Аль проекцын хавтгайг урд талын хавтгай гэж нэрлэдэг вэ? Сансар дахь онгоцны янз бүрийн байрлал

Онцлог шинж чанартай	Харааны дүрслэл	Диаграм
Урд талын хавтгай нь p 2 хавтгайтай параллель хавтгай юм. Энэ онгоц p 1 хавтгайг OX тэнхлэгтэй параллель, p 3 хавтгайг OZ тэнхлэгтэй параллель шугамын дагуу огтолж байна.
Хэвтээ хавтгай нь проекцын p 1 хавтгайтай параллель хавтгай юм. Энэ хавтгай нь p 2 хавтгайг OX тэнхлэгтэй параллель, p 3 хавтгай нь OU тэнхлэгтэй параллель огтлолцдог.
Профайл хавтгай нь p 3 хавтгайтай параллель хавтгай юм. Энэ хавтгай нь Z тэнхлэгтэй параллель шулуунуудын дагуу p 1 ба p 2 проекцын хавтгайг огтолж байна.

11. Онгоцны гол шугамуудыг нэрлэнэ үү

12. Хавтгай ба шулуун шугам, хоёр хавтгай нь харьцангуй ямар байрлал эзэлж болохыг тайлбарла. Харьцангуй байрлалын шинж тэмдгийг нэрлэ. Нарийн төвөгтэй зураг дээр барилгын жишээг авч үзье.

Шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байна, хэрэв энэ хавтгайд хэвтэж буй зарим шулуунтай параллель байвал.Ийм шулуун шугамыг барихын тулд та хавтгайд дурын шулуун шугамыг зааж өгөх хэрэгтэй бөгөөд шаардлагатай нэгийг нь түүнтэй зэрэгцээ зурах хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 1.53 Зураг. 1.54 Зураг 1.55

Цэгийг нь дамжуулъя А(Зураг 1.53) шулуун шугам зурах шаардлагатай AB, хавтгайтай зэрэгцээ Q, гурвалжингаар тодорхойлогддог CDF.Үүнийг хийхийн тулд цэгийн урд талын проекцоор дамжуулан А/ цэгүүд Аурд проекц хийцгээе a/b/хавтгайд байрлах дурын шугамын урд талын проекцтой параллель хүссэн шугам R,жишээ нь, шулуун CD (a/b/!!с/д/). Хэвтээ проекцоор дамжуулан Аоноо АЗэрэгцээ sdхэвтээ проекц хийх айхүссэн шулуун шугам AB (av11 sd).Чигээрээ ABхавтгайтай зэрэгцээ R,гурвалжингаар өгөгдсөн CDF.

Хавтгайтай огтлолцож буй шугамын бүх боломжит байрлалаас бид шулуун нь хавтгайд перпендикуляр байх тохиолдлыг тэмдэглэв. Ийм шугамын проекцуудын шинж чанарыг авч үзье.

Цагаан будаа. 1.56 Зураг. 1.57

Шулуун шугам нь хавтгайд перпендикуляр байна(шугам ба хавтгай огтлолцох онцгой тохиолдол) хэрэв энэ нь хавтгайд хэвтэж буй дурын шулуунд перпендикуляр байвал.Хавтгайд перпендикуляр проекцийг ерөнхий байрлалд барихын тулд проекцыг өөрчлөхгүйгээр энэ нь хангалтгүй юм. Тиймээс нэмэлт нөхцөлийг танилцуулж байна: Хэрэв шугам нь огтлолцсон хоёр гол шулуунтай перпендикуляр байвал хавтгайд перпендикуляр байна(проекц бүтээхдээ зөв өнцгийн проекцын нөхцөлийг ашигладаг). Энэ тохиолдолд: перпендикулярын хэвтээ ба урд талын проекцууд нь ерөнхий байрлалын өгөгдсөн хавтгайн урд талын хэвтээ ба урд талын хэвтээ проекцтой перпендикуляр байна (Зураг 1.54). Хавтгайг ул мөрөөр тодорхойлохдоо перпендикулярын проекцууд нь перпендикуляр, урд талын шугамын урд тал, онгоцны хэвтээ ул мөрийн хэвтээ байна (Зураг 1.55).

Төсөөлж буй хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцлыг авч үзье хавтгайг огтолж буй шулуун шугам, онгоц тодорхой байрлалд байх үед.

Проекцын хавтгайд перпендикуляр (проекцын хавтгай) хавтгайг түүн дээр шулуун шугамаар тусгав. Энэ шулуун дээр (онгоцны проекц) тодорхой шугам энэ хавтгайг огтлох цэгийн харгалзах проекц байх ёстой (Зураг 1.56).

Зураг 1.56-д цэгийн урд талын проекц TOшулуун шугамын огтлолцол ABгурвалжинтай СDEучир нь тэдгээрийн урд талын проекцуудын огтлолцол дээр тодорхойлогддог гурвалжин СDEшулуун шугам хэлбэрээр урд талын хавтгайд туссан. Шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийн хэвтээ проекцийг олдог (энэ нь шугамын хэвтээ проекц дээр байрладаг). Өрсөлдөх онооны аргыг ашиглан бид шугамын харагдах байдлыг тодорхойлно ABгурвалжны хавтгайтай харьцуулахад СDEхэвтээ проекцын хавтгай дээр.

Зураг 1.59-д хэвтээ проекцын хавтгайг үзүүлэв Пмөн ерөнхий байрлал дахь шулуун шугам AB. Учир нь онгоц Рпроекцын хэвтээ хавтгайд перпендикуляр байвал түүний дотор байгаа бүх зүйл проекцын хэвтээ хавтгайд түүний ул мөр, түүний дотор шугамтай огтлолцох цэгийг тусгасан болно. AB. Үүний үр дүнд нарийн төвөгтэй зураг дээр бид шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийн хэвтээ проекцийг авсан болно. Р. Цэг шулуун шугамд хамаарах эсэх дээр үндэслэн бид шулуун шугамын огтлолцлын цэгийн урд талын проекцийг олно. AB c онгоц Р. Бид төсөөллийн урд талын хавтгай дээрх шугамын харагдах байдлыг тодорхойлдог.

Цагаан будаа. 1.58 Зураг. 1.59

Зураг 1.58-д шулуун шугамын огтлолцлын цэгийн проекцийг бүтээх иж бүрэн зургийг үзүүлэв. ABхэвтээ түвшний хавтгайтай Г.Онгоцны урд талын ул мөр Гнь түүний урд талын проекц юм. Онгоцны огтлолцлын цэгийн урд талын проекц Гшулуун шугамаар ABшулуун шугамын урд талын проекц ба онгоцны урд талын ул мөрийн огтлолцол дээр тодорхойлогдоно. Уулзалтын цэгийн урд талын проекцийг авснаар бид шугамын огтлолцлын цэгийн хэвтээ проекцийг олно. ABонгоцтой Г.

Зураг 1.57-д гурвалжингаар тодорхойлогдсон ерөнхий хавтгайг үзүүлэв CDEболон урд талын шугам AB? нэг цэг дээр огтлолцох хавтгай К.Цэгийн урд проекц - к/цэгүүдтэй давхцаж байна а/Тэгээд б/ . Уулзвар цэгийн хэвтээ проекцийг байгуулахын тулд цэгээр зурна Конгоцонд CDEшууд (жишээлбэл, 1-2 ). Түүний урд талын проекцийг, дараа нь хэвтээ проекцийг байгуулъя. Цэг Кшугамуудын огтлолцох цэг юм ABТэгээд 1-2. Гол нь энэ Кнэгэн зэрэг шугаманд хамаарна ABгурвалжны хавтгай ба тиймээс тэдгээрийн огтлолцлын цэг юм.

Хоёр хавтгайн огтлолцолхоёр хавтгайн огтлолцлын шугамыг тус бүр нь хоёр хавтгайд хамаарах хоёр цэг, эсвэл хоёр хавтгайд хамаарах нэг цэг, шугамын мэдэгдэж буй чиглэлээр тодорхойлно. Аль ч тохиолдолд даалгавар бол хоёр хавтгайд нийтлэг цэгийг олох явдал юм.

Төлөвлөж буй онгоцнуудын огтлолцол.Хоёр хавтгай нь хоорондоо параллель эсвэл огтлолцож болно. Онгоцуудын харилцан огтлолцох тохиолдлыг авч үзье.

Хоёр хавтгайн харилцан огтлолцох замаар олж авсан шулуун шугам нь тус бүр нь хоёр хавтгайд хамаарах хоёр цэгээр бүрэн тодорхойлогддог тул өгөгдсөн хоёр хавтгайн огтлолцлын шугамд хамаарах эдгээр хоёр цэгийг олох нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Иймээс ерөнхий тохиолдолд хоёр хавтгайн огтлолцох шугамыг байгуулахын тулд тус бүр нь хоёр хавтгайд хамаарах дурын хоёр цэгийг олох шаардлагатай. Эдгээр цэгүүд нь онгоцны огтлолцлын шугамыг тодорхойлдог. Эдгээр хоёр цэг бүрийг олохын тулд та ихэвчлэн тусгай барилга байгууламжийг хийх хэрэгтэй. Гэхдээ огтлолцсон хавтгайнуудын дор хаяж нэг нь проекцын хавтгайд перпендикуляр (эсвэл параллель) байвал тэдгээрийн огтлолцлын шугамын проекцийг бүтээх нь хялбаршуулсан болно.

Цагаан будаа. 1.60 Зураг. 1.61

Хэрэв онгоцууд ул мөрөөр тодорхойлогддог бол хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг хос хосоор нь хайж олох нь зүйн хэрэг юм: эдгээр цэгийг дайран өнгөрөх шугам нь хоёуланд нь нийтлэг байдаг. өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн огтлолцлын шугам.

Нэг (эсвэл хоёуланг нь) огтлолцсон хавтгайн байршлын онцгой тохиолдлыг авч үзье.

Цогцолбор зураг (Зураг 1.60) нь хэвтээ проекцын хавтгайг харуулж байна ПТэгээд Q.Дараа нь тэдгээрийн огтлолцлын шугамын хэвтээ проекц нь цэг болж, урд талын проекц нь тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам болж хувирдаг. өө.

Нарийн төвөгтэй зураг (Зураг 1.61) нь тодорхой байрлалын онгоцуудыг харуулж байна: хавтгай Рхэвтээ проекцын хавтгайд перпендикуляр (хэвтээ проекцын хавтгай) ба хавтгай Q- хэвтээ түвшний хавтгай. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн огтлолцлын шугамын хэвтээ проекц нь онгоцны хэвтээ ул мөртэй давхцах болно. Р, ба урд талын - онгоцны урд талын ул мөртэй Q.

Мөр бүхий онгоцуудыг зааж өгсөн тохиолдолд эдгээр онгоцууд огтлолцож байгааг тодорхойлоход хялбар байдаг. хэрэв ижил нэртэй дор хаяж нэг хос ул мөр огтлолцож байвал онгоцууд бие биенээ огтолно.

Дээрх нь огтлолцсон ул мөрөөр тодорхойлогдсон хавтгайд хамаарна. Хэрэв хоёулаа хэвтээ ба урд талын хавтгай дээр бие биетэйгээ параллель байгаа ул мөр байгаа бол эдгээр онгоцууд параллель эсвэл огтлолцож болно. Ийм онгоцны харьцангуй байрлалыг гурав дахь проекц (гурав дахь ул мөр) байгуулах замаар шүүж болно. Гурав дахь проекц дээрх хоёр хавтгайн ул мөр нь мөн параллель байвал онгоцууд хоорондоо параллель байна. Гурав дахь хавтгай дээрх ул мөр огтлолцсон бол огторгуйд заасан хавтгайнууд огтлолцоно.

Нарийн төвөгтэй зураг (Зураг 1.62) нь гурвалжингаар тодорхойлогдсон урд талын проекцын хавтгайг харуулж байна. ABCТэгээд DEF. Проекцын урд талын хавтгай дээрх огтлолцлын шугамын проекц нь цэг, i.e. гурвалжингууд нь проекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр байдаг тул тэдгээрийн огтлолцлын шугам нь проекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр байна. Тиймээс гурвалжингийн огтлолцлын шугамын хэвтээ проекц ( 12 ) тэнхлэгт перпендикуляр өө.Хэвтээ проекцын хавтгай дээрх гурвалжингийн элементүүдийн харагдах байдлыг өрсөлдөх цэгүүдийг (3,4) ашиглан тодорхойлно.

Нарийн төвөгтэй зураг дээр (Зураг 1.63) хоёр хавтгайг зааж өгсөн: нэг нь гурвалжин юм. ABCерөнхий байрлал, нөгөө нь - гурвалжин DEFпроекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр, i.e. хувийн байрлалд байрладаг (урд талын проекц). Гурвалжингийн огтлолцлын шугамын урд талын проекц ( 1 / 2 / ) гурвалжингийн аль алинд нь нэгэн зэрэг хамаарах нийтлэг цэгүүд дээр тулгуурлан олно (урд талын гурвалжинд байгаа бүх зүйл). DEFурд талын проекц дээр шугам гарч ирнэ - түүний урд талын хавтгайд проекц, гурвалжинтай огтлолцох шугамыг оруулаад. ABC.Гурвалжны талуудтай огтлолцох цэгүүдийн хамаарлаар ABC, бид гурвалжингийн огтлолцлын шугамын хэвтээ проекцийг олно. Өрсөлдөх цэгийн аргыг ашиглан бид хөндлөн проекцын хавтгай дээрх гурвалжингийн элементүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлдог.

Цагаан будаа. 1.63 Зураг. 1.64

Зураг 1.64-т ерөнхий гурвалжингаар тодорхойлсон хоёр хавтгайн нийлмэл зургийг үзүүлэв ABCболон хэвтээ проекцын хавтгай Р, ул мөрөөр өгөгдсөн. Онгоцноос хойш Р- хэвтээ проекц, дараа нь түүний дотор байгаа бүх зүйл, түүний дотор гурвалжингийн хавтгайтай огтлолцох шугам. ABC, хэвтээ проекц нь түүнтэй давхцах болно

хэвтээ зам. Эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамын урд талын проекцийг элементийн цэгүүд нь ерөнхий байрлал дахь хавтгайд (хажуу талд) хамаарах нөхцөлөөс олдог.

Хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг олж авахын тулд нэг гурвалжны хажуугийн нөгөө гурвалжны хавтгайтай нийлэх цэгийг дараалан олдог хавтгайг ул мөрөөр биш ерөнхий байрлалд нь зааж өгсөн. Хэрэв ерөнхий байрлал дахь хавтгайг гурвалжингаар тодорхойлоогүй бол ийм хавтгайн огтлолцлын шугамыг хоёр туслах зүсэх онгоцыг ээлжлэн оруулах замаар олж болно - проекц (хавтыг гурвалжингаар тодорхойлох) эсвэл бусад бүх тохиолдолд түвшин.

Ерөнхий шугамын ерөнхий хавтгайтай огтлолцол.Өмнө ньТэдгээрийн аль нэгийг төлөвлөх үед онгоцуудын огтлолцлын тохиолдлыг авч үзсэн. Үүний үндсэн дээр ерөнхий шулуун шугамын ерөнхий хавтгайтай огтлолцох цэгийг нэмэлт проекцын завсрын хавтгайг оруулснаар олж болно.

Ерөнхий хавтгайн огтлолцлыг авч үзэхийн өмнө ерөнхий шугамыг ерөнхий хавтгайтай огтлолцохыг анхаарч үзээрэй.

Шулуун шугамыг ерөнхий байрлалд байгаа хавтгайтай уулзах цэгийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) туслах проекцын хавтгайд шулуун шугамыг хаах,

2) өгөгдсөн болон туслах хавтгайн огтлолцлын шугамыг олох;

Хоёр хавтгайд (энэ бол тэдгээрийн огтлолцлын шугам) болон шулуун шугамд нэгэн зэрэг хамаарах нийтлэг цэгийг тодорхойл.

Цагаан будаа. 1.65 Зураг. 1.66

Цагаан будаа. 1.67 Зураг. 1.68

Нарийн төвөгтэй зураг (Зураг 1.65) нь гурвалжинг харуулж байна СDEерөнхий байрлал, шулуун ABерөнхий байр суурь. Шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийг олохын тулд бид шугамыг дүгнэнэ AB Q. Уулзвар шугамыг олцгооё ( 12 ) зуучлах онгоц Qмөн өгөгдсөн онгоц СDE. Уулзвар шугамын хэвтээ проекцийг бүтээхдээ нийтлэг цэг байдаг TO, хоёр хавтгай ба өгөгдсөн шугамд нэгэн зэрэг хамаарах AB. Нэг цэгийн шулуун шугамд хамаарах байдлаас эхлээд шулуун шугамын өгөгдсөн хавтгайтай огтлолцох цэгийн урд талын проекцийг олно. Проекцын хавтгай дээрх шугамын элементүүдийн харагдах байдлыг өрсөлдөх цэгүүдийг ашиглан тодорхойлно.

Зураг 1.66-д шулуун шугамын уулзвар цэгийг олох жишээг үзүүлэв AB, энэ нь хэвтээ шугам (проекцын хэвтээ хавтгайтай параллель шугам) ба хавтгай Р, ерөнхий байрлал, ул мөрөөр өгөгдсөн. Тэдний огтлолцлын цэгийг олохын тулд шулуун шугам ABхэвтээ проекцын хавтгайд оршино Q. Дараа нь дээрх жишээний дагуу яв.

Хэвтээ шугамын уулзвар цэгийг олох ABхавтгайтай ерөнхий байрлалд (Зураг 1.67), шулуун шугамыг хавтгайтай огтлолцох цэгээр дамжуулан (түүний хэвтээ проекц нь шулуун шугамын хэвтээ проекцтой давхцдаг), бид хэвтээ шугамыг зурдаг (өөрөөр хэлбэл бид уядаг. шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох цэг Р). Хавтгайд зурсан хэвтээ шугамын урд талын проекцийг олсны дараа Р, шулуун шугамын уулзвар цэгийн урд талын проекцийг тэмдэглэнэ ABонгоцтой Р.

Мөрөөр тодорхойлсон ерөнхий хавтгайн огтлолцлын шугамыг олохын тулд хоёр хавтгайд нэгэн зэрэг хамаарах хоёр нийтлэг цэгийг тэмдэглэхэд хангалттай. Ийм цэгүүд нь тэдгээрийн ул мөрний огтлолцох цэгүүд юм (Зураг 1.68).

Хоёр гурвалжингаар тодорхойлогдсон ерөнхий хавтгайн огтлолцлын шугамыг олохын тулд (Зураг 1.69) бид цэгийг дараалан олно.

нэг гурвалжны хажуугийн нөгөө гурвалжны хавтгайтай уулзах. Аль ч гурвалжнаас хоёр талыг авч, зуучлагчдын проекцын хавтгайд оруулбал гурвалжинд нэгэн зэрэг хамаарах хоёр цэг олддог - тэдгээрийн огтлолцлын шугам.

Зураг 1.69-д гурвалжны иж бүрэн зургийг үзүүлэв ABCТэгээд DEFерөнхий байр суурь. Эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамыг олохын тулд:

1. Бид үдэшлэг хийж байна Наргурвалжин ABCурд талын проекцын хавтгайд С(онгоц сонгох нь бүрэн дур зоргоороо байдаг).

2. Хавтгайн огтлолцох шугамыг ол Сболон онгоцууд DEF – 12 .

3. Уулзах цэгийн хэвтээ проекцийг тэмдэглэ (хоёр гурвалжны нийтлэг цэг) TO 12 ба уулзвараас Наршулуун шугамын урд талын проекц дээр түүний урд талын проекцийг ол Нар.

4. Хоёрдахь туслах проекцын хавтгайг зур Qхажуугаар дамжин DFгурвалжин DEF.

5. Хавтгайн огтлолцох шугамыг ол Qба гурвалжин ABC - 3 4.

6. Цэгийн хэвтээ проекцийг тэмдэглэ Л, энэ нь намын уулзалтын цэг юм DFгурвалжин хавтгайтай ABCтүүний урд талын проекцийг ол.

7. Ижил нэртэй цэгүүдийн проекцуудыг холбох TOТэгээд Л.Л– гурвалжингаар тодорхойлсон ерөнхий хавтгайн огтлолцлын шугам ABCТэгээд DEF.

8. Өрсөлдөх цэгүүдийн аргыг ашиглан бид проекцын хавтгай дээрх гурвалжингийн элементүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлдог.

Дээрх нь параллель хавтгайн гол шугамуудад бас хүчинтэй тул бид үүнийг хэлж чадна Хэрэв ижил нэртэй мөрүүд нь зэрэгцээ байвал онгоцууд зэрэгцээ байна(Зураг 1.71).

Зураг 1.72-т өгөгдсөнтэй параллель, нэг цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай байгуулахыг үзүүлэв А.Эхний тохиолдолд цэгээр дамжуулан Аөгөгдсөн хавтгайтай параллель шулуун шугам (урд) татагдана Г. Тиймээс онгоц зурсан байна Рөгөгдсөн хавтгайтай параллель шугам агуулсан Гба түүнтэй зэрэгцээ. Хоёр дахь тохиолдолд, цэгээр дамжуулан АЭдгээр шулуунууд нь өгөгдсөн хавтгайтай параллель байх нөхцөлөөс үндсэн шугамаар тодорхойлогдсон хавтгайг зурна Г.

Харилцан перпендикуляр хавтгай. Хэрэв нэг онгоц агуулдаг

наад зах нь нэг шулуун шугам өөр хавтгайд перпендикуляр, дараа нь ийм

хавтгайнууд перпендикуляр байна.Зураг 1.73-т харилцан перпендикуляр хавтгайг үзүүлэв. Зураг 1.74-т цэгээр дамжуулан заасан хавтгайд перпендикуляр барихыг үзүүлэв А,хавтгайн шулуун шугамд (энэ тохиолдолд үндсэн шугамууд) перпендикуляр байх нөхцөлийг ашиглан.

Эхний тохиолдолд цэгээр дамжуулан Ахавтгайд перпендикуляр урд талын шугам татсан Р, түүний хэвтээ мөрийг барьж, түүгээр онгоцны хэвтээ ул мөрийг зурна. Q,хавтгайн хэвтээ ул мөртэй перпендикуляр Р. Үүссэн алга болох цэгээр дамжин Q Xонгоцны урд талын ул мөрийг зурсан Qонгоцны урд талын ул мөртэй перпендикуляр Р.

Хоёрдахь тохиолдолд гурвалжны хавтгайд хэвтээ шугамыг зурна BEболон урд Б.Ф.мөн өгөгдсөн цэгээр дамжуулан Абид гурвалжны хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамуудыг (гол шугам) огтолж хавтгайг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид цэгээр зурдаг Ахэвтээ ба урд. Хүссэн онгоцны хэвтээ хэсгийн хэвтээ проекц ( Н) бид гурвалжны хэвтээ проекц, шинэ онгоцны урд талын урд талын проекцийг перпендикуляр зурдаг. М) – гурвалжны урд талын проекцын перпендикуляр.

НЭГДСЭН ЗУРАГТ ОНГОЦНЫ ДҮРС

Хавтгай нь тогтмол чиглүүлэгч шулуун шугамын дагуу өөртэйгээ зэрэгцээ хөдөлдөг шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргуу юм.

Нарийн төвөгтэй зураг дээрх онгоцны төсөөлөл нь юугаар тодорхойлогдсоноос хамаарч өөр өөр байх болно. Геометрээс мэдэгдэж байгаагаар хавтгайг дараах байдлаар тодорхойлж болно: a) нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг; б) шулуун ба энэ шулуун шугамын гадна байрлах цэг; в) огтлолцсон хоёр шугам; г) хоёр зэрэгцээ шугам.

Нарийн төвөгтэй зураг дээр (Зураг 99) онгоцны проекцийг мөн эдгээр элементүүдийн проекцоор, жишээлбэл, 99-р зурагт, a - дээр хэвтдэггүй гурван цэгийн А ба С-ийн төсөөллөөр зааж өгсөн болно. ижил шулуун шугам; Зураг дээр. 99, b - энэ шулуун дээр хэвтээгүй BC шугам ба А цэгийн төсөөлөл; Зураг дээр. 99, c - огтлолцсон хоёр шугамын төсөөлөл; Зураг дээр. 99, d хоёр зэрэгцээ шулуун шугамын проекцуудаар AB ба CD.

Зураг дээр. 100 хавтгай нь проекцын хавтгайтай огтлолцох шулуун шугамаар тодорхойлогддог. Ийм мөрүүдийг нэрлэдэг онгоцны ул мөр.
Өгөгдсөн P хавтгайн H проекцуудын хэвтээ хавтгайтай огтлолцох шугамыг P хавтгайн хэвтээ мөр гэж нэрлэх ба P n гэж тэмдэглэнэ.
P хавтгайн V проекцын урд талын хавтгайтай огтлолцох шугамыг энэ хавтгайн урд талын мөр гэж нэрлэх ба P v гэж тэмдэглэнэ.

P хавтгайн W проекцын профиль хавтгайтай огтлолцох шугамыг энэ хавтгайн профилын мөр гэж нэрлэх ба P w гэж тэмдэглэнэ.

Онгоцны ул мөр нь проекцын тэнхлэгүүд дээр огтлолцдог. Хавтгай мөрүүдийн проекцын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ул мөрийн алга болох цэгүүд гэнэ. Эдгээр цэгүүдийг P x, P y, P z гэж тэмдэглэв.

Проекцын тэнхлэгүүдтэй холбоотой нийлмэл зураг дээрх P хавтгайн ул мөрийн байрлал нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад тухайн онгоцны байрлалыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, хэрэв P хавтгайд Ox болон Oy тэнхлэгүүдтэй параллель P v ба P w урд ба профилын ул мөр байгаа бол ийм хавтгайг H хавтгайтай параллель байх ба хэвтээ гэж нэрлэдэг (Зураг 101, i). Ох ба Оз проекцуудын тэнхлэгтэй параллель Рн ба Pw мөртэй P хавтгайг (Зураг 101) фронталь, Оу ба Оз проекцуудын тэнхлэгтэй параллель Pv ба Pн мөртэй P хавтгайг профиль гэнэ (Зураг 101, в) .

Хоёр проекцын хавтгайд перпендикуляр хэвтээ, урд болон профиль хавтгайг нэрлэдэг түвшний онгоцууд. Хэрэв нарийн төвөгтэй зураг дээр түвшний хавтгайг ул мөр биш, харин ямар нэгэн хавтгай дүрсээр, жишээлбэл, гурвалжин эсвэл параллелограммаар (зураг 101, d, e, f) зааж өгсөн бол энэ зургийг проекцын хавтгайн аль нэгэнд тусгана. гажуудалгүйгээр, нөгөө хоёр проекцын хавтгайд - шулуун сегмент хэлбэрээр.

ТӨСӨЛТИЙН ОНГОЦ БОЛОН ЕРӨНХИЙ ОНГОЦ

H хавтгайд перпендикуляр хавтгайг (Зураг 102, а) гэж нэрлэдэг хэвтээ проекцын хавтгай.Энэ хавтгайн урд талын P v мөр нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр, хэвтээ P n мөр нь Ox тэнхлэгтэй өнцөгт байрладаг (Зураг 102, а-д нийлмэл зураг).

Хэрэв хэвтээ проекцын хавтгайг ул мөр биш, харин зарим нэг зургаар, жишээлбэл, ABC гурвалжин (Зураг 102, 6) дүрсэлсэн бол энэ хавтгайн хэвтээ проекц нь шулуун, урд болон профилын проекцууд нь гажуудсан байна. ABC гурвалжны дүр төрх.

Урд проекцын хавтгайпроекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр хавтгай гэж нэрлэдэг (Зураг 102, в).

Энэ хавтгайн хэвтээ ул мөр нь Үхрийн тэнхлэгт перпендикуляр, урд талын мөр нь Үхрийн тэнхлэгт тодорхой өнцгөөр байрладаг (Зураг 102, в-ийн нийлмэл зураг).

Урд талын проекцын хавтгайг ул мөргүй, жишээлбэл, ABCD параллелограммаар зааж өгөхдөө ийм хавтгайн урд талын проекц нь шулуун шугам (Зураг 102, d) бөгөөд параллелограммыг хэвтээ ба тэнхлэгт гажуудалтайгаар тусгана. профилын проекцын хавтгай.

Профайл төлөвлөх онгоц W хавтгайд перпендикуляр хавтгай гэж нэрлэдэг (Зураг 102, d). Энэ хавтгай дээрх P v ба P ул мөр нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель байна.

Профайл проекцын хавтгайг ул мөртэй биш, жишээлбэл, ABC гурвалжинтай (Зураг 102, e) зааж өгөхдөө ийм хавтгайн профилын проекц нь шулуун байна. Өмнө дурьдсанчлан проекцын хоёр хавтгайд перпендикуляр хавтгайг түвшний хавтгай гэж нэрлэдэг.

Хэрэв P хавтгай нь проекцийн аль нэг хавтгайд перпендикуляр биш бол (Зураг 102, g) ийм хавтгайг гэнэ. ерөнхий хавтгай. Гурвуулаа

P хавтгайн P v, P n ба P w ул мөр нь проекцуудын тэнхлэгт налуу байна.

Хэрэв ерөнхий байрлалын хавтгайг ул мөрөөр бус, жишээлбэл, ABC гурвалжингаар (Зураг 102, h) тодорхойлсон бол энэ гурвалжинг H, V, W хавтгайд гажуудсан хэлбэрээр төсөөлдөг.

ОНГОЦ ДЭЭР БАЙРШЛАГДСАН ЦЭГ БА ШУГАМЫН ТӨСӨЛ

Хэрэв шулуун шугам нь хавтгай дээр байрладаг бол энэ хавтгайд хамаарах дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрөх ёстой. Ийм хоёр цэгийг онгоцны ул мөр дээр авч болно - нэг нь хэвтээ, нөгөө нь урд талдаа. Шулуун ба хавтгайн ул мөр нь проекцын хавтгай дээр байгаа тул хавтгайд хамаарах шулуун шугамын ул мөр нь энэ хавтгайн ижил нэртэй ул мөр дээр байрлах ёстой (жишээлбэл, 103-р зураг, а); , H шулуун шугамын хэвтээ мөр нь онгоцны хэвтээ мөр дээр, V шулуун шугамын урд талын мөр - Pv хавтгайн урд талын мөр дээр (Зураг 103, б).

Мөрөөр өгөгдсөн P хавтгайн нийлмэл зураг дээр дурын шулуун шугамыг ерөнхий байрлалаар зурахын тулд онгоцны ул мөр дээр v" цэгүүдийг тэмдэглэх эсвэл тэдгээрийг хүссэн шулуун шугамын ул мөр гэж үзэх шаардлагатай ( илүү нарийвчлалтай, v" - шулуун шугамын хэвтээ ул мөрийн урд талын проекц).

Перпендикуляруудыг v"-ээс проекцын х тэнхлэг рүү буулгаж, бид үүн дээр шулуун шугамын ул мөрийн хоёр дахь проекцийг олно: v - шулуун шугамын урд талын мөрний хэвтээ проекц ба h" - урд талын проекц. шулуун шугамын хэвтээ ул мөр. Ижил нэртэй ул мөрийн проекцуудыг, өөрөөр хэлбэл v"c h ба v c h шулуун шугамуудтай холбосноор бид P ерөнхий хавтгайд байрлах шулуун шугамын хоёр проекцийг олж авна.

Ихэнхдээ хавтгай дээр хэвтээ ба урд шугамыг зурах шаардлагатай байдаг бөгөөд үүнийг онгоцны үндсэн шугам эсвэл түвшний шугам гэж нэрлэдэг. Үндсэн шугамууд нь проекцын зургийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Хэвтээ ба урд тал нь V ба H хоёр хавтгайн системд тус бүр нэг л мөртэй байдаг (жишээлбэл, хэвтээ нь зөвхөн урд талын ул мөртэй). Тиймээс үндсэн шугамын нэг ул мөрийг мэдэж, гол шугамын төсөөллийг урьд өмнө мэдэгдэж байсан чиглэлд гүйцэтгэдэг. Энэ хэвтээ чиглэлийг Зураг дээрээс харж болно. 104, a, ерөнхий хавтгай ба түүн дээр хэвтэж буй хэвтээ шугамыг харуулсан. Хэвтээгийн хэвтээ проекц нь онгоцны хэвтээ ул мөртэй параллель байгааг зурагнаас харж болно.

Иймд энэ хавтгайд ямар нэгэн хэвтээ тэнхлэгийг P хавтгайн нийлмэл зураг дээр зурахын тулд онгоцны P v ул мөр дээр v" цэгийг тэмдэглэж (Зураг 104, b) үүнийг урд талын проекц гэж үзэх шаардлагатай. Х тэнхлэг нь шулуун шугам татдаг бөгөөд энэ нь хэвтээгийн урд талын проекц болно.

Перпендикулярыг v" цэгээс x тэнхлэг рүү буулгаснаар бид v цэгийг олж авах бөгөөд энэ нь хэвтээ хэсгийн урд талын ул мөрийн хэвтээ проекц байх болно. V цэгээс P H хавтгайн мөртэй параллель татсан шулуун шугам нь хэвтээ байна. хүссэн хэвтээ проекцийг урд талын проекцийг 104-р зурагт үзүүлэв.

11 секундэд проекцын хавтгай дээр хэвтээ ба урд шугамыг зурах нь ховор байдаг. Жишээлбэл, урд талын хавтгай дээр хэвтээ шугам барих ажлыг авч үзье (Зураг 105). P v хавтгайн ул мөр дээр бид хэвтээ тэнхлэгийн урд талын проекцийг тэмдэглэж, тэнхлэг дээр бид түүний хэвтээ проекцийг олдог v (Зураг 105, а). Дараа нь цэгээр дамжуулан бид Pn-тэй хэвтээ параллель хэвтээ проекцийг зурна; хэвтээгийн урд талын проекц нь v" цэгтэй давхцаж байна.

Хэрэв хавтгайг ул мөр биш, огтлолцсон эсвэл параллель шугамаар тодорхойлсон бол энэ хавтгайд байрлах хэвтээ эсвэл урд талын проекцуудыг барих ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

Хавтгайг AB ба CD хоёр зэрэгцээ шулуун шугамаар тодорхойлно (Зураг 105, 6). Энэ хавтгайд хэвтээ шугамыг барихын тулд бид x тэнхлэгт хэвтээ параллель урд талын проекцийг зурж, хэвтээгийн урд талын проекцын зэрэгцээ шугамын урд талын проекцуудтай огтлолцох e" ба f" цэгүүдийг тэмдэглэнэ. онгоцыг тодорхойлдог. e" ба f" цэгүүдээр дамжуулан бид босоо холбооны шугамыг e ба f цэгүүд дээр ab ба cd-тай огтлолцох хүртэл зурна. Бид e ба f цэгүүдийг шулуун шугамаар холбодог бөгөөд энэ нь хэвтээ шугамын хэвтээ проекц болно.

Хэрэв та огтлолцсон эсвэл зэрэгцээ шугамаар тодорхойлогдсон онгоцны ул мөрийг олох шаардлагатай бол эдгээр шугамын ул мөрийг олж, олж авсан цэгүүдээр дамжуулан онгоцны хүссэн ул мөрийг зурах хэрэгтэй.

Тодорхой хавтгай X-ийг тодорхойлсон ABCD параллелограммын нийлмэл зургийг авч үзье (Зураг 106, а) DC сегмент нь H хавтгайд байрладаг тул түүний хэвтээ проекц dc нь онгоцны хэвтээ ул мөр (илүү нарийвчлалтай) юм. , онгоцны хэвтээ ул мөрийн хэвтээ проекц).

Энэ хавтгайн урд талын ул мөрийг олохын тулд DC шулуун шугамын хэвтээ проекцийг DC проекцийг P x цэгийн х тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлэх шаардлагатай бөгөөд түүгээр онгоцны хүссэн урд талын мөр өнгөрөх ёстой.

Онгоцны хүссэн урд талын мөр дамжин өнгөрөх хоёр дахь v" цэг нь шулуун AB-ийн урд талын мөр (урд талын мөрний урд талын проекц) юм. Бид шулуун AB-ийн урд талын ул мөрийн урд талын проекцийг хэвтээ чиглэлд үргэлжлүүлэх замаар олно. шулуун AB-ийн проекц нь х тэнхлэгтэй v цэг дээр огтлолцох хүртэл, энэ нь шулуун AB-ийн хүссэн урд талын ул мөрийн хэвтээ проекц байх болно х тэнхлэгт, түүний урд проекцын үргэлжлэлтэй огтлолцох v" цэгт a" in" шулуун AB. P x цэгүүдийг v" -тэй холбосноор бид онгоцны урд талын P v мөрийг олно.

Ийм асуудлыг шийдэх жишээг Зураг 106, b-д үзүүлэв.

Ихэнхдээ нарийн төвөгтэй зураг дээр дараахь асуудлыг шийдэх шаардлагатай байдаг: өгөгдсөн хавтгай дээр байрлах цэгийн өгөгдсөн проекцуудын аль нэгийг ашиглан цэгийн өөр хоёр төсөөллийг тодорхойлно. Асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц дараах байдалтай байна.

Тухайн цэгийн өгөгдсөн проекцоор дамжуулан, жишээлбэл, ABC гурвалжингийн хавтгайд байрлах N цэгийн урд талын проекц n" (Зураг 107) бид аль ч чиглэлийн туслах шулуун шугамын ижил проекцийг зурдаг, жишээ нь m. 'к".

Хэвтээ хавтгайЭнэ хавтгайд хамаарах шулуун шугамыг H проекцуудын хэвтээ хавтгайд параллель гэж нэрлэдэг.

Бид туслах шугам руу өөр проекц m-ийг байгуулна. Үүнийг хийхийн тулд бид босоо холбооны шугамыг m" ба k" цэгүүдээр AC ба нарны шугамтай огтлолцох хүртэл татна. "n" цэгээс бид хүссэн n цэг дээр mк проекцтой огтлолцох хүртэл холболтын шугамыг зурна.

Бид проекцын ерөнхий дүрмийг ашиглан n" проекцийг олдог.

Барилга байгууламжийг хялбарчлахын тулд хэвтээ эсвэл урд талын шугамыг ихэвчлэн туслах шулуун шугам болгон ашигладаг.

P хавтгай дээрх дурын цэгийг, жишээлбэл, А цэгийг (Зураг 108, а ба б) олохын тулд энэ цэгийг дайран өнгөрч буй хэвтээ шугамын ижил проекцууд дээр байрлах a" ба a проекцуудыг олох хэрэгтэй. Хэвтээ шугам Ав" нь А цэгээр татагдана.

Бид хэвтээ проекцуудыг зурна: урд талын - v" -ээр x тэнхлэгтэй параллель, хэвтээ - v замаар P мөр ба P хавтгайтай параллель. Хэвтээ тэнхлэгийн урд талын проекц дээр бид хүссэн цэгийн урд талын төсөөллийг a" тоймлон зурж, босоо холболтын шугамыг зурж, А цэгийн хэвтээ проекцийг тодорхойлно.

Хэрэв цэг нь проекцын хавтгай дээр байрладаг бол түүний төсөөллийг бүтээх ажлыг хялбаршуулсан болно. Энэ тохиолдолд цэгийн проекцуудын нэг нь үргэлж онгоцны ул мөр (илүү нарийвчлалтай, түүний проекц дээр) байрладаг. Жишээ нь, А цэгийн хэвтээ проекц нь P хэвтээ проекцын хавтгайд байрладаг, хавтгайн хэвтээ ул мөрийн хэвтээ проекц дээр байна (Зураг 108, c ба d).

Хэвтээ проекцын хавтгай дээр байрлах А цэгийн урд талын проекцийг a" гэж үзвэл энэ цэгийн хоёр дахь проекцийг (хэвтээ) туслах шулуун шугамгүйгээр PH ул мөртэй огтлолцох хүртэл a"-аар холбосон шугам татах замаар олж болно.

Хэрэв цэг нь урд талын проекцын P хавтгай дээр байрласан бол (Зураг 108, e ба f), түүний урд талын проекц a" нь P хавтгайн X v урд талын шугам дээр байрлана.

Хавтгай ЗУРГИЙН ТӨСӨЛ

Хавтгай дээр байрлах шулуун шугам, цэгүүдийн төсөөллийг мэдэхийн тулд та тэгш өнцөгт, гурвалжин, тойрог гэх мэт ямар ч хавтгай дүрсийн төсөөллийг барьж болно.

Та бүхний мэдэж байгаагаар хавтгай дүрс бүр нь цэгүүдээс барьж болох шулуун эсвэл муруй шугамын хэсгүүдээр хязгаарлагддаг.

Шулуун шугамаар (гурвалжин ба олон өнцөгт) хүрээлэгдсэн дүрсийн төсөөллийг цэгүүдээр (орой) байгуулдаг. Дараа нь ижил нэртэй оройнуудын проекцуудыг шулуун шугамаар холбож, дүрсүүдийн төсөөллийг олж авна.

Тойрог эсвэл бусад муруй шугамын төсөөллийг зургийн контурын дагуу жигд авсан хэд хэдэн цэгийг ашиглан бүтээдэг. Ижил нэртэй цэгүүдийн төсөөлөл нь хэв маягийн дагуу гөлгөр муруйгаар холбогддог.

Хавтгай дүрсийг проекцын хавтгайтай харьцуулахад дүрсийн байрлалаас хамааран янз бүрийн аргаар бүтээдэг бөгөөд H ба V хавтгайтай параллель байрлах дүрсийг бүтээхэд хамгийн хялбар байдаг. илүү хэцүү - зураг нь төсөөлж буй хавтгай дээр эсвэл ерөнхий байрлалын хавтгай дээр байрлах үед.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Хэрэв ABC гурвалжин нь Н хавтгайтай параллель хавтгайд байрласан бол (Зураг 109, а) энэ гурвалжны хэвтээ проекц нь түүний бодит дүр төрх, урд талын проекц нь х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын хэрчим байх болно. ABC гурвалжны нарийн төвөгтэй зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 109, 6. Урд талын ирмэг нь гурвалжин хэлбэртэй, урсгалтай таслагчийн (Зураг 109, в) дүрс дээр ийм гурвалжинг харж болно.

Trapezoid ABCD нь урд талын проекц хавтгайд байрладаг (Зураг 110, а). Трапецын урд талын проекц нь шулуун шугамын хэрчим, хэвтээ проекц нь трапец байна (Зураг 110, b).

Зүсэгчийн арын ирмэг (Зураг 110, в) нь трапецын хэлбэртэй байна.

Проекцын хэвтээ, урд эсвэл профиль хавтгайтай (түвшингийн хавтгай) параллель хавтгайг авч үзвэл энэ хавтгайд хэвтэж буй аливаа дүрс нь энэ зургийн бодит дүр төрхийг илэрхийлдэг проекцуудын аль нэгтэй болохыг анзаарч болно; зургийн хоёр ба гурав дахь төсөөлөл нь энэ онгоцны ул мөртэй давхцаж байна.

Төсөөлж буй хавтгайг авч үзвэл аливаа цэг, шулуун эсвэл муруй шугамын сегмент, түүнчлэн проекцын хавтгайд байрлах дүрсүүд нь энэ хавтгайн ул мөр дээр байрладаг нэг проекцтэй байдаг гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Жишээлбэл, хэрэв тойрог урд талын проекц P хавтгай дээр байрладаг бол (Зураг 111), тойргийн урд талын проекц нь P онгоцны урд талын ул мөр Pv-тэй давхцаж байгаа бол тойргийн бусад хоёр төсөөлөл нь гажсан бөгөөд эллипсийг төлөөлдөг. Зуувануудын гол тэнхлэгүүд нь тойргийн 37-ийн диаметрийн проекцуудтай тэнцүү байна.

Зураг дээр. 111.6-д хоёр фланц бүхий хоолойн тохойг харуулав. Хэвтээ хавтгайд байрлах доод фланцын контурын хэвтээ төсөөлөл нь тойргийн бодит дүр төрх болно. Дээд фланцын контурын хэвтээ проекцийг эллипс хэлбэрээр дүрсэлсэн болно.

Онгоцны харьцангуй байрлал

Хоёр хавтгай нь хоорондоо зэрэгцээ эсвэл огтлолцсон байж болно.

Стереометрээс харахад хэрэв хоёр зэрэгцээ хавтгай аль нэг гуравдагч хавтгайг огтолж байвал эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамууд хоорондоо параллель байна. Энэ байрлалд үндэслэн P ба Q хоёр зэрэгцээ хавтгайн ижил нэртэй ул мөр нь хоорондоо параллель байна гэж бид дүгнэж болно.

Хэрэв P ба K профиль проекцын хоёр хавтгай өгөгдсөн бол (Зураг 112, а) V ба H систем дэх нарийн төвөгтэй зураг дээрх тэдгээрийн урд ба хэвтээ ул мөрийн параллелизм нь эдгээр хавтгай параллель эсэхийг тодорхойлоход хангалтгүй юм. . Үүнийг хийхийн тулд V, H, W системд тэдгээрийн профилын ул мөрийг барих шаардлагатай (Зураг 112, б). P ба K хавтгайнуудын профайл мөр P w ба K w зэрэгцээ байвал л параллель байх болно.

P ба Q огтлолцох хавтгайнуудын ижил нэртэй ул мөр (Зураг 112, в) нь хоёр хавтгайд хамаарах V ба H цэгүүд, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн огтлолцлын шугамаар огтлолцоно. Эдгээр цэгүүд нь проекцын хавтгай дээр байрладаг тул тэдгээр нь мөн онгоцны огтлолцлын шугамын ул мөр юм. P v, P n ба Q v, Q h мөрүүдээр тодорхойлогдсон P ба Q хоёр хавтгайн огтлолцлын шугамын проекцийг иж бүрэн зургаар байгуулахын тулд тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэх шаардлагатай. ижил нэртэй хавтгайнууд, өөрөөр хэлбэл v" ба h цэгүүд (Зураг 112, d); v" цэг нь P ба Q хавтгайн огтлолцлын хүссэн шугамын урд талын шугамын урд талын проекц, h нь хэвтээ проекц юм. ижил шугамын хэвтээ ул мөрийн. V" ба h цэгүүдээс x тэнхлэгт перпендикуляруудыг буулгаж, бид v ба h" цэгүүдийг олно. Ижил нэртэй ул мөрийн проекцуудыг шулуун шугамууд, өөрөөр хэлбэл v" ба h", v ба h" цэгүүдтэй холбосноор бид P ба Q хавтгайн огтлолцлын шугамын проекцийг олж авна.

ОНГОЦТОЙ ШУУД ШУГАМ

Үүнийг хийхийн тулд бид m"n" сегментийн урд талын проекцийг a"b" ба c"d" сегментүүдтэй огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлнэ (АВС гурвалжны талуудын проекцууд), бид цэгүүдийг олж авна (Зураг 113, b). ).

e"k" ​​цэгүүдээс бид ab ба ca сегментүүдтэй огтлолцох хүртэл хэвтээ проекц дээр холболтын шугамыг зурж, ek цэгүүдийг олж авна. MN шулууны хэрчимийг bа ба са талуудын проекцуудтай огтлолцох хүртэл нь mn хэвтээ проекцийг үргэлжлүүлье, хэрвээ огтлолцох цэгүүд нь өмнө нь олж авсан e ба k цэгүүдтэй давхцаж байвал MN шулуун нь тэнхлэгийн хавтгайд хамаарна; гурвалжин.

ОНГОЛТОЙ ШУУДЫН УУЛЗАЛТ

Хэрэв AB шулуун шугам нь P хавтгайтай огтлолцдог бол цогцолбор зураг дээр тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Аливаа туслах Q хавтгайг A B шулуун шугамаар татдаг. Барилга байгууламжийг хялбарчлахын тулд Q хавтгайг ихэвчлэн проекц гэж авдаг (Зураг 114, а). Энэ тохиолдолд туслах хэвтээ проекц Q хавтгайг шулуун AB-ийн хэвтээ проекцоор дамжуулан Q хавтгайн Q H хэвтээ ул мөрийг зурж, Q х цэг дээр х тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл үргэлжилнэ. Q x цэгээс x тэнхлэг хүртэл Q x Q y перпендикуляр босгосон бөгөөд энэ нь туслах Q хавтгайн Q v урд мөр болно.

Туслах Q хавтгай нь өгөгдсөн P хавтгайг VH шулуун шугамын дагуу огтолж, түүний ул мөр нь P ба Q хавтгайн ул мөрийн огтлолцол дээр оршдог. P v ба Q v мөрүүдийн огтлолцлын цэгүүдийг анзаарсаны дараа - v цэг" болон ул мөр Q n ба P H - цэг h, эдгээр цэгээс доош нь x тэнхлэг нь перпендикуляр, тэдгээрийн суурь нь v" ба h" - шулуун шугам VH ул мөрийн хоёр дахь төсөөлөл байх болно v" ба h", v ба h цэгүүдээр бид онгоцны огтлолцлын шугамын урд ба хэвтээ проекцийг олж авдаг.

Өгөгдсөн AB шулуун шугамын M огтлолцлын цэг ба олсон шулуун VH нь AB шулуун шугамын P хавтгайтай хүссэн огтлолцох цэг байх болно. Энэ цэгийн урд талын проекц m" нь a" проекцуудын огтлолцол дээр байрладаг. b" ба v"h". M цэгийн хэвтээ проекц m-ийг m" цэгээс ab-тай огтлолцох цэг хүртэл босоо холбооны шугам татах замаар олно.

Хэрэв хавтгайг ул мөрөөр бус хавтгай дүрсээр, жишээлбэл, гурвалжин (Зураг 114, 6) зааж өгсөн бол MN шулуун шугамын ABC гурвалжны хавтгайтай огтлолцох цэгийг дараах байдлаар олно.

MN шулуун шугамаар туслах урд талын проекцын хавтгайг зурсан. Үүнийг хийхийн тулд m" ба n" цэгүүдээр дамжуулан P y хавтгайн урд талын ул мөрийг зурж, х тэнхлэг хүртэл сунгаж, P y хавтгайн ул мөрийг х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээс перпендикуляр зурна. P n нь доошилсон бөгөөд энэ нь P хавтгайн хэвтээ ул мөр байх болно.

Дараа нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хавтгайтай P хавтгай огтлолцох ED шулууныг ол. ED шугамын урд талын проекц e"d" нь m"n"-тэй давхцаж байна. ABC гурвалжны талуудын ab ба ac проекцуудтай нийлэх хүртэл e" ба d" цэгүүдээс босоо холболтын шугам татах замаар ed хэвтээ проекцийг олно. e ба d цэгүүд шулуун шугамаар холбогдсон. ED шугамын хэвтээ проекц ed-ийн MN шугамын хэвтээ проекцтой огтлолцох үед хүссэн K цэгийн хэвтээ проекц k-г олно. K цэг нь MK шулуун шугамын ABC гурвалжны хавтгайтай огтлолцохыг хүссэн цэг юм.

Тодорхой тохиолдолд шулуун шугам нь P хавтгайд перпендикуляр байж болно. Шулуун шугам нь хавтгайд перпендикуляр байх нөхцөлөөс харахад шулуун шугам нь огтлолцсон хоёр шулуун шугамд перпендикуляр байвал хавтгайд перпендикуляр байна гэсэн үг. энэ хавтгай дээр (ялангуяа эдгээр шулуун шугамууд нь онгоцны ул мөр байж болно). Дараа нь AB шулуун шугамын проекцууд нь энэ хавтгайн ижил нэртэй ул мөртэй перпендикуляр байх болно (Зураг 115, а) Урд талын проекц a "b" нь урд талын мөр P y-д перпендикуляр, ab хэвтээ проекц нь перпендикуляр байна. хэвтээ ул мөр P n хавтгайд P.

Хэрэв хавтгайг параллель эсвэл огтлолцсон шугамаар тодорхойлсон бол энэ хавтгайд перпендикуляр шугамын проекцууд нь хавтгай дээр хэвтэж буй урд талын хэвтээ ба урд талын проекцын хэвтээ проекцтой перпендикуляр байх болно.

Тиймээс, жишээлбэл, ABC гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгайд перпендикуляр буулгах шаардлагатай бол уг барилгын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ (Зураг 115, b).

Хавтгай дээр хэвтээ CE хавтгай ба урд талын FA шугамыг зурсан. Дараа нь D цэгийн өгөгдсөн d ба d" проекцуудаас перпендикуляруудыг ce ба f"a хүртэл буулгасан бөгөөд D цэгээс татсан шулуун нь ABC гурвалжны хавтгайд перпендикуляр байх болно.

ОНГОЦНЫ УУЛЗАЛТ

Огтлолцсон шулуун шугамаар тодорхойлогдсон хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг барихтай холбоотой асуудлуудыг шулуун шугамтай хавтгай огтлолцох асуудалтай адил шийдэж болно. Зураг дээр. 116-д ABC ба DEF гурвалжингаар тодорхойлогдсон хавтгайнуудын огтлолцлын шугамын бүтцийг харуулав. DEF гурвалжны DE ба EF талуудын ABC гурвалжны хавтгайтай огтлолцох олсон цэгүүдээс MN шулуун шугамыг байгуулна.

Жишээлбэл, М цэгийг олохын тулд 12-р шулуун шугамын дагуу ABC гурвалжны хавтгайтай огтлолцох DF шулуун шугамаар урд талын проекциятай P хавтгайг татна. Үүссэн 1" ба 2" цэгүүдээр босоо холболтын шугамуудыг огтлолцох хүртэл татна. ABC гурвалжны талуудын ab ба ac хэвтээ проекцууд 1 ба 2 цэгт байна. df ба 12 хэвтээ проекцуудын огтлолцол дээр хүссэн M цэгийн хөндлөн проекц m гарч ирэх бөгөөд энэ нь гурвалжны огтлолцлын цэг болно. ABC хавтгайтай DF шулуун шугам. Дараа нь М цэгийн урд талын проекц m" олдоно. EF шулуун шугамын ABC хавтгайтай огтлолцох N цэгийг М цэгийн адил олно.

m" ба n" болон m ба n цэгүүдийг хос хосоор нь холбосноор ABC ба DEF хавтгайнуудын MN огтлолцлын шугамын проекцийг олж авна.

Объектын талаар ойлголттой болохын тулд түүний зургийг цаасан дээр эсвэл дэлгэцэн дээр ашигла. Ихэвчлэн аль нэг талын объектын дүрс нь түүний хэлбэрийн талаар бүрэн ойлголт өгдөггүй; хоёр буюу гурван хавтгайд түүний төсөөллийг авах шаардлагатай байдаг. Проекцын үйл явцыг оновчтой болгохын тулд проекц үүсэх хавтгайг бие биенээсээ перпендикуляр байрлуулна. Ямар төрлийн онгоц байдгийг харцгаая. Эдгээр нь нийтдээ гурав бөгөөд орон зайд гурвалсан тэгш өнцөг үүсгэдэг.

Проекцын онгоц бүр өөрийн гэсэн нэр, үсгийн тэмдэглэгээтэй байдаг. Урд талын хавтгай нь бидний нүдний өмнө босоо байрлалтай проекцын хавтгай юм. Тодорхой болгохын тулд энэ бол бидний тулгарч буй хавтгай, өөрөөр хэлбэл бидний авч үзэж буй зургийн хавтгай юм. Урд талын хавтгайг латин V үсгээр тэмдэглэв.

Хэвтээ хавтгай нь урд талынхтай перпендикуляр байрладаг. Дүрслэлээр хэлбэл, хэвтээ хавтгай нь "бидний хөл дор" байрладаг онгоц юм. Үүнийг ихэвчлэн H үсгээр тэмдэглэдэг.

Проекцын үндсэн хавтгайнуудын гурав дахь хэсгийг профиль гэж нэрлэдэг. Урд талын хавтгай шиг босоо байрлалтай бөгөөд өмнөх хоёртойгоо тэгш өнцөг үүсгэдэг. Профайл W хавтгайг тодорхойлно уу.

Эдгээр гурван хавтгай хос хосоороо огтлолцоход x, y, z проекцын тэнхлэгүүд үүснэ. О үсгээр тэмдэглэсэн бүх гурван проекцын хавтгайн огтлолцох цэгт нийтлэг оройтой перпендикуляр цацрагууд.

Объектын нарийвчилсан дүрсийг авахын тулд та гурван харилцан перпендикуляр нүүрэн дээр олж авсан зургийг нэгтгэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд булангийн хоёр ирмэгийг эргүүлж, гурав дахь нь холбоно. Урд талын хавтгай нь байрандаа хэвээр үлдэж, хэвтээ хавтгай нь x тэнхлэгийн дагуу 90 ° доош эргэлдэж, профилын хавтгай нь z тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 90 ° эргэдэг. Тиймээс сүүлийн хоёр онгоцыг урд талынхтай хослуулсан (хэвтээ нь доор, профиль нь баруун талд байрладаг).

Дүрслэх геометрийн хувьд зураг дээрх дур зоргоороо байрладаг аливаа хавтгайг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно: нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийн проекцоор, шулуун шугам ба түүний гадна байрлах цэгийн проекцоор, түүнчлэн зэрэгцээ буюу огтлолцсон шулуун шугамууд эсвэл хавтгай дүрсийн проекцоор.

Үндсэн проекцын хавтгайтай харьцуулахад авч үзэж буй онгоц нь дараахь байрлалыг эзэлж болно.

1. Аль нэгэнд нь перпендикуляр биш байж болно. Дараа нь энэ гэж нэрлэгддэг зүйл юм ерөнхий хавтгай.

2. Гурван проекцын хавтгайн аль нэгэнд перпендикуляр байж болно. Энэ тохиолдолд перпендикуляр байгаа хавтгайгаар нь хэвтээ-төсөл, профиль-төсөл, урд талын төсөл гэж нэрлэдэг.

3. Хавтгай нь тэдгээрийн хоёрт перпендикуляр, гурав дахь нь параллель байж болно. Дараа нь үүнийг урд, хэвтээ эсвэл профиль гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугам нь хавтгайтай харьцуулахад дараахь байрлалыг эзэлнэ.

1. Түүнд харьяалагдах.

2. Түүнтэй зэрэгцээ бай.

3. Хавтгай огтлолцох (тусгай тохиолдол - перпендикуляр хэлбэрээр)

Онгоц нь үндсэн шугамуудтай бөгөөд тэдгээрийг хэвтээ ба фронт гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь хавтгайд байрлах шулуун шугамууд бөгөөд проекцын харгалзах хавтгайтай параллель байна.

Ямар ч онгоц гэж нэрлэгддэг онгоцыг дүрсэлж болно. онгоцны ул мөр, өөрөөр хэлбэл проекцын хавтгайтай огтлолцох шугамууд. Онгоцны ул мөрийг хэвтээ, урд, профиль гэж нэрлэдэг. Проекцын тэнхлэгүүд хавтгайтай огтлолцох газруудад өгөгдсөн онгоцны ул мөрийн харилцан огтлолцох цэгүүд тэнхлэг дээр гарч ирдэг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн онгоцны ул мөр алга болох цэг гэж нэрлэдэг.

Проекцын хавтгай дээрх хавтгайн хэвтээ ба урд талын ул мөр нь тэдгээрийн ижил нэртэй проекцуудтай давхцдаг. Ижил хавтгайн аль ч хэвтээ нь түүний хэвтээ мөртэй харилцан параллель ба параллель байдаг бөгөөд түүний аль ч урд тал нь урд талын мөртэй зэрэгцээ параллель байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Онгоц

Хавтгайг тодорхойлох элементүүд

Сансар дахь хавтгайг дараахь байдлаар тодорхойлно.

1) гурван цэг (диаграмм дээр цэг бүрийг дор хаяж хоёр проекцоор нь тодорхойлно (Зураг 48));

2) шулуун шугам ба түүний гаднах цэг (Зураг 49). Хариуд нь орон зай дахь шулуун шугамыг хоёр цэгээр тодорхойлно. Тиймээс 2) даалгавараас 1-р даалгавар руу шилжих боломжтой);

Цагаан будаа. 48 Зураг. 49

3) хоёр огтлолцсон шулуун шугам (Зураг 50). 1) ба 2) даалгавартай харьцуулах;

Цагаан будаа. 50 Зураг. 51

4) хоёр зэрэгцээ шулуун шугам (Зураг 51). 1), 2), 3);

5) дурын хавтгай дүрс (Зураг 52).

Цагаан будаа. 52

Сансар дахь онгоцны янз бүрийн байрлал

Түвшингийн онгоцууд

1. Хэвтээ хавтгайэсвэл хэвтээ түвшний хавтгай– энэ нь хэвтээ проекцын P 1 хавтгайтай параллель w хавтгай юм (Зураг 53). P 1 хавтгайд w хавтгайн дурын дүрсийг бүрэн хэмжээгээр, P 2 ба P 3 дээр хавтгайг w 2 ба w 3 шулуун шугамуудаар тусгаж, тэдгээрийг хавтгайн доройтсон проекц гэж нэрлэдэг. Диаграм дээр w хавтгайг тодорхойлохын тулд түүний доройтсон проекцуудын аль нэг нь хангалттай, жишээ нь w 2.

Цагаан будаа. 53

2. Урд талын хавтгайэсвэл урд түвшний онгоц, энэ нь проекцуудын урд талын хавтгайтай параллель υ хавтгай юм (Зураг 54). P 2 хавтгайд энэ нь байгалийн хэмжээгээр төсөөлөгдөж, P 1 ба P 3 дээр υ 1 ба υ 3 шулуун шугамууд болж буурдаг.

Цагаан будаа. 54

3. Профайлын онгоцэсвэл профиль түвшний хавтгай– энэ бол P 3 проекцуудын профиль хавтгайтай параллель γ хавтгай (Зураг 55). P 3 хавтгайд энэ нь байгалийн хэмжээгээр төлөвлөгдсөн бөгөөд P 1 ба P 2 дээр γ 1, γ 2 шулуун шугамууд болж буурдаг.

Энэ бол проекцын урд талын хавтгайтай параллель хавтгай юм. F || P 2(Зураг 2-10а, 2-10б).

Орон зайн зураг

Хавтгай зураг

Онгоц Фөгсөн DABC, Ф- түвшний урд талын хавтгай.

Þ F || P2; Ф1 ^ А 2 А 1 ; ДАВС М Ф Þ А 1 В 1 С 1 = Ф 1 ; | A 2 B 2 C 2 | - байгалийн хэмжээ DABC

График тэмдэг:

Хэвтээ проекц F 1түвшний урд талын хавтгай - систем дэх холбооны шугамд перпендикуляр шулуун шугам P 1 – P 2. Энэ - гэрпроекц.

Онгоцны тусгай шугамууд.

Шулуун шугам нь хавтгайд хамаарах бөгөөд дотор нь ямар нэгэн онцгой байр суурь эзэлдэг бол түүнийг дуудна онгоцны тусгай шугам. Эдгээрт онгоцны түвшний шугамууд орно: хэвтээ, урд ба профилын шулуун, түүнчлэн онгоцны хамгийн их налуу шугамууд.

Хэвтээ хавтгай

Энэ нь проекцын хэвтээ хавтгайд параллель, хавтгайд хамаарах шулуун шугам юм

G (а || б)Барилга: h М Г; h || P 1

1. Бид гүйцэтгэдэг h 2

1. Учир нь hонгоцонд хамаарна, тэгвэл h 1 1О a, 2О b). h 1- байгалийн хэмжээ h.

Барилга хэвтээхавтгайд урд талын проекцоос эхэлнэ h 2 P 2 – P 1. h 1

Хэрэв онгоц урд талын проекцтэй бол ийм онгоцны хэвтээ байна урд талын шугам(Зураг 2-12).

Г(a || b) ^^ П 2 ; hÌ G; h || P 1

Онгоцноос хойш Г- урд талын проекц, дараа нь төсөөллийн хавтгайтай параллель ийм хавтгай дахь цорын ганц шулуун шугам P 1- урд талдаа чиглэсэн шулуун шугам Þ h ^^ P 2

Урд талын онгоц

Энэ нь хавтгайд хамаарах шулуун шугам бөгөөд проекцын урд талын хавтгайд параллель байна

S (m Ç n)Барилга: f М S; f || P 2

1. Зан төлөв f 1холбооны шугамд перпендикуляр.

2. Түүнээс хойш еонгоцонд хамаарна, тэгвэл f 2хавтгайн хоёр цэгээр олох ( 1О м, 2О n).

Барилга урд талынхавтгайд хэвтээ проекцоос эхэлнэ f 1: систем дэх холбооны шугамд үргэлж перпендикуляр байдаг P 2 – P 1. f 2онгоцонд хамаарагдах байдлаар олдсон.

Энэ бол амьдралын хэмжээ юм е.

Хэрэв онгоц хэвтээ тэнхлэгтэй бол ийм онгоцны урд тал - хэвтээ шугам(Зураг 2-14).

S(m Ç n) ^^ П 1 ; f М S; f || P 2

Онгоцноос хойш С- хэвтээ проекц, дараа нь проекцын хавтгайтай параллель ийм хавтгай дахь цорын ганц шулуун шугам P 2- хэвтээ шугам Þ f ^^ P 1 .

Онгоцны хамгийн их налуугийн шугам

Энэ нь хавтгайд хамаарах шулуун ба хавтгайн түвшний шугамуудын аль нэгэнд перпендикуляр байна. Түүний тусламжтайгаар өгөгдсөн хавтгайн проекцын аль нэгэнд налуу өнцгийг тодорхойлно. Онгоцны хамгийн их налуугийн шугамыг тохиролцъё P 1үсгээр тэмдэглэнэ g, To P 2- захидал д.

Хавтгайн проекцын хэвтээ хавтгайд хамгийн их налуугийн шугамыг гэнэ налуу шугам(Зураг 2-15). Бөмбөлөг гараас нэг цэгээс салдаг гэдгийг физикээс мэддэг А, онгоцонд өнхрөх болно Фналуу шугамын дагуу g, перпендикуляр м- онгоцны огтлолцлын шугамууд ФТэгээд P 1.

Тодорхой жишээн дээр энэ шугамын барилгын ажлыг нарийвчлан авч үзье.

Даалгавар:Онгоцны налуу өнцгийг тодорхойлно Фхэвтээ проекцын хавтгайд

Орон зайн загвар.

Хоёр өнцөгт өнцгийн хэмжүүр нь шугаман өнцөг юм. Тиймээс бид шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох хэрэгтэй g, перпендикуляр м(онгоцуудын огтлолцлын шугам ФТэгээд P 1), түүний хэвтээ проекц g 1(Зураг 2-17).

Гэсэн хэдий ч хавтгай зураг дээр өгөгдсөн хавтгайн проекцын хавтгайтай огтлолцох шугамууд ихэвчлэн байдаггүй. Тиймээс шугам зурах gонгоцонд ФЭнэ хавтгайд хэвтээ шугамыг авъя h(Зураг 2-18).

Энэ нь зэрэгцээ байх болно м, учир нь m = Ф Ç П 1, А h || P 1.

Учир нь г^м, А h || м, Тэр g^h .

Төсөл хэрэгжүүлье hдээр P 1, бид авдаг h 1(Зураг 2-19). Учир нь h || м,сар h 1 || м 1.

Зөв өнцгийн проекцийн теоремын дагуу (ортогональ проекцын 2-р шинж чанар), хэрэв g^h, сар g 1 ^ h 1. Бид гүйцэтгэдэг g 1(Зураг 2-20).

Булан ахооронд gу g 1 Фруу P 1.

Тиймээс, хэтийн төлөвийн хэвтээ хавтгайд налуугийн өнцөг нь энэ хавтгайн налуу шугамын хэвтээ проекц ба түүний байгалийн хэмжээ хоорондын өнцөг юм.

Дээрхийн алгоритмын бичлэгийг хийцгээе.

Ф Ù П 1 = g Ù g 1 ; g ^ ч Þ g 1 ^ ч 1.

Хавтгай зураг.

Онгоцоо тохируулцгаая Фгурвалжин ABC(Зураг 2-21).

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм:

1. Хавтгай дээр зур F(ABC)хэвтээ h(ц 1 ,цаг 2).

2. Бид гүйцэтгэдэг g 1 (B 1 K 1) ^ h 1. Бид олдог g 2 (B 2 K 2)онгоцны гишүүнчлэлийн дагуу.

3. Бодит хэмжээг ол gзөв гурвалжингийн аргыг ашиглан (Зураг 2-21).

4. Өнцөг ахооронд g 1у g- онгоцны налуу өнцөг байна F(ABC) руу П 1 .

Асуудлын бүрэн шийдлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2-23.

Үүний нэгэн адил та онгоцны налуу өнцгийг тодорхойлох асуудлыг шийдэж болно Фруу P 2. Үүнийг онгоцонд хийх ФТа онгоцны хамгийн их налуугийн урд талын шугамыг авах хэрэгтэй P 2 - eурд талд перпендикуляр барих ( e 2 ^ f 2 ® e) ба байгалийн хэмжээг ол ддээр P 2.

Дээр дурдсаны дараа налуу шугамыг ашиглан онгоцыг тодорхойлох талаар авч үзье g(Зураг 2-24а) ба онгоцны хамгийн их налуугийн шугам P 2 - e(Зураг 2-25a). Эхний тохиолдолд тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхдээ налуугийн шугамд хэвтээ шугам нэмэх шаардлагатай ( h2^холбооны шугам, h 1 ^ g 1) (Зураг 2-24б); хоёрдугаарт хамгийн их налуугийн шугам хүртэл дурд нэмэх ( f 1^холбооны шугам, f 2 ^ e 2)(Зураг 2-25б). Аль ч тохиолдолд онгоцыг огтлолцох шугамаар тодорхойлно.