагдаж буй тоо юм. Хоёр тоог хуваах үр дүн нь хуваалт юм. Үлдэгдэл гэдэг нь хоёр тоог хуваахад үлдсэн тоо юм.
  - Жишээлбэл, илэрхийлэлд 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 бол ногдол ашиг
    6 нь хуваагч юм
    2 нь коэффициент юм
    3 нь үлдсэн.

Тодорхойлолт. a ба b тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдаж болох хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)эдгээр тоонууд.

24 ба 35 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олцгооё.
24-ийн хуваагч нь 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35-ын хуваагч нь 1, 5, 7, 35 гэсэн тоонууд юм.
24 ба 35 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай болохыг бид харж байна - 1 тоо. Ийм тоонуудыг нэрлэдэг. харилцан ашигтай.

Тодорхойлолт.Натурал тоонуудыг дууддаг харилцан ашигтай, хэрэв тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD) нь 1 бол.

Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)өгөгдсөн тооны бүх хуваагчийг бичихгүйгээр олж болно.

48 ба 36 тоонуудыг үржүүлээд:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсээс бид хоёр дахь тооны өргөтгөлд ороогүй зүйлсийг (жишээ нь, хоёр хоёр) хасдаг.
Үлдсэн хүчин зүйлүүд нь 2 * 2 * 3. Тэдний үржвэр нь 12. Энэ тоо нь 48 ба 36 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч юм. Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч мөн олддог.

Олох хамгийн том нийтлэг хуваагч

2) эдгээр тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд багтсан хүчин зүйлсээс бусад тоонуудын өргөтгөлд ороогүй зүйлийг хасах;
3) үлдсэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.

Өгөгдсөн бүх тоо аль нэгэнд нь хуваагддаг бол энэ тоо байна хамгийн том нийтлэг хуваагчөгсөн тоо.
Жишээлбэл, 15, 45, 75, 180 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 15 тоо юм, учир нь бусад бүх тоонууд 45, 75, 180-д хуваагддаг.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)

Тодорхойлолт. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) a ба b натурал тоонууд нь а ба b хоёрын үржвэр болох хамгийн бага натурал тоо юм. 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) эдгээр тоонуудын үржвэрийг дараалан бичихгүйгээр олж болно. Үүнийг хийхийн тулд 75 ба 60-ыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье: 75 = 3 * 5 * 5, 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсийг бичээд, хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2 ба 2 хүчин зүйлийг нэмж оруулъя (өөрөөр хэлбэл бид хүчин зүйлсийг нэгтгэдэг).
Бид таван хүчин зүйл авдаг 2 * 2 * 3 * 5 * 5, үржвэр нь 300. Энэ тоо нь 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Тэд мөн гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олдог.

руу хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олхэд хэдэн натурал тоо, танд хэрэгтэй:
1) тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон тооцох;
2) тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд орсон хүчин зүйлсийг бичих;
3) үлдсэн тоонуудын өргөтгөлөөс дутуу хүчин зүйлсийг нэмж оруулах;
4) үүссэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.

Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь бусад бүх тоонд хуваагддаг бол энэ тоо нь эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно гэдгийг анхаарна уу.
Жишээлбэл, 12, 15, 20, 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 60 байна, учир нь эдгээр тоонууд бүгд хуваагддаг.

Пифагор (МЭӨ VI зуун) болон түүний шавь нар тоон хуваагдах тухай асуудлыг судалжээ. Тэд бүх хуваагчийн нийлбэртэй тэнцэх тоог (тоо өөрөө байхгүй) төгс тоо гэж нэрлэсэн. Жишээлбэл, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) тоонууд төгс байна. Дараагийн төгс тоо нь 496, 8128, 33,550,336 юм. Пифагорчууд эхний гурван төгс тоог л мэддэг байсан. Дөрөв дэх - 8128 - 1-р зуунд мэдэгдэв. n. д. Тав дахь нь - 33,550,336 - 15-р зуунд олдсон. 1983 он гэхэд 27 төгс тоо аль хэдийн мэдэгдэж байсан. Гэвч эрдэмтэд сондгой төгс тоо байдаг уу, эсвэл хамгийн том төгс тоо байдаг уу гэдгийг мэдэхгүй хэвээр байна.
Эртний математикчдийн анхны тоонуудын сонирхол нь аливаа тоо нь анхны тоо юм уу анхны тоонуудын үржвэрээр дүрслэгдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл анхны тоонууд нь бусад натурал тоонууд баригдсан тоосго шиг байдагтай холбоотой юм.
Натурал тоонуудын цуврал дахь анхны тоонууд жигд бус тохиолддогийг та анзаарсан байх - цувралын зарим хэсэгт тэдгээр нь илүү олон, заримд нь бага байдаг. Гэхдээ бид тоон цувааны дагуу урагшлах тусам нийтлэг анхны тоонууд бага байх болно. Асуулт гарч ирнэ: сүүлчийн (хамгийн том) анхны тоо байдаг уу? Эртний Грекийн математикч Евклид (МЭӨ 3-р зуун) хоёр мянган жилийн турш математикийн үндсэн сурах бичиг болсон "Элементүүд" номондоо хязгааргүй олон анхны тоо байдгийг, өөрөөр хэлбэл анхны тоо бүрийн ард бүр ч том анхны тоо байдгийг нотолсон байдаг. тоо.
Анхны тоог олохын тулд тухайн үеийн Грекийн өөр нэг математикч Эратосфен энэ аргыг гаргажээ. Тэрээр 1-ээс зарим тоо хүртэлх бүх тоог бичээд дараа нь анхны ч биш, нийлмэл тоо ч биш нэгийг нь зураад, 2-оос хойш ирж буй бүх тоог (2-ын үржвэр, өөрөөр хэлбэл 4) нэгээр таслав. 6, 8 гэх мэт). 2-ын дараа үлдсэн эхний тоо нь 3 байсан. Дараа нь хоёрын дараа 3-аас хойш ирэх бүх тоог (3-ын үржвэр, жишээлбэл 6, 9, 12 гэх мэт) зурсан. эцэст нь зөвхөн анхны тоонууд л үлдэв.

Натурал тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCD) ба хамгийн их нийтлэг хуваагчийг (GCD) олох.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд орсон хүчин зүйлсийг бичээд хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 5-ыг нэмье. Бид авна: 2*2*3*5*5=300. Бид ҮОХ-г олсон, өөрөөр хэлбэл. Энэ хэмжээ = 300. Хэмжээг мартаж, хариултаа бичнэ үү:
Хариулт: Ээж нь 300 рубль өгдөг.

GCD тодорхойлолт:Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)натурал тоонууд АТэгээд Вхамгийн том натурал тоог дуудах в, аль нь а, Мөн бүлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Тэдгээр. внь хамгийн бага натурал тоо бөгөөд АТэгээд бүржвэр юм.

Санамж:Натурал тоог тодорхойлох хоёр арга байдаг

ашигласан тоонууд: объектуудыг жагсаах (дугаарлах) (эхний, хоёр дахь, гурав дахь, ...); - сургуулиудад ихэвчлэн ийм байдаг.
зүйлийн тоог тодорхойлох (Покемон байхгүй - тэг, нэг Покемон, хоёр Покемон, ...).

Сөрөг ба бүхэл бус (рациональ, бодит, ...) тоонууд нь натурал тоо биш юм. Зарим зохиогчид натурал тоонуудын багцад тэгийг оруулдаг бол зарим нь оруулдаггүй. Бүх натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг Н

Санамж:Натурал тооны хуваагч адугаарыг нэрлэ б,аль руу аүлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Натурал тооны үржвэрүүд бнатурал дугаар руу залгах а-д хуваагддаг бул мөргүй. Хэрэв тоо б- тоо хуваагч а, Тэр атооны олон б. Жишээ нь: 2 нь 4-ийн хуваагч, 4 нь хоёрын үржвэр юм. 3 нь 12-ын хуваагч, 12 нь 3-ын үржвэр юм.
Санамж:Натурал тоонууд зөвхөн өөртөө болон 1-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг бол анхны тоо гэж нэрлэдэг. Хамтарсан анхны тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагч нь 1-тэй тэнцүү байхыг хэлнэ.

Ерөнхий тохиолдолд GCD-ийг хэрхэн олохыг тодорхойлох: GCD (хамгийн их нийтлэг хуваагч) -ийг олохын тулдхэд хэдэн натурал тоо хэрэгтэй:
1) Тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйлүүдэд хуваа. (Эхний тоонуудын хүснэгт үүнд маш хэрэгтэй байж болно.)
2) Аль нэгийг нь тэлэхэд орсон хүчин зүйлсийг бич.
3) Үлдсэн тоонуудын өргөтгөлд ороогүй хүмүүсийг хайчилж ав.
4) 3-р алхамд олж авсан хүчин зүйлсийг үржүүлнэ).

Асуудал 2 (NOK):Шинэ жилээр Коля Пузатов хотод 48 шишүүхэй, 36 кофены сав худалдаж авсан. Фекла Дормидонтова ангийнхаа хамгийн шударга охины хувьд энэ өмчийг багш нарт өгөх хамгийн олон тооны бэлгийн багц болгон хуваахыг үүрэг болгов. Та хэдэн багц авсан бэ? Багцуудын агуулга юу вэ?

Жишээ 2.1. GCD олох асуудлыг шийдвэрлэх. Сонголтоор GCD олох.
Шийдэл: 48 ба 36-ын тоо бүр бэлэгний тоонд хуваагдах ёстой.
1) 48 хуваагчийг бич: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) 36-ийн хуваагчдыг бич: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг сонго. Өө-ла-ла! Бид багцын тоо 12 ширхэг болохыг олж мэдсэн.
3) 48-ыг 12-т хуваавал 4, 36-г 12-т хуваагаад 3 гарна. Хэмжээг бүү март, хариултаа бич.
Хариулт: Та багц бүрт 12 багц 4 шишүүхэй, 3 кофены сав авна.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Тодорхойлолт 2

Хэрэв а натурал тоо нь $b$ натурал тоонд хуваагддаг бол $b$-г $a$-ын хуваагч, $a$-г $b$-ын үржвэр гэнэ.

$a$ ба $b$ натурал тоо байг. $c$ тоог $a$ ба $b$ хоёрын нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эдгээр хуваагчдын аль нь ч $a$-аас их байж болохгүй тул $a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагчдын олонлог хязгаарлагдмал байна. Энэ нь эдгээр хуваагчдын дунд хамгийн том нь байгаа гэсэн үг бөгөөд үүнийг $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах тэмдэглэгээгээр тэмдэглэнэ.

$GCD\(a;b)\ эсвэл \D\(a;b)$

Хоёр тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

Жишээ 1

$121$ ба $132.$ тоонуудын gcd-г ол

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоог сонгоно уу

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$GCD=2\cdot 11=22$

Жишээ 2

$63$ ба $81$ мономиалуудын gcd-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний тулд:

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон авч үзье

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Бид эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг олцгооё. Үр дүн нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$GCD=3\cdot 3=9$

Та хоёр тооны gcd-г тоо хуваагчийн багцыг ашиглан өөр аргаар олох боломжтой.

Жишээ 3

$48$ ба $60$ тоонуудын gcd-г ол.

Шийдэл:

$48$ тооны хуваагчийн олонлогийг олцгооё: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Одоо $60$ тооны хуваагчийн олонлогийг олцгооё:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ доллар

Эдгээр олонлогуудын огтлолцлыг олцгооё: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - энэ олонлог нь $48$ ба $60 тоонуудын нийтлэг хуваагчдыг тодорхойлно. доллар. Энэ багцын хамгийн том элемент нь $12$ байх болно. Энэ нь $48$ ба $60$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь $12$ гэсэн үг юм.

Чанаргүй зээлийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 3

Натурал тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд$a$ ба $b$ нь $a$ ба $b$ хоёрын үржвэр болох натурал тоо юм.

Тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд нь анхны тоонуудад үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонууд юм. Жишээлбэл, $25$ ба $50$ тоонуудын хувьд нийтлэг үржвэр нь $50,100,150,200$ гэх мэт тоонууд байх болно.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хамгийн бага нийтлэг үр гэж нэрлэх ба LCM$(a;b)$ эсвэл K$(a;b)$ гэж тэмдэглэнэ.

Хоёр тооны LCM-ийг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Хүчин зүйлийн тоог анхны хүчин зүйл болгох
Эхний тооны нэг хэсэг болох хүчин зүйлсийг бичээд, хоёр дахь тоонд багтахгүй, эхний тоонд хамаарахгүй хүчин зүйлсийг нэмж бич.

Жишээ 4

$99$ ба $77$ тоонуудын LCM-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний төлөө

Хүчин зүйлийн тоог анхны хүчин зүйл болгох

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Эхний хэсэгт орсон хүчин зүйлсийг бич

Тэдэнд эхнийх биш хоёрдахь хэсэг болох үржүүлэгчийг нэмнэ

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд нь хүссэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Тоон хуваагчдын жагсаалтыг гаргах нь ихэвчлэн маш их хөдөлмөр шаарддаг ажил юм. Евклидийн алгоритм гэж нэрлэгддэг GCD-ийг олох арга бий.

Евклидийн алгоритм дээр үндэслэсэн мэдэгдлүүд:

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоо бөгөөд $a\vdots b$ бол $D(a;b)=b$

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоонууд бол $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-г ашигласнаар бид аль нэг нь нөгөөдөө хуваагдах хос тоонд хүрэх хүртэл авч үзэж буй тоонуудыг дараалан багасгаж болно. Дараа нь эдгээр тоонуудаас бага нь $a$ ба $b$ тоонуудын хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч байх болно.

GCD болон LCM-ийн шинж чанарууд

$a$ ба $b$-ын аливаа нийтлэг үржвэр нь K$(a;b)$-д хуваагдана
Хэрэв $a\vdots b$ бол К$(a;b)=a$

Хэрэв K$(a;b)=k$ ба $m$ натурал тоо бол K$(am;bm)=km$

Хэрэв $d$ нь $a$ ба $b$-ийн нийтлэг хуваагч бол K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Хэрэв $a\vdots c$ болон $b\vdots c$ бол $\frac(ab)(c)$ нь $a$ ба $b$-ын нийтлэг үржвэр болно.

$a$ ба $b$ ямар ч натурал тоонуудын хувьд тэнцүү байна

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагч нь $D(a;b)$ тооны хуваагч юм.

Гэхдээ олон натурал тоонууд бусад натурал тоонд хуваагддаг.

Жишээлбэл:

12-ын тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т хуваагдана;

36 тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т, 18-д, 36-д хуваагдана.

Тоо нь бүхэлд хуваагддаг тоонуудыг (12-ын хувьд эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 6, 12) гэж нэрлэдэг. тоо хуваагч. Натурал тооны хуваагч а- өгөгдсөн тоог хуваах натурал тоо юм аул мөргүй. Хоёроос илүү хуваагчтай натурал тоог дуудна нийлмэл .

12 ба 36 тоо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр тоонууд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Эдгээр тоонуудын хамгийн том хуваагч нь 12. Энэ хоёр тооны нийтлэг хуваагч нь аТэгээд б- энэ нь өгөгдсөн тоог хоёуланг нь үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо юм аТэгээд б.

Нийтлэг үржвэрүүдхэд хэдэн тоо нь эдгээр тоо бүрт хуваагддаг тоо юм. Жишээлбэл, 9, 18, 45 тоонууд нь 180-ын нийтлэг үржвэртэй. Гэхдээ 90 ба 360 нь бас тэдний нийтлэг үржвэр юм. Бүх нийтлэг үржвэрүүдийн дунд үргэлж хамгийн бага нь байдаг бөгөөд энэ тохиолдолд 90 байна. Энэ тоог дууддаг хамгийн жижигнийтлэг олон (CMM).

LCM нь үргэлж натурал тоо бөгөөд түүний тодорхойлсон тоонуудын хамгийн томоос их байх ёстой.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM). Үл хөдлөх хөрөнгө.

Солих чадвар:

Нийгэмлэг:

Ялангуяа, хэрэв ба анхны тоонууд бол:

Хоёр бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр мТэгээд nнь бусад бүх нийтлэг үржвэрийн хуваагч юм мТэгээд n. Түүнээс гадна нийтлэг үржвэрийн олонлог м, н LCM-ийн үржвэрийн олонлогтой давхцаж байна( м, н).

Асимптотикийг зарим тооны онолын функцээр илэрхийлж болно.

Тэгэхээр, Чебышев функц. Мөн:

Энэ нь Ландау функцийн тодорхойлолт, шинж чанараас үүдэлтэй g(n).

Анхны тооны тархалтын хуулиас юу гарах вэ.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох.

NOC( а, б) хэд хэдэн аргаар тооцоолж болно:

1. Хэрэв хамгийн том нийтлэг хуваагч нь мэдэгдэж байгаа бол та түүний LCM-тэй холболтыг ашиглаж болно:

2. Хоёр тооны анхдагч хүчин зүйлүүдийн каноник задралыг мэдэгдье.

Хаана p 1 ,...,p k- янз бүрийн анхны тоо, ба d 1 ,...,d kТэгээд e 1 ,...,e k— сөрөг бус бүхэл тоо (харгалзах анхны тоо өргөтгөлд байхгүй бол тэг байж болно).

Дараа нь ҮОХ ( а,б)-ийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Өөрөөр хэлбэл, LCM задрал нь тоонуудын хамгийн багадаа нэг задралд багтсан бүх анхны хүчин зүйлийг агуулна. а, б, мөн энэ үржүүлэгчийн хоёр илтгэгчийн хамгийн томыг нь авна.

Жишээ:

Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолохдоо хоёр тооны LCM-ийн хэд хэдэн дараалсан тооцоолол болгон бууруулж болно.

Дүрэм.Цуврал тоонуудын LCM-ийг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

- тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах;

- хамгийн том задралыг (өгөгдсөн хамгийн олон тооны хүчин зүйлийн үржвэр) хүссэн бүтээгдэхүүний хүчин зүйл рүү шилжүүлж, дараа нь эхний тоонд харагдахгүй эсвэл дотор нь гарч ирэх бусад тоонуудын задралаас хүчин зүйлсийг нэмнэ. цөөн удаа;

- анхны хүчин зүйлсийн үржвэр нь өгөгдсөн тооны LCM болно.

Аль ч хоёр ба түүнээс дээш натурал тоо нь өөрийн LCM-тэй байдаг. Хэрэв тоонууд нь бие биенийхээ үржвэр биш эсвэл тэлэлтийн үед ижил хүчин зүйл байхгүй бол тэдгээрийн LCM нь эдгээр тоонуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

28 (2, 2, 7) тооны анхдагч хүчин зүйлсийг 3-ын хүчин зүйлээр (21 тоо) нэмсэн бөгөөд үр дүн нь (84) нь 21 ба 28-д хуваагдах хамгийн бага тоо байх болно.

Хамгийн их тооны 30-ын анхны үржвэрүүд нь 25-ын тооны 5-р хүчин зүйлээр нэмэгддэг бөгөөд үр дүнд нь гарсан 150 үржвэр нь хамгийн их тоо 30-аас их бөгөөд өгөгдсөн бүх тоонд үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Энэ бол өгөгдсөн бүх тоонуудын үржвэр болох хамгийн бага үржвэр (150, 250, 300...) юм.