Шугамын огтлолцох цэгийн координатыг хэрхэн тооцоолох вэ. Өөр өөр дүр төрхөөр тодорхойлогдсон шугамуудын огтлолцлын цэг

Перпендикуляр шугам

Энэ даалгавар нь сургуулийн сурах бичгүүдэд хамгийн алдартай бөгөөд эрэлт хэрэгцээтэй байж магадгүй юм. Энэ сэдэв дээр үндэслэсэн даалгавар нь олон янз байдаг. Энэ бол хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн тодорхойлолт, энэ нь мөн анхны шугамын аль ч өнцгөөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийн тодорхойлолт юм.

Бид тооцоололдоо ашиглан олж авсан өгөгдлийг ашиглан энэ сэдвийг авч үзэх болно

Тэнд шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициенттэй тэгшитгэл болгон хувиргах ба эсрэгээр нь өгөгдсөн нөхцлийн дагуу шулуун шугамын үлдсэн параметрүүдийг тодорхойлох асуудлыг авч үзсэн.

Энэ хуудсанд зориулагдсан асуудлуудыг шийдвэрлэхэд бидэнд юу дутагдаж байна вэ?

1. Хоёр огтлолцох шулууны хоорондох өнцгийн аль нэгийг тооцоолох томьёо.

Хэрэв бид тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шугамтай бол:

Дараа нь өнцгүүдийн аль нэгийг дараах байдлаар тооцоолно.

2. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл

Томъёо 1-ээс бид хоёр хилийн мужийг харж болно

a) энэ хоёр өгөгдсөн шугам зэрэгцээ (эсвэл давхцах) үед

б) үед , тэгвэл , тиймээс эдгээр шулуунууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл зөв өнцгөөр огтлолцоно.

Өгөгдсөн шулуун шугамаас өөр ийм асуудлыг шийдвэрлэх анхны өгөгдөл юу байж болох вэ?

Шулуун шугамын цэг ба хоёр дахь шулуун шугамын огтлолцох өнцөг

Шугамын хоёр дахь тэгшитгэл

Бот ямар асуудлыг шийдэж чадах вэ?

1. Хоёр мөр өгөгдсөн (тодорхой эсвэл шууд бусаар, жишээлбэл, хоёр цэгээр). Уулзалтын цэг болон тэдгээрийн огтлолцох өнцгийг тооцоол.

2. Нэг шулуун, шулуун дээрх цэг, нэг өнцөг өгөгдсөн. Өгөгдсөн шугамыг тодорхой өнцгөөр огтолж буй шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойл

Жишээ

Хоёр мөрийг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Эдгээр шулуунуудын огтлолцох цэг болон тэдгээрийн огтлолцох өнцгийг ол

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Бид дараах үр дүнг авна

Эхний шугамын тэгшитгэл

y = 2.2 x + (1.2)

Хоёр дахь шугамын тэгшитгэл

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Хоёр шулуун шугамын огтлолцлын өнцөг (градусаар)

-42.357454705937

Хоёр шугамын огтлолцох цэг

x = -3.5

y = -6.5

Хоёр мөрийн параметрүүдийг таслалаар, мөр бүрийн параметрүүдийг цэг таслалаар тусгаарладаг гэдгийг бүү мартаарай.

Шулуун шугам нь (1:-4) ба (5:2) хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг. (-2:-8) цэгийг дайран өнгөрч, анхны шулууныг 30 градусын өнцгөөр огтолж байгаа шулууны тэгшитгэлийг ол.

Бид нэг шулуун шугамыг дайран өнгөрөх хоёр цэгийг мэддэг учраас мэддэг.

Хоёр дахь шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлоход л үлддэг. Нэг цэг нь бидэнд мэдэгдэж байгаа бөгөөд хоёрдугаарт биш, эхний шугам хоёр дахь шугамыг огтолж буй өнцгийг зааж өгсөн болно.

Бүх зүйл мэдэгдэж байгаа юм шиг санагддаг, гэхдээ энд гол зүйл бол алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Бид x тэнхлэг ба шугамын хоорондох өнцгийн (30 градус) тухай биш, харин эхний ба хоёр дахь шугамын хоорондох өнцгийн тухай ярьж байна.

Ийм учраас бид ингэж нийтэлдэг. Эхний шугамын параметрүүдийг тодорхойлж, х тэнхлэгийг ямар өнцгөөр огтолж байгааг олж мэдье.

мөр xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Ерөнхий тэгшитгэл Ax+By+C = 0

Коэффицент А = -6

Б хүчин зүйл = 4

C хүчин зүйл = 22

Коэффицент a= 3.666666666667

Коэффицент b = -5.5

коэффициент k = 1.5

Тэнхлэг рүү хазайх өнцөг (градусаар) f = 56.309932474019

Коэффицент p = 3.0508510792386

Коэффицент q = 2.5535900500422

Цэг хоорондын зай=7.211102550928

Эхний шугам нь тэнхлэгийг өнцгөөр огтолж байгааг бид харж байна 56.309932474019 градус.

Эх сурвалжийн өгөгдөл нь хоёр дахь шугам нь эхнийхтэй хэрхэн огтлолцохыг нарийн заагаагүй байна. Эцсийн эцэст та нөхцөлийг хангасан хоёр шугамыг барьж болно, эхнийх нь цагийн зүүний дагуу 30 градус, хоёр дахь нь цагийн зүүний эсрэг 30 градус.

Тэднийг тоолъё

Хэрэв хоёр дахь мөрийг цагийн зүүний эсрэг 30 градус эргүүлбэл хоёр дахь мөр нь x тэнхлэгтэй огтлолцох зэрэгтэй байна. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градус

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Заасан параметрийн дагуу шулуун шугамын параметрүүд

Ерөнхий тэгшитгэл Ax+By+C = 0

А коэффициент = 23.011106998916

Б коэффициент = -1.4840558255286

Коэффицент С = 34.149767393603

x/a+y/b сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл = 1

Коэффицент a= -1.4840558255286

Коэффицент b = 23.011106998916

y = kx + b өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамын тэгшитгэл

коэффициент k = 15.505553499458

Тэнхлэг рүү хазайх өнцөг (градусаар) f = 86.309932474019

x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 шулууны хэвийн тэгшитгэл

Коэффицент p = -1.4809790664999

Коэффицент q = 3.0771888256405

Цэг хоорондын зай=23.058912962428

Нэг цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай li =

өөрөөр хэлбэл, бидний хоёр дахь шугамын тэгшитгэл y= байна 15.505553499458x+ 23.011106998916

1. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд функцийг хоёуланг нь тэнцүүлж, $ x $ агуулсан бүх гишүүнийг зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлж, язгуурыг олох хэрэгтэй. үр дүнгийн тэгшитгэл.
2. Хоёр дахь арга нь тэгшитгэлийн системийг бий болгож, нэг функцийг нөгөөд орлуулах замаар шийдвэрлэх явдал юм
3. Гурав дахь арга нь функцийг графикаар бүтээх, уулзварын цэгийг нүдээр тодорхойлох явдал юм.

Хоёр шугаман функцийн тохиолдол

$ f(x) = k_1 x+m_1 $ ба $ g(x) = k_2 x + m_2 $ гэсэн хоёр шугаман функцийг авч үзье. Эдгээр функцийг шууд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг бүтээх нь маш хялбар бөгөөд та $ x_1 $ ба $ x_2 $ гэсэн хоёр утгыг авч, $ f(x_1) $ ба $ (x_2) $-ийг олох хэрэгтэй. Дараа нь $ g(x) $ функцтэй ижил зүйлийг давтана. Дараа нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг нүдээр ол.

Шугаман функцууд нь зөвхөн нэг огтлолцох цэгтэй бөгөөд зөвхөн $ k_1 \neq k_2 $ үед л мэдэх ёстой. Үгүй бол $ k_1=k_2 $ тохиолдолд функцууд хоорондоо параллель байна, учир нь $ k $ нь налуугийн коэффициент юм. Хэрэв $ k_1 \neq k_2 $, харин $ m_1=m_2 $ бол огтлолцох цэг нь $ M(0;m) $ болно. Асуудлыг хурдан шийдвэрлэхийн тулд энэ дүрмийг санах нь зүйтэй.

Хоёр шугаман бус функцийн тохиолдол

Координатын аргыг ашиглан геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд шийдэлд координатыг ашигладаг огтлолцлын цэг хэрэгтэй. Хавтгай дээрх хоёр шугамын огтлолцлын координатыг хайх эсвэл орон зайд ижил шугамын координатыг тодорхойлох шаардлагатай үед нөхцөл байдал үүсдэг. Энэ нийтлэлд өгөгдсөн шугамууд огтлолцох цэгүүдийн координатыг олох тохиолдлуудыг авч үзнэ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг тодорхойлох шаардлагатай.

Хавтгай дээрх шулуунуудын харьцангуй байрлалын хэсэг нь тэдгээр нь давхцаж, параллель, нэг нийтлэг цэг дээр огтлолцох, огтлолцох боломжтойг харуулж байна. Орон зайн хоёр шулуун нэг нийтлэг цэгтэй бол огтлолцсон гэж нэрлэдэг.

Шугамануудын огтлолцлын цэгийн тодорхойлолт дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт 1

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг тэдгээрийн огтлолцох цэг гэнэ. Өөрөөр хэлбэл шугамын огтлолцох цэг нь огтлолцох цэг юм.

Доорх зургийг харцгаая.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг олохын өмнө доорх жишээг авч үзэх шаардлагатай.

Хэрэв хавтгай нь координатын систем O x y байвал a ба b хоёр шулуун шугамыг зааж өгнө. А мөр нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, b мөрөнд - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 байна. Дараа нь M 0 (x 0 , y 0) нь хавтгайн тодорхой цэг юм M 0 цэг нь эдгээр шулуунуудын огтлолцлын цэг байх эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Асуудлыг шийдэхийн тулд тодорхойлолтыг дагаж мөрдөх шаардлагатай. Дараа нь шугамууд нь өгөгдсөн A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл болох цэг дээр огтлолцох ёстой. Энэ нь огтлолцлын цэгийн координатыг бүх өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулсан гэсэн үг юм. Хэрэв орлуулахдаа тэдгээр нь зөв таних тэмдэг өгвөл M 0 (x 0, y 0) нь тэдний огтлолцох цэг гэж тооцогддог.

Жишээ 1

5 x - 2 y - 16 = 0 ба 2 x - 5 y - 19 = 0 гэсэн хоёр огтлолцсон шугам өгөгдсөн. (2, - 3) координаттай M 0 цэг нь огтлолцох цэг байх уу.

Шийдэл

Шугамын огтлолцол хүчинтэй байхын тулд M 0 цэгийн координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангасан байх шаардлагатай. Үүнийг тэдгээрийг орлуулах замаар шалгаж болно. Бид үүнийг ойлгодог

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Хоёр тэгш байдал хоёулаа үнэн бөгөөд энэ нь M 0 (2, - 3) нь өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцох цэг гэсэн үг юм.

Энэ шийдлийг доорх зургийн координатын шугам дээр дүрсэлцгээе.

Хариулт:(2, - 3) координаттай өгөгдсөн цэг нь өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцох цэг болно.

Жишээ 2

5 x + 3 y - 1 = 0 ба 7 x - 2 y + 11 = 0 шугамууд M 0 (2, - 3) цэг дээр огтлолцох уу?

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд цэгийн координатыг бүх тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Хоёр дахь тэгшитгэл нь үнэн биш, энэ нь өгөгдсөн цэг нь 7 x - 2 y + 11 = 0 шулуунд хамаарахгүй гэсэн үг юм. Эндээс бид M 0 цэг нь шугамуудын огтлолцох цэг биш гэдгийг олж мэднэ.

Зураг нь M 0 нь шугамын огтлолцох цэг биш гэдгийг тодорхой харуулж байна. Тэд координаттай (- 1, 2) нийтлэг цэгтэй байдаг.

Хариулт:(2, - 3) координаттай цэг нь өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцох цэг биш юм.

Хавтгай дээрх өгөгдсөн тэгшитгэлийг ашиглан бид хоёр шулууны огтлолцлын цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Хоёр огтлолцсон a ба b шугамыг A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж, Oxy дээр байрладаг. М 0 огтлолцлын цэгийг тодорхойлохдоо бид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан координатыг үргэлжлүүлэн хайх хэрэгтэйг олж мэдэв.

Тодорхойлолтоос харахад M 0 нь шугамын огтлолцлын нийтлэг цэг юм. Энэ тохиолдолд түүний координатууд нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь үүссэн системийн A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 шийдэл юм.

Энэ нь огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд бүх тэгшитгэлийг системд нэмж, шийдвэрлэх шаардлагатай гэсэн үг юм.

Жишээ 3

Хавтгай дээр x - 9 y + 14 = 0 ба 5 x - 2 у - 16 = 0 гэсэн хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. тэдгээрийн огтлолцлыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Тэгшитгэлийн нөхцлийн талаархи мэдээллийг системд цуглуулах ёстой бөгөөд үүний дараа бид x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0-ийг авна. Үүнийг шийдэхийн тулд x-ийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, илэрхийллийг хоёрдугаарт орлуулна уу.

x - 9 у + 14 = 0 5 x - 2 у - 16 = 0 ⇔ x = 9 у - 14 5 x - 2 у - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 у - 14 5 9 у - 14 - 2 у - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Үүссэн тоонууд нь олох шаардлагатай координатууд юм.

Хариулт: M 0 (4, 2) нь x - 9 y + 14 = 0 ба 5 x - 2 y - 16 = 0 шугамуудын огтлолцох цэг юм.

Координатыг олох нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд хүргэдэг. Хэрэв нөхцөлөөр өөр төрлийн тэгшитгэл өгөгдсөн бол түүнийг хэвийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.

Жишээ 4

x - 5 = y - 4 - 3 ба x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R шулуунуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойл.

Шийдэл

Эхлээд та тэгшитгэлүүдийг ерөнхий хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Дараа нь бид x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R нь дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Дараа нь бид x - 5 = y - 4 - 3 гэсэн каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч, хувиргана. Бид үүнийг ойлгодог

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 у - 4 ⇔ 3 x - 5 у + 20 = 0

Эндээс бид координатууд нь огтлолцох цэг юм

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Координатыг олохын тулд Крамерын аргыг ашиглая:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

Хариулт: M 0 (- 5, 1) .

Хавтгай дээр байрлах шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг олох арга бас бий. Энэ нь шугамын аль нэгийг x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдолд хамаарна. Дараа нь x утгын оронд x = x 1 + a x · λ ба y = y 1 + a y · λ-ийг орлуулж, x 1 + a x · λ 0 координаттай огтлолцлын цэгт харгалзах λ = λ 0-ийг авна. , y 1 + a y · λ 0 .

Жишээ 5

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ба x - 5 = y - 4 - 3 шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойл.

Шийдэл

x - 5 = y - 4 - 3-д x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ илэрхийллээр орлуулалтыг хийх шаардлагатай бөгөөд дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Шийдвэрлэхдээ бид λ = - 1 болохыг олж мэднэ. Үүнээс үзэхэд x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ба x - 5 = y - 4 - 3 шугамуудын хооронд огтлолцох цэг байна. Координатыг тооцоолохын тулд параметрийн тэгшитгэлд λ = - 1 илэрхийллийг орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 болно.

Хариулт: M 0 (- 5, 1) .

Сэдвийг бүрэн ойлгохын тулд та зарим нарийн ширийн зүйлийг мэдэх хэрэгтэй.

Эхлээд та шугамын байршлыг ойлгох хэрэгтэй. Тэд огтлолцох үед бид координатуудыг олох болно, бусад тохиолдолд шийдэл байхгүй болно. Энэ шалгалтаас зайлсхийхийн тулд та A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 хэлбэрийн системийг үүсгэж болно Хэрэв шийдэл байгаа бол бид шугамууд огтлолцдог гэж дүгнэж болно. Хэрэв шийдэл байхгүй бол тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Хэрэв систем хязгааргүй олон шийдэлтэй бол тэдгээр нь давхцдаг гэж хэлдэг.

Жишээ 6

Өгөгдсөн мөрүүд x 3 + y - 4 = 1 ба y = 4 3 x - 4. Тэдэнд нийтлэг санаа байгаа эсэхийг тодорхойлох.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлийг хялбарчлах замаар бид 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ба 4 3 x - y - 4 = 0 болно.

Дараах шийдэлд зориулж тэгшитгэлүүдийг системд цуглуулах ёстой.

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Эндээс бид тэгшитгэлүүд бие биенээсээ илэрхийлэгдэж байгааг харж болно, тэгвэл бид хязгааргүй тооны шийдлийг олж авна. Дараа нь x 3 + y - 4 = 1 ба y = 4 3 x - 4 тэгшитгэлүүд нь ижил шугамыг тодорхойлно. Тиймээс огтлолцох цэг байхгүй.

Хариулт:Өгөгдсөн тэгшитгэлүүд нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 7

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ба 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 огтлолцох шулуунуудын цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлийн дагуу энэ нь боломжтой, шугамууд огтлолцохгүй. Тэгшитгэлийн системийг бий болгож, шийдвэрлэх шаардлагатай. Шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглах шаардлагатай, учир нь түүний тусламжтайгаар тэгшитгэлийн нийцтэй байдлыг шалгах боломжтой. Бид маягтын системийг авдаг:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) у = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Бид буруу тэгш байдлыг хүлээн авсан бөгөөд энэ нь системд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм. Шугамууд зэрэгцээ байна гэж бид дүгнэж байна. Ямар ч уулзвар цэг байхгүй.

Хоёр дахь шийдэл.

Эхлээд та шугамын огтлолцол байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй.

n 1 → = (2, 2 - 3) нь 2 шугамын хэвийн вектор x + (2 - 3) y + 7 = 0, тэгвэл вектор n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 байна. 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 шугамын хэвийн вектор.

n 1 → = (2, 2 - 3) ба n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) векторуудын уялдаа холбоог шалгах шаардлагатай. Бид 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 хэлбэрийн тэгш байдлыг олж авна. Энэ нь зөв, учир нь 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Үүнээс үзэхэд векторууд нь коллинеар байна. Энэ нь шугамууд параллель, огтлолцох цэггүй гэсэн үг юм.

Хариулт:огтлолцох цэг байхгүй, шугамууд зэрэгцээ байна.

Жишээ 8

Өгөгдсөн 2 x - 1 = 0 ба y = 5 4 x - 2 шулуунуудын огтлолцлын координатыг ол.

Шийдэл

Шийдвэрлэхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг зохиодог. Бид авдаг

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олъё. Үүний тулд 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Энэ нь тэгтэй тэнцүү биш тул систем нь 1 шийдэлтэй байна. Үүнээс үзэхэд шугамууд огтлолцдог. Уулзвар цэгүүдийн координатыг олох системийг шийдье.

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэг нь M 0 (1 2, - 11 8) координаттай болохыг олж мэдсэн.

Хариулт:М 0 (1 2 , - 11 8) .

Орон зайн хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох

Үүнтэй адил орон зайд шулуун шугамын огтлолцох цэгүүд олддог.

О x y z координатын хавтгайд огтлолцох хавтгайн тэгшитгэлээр a ба b шулуун шугамуудыг өгвөл өгөгдсөн A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 системийг ашиглан тодорхойлж болох шулуун a шулуун байна. = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 ба шулуун шулуун b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

М 0 цэг нь шугамын огтлолцлын цэг бол түүний координатууд нь хоёр тэгшитгэлийн шийдэл байх ёстой. Бид систем дэх шугаман тэгшитгэлийг олж авдаг.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Жишээ ашиглан ижил төстэй даалгавруудыг авч үзье.

Жишээ 9

Өгөгдсөн x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ба 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Бид x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 системийг зохиож, үүнийг шийднэ. Координатыг олохын тулд та матрицаар дамжуулан шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь бид A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 хэлбэрийн үндсэн матрицыг, T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 өргөтгөсөн матрицыг олж авна. Бид матрицын Гауссын зэрэглэлийг тодорхойлно.

Бид үүнийг ойлгодог

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь 3 гэсэн утгатай байна. Тэгвэл x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн нэг шийд гарна.

Суурь минор нь тодорхойлогч 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 байвал сүүлийн тэгшитгэл хамаарахгүй. Бид x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y болохыг олж авна. - 3. Системийн шийдэл x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3.

Энэ нь x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ба 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 огтлолцох цэг (1, - 3, 0) координаттай байна гэсэн үг юм.

Хариулт: (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 хэлбэрийн систем = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 нь зөвхөн нэг шийдтэй байна. Энэ нь a ба b шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Бусад тохиолдолд тэгшитгэл нь шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл нийтлэг цэгүүд байдаггүй. Энэ нь байхгүй тул координаттай цэгийг олох боломжгүй юм.

Иймд A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z хэлбэрийн систем. + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0-ийг Гауссын аргаар шийднэ. Хэрэв энэ нь таарахгүй бол шугамууд огтлолцохгүй байна. Хэрэв хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол тэдгээр нь давхцдаг.

Та матрицын үндсэн ба өргөтгөсөн зэрэглэлийг тооцоолох замаар шийдэж, дараа нь Кронекер-Капелли теоремыг ашиглаж болно. Бид нэг, олон эсвэл огт шийддэггүй.

Жишээ 10

x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ба x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 шулуунуудын тэгшитгэлийг өгөв. Уулзвар цэгийг ол.

Шийдэл

Эхлээд тэгшитгэлийн системийг бий болгоё. Бид x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 гэдгийг олж авна. Бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг.

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Мэдээжийн хэрэг, системд ямар ч шийдэл байхгүй, энэ нь шугамууд огтлолцохгүй гэсэн үг юм. Ямар ч уулзвар байхгүй.

Хариулт:огтлолцох цэг байхгүй.

Хэрэв шугамыг конон эсвэл параметрийн тэгшитгэл ашиглан өгсөн бол тэдгээрийг огтлолцох хавтгайн тэгшитгэлийн хэлбэрт оруулаад координатыг олох хэрэгтэй.

Жишээ 11

O x y z-д x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R ба x 2 = y - 3 0 = z 5 гэсэн хоёр шугам өгөгдсөн. Уулзвар цэгийг ол.

Шийдэл

Бид шулуун шугамыг огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлээр тодорхойлно. Бид үүнийг ойлгодог

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Бид 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 координатуудыг олж, үүний тулд бид матрицын зэрэглэлийг тооцоолно. Матрицын зэрэглэл нь 3, суурь минор нь 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 бөгөөд энэ нь сүүлийн тэгшитгэлийг системээс хасах ёстой гэсэн үг юм. Бид үүнийг ойлгодог

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Крамерын аргыг ашиглан системийг шийдье. Бид x = - 2 y = 3 z = - 5 гэдгийг олж авна. Эндээс бид өгөгдсөн шугамуудын огтлолцол нь координаттай (- 2, 3, - 5) цэгийг өгдөг болохыг олж мэднэ.

Хариулт: (- 2 , 3 , - 5) .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэхүү онлайн тооцоолуурыг ашиглан та хавтгай дээрх шугамуудын огтлолцлын цэгийг олох боломжтой. Тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг өгсөн болно. Шугамануудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд шугамын тэгшитгэлийн төрлийг ("каноник", "параметр" эсвэл "ерөнхий") тохируулж, нүднүүдэд шугамын тэгшитгэлийн коэффициентийг оруулаад "Шийдэх" дээр дарна уу. " товч. Доорх онолын хэсэг болон тоон жишээг үзнэ үү.

×

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой бөгөөд a ба b (b>0) нь бүхэл тоо эсвэл аравтын тоо юм. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Хавтгай дээрх шугамуудын огтлолцлын цэг - онол, жишээ, шийдэл

1. Ерөнхий хэлбэрээр өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэг.

Окси Л 1 ба Л 2:

Өргөтгөсөн матрицыг бүтээцгээе:

Хэрэв B" 2 =0 ба ХАМТ" 2 =0 бол шугаман тэгшитгэлийн систем олон шийдтэй байна. Тиймээс шулуун Л 1 ба Л 2 тоглолт. Хэрэв B" 2 =0 ба ХАМТ" 2 ≠0, дараа нь систем нь нийцэхгүй байгаа тул шугамууд параллель бөгөөд нийтлэг цэггүй байна. Хэрэв B" 2 ≠0 бол шугаман тэгшитгэлийн систем өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог y: y=ХАМТ" 2 /B" 2 ба үр дүнгийн утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулж бид олдог x: x=−ХАМТ 1 −Б 1 y. Бид шугамуудын огтлолцох цэгийг олж авсан Л 1 ба Л 2: М(x, y).

2. Каноник хэлбэрээр өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэг.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгье Оксимөн энэ координатын системд шулуун шугамыг өгье Л 1 ба Л 2:

Хаалтуудыг нээж, өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

Үүнтэй төстэй аргыг ашиглан шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна (7):

(12) тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Каноник хэлбэрээр өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олохыг дээр дурдсан болно.

4. Янз бүрийн харагдах байдалд заасан шугамын огтлолцлын цэг.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгье Оксимөн энэ координатын системд шулуун шугамыг өгье Л 1 ба Л 2:

Бид олох болно т:

Шугаман тэгшитгэлийн системийг харгалзан үзье x, y. Үүнийг хийхийн тулд бид Гауссын аргыг ашиглана. Бид авах:

Жишээ 2. Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол Л 1 ба Л 2:

(21)

Шугамануудын огтлолцох цэгийг олох Л 1 ба Л 2-т та (20) ба (21) шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй. Тэгшитгэлүүдийг матриц хэлбэрээр үзүүлье.

Хоёр шугам өгье, та тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олох хэрэгтэй. Энэ цэг нь өгөгдсөн хоёр шулуун тус бүрт хамаарах тул координат нь эхний шугамын тэгшитгэл болон хоёр дахь шугамын тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангасан байх ёстой.

Тиймээс хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Шугамын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хүссэн огтлолцлын цэгийн координатыг олох болно

М огтлолцох цэг нь координаттай

Түүний тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугамыг хэрхэн байгуулахыг үзүүлье. Шулуун шугам барихын тулд түүний хоёр цэгийг мэдэхэд хангалттай. Эдгээр цэг бүрийг байгуулахын тулд бид түүний координатын аль нэгийг дурын утгыг зааж өгөөд дараа нь тэгшитгэлээс нөгөө координатын харгалзах утгыг олно.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд одоогийн координат дээрх хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү биш бол энэ шулуун шугамыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох нь зүйтэй.

Жишээ 2. Шулуун шугам байгуул.

Шийдэл. Бид энэ шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийн тэгшитгэлийг хамтдаа шийднэ.

мөн бид авдаг. Ийнхүү энэ шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох M цэг (3; 0) олдлоо (Зураг 40).

Дараа нь энэ шулууны тэгшитгэл болон ордны тэнхлэгийн тэгшитгэлийг хамтад нь шийднэ

бид шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олно. Эцэст нь бид M ба хоёр цэгээс шулуун шугам байгуулна