Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Математикийн зарим асуудлыг шийдэхдээ квадрат язгууртай ажиллах хэрэгтэй. Тиймээс квадрат язгууртай үйлдлийн дүрмийг мэдэж, тэдгээрийг агуулсан илэрхийллийг хэрхэн хувиргах талаар сурах нь чухал юм. Зорилго нь квадрат язгууртай үйлдлийн дүрэм, квадрат язгууртай илэрхийллийг хувиргах арга замыг судлах явдал юм.

Зарим рационал тоог 1/1998=0.000500500500 гэх мэт хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлдгийг бид мэднэ... Гэвч аравтын тэлэгдэл нь ямар ч үе илрээгүй тоог төсөөлөхөд юу ч саад болохгүй. Ийм тоог иррациональ гэж нэрлэдэг.

Иррационал тооны түүх нь 6-р зуунд Пифагорчуудын гайхалтай нээлтээс эхэлдэг. МЭӨ д. Энэ бүхэн энгийн мэт асуултаас эхэлсэн: 1-р талтай квадратын диагональ уртыг ямар тоо илэрхийлэх вэ?

Диагональ нь квадратыг 2 ижил тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваадаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрдээ гипотенузын үүргийг гүйцэтгэдэг. Тиймээс Пифагорын теоремоос дараах байдлаар квадратын диагоналын урт нь тэнцүү байна.

Пифагор болон түүний шавь нар компьютергүй байсан ч энэ баримтыг нотолсон хүмүүс юм. Пифагорчууд квадратын диагональ ба түүний тал нь нийтлэг хэмжигдэхүүнгүй гэдгийг нотолсон (өөрөөр хэлбэл диагональ болон хажуу талдаа бүхэл тоогоор зурсан сегмент). Тиймээс тэдгээрийн уртын харьцаа нь тоо юм

Пифагорчуудын нээлтийн дараа

Энэ тоог яаж батлах вэ

Бидний таамаглал буруу, рационал тоо m/n нь тэнцүү байна гэж дүгнэх хэвээр байна.

1. Тооны квадрат язгуур

Цагийг мэддэг т , та дараах томъёог ашиглан чөлөөт уналтын замыг олох боломжтой.

Даалгавар . 122.5 м өндрөөс унасан чулуу хэдэн секундэд унах вэ?

Хариултыг олохын тулд та тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй

Мөн бусад асуудлыг шийдвэрлэхдээ, жишээлбэл, квадратын хажуугийн уртыг талбайгаар нь олохдоо эерэг тоог квадратаар нь хайх хэрэгтэй. Дараахь тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт . Квадрат нь сөрөг бус a тоотой тэнцүү сөрөг бус тоог a-ийн квадрат язгуур гэнэ.Энэ тоо гэсэн үг

Тиймээс

Жишээ . Учир нь

Аливаа тооны квадрат нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү тул сөрөг тооноос квадрат язгуур авч болохгүй. Жишээлбэл, илэрхийлэл

тэг: = 10…0

2n тэг n тэг

2n тэг n тэг

Жишээлбэл,

2. Квадрат язгуурыг тооцоолох

. Энэ процессыг үргэлжлүүлснээр бид -тэй тэнцүү хязгааргүй аравтын бутархайн цифрүүдийг нэг нэгээр нь авна.

болон товчлуурыг дарна уу - утгын 8 орон дэлгэц дээр гарч ирнэ. Зарим тохиолдолд дөрвөлжин язгуурын шинж чанарыг ашиглах шаардлагатай байдаг бөгөөд бид үүнийг доор зааж өгөх болно.

Хэрэв бичил тооцоолуурын нарийвчлал хангалтгүй бол та дараах теоремоор өгөгдсөн язгуурын утгыг сайжруулах аргыг ашиглаж болно. Теорем.

Хэрэв a нь эерэг тоо бөгөөд илүүдлийн ойролцоо утгатай бол

Үндэс томъёо. Квадрат язгуурын шинж чанарууд.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.

Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст) Өмнөх хичээлээр бид квадрат язгуур гэж юу болохыг олж мэдсэн. Аль нь байгааг олж мэдэх цаг болжээүндэсийн томъёо юу вэүндэс шинж чанар

, мөн энэ бүхэнтэй юу хийж болох вэ.- энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм. Квадрат язгуурын хувьд гайхалтай цөөн тооны томъёо байдаг. Энэ нь мэдээж намайг аз жаргалтай болгодог! Өөрөөр хэлбэл, та маш олон янзын томъёо бичиж болно, гэхдээ үндэстэй практик, итгэлтэй ажиллахад ердөө гурав нь л хангалттай. Бусад бүх зүйл энэ гурваас урсдаг. Хэдийгээр олон хүн гурван язгуур томъёонд андуурдаг ч тийм ээ...

Хамгийн энгийнээс эхэлцгээе. Энд байна:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Квадрат язгуур гэж юу вэ?

Үндэс томъёо. Квадрат язгуурын шинж чанарууд.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.

Энэ ойлголт нь маш энгийн. Мэдээжийн хэрэг, би хэлэх болно. Математикчид аливаа үйлдэлд хариу үйлдэл үзүүлэхийг хичээдэг. Нэмэлт байна - хасах нь бас байна. Үржүүлэх гэж байна - хуваах ч байна. Квадрат гэж байна... Тэгэхээр бас байна квадрат язгуур авах!Ингээд л болоо. Энэ үйлдэл ( квадрат язгуур) математикт энэ дүрсээр тэмдэглэгдсэн:

Дүрсийг өөрөө сайхан үг гэж нэрлэдэг " радикал".

Хэрхэн үндсийг нь гаргаж авах вэ?Харсан нь дээр жишээнүүд.

9-ийн квадрат язгуур хэд вэ? Аль тооны квадрат нь 9-ийг өгөх вэ? 3 квадрат нь 9-ийг өгдөг! Эдгээр нь:

Гэхдээ тэгийн квадрат язгуур хэд вэ? Асуулт байхгүй! Тэг нь ямар тооны квадрат болох вэ? Тийм ээ, энэ нь тэг өгдөг! гэсэн утгатай:

Ойлголоо, квадрат язгуур гэж юу вэ?Дараа нь бид авч үзье жишээнүүд:

Хариултууд (эмх замбараагүй): 6; 1; 4; 9; 5.

Шийдсэн үү? Үнэхээр, энэ нь хэр хялбар вэ?!

Харин... Үндэстэй аливаа ажлыг хүн хараад юу хийдэг вэ?

Хүн уйтгар гунигийг мэдэрч эхэлдэг ... Тэр өөрийн язгуурын энгийн, хөнгөн байдалд итгэдэггүй. Хэдийгээр тэр мэддэг бололтой квадрат язгуур гэж юу вэ...

Учир нь тухайн хүн үндсийг судлахдаа хэд хэдэн чухал зүйлийг үл тоомсорлодог. Тэгвэл эдгээр моодууд шалгалт, шалгалтын хэрцгий өшөөг авдаг...

Нэг цэг. Та үндсийг нь нүдээр нь таних хэрэгтэй!

49-ийн квадрат язгуур хэд вэ? Долоо? Зөв! Долоо гэдгийг яаж мэдсэн юм бэ? Долоон квадрат болгоод 49 болсон уу? Зөв! Үүнийг анхаарна уу үндсийг нь гаргаж авна 49-өөс бид урвуу үйлдлийг хийх ёстой байсан - 7-р квадрат! Мөн бид алдахгүй байгаа эсэхийг шалгаарай. Эсвэл тэд алдаж магадгүй ...

Энэ бол хүндрэл юм үндэс олборлолт. ДөрвөлжинТа ямар ч дугаарыг асуудалгүй ашиглаж болно. Тоогоо өөрөө баганагаар үржүүлээрэй - тэгээд л болоо. Гэхдээ төлөө үндэс олборлолтИйм энгийн бөгөөд аюулгүй технологи гэж байдаггүй. Бид тэгэх ёстой аваххариулж, зөв ​​эсэхийг квадратаар нь шалгана уу.

Энэхүү нарийн төвөгтэй бүтээлч үйл явц - хариултыг сонгох нь хэрэв та бол маш хялбаршуулсан болно санаж байнаалдартай тоонуудын квадратууд. Үржүүлэх хүснэгт шиг. Хэрэв та 4-ийг 6-аар үржүүлэх шаардлагатай бол дөрвийг 6 дахин нэмэхгүй гэж үү? 24 гэсэн хариулт тэр даруй гарч ирдэг, гэхдээ хүн бүр үүнийг ойлгодоггүй, тийм ээ ...

Үндэстэй чөлөөтэй, амжилттай ажиллахын тулд 1-ээс 20 хүртэлх тооны квадратуудыг мэдэхэд хангалттай. тэндТэгээд буцаж.Тэдгээр. Та 11-ийн квадрат ба 121-ийн квадрат язгуурыг хоёуланг нь хялбархан хэлж чаддаг байх ёстой. Энэ цээжлэхэд хүрэхийн тулд хоёр арга бий. Эхнийх нь квадратуудын хүснэгтийг сурах явдал юм. Энэ нь жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд маш сайн туслах болно. Хоёр дахь нь илүү олон жишээг шийдэх явдал юм. Энэ нь квадратуудын хүснэгтийг санахад ихээхэн тус болно.

Мөн ямар ч тооны машин байхгүй! Зөвхөн туршилтын зорилгоор. Тэгэхгүй бол шалгалтын үеэр хайр найргүй удаашрах болно...

Тэгэхээр, квадрат язгуур гэж юу вэмөн яаж үндэс ханд-Би ойлгомжтой гэж бодож байна. Одоо бид тэдгээрийг юунаас гаргаж авах боломжтойг олж мэдье.

Хоёр дахь цэг. Root, би чамайг мэдэхгүй!

Та ямар тооноос квадрат язгуур авч болох вэ? Тиймээ, тэдний бараг аль нь ч. Энэ нь юунаас гаралтай болохыг ойлгоход илүү хялбар болно энэ нь хориотойтэдгээрийг гаргаж авах.

Энэ үндсийг тооцоолохыг хичээцгээе:

Үүнийг хийхийн тулд квадрат нь бидэнд -4 өгөх тоог сонгох хэрэгтэй. Бид сонгодог.

Юу вэ, тохирохгүй байна уу? 2 2 нь +4 өгдөг. (-2) 2 дахин +4 өгнө! Ингээд л... Квадратыг нь авахад сөрөг тоо гарах тоо байхгүй! Хэдийгээр би эдгээр тоонуудыг мэддэг. Гэхдээ би танд хэлэхгүй). Коллежид яв, тэгвэл та өөрөө мэдэх болно.

Ямар ч сөрөг тоотой ижил түүх тохиолдох болно. Эндээс дүгнэлт:

Квадрат язгуур тэмдгийн дор сөрөг тоо байгаа илэрхийлэл - утгагүй! Энэ бол хориотой ажиллагаа юм. Тэгээр хуваахтай адил хориотой. Энэ баримтыг сайтар санаарай!Эсвэл өөрөөр хэлбэл:

Та сөрөг тооноос квадрат язгуур гаргаж чадахгүй!

Гэхдээ бусад бүхнээс энэ нь боломжтой. Жишээ нь, тооцоолох бүрэн боломжтой

Эхлээд харахад энэ нь маш хэцүү юм. Бутархайг сонгох, квадрат болгох... Санаа зоволтгүй. Үндэсний шинж чанарыг ойлгох үед ийм жишээнүүд ижил квадратуудын хүснэгтэд багасах болно. Амьдрал илүү хялбар болно!

За, бутархай. Гэхдээ бид дараахь хэллэгүүдтэй тулгарсаар байна.

Зүгээр дээ. Бүх зүйл адилхан. Хоёрын квадрат язгуур нь квадратыг нь авахад хоёрыг өгдөг тоо юм. Зөвхөн энэ тоо бүрэн тэгш бус байна ... Энд байна:

Хамгийн сонирхолтой нь энэ бутархай хэзээ ч дуусдаггүй... Ийм тоог иррациональ гэж нэрлэдэг. Квадрат үндэст энэ нь хамгийн түгээмэл зүйл юм. Дашрамд хэлэхэд, ийм учраас үндэстэй хэллэгийг нэрлэдэг үндэслэлгүй. Ийм хязгааргүй бутархайг байнга бичих нь эвгүй гэдэг нь ойлгомжтой. Тиймээс, тэд хязгааргүй бутархайн оронд үүнийг дараах байдлаар үлдээдэг.

Хэрэв жишээг шийдвэрлэх үед та гаргаж авах боломжгүй зүйл байвал, жишээ нь:

тэгвэл бид ингээд орхичих. Энэ хариулт байх болно.

Та дүрс нь ямар утгатай болохыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв тооны язгуурыг авсан бол гөлгөр, та үүнийг хийх ёстой. Даалгаврын хариулт нь жишээлбэл хэлбэрээр байна

Маш бүрэн дүүрэн хариулт.

Мэдээжийн хэрэг та ой санамжаас ойролцоогоор утгыг мэдэх хэрэгтэй.

Энэхүү мэдлэг нь нарийн төвөгтэй ажлуудын нөхцөл байдлыг үнэлэхэд ихээхэн тусалдаг.

Гуравдугаар цэг. Хамгийн зальтай.

Үндэстэй ажиллах гол төөрөгдөл нь энэ цэгээс үүдэлтэй. Тэр бол өөрийнхөө чадварт итгэх итгэлийг өгдөг ... Энэ асуудлыг зөв шийдье!

Эхлээд дөрвийнх нь язгуурыг дахин авъя. Би чамайг энэ үндэсээр аль хэдийн зовоож байсан уу?) Санаа зовох хэрэггүй, одоо энэ нь сонирхолтой байх болно!

4 квадрат нь ямар тоо вэ? За, хоёр, хоёр - Би сэтгэл хангалуун бус хариултуудыг сонсдог ...

Зөв. Хоёр. Гэхдээ бас хасах хоёр 4 квадратыг өгөх болно ... Энэ хооронд хариулт

зөв ба хариулт

бүдүүлэг алдаа. Энэ мэт.

Тэгэхээр юу болсон бэ?

Үнэхээр (-2) 2 = 4. Мөн дөрвийн язгуурын тодорхойлолтын дор хасах хоёрнэлээн тохиромжтой... Энэ бас дөрвийн язгуур.

Гэхдээ! Сургуулийн математикийн хичээл дээр квадрат язгуурыг авч үзэх нь заншилтай байдаг зөвхөн сөрөг бус тоонууд!Өөрөөр хэлбэл, тэг ба бүгд эерэг байна. Бүр тусгай нэр томъёог зохион бүтээсэн: дундаас тэмдгийг радикал тэмдэг гэж нэрлэдэг (Латин "radix" - үндэс) ба тоо- Энэ сөрөг бусквадрат нь байгаа тоо тэмдгийг радикал тэмдэг гэж нэрлэдэг (Латин "radix" - үндэс) ба тоо. Арифметик квадрат язгуур гаргаж авах үед гарсан сөрөг үр дүнг зүгээр л хаядаг. Сургуульд бүх зүйл квадрат үндэстэй байдаг - арифметик. Хэдийгээр энэ талаар онцгой дурдаагүй болно.

За, энэ нь ойлгомжтой. Сөрөг үр дүнд санаа зовохгүй байх нь бүр ч дээр ... Энэ бол одоохондоо төөрөгдөл биш юм.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед төөрөгдөл эхэлдэг. Жишээлбэл, та дараах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Тэгшитгэл нь энгийн, бид хариултыг бичнэ (заасан ёсоор):

Энэ хариулт (үнэхээр зөв, дашрамд) зүгээр л товчилсон хувилбар юм хоёрхариултууд:

Зогс, зогсоо! Яг дээр нь язгуур бол тоо гэж бичсэн Үргэлжсөрөг биш! Энд хариултуудын нэг нь байна - сөрөг! Эмх замбараагүй байдал. Энэ бол үндэст үл итгэх анхны (гэхдээ сүүлчийнх биш) асуудал юм ... Энэ асуудлыг шийдье. Хариултуудыг (зөвхөн ойлгохын тулд!) дараах байдлаар бичье.

Хаалт нь хариултын мөн чанарыг өөрчилдөггүй. Би зүгээр л хаалтаар тусгаарласан тэмдэг-аас үндэс. Одоо та үндэс нь өөрөө (хаалтанд) сөрөг бус тоо хэвээр байгааг тодорхой харж болно! Мөн тэмдгүүд нь тэгшитгэлийг шийдсэний үр дүн. Эцсийн эцэст аливаа тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид бичих ёстой БүгдАнхны тэгшитгэлд орлуулахад зөв үр дүнг өгөх Xs. Нэмэх, хасах аль аль нь тав (эерэг!) -ийн үндэс нь бидний тэгшитгэлд тохирно.

Энэ мэт. Хэрэв та зүгээр л квадрат язгуур авнаюунаас ч юм, чи Үргэлжчи авна нэг сөрөг бишүр дүн. Жишээ нь:

Учир нь энэ нь - арифметик квадрат язгуур.

Гэхдээ хэрэв та квадрат тэгшитгэлийг шийдэж байгаа бол, жишээ нь:

Тэр ҮргэлжЭнэ нь болж байна хоёрхариулт (нэмэх ба хасахтай):

Учир нь энэ бол тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Найдвар, квадрат язгуур гэж юу вэТа оноогоо тодорхой авлаа. Одоо үндсээр нь юу хийж болох, тэдгээрийн шинж чанарууд юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Мөн ямар оноо, бэрхшээл байна вэ ... уучлаарай, чулуунууд!)

Энэ бүхэн дараах хичээлүүдэд байна.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Баяр хүргэе: өнөөдөр бид 8-р ангийн хамгийн сэтгэл хөдөлгөм сэдвүүдийн нэг болох үндсийг үзэх болно.

Олон хүмүүс язгуурын талаар эргэлздэг нь нарийн төвөгтэй учраас биш (энэ нь маш төвөгтэй зүйл юм - хэд хэдэн тодорхойлолт, хэд хэдэн шинж чанар), гэхдээ ихэнх сургуулийн сурах бичгүүдэд үндэс нь ийм ширэнгэн ойгоор тодорхойлогддог тул зөвхөн сурах бичгийг зохиогчид өөрсдөө ойлгодог. энэ бичвэрийг ойлгож чадна. Тэгээд ч гэсэн ганц шил сайн вискитэй. :)

Тиймээс, одоо би язгуурын хамгийн зөв, хамгийн чадварлаг тодорхойлолтыг өгөх болно - таны санаж байх ёстой цорын ганц зүйл юм. Дараа нь би тайлбарлах болно: энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ, үүнийг практикт хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар.

Гэхдээ эхлээд олон сурах бичиг эмхэтгэгчид ямар нэг шалтгаанаар "мартдаг" нэг чухал зүйлийг санаарай.

Үндэс нь тэгш зэрэгтэй (бидний дуртай $\sqrt(a)$, түүнчлэн бүх төрлийн $\sqrt(a)$, бүр $\sqrt(a)$) ба сондгой зэрэгтэй (бүх төрлийн $\sqrt) байж болно. (a)$, $\ sqrt(a)$ гэх мэт). Мөн сондгой зэрэглэлийн язгуурын тодорхойлолт нь тэгш нэгээс арай өөр юм.

Үндэстэй холбоотой бүх алдаа, үл ойлголцлын 95% нь энэ новшийн "ямар нэгэн байдлаар" нуугдаж байгаа байх. Тиймээс нэр томъёог нэг удаа, бүрмөсөн тодорхой болгоё:

Тодорхойлолт. Бүр үндэс тэг, нэг ба бичсэн тоотой тэнцүү байна$a$ тооноос дурын байна сөрөг бус$b$ тоо нь $((b)^(n))=a$ байна. Мөн ижил тооны $a$-ын сондгой язгуур нь ерөнхийдөө ижил тэгш байдлыг хангасан дурын $b$ тоо юм: $((b)^(n))=a$.

Ямар ч тохиолдолд язгуурыг дараах байдлаар тэмдэглэв.

\(a)\]

Ийм тэмдэглэгээний $n$ тоог язгуур илтгэгч, $a$ тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Тодруулбал, $n=2$-ын хувьд бид өөрийн “дуртай” квадрат язгуурыг (дашрамд хэлэхэд, энэ нь тэгш градусын үндэс), $n=3$-д бид куб язгуурыг (сондгой градус) авна. асуудал, тэгшитгэлд ихэвчлэн олддог.

Жишээ. Квадрат язгуурын сонгодог жишээ:

\[\эхлэх(эгцлэх) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дашрамд хэлэхэд $\sqrt(0)=0$, $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ба $((1)^(2))=1$ тул энэ нь нэлээд логик юм.

Шоо үндэс нь бас түгээмэл байдаг - тэднээс айх шаардлагагүй:

\[\эхлэх(эгцлэх) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, хэдэн "чамин жишээ":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хэрэв та тэгш ба сондгой зэрэглэлийн ялгаа юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол тодорхойлолтыг дахин уншина уу. Энэ бол маш чухал!

Энэ хооронд бид язгуурын нэг тааламжгүй шинж чанарыг авч үзэх болно, учир нь бид тэгш, сондгой илтгэгчийн тусдаа тодорхойлолтыг оруулах шаардлагатай болсон.

Яагаад үндэс хэрэгтэй вэ?

Тодорхойлолтыг уншсаны дараа олон оюутнууд "Математикчид үүнийг гаргахдаа ямар тамхи татдаг байсан бэ?" гэж асуух болно. Тэгээд үнэхээр: энэ бүх үндэс яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Энэ асуултад хариулахын тулд бага анги руугаа түр орцгооё. Санаж байгаарай: мод ногоорч, бууз нь илүү амттай байсан тэр алс холын үед тоогоо зөв үржүүлэх нь бидний гол санаа байсан юм. За, "таваас тав - хорин тав" гэх мэт. Гэхдээ та тоог хосоор нь биш, харин гурав дахин, дөрөв дахин, ерөнхийдөө бүхэл багцаар үржүүлж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Гэсэн хэдий ч энэ нь гол зүйл биш юм. Энэ арга нь өөр: математикчид залхуу хүмүүс тул арван тавын үржүүлгийг ингэж бичихэд хэцүү байсан.

Тийм ч учраас эрдмийн зэрэг гаргаж ирсэн. Урт мөрийн оронд хүчин зүйлийн тоог дээд үсгээр бичиж яагаад болохгүй гэж? Иймэрхүү зүйл:

Энэ нь маш тохиромжтой! Бүх тооцоо мэдэгдэхүйц багасч, 5,183-ыг бичихийн тулд олон тооны илгэн цаас, дэвтэр үрэх шаардлагагүй болно. Энэ бичлэгийг олон тооны шинж чанар гэж нэрлэдэг байсан ч аз жаргал нь богино настай байв.

Зэрэгцээг "нээх" зорилгоор зохион байгуулсан архидалт ихтэй үдэшлэгийн дараа зарим нэг зөрүүд математикч гэнэт "Бид тооны зэрэглэлийг мэддэг хэрнээ тоо нь өөрөө тодорхойгүй байвал яах вэ?" Хэрэв бид 5-р зэрэглэлд 243-ыг өгдөг гэж хэлэхэд $b$ тодорхой тоо мэддэг бол $b$ тоо өөрөө хэдтэй тэнцүү болохыг яаж тааж чадах вэ?

Энэ асуудал нь эхлээд харахад санагдахаас хамаагүй илүү дэлхий нийтийн шинж чанартай болсон. Учир нь ихэнх "бэлэн" эрх мэдлийн хувьд ийм "анхны" тоо байдаггүй нь тогтоогдсон. Өөрийгөө шүүх:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Баруун сум b=3\cdot 3\cdot 3\Баруун сум b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Баруун сум b=4\cdot 4\cdot 4\Баруун сум b=4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((b)^(3))=$50 бол яах вэ? Гурав дахин үржүүлбэл 50 болох тодорхой тоог олох хэрэгтэй болж байна. Гэхдээ энэ хэд вэ? Энэ нь 3-аас их байх нь тодорхой, учир нь 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тэр нь Энэ тоо гурваас дөрөвний хооронд байгаа боловч энэ нь юутай тэнцүү болохыг та ойлгохгүй байх болно.

Чухам ийм учраас математикчид $n$th үндсийг гаргаж ирсэн. Чухам ийм учраас $\sqrt(*)$ радикал тэмдэг гарч ирсэн. $b$-ийн тоог зааж өгөх нь заасан хэмжээгээр бидэнд урьд нь мэдэгдэж байсан утгыг өгөх болно

\[\sqrt[n](a)=b\Баруун сум ((b)^(n))=a\]

Би маргахгүй: ихэнхдээ эдгээр үндсийг амархан тооцдог - бид дээр дурдсан хэд хэдэн жишээг харсан. Гэсэн хэдий ч, ихэнх тохиолдолд, хэрэв та дурын тоо бодож, дараа нь дурын зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авахыг оролдвол танд аймшигтай зүйл тохиолдох болно.

Тэнд юу байна! Хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн танил $\sqrt(2)$ ч гэсэн бидний ердийн хэлбэрээр бүхэл тоо эсвэл бутархай хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй. Хэрэв та энэ тоог тооцоолуур руу оруулбал дараахь зүйлийг харах болно.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Таны харж байгаагаар аравтын бутархайн дараа ямар ч логикт захирагдахгүй тоонуудын төгсгөлгүй дараалал бий. Мэдээжийн хэрэг та энэ тоог дугуйлж, бусад тоонуудтай хурдан харьцуулж болно. Жишээ нь:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ойролцоогоор 1,4 \лт 1,5\]

Эсвэл өөр жишээ энд байна:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ойролцоогоор 1.7 \gt 1.5\]

Гэхдээ эдгээр бүх тойргууд нь нэгдүгээрт, нэлээд ширүүн байдаг; хоёрдугаарт, та ойролцоо утгатай ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй, эс тэгвээс та олон тооны тодорхой бус алдааг олж авах боломжтой (Дашрамд хэлэхэд, харьцуулах, дугуйлах чадварыг Улсын нэгдсэн шалгалтын профайл дээр шалгах шаардлагатай).

Тиймээс, ноцтой математикийн хувьд та үндэсгүйгээр хийж чадахгүй - эдгээр нь бидний эртнээс сайн мэддэг бутархай ба бүхэл тоонуудын нэгэн адил $\mathbb(R)$ бүх бодит тоонуудын ижил тэнцүү төлөөлөгчид юм.

Үндэсийг $\frac(p)(q)$ хэлбэрийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байгаа нь энэ үндэс нь рационал тоо биш гэсэн үг юм. Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээрийг тусгайлан зохион бүтээсэн радикал эсвэл бусад бүтцийн тусламжтайгаар (логарифм, хүч, хязгаар гэх мэт) зөвхөн үнэн зөв илэрхийлэх боломжгүй юм. Гэхдээ энэ талаар өөр нэг удаа.

Бүх тооцооллын дараа иррационал тоонууд хариултад үлдэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ойролцоогоор 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ойролцоогоор -1.2599... \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, үндэс гарч ирснээс хойш аравтын бутархайн дараа ямар тоо гарч ирэхийг таамаглах нь бараг боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч та тооцоолуур дээр найдаж болно, гэхдээ хамгийн дэвшилтэт огнооны тооцоолуур ч гэсэн иррационал тооны эхний хэдэн цифрийг л өгдөг. Тиймээс хариултыг $\sqrt(5)$, $\sqrt(-2)$ хэлбэрээр бичих нь хамаагүй зөв юм.

Чухам ийм учраас тэдгээрийг зохион бүтээсэн. Хариултуудыг хялбархан бичихийн тулд.

Яагаад хоёр тодорхойлолт хэрэгтэй байна вэ?

Анхааралтай уншигч жишээнүүдэд өгөгдсөн бүх квадрат язгуурыг эерэг тооноос авсан болохыг аль хэдийн анзаарсан байх. За, ядаж эхнээс нь. Гэхдээ шоо үндсийг эерэг эсвэл сөрөг аль ч тооноос тайван байдлаар гаргаж авах боломжтой.

Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? $y=((x)^(2))$ функцийн графикийг харна уу:

Энэ графикийг ашиглан $\sqrt(4)$-г тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд $((x)_(1))=2$ ба $((x) гэсэн хоёр цэг дээр параболатай огтлолцох $y=4$ хэвтээ шугамыг график дээр (улаанаар тэмдэглэсэн) зурсан. )_(2)) =-2$. Энэ нь нэлээд логик юм, учир нь

Эхний тоогоор бүх зүйл тодорхой байна - энэ нь эерэг, тиймээс үндэс нь:

Гэхдээ хоёр дахь цэгийг яах вэ? Дөрөв нь нэг дор хоёр үндэстэй юм шиг? Тэгээд ч −2 тоог квадрат болговол бас 4 гарна. Тэгвэл яагаад $\sqrt(4)=-2$ гэж бичиж болохгүй гэж? Тэгээд багш нар яагаад чамайг идмээр байгаа юм шиг хардаг юм бэ?

Асуудал нь хэрэв та нэмэлт нөхцөл тавихгүй бол дөрвөлжин нь эерэг ба сөрөг гэсэн хоёр квадрат язгууртай болно. Ямар ч эерэг тоо бас хоёртой байх болно. Гэхдээ сөрөг тоо нь огт үндэсгүй байх болно - парабол тэнхлэгээс доош буудаггүй тул үүнийг ижил графикаас харж болно. y, өөрөөр хэлбэл сөрөг утгыг хүлээн зөвшөөрдөггүй.

Тэгш илтгэгчтэй бүх үндэст ижил төстэй асуудал гардаг:

1. Хатуухан хэлэхэд эерэг тоо бүр $n$ илтгэгчтэй хоёр үндэстэй байх болно;
2. Сөрөг тоонуудаас $n$-тай язгуурыг огт гаргаж авдаггүй.

Тийм ч учраас $n$ тэгш зэрэгтэй язгуурыг тодорхойлохдоо хариулт нь сөрөг бус тоо байх ёстой гэж тусгайлан заасан байдаг. Ингэж л бид хоёрдмол байдлаас ангижрах болно.

Харин сондгой $n$-д тийм асуудал байхгүй. Үүнийг харахын тулд $y=((x)^(3))$ функцийн графикийг харцгаая:

Энэ графикаас хоёр дүгнэлт гаргаж болно.

1. Куб параболын мөчрүүд нь ердийнхөөс ялгаатай нь дээд ба доош хоёр чиглэлд хязгааргүйд хүрдэг. Тиймээс бид ямар ч өндөрт хэвтээ шугам зурсан ч энэ шугам нь бидний графиктай огтлолцох нь гарцаагүй. Иймээс куб үндэсийг ямар ч тооноос авах боломжтой;
2. Үүнээс гадна, ийм уулзвар нь үргэлж өвөрмөц байх тул аль тоог "зөв" үндэс гэж үзэж, алийг нь үл тоомсорлох талаар бодох шаардлагагүй болно. Тийм ч учраас сондгой зэрэглэлийн үндсийг тодорхойлох нь тэгш зэрэгтэй харьцуулахад хялбар байдаг (сөрөг биш байх шаардлагагүй).

Эдгээр энгийн зүйлсийг ихэнх сурах бичигт тайлбарлаагүй нь харамсалтай. Үүний оронд бидний тархи бүх төрлийн арифметик язгуур, тэдгээрийн шинж чанаруудтай хөөрч эхэлдэг.

Тийм ээ, би маргахгүй: та бас арифметик үндэс гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй. Мөн би энэ талаар тусдаа хичээл дээр дэлгэрэнгүй ярих болно. Өнөөдөр бид бас энэ тухай ярих болно, учир нь үүнгүйгээр $n$-р үржвэрийн үндэсийн талаархи бүх бодол бүрэн бус байх болно.

Гэхдээ эхлээд миний дээр хэлсэн тодорхойлолтыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Үгүй бол олон тооны нэр томъёоны улмаас таны толгойд ийм эмх замбараагүй байдал үүсч, эцэст нь та юу ч ойлгохгүй болно.

Тэгш, сондгой үзүүлэлтүүдийн ялгааг ойлгоход л хангалттай. Тиймээс, үндэсийн талаар үнэхээр мэдэх шаардлагатай бүх зүйлийг дахин цуглуулцгаая.

1. Тэгш зэрэгтэй язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тооноос л байдаг ба өөрөө үргэлж сөрөг бус тоо байдаг. Сөрөг тоонуудын хувьд ийм үндэс нь тодорхойгүй байна.
2. Гэхдээ сондгой зэрэглэлийн үндэс нь ямар ч тооноос байдаг бөгөөд өөрөө ямар ч тоо байж болно: эерэг тоонуудын хувьд эерэг, сөрөг тоонуудын хувьд сөрөг байна.

Хэцүү байна уу? Үгүй ээ, хэцүү биш. Тодорхой байна уу? Тийм ээ, энэ нь бүрэн ойлгомжтой! Тиймээс одоо бид тооцоололд бага зэрэг дасгал хийх болно.

Үндсэн шинж чанар ба хязгаарлалт

Үндэс нь олон хачирхалтай шинж чанар, хязгаарлалттай байдаг - үүнийг тусдаа хичээл дээр авч үзэх болно. Тиймээс, одоо бид зөвхөн тэгш индекстэй үндэст хамаарах хамгийн чухал "заль мэх" -ийг авч үзэх болно. Энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид тоог тэгш түвшинд өсгөж, дараа нь ижил түвшний үндсийг гаргавал бид анхны тоог биш, харин модулийг авна. Энэ бол амархан нотлогдож болох энгийн теорем (сөрөг бус $x$-г тусад нь авч үзэхэд хангалттай, дараа нь сөрөгийг тусад нь авч үзэхэд хангалттай). Багш нар энэ тухай байнга ярьдаг, сургуулийн сурах бичиг болгонд өгдөг. Гэхдээ иррационал тэгшитгэлийг (жишээ нь, радикал тэмдэг агуулсан тэгшитгэл) шийдэхэд оюутнууд санал нэгтэйгээр энэ томъёог мартдаг.

Асуудлыг нарийвчлан ойлгохын тулд бүх томъёог нэг минутын турш мартаж, хоёр тоог шууд тооцоолохыг хичээцгээе.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \баруун))^(4)))=?\]

Эдгээр нь маш энгийн жишээ юм. Ихэнх хүмүүс эхний жишээг шийдэх боловч олон хүн хоёр дахь жишээн дээр гацдаг. Иймэрхүү хог хаягдлыг асуудалгүйгээр шийдэхийн тулд дараахь журмыг анхаарч үзээрэй.

1. Нэгдүгээрт, тоог дөрөв дэх зэрэглэлд хүргэнэ. За, энэ нь арай хялбар юм. Та үржүүлэх хүснэгтээс ч олж болох шинэ дугаар авах болно;
2. Одоо энэ шинэ тооноос дөрөв дэх үндсийг гаргаж авах шаардлагатай байна. Тэдгээр. Үндэс ба хүчийг "багасгах" байхгүй - эдгээр нь дараалсан үйлдлүүд юм.

Эхний илэрхийллийг харцгаая: $\sqrt(((3)^(4)))$. Мэдээжийн хэрэг та эхлээд язгуурын доорх илэрхийлэлийг тооцоолох хэрэгтэй.

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Дараа нь бид 81 тооны дөрөв дэх үндсийг гаргаж авдаг.

Одоо хоёр дахь илэрхийлэлтэй ижил зүйлийг хийцгээе. Нэгдүгээрт, бид −3 тоог дөрөв дэх зэрэгт хүргэх бөгөөд үүнийг өөрөө 4 дахин үржүүлэх шаардлагатай.

\[((\left(-3 \баруун))^(4))=\left(-3 \баруун)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \ зүүн(-3 \баруун)=81\]

Бүтээгдэхүүний нийт хасах тоо нь 4 тул бид эерэг тоо авсан бөгөөд тэд бүгд бие биенээ цуцлах болно (эцсийн эцэст хасах нь хасах нь нэмэх болно). Дараа нь бид үндсийг дахин гаргаж авдаг:

Зарчмын хувьд энэ мөрийг бичих боломжгүй байсан, учир нь хариулт нь ижил байх болно. Тэдгээр. ижил тэгш чадлын тэгш үндэс нь сул талуудыг "шатдаг" бөгөөд энэ утгаараа үр дүн нь ердийн модулиас ялгагдахааргүй юм.

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\зүүн(-3 \баруун))^(4)))=\зүүн| -3 \баруун|=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр тооцоолол нь тэгш градусын язгуурын тодорхойлолттой сайн тохирч байна: үр дүн нь үргэлж сөрөг биш бөгөөд радикал тэмдэг нь үргэлж сөрөг бус тоог агуулдаг. Үгүй бол үндэс нь тодорхойгүй байна.

Процедурын талаархи тэмдэглэл

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ гэсэн тэмдэглэгээ нь эхлээд $a$ тоог квадрат болгож дараа нь гарсан утгын квадрат язгуурыг авна гэсэн үг. Тиймээс ямар ч тохиолдолд $((a)^(2))\ge 0$ байх тул язгуур тэмдгийн дор үргэлж сөрөг бус тоо байгаа гэдэгт итгэлтэй байж болно;
2. Харин $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ гэсэн тэмдэглэгээ нь эсрэгээрээ бид эхлээд тодорхой $a$ тооны үндсийг аваад дараа нь үр дүнг квадрат болгоно гэсэн үг. Тиймээс $a$ тоо нь ямар ч тохиолдолд сөрөг байж болохгүй - энэ нь тодорхойлолтонд орсон зайлшгүй шаардлага юм.

Тиймээс ямар ч тохиолдолд үндэс, зэрэглэлийг бодолгүйгээр бууруулж, анхны илэрхийлэлийг "хялбарчлах" байх ёсгүй. Учир нь язгуур нь сөрөг тоотой, илтгэгч нь тэгш байвал бид олон асуудал гарна.

Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх асуудал нь зөвхөн үзүүлэлтүүдэд л хамаатай.

Үндэс тэмдгийн доор хасах тэмдгийг хасаж байна

Мэдээжийн хэрэг, сондгой илтгэгчтэй үндэс нь өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь зарчмын хувьд тэгш тоотой байдаггүй. Тухайлбал:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Товчхондоо, та сондгой зэрэглэлийн язгуурын тэмдгийн дор хасахыг арилгаж болно. Энэ бол бүх сул талыг "хаях" боломжийг олгодог маш ашигтай өмч юм.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \баруун)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэхүү энгийн өмч нь олон тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Одоо та санаа зовох хэрэггүй болно: үндэс дор сөрөг илэрхийлэл нуугдаж байсан ч үндэс дэх зэрэг нь жигд болвол яах вэ? Үндэсийн гадна байгаа бүх сул талыг "хаяхад" л хангалттай бөгөөд үүний дараа тэдгээрийг бие биенээр нь үржүүлж, хувааж, ерөнхийдөө олон сэжигтэй зүйлийг хийж болох бөгөөд энэ нь "сонгодог" үндэсийн хувьд биднийг хүргэх баталгаатай болно. алдаа.

Эндээс өөр нэг тодорхойлолт гарч ирэв - ихэнх сургуулиуд иррационал илэрхийллийг судалж эхэлдэгтэй ижил. Үүнгүйгээр бидний хэлэлцүүлэг бүрэн бус байх болно. Уулз!

Арифметик үндэс

Үндэс тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоо эсвэл онцгой тохиолдолд тэг байж болно гэж түр бодъё. Тэгш/сондгой үзүүлэлтүүдийг мартацгаая, дээр дурдсан бүх тодорхойлолтыг мартъя - бид зөвхөн сөрөг бус тоонуудтай ажиллах болно. Тэгээд яах вэ?

Дараа нь бид арифметик язгуурыг авах болно - энэ нь бидний "стандарт" тодорхойлолттой хэсэгчлэн давхцаж байгаа боловч тэдгээрээс ялгаатай хэвээр байна.

Тодорхойлолт. Сөрөг биш $a$ тооны $n$-р зэргийн арифметик язгуур нь $((b)^(n))=a$ байх сөрөг бус тоо $b$ байна.

Бидний харж байгаагаар бид паритетийг сонирхохоо больсон. Үүний оронд шинэ хязгаарлалт гарч ирэв: радикал илэрхийлэл нь одоо үргэлж сөрөг биш, үндэс нь өөрөө сөрөг биш юм.

Арифметик язгуур нь ердийнхөөс хэрхэн ялгаатай болохыг илүү сайн ойлгохын тулд бидний аль хэдийн мэддэг квадрат ба куб параболын графикуудыг харна уу.

Таны харж байгаагаар бид одооноос эхлэн $x$ ба $y$ координатууд эерэг (эсвэл дор хаяж тэг) байгаа координатын эхний улиралд байрлах график хэсгүүдийг л сонирхож байна. Үндэс дор сөрөг тоо тавих эрхтэй эсэхийг ойлгохын тулд индикаторыг харах шаардлагагүй болсон. Учир нь сөрөг тоог зарчмын хувьд авч үзэхээ больсон.

Та: "За, яагаад бидэнд ийм саармагжуулсан тодорхойлолт хэрэгтэй байна вэ?" гэж асууж магадгүй юм. Эсвэл: "Бид яагаад дээр өгөгдсөн стандарт тодорхойлолтыг дагаж чадахгүй байна вэ?"

За, би зөвхөн нэг өмчийг өгөх болно, учир нь шинэ тодорхойлолт тохирох болно. Жишээлбэл, экспонентацийн дүрэм:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Анхаарна уу: бид радикал илэрхийлэлийг ямар ч хүчин чадалтай болгож, язгуур экспонентийг ижил хүчээр үржүүлж чадна - үр дүн нь ижил тоо байх болно! Энд жишээнүүд байна:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр хамгийн том асуудал юу вэ? Бид яагаад өмнө нь үүнийг хийж чадаагүй юм бэ? Үүний учрыг эндээс үзнэ үү. Энгийн илэрхийллийг авч үзье: $\sqrt(-2)$ - энэ тоо нь бидний сонгодог ойлголтод нэлээд хэвийн боловч арифметик язгуурын үүднээс огт хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Үүнийг хөрвүүлэхийг хичээцгээе:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\зүүн(-2 \баруун))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Таны харж байгаагаар эхний тохиолдолд бид хасахыг радикалын доороос хассан (бид бүрэн эрхтэй, учир нь экспонент нь сондгой байдаг), хоёр дахь тохиолдолд бид дээрх томъёог ашигласан. Тэдгээр. Математикийн үүднээс авч үзвэл бүх зүйл дүрмийн дагуу хийгддэг.

WTF?! Ижил тоо яаж эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болох вэ? Арга ч үгүй. Эерэг тоо ба тэгийн хувьд маш сайн ажилладаг экспонентацийн томъёо нь сөрөг тоонуудын хувьд бүрэн гажуудлыг үүсгэж эхэлдэг.

Ийм ойлгомжгүй байдлаас ангижрахын тулд арифметик язгуурыг зохион бүтээсэн. Тусдаа том хичээл нь тэдэнд зориулагдсан бөгөөд бид тэдний бүх шинж чанарыг нарийвчлан авч үздэг. Тиймээс бид одоо тэдний талаар ярихгүй - хичээл хэтэрхий урт болсон.

Алгебрийн үндэс: илүү ихийг мэдэхийг хүсдэг хүмүүст зориулагдсан

Энэ сэдвийг тусдаа догол мөрөнд оруулах уу, үгүй ​​юу гэж удаан бодсон. Эцэст нь би энд үлдээхээр шийдсэн. Энэ материал нь үндсийг нь илүү сайн ойлгохыг хүсдэг хүмүүст зориулагдсан болно - дундаж "сургуулийн" түвшинд биш, харин олимпиадын түвшинд ойрхон байна.

Тэгэхээр: тооны $n$-р язгуурын "сонгодог" тодорхойлолт, түүнтэй холбоотой тэгш, сондгой илтгэгч болгон хуваахаас гадна паритет болон бусад нарийн шинж чанараас огт хамааралгүй илүү "насанд хүрсэн" тодорхойлолт байдаг. Үүнийг алгебрийн үндэс гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Аливаа $a$-ын алгебрийн $n$-р үндэс нь $((b)^(n))=a$ байх бүх $b$ тооны олонлог юм. Ийм үндэст зориулсан тодорхой тэмдэглэгээ байхгүй тул бид зүгээр л дээр нь зураас тавина.

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \баруун. \баруун\) \]

Хичээлийн эхэнд өгсөн стандарт тодорхойлолтоос үндсэн ялгаа нь алгебрийн үндэс нь тодорхой тоо биш, харин олонлог юм. Бид бодит тоогоор ажилладаг тул энэ багц нь зөвхөн гурван төрлөөр ирдэг:

1. Хоосон багц. Сөрөг тооноос тэгш зэрэгтэй алгебрийн үндэс олох шаардлагатай үед тохиолддог;
2. Нэг элементээс бүрдсэн багц. Сондгой хүчний бүх үндэс, мөн тэгийн тэгш байдлын үндэс нь энэ ангилалд хамаарна;
3. Эцэст нь, уг багц нь бидний харсан $((x)_(1))$ ба $((x)_(2))=-((x)_(1))$ гэсэн хоёр тоог агуулж болно. квадрат функцийн график. Үүний дагуу ийм зохицуулалт нь эерэг тооноос тэгш зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах үед л боломжтой юм.

Сүүлийн тохиолдол нь илүү нарийвчлан авч үзэх ёстой. Ялгааг ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг тоолъё.

Жишээ. Илэрхийллийг үнэлнэ үү:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Шийдэл. Эхний илэрхийлэл нь энгийн:

\[\overline(\sqrt(4))=\зүүн\( 2;-2 \баруун\)\]

Энэ бол багцын нэг хэсэг болох хоёр тоо юм. Учир нь тэдгээрийн квадрат тус бүр нь дөрөв өгдөг.

\[\overline(\sqrt(-27))=\зүүн\( -3 \баруун\)\]

Энд бид зөвхөн нэг тооноос бүрдэх багцыг харж байна. Үндэс экспонент нь сондгой тул энэ нь нэлээд логик юм.

Эцэст нь, сүүлчийн илэрхийлэл:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Бид хоосон багц хүлээн авлаа. Учир нь дөрөв дэх (жишээ нь, тэгш!) зэрэглэлд аваачихад −16 сөрөг тоог өгөх бодит тоо ганц ч байдаггүй.

Эцсийн тэмдэглэл. Анхаарна уу: бид бодит тоогоор ажилладаг гэдгийг би хаа сайгүй тэмдэглэсэнгүй. Учир нь нийлмэл тоонууд бас байдаг - тэнд $\sqrt(-16)$ болон бусад олон хачирхалтай зүйлсийг тооцоолох бүрэн боломжтой.

Гэсэн хэдий ч орчин үеийн сургуулийн математикийн хичээлд нийлмэл тоо бараг хэзээ ч гардаггүй. Манай албаныхан энэ сэдвийг “ойлгоход дэндүү хэцүү” гэж үзсэн тул ихэнх сурах бичгээс хассан.