Чухал цэг (математик). Математикийн судалгааны ажил

МӨӨҮСТ СУВИЛАЛЫН СУРГУУЛЬ - ИНТЕРНАТ

Цэг ба геометрийн хэлбэрүүд.

Математикийн судалгааны ажил.

Гүйцэтгэсэн: 3-р ангийн сурагч Анатолий Васильев

Ажлын дарга:

Дубовая Наталья Леонидовна,

Бага сургуулийн багш.

Томмот, 2013 он

1. Товч хураангуй. ................................................... .................................2
2. Тэмдэглэл. ................................................... ................................................3
3. Судалгааны нийтлэл. ................................................... ...... ...........................6
4. Дүгнэлт.................................................. ..........................................7

Ном зүй.

Товч хураангуй.

Уг ажил нь шугам, туяа, хэрчм, өнцөг, гурвалжин, дөрвөлжин, тойрог, тойрог гэсэн цэг ба геометрийн дүрс, түүнчлэн эдгээр дүрсийг бүтээх, бүтээхэд цэгийн үүргийг авч үздэг.

Тэмдэглэл.

Судалгааны зорилго:Шулуун шугам, туяа, өнцөг, дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэсэн геометрийн дүрсүүд нь ямар утгатай болохыг олж мэдэх.

Судалгааны объект:геометрийн дүрсийн цэг ба тодорхойлолтууд: шулуун шугам, туяа, өнцөг, дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог.

Судалгааны сэдэв:цэг ба геометрийн дүрсүүд: шулуун шугам, туяа, өнцөг, дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог.

Судалгааны таамаглал:цэг нь цорын ганц геометрийн дүрс бөгөөд бусад нь олон цэгээс бүрддэг.

Судалгааны зорилго:

1. "Цэг ба геометрийн дүрсүүд: шулуун шугам, туяа, өнцөг, дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог." сэдвээр суралцах материал;
2. цэг, шулуун шугам, дөрвөлжин, гурвалжин, өнцөг, туяа, тойргийн тодорхойлолтыг олох;
3. энэ сэдвээр хийсэн дүн шинжилгээ, эргэцүүлэлээ танилцуулах;
4. энэхүү судалгааны ажилд үндэслэн илтгэл тавих.

Судалгааны аргууд:уран зохиол судлах, толь бичигтэй ажиллах, судалгааны дүн шинжилгээ, дүгнэлт.

Судалгааны нийтлэл.

Математик нь эрт дээр үед хүмүүсийн практик хэрэгцээнээс үүссэн. Математикийн эртний талаар хэн ч маргахгүй, гэхдээ хүмүүсийг үүнийг судлахад юу нөлөөлсөн талаар өөр үзэл бодол байдаг. Түүний хэлснээр, математик нь яруу найраг, уран зураг, хөгжим, театр, ерөнхийдөө урлагийн нэгэн адил хүний ​​оюун санааны хэрэгцээ, магадгүй бүрэн гүйцэд биелээгүй, мэдлэг, гоо үзэсгэлэнг хүсэх хүсэл эрмэлзлээс үүдэлтэй юм.

Цэг гэж юу вэ, ямар геометрийн дүрсүүдээс бүтдэг талаар та бодож үзсэн үү?

Эхлээд харахад энд бүх зүйл тодорхой байна: цэг бол цэг, шулуун шугам бол шулуун, энд ойлгомжгүй зүйл юу байж болох вэ? Үүнийг огт мэдэхгүй, цаашлаад бүх зүйлийг шууд утгаар нь ойлгодог хүнд үүнийг яаж тайлбарлах вэ? Энэ үнэхээр ийм энгийн гэж үү? Энэ нь огт биш юм шиг санагдаж байна!

Хөдөлмөрийн хичээлийн үеэр бид изотерийн техникийг судлахдаа бүх геометрийн дүрсүүд цэгүүдээс тогтдог гэсэн таамаглал надад төрсөн. Энэ сэдэвт би судалгааны ажлаа зориулахаар шийдсэн юм.

"Би юу ч мэдэхгүй гэдгээ мэдэж байна" гэж Сократ хэлээд ярилцагчтайгаа ярилцах замаар яг юу мэддэгийг нь олж мэдэхийг оролдов. Тийм ч учраас би эхлээд геометрийн дүрсийн талаар юу мэддэгээ олж мэдэхээр шийдсэн.

Тиймээс, миний судалгааны ажлын сэдвийн дагуу тодорхойлсон геометрийн дүрсүүдийн тодорхойлолтыг авч үзье.

1. Цэг - энэ бол тэмдэг, хүрэлцэх тэмдэг, хурц зүйлтэй тарилга; жижиг дугуй толбо, толбо; маш жижиг, бараг харагдахгүй зүйл. Цэг бол үндсэн геометрийн дүрс юм

1. Шугам- энэ бол цэгүүдийн багц юм. Хэрэв геометрийг бүтээх үндэс нь орон зайн цэгүүдийн хоорондох зай гэсэн ойлголт юм бол шулуун шугамыг хоёр цэгийн хоорондох зай хамгийн богино байх шугам гэж тодорхойлж болно.Шууд - бүх цэгүүдтэйгээ ижил байрлалтай шугам байдаг. "Мөр" гэсэн нэр томъёо нь Латин linum - "маалинган даавуу, маалинган утас" гэсэн үгнээс гаралтай.

_________________________________________________

1. Рэй нь өгөгдсөн цэгийн нэг талд байрлах энэ шугамын бүх цэгүүдээс тогтсон шугамын хэсэг юм.

1. Шугамын сегмент нь өгөгдсөн хоёр цэгийн хооронд орших энэ шугамын бүх цэгүүдээс тогтсон шугамын хэсэг юм.

1. Булан- Энэ бол өнцгийн оройн цэг ба энэ цэгээс бууж буй хоёр өөр хагас шугам, өнцгийн талуудаас бүрдэх зураг юм.

1. Дөрвөн өнцөгтдөрвөн цэг, тэдгээрийг холбосон дөрвөн дараалсан сегментээс бүрдэх дүрс юм.

1. Гурвалжин - нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээс бүтсэн, хэрчмээр холбогдсон дүрс.

1. Тойрог -

Тойрог өгөгдсөн цэгээс ижил зайд байгаа хавтгайн бүх цэгүүдээс бүрдэх дүрс юм. Тойрог тойрсон хаалттай шугам.

ДҮГНЭЛТ.

Цэг ба шулуун шугамын тухай ойлголт бидний амьдралын хаа сайгүй байдаг. Жишээлбэл, хэрэв та орос хэлийг харвал цэг нь бүтэн өгүүлбэрийг тусгаарлах цэг таслал (.) юм. Орос хэл дээр цэг таслал, хоёр цэг, эллипс гэх мэт таслал тэмдэгтүүд байдаг.

Физикийн хувьд цэг нь хэмжигдэхүүний тодорхой утга юм.

Газарзүйн хувьд цэгийг сансар огторгуйн тодорхой байршил гэж үздэг.

Биологийн хувьд энэ бол ургамлын өсөлтийн цэг юм.

Химийн хувьд - хөлдөх цэг, буцлах цэг, хайлах цэг.

Хөгжимд цэг нь хөгжмийн тэмдэглэлийн гол элементүүдийн нэг болох тэмдэг юм.

Математикийн хувьд цэг нь үндсэн геометрийн дүрс юм; хоёр шулуун шугамын огтлолцол, шугамын сегментийн хил, цацрагийн эхлэл гэх мэт.

Аливаа дүрсийг бүтээхийн тулд бидэнд цэг хэрэгтэй. Шулуун шугамын тодорхойлолтод үндэслэн,МУУГААН БОЛ ОЛОН ЦЭГ, мөн тодорхойлолтуудаас харахад аливаа дүрсийг цэг ба шулуун ашиглан бүтээдэг тул бүх дүрс нь цэгүүдээс бүрддэг.

Бидний амьдралд цэг бол тарилгын дүрс, жижиг толбо юм.

Миний судалгааны ажил нь цэг бол цорын ганц геометрийн дүрс гэж дүгнэх боломжийг олгодог. Бүх зүйл цэгээс эхэлж түүгээр төгсдөг бөгөөд ямар төрлийн нээлтийн эхлэл болох нь одоогоор тодорхойгүй байна.

Уран зохиол:

1 .Аксенова М.Д. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т.11. - Математик, М.: Аванта+, 1999. 575-р тал.

2 .Атанасян Л.С., геометр, 7-9: Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг / 12-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2002. Pp. 5, 146, 177,178.

3. Атанасян Л.С., геометр, 10-11: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг / 15-р хэвлэл, нэмэлт. - М.: Боловсрол, 2006. 5-7-р тал.

4 .Виноградов И.М., математикийн нэвтэрхий толь/М.: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. Хуудас 410, 722.

5 .Евгениева А.П. Орос хэлний толь бичиг. - М.: Боловсрол, 1984.

6 .Кабардин О.Ф. Физик: лавлах материал. - М.: Боловсрол, 1991.

7 .Крамер Г. Статистикийн математикийн аргууд, англи хэлнээс орчуулга, 2-р хэвлэл, М., 1975.

8 .Лапатухин М.С. Сургуулийн орос хэлний тайлбар толь бичиг. - М.: Боловсрол, 1981.

9 .Прохоров А.М. Том нэвтэрхий толь бичиг. - М.: Боловсрол, 1998 он.

10. Прохоров Ю.В. Математик нэвтэрхий толь бичиг. - М.: Боловсрол, 1998 он.

11 .Савин А.П. Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг. - М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1985, 69-р тал.

12 Шарыгин И.Ф. Харааны геометр. - М.: Боловсрол, 1995 он.

Цэг- хэмжигдэхүйц шинж чанаргүй орон зай дахь хийсвэр объект (тэг хэмжээст объект). Цэг бол математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм.

Евклидийн геометрийн цэг

Евклид цэгийг "хэсэггүй объект" гэж тодорхойлсон. Евклидийн геометрийн орчин үеийн аксиоматикт цэг нь зөвхөн түүний шинж чанаруудын жагсаалт - аксиомоор тодорхойлогддог үндсэн ойлголт юм.

Сонгосон координатын системд хоёр хэмжээст Евклидийн орон зайн дурын цэгийг эрэмбэлэгдсэн хос хэлбэрээр дүрсэлж болно ( x; y) бодит тоо. Үүний нэгэн адил, оноо n- Хэмжээст Евклидийн орон зайг (мөн вектор эсвэл аффин орон зай) tuple хэлбэрээр илэрхийлж болно ( а 1 , а 2 , … , а n) -аас nтоо.

Холбоосууд

• Оноо(Англи хэлээр) PlanetMath вэбсайт дээр.
• Вайсштейн, Эрик В. Wolfram MathWorld вэбсайт дээрх цэг (Англи хэл).

цэг нь:

Цэгүүдийн загвар. | Тарилгын цэг. | Хотыг газрын зураг дээр жижиг цэгээр зааж өгсөн бөгөөд зөвхөн тойрон гарах зам байгаа эсэхийг таамаглаж болно.

2. Цэг- энэ бол маш жижиг зүйл, зайнаас эсвэл бусад шалтгааны улмаас харахад хэцүү байдаг.

Тэнгэрийн хаяанд байгаа цэг. | Бөмбөг баруун тэнгэрт тэнгэрийн хаяанд ойртож, цэг болтлоо аажмаар хэмжээ нь буурч эхлэв.

3. Цэг- Өгүүлбэрийн төгсгөлд эсвэл үгийг товчлоход тавьсан цэг таслал.

Нэг цэг тавь. | Өгүүлбэрийн төгсгөлд цэг тавихаа бүү мартаарай

4. Математик, геометр, физикийн чиглэлээр цэг- энэ нь орон зайд байрлалтай, шугамын сегментийн хил хязгаар юм.

Математик цэг.

5. Цэгорон зай, газар эсвэл ямар нэг зүйлийн гадаргуу дээрх тодорхой газрыг нэрлэх.

Байршуулах цэг. | Өвдөлтийн цэг.

6. ЦэгТэд ямар нэг зүйл байрлаж байгаа эсвэл хийгдэж буй газрыг систем эсвэл зарим цэгийн сүлжээний тодорхой зангилаа гэж нэрлэдэг.

Жижиглэн худалдааны цэг бүр өөрийн гэсэн тэмдэгтэй байх ёстой.

7. ЦэгТэд аливаа зүйлийн хөгжлийн хязгаар, хөгжлийн тодорхой түвшин, мөч гэж нэрлэдэг.

Хамгийн өндөр цэг. | Хөгжлийн цэг. | Нөхцөл байдал эгзэгтэй байдалд хүрсэн. | Энэ бол хүний ​​оюун санааны хүч чадлын илрэлийн дээд цэг юм.

8. ЦэгТэд бодисыг нэгтгэх төлөвөөс нөгөөд шилжүүлэх температурын хязгаарыг нэрлэдэг.

Буцлах цэг. | Хөлдөх цэг. | Хайлах цэг. | Өндөр байх тусам ус буцалгах цэг багасна.

9. цэг таслал (;)нийлмэл өгүүлбэрийн нийтлэг, бие даасан хэсгүүдийг салгахад ашигладаг цэг таслал юм.

Англи хэл дээр орос хэлтэй бараг ижил цэг таслалыг ашигладаг: цэг, таслал, цэг таслал, зураас, таслал, хаалт, эллипс, асуулт, анхаарлын тэмдэг, зураас.

10. Тэдний тухай ярих үед үзэл бодол, тодорхой асуудлын талаарх хэн нэгний үзэл бодол, аливаа зүйлийг харах арга.

Өмнө нь бараг бүх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн өөр нэг үзэл бодол одоо бага алдартай болсон. | Бидний үед энэ үзэл бодлыг хэн ч хуваалцдаггүй.

11. Хэрэв тэд байгаа хүмүүсийн тухай ярих юм бол холбоо барих цэгүүд, энэ нь тэд нийтлэг ашиг сонирхолтой гэсэн үг юм.

Магадгүй бид нийтлэг ойлголтыг олж чадна.

12. Хэрэв ямар нэг зүйл хэлсэн бол цэгээс цэг рүү, бид туйлын яг таарч байна гэсэн үг.

Цэгээс цэг хүртэл, заасан газар нь кофены өнгөтэй машин байв.

13. Хэрвээ тэд хүний ​​тухай тэр гэж хэлэх юм бол цэгт хүрсэнЭнэ нь тэрээр зарим сөрөг чанаруудын илрэлийн туйлын хязгаарт хүрсэн гэсэн үг юм.

Бид цэгт хүрлээ! Та дахиж ингэж амьдарч чадахгүй! | Түүний мэргэн удирдлага дор тусгай албад ийм хэмжээнд хүрсэн гэж та түүнд хэлж болохгүй.

14. Хэрэв хэн нэгэн үүнд цэг тавьдагЗарим бизнест тэр үүнийг зогсоодог гэсэн үг юм.

Тэгээд цагаачлалаас эх орондоо, Орост, ЗХУ-д ирж, үүгээрээ бүх эрэл хайгуул, бодолдоо цэг тавьсан.

15. Хэрэв хэн нэгэн "i"-г тэмдэглэнэ(эсвэл гаруй би), энэ нь тэрээр аливаа зүйлийг логик дүгнэлтэд хүргэж, хэлээгүй зүйл үлдээдэг гэсэн үг юм.

Бүх i-г цэгцэлцгээе. Би таны санаачилгын талаар юу ч мэдэхгүй байсан.

16. Хэрэв хэн нэгэн нэг оноонд хүрсэн, энэ нь тэрээр нэг зорилгод хүрэхийн тулд бүх хүчин чармайлтаа төвлөрүүлсэн гэсэн үг юм.

Тийм ч учраас түүний зургууд маш тод харагддаг; Тэр үргэлж нэг цэгийг онцолж, жижиг нарийн ширийн зүйлд хэзээ ч автдаггүй. | Тэрээр өөрийн бизнесийн даалгавар юу болохыг маш сайн ойлгож, нэг цэгийг зориудаар цохидог.

17. Хэрэв хэн нэгэн газар цохих, энэ нь тэр яг хэрэгтэй зүйлээ хэлсэн эсвэл хийсэн гэсэн үг, тэр зөв таасан.

Тэмцээний дараагийн шатанд ирсэн хамгийн анхны захидал редакторуудыг гайхшруулав - жагсаасан сонголтуудын аль нэгэнд манай уншигч тэр даруй толгой дээрээ хадаас цохив!

Acupressure.

Дмитриевийн орос хэлний тайлбар толь бичиг. Д.В.Дмитриев. 2003 он.

Цэг

ЦэгҮүнд:

• Цэг нь координатаас өөр хэмжигдэхүйц шинж чанаргүй огторгуй дахь хийсвэр биет юм.
• Цэг нь үсгийн дээр, доор эсвэл дунд байрлуулж болох диакритик тэмдэг юм.
• Цэг нь Орос, Англи хэл дээрх хэмжүүрийн систем дэх зайны хэмжилтийн нэгж юм.
• Цэг нь аравтын бутархай таслагчийн дүрслэлийн нэг юм.
• Цэг (сүлжээний технологи) - дэлхийн сүлжээний домэйн шатлал дахь үндсэн домэйны тэмдэглэгээ.
• Точка - цахилгаан бараа, зугаа цэнгэлийн дэлгүүрүүдийн сүлжээ
• Точка - "Ленинград" хамтлагийн цомог
• "Цэг" нь Григорий Ряжскийн ижил нэртэй түүхээс сэдэвлэсэн 2006 оны Оросын кино юм
• Точка бол рэп уран бүтээлч Стэнгийн хоёр дахь студийн цомог юм.
• Точка - дивизийн пуужингийн цогцолбор.
• Точка - Красноярскийн залуучуудын дэд соёлын сэтгүүл.
• Точка бол Москва дахь клуб, концертын газар юм.
• Цэг нь Морзын тэмдгийн нэг юм.
• Гол нь байлдааны үүргийн газар юм.
• Цэг (боловсруулалт) - боловсруулах, эргүүлэх, хурцлах үйл явц.
• POINT - NTV телевизийн мэдээлэл, аналитик нэвтрүүлэг.
• Точка бол 2012 онд байгуулагдсан Норильскийн рок хамтлаг юм.

Топоним

Казахстан

• Цэг- 1992 он хүртэл Зүүн Казахстан мужийн Улан дүүргийн Баяш Утепов тосгоны нэр.

Орос

• Точка бол Вологда мужийн Шекснинский дүүргийн тосгон юм.
• Точка бол Новгород мужийн Волотовский дүүргийн тосгон юм.
• Точка бол Пенза мужийн Лопатинский дүүргийн тосгон юм.

Та цэг, шугам гэх мэт ойлголтуудыг тодорхойлж чадах уу?

Манай сургууль, их дээд сургуулиудад эдгээр тодорхойлолтууд байхгүй байсан ч миний бодлоор эдгээр нь гол зүйл юм (бусад оронд яаж байдгийг би мэдэхгүй). Бид эдгээр ойлголтыг "амжилттай ба амжилтгүй" гэж тодорхойлж, энэ нь сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд ашигтай эсэхийг авч үзэх боломжтой.

Бөх хүн

Энэ нь хачирхалтай, гэхдээ тэд бидэнд цэгийн тодорхойлолтыг өгсөн. Энэ бол огторгуйд байрлах хийсвэр объект (конвенц) бөгөөд хэмжээсгүй байдаг. Энэ бол сургуульд байхдаа бидний толгойд цохисон хамгийн эхний зүйл юм - цэг нь хэмжээсгүй, энэ нь "тэг хэмжээст" объект юм. Геометрийн бүх зүйл шиг болзолт ойлголт.

Шулуун шугамтай бол бүр ч хэцүү. Юуны өмнө энэ бол шугам юм. Хоёрдугаарт, энэ нь орон зайд тодорхой байдлаар байрласан цэгүүдийн багц юм. Хамгийн энгийн тодорхойлолтоор бол энэ нь дамжин өнгөрөх хоёр цэгээр тодорхойлогдсон шугам юм.

Медивх

Цэг бол ямар нэгэн хийсвэр объект юм. Цэг нь координаттай боловч масс эсвэл хэмжээсгүй байдаг. Геометрийн хувьд бүх зүйл яг цэгээс эхэлдэг; энэ нь бусад бүх тоонуудын эхлэл юм. Шулуун шугам нь хоёр цэгийн хоорондох зай юм.

Леонид Кутный

Юуг ч ямар ч байдлаар тодорхойлж болно. Гэхдээ нэг асуулт байна: энэ тодорхойлолт нь тодорхой шинжлэх ухаанд "ажиллах" уу? Бидэнд байгаа зүйл дээр үндэслэн цэг, шулуун, хавтгай гэсэн тодорхойлолтыг өгөх нь утгагүй юм. Артурын хэлсэн үг надад маш их таалагдсан, цэг нь урт, өргөн, өндөр, масс, жингүй гэх мэт олон шинж чанартай байдаг гэдгийг нэмж хэлмээр байна. Гэхдээ цэгийн гол шинж чанар нь түүний байршлыг тодорхой зааж өгдөг. объект, хавтгай дээрх объект, орон зайд. Тийм ч учраас бидэнд оноо хэрэгтэй байна, гэхдээ ухаалаг уншигч тэгвэл ном, сандал, цаг болон бусад зүйлийг цэг болгон авч болно гэж хэлэх болно. Туйлын зөв! Тиймээс цэгийн тодорхойлолтыг өгөх нь утгагүй юм. Хүндэтгэсэн, Л.А.Кутный

Шулуун шугам бол геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм.

Цэг нь олон хэлээр бичихэд цэг таслал болдог.

Мөн цэг нь Морзын тэмдгийн нэг юм

Маш олон тодорхойлолт: Д

Цэг, шулуун, хавтгай гэсэн тодорхойлолтыг би 20-р зууны 80-аад оны сүүл, 90-ээд оны эхээр өгсөн. Би холбоосыг өгнө:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328 хуудас бүхий уг ботид эдгээр ухагдахууны танин мэдэхүйн мөн чанарыг цоо шинэ талаас нь дүрсэлсэн бөгөөд үүнийг бодит биет ертөнцийг үзэх үзэл, "би байна" гэсэн мэдрэмж дээр үндэслэн тайлбарласан байдаг. Миний харьяалагддаг ертөнц өөрөө оршдог.

Энэхүү бүтээлд бичигдсэн бүх зүйл нь байгаль, түүний шинж чанаруудын талаарх хүн төрөлхтний мэдлэгээр нотлогдоно. Технологийн ололт амжилтын практикт хийсвэр дүрсээ ашиглахын тулд математикийг ойлгох, үзэл баримтлалыг гаргахад маш хэцүү болсон. Суурь зарчмууд болох Үндсүүдийг илчлэх замаар бага ангийн сурагчдад хүртэл Орчлон ертөнц оршин тогтнох болсон шалтгааныг тайлбарлах боломжтой. Уншиж, үнэнд ойртоорой. Зүрх сэтгэлтэй бай, бидний оршин буй ертөнц таны өмнө шинэ гэрэлд нээгдэж байна.

Математик, геометрт "цэг" гэсэн ойлголтын тодорхойлолт байдаг уу?

Михаил Левин

"Тодорхойлох боломжгүй ойлголт" гэдэг нь тодорхойлолт мөн үү?

Чухамдаа ойлголтын тодорхой бус байдал нь математикийг өөр өөр объектод ашиглах боломжийг олгодог.

Математикч бүр "Би Евклидийн хавтгайг, хавтгайгаар - Евклидийн цэгийг ойлгох болно" гэж хэлж болно - бүх аксиомуудыг шалгаж, шинэ геометр эсвэл шинэ теоремуудыг олж авна.

Үнэн хэрэгтээ А нэр томъёог тодорхойлохын тулд та B гэсэн нэр томъёог ашиглах хэрэгтэй. В-ийг тодорхойлохын тулд танд C гэсэн нэр томъёо хэрэгтэй. Мөн энэ хязгааргүй байдлаас өөрсдийгөө аврахын тулд бид зарим нэр томъёог ямар ч тодорхойлолтгүйгээр хүлээн авч, түүн дээр бусдын тодорхойлолтыг бий болгох ёстой. ©

Григорий Пивен

Математикийн хувьд Пивен Грегори Цэг гэдэг нь огторгуйн бусад хэсгүүдийг хэмжихэд ашигладаг 1-тэй тэнцүү урттай хамгийн бага сегмент болгон хийсвэрээр (толин тусгал) авсан орон зайн хэсэг юм. Тиймээс хүн хэмжилтийн үйл явцад тав тухтай байлгах үүднээс цэгийн масштабыг сонгодог: 1мм, 1см, 1м, 1км, 1а. д., 1 St. жил. гэх мэт.

Мөн үзнэ үү: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Хоёр мянга хагас жилийн турш математик нь хэмжээсгүй цэгийн хийсвэрлэлийг ашигласан бөгөөд энэ нь зөвхөн нийтлэг ойлголт төдийгүй физик, хими, квант механик, компьютерийн шинжлэх ухаан зэрэг шинжлэх ухааны олж авсан бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн талаарх мэдлэгтэй зөрчилддөг.

Бусад хийсвэрлэлээс ялгаатай нь хэмжээсгүй математик цэгийг хийсвэрлэх нь бодит байдлыг идеал болгож, түүний мэдлэгийг хялбаршуулдаггүй, харин зориудаар гажуудуулж, яг эсрэг утгатай болгодог бөгөөд энэ нь ялангуяа өндөр хэмжээст орон зайг ойлгох, судлахад үндсээрээ боломжгүй болгодог!

Математик дахь хэмжээсгүй цэгийн хийсвэрлэлийг эдийн засгийн тооцоонд тэг утгатай үндсэн мөнгөн нэгжийг ашиглахтай харьцуулж болно. Аз болоход эдийн засаг энэ талаар огт бодоогүй.

Хэмжээгүй цэгийн хийсвэрлэлийн утгагүй байдлыг баталцгаая.

Теорем. Математик цэг нь эзэлхүүн юм.

Баталгаа.

Яг л математикт байдаг шиг

цэгийн хэмжээ = 0,

Хязгаарлагдмал (тэг биш) урттай сегментийн хувьд бидэнд байна

Сегментийн хэмжээ = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Хэсэгт үүссэн цэгүүдийн дараалал болох тэг хэмжээ нь сегментийн урт нь төгсгөлтэй байх нөхцөлтэй зөрчилддөг. Нэмж дурдахад тэг цэгийн хэмжээ нь утгагүй бөгөөд тэгийн нийлбэр нь гишүүний тооноос хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл сегмент дэх "тэг" цэгийн тоо нь сегментийн хэмжээнд нөлөөлдөггүй.

Тиймээс математикийн цэгийн тэг хэмжээтэй холбоотой анхны таамаглал БУРУУ байна.

Тиймээс математикийн цэг нь тэгээс өөр (хязгаарлагдмал) хэмжээтэй байдаг гэж маргаж болно. Цэг нь зөвхөн сегментэд төдийгүй сегментийн байрлаж буй орон зайд хамаарах тул орон зайн хэмжээстэй, өөрөөр хэлбэл математикийн цэг нь эзэлхүүнтэй байдаг. Q.E.D.

Үр дагавар.

Цэцэрлэгийн бага бүлгийн математикийн аппарат ашиглан гүйцэтгэсэн дээрх нотолгоо нь мянга мянган жилийг туулж, үр хойчдоо хадгалан үлдээж чадсан "бүх шинжлэх ухааны хатан хаан"-ын санваартнууд, мэргэдүүдийн хязгааргүй мэргэн ухаанаар бахархаж байна. анхны хэлбэр нь хүн төрөлхтний эртний төөрөгдөл юм.

Шүүмж

Эрхэм хүндэт Александр! Би математикт тийм ч сайн биш, гэхдээ ТА хаана, хэнээр цэг тэгтэй тэнцүү гэж хэлснийг хэлж чадах уу? Өөр нэг зүйл бол энэ нь хязгааргүй бага утгатай, бүр конвенцын цэг хүртэл, гэхдээ огт тэг биш юм. Иймээс ямар ч сегментийг тэг гэж үзэж болно, учир нь хязгааргүй тооны анхны сегментийг агуулсан өөр сегмент байдаг. Математик, физик хоёрыг хооронд нь хольж хутгаад байх шаардлагагүй болов уу. Математик бол оршихуйн шинжлэх ухаан, физик бол оршихуйн шинжлэх ухаан юм. Хүндэтгэсэн.

Би Ахиллесыг хоёр удаа дэлгэрэнгүй, олон удаа дурьдсан:
"Ахиллес яагаад яст мэлхийг гүйцэхгүй байна вэ?"
"Ахиллес ба яст мэлхий - шоо хэлбэрийн парадокс"

Магадгүй Зеногийн парадоксыг шийдэх нэг шийдэл бол орон зайн салангид, цаг хугацаа тасралтгүй байх явдал юм. Тэр чиний адил хоёулаа салангид зүйл гэдэгт итгэдэг байсан. Бие орон зайн аль нэг цэгт хэсэг хугацаанд байж болно. Гэхдээ тэр нэгэн зэрэг өөр өөр газар байж болохгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ бүхэн бидний яриа хэлэлцээний нэгэн адил сонирхогч юм. Хүндэтгэсэн.
Дашрамд хэлэхэд хэрэв цэг гурван хэмжээст бол түүний хэмжээ хэд вэ?

Цаг хугацааны салангид байдал нь жишээлбэл, "Сум" апориагаас үүдэлтэй. Эфирийн бүтцийг ч, 4 хэмжээст орон зайн бүтцийг ч ойлгодоггүй, хүлээн зөвшөөрдөггүй физикчдийн хувьд зөвхөн электрон л "өөр өөр газар нэгэн зэрэг байж" чаддаг. Энэ үзэгдлийн өөр жишээг би мэдэхгүй. Бидний ярианд би "сонирхогч"-ыг олж харахгүй байна. Эсрэгээр, бүх зүйл маш энгийн: цэг нь хэмжээсгүй эсвэл хэмжээтэй байдаг; Тасралтгүй байдал ба хязгааргүй байдал байдаг эсвэл байдаггүй. Гурав дахь сонголт байхгүй - ҮНЭН эсвэл ХУДАЛ! Харамсалтай нь математикийн үндсэн зарчмууд нь 2500 жилийн өмнө мунхаглалаас үүдэлтэй хуурамч сургаал дээр суурилдаг.

Цэгийн хэмжээ нь шийдэж буй асуудлын нөхцөл, шаардлагатай нарийвчлалаас хамаарна. Жишээлбэл, хэрэв та бугуйн цагны араа зохион бүтээж байгаа бол нарийвчлалыг атомын хэмжээ, өөрөөр хэлбэл найман бутархайгаар хязгаарлаж болно. Энд байгаа атом өөрөө математикийн цэгийн физик аналог байх болно. Магадгүй хаа нэгтээ 16 хүртэлх тооны нарийвчлал шаардагдана; тэгвэл эфирийн бөөмс цэгийн үүргийг гүйцэтгэнэ. Практикт "хязгааргүй" нарийвчлалын тухай яриа нь зэрлэг дэмий хоосон зүйл, эсвэл зөөлрүүлж хэлэхэд утгагүй зүйл болж хувирдаг гэдгийг анхаарна уу.

Би одоо болтол ойлгохгүй байна: санаа байгаа юу? Хэрэв энэ нь объектив байдлаар оршдог бол энэ нь бидний оюун санааны хийсвэр хэлбэрээр субьектив байдлаар оршдог бол энэ нь математикийн үнэ цэнэтэй байдаг. Тэг нь юу ч байхгүй, байхгүй, энэ бол математикт оршихгүй байх, физикт хоосон чанар гэсэн хийсвэр тодорхойлолт юм. Харилцааны гадна цэг нь дангаараа байдаггүй. Хоёрдахь цэг гарч ирмэгц сегмент гарч ирнэ - Ямар нэг зүйл гэх мэт. Энэ сэдвийг эцэс төгсгөлгүй хөгжүүлэх боломжтой. uv-тай.

Би тодорхой жишээ хэлсэн юм шиг санагдлаа, гэхдээ хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбарлаагүй байх. Объектив талаас нь авч үзвэл шинжлэх ухаанд танин мэдэх ертөнц байдаг бөгөөд одоогийн байдлаар математикийн аргыг голчлон танин мэддэг. Математик нь математик загвар бүтээх замаар ертөнцийг ойлгодог. Эдгээр загварыг бий болгохын тулд үндсэн математик хийсвэрлэлийг ашигладаг, тухайлбал: цэг, шугам, тасралтгүй байдал, хязгааргүй байдал. Эдгээр хийсвэрлэлүүд нь үндсэн зүйл бөгөөд учир нь тэдгээрийг цаашид хэсэгчилж, хялбарчлах боломжгүй болсон. Үндсэн хийсвэрлэл бүр нь объектив бодит байдалд тохирсон (үнэн) эсвэл үгүй ​​(худал) байж болно. Дээрх бүх хийсвэрүүд нь бодит ертөнцийн талаарх хамгийн сүүлийн үеийн мэдлэгтэй зөрчилддөг тул угаасаа худал юм. Энэ нь эдгээр хийсвэрлэл нь бодит ертөнцийг зөв ойлгоход саад болдог гэсэн үг юм. Шинжлэх ухаан гурван хэмжээст ертөнцийг судалж байхад үүнийг ямар нэгэн байдлаар тэвчиж болно. Гэсэн хэдий ч хэмжээсгүй цэг ба тасралтгүй байдлын хийсвэрлэл нь дээд хэмжээсийн бүх ертөнцийг зарчмын хувьд үл мэдэгдэх болгодог!

Орчлон ертөнцийн тоосго - цэг - хоосон байж болохгүй. Хоосон байдлаас юу ч гардаггүй гэдгийг бүгд мэддэг. Физикчид эфир байхгүй гэж зарлаж, дэлхийг хоосон зүйлээр дүүргэв. Математик нь хоосон цэгээрээ тэднийг ийм тэнэглэл рүү түлхсэн гэдэгт би итгэдэг. Би 4D-ээс илүү өндөр хэмжээст ертөнцийн атом цэгүүдийн тухай ч яриагүй байна. Тиймээс хэмжээс бүрийн хувьд хуваагдашгүй (нөхцөлт) математикийн цэгийн үүргийг энэ ертөнцийн (орон зай, матери) (болзолт) хуваагдашгүй атом гүйцэтгэдэг. 3D хувьд - физик атом, 4D хувьд - эфирийн бөөмс, 5D хувьд - астрал атом, 6D хувьд - оюун санааны атом гэх мэт. Хүндэтгэсэн,

Тэгэхээр орчлонгийн тоосго ямар нэгэн үнэмлэхүй үнэ цэнэ гэж үү? Энэ нь таны бодлоор эфирийн эсвэл сэтгэцийн ертөнцөд ямар харагддаг вэ? Би ертөнцийн талаар асуухаас ч айдаг. Сонирхолтойгоор...

Эфирийн бөөмс (эдгээр нь атом биш!) электрон-позитрон хос бөгөөд тэдгээрт бөөмс нь гэрлийн хурдаар бие биетэйгээ харьцангуй эргэлддэг. Энэ нь бүх нуклонуудын бүтэц, цахилгаан соронзон хэлбэлзлийн тархалт, физик вакуум гэж нэрлэгддэг бүх нөлөөг бүрэн тайлбарладаг. Бодлын атомын бүтэц хэнд ч мэдэгдэхгүй. БҮХ дээд ертөнц материаллаг, өөрөөр хэлбэл өөрийн гэсэн атомтай гэдгийг нотлох баримт бий. Үнэмлэхүй байдлын асуудал хүртэл. Гэхдээ та дэмий л шоолж байна. Хорхойн нүх, том дэлбэрэлт танд илүү үнэмшилтэй санагдаж байна уу?

Энд ямар инээдтэй юм бэ, ийм их хэмжээний мэдээллийн дараа би бага зэрэг гайхсан. Би чамаас ялгаатай нь мэргэжлийн хүн биш бөгөөд орон зайн тав, зургаан хэмжээст байдлын талаар юу ч хэлэхэд хэцүү байдаг. Би бидний удаан тэвчиж буй асуудлыг ярьж байна... Миний ойлгож байгаагаар та материаллаг залгамж чанарыг эсэргүүцэж байгаа бөгөөд танд үнэхээр "Ардчилсан" атом бий. "Орчлон ертөнцийн тоосго." Магадгүй би хайхрамжгүй байсан ч түүний бүтэц, физик параметр, хэмжээс гэх мэтийг давтах нь хэцүү байх болно.
Мөн түүнчлэн хариулаарай, нэгж нь ямар ч харилцаанаас гадуур өөрөө байдаг уу? Баярлалаа.

Хэмжилт ба хэмжээсийн нэгж гэж юу болохыг ойлгосны дараа бид бодит хэмжилт рүү шилжиж болно. Сургуулийн математикийн хувьд хоёр хэмжих хэрэгслийг ашигладаг - (1) зайг хэмжих захирагч, (2) өнцгийг хэмжих протектор.

Цэг

Аливаа хоёр цэгийн хоорондох зайг үргэлж хэмждэг. Практик хэллэгээр цэг нь харандаа эсвэл үзэггээр хатгахад цаасан дээр үлддэг жижиг толбо юм. Цэгийг тодорхойлох өөр нэг илүү тохиромжтой арга бол хоёр нимгэн шугамаар загалмай зурах явдал юм. цэгтэдгээрийн уулзварууд. Номон дээрх зурган дээр цэгийг ихэвчлэн жижиг хар тойрог хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Гэхдээ эдгээр нь бүгд ойролцоо дүрслэл бөгөөд хатуу математикийн утгаараа, цэг - энэ нь бүх чиглэлд хэмжээ нь тэгтэй тэнцүү төсөөллийн объект юм. Математикчдын хувьд дэлхий бүхэлдээ онооноос бүрддэг. Цэгүүд хаа сайгүй байдаг. Бид цаасан дээр үзэг хатгах эсвэл загалмай зурахдаа шинэ цэг үүсгэдэггүй, харин хэн нэгний анхаарлыг татахын тулд зөвхөн байгаа цэг дээр тэмдэг тавьдаг. Өөрөөр заагаагүй бол цэгүүд хөдөлгөөнгүй, харьцангуй байрлалаа өөрчилдөггүй гэж үзнэ. Гэхдээ нэг тогтсон цэгтэй, дараа нь нөгөө цэгтэй нийлж байгаа мэт байрнаас нөгөө газар хөдөлж буй хөдөлгөөнт цэгийг төсөөлөхөд хэцүү биш юм.

Чигээрээ

Хоёр цэг дээр захирагч байрлуулснаар бид тэдгээрийн дундуур шулуун шугам зурж болно цорын ганц арга зам. Төсөөллийн математик Чигээрээ, төсөөллийн идеал захирагчийн дагуу зурсан, зузаан нь тэг бөгөөд хоёр чиглэлд хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг. Бодит зураг дээр энэхүү төсөөллийн бүтэц нь дараах хэлбэртэй байна.

Үнэндээ энэ зурган дээрх бүх зүйл буруу байна. Энд байгаа шугамын зузаан нь тэгээс их байх нь тодорхой бөгөөд шугам нь хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг гэж хэлэх арга алга. Гэсэн хэдий ч ийм жигд бус зургууд нь төсөөллийг дэмжихэд маш их хэрэгтэй бөгөөд бид тэдгээрийг байнга ашиглах болно. Нэг цэгийг нөгөөгөөс нь ялгахад илүү тохиромжтой болгохын тулд тэдгээрийг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, энэ зураг дээр цэгүүдийг үсгээр зааж өгсөн болно АТэгээд Б. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам АТэгээд Б, автоматаар "шулуун АБ" Товчхондоо тэмдэглэгээ ( АБ), "шулуун" гэсэн үгийг орхигдуулж, хаалт нэмнэ. Шулуун шугамыг жижиг үсгээр тэмдэглэж болно. Дээрх зураг дээр шулуун шугам АБзахидалд заасан n.

Цэгээс цааш АТэгээд Бшулуун шугам дээр nмаш олон тооны бусад цэгүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг өөр шугамтай огтлолцол хэлбэрээр илэрхийлж болно. Нэг цэгээр олон янзын шулуун шугам зурж болно.

Хэрэв бид шугам дээр давхцахгүй цэгүүд байгааг мэдвэл А, Б, CТэгээд Д, тэгвэл үүнийг зөвхөн (( AB), гэхдээ яаж ( А.С.), (Б.Д), (CD) гэх мэт.

Шугамын сегмент. Сегментийн урт. Цэгүүдийн хоорондох зай

Шугамын хоёр цэгээр хүрээлэгдсэн хэсгийг гэнэ сегмент. Эдгээр хязгаарлах цэгүүд нь мөн сегментэд хамаарах бөгөөд үүнийг түүний гэж нэрлэдэг дуусна. Төгсгөл нь цэгүүд дээр унадаг сегмент АТэгээд Б, "сегмент" гэж тэмдэглэсэн АБ"эсвэл арай богино, [ АБ].

Сегмент бүр нь тодорхойлогддог урт- нэг захаас нөгөөд хүрэхийн тулд сегментийн дагуу хийх ёстой "алхмуудын" тоо (боломжтой бутархай). Энэ тохиолдолд "алхам" -ын урт нь өөрөө хэмжилтийн нэгж болгон авдаг хатуу тогтоосон утга юм. Цаасан дээр зурсан сегментүүдийн уртыг хэмжих нь хамгийн тохиромжтой сантиметр. Хэрэв сегментийн төгсгөлүүд цэгүүд дээр унасан бол АТэгээд Б, дараа нь түүний уртыг | гэж тэмдэглэнэ АБ|.

Доод зайхоёр цэгийн хоорондох хэсэг нь тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Үнэн хэрэгтээ зайг хэмжихийн тулд сегмент зурах шаардлагагүй - хоёр цэг дээр захирагч хавсаргахад хангалттай ("алхам" -ын ул мөрийг урьдчилан тэмдэглэсэн). Математикийн хувьд цэг бол зохиомол объект учраас бидний төсөөлөлд зайг үнэмлэхүй нарийвчлалтайгаар хэмждэг хамгийн тохиромжтой захирагчийг ашиглахад юу ч саад болохгүй. Гэсэн хэдий ч цаасан дээрх загалмайн цэгүүд эсвэл төвд байрлуулсан жинхэнэ захирагч нь зөвхөн ойролцоогоор нэг миллиметрийн нарийвчлалтайгаар зайг тогтоох боломжийг олгодог гэдгийг мартаж болохгүй. Зай нь үргэлж сөрөг биш байдаг.

Шулуун дээрх цэгийн байрлал

Бидэнд шулуун шугам өгье. Үүн дээр дурын цэгийг тэмдэглээд үсгээр тэмдэглэе О. Шулуун шугамын дагуух хоёр боломжит чиглэлийн аль нэгийг нь "эерэг", эсрэг талынх нь "сөрөг" гэж нэрлэе. Ихэвчлэн эерэг чиглэлийг зүүнээс баруун тийш эсвэл доороос дээш чиглүүлдэг боловч энэ нь шаардлагагүй юм. Зурагт үзүүлсэн шиг эерэг чиглэлийг сумаар тэмдэглэе.

Одоо шулуун дээр байрлах дурын цэгийн хувьд бид үүнийг тодорхойлж чадна байрлал. Цэгийн байрлал Асөрөг, тэг эсвэл эерэг байж болох утгаар өгөгдөнө. Түүний үнэмлэхүй утга нь цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна ОТэгээд А(өөрөөр хэлбэл сегментийн урт ОА), тэмдэг нь цэгээс чиглэсэн чиглэлээр тодорхойлогдоно ОТа зорилгодоо хүрэхийн тулд хөдлөх хэрэгтэй А. Хэрэв та эерэг чиглэлд шилжих шаардлагатай бол тэмдэг нь эерэг байна. Хэрэв энэ нь сөрөг байвал тэмдэг нь сөрөг байна. "Албан тушаал" гэсэн үгийн оронд "ихэвчлэн хэрэглэгддэг" гэсэн үг зохицуулах».

Иррационал ба бодит тоо

Бид бодит зурагтай харьцаж, сургуулийн захирагчийг ашиглан бодит нээлхий дээрх бодит цэгийн байрлалыг тодорхойлоход бид хамгийн ойрын миллиметр хүртэл дугуйрсан утгыг авдаг. Өөрөөр хэлбэл, үр дүн нь дараах цувралаас авсан утга юм.

0 мм, 1 мм, −1 мм, 2 мм, −2 мм, 3 мм, −3 ммгэх мэт.

Үр дүн нь жишээлбэл, 1/3-тай тэнцүү байж болохгүй см, учир нь бидний мэдэж байгаагаар сантиметрийн гуравны нэгийг хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

0,333333333... см,

Энэ нь дугуйрсны дараа 0.3-тай тэнцүү байх ёстой см.

Бид төсөөлөлдөө хамгийн тохиромжтой математикийн объектуудыг удирдах нь өөр хэрэг юм.

Нэгдүгээрт, энэ тохиолдолд та хэмжих нэгжийг хялбархан хаяж, зөвхөн хэмжээсгүй хэмжигдэхүүнээр ажиллах боломжтой. Дараа нь бид рационал тоогоор дамжин танилцаж, бидний нэрлэсэн геометрийн бүтэц рүү орлоо. тооны шугам:

Геометрийн "шулуун" гэдэг үг аль хэдийн "ачаалагдсан" тул үүнийг ижил бүтэц гэж нэрлэдэг тооны тэнхлэгэсвэл зүгээр л тэнхлэг.

Хоёрдугаарт, цэгийн координатыг үечилсэн аравтын бутархайгаар өгдөг гэж бид сайн төсөөлж чадна.

Түүнээс гадна бид хязгааргүйг төсөөлж чадна үе үе бусбутархай - жишээ нь,

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Хязгааргүй үе бус аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдэх ийм төсөөллийн тоог дууддаг үндэслэлгүй. Иррационал тоо нь бидэнд аль хэдийн танил болсон рационал тоонуудын хамт гэж нэрлэгддэг тоог үүсгэдэг. хүчинтэйтоо. "Бодит" гэсэн үгийн оронд бид " жинхэнэ" Шулуун дээрх цэгийн төсөөлж болох аливаа байрлалыг бодит тоогоор илэрхийлж болно. Мөн эсрэгээр, хэрэв бидэнд бодит тоо өгөгдсөн бол x, бид үргэлж нэг цэгийг төсөөлж чадна X, байрлал нь тоогоор тодорхойлогддог x.

Хэвийн хандлага

Болъё а- цэгийн координат А, А б- цэгийн координат Б. Дараа нь үнэ цэнэ

v = б − а

байна нүүлгэн шилжүүлэлт, энэ нь цэгийг орчуулдаг Аяг Б. Өмнөх тэгш байдлыг хэлбэрт дахин бичсэн тохиолдолд энэ нь ялангуяа тодорхой болно

б = а + v.

Заримдаа "нүүлгэн шилжүүлэлт" гэсэн үгийн оронд "" гэсэн үгийг ашигладаг. вектор" Нөхцөл байдлыг харахад амархан xдурын цэг X- энэ нь цэгийг орчуулсан офсетээс өөр зүйл биш юм О(тэгтэй тэнцүү координаттай) цэг рүү X:

x= 0 + x.

Офсетийг бие биендээ нэмж, мөн бие биенээсээ хасах боломжтой. Тэгэхээр, хэрэв офсет ( б − а) цэгийг орчуулдаг Аяг Б, ба офсет ( в − б) цэг Бяг C, дараа нь офсет

(б − а) + (в − б) = в − а

цэгийг орчуулдаг Аяг C.

Анхаарна уу.Логикийн хувьд нүүлгэн шилжүүлэлт нь иррациональ болж магадгүй тул иррационал тоог хэрхэн нэмэх, хасах талаар тодруулах шаардлагатай болно. Мэдээжийн хэрэг математикчид зохих албан ёсны процедурыг боловсруулахад анхаардаг байсан ч практикт бид үүнийг хийхгүй, учир нь дугуйрсан утгууд бүхий ойролцоо тооцоолол нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд үргэлж хангалттай байдаг. Одоогоор бид "нэмэх" ба "хасах" гэсэн ойлголтууд, түүнчлэн "үржүүлэх" ба "хуваах" гэсэн ойлголтуудыг дурын хоёр бодит тооны хувьд зөв тодорхойлсон гэдэгт итгэх болно (гэхдээ та тэгээр хувааж болохгүй).

Энд магадгүй "шилжилт" ба "зай" гэсэн ойлголтуудын нарийн ялгааг тэмдэглэх нь зүйтэй болов уу. Зай нь үргэлж сөрөг биш байдаг. Энэ нь үнэндээ үнэмлэхүй утгаар авсан шилжилтийг илэрхийлдэг. Тэгэхээр, хэрэв офсет

v = б − а

цэгийг орчуулдаг Аяг Б, дараа нь зай сцэгүүдийн хооронд АТэгээд Бтэнцүү байна

с = |v| = |б − a|.

Энэ тэгш байдал нь хоёр тооны аль нь их байхаас үл хамааран хүчинтэй хэвээр байна - аэсвэл б.

Онгоц

Практик утгаараа онгоц бол геометрийн загвараа зурдаг цаас юм. Төсөөлөл математикийн хавтгайЭнэ нь 0 зузаантай, янз бүрийн чиглэлд хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг хязгааргүй гадаргуутай гэдгээрээ цаасан хуудаснаас ялгаатай. Үүнээс гадна, цаасан хуудаснаас ялгаатай нь математикийн хавтгай нь туйлын хатуу байдаг: тэр хэзээ ч нугалж, үрчлээгүй - тэр ч байтугай ширээн дээрээс урагдаж, орон зайд ямар нэгэн байдлаар байрлуулсан ч гэсэн.

Онгоцны орон зай дахь байрлалыг гурван цэгээр (ямар нэг шулуун дээр ороогүй тохиолдолд) өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Үүнийг илүү тодорхой төсөөлөхийн тулд гурван дурын цэгийг зурцгаая. О, АТэгээд Б, мөн тэдгээрийн дундуур хоёр шулуун зур О.А.Тэгээд О.Б., зураг дээр үзүүлсэн шиг:

Төсөөлөлдөө байгаа онгоцыг огтлолцсон хоёр шулуун дээр "сунгах" нь гурван цэг дээр "туслахаас" арай хялбар юм. Гэхдээ илүү тодорхой болгохын тулд зарим нэмэлт бүтээн байгуулалтуудыг хийцгээе. Санамсаргүй байдлаар хэд хэдэн оноо авч үзье: нэг шугамын аль ч хэсэгт О.А., нөгөө нь - шулуун шугамын аль ч хэсэгт О.Б.. Энэ хос цэгээр шинэ шугам татъя. Дараа нь ижил аргаар өөр хос цэгийг сонгоод, тэдгээрийн дундуур өөр шулуун шугам зур. Энэ процедурыг олон удаа давтаж, бид вэб шиг зүйлийг олж авна:

Ийм бүтэц дээр онгоц тавих нь аль хэдийн маш энгийн зүйл юм - ялангуяа энэ төсөөллийн сүлжээг маш зузаан болгож, бүхэл бүтэн онгоцыг цоорхойгүйгээр хамрах болно.

Хэрэв бид хавтгайд ялгаатай хос цэгүүдийг авч, тэдгээрийн дундуур шулуун шугам татах юм бол энэ шулуун шугам нь заавал нэг хавтгайд байх болно гэдгийг анхаарна уу.

Хийсвэр

Цэг (А, Б, гэх мэт): бүх чиглэлд хэмжээ нь тэгтэй тэнцүү төсөөллийн объект.

Чигээрээ (n, мэсвэл ( AB)): хязгааргүй нимгэн шугам; хоёр цэгээр дамжуулан зурсан ( АТэгээд Б) шугамын дагуу хоёрдмол утгагүй байдлаар; хоёр чиглэлд хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.

Шугамын сегмент ([AB]): хоёр цэгээр хүрээлэгдсэн шугамын хэсэг ( АТэгээд Б) - сегментийн төгсгөлүүд, мөн сегментэд хамаарах гэж үздэг.

Хэсгийн урт(|AB|): төгсгөлүүдийн хооронд тохирох (бутархай) хэдэн сантиметр (эсвэл бусад хэмжих нэгж) АТэгээд Б).

Хоёр цэгийн хоорондох зай: эдгээр цэгүүдэд төгсгөлтэй сегментийн урт.

Шулуун дээрх цэгийн байрлал (зохицуулах): тухайн цэгээс төвийн аль талд байрлаж байгаагаас хамааран нэмэх эсвэл хасах тэмдэг бүхий цэгээс урьдчилан сонгосон төв хүртэлх зай (мөн шулуун дээр хэвтэж байна).

Шугаман дээрх цэгийн байрлалыг зааж өгсөн болно хүчинтэй(жинхэнэ)тоо, тухайлбал, (1) төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн (1) байж болох аравтын бутархай ( рационал тоо), эсвэл (2) хязгааргүй үегүй ( иррационал тоо).

Хэвийн хандлага, энэ нь цэгийг орчуулдаг А(координаттай а) яг Б(координаттай б): v = б − а.

Зай нь үнэмлэхүй утгаар авсан шилжилттэй тэнцүү байна: | AB| = |б − а|.

Онгоц: хязгааргүй нимгэн цаас, янз бүрийн талаас хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг; нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Эгзэгтэй цэгийн тухай ойлголтыг ялгах боломжтой зураглал, дурын олон талт дүрслэлүүдийн хувьд ерөнхийд нь авч үзэж болно. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэгийн тодорхойлолт нь зураглалын Жакобын матрицын зэрэглэл юм. f (\displaystyle f)-тэй тэнцүү байж болох дээд хэмжээнээс бага утгатай байна.

Функц, газрын зургийн чухал цэгүүд нь дифференциал тэгшитгэл, вариацын тооцоо, тогтвортой байдлын онол зэрэг математикийн салбарт, түүнчлэн механик, физикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Гөлгөр зураглалын чухал цэгүүдийг судлах нь сүйрлийн онолын гол асуултуудын нэг юм. Эгзэгтэй цэгийн тухай ойлголтыг мөн хязгааргүй хэмжээст функцийн орон зайд тодорхойлсон функцүүдийн хувьд ерөнхийд нь авч үздэг. Ийм функцүүдийн чухал цэгүүдийг олох нь өөрчлөлтийн тооцооллын чухал хэсэг юм. Функционалуудын чухал цэгүүдийг (энэ нь эргээд функцууд) гэж нэрлэдэг аюултай спорт.

Албан ёсны тодорхойлолт

Шүүмжтэй(эсвэл Онцгойэсвэл суурин) тасралтгүй ялгах зураглалын цэг f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)))энэ зураглалын дифференциал гэж нэрлэгддэг цэг f ∗ = ∂ f ∂ x (\ displaystyle f_(*)=(\ frac (\ хэсэгчилсэн f) (\ хэсэгчилсэн х)))байна доройтоххаргалзах шүргэгч орон зайн шугаман хувиргалт T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))Тэгээд T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(м)), өөрөөр хэлбэл хувиргах дүрсийн хэмжээс f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))бага мин ( n , м ) (\displaystyle \мин\(n,m\)). Координатын тэмдэглэгээнд хэзээ n = m (\displaystyle n=m)Энэ нь Жакобиан нь зураглалын Якобын матрицын тодорхойлогч гэсэн үг юм f (\displaystyle f), бүх хэсэгчилсэн деривативуудаас бүрддэг ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\хэсэг f_(j))(\хэсэг x_(i))))- нэг цэгт тэг болно. Орон зай ба R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))Энэ тодорхойлолтод сортоор сольж болно N n (\displaystyle N^(n))Тэгээд M m (\displaystyle M^(m))ижил хэмжээсүүд.

Сардын теорем

Чухал цэг дээрх зураглалын утгыг түүний гэж нэрлэдэг чухал үнэ цэнэ. Сардын теоремын дагуу аливаа хангалттай гөлгөр зураглалын чухал утгуудын багц f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)))Лебесгийн хэмжүүр тэг байна (хэдийгээр хэдэн чухал цэг байж болно; жишээлбэл, таних тэмдгийн зураглалын хувьд ямар ч цэг нь чухал).

Байнгын зэрэглэлийг харуулна

Хэрэв цэгийн ойролцоо байвал x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\mathbb (R) ^(n)))тасралтгүй ялгах зураглалын зэрэглэл f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)))ижил тоотой тэнцүү байна r (\displaystyle r), дараа нь энэ цэгийн ойролцоо x 0 (\displaystyle x_(0))дээр төвлөрсөн орон нутгийн координатууд байдаг x 0 (\displaystyle x_(0)), мөн түүний зургийн ойролцоо цэгүүд байна y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0))))- орон нутгийн координатууд байдаг (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots,y_(m)))дээр төвлөрсөн f (\displaystyle f)харилцаагаар өгөгдсөн:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r) ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

Ялангуяа, хэрэв r = n = m (\displaystyle r=n=m), дараа нь орон нутгийн координатууд байдаг (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots,x_(n)))дээр төвлөрсөн x 0 (\displaystyle x_(0))болон орон нутгийн координатууд (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots,y_(n)))дээр төвлөрсөн y 0 (\displaystyle y_(0)), ийм байдлаар тэдний дотор зураглал f (\displaystyle f)адилхан байна.

Болж байна м = 1

Энэ тохиолдолд энэ тодорхойлолт нь градиент гэсэн үг юм ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))энэ үед алга болно.

функц гэж үзье f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) )гөлгөр байдлын ангилал багагүй байна C 3 (\displaystyle C^(3)). Функцийн чухал цэг едуудсан доройтдоггүй, хэрэв энэ нь Hessian агуулсан бол | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\ displaystyle (\ Bigl |) (\ frac (\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\ хэсэгчилсэн x ^ (2))) (\ Bigr |))тэгээс ялгаатай. Муухай бус эгзэгтэй цэгийн ойролцоо үйл ажиллагаа явуулж буй координатууд байдаг еквадрат хэвийн хэлбэртэй (Морзе лемма).

Муухай эгзэгтэй цэгүүдэд зориулсан Морзын леммагийн байгалийн ерөнхий ойлголт нь юм Тужроны теорем:функцийн доройтсон эгзэгтэй цэгийн ойролцоо е, хязгааргүй үржвэрийн хязгааргүй олон дахин () ялгах боломжтой μ (\displaystyle \mu)Гөлгөр функц нь зэрэгтэй олон гишүүнт хэлбэртэй координатын систем байдаг μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(зэрэг P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x))функцийн Тейлор олон гишүүнтийг авч болно f (x) (\displaystyle f(x))анхны координатын цэг дээр).

At m = 1 (\displaystyle m=1)Функцийн хамгийн их ба доод хэмжээг асуух нь утга учиртай. Математик анализын сайн мэддэг мэдэгдлийн дагуу тасралтгүй дифференциалагдах функц f (\displaystyle f), бүх орон зайд тодорхойлогдсон R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))эсвэл түүний нээлттэй дэд олонлогт зөвхөн эгзэгтэй цэгүүдэд орон нутгийн максимум (хамгийн бага) хүрэх боломжтой бөгөөд хэрэв цэг нь доройтдоггүй бол матриц (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\хэсэг ^(2)f)(\хэсэг х^(2))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)энэ нь сөрөг (эерэг) тодорхой байх ёстой. Сүүлийнх нь орон нутгийн дээд хэмжээнд (тус тусад нь хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юм.

Болж байна n = м = 2

Хэзээ n=m=2бидэнд дэлгэц бий еонгоцноос хавтгайд (эсвэл хоёр хэмжээст олон талтаас өөр хоёр хэмжээст олон талт руу). Зураглал гэж бодъё ехязгааргүй олон удаа ялгах боломжтой ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Энэ тохиолдолд зураглалын ердийн чухал цэгүүд еЭдгээр нь Якобын матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү боловч зэрэглэл нь 1-тэй тэнцүү тул зураглалын дифференциал юм. еийм цэгүүдэд нэг хэмжээст цөм байдаг. Ердийн байдлын хоёр дахь нөхцөл бол прототип хавтгай дээрх тухайн цэгийн ойролцоо чухал цэгүүдийн багц нь тогтмол муруй үүсгэдэг. С, мөн муруйн бараг бүх цэгүүдэд Сгол ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*))хамаагүй С, мөн тийм биш цэгүүд нь тусгаарлагдсан бөгөөд тэдгээрт хүрэх шүргэгч нь эхний зэрэгтэй байна. Эхний төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг нэрлэдэг нугалах цэгүүд, хоёр дахь төрөл - цуглуулах цэгүүд. Атираа ба угсралт нь хавтгай ба угсралтын цорын ганц төрөл бөгөөд жижиг цочролын хувьд тогтвортой байдаг: жижиг цочролын хувьд нугалах ба угсралтын цэгүүд муруйн хэв гажилтын дагуу бага зэрэг хөдөлдөг. С, гэхдээ алга болохгүй, доройтохгүй, бусад шинж чанаруудад сүйрч болохгүй.