Бид сургуульд сурч эхлэхээсээ хамаагүй эрт амьдралдаа бутархайтай тааралддаг. Хэрэв бид бүхэл бүтэн алимыг хагас болгон хуваасан бол бид жимсний хагасыг авна. Үүнийг дахин таслацгаая - энэ нь ¼ болно. Эдгээр нь бутархай юм. Тэгээд бүх зүйл энгийн мэт санагдсан. Насанд хүрсэн хүний хувьд. Хүүхдэд (мөн энэ сэдвийг бага сургуулийн төгсгөлд судалж эхэлдэг) хийсвэр математикийн ойлголтууд аймшигтай ойлгомжгүй хэвээр байгаа бөгөөд багш зөв ба буруу бутархай, энгийн ба аравтын бутархай гэж юу болохыг, ямар үйлдлүүдийг хийж болохыг тодорхой тайлбарлах ёстой. тэдэнтэй хамт, хамгийн чухал нь энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ.
Бутархай гэж юу вэ?
Сургуульд шинэ сэдвийг танилцуулах нь энгийн бутархай тооноос эхэлдэг. Тэдгээрийг дээд ба доор гэсэн хоёр тоог тусгаарлах хэвтээ шугамаар амархан танина. Дээд талыг нь тоологч, доод хэсгийг хуваагч гэж нэрлэдэг. Буруу, зөв энгийн бутархай бичих жижиг үсгийн сонголт байдаг - ташуу зураасаар, жишээлбэл: ½, 4/9, 384/183. Энэ сонголт нь шугамын өндөр хязгаарлагдмал, "хоёр давхар" бүртгэлийн маягтыг ашиглах боломжгүй үед ашиглагддаг. Яагаад? Тийм ээ, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой. Бид үүнийг хэсэг хугацааны дараа харах болно.
Энгийн бутархайгаас гадна аравтын бутархай байдаг. Тэдгээрийг ялгах нь маш энгийн: хэрэв нэг тохиолдолд хэвтээ эсвэл налуу зураас ашигладаг бол нөгөө тохиолдолд тоонуудын дарааллыг тусгаарлахад таслал ашигладаг. Жишээ авч үзье: 2.9; 163.34; 1.953. Бид тоог зааглахдаа цэг таслалыг зориуд ашигласан. Тэдний эхнийх нь "хоёр цэг есөн" гэж унших болно.
Шинэ ойлголтууд
Энгийн бутархай руу буцъя. Тэд хоёр төрлөөр ирдэг.
Зөв бутархайн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: энэ нь хуваагч нь хуваагчаас бага бутархай юм. Энэ яагаад чухал вэ? Бид одоо харах болно!
Та хэд хэдэн алимтай, хоёр дахин хуваасан. Нийт - 5 хэсэг. Та "хоёр хагас" эсвэл "таван хагас" алимтай юу гэж хэлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, эхний сонголт нь илүү байгалийн сонсогдож байгаа бөгөөд бид үүнийг найзуудтайгаа ярилцахдаа ашиглах болно. Гэхдээ хэрэв хүн бүр хэдэн жимс авахыг тооцоолох шаардлагатай бол, хэрэв компанид таван хүн байвал бид 5/2 тоог бичиж, 5-д хуваана - математикийн үүднээс энэ нь илүү тодорхой болно. .
Тиймээс зөв ба буруу бутархайг нэрлэх дүрэм нь ийм байна: хэрэв бүхэл хэсгийг бутархайгаар (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) ялгаж чадвал энэ нь буруу байна. Хэрэв ½, 13/16, 9/10-ын жишээн дээр үүнийг хийх боломжгүй бол энэ нь зөв байх болно.
Бутархайн үндсэн шинж чанар
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг нэгэн зэрэг үржүүлж эсвэл ижил тоогоор хуваавал түүний утга өөрчлөгдөхгүй. Төсөөлөөд үз дээ: тэд бялууг 4 тэнцүү хэсэг болгон хувааж, танд нэгийг өгсөн. Тэд нэг бялууг найман хэсэг болгон хувааж, танд хоёрыг өгсөн. Энэ үнэхээр чухал уу? Эцсийн эцэст ¼ ба 2/8 нь ижил зүйл юм!
Бууруулах
Математикийн сурах бичгүүдийн бодлого, жишээнүүдийн зохиогчид бичихэд төвөгтэй боловч товчилсон бутархайг санал болгож, оюутнуудыг төөрөгдүүлэхийг эрмэлздэг. Зөв бутархайн жишээ энд байна: 167/334, энэ нь маш "аймар" мэт санагдаж байна. Гэхдээ бид үүнийг ½ гэж бичиж болно. 334 тоо нь 167-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг - энэ үйлдлийг хийсний дараа бид 2-ыг авна.
Холимог тоо
Бутархай бутархайг холимог тоогоор илэрхийлж болно. Энэ нь бүхэл хэсгийг урагш авчирч, хэвтээ шугамын түвшинд бичих явдал юм. Үнэн хэрэгтээ илэрхийлэл нь нийлбэр хэлбэртэй байна: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 гэх мэт.
Хэсгийг бүхэлд нь гаргахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн хуваалтыг дээд талд, мөрний дээгүүр, бүх хэсгийг илэрхийллийн өмнө бичнэ. Тиймээс бид бүтцийн хоёр хэсгийг авна: бүхэл нэгж + зөв бутархай.
Та мөн урвуу үйлдлийг хийж болно - үүнийг хийхийн тулд бүхэл тоог хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн утгыг тоологч дээр нэмэх хэрэгтэй. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.
Үржүүлэх, хуваах
Хачирхалтай нь бутархайг үржүүлэх нь нэмэхээс хялбар байдаг. Шаардлагатай бүх зүйл бол хэвтээ шугамыг сунгах явдал юм: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Хуваах үед бүх зүйл бас энгийн: та бутархайг хөндлөн чиглэлд үржүүлэх хэрэгтэй: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Бутархай нэмэх
Хэрэв та нэмэх шаардлагатай бол эсвэл хуваагчдаа өөр өөр тоо байвал яах вэ? Үржүүлэхтэй адил зүйл хийх нь ажиллахгүй - энд та зөв бутархайн тодорхойлолт ба түүний мөн чанарыг ойлгох хэрэгтэй. Нэр томъёог нийтлэг хуваагч руу авчрах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл хоёр бутархайн доод хэсэг нь ижил тоотой байх ёстой.
Үүнийг хийхийн тулд та бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй: хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлнэ. Жишээлбэл, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Нөхцөлүүдийг багасгахын тулд аль хуваагчийг хэрхэн сонгох вэ? Энэ нь бутархайн хуваагч дахь хоёр тооны үржвэр болох хамгийн бага тоо байх ёстой: 1/3 ба 1/9-ийн хувьд энэ нь 9 байх болно; ½ ба 1/7 - 14-ийн хувьд, учир нь 2 ба 7-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдах жижиг утга байхгүй.
Хэрэглээ
Буруу бутархайг юунд ашигладаг вэ? Эцсийн эцэст, бүхэл бүтэн хэсгийг нэн даруй сонгож, холимог тоо авах нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнийг дуусгах болно! Хэрэв та хоёр бутархайг үржүүлэх эсвэл хуваах шаардлагатай бол жигд бус хэсгийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.
Дараах жишээг авч үзье: (2 + 3/17) / (37/68).
Энэ нь огтлох зүйл огт байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ эхний хаалтанд нэмэх үр дүнг буруу бутархай гэж бичвэл яах вэ? Харах: (37/17) / (37/68)
Одоо бүх зүйл байрандаа орно! Бүх зүйл тодорхой болохуйц жишээг бичье: (37*68) / (17*37).
Тоолуур ба хуваагч дахь 37-г цуцалъя, эцэст нь дээд ба доод хэсгийг 17-д хуваая. Та зөв ба буруу бутархайн үндсэн дүрмийг санаж байна уу? Бид хуваагч болон хуваагчийг нэгэн зэрэг хийвэл ямар ч тоогоор үржүүлж, хувааж болно.
Тиймээс бид хариултыг авах болно: 4. Жишээ нь төвөгтэй мэт санагдсан боловч хариулт нь зөвхөн нэг тоог агуулдаг. Энэ нь математикт ихэвчлэн тохиолддог. Хамгийн гол нь айх хэрэггүй, энгийн дүрмийг дагаж мөрдөх явдал юм.
Нийтлэг алдаа
Хэрэгжүүлэхдээ оюутан нийтлэг алдаануудын нэгийг амархан гаргаж чаддаг. Ихэнхдээ тэдгээр нь анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж, заримдаа судлагдсан материал нь толгойдоо зохих ёсоор хадгалагдаагүйгээс болдог.
Ихэнхдээ тоологч дахь тоонуудын нийлбэр нь түүний бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг багасгахыг хүсдэг. Жишээн дээр хэлье: (13 + 2) / 13, хаалтгүйгээр бичсэн (хэвтээ шугамтай), олон оюутнууд туршлагагүйн улмаас 13-ыг дээр ба доор зурсан байна. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд үүнийг хийх ёсгүй, учир нь энэ бол бүдүүлэг алдаа юм! Хэрэв нэмэхийн оронд үржүүлэх тэмдэг байсан бол бид хариултанд 2-ын тоог авах болно, гэхдээ нэмэх үед аль нэг нөхцөлтэй үйлдэл хийхийг зөвшөөрдөггүй, зөвхөн бүхэл нийлбэрээр.
Залуус ч гэсэн бутархайг хуваахдаа алдаа гаргадаг. Хоёр зөв бууруулж болохгүй бутархайг авч бие биендээ хуваая: (5/6) / (25/33). Сурагч үүнийг хольж, үүссэн илэрхийлэлийг (5*25) / (6*33) гэж бичиж болно. Гэхдээ энэ нь үржүүлэхэд тохиолдох болно, гэхдээ бидний тохиолдолд бүх зүйл арай өөр байх болно: (5*33) / (6*25). Бид боломжтой зүйлийг багасгаж, хариулт нь 11/10 байх болно. Бид үүссэн буруу бутархайг аравтын бутархай гэж бичнэ - 1.1.
Хаалт
Аливаа математик илэрхийлэлд үйлдлүүдийн дараалал нь үйлдлийн тэмдэг, хаалт байгаа эсэхээр тодорхойлогддог гэдгийг санаарай. Бусад бүх зүйл тэнцүү, үйлдлийн дарааллыг зүүнээс баруун тийш тоолно. Энэ нь бутархайн хувьд бас үнэн юм - тоологч эсвэл хуваагч дахь илэрхийлэлийг энэ дүрмийн дагуу нарийн тооцдог.
Эцсийн эцэст энэ нь нэг тоог нөгөөд хуваах үр дүн юм. Хэрэв тэдгээр нь жигд хуваагдаагүй бол энэ нь бутархай болно - энэ бол бүх зүйл.
Компьютер дээр бутархайг хэрхэн бичих вэ
Стандарт хэрэгслүүд нь хоёр "давхарга" -аас бүрдэх бутархай үүсгэхийг үргэлж зөвшөөрдөггүй тул оюутнууд заримдаа янз бүрийн заль мэх хийдэг. Жишээлбэл, тэд тоологч болон хуваагчийг Paint график засварлагч руу хуулж, хооронд нь нааж, хооронд нь хэвтээ шугам татдаг. Мэдээжийн хэрэг, илүү хялбар сонголт байдаг бөгөөд энэ нь ирээдүйд танд хэрэг болох олон нэмэлт функцуудыг өгдөг.
Microsoft Word програмыг нээнэ үү. Дэлгэцийн дээд хэсэгт байрлах самбаруудын нэгийг "Оруулах" гэж нэрлэдэг - үүн дээр дарна уу. Баруун талд, цонхны хаах, багасгах дүрс байрладаг талд "Формула" товчлуур байна. Энэ бол яг бидэнд хэрэгтэй зүйл юм!
Хэрэв та энэ функцийг ашиглавал дэлгэцэн дээр гар дээр байхгүй математикийн тэмдэгтүүдийг ашиглах, мөн сонгодог хэлбэрээр бутархай бичих боломжтой тэгш өнцөгт хэсэг гарч ирнэ. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг хэвтээ шугамаар хуваана. Ийм зөв бутархай бичихэд маш амархан байгаад та гайхах байх.
Математик сур
Хэрэв та 5-6-р ангид суралцаж байгаа бол удалгүй сургуулийн олон хичээл дээр математикийн мэдлэг (бутархай тоотой ажиллах чадварыг оруулаад) шаардлагатай болно. Физикийн бараг бүх асуудалд, хими, геометр, тригонометрийн бодисын массыг хэмжихдээ та бутархайгүйгээр хийж чадахгүй. Удалгүй та цаасан дээрх илэрхийлэлийг бичихгүйгээр толгойдоо бүх зүйлийг тооцоолж сурах болно, гэхдээ илүү төвөгтэй жишээнүүд гарч ирэх болно. Тиймээс зөв бутархай гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар суралцаж, сургалтын хөтөлбөрөө дагаж, гэрийн даалгавраа цаг тухайд нь хий, тэгвэл та амжилтанд хүрнэ.
“Бутархай” гэдэг үг олон хүний сэтгэлийг хөдөлгөдөг. Учир нь би сургууль, математикийн хичээлээр шийдэгдсэн даалгавруудыг санаж байна. Энэ бол заавал биелүүлэх ёстой үүрэг байсан. Хэрэв та зөв ба буруу бутархайтай холбоотой асуудлуудыг оньсого мэт авч үзсэн бол яах вэ? Эцсийн эцэст олон насанд хүрэгчид дижитал болон Японы кроссвордуудыг шийддэг. Бид дүрмийг олж мэдсэн, тэгээд л болоо. Энд ч мөн адил. Хүн зөвхөн онолыг судлах хэрэгтэй - тэгвэл бүх зүйл байрандаа орно. Мөн жишээнүүд таны тархийг сургах арга болж хувирах болно.
Ямар төрлийн бутархай байдаг вэ?
Энэ юу вэ гэдгээс эхэлье. Бутархай гэдэг нь нэг хэсэгтэй тоо юм. Үүнийг хоёр хэлбэрээр бичиж болно. Эхнийх нь энгийн гэж нэрлэгддэг. Энэ нь хэвтээ эсвэл налуу шугамтай гэсэн үг юм. Энэ нь хуваах тэмдэгтэй тэнцэнэ.
Ийм тэмдэглэгээнд мөрний дээрх тоог тоологч, доор байгаа тоог хуваагч гэж нэрлэдэг.
Энгийн бутархайн дотроос зөв ба буруу бутархайг ялгадаг. Эхнийх нь тоологчийн үнэмлэхүй утга нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг. Бүх зүйл эсрэгээрээ байдаг учраас буруу хүмүүсийг ингэж нэрлэдэг. Зөв бутархайн утга нь үргэлж нэгээс бага байдаг. Хэдийгээр буруу нь үргэлж энэ тооноос их байдаг.
Холимог тоонууд, өөрөөр хэлбэл бүхэл тоо, бутархай хэсэг байдаг.
Хоёрдахь төрлийн тэмдэглэгээ нь аравтын бутархай юм. Түүний тухай тусдаа яриа байдаг.
Бутархай бутархай нь холимог тооноос юугаараа ялгаатай вэ?
Үндсэндээ юу ч биш. Эдгээр нь ижил тооны өөр өөр бичлэгүүд юм. Буруу бутархай нь энгийн алхмуудын дараа амархан холимог тоо болж хувирдаг. Мөн эсрэгээр.
Энэ бүхэн тодорхой нөхцөл байдлаас хамаарна. Заримдаа даалгаварт буруу бутархай ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Тэгээд заримдаа үүнийг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай бөгөөд дараа нь жишээ нь маш амархан шийдэгдэх болно. Тиймээс юу хэрэглэх вэ: буруу бутархай, холимог тоо, асуудлыг шийдэж буй хүний ажиглах чадвараас хамаарна.
Холимог тоог мөн бүхэл хэсэг ба бутархай хэсгийн нийлбэртэй харьцуулна. Түүнээс гадна хоёр дахь нь үргэлж нэгээс бага байдаг.
Холимог тоог буруу бутархайгаар хэрхэн илэрхийлэх вэ?
Хэрэв та өөр өөр хэлбэрээр бичигдсэн хэд хэдэн тоогоор ямар нэгэн үйлдэл хийх шаардлагатай бол тэдгээрийг ижил болгох хэрэгтэй. Нэг арга бол тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.
Үүний тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- хуваагчийг бүхэл хэсэг болгон үржүүлэх;
- үр дүнд тоологчийн утгыг нэмэх;
- хариултыг мөрний дээгүүр бичих;
- хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.
Холимог тооноос буруу бутархай бичих жишээ энд байна.
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Бутархай бутархайг холимог тоогоор хэрхэн бичих вэ?
Дараагийн техник нь дээр дурдсаны эсрэг юм. Энэ нь бүх холимог тоонуудыг буруу бутархайгаар солих явдал юм. Үйлдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.
- үлдэгдлийг авахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах;
- холимог хэсгийн бүхэл хэсгийн оронд хуваарийг бичих;
- үлдсэн хэсгийг шугамаас дээш байрлуулах ёстой;
- хуваагч нь хуваагч байх болно.
Ийм өөрчлөлтийн жишээ:
76/14; 76:14 = 5, үлдэгдэл 6; хариулт нь 5 бүхэл ба 6/14 байх болно; энэ жишээн дэх бутархай хэсгийг 2-оор багасгах шаардлагатай бөгөөд үр дүнд нь 3/7; эцсийн хариулт нь 5 оноо 3/7.
108/54; хуваагдсаны дараа 2-ын коэффициентийг үлдэгдэлгүй авна; энэ нь бүх буруу бутархайг холимог тоогоор илэрхийлэх боломжгүй гэсэн үг юм; Хариулт нь бүхэл тоо байх болно - 2.
Бүхэл тоог хэрхэн буруу бутархай болгох вэ?
Ийм арга хэмжээ авах шаардлагатай нөхцөл байдал байдаг. Мэдэгдэж буй хуваарьтай буруу бутархай авахын тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- бүхэл тоог хүссэн хуваагчаар үржүүлэх;
- энэ утгыг мөрний дээгүүр бичих;
- түүний доор хуваагчийг байрлуул.
Хамгийн энгийн сонголт бол хуваагч нэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Дараа нь та ямар нэгэн зүйлийг үржүүлэх шаардлагагүй болно. Зүгээр л жишээнд өгөгдсөн бүхэл тоог бичиж, нэгийг мөрний доор байрлуулахад хангалттай.
Жишээ: 5-ыг 3 хуваарьтай бутархай бутархай болго. 5-ыг 3-аар үржүүлэхэд 15 гарна. Энэ тоо нь хуваагч болно. Даалгаврын хариулт нь бутархай байна: 15/3.
Өөр өөр тоотой асуудлыг шийдвэрлэх хоёр арга
Жишээ нь 3/5 ба 14/11 гэсэн 2 бүхэл тоонуудын нийлбэр ба зөрүү, түүнчлэн үржвэр ба хуваалтыг тооцоолохыг шаарддаг.
Эхний хандлагадхолимог тоо нь буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх болно.
Дээр дурдсан алхмуудыг хийсний дараа та дараах утгыг авах болно: 13/5.
Нийлбэрийг олохын тулд бутархайг ижил хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. 11-ээр үржүүлсний дараа 13/5 нь 143/55 болно. 5-аар үржүүлсний дараа 14/11 нь: 70/55 болно. Нийлбэрийг тооцоолохын тулд та зөвхөн тоологчдыг нэмэх хэрэгтэй: 143 ба 70, дараа нь хариултыг нэг хуваагчаар бичнэ үү. 213/55 - энэ буруу бутархай нь асуудлын хариулт юм.
Ялгааг олохдоо ижил тоонуудыг хасна: 143 - 70 = 73. Хариулт нь бутархай байх болно: 73/55.
13/5 ба 14/11-ийг үржүүлэхдээ тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Тоолуур ба хуваагчийг хосоор нь үржүүлэхэд хангалттай. Хариулт нь: 182/55 байх болно.
Хуваах тухайд ч мөн адил. Зөв шийдэхийн тулд хуваалтыг үржүүлэх замаар сольж, хуваагчийг эргүүлэх хэрэгтэй: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Хоёрдахь аргадбуруу бутархай нь холимог тоо болно.
Алгоритмын үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа 14/11 нь 1-ийн бүхэл хэсэг, 3/11-ийн бутархай хэсэгтэй холимог тоо болж хувирна.
Нийлбэрийг тооцоолохдоо бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь нэмэх хэрэгтэй. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Эцсийн хариулт нь 3 оноо 48/55. Эхний хандлагад бутархай нь 213/55 байсан. Холимог тоонд хөрвүүлэн зөв эсэхийг шалгаж болно. 213-ыг 55-д хуваасны дараа хэсэг нь 3, үлдсэн нь 48. Хариулт нь зөв болохыг харахад хялбар байдаг.
Хасах үед "+" тэмдгийг "-" тэмдгээр солино. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Шалгахын тулд өмнөх аргын хариултыг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай: 73-ыг 55-д хувааж, коэффициент нь 1, үлдсэн нь 18 байна.
Бүтээгдэхүүн ба коэффициентийг олохын тулд холимог тоо ашиглах нь тохиромжгүй байдаг. Энд буруу бутархай руу шилжихийг үргэлж зөвлөж байна.
Энгийн бутархайг \textit (зөв) ба \textit (буруу) бутархай гэж хуваадаг. Энэ хуваалт нь тоологч ба хуваагч хоёрын харьцуулалт дээр суурилдаг.
Зөв бутархай
Зөв бутархайЭнгийн бутархайг $\frac(m)(n)$ гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд тоологч нь хуваагчаас бага, өөрөөр хэлбэл. $м
Жишээ 1
Жишээлбэл, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ бутархайнууд зөв байна. , тэгэхээр яаж тус бүрд нь зөв бутархайн тодорхойлолтыг хангасан хуваагчаас бага байна.
Бутархайг нэгтэй харьцуулах үндсэн дээр зөв бутархай гэсэн тодорхойлолт байдаг.
зөв, нэгээс бага бол:
Жишээ 2
Жишээ нь $\frac(6)(13)$ энгийн бутархай зөв учир нь $\frac(6)(13) нөхцөл хангагдсан
Буруу бутархай
Буруу бутархайЭнгийн бутархайг $\frac(m)(n)$ гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд тоологч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $м\ge n$.
Жишээ 3
Жишээлбэл, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ бутархайнууд жигд бус байна. , тэгэхээр яаж тэдгээрийн тус бүр дэх тоологч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх нь буруу бутархайн тодорхойлолтод нийцдэг.
Бутархай бутархайн тодорхойлолтыг нэгтэй харьцуулан авч үзье.
Энгийн бутархай $\frac(m)(n)$ байна буруу, хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү эсвэл түүнээс их бол:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Жишээ 4
Жишээ нь, энгийн бутархай $\frac(21)(4)$ буруу байна, учир нь $\frac(21)(4) >1$ нөхцөл хангагдсан;
энгийн бутархай $\frac(8)(8)$ буруу байна, учир нь $\frac(8)(8)=1$ нөхцөл хангагдсан.
Бутархай бутархай гэсэн ойлголтыг нарийвчлан авч үзье.
Жишээ болгон $\frac(7)(7)$ буруу бутархайг авч үзье. Энэ бутархайн утга нь долоон тэнцүү хэсэгт хуваагдсан объектын долоон хэсгийг авах явдал юм. Тиймээс бэлэн байгаа долоон хувьцаанаас объектыг бүхэлд нь бүрдүүлж болно. Тэдгээр. $\frac(7)(7)$ буруу бутархай нь бүхэл объектыг дүрслэх ба $\frac(7)(7)=1$. Тиймээс, тоологч нь хуваагчтай тэнцүү байх буруу бутархай нь нэг бүхэл объектыг дүрсэлсэн бөгөөд ийм бутархайг $1$ натурал тоогоор сольж болно.
$\frac(5)(2)$ - эдгээр таван секундын хэсгээс та $2$ бүхэл объект (нэг бүхэл бүтэн объект $2$ хэсгээс бүрдэх бөгөөд хоёр бүхэл объектыг бүтээхэд танд хэрэгтэй) нь ойлгомжтой. $2+2=4$ хувьцаа) ба нэг секундын хувьцаа үлдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, $\frac(5)(2)$ буруу бутархай нь объектын $2$-ыг, энэ объектын эзлэх хувийг $\frac(1)(2)$ гэж тодорхойлдог.
$\frac(21)(7)$ -- хорин нэгийн долооны хэсгээс та $3$ бүхэл объект хийж болно (тус бүрд $7$-ийн хувьцаатай $3$ объект). Тэдгээр. $\frac(21)(7)$ бутархай нь $3$ бүхэл объектыг дүрсэлдэг.
Үзсэн жишээнүүдээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно: хэрэв тоологч нь хуваарьт бүрэн хуваагддаг бол буруу бутархайг натурал тоогоор сольж болно (жишээлбэл, $\frac(7)(7)=1$ ба $\" frac(21)(7)=3$) , эсвэл натурал тоо ба зохих бутархайн нийлбэр, хэрэв тоологч нь хуваарьт бүрэн хуваагдахгүй бол (жишээлбэл, $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). Тийм учраас ийм бутархайг нэрлэдэг буруу.
Тодорхойлолт 1
Бутархай бутархайг натурал тоо ба зөв бутархайн нийлбэр (жишээлбэл, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) хэлбэрээр илэрхийлэх үйл явцыг гэнэ. бүхэл хэсгийг буруу бутархайгаас салгах.
Бутархай бутархайтай ажиллахдаа тэдгээрийн болон холимог тоонуудын хооронд нягт холбоо байдаг.
Бутархай бутархайг ихэвчлэн холимог тоо гэж бичдэг - бүхэл тоо ба бутархай хэсгээс бүрдэх тоо.
Бутархай бутархайг холимог тоогоор бичихийн тулд та хуваагчийг үлдэгдэлтэй хуваах ёстой. Хуваагч нь холимог тооны бүхэл хэсэг, үлдсэн хэсэг нь бутархай хэсгийн хуваагч, хуваагч нь бутархай хэсгийн хуваагч байх болно.
Жишээ 5
$\frac(37)(12)$ буруу бутархайг холимог тоогоор бич.
Шийдэл.
Тоолуурыг үлдэгдэлтэй хуваагчаар хуваана:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (үлдэгдэл\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Хариулах.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Холимог тоог буруу бутархай болгон бичихийн тулд та хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлж, гарсан үржвэрт бутархай хэсгийн тоог нэмж, үр дүнг бутархайн тоонд бичих хэрэгтэй. Бутархай бутархайн хуваагч нь холимог тооны бутархай хэсгийн хуваагчтай тэнцүү байна.
Жишээ 6
$5\frac(3)(7)$ холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр бич.
Шийдэл.
Хариулах.$5 \ frac (3) (7) = \ frac (38) (7) $.
Холимог тоо ба зөв бутархайг нэмэх
Холимог тооны нэмэгдэл$a\frac(b)(c)$ ба зөв бутархай$\frac(d)(e)$ нь өгөгдсөн холимог тооны бутархай хэсгийг өгөгдсөн бутархайд нэмэх замаар гүйцэтгэнэ.
Жишээ 7
Тохирох бутархай $\frac(4)(15)$ ба холимог тоо $3\frac(2)(5)$ нэмнэ.
Шийдэл.
Холимог тоо ба зөв бутархайг нэмэх томъёог ашиглая:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\зүүн(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\баруун)=3+\ зүүн(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\баруун)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
\textit(5) тоонд хуваах замаар бид $\frac(10)(15)$ бутархайг багасгаж болохыг тодорхойлж чадна. Бууруулах үйлдлийг хийж, нэмэхийн үр дүнг олцгооё.
Тэгэхээр $\frac(4)(15)$ зөв бутархай ба холимог тоо $3\frac(2)(5)$-г нэмсний үр дүн $3\frac(2)(3)$ болно.
Хариулт:$3\frac(2)(3)$
Холимог тоо ба буруу бутархайг нэмэх
Бутархай бутархай болон холимог тоонуудыг нэмэхХолимог хоёр тоог нэмэхэд хүргэдэг бөгөөд үүний тулд бүх хэсгийг буруу бутархайгаас тусгаарлахад хангалттай.
Жишээ 8
Холимог тоо $6\frac(2)(15)$ ба буруу бутархай $\frac(13)(5)$-ын нийлбэрийг тооцоол.
Шийдэл.
Эхлээд $\frac(13)(5)$ буруу бутархайгаас бүхэл тоог гаргаж авъя:
Хариулт:$8\frac(11)(15)$.
“Бутархай” гэдэг үг олон хүний сэтгэлийг хөдөлгөдөг. Учир нь би сургууль, математикийн хичээлээр шийдэгдсэн даалгавруудыг санаж байна. Энэ бол заавал биелүүлэх ёстой үүрэг байсан. Хэрэв та зөв ба буруу бутархайтай холбоотой асуудлуудыг оньсого мэт авч үзсэн бол яах вэ? Эцсийн эцэст олон насанд хүрэгчид дижитал болон Японы кроссвордуудыг шийддэг. Бид дүрмийг олж мэдсэн, тэгээд л болоо. Энд ч мөн адил. Хүн зөвхөн онолыг судлах хэрэгтэй - тэгвэл бүх зүйл байрандаа орно. Мөн жишээнүүд таны тархийг сургах арга болж хувирах болно.
Ямар төрлийн бутархай байдаг вэ?
Энэ юу вэ гэдгээс эхэлье. Бутархай гэдэг нь нэг хэсэгтэй тоо юм. Үүнийг хоёр хэлбэрээр бичиж болно. Эхнийх нь энгийн гэж нэрлэгддэг. Энэ нь хэвтээ эсвэл налуу шугамтай гэсэн үг юм. Энэ нь хуваах тэмдэгтэй тэнцэнэ.
Ийм тэмдэглэгээнд мөрний дээрх тоог тоологч, доор байгаа тоог хуваагч гэж нэрлэдэг.
Энгийн бутархайн дотроос зөв ба буруу бутархайг ялгадаг. Эхнийх нь тоологчийн үнэмлэхүй утга нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг. Бүх зүйл эсрэгээрээ байдаг учраас буруу хүмүүсийг ингэж нэрлэдэг. Зөв бутархайн утга нь үргэлж нэгээс бага байдаг. Хэдийгээр буруу нь үргэлж энэ тооноос их байдаг.
Холимог тоонууд, өөрөөр хэлбэл бүхэл тоо, бутархай хэсэг байдаг.
Хоёрдахь төрлийн тэмдэглэгээ нь аравтын бутархай юм. Түүний тухай тусдаа яриа байдаг.
Бутархай бутархай нь холимог тооноос юугаараа ялгаатай вэ?
Үндсэндээ юу ч биш. Эдгээр нь ижил тооны өөр өөр бичлэгүүд юм. Буруу бутархай нь энгийн алхмуудын дараа амархан холимог тоо болж хувирдаг. Мөн эсрэгээр.
Энэ бүхэн тодорхой нөхцөл байдлаас хамаарна. Заримдаа даалгаварт буруу бутархай ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Тэгээд заримдаа үүнийг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай бөгөөд дараа нь жишээ нь маш амархан шийдэгдэх болно. Тиймээс юу хэрэглэх вэ: буруу бутархай, холимог тоо, асуудлыг шийдэж буй хүний ажиглах чадвараас хамаарна.
Холимог тоог мөн бүхэл хэсэг ба бутархай хэсгийн нийлбэртэй харьцуулна. Түүнээс гадна хоёр дахь нь үргэлж нэгээс бага байдаг.
Холимог тоог буруу бутархайгаар хэрхэн илэрхийлэх вэ?
Хэрэв та өөр өөр хэлбэрээр бичигдсэн хэд хэдэн тоогоор ямар нэгэн үйлдэл хийх шаардлагатай бол тэдгээрийг ижил болгох хэрэгтэй. Нэг арга бол тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.
Үүний тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- хуваагчийг бүхэл хэсэг болгон үржүүлэх;
- үр дүнд тоологчийн утгыг нэмэх;
- хариултыг мөрний дээгүүр бичих;
- хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.
Холимог тооноос буруу бутархай бичих жишээ энд байна.
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Бутархай бутархайг холимог тоогоор хэрхэн бичих вэ?
Дараагийн техник нь дээр дурдсаны эсрэг юм. Энэ нь бүх холимог тоонуудыг буруу бутархайгаар солих явдал юм. Үйлдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.
- үлдэгдлийг авахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах;
- холимог хэсгийн бүхэл хэсгийн оронд хуваарийг бичих;
- үлдсэн хэсгийг шугамаас дээш байрлуулах ёстой;
- хуваагч нь хуваагч байх болно.
Ийм өөрчлөлтийн жишээ:
76/14; 76:14 = 5, үлдэгдэл 6; хариулт нь 5 бүхэл ба 6/14 байх болно; энэ жишээн дэх бутархай хэсгийг 2-оор багасгах шаардлагатай бөгөөд үр дүнд нь 3/7; эцсийн хариулт нь 5 оноо 3/7.
108/54; хуваагдсаны дараа 2-ын коэффициентийг үлдэгдэлгүй авна; энэ нь бүх буруу бутархайг холимог тоогоор илэрхийлэх боломжгүй гэсэн үг юм; Хариулт нь бүхэл тоо байх болно - 2.
Бүхэл тоог хэрхэн буруу бутархай болгох вэ?
Ийм арга хэмжээ авах шаардлагатай нөхцөл байдал байдаг. Мэдэгдэж буй хуваарьтай буруу бутархай авахын тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- бүхэл тоог хүссэн хуваагчаар үржүүлэх;
- энэ утгыг мөрний дээгүүр бичих;
- түүний доор хуваагчийг байрлуул.
Хамгийн энгийн сонголт бол хуваагч нэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Дараа нь та ямар нэгэн зүйлийг үржүүлэх шаардлагагүй болно. Зүгээр л жишээнд өгөгдсөн бүхэл тоог бичиж, нэгийг мөрний доор байрлуулахад хангалттай.
Жишээ: 5-ыг 3 хуваарьтай бутархай бутархай болго. 5-ыг 3-аар үржүүлэхэд 15 гарна. Энэ тоо нь хуваагч болно. Даалгаврын хариулт нь бутархай байна: 15/3.
Өөр өөр тоотой асуудлыг шийдвэрлэх хоёр арга
Жишээ нь 3/5 ба 14/11 гэсэн 2 бүхэл тоонуудын нийлбэр ба зөрүү, түүнчлэн үржвэр ба хуваалтыг тооцоолохыг шаарддаг.
Эхний хандлагадхолимог тоо нь буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх болно.
Дээр дурдсан алхмуудыг хийсний дараа та дараах утгыг авах болно: 13/5.
Нийлбэрийг олохын тулд бутархайг ижил хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. 11-ээр үржүүлсний дараа 13/5 нь 143/55 болно. 5-аар үржүүлсний дараа 14/11 нь: 70/55 болно. Нийлбэрийг тооцоолохын тулд та зөвхөн тоологчдыг нэмэх хэрэгтэй: 143 ба 70, дараа нь хариултыг нэг хуваагчаар бичнэ үү. 213/55 - энэ буруу бутархай нь асуудлын хариулт юм.
Ялгааг олохдоо ижил тоонуудыг хасна: 143 - 70 = 73. Хариулт нь бутархай байх болно: 73/55.
13/5 ба 14/11-ийг үржүүлэхдээ тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Тоолуур ба хуваагчийг хосоор нь үржүүлэхэд хангалттай. Хариулт нь: 182/55 байх болно.
Хуваах тухайд ч мөн адил. Зөв шийдэхийн тулд хуваалтыг үржүүлэх замаар сольж, хуваагчийг эргүүлэх хэрэгтэй: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Хоёрдахь аргадбуруу бутархай нь холимог тоо болно.
Алгоритмын үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа 14/11 нь 1-ийн бүхэл хэсэг, 3/11-ийн бутархай хэсэгтэй холимог тоо болж хувирна.
Нийлбэрийг тооцоолохдоо бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь нэмэх хэрэгтэй. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Эцсийн хариулт нь 3 оноо 48/55. Эхний хандлагад бутархай нь 213/55 байсан. Холимог тоонд хөрвүүлэн зөв эсэхийг шалгаж болно. 213-ыг 55-д хуваасны дараа хэсэг нь 3, үлдсэн нь 48. Хариулт нь зөв болохыг харахад хялбар байдаг.
Хасах үед "+" тэмдгийг "-" тэмдгээр солино. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Шалгахын тулд өмнөх аргын хариултыг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай: 73-ыг 55-д хувааж, коэффициент нь 1, үлдсэн нь 18 байна.
Бүтээгдэхүүн ба коэффициентийг олохын тулд холимог тоо ашиглах нь тохиромжгүй байдаг. Энд буруу бутархай руу шилжихийг үргэлж зөвлөж байна.
