Том алгебрийн илэрхийллүүдийг үнэлэх үйл явцыг хурдасгахын тулд арифметик, ялангуяа алгебрт үржүүлэх товчилсон томъёо эсвэл дүрмийг ашигладаг. Томъёо нь өөрөө хэд хэдэн олон гишүүнтийг үржүүлэх алгебрийн дүрмээс гаралтай.
Эдгээр томъёог ашиглах нь янз бүрийн математикийн асуудлыг нэлээд хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд илэрхийлэлийг хялбарчлахад тусалдаг. Алгебрийн хувиргалтын дүрмүүд нь илэрхийлэлтэй зарим заль мэхийг хийх боломжийг олгодог бөгөөд үүний дараа та тэгш байдлын зүүн талд баруун талд байгаа илэрхийлэлийг олж авах эсвэл тэгш байдлын баруун талыг хувиргах боломжтой (зүүн талд байгаа илэрхийллийг олж авах боломжтой). тэнцүү тэмдгийн дараа).
Бодлого, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг тул товчилсон үржүүлэхэд ашигладаг томьёог санах ойноос мэдэх нь тохиромжтой. Энэ жагсаалтад орсон үндсэн томьёо болон тэдгээрийн нэрсийг доор харуулав.
Нийлбэрийн квадрат
Нийлбэрийн квадратыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний квадрат, эхний гишүүний хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь ба хоёр дахь гишүүний квадратаас бүрдэх нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрмийг дараах байдлаар бичнэ: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Дөрвөлжин зөрүү
Зөрүүний квадратыг тооцоолохын тулд эхний тооны квадрат, эхний тооны үржвэрээс хоёр дахин, хоёр дахь (эсрэг тэмдгээр авсан) хоёр дахь тооны квадратаас бүрдэх нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай байна: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Квадратуудын ялгаа
Хоёр тооны квадратын зөрүүний томъёо нь эдгээр тоонуудын нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Нийлбэрийн шоо
Хоёр гишүүний нийлбэрийн кубыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний шоо, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний квадратын үржвэрийг гурав дахин, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. квадрат, хоёр дахь гишүүний шоо. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Кубуудын нийлбэр
Томъёоны дагуу энэ нь эдгээр нөхцлүүдийн нийлбэр ба тэдгээрийн бүрэн бус квадратын зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай байна: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Жишээ.Хоёр шоо нэмснээр үүссэн зургийн эзлэхүүнийг тооцоолох шаардлагатай. Зөвхөн тэдгээрийн хажуугийн хэмжээ л мэдэгддэг.
Хэрэв хажуугийн утгууд бага байвал тооцоолол нь энгийн.
Хэрэв талуудын уртыг төвөгтэй тоогоор илэрхийлсэн бол энэ тохиолдолд "Шоо нийлбэр" томъёог ашиглах нь илүү хялбар бөгөөд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно.
Ялгаатай шоо
Кубын зөрүүний илэрхийлэл нь иймэрхүү сонсогдож байна: эхний гишүүний гуравдахь түвшний нийлбэрээр эхний гишүүний квадратын сөрөг үржвэрийг хоёр дахь гишүүнээр гурав дахин, эхний гишүүний үржвэрийг хоёр дахь гишүүний квадратаар гурав дахин нэмэгдүүлнэ. ба хоёр дахь гишүүний сөрөг шоо. Математик илэрхийллийн хэлбэрээр зөрүүгийн куб нь дараах байдалтай байна: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Кубуудын ялгаа
Кубуудын томьёоны зөрүү нь кубуудын нийлбэрээс зөвхөн нэг тэмдгээр ялгаатай байна. Тиймээс кубуудын зөрүү нь эдгээр тоонуудын зөрүү ба нийлбэрийн бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү томьёо юм. Математик илэрхийллийн хэлбэрээр кубуудын ялгаа дараах байдалтай байна: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Жишээ.Цэнхэр шооны эзэлхүүнээс мөн шоо болох шар эзэлхүүнийг хассаны дараа үлдэх зургийн эзлэхүүнийг тооцоолох шаардлагатай. Жижиг, том шоогийн зөвхөн хажуугийн хэмжээ л мэдэгддэг.
Хэрэв хажуугийн утгууд бага бол тооцоолол нь маш энгийн. Хэрэв талуудын уртыг мэдэгдэхүйц тоогоор илэрхийлсэн бол "Шоо дөрвөлжингийн ялгаа" (эсвэл "Ялгаатай шоо") гэсэн томъёог ашиглах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно.
V ботьшоо (гексаэдр) талтай агурав дахь зэрэглэлд өргөгдсөн энэ талын хэмжээтэй тэнцүү: V = a3. Кубын эзэлхүүнийг квадратын талбайг үржүүлэх замаар олно а2түүний сууринд шоо өндөр хүртэл хэвтэж байна а.
Кубын эзлэхүүнийг тооцоолох видео заавар(2:29-ийн тэмдэгээс).
Кубын эзэлхүүнийг түүний талын гуравдахь зэрэглэлээр тооцдог тул түүнийг гурав дахь зэрэгт хүргэхийг гэнэ. шоо, мөн олж авсан үр дүн нь анхны утгын шоо юм.
Шооны эзэлхүүнийг түүний гол диагональын хэмжээгээр илэрхийлж болно Дба дианоналууд гтүүний дөрвөлжин нүүр:
V = a3 = d3/2·√(2) = d3/3·√(3).
Гадаргуугийн талбай Схажуу талтай шоо атүүний зургаан дөрвөлжин нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тус бүр нь тэнцүү байна а2. Тиймээс кубын талбай S = 6a2.
Хавирганы нийт уртКуба L=12a, шоо нь 12 ирмэгтэй тул урт тус бүр нь а.
Гурав дахь зэрэглэлийн кинематик хос гэж юу вэ
Механизм гэдэг нь нэг буюу хэд хэдэн биеийн хөдөлгөөнийг бусад биеийн шаардлагатай хөдөлгөөн болгон хувиргах зорилготой зохиомлоор бий болсон биетүүдийн систем юм. Механизмын холбоос гэдэг нь механизмыг бүрдүүлдэг бие бүр бөгөөд ихэвчлэн бие биетэйгээ хөдөлгөөнгүй холбосон хэсгүүдийн цогцолбороос бүрддэг. Механизмын холбоосууд нь: хатуу; уян хатан (
Төв Рада гурав дахь бүх нийтийнх гэдгээ тунхаглахад
Төв Рада, Украины Төв Рада (Украины Төв Рада, "Төв зөвлөл") нь 1917 оны 3-р сарын 4 (17) -ийн 2-р сарын хувьсгалын дараа, Түншлэлийн санаачилгаар байгуулагдсан Украины засгийн газрын янз бүрийн эрх бүхий байгууллагуудын нэг юм. Украины дэвшилтэт намын (дараа нь - Украины социалист нам
Илитийн шүтлэг гэж юу вэ
Илития (мөн Eilithyia/Ilithyia, эртний Грек, Микений e-re-u-ti-ja, Elythia) - эртний домог зүйд төрөх үйлчлэгч дарь эх нь ихэвчлэн аврах хүч мэт харагддаг боловч заримдаа хүүхэд төрүүлэх үед дайсагнагч хүч болдог. Түүний тусламжгүйгээр хүүхэд төрүүлэх боломжгүй. Заримдаа Ilithyia нь Хера эсвэл Артемисийн энгийн шинж чанар, заримдаа бие даасан шинж чанартай байдаг
iPod-ийг хэн зохион бүтээсэн бэ
iPod бол 2001 оны 10-р сарын 23-нд анх худалдаанд гарсан Америкийн Apple компанийн зөөврийн MP3 тоглуулагч юм. Apple iPod-ийн санааг General Magic, Philips зэрэг компаниудад зөөврийн төхөөрөмж боловсруулахад тусалсан Тони Фаделл төрсөн. Анх удаа Ipo
Сочигийн олимпод Оросын шорт-трекийн багийн бүрэлдэхүүн ямар байна вэ?
Өвлийн олимпийн XXII наадам 2014 оны хоёрдугаар сарын 6-23-ны хооронд Сочи хотноо болно. Үүнд 95 орны тамирчид оролцох юм. Сочигийн олимпийн наадмын хуваарь, үр дүнг эндээс үзэх боломжтой. Сочигийн олимпийн нээлтийн ёслолд Оросын далбааг бобследчин Александр Зубков барина. Бүх спортын төрөлд Сочи хотод болох Оросын олимпийн багийн бүрэлдэхүүн
Од хүртэлх зайг анх хэзээ хэмжсэн бэ?
1837 онд Вега од хүртэлх зайг анх хэмжсэн хүн бол Оросын одон орон судлаач Василий Яковлевич Струве (тухайн үед Дорпатын ажиглалтын төвийн захирал, дараа нь Пулковогийн ажиглалтын газрын захирал) байв. Тэрээр Вега одны параллакс нь 0.12 нуман секунд буюу 8.3 парсек (=27 гэрлийн жил) зайтай тохирч байгааг тогтоожээ. Дараа жил нь Фридрих Вилг
Афанаси гэдэг нэр ямар утгатай вэ?
Анхаар: Доор үзүүлсэн мэдээлэл нь шинжлэх ухааны үндэслэлгүй юм. Афанасиус Утга: "Үхэшгүй мөнх" Гарал үүсэл: Грек нэр. Украйны нэрний хэлбэр нь Опанас, Беларусийн хэлбэр нь Апанас юм. Дүр*: Энэ бол төрөлхийн судлаач. Зальтай энгийн байдлын илэрхийлэлтэйгээр тэрээр алхаж чадахгүй байгаа тул бүх шүүгээг эргүүлнэ
Гүзээлзгэнэтэй орыг хэрхэн яаж хийх вэ
Гүзээлзгэнэ нь цангааг тайлж, хоолны дуршилыг нэмэгдүүлж, хоол боловсруулалтыг сайжруулдаг хоолны бүтээгдэхүүн юм. Шинэ жимсийг цусны даралт ихсэх, атеросклероз, ходоод, арван хоёр нугасны шархлаа, өтгөн хатах, давсны солилцоо муутай хүмүүст хэрэглэдэг. Гүзээлзгэнэ нь элсэн чихэр, каротин, нимбэгийн болон алимны хүчил, төмрийн давс, фосфор,
Tkemali соусыг хэрхэн бэлтгэх вэ
Tkemali сумс нь загас, мах, шувууны мах, төмс, гоймонгийн хачирт ихэвчлэн хэрэглэгддэг Гүржийн чавганы сүмс юм. Sauce-ийн гол найрлага нь tkemali чавга, сармис, ургамал; Хоол хийхдээ омбало амтлагчийг үргэлж хэрэглэдэг - түүнгүйгээр сонгодог ткемали хийх боломжгүй. Tkemali чавга тариалж байна
Хиамны калорийн агууламж хэд вэ?
Хоолны калорийн агууламж, калорийн агууламжийн хүснэгт. Хүний эрчим хүчний хэрэгцээг килокалориор (ккал) хэмждэг. "Калори" гэдэг үг нь Латин хэлнээс гаралтай бөгөөд "дулаан" гэсэн утгатай. Физикийн хувьд калори нь энергийг хэмждэг. Нэг килокалори бол эрчим хүчний хэмжээ юм
Целлюлитийг хэрхэн яаж дарах вэ
Целлюлит нь эмэгтэйчүүдийн 80 гаруй хувьд тохиолддог ба эрчүүдэд ховор тохиолдолд л тохиолддог. Өвчин нь ямар ч насны үед тохиолдож болно. Гэсэн хэдий ч целлюлит нь ихэвчлэн бэлгийн харьцаанд орох үед үүсдэг. Энэ нь хөгшрөлтөөс шууд хамааралгүй гэдэг нь батлагдсан. Үнэрт эмчилгээ нь целлюлиттэй тэмцэх үр дүнтэй арга юм. Целлюлитийн эсрэг банн бэлтгэх
3-ын 1-р арга: Шоо шооны ирмэгийг шоо
- Кубын нэг ирмэгийн уртыг ол. Дүрмээр бол шоо ирмэгийн уртыг асуудлын тайлбарт өгсөн болно. Хэрэв чи
бодит куб объектын эзэлхүүнийг тооцоолж, түүний ирмэгийг захирагч эсвэл соронзон хэмжүүрээр хэмжинэ.
Ингээд авч үзье жишээ. Шоогийн ирмэг нь 5 см. Шооны эзэлхүүнийг ол.
Кубын ирмэгийн уртыг шоо. Өөрөөр хэлбэл, шоогийн ирмэгийн уртыг өөрөө гурав дахин үржүүлнэ.
Хэрэв снь кубын ирмэгийн урт, тэгвэл
Ингэснээр та тооцоолох болно кубын эзэлхүүн.
Энэ процесс нь кубын суурийн талбайг олох үйл явцтай төстэй (урт хугацааны үржвэртэй тэнцүү)
суурийн талбайн өргөн) ба дараа нь суурийн талбайг кубын өндрөөр үржүүлнэ (өөрөөр хэлбэл,
өөрөөр хэлбэл, та уртыг өргөнөөр өндрөөр үржүүлнэ). Шоо дөрвөлжин дэх ирмэгийн урт нь өргөнтэй тэнцүү ба
өндөртэй тэнцүү бол энэ процессыг кубын ирмэгийг гуравдахь хүч хүртэл өсгөх замаар сольж болно.
Бидний жишээн дээр кубын эзэлхүүнтэнцүү:
- Хариултдаа эзлэхүүний нэгжийг нэмнэ үү. Эзлэхүүн нь тоон үзүүлэлт учраас
биеийн эзэлдэг орон зайн шинж чанар, дараа нь эзэлхүүний хэмжилтийн нэгж нь куб байна
нэгж (куб см, шоо метр гэх мэт).
Бидний жишээн дээр кубын ирмэгийн хэмжээг сантиметрээр өгсөн тул эзэлхүүнийг кубаар хэмжих болно.
сантиметр (эсвэл см 3). Тэгэхээр шоо 125 см3 хэмжээтэй байна.
Хэрэв шоо дөрвөлжин ирмэгийн хэмжээг бусад нэгжээр өгсөн бол кубын эзэлхүүнийг харгалзах хэмжигдэхүүнээр хэмжинэ.
куб нэгж.
Жишээлбэл, хэрэв кубын ирмэг нь 5 м (5 см биш) бол түүний эзэлхүүн нь 125 м 3 байна.
3-ын 2-р арга: Гадаргуугийн талбайгаас эзлэхүүнийг тооцоолох
- Зарим асуудалд шооны ирмэгийн уртыг заагаагүй боловч бусад хэмжигдэхүүнийг таны тусламжтайгаар өгдөг.
та кубын ирмэг ба түүний эзэлхүүнийг олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв танд кубын гадаргуугийн талбайг өгвөл хуваах хэрэгтэй
6-аар, үр дүнгийн утгаас квадрат язгуурыг авч, та шоо ирмэгийн уртыг олох болно. Дараа нь
Кубын ирмэгийн уртыг гурав дахь зэрэгт хүргэж, шоогийн эзэлхүүнийг тооцоол.
Кубын гадаргуугийн талбайтэнцүү 6с 2,
Хаана с - шоо ирмэгийн урт(өөрөөр хэлбэл та шоогийн нэг нүүрний талбайг олоод 6-аар үржүүлнэ.
шоо шиг 6 тэнцүү талтай).
Ингээд авч үзье жишээ.Кубын гадаргуу нь 50 см2 байна. Кубын эзэлхүүнийг ол.
- Кубын гадаргууг 6-д хуваа (шоо 6 тэнцүү талтай тул та талбайг авна.
кубын нэг нүүр). Хариуд нь кубын нэг нүүрний талбай нь тэнцүү байна с 2, Хаана с- кубын ирмэгийн урт.
Бидний жишээнд: 50/6 = 8.33 см 2 (талбайг квадрат нэгжээр хэмждэг гэдгийг санаарай - см 2,
м 2 гэх мэт).
- Учир нь шоо дөрвөлжингийн нэг нүүрний талбай нь с 2, дараа нь талбайн утгын квадрат язгуурыг авна
нэг нүүр, шоо ирмэгийн уртыг авна.
Бидний жишээнд √8.33 = 2.89 см.
- Шоогийн эзэлхүүнийг олохын тулд үүссэн утгыг шоо болго.
Бидний жишээнд: 2.89 * 2.89 * 2.89 = 2.893 = 24.14 см3. Хариултдаа куб нэмэхээ бүү мартаарай.
нэгж.
3-ын 3-р арга: Эзлэхүүнийг диагональаар тооцоолох
- Шооны ирмэгийн уртыг олохын тулд нэг шоогийн нүүрний диагональыг √2-т хуваа. Тиймээс,
Хэрэв асуудалд шоогийн нүүрний (аль нэг) диагональ өгөгдсөн бол шоогийн ирмэгийн уртыг хуваах замаар олж болно.
диагональ √2.
Ингээд авч үзье жишээ.Шоогийн нүүрний диагональ нь 7 см. Кубын эзэлхүүнийг ол. Энэ тохиолдолд шоо ирмэгийн урт
7/√2 = 4.96 см-тэй тэнцүү кубын хэмжээ 4.963 = 122.36 см 3.
Санаж байна уу: d2 = 2s2,
Хаана г- шоо нүүрний диагональ, s - шоо ирмэг. Энэ томъёо нь дараахаас гардаг Пифагорын теоремдагуу
тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат (манай тохиолдолд шоо нүүрний диагональ) аль тэнцүү вэ?
хөлний квадратуудын нийлбэр (бидний тохиолдолд ирмэг), өөрөөр хэлбэл:
d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2.
- Кубын диагональыг √3-т хуваагаад шоогийн ирмэгийн уртыг ол. Тиймээс, хэрэв асуудал байгаа бол
шоогийн диагональ өгөгдсөн бол та диагональыг √3-т хуваах замаар шооны ирмэгийн уртыг олох боломжтой.
Кубын диагональ- шоо дөрвөлжингийн төвтэй тэгш хэмтэй хоёр оройг холбосон сегмент.
D2 = 3s2
(Хаана Д- шоо диагональ, с- шоо ирмэг).
Энэ томьёо нь Пифагорын теоремоос гардаг бөгөөд үүний дагуу гипотенузын квадрат (бидний тохиолдолд)
тэгш өнцөгт гурвалжны шоо диагональ нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү (манай тохиолдолд нэг хөл нь
энэ нь ирмэг бөгөөд хоёр дахь хөл нь кубын нүүрний диагональ бөгөөд тэнцүү байна 2с 2), тэр бол
D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2.
Ингээд авч үзье жишээ. Кубын диагональ нь 10 м. Шоогийн эзэлхүүнийг ол.
D2 = 3s2
10 2 = 3с 2
100 = 3с 2
33.33 = с 2
5.77 м = с
Кубын хэмжээ 5.773 = 192.45 м3 байна.
Орчин үеийн технологи нь компьютерийн гайхалтай програмуудыг бүтээдэг. Эдгээр нь биеийг эзлэхүүнээр нь харж, илүү сайн харагдахын тулд өөр өөр чиглэлд эргүүлэх боломжийг олгодог. Хүний төсөөлөл үргэлж ийм чадвартай байдаггүй. Цөөхөн хүн объектыг тодорхой төсөөлж, түүнийг дундуур нь харж чаддаг. Гэхдээ та геометрийн асуудлыг шийдэхдээ ийм ур чадварыг хөгжүүлэхийг оролдож болно. Жишээлбэл, кубын эзэлхүүнийг хэрхэн олох талаар ярьдаг хүмүүс. Энэ бол орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх маш сайн дадлага юм.
Шоо эсвэл параллелепипед үү?
Энэ бол хоосон асуулт биш. Учир нь ангилал чухал. Эцсийн эцэст, шоо бол тэгш өнцөгт параллелепипедийн тусгай хэлбэр юм.
Сүүлийнх нь 6 нүүртэй, бүгд тэгш өнцөгт хэлбэртэй дүрс юм. Бүх ирмэгүүд огтлолцох өнцөг нь 90º байна. Үүний дагуу хэрэв эдгээр нүүрүүд дөрвөлжин хэлбэртэй байвал бүхэл бүтэн дүрс нь шоо болж хувирна.
Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд бүх шугаман хэмжээсүүд, өөрөөр хэлбэл өндөр, урт, өргөн нь эрс ялгаатай байж болно. Шоо дөрвөлжинд тэд үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг. Энэ бол түүний онцлог шинж чанар юм. Тиймээс кубын эзэлхүүнийг олох шаардлагатай асуудлуудад авч үзсэн мөчийг харгалзан үзэх нь гарцаагүй. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бүх математикийн тэмдэглэгээ, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг.
Томъёо, бодлого дахь конвенцууд
Энэ цэггүйгээр томъёонууд хэрхэн бичигдсэнийг ойлгоход хэцүү байх болно. Дараах хүснэгтэд үсэг, тэмдэг тус бүр нь юу гэсэн үг болохыг танд хэлэх болно.
Хажуу талд нь кубын элементүүдийг хэрхэн олох вэ?
Зургийн нүүр нь дөрвөлжин тул түүний талбайг №1 томъёогоор тодорхойлно, үүнд мэдэгдэж буй утгыг квадрат болгох шаардлагатай.
А ямар ч нүүрний диагональтал нь 2-ын язгуураар үржүүлсэн 2-р томьёог ашиглан тооцоолно.
Өмнөх томьёог Пифагорын теоремоос олж авсан. Хэрэв та нүүрний диагональ нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз болохыг харвал үүнийг ойлгоход хялбар болно. Мөн түүний хөл нь талбайн хажуу тал болно.
Тодорхойлох Танд мэдэгдэж буй тал ба 3-ын квадрат язгуурыг агуулсан №3 томъёо хэрэгтэй болно.
Энэ нь мөн Пифагорын теоремоос гаралтай. Зөвхөн хүссэн диагональ нь гипотенузын үүрэг гүйцэтгэдэг. Талбайн талууд ба түүний диагональ нь талууд болно.
Заримдаа тооцоолохын тулд та томъёог мэдэх хэрэгтэй хажуугийн гадаргуугийн талбайэнэ тоо. Үүнд хажуугийн квадратыг 4-өөр үржүүлнэ. Энд байна (No4):
Энэ томъёог хэрхэн олж авахыг ойлгоход хэцүү биш юм. 4 хажуугийн нүүр байдаг бөгөөд энэ нь тэдний нийт талбай нь нэг квадратын талбайгаас дөрөв дахин их байна гэсэн үг юм.
Хэрэв та тодорхойлох шаардлагатай бол нийт гадаргуугийн талбай, дараа нь ирмэгийн квадрат нь зургаан өнцөгт хэлбэртэй байх тэмдэглэгээг ашиглана уу (томьёо №5):
Энэ нь өмнөх томьёотой төстэй байдлаар олдсон бөгөөд зөвхөн квадратуудын тоо 6 болж нэмэгдсэн.
Эзлэхүүн гэж юу вэ?
Энгийнээр хэлбэл, энэ бол сансар огторгуйд ямар ч биеийг эзэлдэг газар юм. Аливаа объект орон зайд гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Тэдгээр нь хэд хэдэн байж болох ч ганцхан байх тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, хэрэв бие нь бөмбөг бол. Гэхдээ эдгээр гадаргуу нь заавал хаалттай байдаг. Геометрийн биеийн эзэлдэг орон зай нь түүний багтаамж буюу эзэлхүүн байх болно.
Эзлэхүүний нэгж
Хатуу бодисын тухай ярихад эзэлхүүний нэгж нь үргэлж куб хэмжигдэхүүн байх болно. Жишээлбэл, метр, сантиметр эсвэл километр куб. Шингэний хувьд литрийг ашигладаг бөгөөд үүнийг куб дециметрээр илэрхийлдэг. Гэхдээ хэрэв тэд маш их эзэлхүүн эзэлдэг бол тэдгээрийг куб метрээр хэмждэг. Жишээлбэл, орон сууцны усны хэрэглээг тооцоолохдоо м3-аар тооцдог. Энэ нь тоон утгаараа илүү тохиромжтой, хялбар болгодог.
Арга 1: Хэрэв тал нь мэдэгдэж байгаа бол кубын эзэлхүүнийг ол
Энэ бол кубын эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг танд хэлэх хамгийн энгийн арга юм. Энэ нь зүгээр л талын үнэ цэнийг гуравдагч зэрэгт хүргэхээс бүрдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, та талыг өөрөө гурав дахин үржүүлэх хэрэгтэй. Дурын тэгш өнцөгт параллелепипедтэй адилтгаж, түүний бүх шугаман хэмжээсийг үржүүлэх шаардлагатай үед. Томьёог дараах байдлаар бичнэ (№ 6):
Арга 2: бүх гадаргуугийн талбайг мэддэг
Энэ тохиолдолд та мэдэгдэж буй утгыг 6-д хуваах хэрэгтэй болно. Завсрын хариултын квадрат язгуурыг аваад тоог шоо дөрвөлжин болго. Хэрэв бид үүнийг томьёо болгон бичвэл бид дараахь зүйлийг авна (№ 7):
Арга 3: шоо нүүрний диагональ өгөгдсөн
Кубын эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолохыг мэдэхийн тулд энэ тохиолдолд та эдгээр алхмуудыг дагах хэрэгтэй. Эхлээд мэдэгдэж буй утгыг шоо болгож, дараа нь 2-ын квадрат язгуураар үржүүлж, 4-т хуваана. Энэ бодлогын томъёо (No8):
Энэ тэгшитгэлийг ийм аргаар олж авсан: мэдэгдэж буй диагональ нь хоёрын язгуурт хуваагдах ёстой. Дараа нь тоог гуравдахь зэрэглэлээр нэмэгдүүлнэ. Өөрчлөлтийг хийсний дараа диагоналын кубыг тоологч хэсэгт, харин хуваагч дээр 2√2 авна. Математик нь шугамын доор иррационал тоо байхгүй байхыг шаарддаг. Иймд √2-оор үржүүлснээр хасагдана. Дараа нь тоологч хэсэгт √2, хуваарьт 4 гарч ирнэ.
Арга 4: диагональ шоо
Шоогийн эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг зааж өгөх томьёо нь диагональыг квадрат болгох, 3-ын язгуурт үржүүлэх, нийлбэрийг 9-д хуваах дараах алхмуудыг агуулна. Үүнийг ингэж бичнэ (No9):
Өмнөх томьёотой адил энэ оруулгад диагональ нь эхлээд гурвын язгуурт хуваагдаж, куб хэлбэртэй байна. Өөрчлөлт хийсний дараа хуваарь дээр үндэслэлгүй байдал гарч ирдэг бөгөөд үүнээс зайлсхийх хэрэгтэй. Ийнхүү тоологч хэсэгт √3 утга гарч ирэх ба мөрний доор 9 гарч ирнэ.
Даалгаврын жишээ
Нэгдүгээр даалгавар. 12 см-ийн ирмэгтэй шоо өгөгдсөн бөгөөд түүний эзэлхүүнийг тооцоолж, хариултыг квадрат метрээр илэрхийлнэ.
Энэ даалгаварт хариултыг өөр нэгж рүү хөрвүүлэх нь кубын эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг шийдэхээс илүү хэцүү байх болно. Даалгаврын эхний хэсгийг гүйцэтгэхийн тулд 6 дугаарын доор бичсэн томьёо хэрэгтэй болно. 12 тоог куб болгосны дараа хариулт нь 1728 см 3 болно. Одоо бид тэдгээрийг куб метр болгон хэрхэн хөрвүүлэхээ санах хэрэгтэй. Энэ зорилгоор хариултыг 100-д гурван удаа хуваах ёстой. Зуу гэдэг нь нэг метрт яг зуун сантиметр байдгаас үүдэлтэй. Даалгавар дахь нэгжүүд нь куб учраас хуваах ажлыг гурван удаа гүйцэтгэдэг. Тэгэхээр 1728-ыг 100-д хуваасан нь 17.28 болно. Хоёр дахь хуваагдлын дараа та 0.1728 оноо авна. Гурав дахь үйлдэл нь 0.001728 м 3 хариултыг өгнө. Энэ бол асуудлын хариулт юм: кубын эзэлхүүн нь 0.001728 м 3 байна.
Хоёрдугаар даалгавар.Бүх гадаргуу нь 600 дм 2-тай тэнцэх шоо байдаг. Зургийн эзэлхүүнийг олоод куб метрээр илэрхийлнэ үү.
Энэ даалгаврын асуултанд хариулахын тулд 7-р томьёо хэрэгтэй болно. Эхний алхам бол мэдэгдэж буй тоог 6-д хуваах явдал юм. Хариулт нь 100. Үүнээс квадрат язгуурыг гаргаж авахад хялбар, 10-тай тэнцүү байх болно. Одоо аравыг шоо болгох хэрэгтэй. Хүссэн утга нь 1000 дм 3 байна. Үүнийг м3 болгон хувиргахад л үлддэг. Өмнөх бодлоготой адил хуваалтыг гурван удаа хийх бөгөөд зөвхөн хуваагч нь 10 байх болно. Нэг метрт арван дециметр байдаг тул. Хуваалсны дараа хариулт нь 1 м 3-тай тэнцүү байна. Хариулт: эзэлхүүн нь 1 м 3 байна.
Гурав дахь даалгавар.Нүүрний диагональ урт нь √2 мм-тэй тэнцэх шоо өгөгдсөн. Бид эзлэхүүнийг тооцоолох хэрэгтэй.
Найм дахь томъёо нь энэ асуудлын хариултыг олоход тусална. Эхний алхам бол мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнийг шоо болгох явдал юм. Гурав дахь зэрэглэлийн 2-ын квадрат язгуур нь 2√2 утгыг өгнө. √2-оор үржүүлсний дараа 4-ийн тоо гарна.Сүүлийн алхам нь 4-т хуваагдах явдал юм.Хариулт: шоо 1мм3.
Дөрөв дэх даалгавар.Шоо дөрвөлжингийн диагональ нь 3 м гэдгийг мэддэг. Бид түүний эзлэхүүнийг тооцоолох хэрэгтэй.
9-р томъёог ашиглан энэ асуудлын хариултыг олоход хялбар байх болно. Нөхцөлд өгөгдсөн утгыг куб болгох ёстой. Үр дүн нь 27. Үүнийг 9-д хуваахад хариулт нь 3 болно. Хамгийн сүүлийн алхам нь 3-ын квадрат язгуураар үржүүлэх явдал юм. Бодлогын хариулт нь 3√3 м 3 болно.
Куб бол гайхалтай дүрс юм. Энэ нь бүх талаараа адилхан. Түүний аль ч нүүр нь шууд суурь эсвэл хажуу тал болж хувирдаг. Мөн үүнээс юу ч өөрчлөгдөхгүй. Мөн түүний томъёог үргэлж санахад хялбар байдаг. Мөн та юу олох хэрэгтэй нь хамаагүй - кубын хэмжээ эсвэл гадаргуугийн талбай. Сүүлчийн тохиолдолд та шинэ зүйл сурах шаардлагагүй болно. Зөвхөн дөрвөлжин талбайн томъёог санахад л хангалттай.
Талбай гэж юу вэ?
Энэ утгыг ихэвчлэн латин S үсгээр тэмдэглэдэг. Түүнээс гадна энэ нь физик, математик зэрэг сургуулийн хичээлүүдэд үнэн юм. Энэ нь уртын квадрат нэгжээр хэмжигддэг. Бүх зүйл асуудалд өгөгдсөн хэмжээнээс хамаарна. Эдгээр нь мм, см, м, км квадрат байж болно. Түүгээр ч барахгүй нэгжийг заагаагүй тохиолдол байж болно. Бид зүгээр л нэргүй талбайн тоон илэрхийллийн тухай ярьж байна.
Тэгэхээр талбай гэж юу вэ? Энэ нь тухайн зураг эсвэл эзэлхүүний биеийн тоон шинж чанар болох хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь түүний гадаргуугийн хэмжээг харуулсан бөгөөд энэ нь зургийн хажуугаар хязгаарлагддаг.
Ямар хэлбэрийг шоо гэж нэрлэдэг вэ?
Энэ зураг нь олон өнцөгт юм. Бас амар биш. Энэ нь зөв, өөрөөр хэлбэл түүний бүх элементүүд бие биетэйгээ тэнцүү байна. Хажуу тал эсвэл ирмэг байна. Кубын гадаргуу бүр нь дөрвөлжин юм.
Шоогийн өөр нэр нь ердийн зургаан өнцөгт буюу оросоор зургаан өнцөгт юм. Энэ нь дөрвөлжин призм эсвэл параллелепипедээс үүсч болно. Бүх ирмэгүүд тэнцүү байх ба өнцгүүд нь 90 градус байх ёстой.
Энэ зураг нь маш зохицсон тул өдөр тутмын амьдралдаа ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, хүүхдийн анхны тоглоом бол блок юм. Ахмад настнуудын хувьд хөгжилтэй зүйл бол Рубик шоо юм.
Шоо нь бусад хэлбэр, биетэй ямар холбоотой вэ?
Хэрэв та шоогийн гурван нүүрийг дайран өнгөрч буй хэсгийг зурвал энэ нь гурвалжин шиг болно. Дээд талаас холдох тусам хөндлөн огтлол нь томрох болно. 4 нүүр огтлолцох мөч ирэх бөгөөд хөндлөн огтлолын дүрс нь дөрвөлжин болно. Хэрэв та шоо дөрвөлжин гол диагональтай перпендикуляр байхаар огтлолцсон хэсгийг зурвал ердийн зургаан өнцөгтийг авах болно.
Шоо дотор та тетраэдр (гурвалжин пирамид) зурж болно. Түүний нэг буланг тетраэдрийн орой болгон авдаг. Үлдсэн гурав нь кубын сонгосон булангийн ирмэгийн эсрэг талын төгсгөлд байрлах оройнуудтай давхцах болно.
Та үүнд октаэдр (хоёр холбосон пирамид шиг харагдах гүдгэр ердийн олон өнцөгт) суулгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та кубын бүх нүүрний төвүүдийг олох хэрэгтэй. Тэд октаэдрийн оройнууд байх болно.
Урвуу үйлдэл нь бас боломжтой, өөрөөр хэлбэл октаэдр дотор шоо байрлуулах боломжтой. Зөвхөн одоо л эхний нүүрний төвүүд нь хоёр дахь нь орой болно.
Арга 1: Кубын талбайг түүний ирмэг дээр үндэслэн тооцоолох
Кубын гадаргуугийн талбайг бүхэлд нь тооцоолохын тулд та түүний элементүүдийн аль нэгийг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг шийдэх хамгийн хялбар арга бол түүний ирмэгийг эсвэл өөрөөр хэлбэл түүний бүрдсэн квадратын талыг мэдэх явдал юм. Ихэвчлэн энэ утгыг латин "a" үсгээр тэмдэглэдэг.
Одоо та квадратын талбайг тооцоолох томъёог санах хэрэгтэй. Төөрөгдөлөөс зайлсхийхийн тулд түүний тэмдэглэгээг S 1 үсгээр оруулсан болно.
Тохиромжтой болгохын тулд бүх томъёонд тоо өгөх нь дээр. Энэ нь анхных нь байх болно.
Гэхдээ энэ бол зөвхөн нэг квадрат талбай юм. Нийтдээ зургаа нь: хажуу талдаа 4, доод ба дээд талд 2 байна. Дараа нь кубын гадаргуугийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолно: S = 6 * a 2. Түүний тоо 2.
Арга 2: Хэрэв биеийн эзэлхүүнийг мэддэг бол талбайг хэрхэн тооцоолох вэ
Зургаан талт өнцөгтийн эзэлхүүний математик илэрхийллээс ирмэгийн уртыг тооцоолоход ашиглаж болно. Тэр энд байна:
Дугаарлалт үргэлжилж байгаа бөгөөд энд аль хэдийн 3-ын тоо байна.
Одоо үүнийг тооцоолж, хоёр дахь томьёогоор сольж болно. Хэрэв та математикийн дүрмийг дагаж мөрдвөл дараахь илэрхийлэлийг гаргах хэрэгтэй.
Энэ бол кубын бүх гадаргуугийн талбайн томъёо бөгөөд хэрэв эзлэхүүн нь мэдэгдэж байгаа бол үүнийг ашиглаж болно. Энэ оруулгын дугаар 4 байна.
Арга 3: Кубын диагональ талбайг тооцоол
Энэ бол №5 томъёо юм.
Үүнээс кубын ирмэгийн илэрхийлэлийг гаргахад хялбар байдаг.
Энэ бол зургаа дахь томъёо юм. Үүнийг тооцоолсны дараа та хоёр дахь дугаарын доорх томьёог дахин ашиглаж болно. Гэхдээ үүнийг бичих нь дээр:
Энэ нь 7 гэсэн дугаартай болж байна. Хэрэв та анхааралтай ажиглавал алхам алхмаар тооцоолохоос илүү сүүлийн томъёо нь илүү тохиромжтой болохыг анзаарах болно.
Арга 4: Шоо дөрвөлжин талбайг тооцоолохдоо бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг хэрхэн ашиглах вэ
Хэрэв бид зургаан өнцөгтийг тойрсон тойргийн радиусыг R үсгээр тэмдэглэвэл кубын гадаргуугийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолоход хялбар болно.
Түүний серийн дугаар нь 8. Тойргийн диаметр нь үндсэн диагональтай бүрэн давхцаж байгаа тул үүнийг хялбархан олж авдаг.
Бичсэн тойргийн радиусыг латин үсгээр r гэж тэмдэглэснээр бид зургаан өнцөгтийн бүх гадаргуугийн талбайн дараах томъёог гаргаж болно.
Энэ бол 9-р томъёо юм.
Хэксаэдрийн хажуугийн гадаргуугийн талаар хэдэн үг хэлье
Хэрэв асуудал нь кубын хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох шаардлагатай бол дээр дурдсан техникийг ашиглах хэрэгтэй. Биеийн ирмэгийг аль хэдийн өгсөн бол дөрвөлжингийн талбайг 4-ээр үржүүлэх шаардлагатай. Энэ дүрс нь куб нь зөвхөн 4 талтай тул гарч ирсэн бөгөөд энэ илэрхийллийн математик тэмдэглэгээ юм дараах байдлаар:
Түүний тоо нь 10. Хэрэв өөр хэмжигдэхүүн өгөгдсөн бол дээр дурдсан аргуудын адилаар үргэлжлүүлнэ үү.
Асуудлын жишээ
Эхний нөхцөл байдал. Кубын гадаргуугийн талбай нь мэдэгдэж байна. Энэ нь 200 см²-тэй тэнцэнэ. Кубын гол диагональыг тооцоолох шаардлагатай.
1 арга. Та 2-оор заасан томьёог ашиглах хэрэгтэй. Үүнээс "a"-г гаргахад хэцүү биш байх болно. Энэхүү математик тэмдэглэгээ нь 6-аас дээш S-тэй тэнцэх хэсгийн квадрат язгуур шиг харагдах болно. Тоонуудыг орлуулсны дараа бид дараахыг авна.
a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).
Тав дахь томьёо нь кубын гол диагональыг нэн даруй тооцоолох боломжийг олгодог. Үүнийг хийхийн тулд та ирмэгийн утгыг √3-аар үржүүлэх хэрэгтэй. Энэ бол энгийн. Хариулт нь диагональ нь 10 см байна.
Арга 2. Хэрэв та диагональ томъёогоо мартсан бол Пифагорын теоремыг санаарай.
Эхний аргатай адил ирмэгийг олоорой. Дараа нь та гипотенузын теоремыг хоёр удаа бичих хэрэгтэй: эхнийх нь нүүрэн дээрх гурвалжны хувьд, хоёр дахь нь хүссэн диагональыг агуулсан.
x² = a² + a², энд x нь квадратын диагональ юм.
d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². Энэ оруулгаас диагональын томъёог хэрхэн олж авахыг хялбархан харж болно. Тэгээд дараа нь бүх тооцоо эхний аргын адил байх болно. Энэ нь арай урт боловч томъёог цээжлэхгүй, харин өөрөө авах боломжийг олгодог.
Хариулт: Кубын диагональ нь 10 см.
Хоёр дахь нөхцөл. Мэдэгдэж буй гадаргуугийн талбай буюу 54 см2-ийг ашиглан кубын эзэлхүүнийг тооцоол.
Хоёрдахь тооны доорх томьёог ашиглан та шоо ирмэгийн утгыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хэрхэн хийх талаар өмнөх асуудлыг шийдэх эхний аргад дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Бүх тооцооны дараа бид a = 3 см болохыг олж мэдэв.
Одоо та ирмэгийн уртыг гуравдахь хүч хүртэл өсгөсөн кубын эзэлхүүний томъёог ашиглах хэрэгтэй. Энэ нь эзлэхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно гэсэн үг юм: V = 3 3 = 27 см 3.
Хариулт: Кубын хэмжээ 27 см3.
Гурав дахь нөхцөл. Дараах нөхцөл хангагдсан шоо дөрвөлжин ирмэгийг олох хэрэгтэй. Ирмэг 9 нэгжээр нэмэгдэхэд бүх гадаргуугийн талбай 594-ээр нэмэгддэг.
Бодлогод тодорхой тоо өгөгддөггүй тул зөвхөн байсан болон болсон хоёрын ялгааг харгалзан нэмэлт тэмдэглэгээг оруулах ёстой. Энэ нь хэцүү биш юм. Хүссэн утгыг "a"-тай тэнцүү болго. Дараа нь шоо томруулсан ирмэг нь (a + 9) тэнцүү байх болно.
Үүнийг мэдсэнээр та кубын гадаргуугийн томъёог хоёр удаа бичих хэрэгтэй. Эхнийх нь ирмэгийн анхны утгын хувьд 2 дугаартай давхцах болно. Хоёр дахь нь арай өөр байх болно. Үүнд "a"-ын оронд нийлбэрийг (a + 9) бичих хэрэгтэй. Асуудал нь талбайн зөрүүтэй холбоотой тул том талбайгаас жижиг хэсгийг хасах хэрэгтэй.
6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.
Өөрчлөлтүүдийг хийх хэрэгтэй. Эхлээд тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа 6-г хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь хаалтанд үлдсэн зүйлийг хялбарчлаарай. Тухайлбал (a + 9) 2 - a 2. Энд квадратуудын ялгааг бичсэн бөгөөд үүнийг дараах байдлаар өөрчилж болно: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Илэрхийллийг хялбаршуулсны дараа бид 9 (2a + 9) авна.
Одоо үүнийг 6-аар үржүүлж, хаалтны өмнөх тоог 594-тэй тэнцүүлэх шаардлагатай: 54(2a + 9) = 594. Энэ бол нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхэд хялбар. Эхлээд та хаалтуудыг нээж, дараа нь үл мэдэгдэх утгатай нэр томъёог тэгш байдлын зүүн талд, тоонуудыг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй. Үүссэн тэгшитгэл нь: 2a = 2. Үүнээс үзэхэд хүссэн утга нь 1-тэй тэнцүү байна.
