Өөр өөр тэмдэг бүхий жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Бүхэл тооны нэмэхийг ойлгох

>>Математик: Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх

33. Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх

Хэрэв агаарын температур 9 ° C-тай тэнцэж, дараа нь - 6 ° C болж өөрчлөгдсөн (өөрөөр хэлбэл 6 ° C-аар буурсан) бол 9 + (- 6) градустай тэнцэнэ (Зураг 83).

-ийг ашиглан 9 ба - 6 тоог нэмэхийн тулд A (9) цэгийг зүүн тийш 6 нэгж сегментээр шилжүүлэх шаардлагатай (Зураг 84). Бид B цэгийг (3) авна.

Энэ нь 9+(- 6) = 3 гэсэн үг. 3-ын тоо нь 9-тэй ижил тэмдэгтэй ба түүний модуль 9 ба -6 гишүүний модулиудын зөрүүтэй тэнцүү.

Үнэхээр |3| =3 ба |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Хэрэв ижил агаарын температур 9 ° C -12 ° C-аар өөрчлөгдсөн бол (өөрөөр хэлбэл 12 ° C-аар буурсан) 9 + (-12) хэмтэй тэнцэнэ (Зураг 85). Координатын шугамыг ашиглан 9 ба -12 тоог нэмбэл (Зураг 86) бид 9 + (-12) = -3 болно. -3 тоо нь -12 гэсэн нэр томьёотой ижил тэмдэгтэй бөгөөд түүний модуль нь -12 ба 9 гэсэн нэр томъёоны модулиудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Үнэхээр ч | - 3| = 3 ба | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Өөр өөр тэмдэгтэй хоёр тоог нэмэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1) нэр томъёоны том модулиас жижиг хэсгийг хасах;

2) гарсан тооны өмнө модуль нь их байгаа нэр томъёоны тэмдгийг тавина.

Ихэвчлэн нийлбэрийн тэмдгийг эхлээд тодорхойлж бичээд дараа нь модулийн зөрүүг олдог.

Жишээлбэл:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
эсвэл богино 6.1+(- 4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;

Эерэг ба сөрөг тоог нэмэхдээ та ашиглаж болно бичил тооцоолуур. Микро тооцоолуурт сөрөг тоо оруулахын тулд та энэ тооны модулийг оруулаад "тэмдэг өөрчлөх" товчийг дарна уу |/-/|. Жишээлбэл, -56.81 тоог оруулахын тулд та товчлууруудыг дараалан дарах ёстой: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Аливаа тэмдэгтийн тоон дээрх үйлдлийг микро тооцоолуур дээр эерэг тоонуудтай ижил аргаар гүйцэтгэдэг.

Жишээлбэл, -6.1 + 3.8 нийлбэрийг ашиглан тооцоолно хөтөлбөр

? a ба b тоонууд өөр өөр тэмдэгтэй. Хэрэв том модуль сөрөг байвал эдгээр тоонуудын нийлбэр ямар тэмдэгтэй байх вэ?

хэрэв бага модуль нь сөрөг байвал?

хэрэв том модуль нь эерэг тоо бол?

хэрэв бага модуль нь эерэг тоо бол?

Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрмийг боловсруул. Микро тооцоолуур руу сөрөг тоог хэрхэн оруулах вэ?

TO 1045. 6-гийн тоог -10 болгон өөрчилсөн. Үүссэн тоо гарал үүслийн аль талд байрлах вэ? Энэ нь гарал үүсэлээс ямар зайд байрладаг вэ? Энэ нь юутай тэнцүү вэ нийлбэр 6 ба -10?

1046. 10-ын тоог -6 болгов. Үүссэн тоо гарал үүслийн аль талд байрлах вэ? Энэ нь гарал үүсэлээс ямар зайд байрладаг вэ? 10 ба -6-ийн нийлбэр хэд вэ?

1047. -10-ын тоог 3 болгон өөрчилсөн. Үүссэн тоо гарал үүслийн аль талд байрлах вэ? Энэ нь гарал үүсэлээс ямар зайд байрладаг вэ? -10 ба 3-ын нийлбэр хэд вэ?

1048. -10 тоог 15 болгож өөрчилсөн. Үүссэн тоо эхийн аль талд байрлах вэ? Энэ нь гарал үүсэлээс ямар зайд байрладаг вэ? -10 ба 15-ын нийлбэр хэд вэ?

1049. Өдрийн эхний хагаст агаарын температур - 4 хэм, хоёрдугаар хагаст + 12 хэмээр өөрчлөгдсөн. Өдрийн турш температур хэдэн градусаар өөрчлөгдсөн бэ?

1050. Нэмэлтийг гүйцэтгэнэ.

1051. Нэмэх:

a) -6 ба -12-ын нийлбэрт 20 тоо;
б) 2.6 дугаарын нийлбэр нь -1.8 ба 5.2;
в) -10 ба -1.3 нийлбэрт 5 ба 8.7-ийн нийлбэр;
г) 11 ба -6.5-ын нийлбэрт -3.2 ба -6-ийн нийлбэр.

1052. Аль тоо нь 8 вэ; 7.1; -7.1; -7; -0.5 нь үндэс юм тэгшитгэл- 6 + x = -13.1?

1053. Тэгшитгэлийн язгуурыг тааж шалгана уу.

a) x + (-3) = -11; в) m + (-12) = 2;
б) - 5 + у=15; d) 3 + n = -10.

1054. Илэрхийллийн утгыг ол.

1055. Микро тооцоолуур ашиглан дараах алхмуудыг дагана уу.

a) - 3.2579 + (-12.308); г) -3.8564+ (-0.8397) +7.84;
b) 7.8547+ (- 9.239); д) -0.083 + (-6.378) + 3.9834;
в) -0.00154 + 0.0837; д) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

П 1056. Нийлбэрийн утгыг ол.

1057. Илэрхийллийн утгыг ол.

1058. Тоонуудын хооронд хэдэн бүхэл тоо байрлах вэ?

a) 0 ба 24; б) -12 ба -3; в) -20 ба 7?

1059. -10 тоог хоёр сөрөг гишүүний нийлбэр гэж төсөөлөөд үз.

a) хоёр нэр томъёо нь бүхэл тоо байсан;
б) аль аль нь аравтын бутархай байсан;
в) нэг нэр томьёо нь ердийн энгийн байсан бутархай.

1060. Координаттай координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зай (нэгж хэрчмээр) хэд вэ?

a) 0 ба a; б) -а ба а; в) -a ба 0; г) а ба -За?

М 1061. Афин, Москва хотууд байрладаг дэлхийн гадаргын газарзүйн параллелуудын радиус нь 5040 км ба 3580 км-тэй тэнцүү байна (Зураг 87). Москвагийн параллель нь Афины параллелээс хэр богино вэ?

1062. Асуудлыг шийдэх тэгшитгэл бичнэ үү: “2.4 га талбай бүхий талбайг хоёр хэсэгт хуваасан. Хай дөрвөлжинсайт бүрийн аль нэг нь мэдэгдэж байгаа бол:

а) бусдаас 0.8 га илүү;
б) нөгөөгөөсөө 0.2 га бага;
в) бусдаас 3 дахин их;
г) нөгөөгөөсөө 1.5 дахин бага;
д) өөр нэгийг бүрдүүлсэн;
e) нь нөгөөгийн 0.2;
ж) бусад 60% -ийг бүрдүүлдэг;
h) нөгөөгийнхөө 140% байна."

1063. Асуудлыг шийд:

1) Аялагчид эхний өдөр 240 км, хоёр дахь өдөр 140 км, гурав дахь өдөр хоёр дахь өдрөөс 3 дахин их зам туулж, дөрөв дэх өдөр амарсан. Тэд 5 хоногоос дээш хоногт өдөрт дунджаар 230 км зам туулсан бол тав дахь өдөр хэдэн км зам туулсан бэ?

2) Аавын сарын орлого 280 рубль. Охины маань тэтгэлэг 4 дахин бага. Гэр бүлийн 4 хүн, бага хүү нь сургуулийн сурагч, нэг хүн дунджаар 135 рубль авдаг бол ээж нь сард хэдэн төгрөгийн цалин авдаг вэ?

1064. Дараах алхмуудыг дагана уу:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Тоо тус бүрийг хоёр тэнцүү гишүүний нийлбэрээр илэрхийл.

1067. Хэрэв: a + b-ийн утгыг ол.

a) a= -1.6, b = 3.2; b) a=- 2.6, b = 1.9; V)

1068. Орон сууцны нэг давхарт 8 орон сууц байсан. 2 орон сууц нь 22.8 м2, 3 орон сууц - 16.2 м2, 2 орон сууц - 34 м2 талбайтай байв. Хэрэв энэ давхарт нэг орон сууц дунджаар 24,7 м2 талбайтай байсан бол найм дахь орон сууц ямар талбайтай байсан бэ?

1069. Ачааны галт тэрэг 42 вагоноос бүрдсэн. Тавцангаас 1.2 дахин их тагтай машин байсан бөгөөд танкийн тоо тавцангийн тоотой тэнцүү байв. Галт тэргэнд төрөл тус бүрээс хэдэн машин байсан бэ?

1070. Илэрхийллийн утгыг ол

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов, 6-р ангийн математик, Ахлах сургуулийн сурах бичиг

Математикийн төлөвлөлт, онлайн сурах бичиг, ном, 6-р ангийн математикийн хичээл, даалгавар татаж авах

өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг нэмэх дүрмийн талаархи мэдлэгийг хөгжүүлэх, үүнийг хамгийн энгийн тохиолдолд ашиглах чадвар;

харьцуулах, хэв маягийг тодорхойлох, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх;

боловсролын ажилд хариуцлагатай хандлагыг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:мультимедиа проектор, дэлгэц.

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах хичээл.

ХИЧЭЭЛИЙН ҮЕД

1. Зохион байгуулалтын мөч.

Шулуун бос

Тэд чимээгүйхэн суулаа.

Одоо хонх дуугарав

Хичээлээ эхэлцгээе.

Залуус аа! Өнөөдөр манай хичээлд зочид ирлээ. Тэдэн рүү эргэж, бие бие рүүгээ инээмсэглэцгээе. Тиймээс бид хичээлээ эхлүүлж байна.

Слайд 2- Хичээлийн эпиграф: “Юуг ч анзаардаггүй хүн юу ч судалдаггүй.

Юу ч сурдаггүй хүн үргэлж уйтгартай, уйтгартай байдаг."

Роман Сеф (хүүхдийн зохиолч)

Слад 3 -Би "Эсрэгээрээ" тоглоом тоглохыг санал болгож байна. Тоглоомын дүрэм: ялах, худал хэлэх, дулаарах, өгсөн, үнэн, сайн, алдах, авсан, муу, хүйтэн, эерэг, сөрөг гэсэн хоёр бүлэгт хуваах хэрэгтэй.

Амьдралд олон зөрчилдөөн байдаг. Тэдний тусламжтайгаар бид хүрээлэн буй бодит байдлыг тодорхойлдог. Бидний хичээлийн хувьд надад сүүлчийнх хэрэгтэй: эерэг - сөрөг.

Бид эдгээр үгсийг ашиглахдаа математикт юу ярьж байна вэ? (Тооны тухай.)

Агуу Пифагор хэлэхдээ: "Тоонууд дэлхийг захирдаг." Би шинжлэх ухааны хамгийн нууцлаг тоонуудын тухай ярихыг санал болгож байна - өөр өөр тэмдэгтэй тоо. - Шинжлэх ухаанд эерэг тоонуудын эсрэг сөрөг тоо гарч ирсэн. Тэдний шинжлэх ухаанд хүрэх зам нь хэцүү байсан тул олон эрдэмтэд тэдний оршин тогтнох санааг дэмждэггүй байв.

Хүмүүс ямар ойлголт, хэмжигдэхүүнийг эерэг ба сөрөг тоогоор хэмждэг вэ? (энгийн тоосонцрын цэнэг, температур, алдагдал, өндөр ба гүн гэх мэт)

Слайд 4-Эсрэг утгатай үгс нь эсрэг утгатай үгс юм (хүснэгт).

2. Хичээлийн сэдвийг тогтоох.

Слайд 5 (хүснэгттэй ажиллах)– Өмнөх хичээлүүд дээр ямар тоонуудыг судалсан бэ?
– Эерэг, сөрөг тоотой холбоотой ямар даалгавар гүйцэтгэж чадах вэ?
- Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай. (Слайд 5)
– Хүснэгтэнд ямар тоонууд байгаа вэ?
– Хэвтээ байдлаар бичсэн тооны модулиудыг нэрлэнэ үү.
– Хамгийн их тоог зааж, хамгийн том модультай тоог заана уу.
– Босоо бичсэн тоонуудын хувьд ижил асуултуудад хариулна уу.
– Хамгийн их тоо болон хамгийн их үнэмлэхүй утгатай тоо үргэлж давхцдаг уу?
– Эерэг тооны нийлбэр, сөрөг тооны нийлбэрийг ол.
– Эерэг тоог нэмэх дүрэм, сөрөг тоог нэмэх дүрмийг томъёол.
– Нэмэх ямар тоо үлдсэн бэ?
- Та тэдгээрийг хэрхэн нугалахаа мэдэх үү?
– Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрмийг та мэдэх үү?
- Хичээлийн сэдвийг томъёолох.
-Өөртөө ямар зорилго тавих вэ? .Өнөөдөр бид юу хийхээ бодоорой? (Хүүхдийн хариулт). Өнөөдөр бид эерэг ба сөрөг тоонуудын талаар үргэлжлүүлэн суралцсаар байна. Бидний хичээлийн сэдэв бол "Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх" юм. Бидний зорилго бол өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг алдаагүй нэмж сурах явдал юм. Хичээлийн огноо, сэдвийг дэвтэртээ бич.

3.Хичээлийн сэдэв дээр ажиллах.

Слайд 6.– Эдгээр ойлголтыг ашиглан дэлгэцэн дээр өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмсний үр дүнг ол.
– Эерэг тоо, сөрөг тоог нэмснээр ямар тоо гарах вэ?
– Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмснээр ямар тоо гарах вэ?
– Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудын нийлбэрийн тэмдгийг юу тодорхойлох вэ? (Слайд 5)
– Хамгийн том модультай нэр томъёоноос.
- Олс таталттай адил юм. Хамгийн хүчтэй нь ялна.

Слайд 7- Алив тоглоцгооё. Та олс таталтанд орсон гэж төсөөлөөд үз дээ. . Багш аа. Өрсөлдөгчид ихэвчлэн тэмцээнд уулздаг. Өнөөдөр бид тантай хамт хэд хэдэн тэмцээнд зочлох болно. Биднийг хамгийн түрүүнд олс таталтын шигшээ тоглолт хүлээж байна. -7 дугаарт Иван Минусов, +5 дугаарт Петр Плюсов нартай уулзаарай. Хэн ялна гэж бодож байна? Яагаад? Ингээд Иван Минусов ялж, тэр үнэхээр өрсөлдөгчөөсөө илүү хүчтэй болж, түүнийг сөрөг тал руугаа яг хоёр алхам чирж чадсан.

Слайд 8.- . Одоо бусад тэмцээнүүд рүүгээ явцгаая. Буудлагын тэмцээний финал таны өмнө байна. Энэ хэлбэрийн хамгийн шилдэг нь гурван бөмбөлөгтэй Минус Тройкин, нөөцөд дөрвөн бөмбөлөгтэй Plus Четвериков нар байв. За залуусаа, хэн ялагч байх бол гэж бодож байна уу?

Слайд 9-Хүчтэй нь түрүүлдэг гэдгийг тэмцээн уралдаан харуулсан. Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэхэд ийм байна: -7 + 5 = -2 ба -3 + 4 = +1. Залуус аа, өөр өөр тэмдэгтэй тоонууд хэрхэн нийлдэг вэ?

Багш дүрмийг томъёолж, жишээ татдаг.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Үзүүлэн үзүүлэх явцад оюутнууд слайд дээр гарч буй шийдлийн талаар санал бодлоо илэрхийлж болно.

Слайд 10- Багш аа, "Байлдааны хөлөг" тоглоом тоглоцгооё. Дайсны хөлөг онгоц манай эрэгт ойртож байна, түүнийг цохиж, живүүлэх ёстой. Үүний тулд бидэнд буу байна. Гэхдээ зорилтот түвшинд хүрэхийн тулд та нарийн тооцоо хийх хэрэгтэй. Та одоо алийг нь харах болно. Бэлэн үү? Тэгээд цаашаа яв! Бүү сатаараарай, жишээнүүд яг 3 секундын дараа өөрчлөгдөнө. Бүгд бэлэн үү?

Сурагчид ээлжлэн самбар дээр гарч, слайд дээр гарч буй жишээнүүдийг тооцоолно. – Даалгаврыг гүйцэтгэх үе шатуудыг нэрлэнэ үү.

Слайд 11-Сурах бичгийн дагуу ажиллах: 180 х 33, өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрмийг уншина уу. Дүрмийн талаархи сэтгэгдэл.
– Сурах бичигт санал болгож буй дүрэм, таны эмхэтгэсэн алгоритм хоёр юугаараа ялгаатай вэ? Сурах бичигт тайлбартай жишээнүүдийг авч үзье.

Слайд 12-Багш -За залуус аа, за одоо хөтлөлцөөд явцгаая туршилт.Гэхдээ химийн биш, харин математик! 6 ба 8 тоо, нэмэх, хасах тэмдгийг аваад бүгдийг сайтар холицгооё. Дөрвөн туршилтын жишээг авч үзье. Тэдгээрийг дэвтэр дээрээ хий. (хоёр сурагч самбарын далавч дээр шийдэж, дараа нь хариултыг шалгана). Энэ туршилтаас ямар дүгнэлт хийж болох вэ?(Тэмдгийн үүрэг). Дахиад 2 туршилт хийцгээе , гэхдээ таны дугаартай (нэг удаад 1 хүн самбарт очно). Бие биедээ тоо гаргаж, туршилтын үр дүнг шалгацгаая (харилцан шалгах).

Слайд 13 .- Дүрмийг яруу найргийн хэлбэрээр дэлгэцэн дээр харуулав .

4. Хичээлийн сэдвийг бататгах.

Слайд 14 -Багш - "Бүх төрлийн тэмдэг хэрэгтэй, бүх төрлийн тэмдэг чухал!" Залуус аа, одоо бид та нарыг хоёр багт хуваах болно. Хөвгүүд Санта Клаусын багт, охид Саннигийн багт байх болно. Таны даалгавар бол жишээг тооцоолохгүйгээр тэдгээрийн аль нь сөрөг, аль нь эерэг хариулттай болохыг тодорхойлж, эдгээр жишээнүүдийн үсгийг дэвтэрт бичих явдал юм. Хөвгүүд сөрөг, охид эерэг байна (өргөдлийн картыг гаргасан). Өөртөө шалгалт хийж байна.

Сайн хийлээ! Таны тэмдгийн мэдрэмж маш сайн. Энэ нь дараагийн даалгавраа дуусгахад тусална

Слайд 15 -Биеийн тамирын боловсрол. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5 гэх мэт (сөрөг тоо - тонгойх, эерэг тоо - дээш татах, үсрэх)

Слайд 16-9 жишээг өөрөө шийд (апп доторх карт дээрх даалгавар). Удирдах зөвлөлд 1 хүн. Өөртөө тест хийх. Хариултууд нь дэлгэцэн дээр гарч, сурагчид дэвтэр дээрээ алдаагаа засдаг. Хэрэв танд тохирсон бол гараа өргө. (Зөвхөн сайн, маш сайн үр дүнд л оноо өгдөг)

Слайд 17-Жишээг зөв шийдвэрлэхэд дүрмүүд тусалдаг. Дэлгэц дээр өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх алгоритм байна.

5.Бие даасан ажлын зохион байгуулалт.

Слайд 18 -F"Үгийг таах" тоглоомоор дамжуулан онлайн ажил.(хавсралт дахь карт дээрх даалгавар).

Слайд 19 -Тоглолтын оноо "А" байх ёстой.

Слайд 20 -Аодоо, анхаарал. Гэрийн даалгавар. Гэрийн даалгавар нь танд хүндрэл учруулах ёсгүй.

Слайд 21 -Физик үзэгдэл дэх нэмэх хуулиуд. Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх жишээ гаргаж, бие биенээсээ асуу. Та ямар шинэ зүйл сурсан бэ? Бид зорилгодоо хүрсэн үү?

Слайд 22 -Хичээл ингээд дууслаа, одоо дүгнэе. Тусгал. Багш хичээлд тайлбар хийж, үнэлгээ өгдөг.

Слайд 23 -Анхаарал тавьсанд баярлалаа!

Та бүхний амьдралд эерэг, сөрөг зүйл бага байгаасай гэж хүсч байна, идэвхтэй ажилласанд баярлалаа. Та олж авсан мэдлэгээ дараагийн хичээлүүдэд хялбархан ашиглах боломжтой гэж бодож байна. Хичээл дууслаа. Та бүгдэд маш их баярлалаа. Баяртай!

Математикийн хичээл бараг бүхэлдээ эерэг ба сөрөг тоонуудтай үйлдлүүд дээр суурилдаг. Эцсийн эцэст бид координатын шугамыг судалж эхэлмэгц нэмэх, хасах тэмдэгтэй тоонууд хаа сайгүй, шинэ сэдэв бүрт гарч ирдэг. Энгийн эерэг тоонуудыг нэгтгэхээс нэгийг нь нөгөөгөөс нь хасах нь хэцүү биш юм. Хоёр сөрөг тоотой арифметик ч гэсэн асуудал гарах нь ховор.

Гэсэн хэдий ч олон хүн өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх, хасах талаар эргэлздэг. Эдгээр үйлдлүүдийг хийх дүрмийг эргэн санацгаая.

Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх

Хэрэв асуудлыг шийдэхийн тулд зарим "a" тоон дээр "-b" сөрөг тоог нэмэх шаардлагатай бол бид дараах байдлаар ажиллах хэрэгтэй.

• Хоёр тооны модулийг авч үзье - |a| ба |b| - мөн эдгээр үнэмлэхүй утгыг бие биетэйгээ харьцуулах.
• Аль модуль нь том, аль нь жижиг болохыг тэмдэглэж, том утгаас бага утгыг хасъя.
• Гарсан тооны өмнө модуль нь их байгаа тооны тэмдгийг тавья.

Энэ хариулт байх болно. Бид үүнийг илүү энгийнээр тайлбарлаж болно: хэрэв a + (-b) илэрхийлэлд "b" тооны модуль нь "a" -ын модулиас их байвал бид "a" -г "b" -ээс хасаад "хасах" гэж тавина. ” үр дүнгийн өмнө. Хэрэв "a" модуль илүү байвал "a" -аас "b" -ийг хасч, шийдлийг "нэмэх" тэмдгээр авна.

Мөн модулиуд тэнцүү болж хувирдаг. Хэрэв тийм бол бид энэ мөчид зогсоож болно - бид эсрэг тоонуудын тухай ярьж байгаа бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байх болно.

Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг хасах

Бид нэмэх асуудлыг шийдсэн, одоо хасах үйлдлийн дүрмийг харцгаая. Энэ нь бас маш энгийн бөгөөд үүнээс гадна хоёр сөрөг тоог хасах ижил төстэй дүрмийг бүрэн давтдаг.

Тодорхой тооноос "a" - дур зоргоороо, өөрөөр хэлбэл ямар ч тэмдэгтэй - сөрөг "c" тооноос хасахын тулд та бидний дурын "a" тоонд "c" -ийн эсрэг тоог нэмэх хэрэгтэй. Жишээлбэл:

• Хэрэв "a" нь эерэг тоо, "c" нь сөрөг бөгөөд "a" -аас "c" -ийг хасах шаардлагатай бол бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ: a – (-c) = a + c.
• Хэрэв "a" нь сөрөг тоо, "c" нь эерэг, "c" нь "a"-аас хасах шаардлагатай бол бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ: (- a)– c = - a+ (-c).

Тиймээс өөр өөр тэмдэгтэй тоог хасахдаа бид нэмэх дүрэм рүү, өөр тэмдэгтэй тоог нэмэхдээ хасах дүрэм рүү буцдаг. Эдгээр дүрмийг цээжлэх нь асуудлыг хурдан бөгөөд хялбар шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

Энэ нийтлэлд бид шийдвэрлэх болно өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх. Энд бид эерэг ба сөрөг тоог нэмэх дүрмийг өгч, өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэхдээ энэ дүрмийг ашиглах жишээг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрэм

Өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх жишээ

Ингээд авч үзье өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх жишээөмнөх догол мөрөнд дурдсан дүрмийн дагуу. Энгийн жишээгээр эхэлцгээе.

Жишээ.

−5 ба 2 тоог нэмнэ.

Шийдэл.

Бид өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх хэрэгтэй. Эерэг ба сөрөг тоог нэмэх дүрэмд заасан бүх алхмуудыг дагаж мөрдье.

Нэгдүгээрт, бид нэр томъёоны модулиудыг 5 ба 2-той тэнцүү гэж олдог.

−5 тооны модуль нь 2-ын тооны модулиас их тул хасах тэмдгийг санаарай.

Үүссэн тооны өмнө санаж байгаа хасах тэмдгийг тавихад бид −3 болно. Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмж дуусгана.

Хариулт:

(−5)+2=−3 .

Бүхэл тоо биш өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудыг нэмэхийн тулд тэдгээрийг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй (хэрэв энэ нь тохиромжтой бол аравтын бутархайтай ажиллах боломжтой). Дараагийн жишээг шийдэхдээ энэ цэгийг харцгаая.

Жишээ.

Эерэг тоо, сөрөг тоог нэм -1.25.

Шийдэл.

Үүнийг хийхийн тулд тоонуудыг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлье, бид холимог тооноос буруу бутархай руу шилжих ажлыг хийж, аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргана; .

Одоо та өөр өөр тэмдэгтэй тоо нэмэх дүрмийг ашиглаж болно.

Нэмэгдэж буй тоонуудын модуль нь 17/8 ба 5/4 байна. Цаашдын үйлдлүүдэд тохиромжтой байхын тулд бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, үр дүнд нь 17/8 ба 10/8 байна.

Одоо бид 17/8 ба 10/8 энгийн бутархайг харьцуулах хэрэгтэй. 17>10 оноос хойш . Тиймээс нэмэх тэмдэгтэй нэр томъёо нь илүү том модультай тул нэмэх тэмдгийг санаарай.

Одоо бид том модулиас жижиг хэсгийг хасна, өөрөөр хэлбэл ижил хуваагчтай бутархайг хасна. .

Үр дүнгийн тоонуудын өмнө санаж байгаа нэмэх тэмдгийг тавихад л үлддэг, гэхдээ бид 7/8 гэсэн тоог авна.

Энэ хичээлээр бид суралцах болно бүхэл тоог нэмэх, хасах, түүнчлэн тэдгээрийг нэмэх, хасах дүрэм.

Бүхэл тоонууд нь эерэг ба сөрөг тоо, мөн 0 тоо гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, дараах тоонууд нь бүхэл тоонууд юм:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Эерэг тоо нь амархан, мөн. Харамсалтай нь сөрөг тоонуудын талаар ижил зүйлийг хэлж болохгүй бөгөөд энэ нь олон эхлэгчдэд тоо бүрийн өмнө хасах зүйлээ төөрөлдүүлдэг. Дадлагаас харахад сөрөг тоонуудаас үүдэлтэй алдаа нь оюутнуудыг хамгийн ихээр бухимдуулдаг.

Бүхэл тоог нэмэх, хасах жишээ

Таны сурах ёстой хамгийн эхний зүйл бол координатын шугам ашиглан бүхэл тоог нэмэх, хасах явдал юм. Координатын шугам зурах шаардлагагүй. Үүнийг өөрийн бодлоор төсөөлж, сөрөг тоо хаана байрлаж, эерэг тоо хаана байгааг харахад хангалттай.

Хамгийн энгийн илэрхийлэлийг авч үзье: 1 + 3. Энэ илэрхийллийн утга нь 4:

Энэ жишээг координатын шугам ашиглан ойлгож болно. Үүнийг хийхийн тулд 1-ийн дугаар байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш гурван алхмаар шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид 4-ийн дугаар байрлаж буй цэгийг олох болно. Зураг дээр энэ нь хэрхэн болж байгааг харж болно.

1 + 3 илэрхийлэл дэх нэмэх тэмдэг нь тоог нэмэгдүүлэх чиглэлд бид баруун тийш шилжих ёстойг хэлдэг.

Жишээ 2. 1 − 3 илэрхийллийн утгыг олъё.

Энэ илэрхийллийн утга нь −2 байна

Энэ жишээг координатын шугам ашиглан дахин ойлгож болно. Үүнийг хийхийн тулд 1-ийн тоо байрлах цэгээс зүүн тийш гурван алхам руу шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид сөрөг тоо −2 байгаа цэгийг олох болно. Зураг дээр та энэ нь хэрхэн болж байгааг харж болно:

1 - 3 илэрхийлэл дэх хасах тэмдэг нь тоо буурах чиглэлд бид зүүн тийш шилжих ёстойг хэлж байна.

Ерөнхийдөө, хэрэв нэмэлтийг хийвэл өсөлтийн чиглэлд баруун тийш шилжих хэрэгтэй гэдгийг санах хэрэгтэй. Хэрэв хасах үйлдлийг хийвэл буурах чиглэлд зүүн тийш шилжих хэрэгтэй.

Жишээ 3.−2 + 4 илэрхийллийн утгыг ол

Энэ илэрхийллийн утга нь 2 байна

Энэ жишээг координатын шугам ашиглан дахин ойлгож болно. Үүнийг хийхийн тулд сөрөг тоо −2 байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш дөрвөн алхмаар шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид эерэг тоо 2 байрлаж буй цэг дээр өөрсдийгөө олох болно.

Эндээс харахад −2 сөрөг тоо байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш дөрвөн алхам урагшилж, эерэг тоо 2 байрлаж байгаа цэгт хүрсэн нь харагдаж байна.

−2 + 4 илэрхийлэл дэх нэмэх тэмдэг нь тоо нэмэгдэх чиглэлд бид баруун тийш шилжих ёстойг хэлдэг.

Жишээ 4.−1 − 3 илэрхийллийн утгыг ол

Энэ илэрхийллийн утга нь −4 байна

Энэ жишээг координатын шугам ашиглан дахин шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд сөрөг тоо −1 байрлаж байгаа цэгээс зүүн гурван алхам руу шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид сөрөг тоо −4 байрлаж буй цэг дээр өөрсдийгөө олох болно

Бид сөрөг тоо −1 байрлаж байгаа цэгээс зүүн тийш гурван алхмаар хөдөлж, сөрөг тоо −4 байрлаж байгаа цэгт хүрсэн нь харагдаж байна.

−1 − 3 илэрхийлэл дэх хасах тэмдэг нь тоо буурах чиглэлд зүүн тийш шилжих ёстойг хэлж байна.

Жишээ 5.−2 + 2 илэрхийллийн утгыг ол

Энэ илэрхийллийн утга нь 0 байна

Энэ жишээг координатын шугам ашиглан шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд сөрөг тоо −2 байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш хоёр алхам хийх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид 0-ийн тоо байгаа цэг дээр өөрсдийгөө олох болно

Эндээс харахад −2 сөрөг тоо байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш 2 алхамаар шилжиж, 0 тоо байрлах цэг дээр дууссан нь харагдаж байна.

−2 + 2 илэрхийлэл дэх нэмэх тэмдэг нь тоо нэмэгдэх чиглэлд бид баруун тийш шилжих ёстойг хэлдэг.

Бүхэл тоог нэмэх, хасах дүрэм

Бүхэл тоог нэмэх, хасахын тулд координатын шугамыг зурах бүрдээ төсөөлөх шаардлагагүй. Бэлэн болсон дүрмийг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Дүрмийг хэрэглэхдээ үйл ажиллагааны тэмдэг, нэмэх, хасах шаардлагатай тоонуудын тэмдгүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Энэ нь ямар дүрмийг хэрэглэхийг тодорхойлох болно.

Жишээ 1.−2 + 5 илэрхийллийн утгыг ол

Энд сөрөг тоо дээр эерэг тоо нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, өөр өөр тэмдэгтэй тоонууд нэмэгддэг. −2 нь сөрөг тоо, 5 нь эерэг тоо. Ийм тохиолдолд дараахь дүрмийг баримтална.

Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэхийн тулд та том модулиас жижиг модулийг хасах хэрэгтэй бөгөөд хариултын өмнө модуль нь илүү байгаа тооны тэмдгийг тавих хэрэгтэй.

Тэгэхээр аль модуль илүү том болохыг харцгаая:

5 тооны модуль нь −2 тооны модулиас их байна. Дүрэм нь том модулиас жижиг хэсгийг хасахыг шаарддаг. Тиймээс бид 5-аас 2-ыг хасах ёстой бөгөөд үр дүнгийн хариултын өмнө модуль нь их байгаа тооны тэмдгийг тавина.

5-ын тоо нь илүү том модультай тул энэ тооны тэмдэг нь хариултанд байх болно. Өөрөөр хэлбэл, хариулт эерэг байх болно:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Ихэвчлэн богино бичдэг: −2 + 5 = 3

Жишээ 2. 3 + (−2) илэрхийллийн утгыг ол.

Энд өмнөх жишээний адил өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмж оруулсан болно. 3 нь эерэг тоо, −2 нь сөрөг тоо юм. Илэрхийллийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд −2-ыг хаалтанд оруулсан болохыг анхаарна уу. Энэ илэрхийлэл нь 3+−2 илэрхийллээс хамаагүй хялбар юм.

Тиймээс өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрмийг хэрэгжүүлье. Өмнөх жишээний нэгэн адил бид том модулиас жижиг модулийг хасч, хариултын өмнө модуль нь илүү байгаа тооны тэмдгийг тавина.

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

3-ын тооны модуль нь −2 тооны модулиас их тул бид 3-аас 2-ыг хасч, үр дүнгийн хариултын өмнө модуль нь их байгаа тооны тэмдгийг тавьдаг. 3-ын тоо нь илүү том модультай тул хариултанд энэ тооны тэмдгийг оруулсан болно. Энэ нь эерэг хариулт юм.

Ихэвчлэн 3 + (−2) = 1 гэж богино бичдэг

Жишээ 3. 3 − 7 илэрхийллийн утгыг ол

Энэ илэрхийлэлд бага тооноос их тоог хасна. Ийм тохиолдолд дараахь дүрмийг баримтална.

Бага тооноос их тоог хасахын тулд том тооноос жижиг тоог хасч, гарсан хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Энэ илэрхийлэлд бага зэрэг ойлголт бий. Хэмжигдэхүүн ба илэрхийлэл хоорондоо тэнцүү байх үед тэнцүү тэмдэг (=) тавигддаг гэдгийг санацгаая.

Бидний олж мэдсэнээр 3 − 7 илэрхийллийн утга нь −4-тэй тэнцүү байна. Энэ нь бидний энэ илэрхийлэлд хийх аливаа өөрчлөлт нь -4-тэй тэнцүү байх ёстой гэсэн үг юм

Гэхдээ бид хоёр дахь шатанд 7 − 3 гэсэн илэрхийлэл байгааг харж байгаа бөгөөд энэ нь −4-тэй тэнцүү биш юм.

Энэ байдлыг засахын тулд та 7 − 3 илэрхийллийг хаалтанд хийж, энэ хаалтын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

Энэ тохиолдолд тэгш байдлыг үе шат бүрт ажиглана.

Илэрхийллийг тооцоолсны дараа хашилтыг арилгаж болох бөгөөд үүнийг бид хийсэн.

Тиймээс илүү нарийвчлалтай байхын тулд шийдэл нь иймэрхүү харагдах ёстой:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Энэ дүрмийг хувьсагч ашиглан бичиж болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

a − b = − (b − a)

Олон тооны хаалт болон үйлдлийн тэмдэг нь энгийн мэт санагдах асуудлын шийдлийг төвөгтэй болгож болзошгүй тул ийм жишээг хэрхэн товч бичих талаар сурах нь илүү дээр юм, жишээ нь 3 − 7 = − 4.

Үнэн хэрэгтээ бүхэл тоог нэмэх, хасах нь нэмэхээс өөр зүйл биш юм. Энэ нь хэрэв та тоог хасах шаардлагатай бол энэ үйлдлийг нэмэх замаар сольж болно гэсэн үг юм.

Ингээд шинэ дүрэмтэй танилцацгаая.

Нэг тооноос нөгөө тоог хасна гэдэг нь хасагдаж байгаа тооноос эсрэг тоог нэмэх гэсэн үг.

Жишээлбэл, хамгийн энгийн илэрхийлэл болох 5 − 3. Математикийг судлах эхний үе шатанд бид тэнцүү тэмдэг тавьж, хариултыг бичнэ.

Харин одоо бид судалгаагаа ахиулж байгаа тул шинэ дүрэмд дасан зохицох хэрэгтэй. Шинэ дүрмээр нэг тоог нөгөө тооноос хасна гэдэг нь хасах дугаартай ижил тоог нэмнэ гэсэн үг.

5 − 3 илэрхийллийн жишээг ашиглан энэ дүрмийг ойлгохыг хичээцгээе. Энэ илэрхийлэл дэх хасах нь 5, хасах нь 3. Дүрэмд зааснаар 5-аас 3-ыг хасахын тулд 5-д 3-ын эсрэг тоог нэмэх хэрэгтэй. 3-ын эсрэг тоо -3. . Шинэ илэрхийлэл бичье:

Ийм илэрхийллийн утгыг хэрхэн олохыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ бол бидний өмнө авч үзсэн өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудын нэмэгдэл юм. Өөр өөр тэмдэгт бүхий тоонуудыг нэмэхийн тулд бид том модулиас жижиг модулийг хасч, хариултын өмнө модуль нь илүү байгаа тооны тэмдгийг тавина.

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

5 тооны модуль нь −3 тооны модулиас их байна. Тиймээс бид 5-аас 3-ыг хасаад 2-ыг авсан.5-ын тоо илүү том модультай тул хариултанд энэ тооны тэмдгийг тавьсан. Энэ нь эерэг хариулт юм.

Эхлээд хүн бүр хасахыг нэмэх замаар хурдан сольж чаддаггүй. Учир нь эерэг тоог нэмэх тэмдэггүйгээр бичдэг.

Жишээлбэл, 3 − 1 илэрхийлэлд хасах тэмдэг нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд нэгийг заагаагүй болно. Энэ тохиолдолд нэг нь эерэг тоо бөгөөд энэ нь өөрийн нэмэх тэмдэгтэй боловч эерэг тоонуудын өмнө нэмэхийг бичдэггүй тул бид үүнийг харахгүй байна.

Тиймээс тодорхой болгохын тулд энэ илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.

(+3) − (+1)

Тохиромжтой болгохын тулд өөрийн гэсэн тэмдэгтэй тоонуудыг хаалтанд байрлуулна. Энэ тохиолдолд хасахыг нэмэхээр солих нь илүү хялбар байдаг.

(+3) − (+1) илэрхийлэлд хасагдаж буй тоо нь (+1), эсрэг тоо нь (−1) байна.

Хасах үйлдлийг нэмэхээр сольж, (+1) хасахын оронд эсрэг тоо (−1) бичье.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Цаашдын тооцоо хийхэд хэцүү биш байх болно.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Өнгөц харахад, хэрэв та хуучин сайн аргыг ашиглан тэнцүү тэмдэг тавьж, хариултыг 2-ыг шууд бичиж чадвал эдгээр нэмэлт хөдөлгөөнүүд ямар ч утгагүй мэт санагдаж магадгүй юм. Үнэндээ энэ дүрэм бидэнд нэгээс олон удаа туслах болно.

Өмнөх жишээ 3 − 7-г хасах дүрмийг ашиглан шийдье. Эхлээд тоо тус бүрт өөрийн гэсэн тэмдэг тавьж, илэрхийллийг тодорхой хэлбэрт оруулъя.

Гурав нь эерэг тоо тул нэмэх тэмдэгтэй. Хасах үйлдлийг харуулсан хасах тэмдэг нь долоон дээр хамаарахгүй. Долоо нь эерэг тоо тул нэмэх тэмдэгтэй:

Хасалтыг нэмэхээр орлъё:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Цаашид тооцоолох нь хэцүү биш юм:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Жишээ 7.−4 − 5 илэрхийллийн утгыг ол

Бид дахин хасах үйлдэлтэй. Энэ үйлдлийг нэмэлтээр солих шаардлагатай. Хасах хэсэгт (−4) бид хасах (+5)-ийн эсрэг талын тоог нэмнэ. Хасах (+5)-ын эсрэг тоо нь (−5) тоо юм.

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Сөрөг тоог нэмэх шаардлагатай нөхцөл байдалд хүрлээ. Ийм тохиолдолд дараахь дүрмийг баримтална.

Сөрөг тоог нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.

Тиймээс, дүрмийн дагуу тоонуудын модулиудыг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Модулиуд бүхий оруулга нь хаалтанд байх ёстой бөгөөд эдгээр хаалтны өмнө хасах тэмдэг тавих ёстой. Ингэснээр бид хариултын өмнө гарч ирэх хасах зүйлийг өгөх болно:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Энэ жишээний шийдлийг товчхон бичиж болно:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

эсвэл бүр богино:

−4 − 5 = −9

Жишээ 8.−3 − 5 − 7 − 9 илэрхийллийн утгыг ол

Илэрхийлэлийг тодорхой хэлбэрт оруулъя. Энд −3-аас бусад бүх тоо эерэг тул нэмэх тэмдэгтэй байна:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Хасах тоог нэмэгдлээр орлуулъя. Гурвын өмнөх хасахаас бусад бүх хасах нь нэмэх болон бүх эерэг тоо эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Одоо сөрөг тоог нэмэх дүрмийг хэрэгжүүлье. Сөрөг тоо нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Энэ жишээний шийдлийг товчхон бичиж болно:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

эсвэл бүр богино:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Жишээ 9.−10 + 6 − 15 + 11 − 7 илэрхийллийн утгыг ол

Илэрхийлэлийг тодорхой хэлбэрт аваачъя:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Энд нэмэх, хасах гэсэн хоёр үйлдэл байна. Бид нэмэхийг хэвээр үлдээж, хасахыг нэмэхээр солино.

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Ажиглахдаа бид өмнө нь сурсан дүрмүүд дээр үндэслэн үйлдэл бүрийг ээлжлэн хийх болно. Модуль бүхий оруулгуудыг алгасаж болно:

Эхний үйлдэл:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Хоёр дахь үйлдэл:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Гурав дахь үйлдэл:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Дөрөв дэх үйлдэл:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Тиймээс −10 + 6 − 15 + 11 − 7 илэрхийллийн утга нь −15 байна.

Анхаарна уу. Тоонуудыг хаалтанд оруулах замаар илэрхийллийг ойлгомжтой хэлбэрт оруулах шаардлагагүй. Сөрөг тоонд дассан тохиолдолд энэ алхамыг алгасаж болно, учир нь энэ нь цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд төөрөгдөл үүсгэдэг.

Тиймээс бүхэл тоог нэмэх, хасахын тулд та дараах дүрмийг санах хэрэгтэй.

Манай шинэ ВКонтакте бүлэгт нэгдэж, шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй