Аль дүрс нь олон өнцөгт биш вэ? Олон өнцөгт ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Хэсэгүүд: Математик

Сэдэв, оюутны нас: геометр, 9-р анги

Хичээлийн зорилго: олон өнцөгтийн төрлийг судлах.

Боловсролын даалгавар: олон өнцөгтийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх, өргөжүүлэх, нэгтгэх; олон өнцөгтийн "бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн" тухай ойлголтыг бий болгох; тогтмол олон өнцөгт (гурвалжингаас n-гон) -ын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог судлах;

Хөгжлийн даалгавар: дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт гаргах, тооцоолох чадвар, аман болон бичгийн математикийн яриа, ой санамж, сэтгэн бодох, суралцах үйл ажиллагааны бие даасан байдал, хос, бүлгээр ажиллах чадварыг хөгжүүлэх; судалгаа, боловсролын үйл ажиллагааг хөгжүүлэх;

Боловсролын даалгавар: бие даасан байдал, идэвхтэй байдал, даалгасан ажилд хариуцлага, зорилгодоо хүрэх тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр:самбар дээр бичсэн ишлэл

"Байгаль нь математикийн хэлээр ярьдаг, энэ хэлний үсгүүд ... математик дүрсүүд."Г.Галлили

Хичээлийн эхэнд анги нь ажлын хэсгүүдэд хуваагдана (манай тохиолдолд тус бүр 4 хүнтэй бүлэгт хуваагдана - бүлгийн гишүүдийн тоо нь асуултын бүлгийн тоотой тэнцүү байна).

1.Дуудлагын үе шат-

Зорилго:

а) сэдвийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх;

б) судалж буй сэдвийн сонирхлыг нэмэгдүүлэх, оюутан бүрийг боловсролын үйл ажиллагаанд түлхэц өгөх.

Техник: "Та үүнд итгэдэг үү ..." тоглоом, тексттэй ажиллах зохион байгуулалт.

Ажлын хэлбэр: урд, бүлэг.

"Чи үүнд итгэж байна уу ..."

1. ... "олон өнцөгт" гэдэг үг нь энэ гэр бүлийн бүх дүрс "олон өнцөгтэй" гэдгийг харуулж байна уу?

2. ... гурвалжин нь хавтгай дээрх олон янзын геометрийн дүрсүүдээс ялгагдах олон өнцөгтийн том бүлэгт хамаарах уу?

3. ... дөрвөлжин нь энгийн найман өнцөгт (дөрвөн тал + дөрвөн булан) мөн үү?

Өнөөдөр хичээл дээр бид олон өнцөгтийн тухай ярих болно. Энэ үзүүлэлт нь хаалттай эвдэрсэн шугамаар хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь эргээд энгийн, хаалттай байж болно гэдгийг бид мэдэж байна. Олон өнцөгт нь хавтгай, тэгш, гүдгэр байж болох талаар ярилцъя. Хавтгай олон өнцөгтүүдийн нэг нь таны эртнээс мэддэг гурвалжин юм (та оюутнуудад олон өнцөгтийг дүрсэлсэн зурагт хуудас, тасархай шугамыг үзүүлж, тэдгээрийн төрөл бүрийн төрлийг харуулж, TSO ашиглаж болно).

2. Жирэмслэлтийн үе шат

Зорилго: шинэ мэдээлэл олж авах, ойлгох, сонгох.

Техник: зигзаг.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн->хос->бүлэг.

Бүлгийн гишүүн бүрт тухайн хичээлийн сэдвийн текстийг өгч, текстийг оюутнуудад аль хэдийн мэдэгдэж байсан мэдээлэл болон цоо шинэ мэдээллийг багтаасан байдлаар эмхэтгэсэн. Текстийн хамт оюутнууд асуултуудыг хүлээн авдаг бөгөөд хариултыг энэ текстээс олох ёстой.

Олон өнцөгт. Олон өнцөгтийн төрлүүд.

Усан онгоц, онгоцууд ул мөргүй алга болдог нууцлаг Бермудын гурвалжингийн талаар сонсоогүй хүн байна уу? Гэхдээ бага наснаасаа бидэнд танил болсон гурвалжин нь олон сонирхолтой, нууцлаг зүйлээр дүүрэн байдаг.

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан гурвалжингийн төрлөөс гадна талууд (масштаб, ижил өнцөгт, тэгш өнцөгт) болон өнцгөөр (хурц, мохоо, тэгш өнцөгт) хуваагддаг гурвалжин нь олон өнцөгтийн том гэр бүлд багтдаг бөгөөд энэ нь геометрийн олон янзын хэлбэртэй байдаг. онгоц.

"Олон өнцөгт" гэдэг үг нь энэ гэр бүлийн бүх дүрс нь "олон өнцөгтэй" гэдгийг харуулж байна. Гэхдээ энэ нь дүрсийг тодорхойлоход хангалтгүй юм.

A 1 A 2 ...A n тасархай шугам нь A 1, A 2, ...A n цэгүүд ба тэдгээрийг холбосон A 1 A 2, A 2 A 3,... хэсгүүдээс бүрдэх дүрс юм. Цэгүүдийг олон шугамын орой гэж нэрлэдэг ба хэрчмүүдийг олон шугамын холбоосууд гэж нэрлэдэг. (Зураг 1)

Эвдэрсэн шугам нь өөрөө огтлолцоогүй бол энгийн гэж нэрлэдэг (Зураг 2, 3).

Хэрэв төгсгөлүүд нь давхцаж байвал полилиныг хаалттай гэж нэрлэдэг. Эвдэрсэн шугамын урт нь түүний холбоосуудын уртын нийлбэр юм (Зураг 4).

Энгийн битүү тасархай шугамыг хөрш зэргэлдээх холбоосууд нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй бол түүнийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

"Олон" хэсгийн оронд "олон өнцөгт" гэсэн үгний оронд тодорхой тоог, жишээ нь 3-ыг орлуулснаар та гурвалжин болно. Эсвэл 5. Дараа нь - таван өнцөгт. Хэчнээн олон өнцөг байх тусам олон тал байдаг тул эдгээр дүрсийг олон талт гэж нэрлэж болохыг анхаарна уу.

Эвдэрсэн шугамын оройг олон өнцөгтийн орой, тасархай шугамын холбоосыг олон өнцөгтийн талууд гэнэ.

Олон өнцөгт нь онгоцыг дотоод ба гадаад гэсэн хоёр хэсэгт хуваадаг (Зураг 6).

Хавтгай олон өнцөгт буюу олон өнцөгт талбай нь олон өнцөгтөөр хязгаарлагдсан хавтгайн төгсгөлтэй хэсэг юм.

Нэг талын төгсгөл болох олон өнцөгтийн хоёр оройг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Нэг талын төгсгөл биш оройнууд нь хөрш биш юм.

n оройтой, тиймээс n талтай олон өнцөгтийг n өнцөг гэнэ.

Хэдийгээр олон өнцөгтийн талуудын хамгийн бага тоо нь 3. Гэхдээ гурвалжин нь хоорондоо холбогдсон үед бусад дүрсийг үүсгэж болох бөгөөд энэ нь эргээд олон өнцөгт болно.

Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон хэсгүүдийг диагональ гэж нэрлэдэг.

Олон өнцөгт нь түүний талыг агуулсан аль ч шулуунтай ижил хагас хавтгайд оршдог бол түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд шулуун шугам нь өөрөө хагас хавтгайд хамаарна.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг нь түүний талууд нь энэ оройд нийлэхээс үүссэн өнцөг юм.

Теоремыг баталъя (гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн тухай): Гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 180 0 *(n - 2) -тэй тэнцүү байна.

Баталгаа. n=3 тохиолдолд теорем хүчинтэй байна. Өгөгдсөн гүдгэр олон өнцөгт A 1 A 2 ...A n ба n>3 байг. Дотор нь диагональ зуръя (нэг оройноос). Олон өнцөгт нь гүдгэр тул эдгээр диагональууд нь n – 2 гурвалжинд хуваагдана. Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь эдгээр бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр юм. Гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэр нь 180 0-тэй тэнцүү ба эдгээр гурвалжны тоо n нь 2. Иймд гүдгэр n өнцөгт A 1 A 2 ...A n өнцгүүдийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү байна. 0 * (n - 2). Теорем нь батлагдсан.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм.

Гүдгэр олон өнцөгтийн бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Тиймээс квадратыг өөрөөр нэрлэж болно - ердийн дөрвөлжин. Тэнцүү талт гурвалжин нь мөн тогтмол байдаг. Ийм дүрс нь барилга байгууламжийг чимэглэсэн гар урчуудын сонирхлыг эртнээс татсаар ирсэн. Тэд жишээлбэл паркетан дээр гоёмсог хэв маягийг хийсэн. Гэхдээ бүх энгийн олон өнцөгтийг паркет хийхэд ашиглаж болохгүй. Ердийн найман өнцөгтөөс паркет хийх боломжгүй. Үнэн хэрэгтээ өнцөг бүр нь 135 0-тэй тэнцүү байна. Хэрэв ямар нэг цэг нь ийм хоёр найман өнцөгтийн орой бол тэдгээр нь 270 0 байх ба гурав дахь найман өнцөгт багтах газар байхгүй: 360 0 - 270 0 = 90 0. Харин квадратын хувьд энэ нь хангалттай. Тиймээс та ердийн найман өнцөгт, квадратаас паркетан хийж болно.

Одууд ч зөв. Манай таван хошуут од бол жирийн таван өнцөгт од юм. Хэрэв та квадратыг төвийн эргэн тойронд 45 0 эргүүлбэл ердийн найман өнцөгт одтой болно.

1 бүлэг

Эвдэрсэн шугам гэж юу вэ? Полилин шугамын орой ба холбоос гэж юу болохыг тайлбарла.

Аль тасархай шугамыг энгийн гэж нэрлэдэг вэ?

Аль тасархай шугамыг хаалттай гэж нэрлэдэг вэ?

Олон өнцөгтийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн оройг юу гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

2-р бүлэг

Аль олон өнцөгтийг хавтгай гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн жишээг өг.

n - квадрат гэж юу вэ?

Олон өнцөгтийн аль орой нь зэргэлдээ, аль нь биш болохыг тайлбарла.

Олон өнцөгтийн диагональ гэж юу вэ?

3 бүлэг

Аль олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэг вэ?

Олон өнцөгтийн аль өнцгүүдийг гадаад, аль нь дотоод гэдгийг тайлбарлана уу?

Аль олон өнцөгтийг ердийн гэж нэрлэдэг вэ? Ердийн олон өнцөгтүүдийн жишээг өг.

4 бүлэг

Гүдгэр n өнцөгт өнцгийн нийлбэр хэд вэ? Үүнийг батла.

Оюутнууд тексттэй ажиллаж, тавьсан асуултын хариултыг хайж, дараа нь шинжээчдийн бүлгүүд байгуулагдаж, ижил асуудлаар ажилладаг: оюутнууд гол санааг онцолж, нэгтгэн дүгнэж, мэдээллийг аль нэгээр нь танилцуулдаг. график хэлбэрүүд. Ажил дууссаны дараа оюутнууд ажлын хэсэг рүүгээ буцаж ирдэг.

3. эргэцүүлэн бодох үе шат -

а) мэдлэгээ үнэлэх, мэдлэгийн дараагийн алхам руу орох;

б) хүлээн авсан мэдээллийг ойлгох, ашиглах.

Хүлээн авалт: судалгааны ажил.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн->хос->бүлэг.

Ажлын хэсгүүдэд санал болгож буй асуултуудын хэсэг тус бүрт хариулах мэргэжилтнүүд багтдаг.

Ажлын хэсэг рүү буцаж очоод шинжээч асуултынхаа хариултыг бүлгийн бусад гишүүдэд танилцуулна. Бүлэг нь ажлын хэсгийн бүх гишүүдийн хооронд мэдээлэл солилцдог. Тиймээс ажлын хэсэг бүрт мэргэжилтнүүдийн ажлын ачаар судалж буй сэдвийн талаархи ерөнхий ойлголтыг бий болгодог.

Оюутны судалгааны ажил - хүснэгтийг бөглөх.

Хичээлийн сэдвээр сонирхолтой асуудлыг шийдвэрлэх.

• Дөрвөн өнцөгтийг гурван гурвалжинд хуваах шулуун шугамыг зур.
• Дотор өнцөг бүр нь 135 0 хэмжээтэй энгийн олон өнцөгт хэдэн талтай вэ?
• Тодорхой олон өнцөгт бүх дотоод өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Энэ олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь: 360 0, 380 0-тэй тэнцүү байж чадах уу?

Хичээлийг дүгнэж байна. Гэрийн даалгавар бичих.

Олон өнцөгтийн тухай ойлголт. Полигон гэж юу вэ

Олон өнцөгтнь битүү тасархай шугам болох геометрийн дүрс юм.

Олон өнцөгтийг тодорхойлох гурван сонголт байдаг:

• Олон өнцөгт нь хавтгай хаалттай тасархай шугам юм;
• Олон өнцөгт нь өөрөө огтлолцоогүй хавтгай хаалттай тасархай шугам юм;
• Олон өнцөгт нь битүү олон шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсэг юм.

Эвдэрсэн шугамын оройг дуудна олон өнцөгтийн оройнууд, ба сегментүүд - олон өнцөгтийн талууд.

Оргилуудолон өнцөгт гэж нэрлэдэг хөрш, хэрэв тэдгээр нь түүний аль нэг талын төгсгөл бол.

Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон шугамын сегментүүдийг нэрлэдэг диагональ.

Олон өнцөгтийн өнцөг (эсвэл дотоод өнцөг).өгөгдсөн орой дээр түүний талууд энэ оройд нийлж олон өнцөгтийн дотоод мужид байрлах өнцгийг гэнэ.

Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад буланӨгөгдсөн орой дээр энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй залгаа өнцгийг гэнэ. Ерөнхийдөө гадаад өнцөг нь 180 ° ба дотоод өнцгийн хоорондох зөрүү юм

Олон өнцөгт гэж нэрлэдэг гүдгэр, дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол:

• Гүдгэр олон өнцөгт нь түүний зэргэлдээ оройг холбосон аливаа шугамын нэг талд байрладаг;
• Гүдгэр олон өнцөгт нь хэд хэдэн хагас хавтгайн огтлолцол юм;
• Гүдгэр олон өнцөгт хамаарах цэгүүдэд төгсгөлийн цэгүүдтэй аливаа сегмент бүхэлдээ түүнд хамаарна.

Гүдгэр олон өнцөгтийг нэрлэдэг зөв, хэрэв бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол, жишээлбэл, тэгш талт гурвалжин, дөрвөлжин, энгийн таван өнцөгт.

Гүдгэр олон өнцөгт бүх оройнууд нь нэг тойрог дээр байрладаг бол тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Гүдгэр олон өнцөгт нь бүх талууд нь ямар нэгэн тойрогт хүрвэл тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Олон өнцөгтийн ангилал (төрөл).

Олон өнцөгтийг төрлөөр нь ангилах нь олон шинж чанарт үндэслэж болох бөгөөд тэдгээрийн хамгийн чухал нь:

• оройн тоо
• гүдгэр
• зөв
• тойрог бичих, дүрслэх чадвар

Гүдгэр олон өнцөгт нь түүний аль нэг талыг агуулсан шугамын нэг талд үргэлж байрладаг. (дээрээс үзнэ үү)

Энгийн олон өнцөгт нь тэнцүү талууд ба өнцөгтэй байдаг. Үүнээс шалтгаалан тэдгээр нь зарим онцгой шинж чанартай байдаг (дөрвөлжин хэсгийг үзнэ үү).

Өөрөө огтлолцдог олон өнцөгтүүд нь тогтмол байж болно. Жишээлбэл, пентаграм ("таван хошуут од").

Олон өнцөгтийг олон өнцөгт багтах эсвэл олон өнцөгт тойргийг дүрслэх чадвартай холбоотойгоор ялгаж болно. Эргэн тойронд тойргийг дүрслэх, мөн нэгийг нь бичих боломжгүй олон өнцөгтүүд байж болно. Үүний зэрэгцээ ямар ч гурвалжны эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой байдаг.

Полигон шинж чанарууд

• n өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр (n − 2)π байна.
• Энгийн n өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180(n − 2) байна.
• Аливаа олон өнцөгтийн диагональуудын тоо нь n(n − 3) / 2, энд n нь талуудын тоо юм.

Энэ хичээлээр бид шинэ сэдвийг эхлүүлж, "олон өнцөгт" гэсэн шинэ ойлголтыг танилцуулах болно. Бид олон өнцөгттэй холбоотой үндсэн ойлголтуудыг авч үзэх болно: талууд, оройн өнцөг, гүдгэр ба гүдгэр бус. Дараа нь бид олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийн теорем, олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэрийн теорем зэрэг хамгийн чухал баримтуудыг нотлох болно. Үүний үр дүнд бид олон өнцөгтийн онцгой тохиолдлуудыг судлахад ойртох болно, үүнийг дараагийн хичээлүүдэд авч үзэх болно.

Сэдэв: Дөрвөн өнцөгт

Хичээл: Олон өнцөгтүүд

Геометрийн хичээлээр бид геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарыг судалж, тэдгээрийн хамгийн энгийн нь болох гурвалжин ба тойрог зэргийг аль хэдийн судалж үзсэн. Үүний зэрэгцээ бид эдгээр дүрсүүдийн баруун, тэгш өнцөгт, ердийн гурвалжин гэх мэт тусгай тохиолдлуудыг хэлэлцсэн. Одоо илүү ерөнхий, төвөгтэй тоонуудын талаар ярих цаг болжээ. олон өнцөгтүүд.

Онцгой тохиолдолд олон өнцөгтүүдбид аль хэдийн танил болсон - энэ бол гурвалжин (1-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 1. Гурвалжин

Энэ нэр нь өөрөө гурван өнцөгт дүрс гэдгийг аль хэдийн онцолсон. Тиймээс, in олон өнцөгттэдгээрийн олон байж болно, i.e. гурваас дээш. Жишээлбэл, таван өнцөгт зуръя (2-р зургийг үз), i.e. таван булантай дүрс.

Цагаан будаа. 2. Пентагон. Гүдгэр олон өнцөгт

Тодорхойлолт.Олон өнцөгт- хэд хэдэн цэг (хоёроос дээш) ба тэдгээрийг дараалан холбосон зохих тооны сегментээс бүрдсэн зураг. Эдгээр цэгүүдийг нэрлэдэг оргилуудолон өнцөгт, сегментүүд нь байна намууд. Энэ тохиолдолд зэргэлдээх хоёр тал нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй, зэргэлдээх хоёр тал огтлолцохгүй.

Тодорхойлолт.Ердийн олон өнцөгтбүх тал ба өнцөг нь тэнцүү гүдгэр олон өнцөгт юм.

Ямар ч олон өнцөгтонгоцыг дотоод ба гадаад гэсэн хоёр хэсэгт хуваадаг. Дотоод талбайг мөн гэж нэрлэдэг олон өнцөгт.

Өөрөөр хэлбэл, жишээлбэл, тэд таван өнцөгтийн тухай ярихдаа түүний бүхэл бүтэн дотоод бүс, хил хязгаарыг хоёуланг нь илэрхийлдэг. Мөн дотоод муж нь олон өнцөгт дотор байрлах бүх цэгүүдийг агуулдаг, өөрөөр хэлбэл. цэг нь мөн таван өнцөгтийг хэлнэ (2-р зургийг үз).

Зарим үл мэдэгдэх тооны өнцөг (n ширхэг) байх ерөнхий тохиолдлыг анхаарч үзэхийн тулд олон өнцөгтийг заримдаа n-gons гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Олон өнцөгт периметр- олон өнцөгтийн талуудын уртын нийлбэр.

Одоо бид олон өнцөгтийн төрлүүдтэй танилцах хэрэгтэй. Тэд хуваагддаг гүдгэрТэгээд гүдгэр бус. Жишээлбэл, Зураг дээр үзүүлсэн олон өнцөгт. 2 нь гүдгэр бөгөөд Зураг дээр. 3 гүдгэр бус.

Цагаан будаа. 3. Гүдгэр бус олон өнцөгт

Тодорхойлолт 1. Олон өнцөгтдуудсан гүдгэр, хэрэв аль нэг талыг нь дайруулан шулуун шугам татахад бүхэлд нь олон өнцөгтэнэ шулуун шугамын зөвхөн нэг талд оршдог. Гүдгэр бусбусад бүх хүмүүс олон өнцөгт.

Зураг дээрх таван өнцөгтийн аль нэг талыг сунгахдаа үүнийг төсөөлөхөд хялбар байдаг. 2 энэ нь бүгд энэ шулуун шугамын нэг талд байх болно, өөрөөр хэлбэл. энэ нь гүдгэр юм. Гэхдээ Зураг дээр дөрвөлжин дундуур шулуун шугам татах үед. 3 Энэ нь үүнийг хоёр хэсэгт хувааж байгааг бид аль хэдийн харж байна, өөрөөр хэлбэл. гүдгэр биш.

Гэхдээ олон өнцөгтийн гүдгэр байдлын өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

Тодорхойлолт 2. Олон өнцөгтдуудсан гүдгэр, хэрэв түүний дотоод хоёр цэгээс аль нэгийг нь сонгоод сегменттэй холбохдоо сегментийн бүх цэгүүд нь мөн олон өнцөгтийн дотоод цэгүүд болно.

Энэхүү тодорхойлолтыг ашиглах жишээг Зураг дээрх сегментийг бүтээх жишээнээс харж болно. 2 ба 3.

Тодорхойлолт. Диагональолон өнцөгт нь хоёр зэргэлдээ биш оройг холбосон дурын сегмент юм.

Олон өнцөгтийн шинж чанарыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн өнцгийн талаархи хамгийн чухал хоёр теорем байдаг. гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремТэгээд гүдгэр олон өнцөгтийн гадна өнцгийн нийлбэрийн тухай теорем. Тэднийг харцгаая.

Теорем. Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр дээр (n-гон).

Түүний өнцгийн (талуудын) тоо хаана байна.

Баталгаа 1. Зураг дээр дүрсэлье. 4 гүдгэр n-gon.

Цагаан будаа. 4. Гүдгэр n-gon

Оройноос бид бүх боломжит диагональуудыг зурдаг. Тэд n-гоныг гурвалжинд хуваадаг, учир нь оройтой зэргэлдээх талуудаас бусад олон өнцөгтийн тал бүр нь гурвалжин үүсгэдэг. Эдгээр бүх гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь n-gon-ийн дотоод өнцгийн нийлбэртэй яг тэнцүү байх болно гэдгийг зурагнаас харахад хялбар байдаг. Аливаа гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь n-гонгийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь:

Q.E.D.

Баталгаа 2. Энэ теоремийн өөр нэг баталгаа боломжтой. Зураг дээр ижил төстэй n-gon зуръя. 5 ба түүний дотоод цэгүүдийг бүх оройтой холбоно.

Цагаан будаа. 5.

Бид n-gon-ийн хуваалтыг n гурвалжинд (гурвалжин байгаатай адил олон талтай) авсан. Тэдний бүх өнцгийн нийлбэр нь олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр ба дотоод цэг дээрх өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь өнцөг юм. Бидэнд байгаа:

Q.E.D.

Батлагдсан.

Батлагдсан теоремын дагуу n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь түүний талуудын тооноос (n дээр) хамаардаг нь тодорхой байна. Жишээлбэл, гурвалжинд өнцгүүдийн нийлбэр нь . Дөрвөн өнцөгт, өнцгийн нийлбэр нь гэх мэт.

Теорем. Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр дээр (n-гон).

Түүний өнцгийн (талуудын) тоо хаана байна, , ..., гадаад өнцгүүд байна.

Баталгаа. Зураг дээр гүдгэр n-гоныг дүрсэлцгээе. 6 ба түүний дотоод болон гадаад өнцгийг тодорхойлно.

Цагаан будаа. 6. Зориулалтын гадаад өнцөг бүхий гүдгэр n-gon

Учир нь Дараа нь гадна талын булан нь дотоод руу залгаатай холбогдсон байна үлдсэн гадна булангийн хувьд мөн адил. Дараа нь:

Өөрчлөлтийн явцад бид n-gon-ийн дотоод өнцгийн нийлбэрийн тухай аль хэдийн батлагдсан теоремыг ашигласан.

Батлагдсан.

Гүдгэр n-гоны гадаад өнцгийн нийлбэр нь дараахтай тэнцүү гэсэн батлагдсан теоремоос сонирхолтой баримт гарч ирэв. түүний өнцгийн тоо (талууд). Дашрамд хэлэхэд, дотоод өнцгийн нийлбэрээс ялгаатай.

Ном зүй

1. Александров А.Д. болон бусад геометр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2011 он.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометр, 8-р анги. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 он.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Гэрийн даалгавар

Сэдэв: "Олон өнцөгтийн төрлүүд".

9-р анги

SHL №20

Багш: Харитонович Т.И.Хичээлийн зорилго: олон өнцөгтийн төрлийг судлах.

Сурах даалгавар:олон өнцөгтийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх, өргөжүүлэх, нэгтгэх; олон өнцөгтийн "бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн" тухай ойлголтыг бий болгох; тогтмол олон өнцөгт (гурвалжингаас n-гон) -ын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог судлах;

Хөгжлийн даалгавар:дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт хийх, тооцоолох чадвар, аман болон бичгийн математикийн яриа, санах ой, сэтгэн бодох, суралцах үйл ажиллагааны бие даасан байдал, хос, бүлгээр ажиллах чадварыг хөгжүүлэх; судалгаа, боловсролын үйл ажиллагааг хөгжүүлэх;

Боловсролын даалгавар:бие даасан байдал, идэвхтэй байдал, даалгасан ажилд хариуцлага, зорилгодоо хүрэх тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: интерактив самбар (танилцуулга)

Хичээлийн үеэр

Үзүүлсэн үзүүлэн: "Олон өнцөгтүүд"

"Байгаль нь математикийн хэлээр ярьдаг, энэ хэлний үсгүүд ... математик дүрсүүд." Г.Галлили

Хичээлийн эхэнд анги нь ажлын хэсгүүдэд хуваагдана (манай тохиолдолд 3 бүлэгт хуваагдана)

1.Дуудлагын үе шат-

а) сэдвийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх;

б) судалж буй сэдвийн сонирхлыг нэмэгдүүлэх, оюутан бүрийг боловсролын үйл ажиллагаанд түлхэц өгөх.

Техник: "Та үүнд итгэдэг үү ..." тоглоом, тексттэй ажиллах зохион байгуулалт.

Ажлын хэлбэр: урд, бүлэг.

"Чи үүнд итгэж байна уу ..."

1. ... "олон өнцөгт" гэдэг үг нь энэ гэр бүлийн бүх дүрс "олон өнцөгтэй" гэдгийг харуулж байна уу?

2. ... гурвалжин нь хавтгай дээрх янз бүрийн геометрийн дүрсүүдээс ялгагдах олон өнцөгтийн том гэр бүлд хамаарах уу?

3. ... дөрвөлжин нь энгийн найман өнцөгт (дөрвөн тал + дөрвөн булан) мөн үү?

Өнөөдөр хичээл дээр бид олон өнцөгтийн тухай ярих болно. Энэ үзүүлэлт нь хаалттай эвдэрсэн шугамаар хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь эргээд энгийн, хаалттай байж болно гэдгийг бид мэдэж байна. Олон өнцөгт нь хавтгай, тэгш, гүдгэр байж болох талаар ярилцъя. Хавтгай олон өнцөгтүүдийн нэг нь таны эртнээс мэддэг гурвалжин юм (та оюутнуудад олон өнцөгт дүрсэлсэн зурагт хуудас, тасархай шугам, тэдгээрийн төрөл бүрийн төрлийг харуулах, мөн TSO ашиглаж болно).

2. Жирэмслэлтийн үе шат

Зорилго: шинэ мэдээлэл олж авах, ойлгох, сонгох.

Техник: зигзаг.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн->хос->бүлэг.

Бүлгийн гишүүн бүрт тухайн хичээлийн сэдвийн текстийг өгч, текстийг оюутнуудад аль хэдийн мэдэгдэж байсан мэдээлэл болон цоо шинэ мэдээллийг багтаасан байдлаар эмхэтгэсэн. Текстийн хамт оюутнууд асуултуудыг хүлээн авдаг бөгөөд хариултыг энэ текстээс олох ёстой.

Олон өнцөгт. Олон өнцөгтийн төрлүүд.

Усан онгоц, онгоцууд ул мөргүй алга болдог нууцлаг Бермудын гурвалжингийн талаар сонсоогүй хүн байна уу? Гэхдээ бага наснаасаа бидэнд танил болсон гурвалжин нь олон сонирхолтой, нууцлаг зүйлээр дүүрэн байдаг.

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан гурвалжингийн төрлөөс гадна талууд (масштаб, ижил өнцөгт, тэгш өнцөгт) болон өнцгөөр (хурц, мохоо, тэгш өнцөгт) хуваагддаг гурвалжин нь олон өнцөгтийн том гэр бүлд багтдаг бөгөөд энэ нь геометрийн олон янзын хэлбэртэй байдаг. онгоц.

"Олон өнцөгт" гэдэг үг нь энэ гэр бүлийн бүх дүрс нь "олон өнцөгтэй" гэдгийг харуулж байна. Гэхдээ энэ нь дүрсийг тодорхойлоход хангалтгүй юм.

A1A2...An тасархай шугам нь A1,A2,...An цэгүүд болон тэдгээрийг холбосон A1A2, A2A3,... хэрчмүүдээс бүрдэх дүрс юм. Цэгүүдийг олон шугамын орой гэж нэрлэдэг ба хэрчмүүдийг олон шугамын холбоосууд гэж нэрлэдэг. (Зураг 1)

Эвдэрсэн шугам нь өөрөө огтлолцоогүй бол энгийн гэж нэрлэдэг (Зураг 2, 3).

Хэрэв төгсгөлүүд нь давхцаж байвал полилиныг хаалттай гэж нэрлэдэг. Эвдэрсэн шугамын урт нь түүний холбоосуудын уртын нийлбэр юм (Зураг 4)

Энгийн битүү тасархай шугамыг хөрш зэргэлдээх холбоосууд нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй бол түүнийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

"Олон" хэсгийн оронд "олон өнцөгт" гэсэн үгний оронд тодорхой тоог, жишээ нь 3-ыг орлуулснаар та гурвалжин болно. Эсвэл 5. Дараа нь - таван өнцөгт. Хэчнээн олон өнцөг байх тусам олон тал байдаг тул эдгээр дүрсийг олон талт гэж нэрлэж болохыг анхаарна уу.

Эвдэрсэн шугамын оройг олон өнцөгтийн орой, тасархай шугамын холбоосыг олон өнцөгтийн талууд гэнэ.

Олон өнцөгт нь онгоцыг дотоод ба гадаад гэсэн хоёр хэсэгт хуваадаг (Зураг 6).

Хавтгай олон өнцөгт буюу олон өнцөгт талбай нь олон өнцөгтөөр хязгаарлагдсан хавтгайн төгсгөлтэй хэсэг юм.

Нэг талын төгсгөл болох олон өнцөгтийн хоёр оройг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Нэг талын төгсгөл биш оройнууд нь хөрш биш юм.

n оройтой, тиймээс n талтай олон өнцөгтийг n өнцөг гэнэ.

Хэдийгээр олон өнцөгтийн талуудын хамгийн бага тоо нь 3. Гэхдээ гурвалжин нь хоорондоо холбогдсон үед бусад дүрсийг үүсгэж болох бөгөөд энэ нь эргээд олон өнцөгт болно.

Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон хэсгүүдийг диагональ гэж нэрлэдэг.

Олон өнцөгт нь түүний талыг агуулсан аль ч шулуунтай ижил хагас хавтгайд оршдог бол түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд шулуун шугам нь өөрөө ХАГАС ОНГОЦ-т хамаарагдана

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг нь түүний талууд нь энэ оройд нийлэхээс үүссэн өнцөг юм.

Теоремыг баталъя (гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн тухай): Гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 1800*(n - 2)-тай тэнцүү.

Баталгаа. n=3 тохиолдолд теорем хүчинтэй байна. Өгөгдсөн гүдгэр олон өнцөгт A1A2...A n ба n>3 байг. Дотор нь диагональ зуръя (нэг оройноос). Олон өнцөгт нь гүдгэр тул эдгээр диагональууд нь n – 2 гурвалжинд хуваагдана. Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь эдгээр бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр юм. Гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэр 1800 ба эдгээр гурвалжны тоо n 2. Иймд гүдгэр n гурвалжны A1A2...A n өнцгийн нийлбэр нь 1800* (n - 2) байна. Теорем нь батлагдсан.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм.

Гүдгэр олон өнцөгтийн бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Тиймээс квадратыг өөрөөр нэрлэж болно - ердийн дөрвөлжин. Тэнцүү талт гурвалжин нь мөн тогтмол байдаг. Ийм дүрс нь барилга байгууламжийг чимэглэсэн гар урчуудын сонирхлыг эртнээс татсаар ирсэн. Тэд жишээлбэл паркетан дээр гоёмсог хэв маягийг хийсэн. Гэхдээ бүх энгийн олон өнцөгтийг паркет хийхэд ашиглаж болохгүй. Ердийн найман өнцөгтөөс паркет хийх боломжгүй. Үнэн хэрэгтээ өнцөг бүр нь 1350-тай тэнцүү байна. Хэрэв аль нэг цэг нь ийм хоёр найман өнцөгтийн орой бол тэдгээрийн эзлэх хувь 2700 байх ба гурав дахь найман өнцөгт багтах газар байхгүй: 3600 - 2700 = 900. Гэхдээ квадратын хувьд энэ нь хангалттай. Тиймээс та ердийн найман өнцөгт, квадратаас паркетан хийж болно.

Одууд ч зөв. Манай таван хошуут од бол жирийн таван өнцөгт од юм. Хэрэв та квадратыг төвийн эргэн тойронд 450-аар эргүүлбэл ердийн найман өнцөгт одтой болно.

Эвдэрсэн шугам гэж юу вэ? Полилин шугамын орой ба холбоос гэж юу болохыг тайлбарла.

Аль тасархай шугамыг энгийн гэж нэрлэдэг вэ?

Аль тасархай шугамыг хаалттай гэж нэрлэдэг вэ?

Олон өнцөгтийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн оройг юу гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Аль олон өнцөгтийг хавтгай гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн жишээг өг.

n - квадрат гэж юу вэ?

Олон өнцөгтийн аль орой нь зэргэлдээ, аль нь биш болохыг тайлбарла.

Олон өнцөгтийн диагональ гэж юу вэ?

Аль олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэг вэ?

Олон өнцөгтийн аль өнцгүүдийг гадаад, аль нь дотоод гэдгийг тайлбарлана уу?

Аль олон өнцөгтийг ердийн гэж нэрлэдэг вэ? Ердийн олон өнцөгтүүдийн жишээг өг.

Гүдгэр n өнцөгт өнцгийн нийлбэр хэд вэ? Үүнийг батла.

Оюутнууд тексттэй ажиллаж, тавьсан асуултын хариултыг хайж, дараа нь шинжээчдийн бүлгүүд байгуулагдаж, ижил асуудлаар ажилладаг: оюутнууд гол санааг онцолж, нэгтгэн дүгнэж, мэдээллийг аль нэгээр нь танилцуулдаг. график хэлбэрүүд. Ажил дууссаны дараа оюутнууд ажлын хэсэг рүүгээ буцаж ирдэг.

3. эргэцүүлэн бодох үе шат -

а) мэдлэгээ үнэлэх, мэдлэгийн дараагийн алхам руу орох;

б) хүлээн авсан мэдээллийг ойлгох, ашиглах.

Хүлээн авалт: судалгааны ажил.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн->хос->бүлэг.

Ажлын хэсгүүдэд санал болгож буй асуултуудын хэсэг тус бүрт хариулах мэргэжилтнүүд багтдаг.

Ажлын хэсэг рүү буцаж очоод шинжээч асуултынхаа хариултыг бүлгийн бусад гишүүдэд танилцуулна. Бүлэг нь ажлын хэсгийн бүх гишүүдийн хооронд мэдээлэл солилцдог. Тиймээс ажлын хэсэг бүрт мэргэжилтнүүдийн ажлын ачаар судалж буй сэдвийн талаархи ерөнхий ойлголтыг бий болгодог.

Оюутны судалгааны ажил- хүснэгтийг бөглөх.

Тогтмол олон өнцөгт Зурах Талуудын тоо Оройн тоо Бүх дотоод өнцгийн нийлбэр Зэрэглэлийн дотоод хэмжээ. өнцөг Гаднах өнцгийн градусын хэмжүүр Диагоналуудын тоо

A) гурвалжин

B) дөрвөн өнцөгт

B) таван нүхтэй

D) зургаан өнцөгт

D) n-gon

Хичээлийн сэдвээр сонирхолтой асуудлыг шийдвэрлэх.

1) Дотоод өнцөг тус бүр нь 1350 хэмжээтэй энгийн олон өнцөгт хэдэн талтай вэ?

2) Тодорхой олон өнцөгт бүх дотоод өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Энэ олон өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр нь 3600, 3800 байж болох уу?

3) 100,103,110,110,116 градусын өнцөг бүхий таван өнцөгтийг барьж болох уу?

Хичээлийг дүгнэж байна.

Гэрийн даалгаврын бичлэг: ХУУДАС 66-72 No15,17 БА ДААЛГАВАР: ДӨРВӨНГӨНД ГУРВАН ГУРВАЛЖИНД ХУВААРАЙ ШУУД ЗАС.

Туршилтын хэлбэрээр тусгах (интерактив самбар дээр)

Олон өнцөгтийн шинж чанарууд

Олон өнцөгт нь геометрийн дүрс бөгөөд ихэвчлэн өөрөө огтлолцоогүй хаалттай эвдэрсэн шугамаар тодорхойлогддог (энгийн олон өнцөгт (Зураг 1а)), гэхдээ заримдаа өөрөө огтлолцохыг зөвшөөрдөг (тэгвэл олон өнцөгт нь энгийн биш).

Олон өнцөгтийн оройг олон өнцөгтийн орой, хэрчмүүдийг олон өнцөгтийн талууд гэнэ. Олон өнцөгтийн оройнууд нь түүний аль нэг талын төгсгөл бол түүнийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон сегментүүдийг диагональ гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг (эсвэл дотоод өнцөг) нь түүний талууд нь энэ оройд нийлэхээс үүссэн өнцөг бөгөөд өнцгийг олон өнцөгтийн талаас тооцоолно. Ялангуяа олон өнцөгт нь гүдгэр биш бол өнцөг нь 180 ° -аас хэтрэх боломжтой.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм. Ерөнхийдөө гаднах өнцөг нь 180 ° ба дотоод өнцгийн хоорондох зөрүү юм. >3-ийн хувьд -gon-ийн орой бүр 3 диагональтай тул -gon-ийн диагональуудын нийт тоо тэнцүү байна.

Гурван оройтой олон өнцөгтийг гурвалжин гэж нэрлэдэг бөгөөд дөрөв нь дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт нь таван өнцөгт гэх мэт.

-тэй олон өнцөгт nорой гэж нэрлэдэг n-дөрвөлжин.

Хавтгай олон өнцөгт нь олон өнцөгт ба түүгээр хязгаарлагдсан талбайн хязгаарлагдмал хэсгээс бүрдэх дүрс юм.

Дараах (тэнцүү) нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэг.

• 1. зэргэлдээх оройг нь холбосон дурын шулуун шугамын нэг талд оршдог. (өөрөөр хэлбэл олон өнцөгтийн талуудын өргөтгөлүүд нь түүний бусад талуудтай огтлолцдоггүй);
• 2. энэ нь хэд хэдэн хагас хавтгайн огтлолцол (өөрөөр хэлбэл нийтлэг хэсэг);
• 3. олон өнцөгт хамаарах цэгүүдэд төгсгөлтэй аль ч сегмент бүхэлдээ түүнд хамаарна.

Бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол гүдгэр олон өнцөгтийг тогтмол гэж нэрлэдэг, жишээлбэл, тэгш талт гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт.

Гүдгэр олон өнцөгт нь бүх талууд нь ямар нэгэн тойрогт хүрвэл тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг

Энгийн олон өнцөгт нь бүх өнцөг ба бүх талууд тэнцүү олон өнцөгт юм.

Олон өнцөгтийн шинж чанарууд:

1 Гүдгэр -гоны диагональ бүр нь >3 нь түүнийг хоёр гүдгэр олон өнцөгт задалдаг.

2 Гүдгэр гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр тэнцүү байна.

D-vo: Бид математик индукцийн аргыг ашиглан теоремыг батлах болно. = 3 үед энэ нь тодорхой байна. Теорем нь -gon, хаана нь үнэн гэж үзье <, мөн үүнийг -gon-ийн хувьд нотлох.

Өгөгдсөн олон өнцөгт болъё. Энэ олон өнцөгтийн диагональ зуръя. Теорем 3-ын дагуу олон өнцөгт гурвалжин болон гүдгэр гурвалжинд задардаг (Зураг 5). Индукцийн таамаглалаар. Нөгөө талаар, . Эдгээр тэгш байдлыг нэмж, үүнийг харгалзан үзэх (- дотоод өнцгийн цацраг ) Тэгээд (- дотоод өнцгийн цацраг ), Бид авахдаа: .

3 Ердийн олон өнцөгтийн эргэн тойронд та зөвхөн нэг тойрог дүрсэлж болно.

D-vo: Энгийн олон өнцөгт байх ба өнцгүүдийн биссектриса байх ба (Зураг 150). Түүнээс хойш * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ТУХАЙ.Үүнийг баталцгаая О = О.А 2 = ТУХАЙ =… = О.А П . Гурвалжин ТУХАЙтиймээс хоёр талт ТУХАЙ= ТУХАЙ. Гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу, ТУХАЙ = ТУХАЙ. Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан ТУХАЙ = ТУХАЙгэх мэт. Тэгэхээр гол нь ТУХАЙолон өнцөгтийн бүх оройноос ижил зайд байрладаг тул төвтэй тойрог ТУХАЙрадиус ТУХАЙолон өнцөгтийг тойрсон байна.

Зөвхөн нэг тойргийн тойрог байдгийг одоо баталцгаая. Жишээлбэл, олон өнцөгтийн гурван оройг авч үзье. А 2 , . Эдгээр цэгүүдээр зөвхөн нэг тойрог өнгөрдөг тул олон өнцөгтийг тойрон өнгөрдөг … Та нэгээс илүү тойргийг дүрслэх боломжгүй.

• 4 Та ямар ч энгийн олон өнцөгт тойрог бичиж болно, зөвхөн нэг.
• 5 Энгийн олон өнцөгт дотор бичээстэй тойрог нь олон өнцөгтийн хажуу талуудад тэдгээрийн дунд цэгүүдэд хүрдэг.
• 6 Энгийн олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь ижил олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байна.
• 7 тэгш хэм:

Хэрэв энэ дүрсийг өөртөө хөрвүүлдэг ийм хөдөлгөөн (ижил биш) байвал дүрс нь тэгш хэмтэй (тэгш хэмтэй) байдаг гэж тэд хэлдэг.

• 7.1. Ерөнхий гурвалжин нь тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвгүй; Адил талт гурвалжин (гэхдээ тэгш өнцөгт биш) нь тэгш хэмийн нэг тэнхлэгтэй байдаг: суурьтай перпендикуляр биссектрис.
• 7.2. Тэгш талт гурвалжин нь гурван тэгш хэмийн тэнхлэгтэй (хажуугийн перпендикуляр биссектрис) ба төвийн эргэн тойронд 120 ° эргэлтийн өнцөгтэй эргэлтийн тэгш хэмтэй байна.

7.3 Аливаа энгийн n-gon нь n тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бөгөөд тэдгээр нь бүгд төвийг нь дайран өнгөрдөг. Энэ нь мөн эргэлтийн өнцөг бүхий төвийн эргэн тойронд эргэх тэгш хэмтэй байдаг.

Тэгсэн үед nЗарим тэгш хэмийн тэнхлэгүүд эсрэг талын оройгоор, зарим нь эсрэг талын дунд цэгүүдээр дамждаг.

Хачирхалтай нь nтэнхлэг бүр нь эсрэг талын дээд ба дунд хэсгийг дайран өнгөрдөг.

Талууд нь тэгш тоотой жирийн олон өнцөгтийн төв нь түүний тэгш хэмийн төв юм. Хажуу тал нь сондгой тоотой жирийн олон өнцөгт тэгш хэмийн төв байдаггүй.

8 Ижил төстэй байдал:

Ижил төстэй ба -gon нь -gon руу, хагас хавтгай нь хагас хавтгайд ордог тул гүдгэр n- өнцөг нь гүдгэр болно n-гон.

Теорем: Гүдгэр олон өнцөгтийн талууд ба өнцөг нь тэгшитгэлийг хангавал:

индэрийн коэффициент хаана байна

Дараа нь эдгээр олон өнцөгтүүд ижил төстэй байна.

• 8.1 Ижил төстэй хоёр олон өнцөгтийн периметрийн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй тэнцүү байна.
• 8.2. Хоёр гүдгэр ижил төстэй олон өнцөгтийн талбайн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициентийн квадраттай тэнцүү байна.

олон өнцөгт гурвалжны периметрийн теорем