Янз бүрийн талтай кубыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Гиперкуб

Хүний тархины хувьсал гурван хэмжээст орон зайд явагдсан. Тиймээс бид гурваас дээш хэмжээтэй орон зайг төсөөлөхөд хэцүү байдаг. Үнэн хэрэгтээ хүний ​​тархи гурваас дээш хэмжээтэй геометрийн объектуудыг төсөөлж чадахгүй. Үүний зэрэгцээ бид геометрийн объектуудыг зөвхөн гурав төдийгүй хоёр, нэг хэмжигдэхүүнтэй төсөөлж чадна.

Нэг хэмжээст ба хоёр хэмжээст орон зайн ялгаа ба аналоги, түүнчлэн хоёр хэмжээст ба гурван хэмжээст орон зайн ялгаа, аналоги нь биднийг илүү өндөр хэмжээст орон зайнаас тусгаарлаж буй нууцын дэлгэцийг бага зэрэг нээх боломжийг олгодог. Энэ зүйрлэлийг хэрхэн ашиглаж байгааг ойлгохын тулд маш энгийн дөрвөн хэмжээст объектыг авч үзье - гиперкуб, өөрөөр хэлбэл дөрвөн хэмжээст шоо. Тодорхой болгохын тулд бид дөрвөн хэмжээст шоо дөрвөлжин нүүрний тоог тоолох тодорхой асуудлыг шийдэхийг хүсч байна гэж бодъё. Цаашид авч үзэх бүх зүйл нь маш сул, ямар ч нотлох баримтгүйгээр, зөвхөн аналоги байдлаар байх болно.

Ердийн шооноос гиперкуб хэрхэн бүтээдгийг ойлгохын тулд эхлээд ердийн дөрвөлжин дээрээс ердийн шоо хэрхэн бүтээдгийг харах хэрэгтэй. Энэ материалыг танилцуулахдаа өвөрмөц байхын тулд бид энд энгийн квадратыг SubCube гэж нэрлэх болно (мөн үүнийг суккубустай андуурахгүй).

Дэд шооноос шоо бүтээхийн тулд та дэд шоо дөрвөлжин шоогийн хавтгайд перпендикуляр чиглэлд гурав дахь хэмжээсийн чиглэлд сунгах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд эхний дэд шооны тал бүрээс дэд шоо ургах бөгөөд энэ нь шооны хоёр хэмжээст нүүр бөгөөд энэ нь кубын гурван хэмжээст эзэлхүүнийг дөрвөн тал дээр, чиглэл бүрт хоёр перпендикуляраар хязгаарлах болно. дэд шоо хавтгай. Мөн шинэ гурав дахь тэнхлэгийн дагуу кубын гурван хэмжээст эзэлхүүнийг хязгаарладаг хоёр дэд шоо байдаг. Энэ бол манай дэд шоо анх байрлаж байсан хоёр хэмжээст нүүр бөгөөд шоо барих ажлын төгсгөлд дэд шоо ирсэн шооны хоёр хэмжээст нүүр юм.

Таны сая уншсан зүйлийг хэт дэлгэрэнгүй, маш олон тодруулгатайгаар толилуулж байна. Мөн сайн шалтгаантай. Одоо бид энэ заль мэхийг хийх болно, бид өмнөх текст дэх зарим үгийг албан ёсоор дараах байдлаар орлуулах болно.
шоо -> гиперкуб
дэд шоо -> шоо
хавтгай -> эзлэхүүн
гурав дахь -> дөрөв дэх
хоёр хэмжээст -> гурван хэмжээст
дөрөв -> зургаа
гурван хэмжээст -> дөрвөн хэмжээст
хоёр -> гурав
хавтгай -> орон зай

Үүний үр дүнд бид хэт нарийвчилсан мэт санагдахаа больсон дараах утга учиртай текстийг олж авдаг.

Шооноос гиперкуб бүтээхийн тулд кубыг дөрөв дэх хэмжээсийн чиглэлд шооны эзлэхүүнтэй перпендикуляр чиглэлд сунгах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд анхны кубын тал бүрээс шоо ургах бөгөөд энэ нь гиперкубын хажуугийн гурван хэмжээст нүүр бөгөөд энэ нь гиперкубын дөрвөн хэмжээст эзэлхүүнийг зургаан тал дээр, чиглэл бүрт гурван перпендикуляраар хязгаарлах болно. кубын орон зай. Мөн шинэ дөрөв дэх тэнхлэгийн дагуу гиперкубын дөрвөн хэмжээст эзэлхүүнийг хязгаарласан хоёр шоо байдаг. Энэ бол манай шоо анх байрлаж байсан гурван хэмжээст нүүр ба гиперкубын барилгын төгсгөлд шоо ирсэн гиперкубын гурван хэмжээст нүүр юм.

Бид яагаад гиперкубын барилгын талаархи зөв тайлбарыг хүлээн авсан гэдэгтээ итгэлтэй байна вэ? Тийм ээ, учир нь яг ижил албан ёсны үгсийг орлуулах замаар бид дөрвөлжин барилгын тайлбараас шоо барих тайлбарыг авдаг. (Үүнийг өөрөө шалгаарай.)

Одоо шоогийн тал бүрээс өөр гурван хэмжээст шоо ургах ёстой бол анхны шооны ирмэг бүрээс нүүр ургах нь тодорхой боллоо. Нийтдээ шоо нь 12 ирмэгтэй бөгөөд энэ нь гурван хэмжээст орон зайн гурван тэнхлэгийн дагуу дөрвөн хэмжээст эзэлхүүнийг хязгаарлах 6 шоо дээр нэмэлт 12 шинэ нүүр (дэд шоо) гарч ирнэ гэсэн үг юм. Дөрөв дэх тэнхлэгийн дагуу доороос дээш дөрвөн хэмжээст хэмжээг хязгаарлах өөр хоёр шоо үлдлээ. Эдгээр шоо бүр 6 нүүртэй.

Нийтдээ гиперкуб нь 12+6+6=24 дөрвөлжин нүүртэй болохыг олж мэдэв.

Дараах зураг нь гиперкубын логик бүтцийг харуулж байна. Энэ нь гурван хэмжээст орон зайд гиперкубын төсөөлөлтэй адил юм. Энэ нь хавирганы гурван хэмжээст хүрээ үүсгэдэг. Зураг дээр мэдээжийн хэрэг та энэ хүрээний хавтгай дээрх проекцийг харж байна.

Энэ хүрээ дээр дотоод шоо нь барилгын ажил эхэлсэн анхны шоо шиг бөгөөд гиперкубын дөрвөн хэмжээст эзэлхүүнийг доод талаас дөрөв дэх тэнхлэгийн дагуу хязгаарладаг. Бид энэ анхны шоо хэмжилтийн дөрөв дэх тэнхлэгийн дагуу дээшээ сунгаж, гаднах шоо руу ордог. Тиймээс энэ зураг дээрх гадна ба дотоод шоо нь хэмжилтийн дөрөв дэх тэнхлэгийн дагуу гиперкубыг хязгаарладаг.

Эдгээр хоёр шоо дөрвөлжингийн хооронд та эхний хоёртой нь нийтлэг нүүрэнд хүрсэн 6 шинэ шоо харж болно. Эдгээр зургаан шоо нь манай гиперкубыг гурван хэмжээст орон зайн гурван тэнхлэгийн дагуу холбосон. Таны харж байгаагаар тэдгээр нь энэ гурван хэмжээст хүрээний дотор болон гадна шоо болох эхний хоёр шоотой харьцахаас гадна бие биентэйгээ харьцаж байна.

Та зураг дээр шууд тоолж, гиперкуб үнэхээр 24 нүүртэй эсэхийг шалгаарай. Гэхдээ ийм асуулт гарч ирнэ. Гурван хэмжээст орон зай дахь энэхүү гиперкуб хүрээ нь ямар ч цоорхойгүй найман гурван хэмжээст шоогаар дүүрсэн байна. Гиперкубын энэхүү гурван хэмжээст проекцоос жинхэнэ гиперкуб хийхийн тулд та энэ хүрээг дотор нь эргүүлж, бүх 8 шоо 4 хэмжээст эзэлхүүнийг холбох хэрэгтэй.

Үүнийг ингэж хийсэн. Дөрвөн хэмжээст орон зайн оршин суугчийг бидэнтэй уулзахыг урьж, түүнд туслахыг хүснэ. Тэрээр энэ хүрээний дотоод шоо шүүрэн авч, бидний гурван хэмжээст орон зайд перпендикуляр байрлах дөрөв дэх хэмжээсийн чиглэлд хөдөлгөдөг. Гурван хэмжээст орон зайд бид бүхэл бүтэн дотоод хүрээ алга болж, зөвхөн гаднах шооны хүрээ үлдсэн мэт ойлгодог.

Цаашилбал, манай дөрвөн хэмжээст туслах төрөх эмнэлгүүдэд өвдөлтгүй хүүхэд төрүүлэхийн тулд тусламж үзүүлэхийг санал болгож байгаа ч жирэмсэн эмэгтэйчүүд маань хүүхэд ходоодноосоо алга болж, гурван хэмжээст орон зайд параллель байх болно гэж айж байна. Тиймээс дөрвөн хэмжээст хүнийг эелдэгээр татгалздаг.

Мөн бид гиперкубын хүрээг дотор нь эргүүлэхэд бидний зарим шоо хуваагдсан уу гэсэн асуултанд гайхаж байна. Эцсийн эцэст хэрэв гиперкубыг тойрсон гурван хэмжээст шоо хөршүүддээ нүүрээрээ хүрээд байвал дөрвөн хэмжээст шоо нь хүрээг дотогшоо эргүүлбэл тэд мөн адил нүүртэй хүрэх үү?

Доод хэмжээстэй орон зайн аналогийг дахин авч үзье. Гиперкуб хүрээний дүрсийг дараах зурагт үзүүлсэн гурван хэмжээст шоо хавтгай дээр харуулсан проекцтой харьцуул.

Хоёр хэмжээст орон зайн оршин суугчид шоо дөрвөлжин хавтгай дээр проекц хийх зориулалттай хавтгай дээр хүрээ барьж, гурван хэмжээст оршин суугчид биднийг энэ хүрээг дотор нь эргүүлэхийг урьсан. Бид дотоод дөрвөлжингийн дөрвөн оройг авч, хавтгайд перпендикуляр шилжүүлнэ. Хоёр хэмжээст оршин суугчид бүхэл бүтэн дотоод хүрээ бүрэн алга болж байгааг харж, зөвхөн гаднах талбайн хүрээ л үлддэг. Ийм үйлдэл хийснээр ирмэгүүдтэйгээ шүргэлцсэн бүх квадратууд ижил ирмэгтэй хэвээр байна.

Иймд гиперкубын хүрээг дотор талд нь эргүүлэхэд гиперкубын логик схем мөн зөрчигдөхгүй, гиперкубын дөрвөлжин нүүрний тоо нэмэгдэхгүй, 24-тэй тэнцүү байна гэж найдаж байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь огт нотлох баримт биш, харин аналогиар хийсэн таамаглал юм.

Эндээс уншсан бүх зүйлийн дараа та таван хэмжээст кубын логик хүрээг хялбархан зурж, түүний орой, ирмэг, нүүр, шоо, гиперкубуудын тоог тооцоолж болно. Энэ нь огтхон ч хэцүү биш юм.

Tesseract бол дөрвөн хэмжээст гиперкуб буюу дөрвөн хэмжээст орон зай дахь шоо юм.
Оксфордын толь бичигт бичсэнээр, tesseract гэдэг үгийг 1888 онд Чарльз Ховард Хинтон (1853-1907) "Бодлын шинэ эрин" номондоо анхлан гаргаж, ашигласан байдаг. Дараа нь зарим хүмүүс ижил дүрсийг тетракуб (Грекээр τετρα - дөрөв) - дөрвөн хэмжээст шоо гэж нэрлэдэг.
Евклидийн дөрвөн хэмжээст орон зай дахь энгийн тессеракт нь гүдгэр их бие (±1, ±1, ±1, ±1) цэгүүд гэж тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, үүнийг дараах багц хэлбэрээр илэрхийлж болно.
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тессеракт нь найман гипер хавтгайгаар хязгаарлагддаг x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , тэдгээрийн огтлолцол Тесеракт нь өөрөө үүнийг тодорхойлдог гурван хэмжээст нүүр (энэ нь энгийн шоо юм) Параллель бус гурван хэмжээст нүүр бүр огтлолцон хоёр хэмжээст нүүр (дөрвөлжин) үүсдэг ба эцэст нь тессеракт 8 гурван хэмжээсттэй байна нүүр, 24 хоёр хэмжээст нүүр, 32 ирмэг, 16 орой.
Түгээмэл тайлбар
Гурван хэмжээст орон зайг орхихгүйгээр гиперкуб ямар харагдахыг төсөөлөхийг хичээцгээе.
Нэг хэмжээст "зай"-д - шугаман дээр - бид L урттай AB сегментийг сонгоно. Хоёр хэмжээст хавтгайд AB-аас L зайд, бид түүнтэй параллель DC сегментийг зурж, тэдгээрийн төгсгөлийг холбоно. Үр дүн нь дөрвөлжин CDBA юм. Энэ үйлдлийг онгоцтой давтан хийснээр бид CDBAGHFE гурван хэмжээст кубыг олж авна. Мөн дөрөв дэх хэмжээс дэх шоо (эхний гурвын перпендикуляр) L зайд шилжүүлснээр бид CDBAGHFEKLJIOPNM гиперкубыг олж авна.
Нэг хэмжээст AB сегмент нь хоёр хэмжээст дөрвөлжин CDBA тал, дөрвөлжин нь CDBAGHFE шоо дөрвөлжин тал болж, энэ нь эргээд дөрвөн хэмжээст гиперкубын тал байх болно. Шулуун хэрчим нь хоёр хилийн цэг, дөрвөлжин нь дөрвөн орой, шоо нь найман цэгтэй. Дөрвөн хэмжээст гиперкуб дээр 16 орой байх болно: анхны шоо 8 орой, дөрөв дэх хэмжээст шилжсэн нэг орой 8. Энэ нь 32 ирмэгтэй - 12 нь анхны шоогийн эхний ба эцсийн байрлалыг өгдөг бөгөөд өөр 8 ирмэг нь дөрөв дэх хэмжээс рүү шилжсэн найман оройг "зурдаг". Үүнтэй ижил үндэслэлийг гиперкубын нүүрэнд хийж болно. Хоёр хэмжээст орон зайд зөвхөн нэг (дөрвөлжин өөрөө) байдаг, шоо нь 6-тай (хөөжсөн квадратаас хоёр нүүр, түүний талыг дүрсэлсэн дөрвөн нүүр). Дөрвөн хэмжээст гиперкуб нь 24 дөрвөлжин нүүртэй - хоёр байрлал дахь анхны шоо 12 квадрат, арван хоёр ирмэгээс нь 12 квадрат.
Дөрвөлжингийн талууд нь нэг хэмжээст 4 хэрчмүүд, шоогийн талууд (нүүрүүд) нь хоёр хэмжээст 6 квадрат байдагтай адил "дөрвөн хэмжээст шоо" (тессеракт) -ын хувьд талууд нь 8 гурван хэмжээст шоо байна. . Эсрэг хос тессеракт кубуудын орон зай (өөрөөр хэлбэл эдгээр кубууд хамаарах гурван хэмжээст орон зай) зэрэгцээ байна. Зураг дээр эдгээр кубууд: CDBAGHFE ба KLJIOPNM, CDBAKLJI ба GHFEOPNM, EFBAMNJI ба GHDCOPLK, CKIAGOME ба DLJBHPNF.
Үүнтэй адилаар бид илүү олон хэмжээстэй гиперкубуудын талаархи үндэслэлээ үргэлжлүүлж болох боловч гурван хэмжээст орон зайн оршин суугчид бидэнд дөрвөн хэмжээст гиперкуб хэрхэн харагдахыг харах нь илүү сонирхолтой юм. Үүний тулд бид аль хэдийн танил болсон аналоги аргыг ашиглах болно.
ABCDHEFG утсан шоо аваад ирмэгийн талаас нь нэг нүдээр харцгаая. Бид харж, хавтгай дээр хоёр квадратыг (түүний ойрын болон холын ирмэгүүд) дөрвөн шугамаар холбосон, хажуугийн ирмэгээр холбож болно. Үүний нэгэн адил гурван хэмжээст орон зайд дөрвөн хэмжээст гиперкуб нь бие биендээ оруулж, найман ирмэгээр холбогдсон хоёр шоо "хайрцаг" шиг харагдах болно. Энэ тохиолдолд "хайрцагнууд" өөрсдөө - гурван хэмжээст нүүр нь "манай" орон зайд тусах бөгөөд тэдгээрийг холбосон шугамууд дөрөв дэх тэнхлэгийн чиглэлд сунах болно. Та мөн кубыг проекцоор биш, харин орон зайн дүрсээр төсөөлөхийг оролдож болно.
Гурван хэмжээст шоо нь нүүрнийхээ уртаар шилжсэн дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг шиг дөрөв дэх хэмжээс рүү шилжсэн шоо нь гиперкуб үүсгэх болно. Энэ нь найман кубаар хязгаарлагддаг бөгөөд хэтийн төлөв нь нэлээд төвөгтэй дүрс шиг харагдах болно. Дөрвөн хэмжээст гиперкуб нь өөрөө хязгааргүй тооны шоо дөрвөлжин хэлбэртэй, гурван хэмжээст шоо нь хязгааргүй олон хавтгай дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг шиг.
Гурван хэмжээст шоо дөрвөлжингийн зургаан нүүрийг огтолсноор та үүнийг хавтгай дүрс болгон задалж болно - хөгжил. Энэ нь анхны нүүрний тал бүр дээр дөрвөлжин хэлбэртэй байх ба өөр нэг нүүр - түүний эсрэг талын нүүр. Дөрвөн хэмжээст гиперкубын гурван хэмжээст хөгжил нь анхны шоо, түүнээс "ургаж буй" зургаан шоо, мөн өөр нэг нь эцсийн "гипер нүүр" -ээс бүрдэнэ.
Тесерактын шинж чанарууд нь доод хэмжээст геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарын үргэлжлэлийг дөрвөн хэмжээст орон зайд илэрхийлдэг.

Гиперкуб ба Платоны хатуу биетүүд

Таслагдсан икосаэдрон (“хөл бөмбөг”) “Вектор” системд загварчлах
таван өнцөгт бүр зургаан өнцөгтөөр хүрээлэгдсэн байдаг

Таслагдсан икосаэдронердийн таван өнцөгт хэлбэртэй нүүрийг үүсгэхийн тулд 12 оройг таслах замаар олж авч болно. Энэ тохиолдолд шинэ олон өнцөгтийн оройн тоо 5 дахин нэмэгдэж (12 × 5 = 60), 20 гурвалжин нүүр нь ердийн зургаан өнцөгт болж хувирдаг (нийтдээ). нүүр царай 20+12=32 болно), А ирмэгийн тоо 30+12×5=90 болж нэмэгдэнэ.

Вектор системд таслагдсан икосаэдрон байгуулах алхамууд

4 хэмжээст орон зай дахь дүрсүүд.

--à

--à ?

Жишээлбэл, шоо болон гиперкуб өгсөн. Гиперкуб нь 24 нүүртэй. Энэ нь 4 хэмжээст октаэдр 24 оройтой байна гэсэн үг. Үгүй ч гэсэн гиперкуб нь 8 шоо хэлбэртэй байдаг бөгөөд тус бүр нь орой дээрээ төвтэй байдаг. Энэ нь 4 хэмжээст октаэдр нь 8 оройтой байх ба энэ нь бүр хөнгөн гэсэн үг юм.

4 хэмжээст октаэдр. Энэ нь найман тэгш талт, тэнцүү тетраэдрээс бүрдэнэ.
орой тус бүр дээр дөрвөөр холбогдсон.

Цагаан будаа. Дуурайх оролдлого
Вектор систем дэх гипер бөмбөрцөг-гипер бөмбөрцөг

Урд - хойд нүүр - гажуудалгүй бөмбөг. Өөр зургаан бөмбөгийг эллипсоид эсвэл квадрат гадаргуугаар (генераторын хувьд 4 контурын шугамаар) эсвэл нүүрээр (эхлээд генератороор тодорхойлсон) тодорхойлж болно.

Гиперсферийг "бүтээх" илүү олон арга техник
- 4 хэмжээст орон зайд ижил "хөл бөмбөгийн бөмбөг"

Хавсралт 2

Гүдгэр олон талтуудын хувьд 1752 онд Леонхард Эйлер нотлогдсон, Эйлерийн теорем гэж нэрлэсэн түүний орой, ирмэг, нүүрний тоог харгалзах шинж чанар байдаг.

Үүнийг томьёолохын өмнө бидэнд мэдэгдэж байгаа олон өнцөгтийг авч үзээд дараах хүснэгтийг бөглөнө үү, B нь өгөгдсөн олон өнцөгтийн орой, P - ирмэг ба G - нүүрүүдийн тоо юм.

Энэ хүснэгтээс харахад бүх сонгосон олон өнцөгтийн хувьд B - P + G = 2 тэнцүү байх нь зөвхөн эдгээр олон өнцөгтүүдийн хувьд ч үнэн юм.

Эйлерийн теорем. Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд тэгш байдал биелнэ

B - P + G = 2,

Энд B нь оройнуудын тоо, P нь ирмэгүүдийн тоо, G нь өгөгдсөн олон өнцөгтийн нүүрний тоо юм.

Баталгаа.Энэ тэгш байдлыг батлахын тулд уян харимхай материалаар хийсэн энэ олон өнцөгтийн гадаргууг төсөөлөөд үз дээ. Түүний нэг нүүрийг нь салгаж (тайрч), үлдсэн гадаргууг хавтгай дээр сунгацгаая. Бид олон өнцөгтийг (олон өнцөгтийн арилгасан нүүрний ирмэгээр үүсгэгдсэн), жижиг олон өнцөгтүүдэд хуваасан (полиэдроны үлдсэн нүүрнүүдээс бүрддэг) олж авдаг.

Хажуу талдаа цоорхой байхгүй бол олон өнцөгтийг гажуудуулж, томруулж, багасгаж, бүр хажуу талыг нь нугалж болно гэдгийг анхаарна уу. Орой, ирмэг, нүүрний тоо өөрчлөгдөхгүй.

Үр дүнд нь олон өнцөгтийг жижиг олон өнцөгт хуваах нь тэгш байдлыг хангаж байгааг баталцгаая

(*)B - P + G " = 1,

Энд B нь оройнуудын нийт тоо, P нь ирмэгүүдийн нийт тоо, Г " нь хуваалтад багтсан олон өнцөгтүүдийн тоо юм. Г " = Г - 1 байх нь тодорхой бөгөөд энд Г нь өгөгдсөн хэсгийн нүүрний тоо юм. олон өнцөгт.

Өгөгдсөн хуваалтын аль нэг олон өнцөгт диагональ зурвал тэгш байдал (*) өөрчлөгдөхгүй гэдгийг баталцгаая (Зураг 5, а). Үнэхээр ийм диагональ зурсны дараа шинэ хуваалт нь В оройтой, P+1 ирмэгтэй байх ба олон өнцөгтийн тоо нэгээр нэмэгдэх болно. Тиймээс бидэнд байгаа

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Энэ шинж чанарыг ашиглан бид ирж буй олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хуваах диагональуудыг зурж, үр дүнд нь хуваахын тулд тэгш байдлын (*) боломжит байдлыг харуулав (Зураг 5, b). Үүнийг хийхийн тулд бид гурвалжны тоог багасгаж, гадна талын ирмэгийг дараалан арилгана. Энэ тохиолдолд хоёр тохиолдол боломжтой:

a) гурвалжинг арилгах ABCманай тохиолдолд хоёр хавиргыг арилгах шаардлагатай ABТэгээд МЭӨ;

б) гурвалжинг арилгахMKNманай тохиолдолд нэг ирмэгийг арилгах шаардлагатай байнаМ.Н.

Аль ч тохиолдолд тэгш байдал (*) өөрчлөгдөхгүй. Жишээлбэл, эхний тохиолдолд гурвалжинг арилгасны дараа график нь B - 1 орой, P - 2 ирмэг ба G " - 1 олон өнцөгтөөс бүрдэнэ.

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) = B - P + G ".

Хоёрдахь тохиолдлыг өөрөө авч үзье.

Тиймээс нэг гурвалжинг хассанаар тэгш байдал (*) өөрчлөгдөхгүй. Гурвалжныг арилгах энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид эцэст нь нэг гурвалжингаас бүрдэх хуваалтад хүрнэ. Ийм хуваалтын хувьд B = 3, P = 3, Г " = 1, тиймээс, B – Р + Г " = 1. Энэ нь тэгш байдал (*) нь анхны хуваалтад ч бас хэрэгжинэ гэсэн үг бөгөөд үүнээс бид эцэст нь үүнийг олж авна. олон өнцөгт тэгшитгэлийн энэ хуваалтын хувьд (*) үнэн. Тиймээс анхны гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд B - P + G = 2 тэгш байдал үнэн болно.

Эйлерийн хамаарал байхгүй олон өнцөгтийн жишээ,Зураг 6-д үзүүлэв. Энэхүү олон өнцөгт нь 16 орой, 32 ирмэг, 16 нүүртэй. Иймээс энэ олон өнцөгтийн хувьд B – P + G = 0 тэнцүү байна.

Хавсралт 3.

Film Cube 2: Hypercube нь шинжлэх ухааны зөгнөлт кино бөгөөд Cube киноны үргэлжлэл юм.

Шоо хэлбэртэй өрөөнд найман танихгүй хүн сэрдэг. Өрөөнүүд нь дөрвөн хэмжээст гиперкуб дотор байрладаг. Өрөөнүүд нь "квантын телепортаци" -аар байнга хөдөлж байдаг бөгөөд хэрэв та дараагийн өрөөнд авирч байвал өмнөх өрөөнд буцаж очих магадлал багатай юм. Зэрэгцээ ертөнцүүд гиперкуб дотор огтлолцдог, зарим өрөөнд цаг хугацаа өөрөөр урсдаг, зарим өрөөнүүд үхлийн урхи болдог.

Киноны өрнөл нь эхний хэсгийн түүхийг ихээхэн давтсан бөгөөд энэ нь зарим дүрийн дүрд ч тусгагдсан байдаг. Гиперкубыг устгах цагийг нарийн тооцоолсон Нобелийн шагналт Розенцвейг гиперкубын өрөөнд нас баржээ..

Шүүмжлэл

Хэрэв эхний хэсэгт төөрдөг байшинд хоригдсон хүмүүс бие биедээ туслахыг оролдсон бол энэ кинонд хүн бүр өөртөө зориулагдсан болно. Киноны энэ хэсгийг өмнөхтэй нь ямар ч логикоор холбодоггүй олон шаардлагагүй тусгай эффектүүд (хавхнууд) байдаг. Өөрөөр хэлбэл, Cube 2 кино нь 2000 оны биш харин 2020-2030 оны ирээдүйн төөрдөг байшин гэдэг нь харагдаж байна. Эхний хэсэгт бүх төрлийн хавхыг онолын хувьд хүн бүтээж болно. Хоёрдахь хэсэгт эдгээр урхи нь "Виртуал бодит байдал" гэж нэрлэгддэг компьютерийн нэг төрлийн програм юм.

Дөрвөн хэмжээст орон зай гэж юу болохыг тайлбарлаж эхэлцгээе.

Энэ бол нэг хэмжээст орон зай, өөрөөр хэлбэл зүгээр л OX тэнхлэг юм. Түүний аль ч цэг нь нэг координатаар тодорхойлогддог.

Одоо OX тэнхлэгт перпендикуляр OY тэнхлэгийг зуръя. Тиймээс бид хоёр хэмжээст орон зай, өөрөөр хэлбэл XOY хавтгайг авна. Үүн дээрх аливаа цэг нь абсцисса ба ордината гэсэн хоёр координатаар тодорхойлогддог.

OX болон OY тэнхлэгт перпендикуляр OZ тэнхлэгийг зуръя. Үр дүн нь аль ч цэг нь абсцисса, ординат, аппликаттай гурван хэмжээст орон зай юм.

Дөрөв дэх тэнхлэг болох OQ нь OX, OY, OZ тэнхлэгүүдэд нэгэн зэрэг перпендикуляр байх нь логик юм. Гэхдээ бид ийм тэнхлэгийг нарийн барьж чадахгүй, тиймээс бид үүнийг зөвхөн төсөөлөхийг хичээх болно. Дөрвөн хэмжээст орон зайн цэг бүр х, у, z, q гэсэн дөрвөн координаттай.

Одоо дөрвөн хэмжээст шоо хэрхэн гарч ирснийг харцгаая.

Зураг нь нэг хэмжээст орон зайд дүрсийг харуулж байна - шугам.

Хэрэв та OY тэнхлэгийн дагуу энэ шугамын зэрэгцээ орчуулгыг хийж, дараа нь үүссэн хоёр шугамын харгалзах төгсгөлийг холбовол дөрвөлжин болно.

Үүний нэгэн адил, хэрэв та OZ тэнхлэгийн дагуу квадратын зэрэгцээ орчуулгыг хийж, харгалзах оройнуудыг холбовол та шоо авах болно.

Хэрэв бид OQ тэнхлэгийн дагуу кубыг параллель орчуулга хийж, эдгээр хоёр шоогийн оройг холбовол бид дөрвөн хэмжээст шоо авна. Дашрамд хэлэхэд үүнийг нэрлэдэг тессеракт.

Онгоцонд шоо зурахын тулд танд хэрэгтэй төсөл. Харааны хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Энэ нь гадаргуугаас дээш агаарт өлгөөтэй байна гэж төсөөлөөд үз дээ утас хүрээний загваршоо, өөрөөр хэлбэл "утасаар хийсэн" юм шиг, дээр нь чийдэн байдаг. Хэрэв та гэрлийн чийдэнг асааж, шооны сүүдрийг харандаагаар зурж, дараа нь гэрлийн чийдэнг унтраавал гадаргуу дээр кубын проекц дүрслэгдэх болно.

Бага зэрэг төвөгтэй зүйл рүү шилжье. Гэрлийн чийдэнгийн зургийг дахин хараарай: таны харж байгаагаар бүх туяа нэг цэг дээр нийлдэг. гэж нэрлэдэг алга болох цэгбарихад ашигладаг хэтийн төлөвийн төсөөлөл(мөн бүх цацрагууд хоорондоо параллель байх үед энэ нь зэрэгцээ тохиолддог. Үүний үр дүнд эзэлхүүний мэдрэмж үүсдэггүй, гэхдээ энэ нь илүү хөнгөн бөгөөд үүнээс гадна хэрэв алга болох цэг нь төлөвлөсөн объектоос нэлээд хол зайд байвал Дараа нь эдгээр хоёр төсөөллийн ялгаа бага зэрэг мэдэгдэхүйц байна). Өгөгдсөн цэгийг алга болох цэгийг ашиглан өгөгдсөн хавтгайд проекцлохын тулд алга болох цэг ба өгөгдсөн цэгээр шулуун шугам татах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь үүссэн шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэгийг олох хэрэгтэй. Шоо гэх мэт илүү төвөгтэй дүрсийг гаргахын тулд та түүний орой бүрийг проекц хийж, дараа нь харгалзах цэгүүдийг холбох хэрэгтэй. Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй орон зайг дэд орон зайд тусгах алгоритмЗөвхөн 3D->2D биш 4D->3D тохиолдолд ерөнхийд нь хэлж болно.

Миний хэлсэнчлэн OQ тэнхлэг нь яг tesseract шиг яг ямар харагдахыг бид төсөөлж чадахгүй. Гэхдээ бид үүнийг эзлэхүүн дээр буулгаж, дараа нь компьютерийн дэлгэц дээр зурвал энэ талаар хязгаарлагдмал ойлголттой болно!

Одоо тессеракт проекцын талаар ярилцъя.

Зүүн талд нь кубын хавтгай дээрх проекц, баруун талд нь эзэлхүүн дээрх тессеракт байна. Тэдгээр нь нэлээд төстэй: кубын проекц нь жижиг, том хоёр дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн харгалзах оройнууд нь шугамаар холбогдсон байдаг. Тесерактын проекц нь жижиг, том хоёр шоо шиг харагдаж байна, нэг нь нөгөөгийнхөө дотор талд, харгалзах оройнууд нь холбогдсон байна. Гэхдээ бид бүгд шоо харсан бөгөөд жижиг дөрвөлжин, том дөрвөлжин, дээр нь, доор, баруун, зүүн талд байгаа дөрвөн трапец хоёулаа дөрвөлжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү гэж итгэлтэйгээр хэлж чадна. . Мөн тессеракт нь ижил зүйлтэй. Том шоо, жижиг шоо, жижиг шооны хажуу талд байгаа зургаан таслагдсан пирамидууд - эдгээр нь бүгд шоо бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү юм.

Миний программ нь тессерактын проекцийг эзлэхүүн дээр зурахаас гадна эргүүлэх боломжтой. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг харцгаая.

Эхлээд би танд юу болохыг хэлье хавтгайтай зэрэгцээ эргэлт.

Шоо нь OZ тэнхлэгийг тойрон эргэдэг гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь түүний орой бүр OZ тэнхлэгийг тойрсон тойргийг дүрсэлдэг.

Тойрог бол хавтгай дүрс юм. Мөн эдгээр тойрог бүрийн хавтгай нь бие биетэйгээ параллель бөгөөд энэ тохиолдолд XOY хавтгайтай параллель байна. Өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн OZ тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэх тухай төдийгүй XOY хавтгайтай параллель эргэх тухай ярьж болно, бидний харж байгаагаар XOY тэнхлэгтэй параллель эргэлддэг цэгүүдийн хувьд зөвхөн абсцисса ба ординат өөрчлөгддөг бол аппликейшн хэвээр байна. өөрчлөгдөөгүй бөгөөд үнэн хэрэгтээ бид гурван хэмжээст орон зайтай харьцахдаа л шулуун шугамын эргэн тойронд эргэх тухай ярьж болно. Хоёр хэмжээст орон зайд бүх зүйл цэгийг тойрон эргэдэг, дөрвөн хэмжээст орон зайд бүх зүйл хавтгайг тойрон эргэдэг, таван хэмжээст орон зайд бид эзлэхүүнийг тойрон эргэдэг. Хэрэв бид нэг цэгийг тойрон эргэхийг төсөөлж чадвал хавтгай, эзэлхүүнийг тойрон эргэх нь төсөөлшгүй зүйл юм. Хэрэв бид хавтгайтай параллель эргэлтийн тухай ярих юм бол ямар ч n хэмжээст орон зайд цэг нь хавтгайтай зэрэгцээ эргэлдэж болно.

Та нарын ихэнх нь эргэлтийн матрицын талаар сонссон байх. Цэгийг үүгээр үржүүлснээр бид phi өнцгөөр хавтгайд параллель эргэлдсэн цэгийг олж авна. Хоёр хэмжээст орон зайн хувьд дараах байдалтай байна.

Хэрхэн үржүүлэх вэ: phi өнцгөөр эргүүлсэн цэгийн х = анхны цэгийн phi*ix өнцгийн косинусыг анхны цэгийн phi*ig өнцгийн синусыг хасч;
Өнцөгөөр эргүүлсэн цэгийн ig phi = өнцгийн синус анхны цэгийн phi * ix өнцгийн косинус дээр анхны цэгийн phi * ig өнцгийн косинус.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Я
Ya`=sinф*Xa + cosф*Я
, Ха ба Я нь эргүүлэх цэгийн абсцисса ба ординат, Xa` ба Я` нь аль хэдийн эргүүлсэн цэгийн абсцисса ба ординат юм.

Гурван хэмжээст орон зайн хувьд энэ матрицыг дараах байдлаар нэгтгэнэ.

XOY хавтгайтай зэрэгцээ эргэлт. Таны харж байгаагаар Z координат өөрчлөгддөггүй, зөвхөн X ба Y өөрчлөгддөг
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (үндсэндээ Za`=Za)

XOZ хавтгайтай зэрэгцээ эргэлт. Шинэ зүйл биш,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Я`=Ха*0 + Я*1 + За*0 (үндсэндээ Ya`=Я)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Мөн гурав дахь матриц.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (үндсэндээ Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Я - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Я + cosф*Za

Дөрөв дэх хэмжээсийн хувьд тэд дараах байдалтай байна.


Та юугаар үржүүлэхээ аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна, тиймээс би дахин дэлгэрэнгүй ярихгүй. Гэхдээ энэ нь гурван хэмжээст орон зайд хавтгайтай параллель эргэдэг матрицтай ижил зүйлийг хийдэг гэдгийг би анхаарна уу! Тэд хоёулаа зөвхөн ординат ба аппликейшныг өөрчилдөг бөгөөд бусад координатуудад хүрч болохгүй, тиймээс үүнийг дөрөв дэх координатыг анхаарч үзэхгүйгээр гурван хэмжээст тохиолдолд ашиглаж болно.

Гэхдээ проекцын томъёогоор бүх зүйл тийм ч хялбар биш юм. Хичнээн олон форум уншсан ч төсөөлөх аргуудын аль нь ч надад тохирохгүй байсан. Проекц нь гурван хэмжээст харагдахгүй тул параллель нь надад тохиромжгүй байв. Зарим проекцийн томъёонд цэгийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй (мөн тэдгээрийг компьютерт хэрхэн шийдвэрлэхийг би мэдэхгүй), бусад нь би зүгээр л ойлгоогүй ... Ерөнхийдөө би шийдсэн. өөрийнхөө арга барилыг гарга. Үүний тулд 2D->1D проекцийг авч үзье.

pov нь "Харах цэг", ptp нь "Төсөл рүү чиглэсэн цэг" (төлөвлөж буй цэг), ptp` нь OX тэнхлэг дээрх хүссэн цэг юм.

povptpB ба ptpptp`A өнцгүүд нь харгалзахтай тэнцүү байна (тасархай шугам нь OX тэнхлэгтэй параллель, povptp шулуун шугам нь секант).
ptp` цэгийн x нь ptp цэгийн x-ээс ptp`A сегментийн уртыг хассантай тэнцүү байна. Энэ сегментийг ptpptp`A гурвалжнаас олж болно: ptp`A = ptpA/ ptpptp`A өнцгийн тангенс. Бид энэ шүргэгчийг povptpB гурвалжнаас олж болно: тангенс ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Хариулт: Xptp`=Xptp-Yptp/ ptpptp`A өнцгийн тангенс.

Томъёо нь бага зэрэг өөрчлөгдөх онцгой тохиолдлууд байдаг тул би энэ алгоритмыг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно. Хэрэв хэн нэгэн сонирхож байгаа бол програмын эх кодыг хараарай, тэнд бүх зүйл тайлбар дээр бичигдсэн байдаг.

Гурван хэмжээст огторгуйн цэгийг хавтгайд проекцлохын тулд бид зүгээр л XOZ ба YOZ гэсэн хоёр хавтгайг авч үзээд энэ асуудлыг тус бүрээр нь шийднэ. Дөрвөн хэмжээст орон зайн хувьд XOQ, YOQ, ZOQ гэсэн гурван хавтгайг авч үзэх шаардлагатай.

Эцэст нь, хөтөлбөрийн талаар. Энэ нь дараах байдлаар ажиллана: tesseract-ийн арван зургаан оройг эхлүүлэх -> хэрэглэгчийн оруулсан командаас хамааран эргүүлэх -> түүнийг эзлэхүүн рүү төсөллөх -> хэрэглэгчийн оруулсан командаас хамааран проекцыг нь эргүүлэх -> төслийг онгоц -> зурах.

Би өөрөө проекц, эргэлтийг бичсэн. Тэд миний тайлбарласан томъёоны дагуу ажилладаг. OpenGL номын сан нь шугам зурахаас гадна өнгө холих ажлыг гүйцэтгэдэг. Тесерактын оройн координатыг дараах байдлаар тооцоолно.

Эхлэл дээр төвлөрсөн шугамын оройн координат ба урт 2 - (1) ба (-1);
- " - " - дөрвөлжин - " - " - ба 2 урттай ирмэг:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) ба (-1; -1);
- " - " - шоо - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Таны харж байгаагаар дөрвөлжин нь OY тэнхлэгээс дээш нэг шугам, OY тэнхлэгээс доош нэг шугам юм; шоо нь XOY онгоцны урд талд нэг квадрат, түүний ард нэг квадрат; Тесеракт нь XOYZ эзлэхүүний нөгөө талд нэг шоо, нөгөө талдаа нэг шоо байна. Гэхдээ баганад бичсэн бол нэг ба хасах хоёрын ээлжийг ойлгоход илүү хялбар болно.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Эхний баганад нэг ба хасах нэгийг ээлжлэн оруулна. Хоёр дахь баганад эхлээд хоёр нэмэх, дараа нь хоёр хасах байна. Гурав дахь нь - дөрөв нэмэх нэг, дараа нь дөрвөн хасах нэг. Эдгээр нь кубын оройнууд байв. Тессеракт нь эдгээрээс хоёр дахин их байдаг тул тэдгээрийг зарлахын тулд гогцоо бичих шаардлагатай болсон, эс тэгвээс төөрөлдөх нь маш хялбар байдаг.

Миний программ бас анаглиф зурж чаддаг. 3D нүдний шилний аз жаргалтай эзэд стереоскоп дүрсийг ажиглаж болно. Зураг зурахад төвөгтэй зүйл байхгүй, та зүгээр л баруун болон зүүн нүдэнд хоёр проекц зурж болно. Гэхдээ хөтөлбөр нь илүү үзэмжтэй, сонирхолтой болж, хамгийн чухал нь дөрвөн хэмжээст ертөнцийн талаар илүү сайн ойлголт өгдөг.

Ач холбогдол багатай функцууд бол эргэлтийг илүү сайн харахын тулд ирмэгүүдийн аль нэгийг улаан өнгөөр ​​гэрэлтүүлэх, мөн бага зэргийн тохь тухыг агуулдаг - "нүдний" цэгүүдийн координатыг зохицуулах, эргэлтийн хурдыг нэмэгдүүлэх, багасгах.

Программ, эх код, хэрэглэх зааврын хамт архивлана.

Гиперкуб ба дөрвөн хэмжээст орон зай гэж юу вэ

Бидний ердийн орон зай гурван хэмжээстэй байдаг. Геометрийн үүднээс авч үзвэл энэ нь харилцан перпендикуляр гурван шугамыг зааж өгч болно гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, аль ч шугамын хувьд та эхнийх нь перпендикуляр хоёр дахь шугамыг олох боломжтой бөгөөд хосын хувьд эхний хоёр перпендикуляр гурав дахь шугамыг олж болно. Одоо байгаа гурвын перпендикуляр дөрөв дэх шугамыг олох боломжгүй болно.

Дөрвөн хэмжээст орон зай нь нэг нэмэлт чиглэлтэй гэдгээрээ л биднийхээс ялгаатай. Хэрэв та аль хэдийн гурван харилцан перпендикуляр шугамтай бол дөрөв дэх шугамыг олох боломжтой бөгөөд энэ нь гурвууланд нь перпендикуляр байх болно.

Гиперкуб бол ердөө л дөрвөн хэмжээст орон зай дахь шоо юм.
Дөрвөн хэмжээст орон зай ба гиперкубыг төсөөлөх боломжтой юу?

Энэ асуулт нь "Леонардо да Винчи (1452-1519) ижил нэртэй (1495-1498) зургийг хараад сүүлчийн зоогийг төсөөлөх боломжтой юу?" гэсэн асуулттай холбоотой юм.

Нэг талаас, та мэдээж Есүсийн харсан зүйлийг төсөөлөхгүй (тэр үзэгчдийн өөдөөс хараад сууж байна), ялангуяа та цонхны гаднах цэцэрлэгийг үнэрлэж, ширээн дээрх хоолыг амтлахгүй тул шувууд сонсохгүй. дуулж байна... Тэр орой болсон үйл явдлын талаар та бүрэн зураг авахгүй, гэхдээ та шинэ зүйл сурахгүй, зураг нь сонирхолгүй гэж хэлж болохгүй.

Нөхцөл байдал гиперкубын тухай асуулттай төстэй юм. Үүнийг бүрэн төсөөлөх боломжгүй ч энэ нь ямар байдгийг ойлгоход ойртож чадна.
Гиперкуб барих
0 хэмжээст шоо

Эхнээс нь эхэлцгээе - 0 хэмжээст шоо. Энэ шоо нь харилцан перпендикуляр 0 нүүрийг агуулдаг бөгөөд энэ нь зүгээр л цэг юм.

1 хэмжээст шоо

Нэг хэмжээст орон зайд бид зөвхөн нэг чиглэлтэй байдаг. Бид цэгийг энэ чиглэлд шилжүүлж, сегментийг авдаг.

Энэ бол нэг хэмжээст шоо юм.
2 хэмжээст шоо

Бид хоёр дахь хэмжээстэй, бид нэг хэмжээст шоо (сегмент) хоёр дахь хэмжээсийн чиглэлд шилжүүлж, бид квадратыг авдаг.

Энэ бол хоёр хэмжээст орон зай дахь шоо юм.
3 хэмжээст шоо

Гурав дахь хэмжээс гарч ирснээр бид ижил төстэй арга замаар явна: бид квадратыг хөдөлгөж, энгийн гурван хэмжээст шоо авдаг.

4 хэмжээст шоо (гиперкуб)

Одоо бид дөрөв дэх хэмжигдэхүүнтэй боллоо. Өөрөөр хэлбэл, өмнөх гурван чиглэлтэй перпендикуляр чиглэл бидний мэдэлд байна. Үүнийг яг адилхан ашиглая. Дөрвөн хэмжээст шоо иймэрхүү харагдах болно.

Мэдээжийн хэрэг, гурван хэмжээст ба дөрвөн хэмжээст кубыг хоёр хэмжээст дэлгэцийн хавтгайд дүрслэх боломжгүй. Миний зурсан зүйл бол төсөөлөл юм. Хэсэг хугацааны дараа бид хэтийн төлөвийн талаар ярих болно, гэхдээ одоогоор цөөн хэдэн нүцгэн тоо баримт.
Орой, ирмэг, нүүрний тоо
Төрөл бүрийн хэмжээтэй шоо дөрвөлжингийн шинж чанар
1-орон зайн хэмжээс
2 - оройн тоо
3 - ирмэгийн тоо
4 - нүүрний тоо

0 (цэг) 1 0 0
1 (сегмент) 2 1 2 (оноо)
2 (дөрвөлжин) 4 4 4 (хэсгүүд)
3 (шоо) 8 12 6 (дөрвөлжин)
4 (гиперкуб) 16 32 8 (шоо)
N (ерөнхий томъёо) 2N N 2N-1 2 N

Гиперкубын нүүр нь бидний энгийн гурван хэмжээст шоо гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв та гиперкубын зургийг анхааралтай ажиглавал найман шоо олох боломжтой.
Дөрвөн хэмжээст орон зайн оршин суугчийн төсөөлөл, алсын хараа
Алсын харааны тухай хэдэн үг

Бид гурван хэмжээст ертөнцөд амьдарч байгаа ч үүнийг хоёр хэмжээст гэж үздэг. Энэ нь бидний нүдний торлог бүрхэвч нь зөвхөн хоёр хэмжээстэй хавтгайд байрладагтай холбоотой юм. Ийм учраас бид хоёр хэмжээст зургийг мэдэрч, бодит байдалтай ижил төстэй зургийг олж чаддаг. (Мэдээжийн хэрэг, орон сууцны ачаар нүд нь объект хүртэлх зайг тооцоолж чаддаг, гэхдээ энэ нь бидний нүдэнд суулгасан оптиктай холбоотой гаж нөлөө юм.)

Дөрвөн хэмжээст орон зайд амьдардаг хүний ​​нүд нь гурван хэмжээст торлог бүрхэвчтэй байх ёстой. Ийм амьтан тэр даруй гурван хэмжээст дүрсийг бүхэлд нь харж чадна: түүний бүх нүүр царай, дотоод засал. (Үүнтэй адил бид хоёр хэмжээст дүрсийг, түүний бүх нүүр царай, дотоод заслыг харж болно.)

Тиймээс бид харааны эрхтнүүдийнхээ тусламжтайгаар дөрвөн хэмжээст шоо дөрвөлжин орон зайд оршин суугч хүний ​​хүлээн авдаг шиг дөрвөн хэмжээст кубыг мэдрэх боломжгүй юм. Харамсалтай нь. Аз болоход бие махбодийн хязгаарлалтгүй оюун ухаан, төсөөлөлдөө найдах л үлдлээ.

Гэсэн хэдий ч, гиперкубыг хавтгай дээр дүрслэхдээ би түүний проекцийг хоёр хэмжээст орон зайд хийхээс өөр аргагүй болдог. Зургийг судлахдаа энэ баримтыг анхаарч үзээрэй.
Захын уулзварууд

Мэдээжийн хэрэг, гиперкубын ирмэгүүд огтлолцдоггүй. Уулзварууд нь зөвхөн зураг дээр харагдана. Гэсэн хэдий ч энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь зурган дээрх ердийн шоо ирмэгүүд нь огтлолцдог.
Хавирганы урт

Дөрвөн хэмжээст кубын бүх нүүр ба ирмэгүүд тэнцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зураг дээр тэдгээр нь зөвхөн харах чиглэлд өөр өөр өнцгөөр байрладаг тул тэнцүү биш юм. Гэсэн хэдий ч гиперкубыг эргүүлэх боломжтой бөгөөд ингэснээр бүх төсөөлөл ижил урттай байна.

Дашрамд хэлэхэд, энэ зурагт гиперкубын нүүр царай болох найман шоо тод харагдаж байна.
Гиперкуб дотор нь хоосон байна

Итгэхэд бэрх, гэхдээ гиперкубыг холбосон шоо дөрвөлжин шоо дөрвөлжин хэмжээст орон зайн хэсэг) байдаг.

Үүнийг илүү сайн ойлгохын тулд энгийн гурван хэмжээст кубын хоёр хэмжээст проекцийг харцгаая (би үүнийг зориудаар бүдүүвчилсэн байдлаар хийсэн).

Үүнээс харахад шоо дотор ямар нэгэн зай байгаа гэж та таамаглаж чадах уу? Тийм ээ, гэхдээ зөвхөн өөрийн төсөөллийг ашиглан. Нүд энэ орон зайг хардаггүй. Гурав дахь хэмжээст (хавтгай зураг дээр дүрслэх боломжгүй) ирмэгүүд нь зургийн хавтгайд байрлах сегментүүд болж хувирсан тул энэ нь тохиолддог. Тэд эзлэхүүнийг хангахаа больсон.

Шоо дөрвөлжингийн орон зайг бүрхсэн квадратууд бие биентэйгээ давхцаж байв. Гэхдээ анхны зураг дээр (гурван хэмжээст шоо) эдгээр квадратууд нь өөр өөр хавтгайд байрладаг байсан бөгөөд зурагт үзүүлсэн шиг нэг хавтгайд нэг нь нөгөөгийнхөө дээр байрладаггүй гэж төсөөлж болно.

Нөхцөл байдал гиперкубтай яг ижил байна. Гиперкубын шоо-нүүр нь бидний төсөөлж байгаа шиг давхцдаггүй, харин дөрвөн хэмжээст орон зайд байрладаг.
Шүүрдэг

Тиймээс дөрвөн хэмжээст орон зайн оршин суугч гурван хэмжээст объектыг бүх талаас нь нэгэн зэрэг харж чаддаг. Бид гурван хэмжээст кубыг бүх талаас нь нэгэн зэрэг харж чадах уу? Нүдээр - үгүй. Гэтэл хүмүүс хавтгай зурган дээр гурван хэмжээст шоогийн бүх нүүрийг нэгэн зэрэг дүрслэх аргыг бодож олжээ. Ийм зургийг скан гэж нэрлэдэг.
Гурван хэмжээст шоо боловсруулах

Гурван хэмжээст шоо хэрхэн үүсдэгийг хүн бүр мэддэг байх. Энэ үйл явцыг хөдөлгөөнт дүрс дээр харуулав.

Тодорхой болгохын тулд шоо нүүрний ирмэгийг тунгалаг болгосон.

Энэ хоёр хэмжээст зургийг бид зөвхөн төсөөллийн ачаар л мэдэрч чаддаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв бид нээлтийн үе шатуудыг цэвэр хоёр хэмжээст талаас нь авч үзвэл үйл явц нь хачирхалтай мэт санагдаж, огт ойлгомжгүй байх болно.

Энэ нь эхлээд гажсан дөрвөлжингийн тойм аажмаар гарч ирэх бөгөөд дараа нь тэдгээр нь шаардлагатай хэлбэрийг нэгэн зэрэг авахын зэрэгцээ мөлхөж байгаа мэт харагдаж байна.

Хэрэв та дэлгэж буй шоог аль нэг нүүрнийх нь зүг рүү харвал (энэ үүднээс авч үзвэл шоо нь дөрвөлжин хэлбэртэй харагдаж байна) задрах процесс бүр ч тодорхойгүй болно. Бүх зүйл эхний дөрвөлжин хэсгээс (нээгдээгүй шоо биш) дөрвөлжин мөлхөж байгаа мэт харагдаж байна.

Гэхдээ сканнер нь зөвхөн нүдэнд харагдахуйц биш юм. Таны төсөөллийн ачаар та үүнээс маш их мэдээлэл олж авах боломжтой.
Дөрвөн хэмжээст шоо боловсруулах

Гиперкубыг задлах хөдөлгөөнт үйл явцыг дор хаяж бага зэрэг нүдээр харуулах боломжгүй юм. Гэхдээ энэ үйл явцыг төсөөлж болно. (Үүнийг хийхийн тулд та дөрвөн хэмжээст оршихуйн нүдээр харах хэрэгтэй.)

Скан нь иймэрхүү харагдаж байна.

Гиперкубыг холбосон бүх найман шоо энд харагдаж байна.

Эвхэх үед тэгшлэх ёстой ирмэгүүд нь ижил өнгөөр ​​будагдсан байдаг. Хос харагдахгүй байгаа царайг саарал өнгөтэй үлдээнэ. Эвхсэний дараа дээд шооны хамгийн дээд нүүр нь доод шооны доод ирмэгтэй тохирч байх ёстой. (Гурван хэмжээст кубыг задлах нь ижил төстэй байдлаар нурсан.)

Хувирсны дараа найман кубын бүх нүүр нь хүрч, гиперкубыг хаах болно гэдгийг анхаарна уу. Эцэст нь, нугалах үйл явцыг төсөөлөхдөө нугалах үед шоо дөрвөлжин давхцах нь биш, харин тэдгээрийг тодорхой (гиперкуб) дөрвөн хэмжээст талбайн эргэн тойронд ороох явдал гэдгийг мартаж болохгүй.

Сальвадор Дали (1904-1989) цовдлолтыг олон удаа дүрсэлсэн бөгөөд түүний олон зураг дээр загалмайнууд байдаг. "Цовдлолт" (1954) зураг нь гиперкуб сканнерыг ашигласан.
Орон зай-цаг хугацаа ба Евклидийн дөрвөн хэмжээст орон зай

Та гиперкубыг төсөөлж чадсан гэж найдаж байна. Гэхдээ та бидний амьдарч буй дөрвөн хэмжээст орон зай цаг хэрхэн ажилладагийг ойлгоход ойртож чадсан уу? Харамсалтай нь тийм биш.

Энд бид Евклидийн дөрвөн хэмжээст орон зайн тухай ярьсан боловч орон зай-цаг хугацаа огт өөр шинж чанартай. Ялангуяа аливаа эргэлтийн үед сегментүүд нь цаг хугацааны тэнхлэгт 45 градусаас бага өнцгөөр эсвэл 45 градусаас дээш өнцөгт налуу хэвээр байна.

ЭХ СУРВАЛЖ 2

Tesseract бол дөрвөн хэмжээст гиперкуб бөгөөд дөрвөн хэмжээст орон зай дахь кубын аналог юм. Оксфордын толь бичигт "тессеракт" гэдэг үгийг 1888 онд Чарльз Ховард Хинтон (1853-1907) "Бодлын шинэ эрин үе" номондоо зохиож хэрэглэжээ. Дараа нь зарим хүмүүс ижил дүрсийг "тетракуб" гэж нэрлэсэн.

Гурван хэмжээст орон зайг орхихгүйгээр гиперкуб ямар харагдахыг төсөөлөхийг хичээцгээе.
Нэг хэмжээст "зай"-д - шугаман дээр - бид L урттай AB сегментийг сонгоно. Хоёр хэмжээст хавтгайд AB-аас L зайд, бид түүнтэй параллель DC сегментийг зурж, тэдгээрийн төгсгөлийг холбоно. Үр дүн нь ABCD квадрат юм. Энэ үйлдлийг онгоцтой давтан хийснээр бид ABCDHEFG гурван хэмжээст кубыг олж авна. Мөн дөрөв дэх хэмжээст (эхний гурвын перпендикуляр) кубыг L зайд шилжүүлснээр бид ABCDEFGHIJKLMNOP гиперкубыг олж авна.

Нэг хэмжээст AB сегмент нь ABCD хоёр хэмжээст квадратын нүүр болж, дөрвөлжин нь ABCDHEFG шооны тал болж үйлчилдэг бөгөөд энэ нь эргээд дөрвөн хэмжээст гиперкубын тал байх болно. Шулуун хэрчим нь хоёр хилийн цэг, дөрвөлжин нь дөрвөн орой, шоо нь найман цэгтэй. Дөрвөн хэмжээст гиперкуб дээр 16 орой байх болно: анхны шоо 8 орой, дөрөв дэх хэмжээст шилжсэн нэг орой 8. Энэ нь 32 ирмэгтэй - 12 нь анхны шоогийн эхний ба эцсийн байрлалыг өгдөг бөгөөд өөр 8 ирмэг нь дөрөв дэх хэмжээс рүү шилжсэн найман оройг "зурдаг". Үүнтэй ижил үндэслэлийг гиперкубын нүүрэнд хийж болно. Хоёр хэмжээст орон зайд зөвхөн нэг (дөрвөлжин өөрөө) байдаг, шоо нь 6-тай (хөөжсөн квадратаас хоёр нүүр, түүний талыг дүрсэлсэн дөрвөн нүүр). Дөрвөн хэмжээст гиперкуб нь 24 дөрвөлжин нүүртэй - хоёр байрлал дахь анхны шоо 12 квадрат, арван хоёр ирмэгээс нь 12 квадрат.

Үүнтэй адилаар бид илүү олон хэмжээстэй гиперкубуудын талаархи үндэслэлээ үргэлжлүүлж болох боловч гурван хэмжээст орон зайн оршин суугчид бидэнд дөрвөн хэмжээст гиперкуб хэрхэн харагдахыг харах нь илүү сонирхолтой юм. Үүний тулд бид аль хэдийн танил болсон аналоги аргыг ашиглах болно.
ABCDHEFG утсан шоо аваад ирмэгийн талаас нь нэг нүдээр харцгаая. Бид харж, хавтгай дээр хоёр квадратыг (түүний ойрын болон холын ирмэгүүд) дөрвөн шугамаар холбосон, хажуугийн ирмэгээр холбож болно. Үүний нэгэн адил гурван хэмжээст орон зайд дөрвөн хэмжээст гиперкуб нь бие биендээ оруулж, найман ирмэгээр холбогдсон хоёр шоо "хайрцаг" шиг харагдах болно. Энэ тохиолдолд "хайрцагнууд" өөрсдөө - гурван хэмжээст нүүр нь "манай" орон зайд тусгагдах бөгөөд тэдгээрийг холбосон шугамууд дөрөв дэх хэмжээст сунах болно. Та мөн кубыг проекцоор биш, харин орон зайн дүрсээр төсөөлөхийг оролдож болно.

Гурван хэмжээст шоо нь нүүрнийхээ уртаар шилжсэн дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг шиг дөрөв дэх хэмжээс рүү шилжсэн шоо нь гиперкуб үүсгэх болно. Энэ нь найман кубаар хязгаарлагддаг бөгөөд хэтийн төлөв нь нэлээд төвөгтэй дүрс шиг харагдах болно. “Манай” орон зайд үлдсэн хэсгийг хатуу зураасаар, хэт орон зайд орсон хэсгийг тасархай шугамаар зурсан байна. Дөрвөн хэмжээст гиперкуб нь өөрөө хязгааргүй тооны шоо дөрвөлжин хэлбэртэй, гурван хэмжээст шоо нь хязгааргүй олон хавтгай дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг шиг.

Гурван хэмжээст шоо дөрвөлжингийн зургаан нүүрийг огтолсноор та үүнийг хавтгай дүрс болгон задалж болно - хөгжил. Энэ нь анхны нүүрний тал бүр дээр дөрвөлжин хэлбэртэй байх бөгөөд үүнээс гадна нэг нүүр нь түүний эсрэг талд байх болно. Дөрвөн хэмжээст гиперкубын гурван хэмжээст хөгжил нь анхны шоо, түүнээс "ургаж буй" зургаан шоо, мөн өөр нэг нь эцсийн "гипер нүүр" -ээс бүрдэнэ. Тесерактын шинж чанарууд нь доод хэмжээст геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарын үргэлжлэлийг дөрвөн хэмжээст орон зайд илэрхийлдэг.

Бусад нэрс
Hexadecachoron
Октахорон
Тетракуб
4-шоо
Hypercube (хэрэв хэмжээсийн тоог заагаагүй бол)

10 хэмжээст орон зай
Энэ нь англи хэл дээр байгаа бөгөөд үүнийг мэдэхгүй хүмүүст зураг нь ойлгомжтой байдаг

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338