Дараах асуудлыг шийдье (Баначийн бодлого). Нэг хүн халаасандаа хоёр хайрцаг шүдэнз (тус бүр нь 60 шүдэнз) авч явдаг бөгөөд шүдэнз шаардлагатай үед тэр хайрцгийг санамсаргүй байдлаар авч, шүдэнз гаргаж авдаг. Эхний хайрцаг хоосон байхад хоёр дахь хайрцагт 20 шүдэнз үлдэх магадлал хэд вэ? Хайрцаг сонгох нь эхний хайрцгийг магадлалаар сонгосон бие даасан туршилт гэж үзэж болно. Гүйцэтгэсэн нийт туршилт n= 60+40=100 бөгөөд эдгээр зуун туршилтанд эхний хайрцгийг 60 удаа сонгох ёстой. Үүний магадлал нь:

.

Бичлэгээс харахад том хэмжээтэй нь тодорхой байна nТооцоолол ихтэй тул Бернуллигийн томъёог ашиглахад хэцүү байдаг. Магадлалыг олох боломжийг олгодог тусгай ойролцоо томъёо байдаг
, Хэрэв nгайхалтай. Ийм томъёоны нэгийг дараах теоремоор өгөгдсөн.

Теорем 2.1. (Лаплас нутгийн ). Хэрэв Бернулли схемд байгаа бол
, дараа нь үйл явдал болох магадлал Аяг ирэх болно кудаа, их хэмжээгээр хангадаг nхарьцаа

Хаана
.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид функцийг танилцуулж байна
нь локал Лаплас функц бөгөөд түүний тусламжтайгаар Лапласын теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.

Тусгай функциональ хүснэгтүүд байдаг
, үүний дагуу аливаа утгын хувьд:
та тохирох функцийн утгыг олох боломжтой. Эдгээр хүснэгтийг функцийг өргөжүүлэх замаар олж авсан
дараалан.

Геометрийн хувьд энэ үр дүн нь том хэмжээтэй гэсэн үг юм nтархалтын полигон нь зөв магадлалын утгын оронд томьёоны баруун талд байгаа функцийн графикт (Зураг 2.3) сайн таарч байна.
хүн бүрт боломжтой кцэг дээрх функцийн утгыг авна к.

Цагаан будаа. 2.3. Орон нутгийн Лаплас функц

Одоо асуудал руугаа буцъя. Томъёо (2.1) ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

,

үнэ цэнэ хаана байна
хүснэгтээс тодорхойлно.

2.2.2. Лапласын интеграл теорем

Теорем 2.2(Лапласын интеграл) . Хэлхээнд байх магадлал nүйл явдал болох бие даасан туршилтууд к 1 руу к 2 удаа, ойролцоогоор тэнцүү байна

П n (к 1
к 2 )
,

– Хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн Лапласын интеграл функц. Чиг үүрэг F(x)сондгой: Ф(-х)=-Ф(х)Тэгээд Ф(X 4)=0,5.

Нотлох баримтгүй өөр нэг мэдэгдлийг авч үзье.

Харьцангуй давтамжийн хазайлт магадлалаас хВ nбие даасан тестүүд тэнцүү байна

(

.

Сэтгэгдэл.Эдгээр баримтуудын үндэслэлийг 7-р бүлэгт (7.2, 7.3-р хэсэг) цаашид авч үзэх болно. Лапласын теоремуудыг заримдаа Мойвр-Лаплас теорем гэж нэрлэдэг.

Жишээ 2.3.

900 бие даасан туршилт бүрт тохиолдох үйл явдлын магадлал 0.5 байна. 1) үйл явдал тохиолдох магадлалыг 400-аас 500 удаа олох, 2) үйл явдлын харьцангуй давтамж нь түүний магадлалаас үнэмлэхүй утгаараа 0.02-оос ихгүй хазайх магадлалыг ол.

Шийдэл

1) Р 900 (400<к<500)=
=

2)

=

2.3. Пуассоны томъёо

Хэрэв бид туршилтын тоог засах юм бол n, мөн нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлал rөөрчлөгдвөл тархалтын олон өнцөгт нь утгаас хамааран өөр харагдах болно r(Зураг 2.4). Үнэт зүйлстэй х, 1/2-тэй ойролцоо, олон өнцөгт нь бараг тэгш хэмтэй бөгөөд Лаплас функцийн тэгш хэмийн графикт сайн тохирдог. Тиймээс Лапласын ойролцоо томъёо нь сайн нарийвчлалыг өгдөг.

Жижигхэнд зориулсан r(практикт бага ) тархалтын олон өнцөгтийн тэгш бус байдлаас шалтгаалан ойролцоолсон үзүүлэлт муу байна. Тиймээс магадлалыг тооцоолох ойролцоо томъёог олох даалгавар гарч ирдэг
том тохиолдолд nмөн жижиг r. Энэ асуултын хариултыг Пуассоны томъёогоор өгсөн болно.

Тиймээс, бие даасан туршилтын схемийг авч үзье nтом (илүү их байх тусмаа сайн), ба rбага (бага байх тусмаа сайн). гэж тэмдэглэе nr=λ . Дараа нь Бернуллигийн томъёоны дагуу бид байна

.

Үүний улмаас сүүлчийн тэгш байдал нь үнэн юм
(хоёр дахь гайхалтай хязгаар). Үйл явдлын хамгийн их магадлалтай тохиолдлын томъёог олж авахдаа к 0 магадлалын харьцааг авч үзсэн. Үүнээс үүдэн гарч байна

Тиймээс, хэзээ колон жижиг nБид дахин давтагдах харилцаатай байдаг

.

Учир нь к=0 Өмнө нь олж авсан үр дүнг харгалзан үзье:
, Дараа нь

………………

Тэгэхээр, хэрэв n нь бие даасан туршилтын загварт том бол, ба rбага зэрэг, дараа нь энэ нь тохиолддог Пуассоны томъёо

Р n (Хэнд)
, хаана λ = nr.

Пуассоны хуулийг бас ховор тохиолдлын хууль гэж нэрлэдэг.

Жишээ 2.4.

Гэмтэлтэй хэсэг гарах магадлал 0.02 байна. Эд ангиуд нь 100 ширхэг хайрцагт савлагдсан. магадлал хэд вэ a) хайрцагт гэмтэлтэй эд анги байхгүй, б) хайрцагт хоёроос илүү гэмтэлтэй хэсэг байгаа эсэх?

Шийдэл

а) Учир нь nтом ба rбага, бидэнд байна ; Р 100 (0)
;

б)Р 100 (к>2)= 1-Р 1-

Тиймээс магадлалыг тооцоолох бие даасан туршилтын загварт Р n (к) Хэрэв Бернуллигийн томъёог хэрэглэнэ nжижиг, гэхдээ хэрэв nтом, дараа нь хэмжээнээс хамаарна rОйролцоогоор Лапласын томьёо эсвэл Пуассоны томъёог ашигласан.

Шингэн төлөвийн шинж чанарууд. Гадаргуугийн давхарга. Гадаргуугийн хурцадмал байдал. Нойтон. Лапласын томъёо. Капиллярын үзэгдлүүд.

Шингэн гэдэг нь хатуу талст төлөв ба хийн төлөвийн хоорондох завсрын өтгөрүүлсэн төлөвт байгаа бодис юм.

Шингэний оршин тогтнох бүс нутаг нь өндөр температурт хийн төлөвт шилжих замаар, бага температурт хатуу төлөвт шилжих замаар хязгаарлагддаг.

Шингэний хувьд молекулуудын хоорондох зай нь хийтэй харьцуулахад хамаагүй бага байдаг (шингэний нягт нь чухал температураас хол ханасан уурын нягтаас ~ 6000 дахин их байдаг) (Зураг 1).

Зураг 1. Усны уур (1) ба ус (2). Усны молекулууд ойролцоогоор 5 10 7 дахин томордог

Иймээс шингэн дэх молекул хоорондын харилцан үйлчлэлийн хүч нь хийнээс ялгаатай нь шингэний шинж чанарыг тодорхойлдог гол хүчин зүйл юм. Тиймээс шингэн нь хатуу биеттэй адил эзэлхүүнээ хадгалж, чөлөөт гадаргуутай байдаг. Хатуу бодисын нэгэн адил шингэн нь маш бага шахалтаар тодорхойлогддог бөгөөд суналтыг эсэргүүцдэг.

Гэсэн хэдий ч шингэний молекулуудын хоорондох холбоосын хүч нь шингэний давхаргууд бие биентэйгээ харьцуулахад гулсахаас сэргийлж тийм хүчтэй биш юм. Тиймээс шингэн нь хий шиг шингэн шингэнтэй байдаг. Таталцлын талбарт шингэн нь цутгаж буй савны хэлбэрийг авдаг.

Бодисын шинж чанар нь тэдгээрийн бүрдсэн хэсгүүдийн хөдөлгөөн, харилцан үйлчлэлээр тодорхойлогддог.

Хийн хувьд мөргөлдөөнд ихэвчлэн хоёр молекул оролцдог. Үүний үр дүнд хийн онол нь хоёр биетийн асуудлыг шийдэхэд хүргэдэг бөгөөд үүнийг яг шийдэж болно. Хатуу биетүүдэд молекулууд нь бусад молекулуудын үүсгэсэн үечилсэн талбарт болор торны зангилаанд чичиргээний хөдөлгөөнд ордог. Тогтмол талбар дахь бөөмийн үйл ажиллагааны энэ асуудлыг яг шийдэж болно.

Шингэний хувьд молекул бүр өөр хэд хэдэн бодисоор хүрээлэгдсэн байдаг. Энэ төрлийн асуудал (олон биетийн асуудал) ерөнхийдөө молекулуудын шинж чанар, тэдгээрийн байршлын шинж чанараас үл хамааран яг нарийн шийдэгдээгүй байна.

Рентген туяа, нейтрон, электронуудын дифракцийн туршилтууд нь шингэний бүтцийг тодорхойлоход тусалсан. Алсын зайн дараалал ажиглагддаг талстуудаас ялгаатай нь (их хэмжээний тоосонцоруудын тогтмол зохион байгуулалт) шингэнд 3-4 молекулын диаметртэй зайд байрлах молекулуудын дараалал алдагддаг. Тиймээс шингэнд молекулуудын зохион байгуулалтад богино хугацааны дараалал гэж нэрлэгддэг (Зураг 2):

Зураг 2. Шингэний молекулуудын богино зай, талст бодисын молекулуудын урт хугацааны дарааллын жишээ: 1 – ус; 2 - мөс

Шингэний хувьд молекулууд нь молекул хоорондын зайгаар хязгаарлагдсан хязгаарт бага хэмжээний чичиргээнд ордог. Гэсэн хэдий ч үе үе хэлбэлзлийн үр дүнд молекул хөрш молекулуудаас шинэ тэнцвэрийн байрлал руу үсрэхэд хангалттай энергийг хүлээн авах боломжтой. Молекул нь хэлбэлзлийн үр дүнд үсрэлт хийхэд шаардлагатай энергийг хүлээн авах хүртэл хэсэг хугацаанд шинэ тэнцвэрийн байрлалд байх болно. Молекул нь молекулын хэмжээтэй дүйцэхүйц зайд үсэрдэг. Үсрэлтэнд зам тавьж буй чичиргээ нь шингэний молекулуудын дулааны хөдөлгөөнийг илэрхийлдэг.

Молекулын тэнцвэрт байдалд байх дундаж хугацааг тайвшруулах хугацаа гэж нэрлэдэг. Температур нэмэгдэхийн хэрээр молекулуудын энерги нэмэгддэг тул хэлбэлзлийн магадлал нэмэгдэж, амрах хугацаа буурдаг.

(1)

Хаана τ - амрах цаг, Б- молекулын чичиргээний хугацааны утгыг агуулсан коэффициент; В – идэвхжүүлэх энергимолекулууд, өөрөөр хэлбэл. молекул үсрэлт хийхэд шаардагдах энерги.

Шингэн дэх дотоод үрэлт нь хийнүүдийн нэгэн адил шингэний давхаргын хөдөлгөөний чиглэлд хэвийн чиглэлд импульс шилжсэний улмаас шингэний давхарга хөдөлж байх үед үүсдэг. Молекулын үсрэлтүүдийн үед давхрагаас давхарга руу импульс шилжих нь бас тохиолддог. Гэсэн хэдий ч гол төлөв хөрш давхаргын молекулуудын харилцан үйлчлэлийн (таталцлын) улмаас импульс шилждэг.

Шингэний молекулуудын дулааны хөдөлгөөний механизмын дагуу зуурамтгай байдлын коэффициентийн температураас хамаарах хамаарал нь дараахь хэлбэртэй байна.

(2)

Хаана А- молекулын үсрэх зай, түүний чичиргээний давтамж, температураас хамаарах коэффициент; В – идэвхжүүлэх энерги.

Тэгшитгэл (2) - Френкель-Андраде томъёо. Зуурамтгай байдлын коэффициентийн температурын хамаарлыг голчлон экспоненциал хүчин зүйлээр тодорхойлно.

Зуурамтгай байдлын харилцан утгыг шингэн чанар гэж нэрлэдэг. Температур буурах тусам зарим шингэний зуурамтгай чанар маш их нэмэгдэж, тэдгээр нь бараг урсахаа больж, аморф бие (шил, хуванцар, давирхай гэх мэт) үүсгэдэг.

Шингэний молекул бүр нь молекулын хүчний хүрээнд орших хөрш зэргэлдээх молекулуудтай харилцан үйлчилдэг. Энэ харилцан үйлчлэлийн үр дүн нь шингэний доторх болон шингэний гадаргуу дээрх молекулуудын хувьд ижил биш юм. Шингэний дотор байрлах молекул нь түүний эргэн тойрон дахь хөрш зэргэлдээх молекулуудтай харилцан үйлчлэлцэж, түүнд үйлчлэх үр дүнгийн хүч нь тэг болно (Зураг 3).

Зураг 3. Шингэний молекулуудад үйлчлэх хүч

Гадаргуугийн давхаргын молекулууд өөр өөр нөхцөлд байдаг. Шингэн дээрх уурын нягт нь шингэний нягтаас хамаагүй бага байна. Тиймээс гадаргуугийн давхаргын молекул бүр нь шингэн рүү хэвийн чиглэсэн үр дүнгийн хүчээр үйлчилдэг (Зураг 3). Гадаргуугийн давхарга нь уян харимхай хальс шиг шингэний үлдсэн хэсэгт даралт үүсгэдэг. Энэ давхаргад байрлах молекулууд мөн бие биедээ татагддаг (Зураг 4).

Зураг 4. Гадаргуугийн давхаргын молекулуудын харилцан үйлчлэл

Энэ харилцан үйлчлэл нь шингэний гадаргуу руу тангенциал чиглэсэн хүчийг бий болгож, шингэний гадаргууг багасгах хандлагатай байдаг.

Хэрэв шингэний гадаргуу дээр дурын шугам татвал гадаргуугийн хурцадмал байдал нь шугамын хэвийн ба гадаргуутай шүргэгчийн дагуу үйлчилнэ. Эдгээр хүчний хэмжээ нь энэ шугамын дагуу байрлах молекулуудын тоотой пропорциональ байдаг тул шугамын урттай пропорциональ байна.

(3)

Хаана σ – пропорциональ коэффициент гэж нэрлэдэг гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент:

(4)

Гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент нь шингэний гадаргууг хязгаарлах контурын нэгжийн уртад үйлчилдэг гадаргуугийн хурцадмал хүчтэй тоон утгаараа тэнцүү байна..

Гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициентийг Н/м-ээр хэмждэг. Хэмжээ σ шингэний төрөл, температур, хольц байгаа эсэхээс хамаарна. Гадаргуугийн хурцадмал байдлыг бууруулдаг бодисууд гэж нэрлэдэг өнгөц идэвхтэй(архи, саван, угаалгын нунтаг гэх мэт).

Шингэний гадаргуугийн талбайг нэмэгдүүлэхийн тулд гадаргуугийн хурцадмал хүчний эсрэг ажиллах шаардлагатай. Энэ ажлын хэмжээг тодорхойлъё. Шингэн хальс (жишээ нь, саван) болон хөдлөх хөндлөвч бүхий хүрээ (зураг 5) байх ёстой.

Зураг 5. Утасны хүрээний хөдлөх тал нь F ext гадаад хүч ба үүсэх гадаргуугийн хурцадмал хүчний F n нөлөөн дор тэнцвэрт байдалд байна.

Киног F ext by хүчээр сунгацгаая dx. Мэдээжийн хэрэг:

Хаана Ф n = σL- гадаргуугийн хурцадмал хүч. Дараа нь:

Хаана dS = Ldx- хальсны гадаргуугийн талбайн өсөлт. Сүүлийн тэгшитгэлээс:

(5)

(5)-ын дагуу гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент нь тогтмол температурт гадаргуугийн талбайг нэгжээр нэмэгдүүлэхэд шаардагдах ажилтай тоогоор тэнцүү байна. (5)-аас σ-ийг Ж/м 2-оор хэмжиж болох нь тодорхой байна.

Хэрэв шингэн нь өөр шингэн эсвэл хатуу бодистой хиллэдэг бол холбогдох бодисуудын нягтыг харьцуулж болох тул шингэний молекулуудын түүнтэй хиллэдэг бодисын молекулуудын харилцан үйлчлэлийг үл тоомсорлож болохгүй.

Хэрэв шингэн ба хатуу биеттэй харьцах үед тэдгээрийн молекулуудын харилцан үйлчлэл нь шингэний молекулуудын харилцан үйлчлэлээс илүү хүчтэй байвал шингэн нь контактын гадаргууг ихэсгэж, хатуу биетийн гадаргуу дээгүүр тархдаг. Энэ тохиолдолд шингэн хатуу бодисыг чийгшүүлнэ. Хэрэв шингэний молекулуудын харилцан үйлчлэл нь шингэн ба хатуу бодисын молекулуудын харилцан үйлчлэлээс илүү хүчтэй байвал шингэн нь контактын гадаргууг бууруулдаг. Энэ тохиолдолд шингэн хатуу бодисыг чийгшүүлдэггүй. Жишээ нь: ус нь шилийг норгодог, гэхдээ мөнгөн ус нь металл гадаргууг чийгшүүлдэггүй, харин шилийг чийгшүүлдэггүй;

Зураг 6. Нойрдоггүй (а) ба чийглэх (б) шингэний хувьд хатуу биетийн гадаргуу дээрх дуслын янз бүрийн хэлбэрүүд

Хатуу биетийн гадаргуу дээрх шингэний дусалыг авч үзье (Зураг 7):

Зураг 7. Норгодоггүй (а) ба чийглэх (б) шингэний тохиолдолд хатуу биеийн гадаргуу дээрх дуслын тэнцвэрийг тооцоолох схемүүд: 1 - хий, 2 - шингэн, 3 - хатуу.

Дуслын хэлбэрийг гурван зөөвөрлөгчийн харилцан үйлчлэлээр тодорхойлно: хий - 1, шингэн - 2 ба хатуу - 3. Эдгээр бүх зөөвөрлөгчид нийтлэг хилтэй байдаг - дуслыг хүрээлэх тойрог. Элемент бүрийн урт dlЭнэ контурын гадаргуугийн хурцадмал байдал нь дараахь байдлаар үйлчилнэ. Ф 12 = σ 12 dl- хий ба шингэний хооронд; Ф 13 = σ 13 dl- хий ба хатуу хооронд; Ф 23 = σ 23 dl- шингэн ба хатуу хооронд. Хэрэв dl=1м, тэгвэл Ф 12 = σ 12 , Ф 13 = σ 13 , Ф 23 = σ 23. Дараах тохиолдолд тохиолдлыг авч үзье.

Энэ нь гэсэн үг<θ = π (Зураг 7, а). Шингэний хатуу биетэй харьцах газрыг хязгаарласан тойрог нь нэг цэг хүртэл агшиж, дусал нь эллипсоид эсвэл бөмбөрцөг хэлбэртэй болно. Энэ нь бүрэн чийгшдэггүй тохиолдол юм. Бүрэн чийгшүүлэхгүй байх нь дараахь тохиолдолд ажиглагддаг. σ 23 > σ 12 + σ 13 .

Дараах тохиолдолд өөр захын тохиолдол гарна:

Энэ нь гэсэн үг<θ = 0 (Зураг 7б), бүрэн чийгшсэн байдал ажиглагдаж байна. Бүрэн чийглэх нь дараах тохиолдолд ажиглагдана. σ 13 > σ 12 + σ 23. Энэ тохиолдолд ямар ч өнцгийн утгуудад тэнцвэр байхгүй болно θ , мөн шингэн нь хатуу биетийн гадаргуу дээгүүр мономолекул давхарга хүртэл тархах болно.

Хэрэв уналт тэнцвэрт байдалд байвал контурын уртын элемент дээр ажиллаж буй бүх хүчний үр дүн тэг болно. Энэ тохиолдолд тэнцвэрийн нөхцөл нь:

Шингэний дотор хэмжигдэх хатуу биетийн гадаргуу ба шингэний гадаргуутай шүргэгч хоорондын өнцөг,холбоо барих өнцөг гэж нэрлэдэг.

Үүний утгыг (6) -аас тодорхойлно.

(7)

Хэрэв σ 13 > σ 23, дараа нь cos θ > 0, өнцөг θ хурц - хэрэв хэсэгчлэн чийгшүүлнэ σ 13 < σ 23, дараа нь cos θ < 0 – угол θ мохоо – хэсэгчилсэн чийггүй байдал үүсдэг. Тиймээс контактын өнцөг нь шингэний норгох эсвэл норохгүй байх зэргийг тодорхойлдог утга юм

Шингэний гадаргуугийн муруйлт нь энэ гадаргуугаас доош шингэн дээр нэмэлт даралт үүсгэдэг. Шингэний муруй гадаргуу доорх нэмэлт даралтын хэмжээг тодорхойлъё. Шингэний дурын гадаргуу дээр ∆ талбайтай элементийг сонгоцгооё С(Зураг 8):

Зураг 8. Нэмэлт даралтын хэмжээг тооцоолох

О′ О– нэг цэг дээр гадаргуугийн хэвийн байдал О. Контурын элементүүдэд үйлчлэх гадаргуугийн хурцадмал хүчийг тодорхойлъё ABТэгээд CD. Гадаргуугийн хурцадмал хүч ФТэгээд Ф', ямар үйлдэл хийдэг ABТэгээд CD, перпендикуляр ABТэгээд CDба гадаргууд ∆ тангенциал чиглүүлсэн С. Хүчний хэмжээг тодорхойлъё Ф:

Хүчийг задалцгаая Фхоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон е 1 ба f ′. Хүч чадал е 1 зэрэгцээ О′ Омөн шингэн рүү чиглүүлнэ. Энэ хүч нь шингэний дотоод хэсгүүдийн даралтыг нэмэгдүүлдэг (хоёр дахь бүрэлдэхүүн хэсэг нь гадаргууг сунгаж, даралтын хэмжээнд нөлөөлдөггүй).

∆-тэй перпендикуляр хавтгай зуръя Сцэгүүдээр дамжуулан М, ОТэгээд Н. Дараа нь Р 1 - энэ хавтгайн чиглэлд гадаргуугийн муруйлт радиус. ∆-тэй перпендикуляр хавтгай зуръя Сба анхны онгоц. Дараа нь Р 2 - энэ хавтгайн чиглэлд гадаргуугийн муруйлт радиус. Ерөнхийдөө Р 1 ≠ Р 2. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлъё е 1. Зургаас харж болно:

Үүнийг анхаарч үзье:

(8)

Хүч чадал Ф' ижил хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалж, бүрэлдэхүүнийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлъё е 2 (зурагт харуулаагүй):

(9)

Үүнтэй адил үндэслэлээр бид элементүүдэд үйлчлэх хүчний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлно А.С.Тэгээд Б.Д, оронд нь үүнийг харгалзан үзэх Р 1 байх болно Р 2:

(10)

Контур дээр үйлчлэх дөрвөн хүчний нийлбэрийг олъё ABDCмөн шингэний дотоод хэсгүүдэд нэмэлт дарамт үзүүлэх:

Нэмэлт даралтын хэмжээг тодорхойлъё.

Тиймээс:

(11)

Тэгшитгэл (11) гэж нэрлэгддэг Лапласын томъёо. Шингэний муруй гадаргуу нь шингэний дотоод хэсгүүдэд үзүүлэх нэмэлт даралтыг гэж нэрлэдэг Лаплас даралт.

Лапласын даралт нь гадаргуугийн муруйлтын төв рүү чиглэсэн нь ойлгомжтой. Тиймээс гүдгэр гадаргуугийн хувьд энэ нь шингэн рүү чиглэгдэж, шингэний хэвийн даралт дээр нэмэгддэг. Энэхэр гадаргуугийн хувьд шингэн нь хавтгай гадаргуу дээрх шингэнээс бага даралттай байх болно, учир нь Лаплас даралт нь шингэний гадна талд чиглэгддэг.

Хэрэв гадаргуу нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байвал: Р 1 = Р 2 = Р:

Хэрэв гадаргуу нь цилиндр хэлбэртэй бол: Р 1 = Р, Р 2 = ∞:

Хэрэв гадаргуу тэгш байвал: Р 1 = ∞, Р 2 = ∞:

Хэрэв хоёр гадаргуутай бол, жишээлбэл, савангийн хөөс, дараа нь Лапласын даралт хоёр дахин нэмэгддэг.

Нойтон чийглэх, чийглэхгүй байх үзэгдэлтэй холбоотой гэж нэрлэгддэг хялгасан судасны үзэгдлүүд. Хэрэв хялгасан судсыг (жижиг диаметртэй хоолой) шингэн рүү буулгавал хялгасан судсан дахь шингэний гадаргуу нь бөмбөрцөг хэлбэртэй ойрхон, чийглэхгүй бол гүдгэр хэлбэртэй болно. Ийм гадаргууг гэж нэрлэдэг мениск.

Капиллярууд нь менискийн радиус нь хоолойн радиустай ойролцоогоор тэнцүү байдаг хоолой юм.

Цагаан будаа. 9. Нойтон (а) ба нордоггүй (б) шингэн дэх хялгасан судас

10-р зураг. Норсон тохиолдолд капилляр дахь шингэний өсөлт

Хонхор менискийн хувьд нэмэлт даралт нь шингэний гаднах муруйлтын төв рүү чиглэнэ. Тиймээс менискийн доорх даралт нь савны шингэний хавтгай гадаргуу дээрх даралтаас Лаплас даралтын хэмжээгээр бага байна.

Р- менискийн радиус, r- капилляр хоолойн радиус.

Үүний үр дүнд Лаплас даралт нь капилляр дахь шингэнийг ийм өндөрт хүргэх болно h(Зураг 9) шингэний баганын гидростатик даралт нь Лаплас даралтыг тэнцвэржүүлэх хүртэл:

Сүүлийн тэгшитгэлээс:

(12)

Тэгшитгэл (12) гэж нэрлэгддэг Журины томъёо. Хэрэв шингэн нь хялгасан судасны ханыг норгохгүй бол мениск нь гүдгэр, cos θ < 0, то жидкость в этом случае опускается ниже уровня жидкости в сосуде на такую же глубину hтомъёоны дагуу (12) (Зураг 9).

Гүдгэр гадаргууг авч үзье (Зураг 5.18), муруйлт нь цэг дээр байна ТУХАЙхарилцан перпендикуляр хоёр хэвийн хэсэг бүрийн хувьд өөр өөр байна. Намайг гадаад хэвийн хүн болгоё

нэг цэг дээр гадаргуу руу ТУХАЙ; М.НТэгээд R g R 2- үндсэн хэсгүүд. Гадаргуугийн элементийг оюун ухаанаараа сонгоцгооё AS Uсегментүүдэд үйлчлэх гадаргуугийн хурцадмал хүчийг тооцоол ABТэгээд CD, ACТэгээд Б.Д.гэдэгт итгэж байна AB = CDТэгээд AC~BD.Контурын уртын нэгж бүрийн хувьд ABDCгадаргуугийн хурцадмал хүч А AS n гадаргуугийн элементийг бүх чиглэлд сунгах хандлагатай эргэн тойрон дахь шингэн. Хажуу талд үйлчилж буй бүх хүч AB,нэг үр дүнгийн хүчээр солино А.Ф.сегментийн дунд хэсэгт хэрэглэнэ AB= A/ перпендикуляр параллель p,оронд нь зөвхөн тэдний дотор R xмуруйлтын радиус £ байх уу? 2 перпендикуляр хэсэг R g R. g.Радиус R 2Зурагт үзүүлэв. 5.18 сегмент P-fi."Эндээс дөрвөн талд үйлчилдэг бүх хэвийн хүчний AF-* үр дүн гарч ирнэ

гадаргуугийн элемент A5 P, AF~ = Д.К. +AF, + afs fAF. = В af,тийм (rAS n | - -|- -V

AF^ хүч нь гадаргуугийн элемент A5 P-ийг доор байрлах давхаргад дардаг. Тиймээс гадаргуугийн муруйлтаас шалтгаалан дундаж даралт p cf,

Дарамт шахалт үзүүлэхийн тулд r aнэг цэг дээр AS-г тэг рүү чиглүүлье. AF^-ийн талбайн харьцааны хязгаарт шилжих asn,Энэ хүч ямар хүчин зүйл дээр ажилладаг вэ, бид үүнийг авдаг AF^dF.

AS n -*o AS n dS n \ R, R 2

Гэхдээ тодорхойлолтоор

х. = ойролцоогоор 14-+ 4-\ (5 - 8)

p„ = a I ■

Хаана Rlt R 2- гадаргуугийн өгөгдсөн цэг дэх муруйлтын үндсэн радиусууд.

Дифференциал геометрт e = -~ ^--\- илэрхийлэл

J--) цэг дээрх гадаргуугийн дундаж муруйлт гэнэ Р.

Энэ нь бие биендээ перпендикуляр хэвийн хэсгүүдийн бүх хосын хувьд ижил утгатай.

Гидростатик даралтын уналтын хамаарлыг тодорхойлох илэрхийлэл (5.8). r aХоёр фазын (шингэн - шингэн, шингэн - ■ хий эсвэл уур) хоорондын зааг дээр гадаргуугийн гадаргуугийн хурцадмал байдлаас үүсдэг. Амөн дундаж!! авч үзэж байгаа цэг дэх гадаргуугийн 8 муруйлт гэж нэрлэдэг Лапласын томъёоФранцын физикч Лапласын хүндэтгэлд.

Хэмжээ r aхавтгай гадаргуутай харгалзах хялгасан судасны даралт p дээр нэмэгддэг. Хэрэв гадаргуу нь хонхойсон бол (5.8) томъёонд хасах тэмдэг тавина. Дурын гадаргуугийн ерөнхий тохиолдолд муруйлтын радиус R xТэгээд R 2хэмжээ болон тэмдгээр бие биенээсээ ялгаатай байж болно. Тиймээс, жишээлбэл, Зураг дээр үзүүлсэн гадаргуу дээр. 5.19, муруйлтын радиус R xТэгээд R 2харилцан перпендикуляр хоёр хэвийн огтлолд хэмжээ болон тэмдгээр ялгаатай байна. Энэ тохиолдолд эерэг эсвэл сөрөг утгатай байж болно r aүнэмлэхүй утгаас хамаарна R xТэгээд R2.Хэрэв хэвийн хэсгийн муруйлтын төв нь гадаргуугаас доогуур байвал муруйлтын харгалзах радиус эерэг, гадаргуугаас дээш байвал сөрөг байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Дундаж муруйлттай гадаргуу

бүх цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү e == ~(~--1" - 0, гэж нэрлэдэг хамгийн бага гадаргуу.Хэрэв ийм гадаргуугийн нэг цэг дээр /? 1 >0, дараа нь автоматаар /? 2<С0.

Бөмбөрцгийн хувьд аливаа хэвийн хэсэг нь радиустай тойрог юм R,тиймээс (5.8) томъёонд /? x = R2 = Rба хялгасан судасны нэмэлт даралт

R. = ~.(5-9)

Гадна болон дотор талын гадаргуутай тул савангийн хөөсний хувьд

P*=-~-(5-Ю)

Хэрэв дугуй цилиндрийн хувьд ердийн хэсгүүдийн нэг нь генераторын дагуух хэсэг гэж тооцогддог бол R x= хамтран. Түүнтэй перпендикуляр хоёр дахь хэсэг нь радиустай тойрог өгдөг

R (R 2 = R).Тиймээс (5.8) томъёоны дагуу цилиндр гадаргуу дор нэмэлт капилляр даралт

R. = -)|- (5-I)

(5.9) - (5.11) илэрхийллээс харахад гадаргуугийн хэлбэр өөрчлөгдөхөд зөвхөн харьцааны урд талын коэффициент өөрчлөгддөг нь тодорхой байна. a/R.Хэрэв шингэний гадаргуу тэгш байвал R x ~ R 2 =хамтран гэх мэт p z = 0. Энэ тохиолдолд нийт даралт

Р = Pi ± р а = Pi ± 0 = p t.

Лапласын томъёогоор тодорхойлогдсон хялгасан судасны нэмэлт даралт нь үргэлж муруйлтын төв рүү чиглэнэ. Тиймээс гүдгэр гадаргуугийн хувьд энэ нь шингэний дотор, хотгор гадаргуугийн хувьд гадагш чиглэсэн байдаг. Эхний тохиолдолд энэ нь хялгасан судасны даралтанд нэмэгддэг p hхоёрдугаарт, үүнээс хасагдана. Математикийн хувьд энэ нь гүдгэр гадаргуугийн хувьд муруйлтын радиусыг эерэг, хотгор гадаргуугийн хувьд сөрөг гэж үздэг тул үүнийг харгалзан үздэг.

Гадаргуугийн муруйлтаас үүсэх хялгасан судасны нэмэлт даралтын чанарын хамаарлыг дараах туршилтаар ажиглаж болно (Зураг 5.20). дуусна Тэгээд би Бшилэн дэгээ савантай усны уусмалд дүрнэ. Үүний үр дүнд дэгжингийн хоёр төгсгөл нь савангийн хальсаар хучигдсан байдаг. Процессоор дамжуулан уусмалаас цамцыг авах ХАМТхоёр савангийн хөөс үлээнэ. Дүрмээр бол янз бүрийн шалтгааны улмаас бөмбөлөгүүд өөр өөр хэмжээтэй байдаг. Хэрэв та C нүхийг хаавал том бөмбөлөг аажмаар хөөрч, жижиг нь агших болно. Энэ нь гадаргуугийн муруйлтаас үүсэх хялгасан судасны даралт нь муруйлтын радиус багасах тусам нэмэгддэг гэдгийг бидэнд баталж байна.

Нэмэлт тагны үнэ цэнийн талаар ойлголттой болохын тулд баганын даралтыг 1 микрон диаметртэй дуслаар тооцож үзье (үүл нь ихэвчлэн ийм дуслаас бүрддэг):

2а 2.72.75-Ю- 3 „ мгт

r --=-==-= 0.1455 МПа.

5.8. Нойтон

Гадаргуугийн хурцадмал байдал нь зөвхөн шингэний чөлөөт гадаргуугаас гадна шингэн ба хатуу хоёр шингэний хоорондох интерфейс, мөн хатуу биетийн чөлөөт гадаргуутай байдаг. Бүх тохиолдолд гадаргуугийн энергийг интерфэйс дэх молекулуудын энерги ба харгалзах фазын дийлэнх хэсгийн энергийн зөрүү гэж тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд интерфэйс дэх гадаргуугийн энергийн утга нь хоёр фазын шинж чанараас хамаарна. Жишээлбэл, ус-агаарын хил дээр a = 72.75-10 ~ 3 Н/м (20 ° C ба хэвийн атмосферийн даралт), ус-эфирийн хил дээр a= 12-10 3 Н/м, ус-мөнгөн усны хил дээр a = 427-10~ 3 Н/м.

Хатуу биеийн гадаргуу дээр байрлах молекулууд (атом, ион) нэг талаас таталцлыг мэдэрдэг. Тиймээс хатуу биетүүд нь шингэнтэй адил гадаргуугийн хурцадмал байдалтай байдаг.

Туршлагаас харахад хатуу субстратын гадаргуу дээр байрлах шингэний дусал нь хатуу бодисын шинж чанар, шингэн, тэдгээрийн байрлах орчноос хамааран нэг юмуу өөр хэлбэртэй болдог. Таталцлын талбар дахь боломжит энергийг багасгахын тулд шингэн нь үргэлж массын төв нь хамгийн бага байрлалыг эзэлдэг хэлбэрийг авах хандлагатай байдаг. Энэ хандлага нь хатуу биетийн гадаргуу дээр шингэн тархахад хүргэдэг. Нөгөөтэйгүүр, гадаргуугийн хурцадмал байдал нь шингэнийг гадаргуугийн хамгийн бага энергитэй тохирох хэлбэрийг өгөх хандлагатай байдаг. Эдгээр хүчний хоорондын өрсөлдөөн нь нэг хэлбэрийг бий болгоход хүргэдэг.

Хатуу-шингэн эсвэл шингэн фазын хилийн талбайн аяндаа нэмэгдэх А- шингэн INмолекулын нэгдмэл хүчний нөлөөн дор гэж нэрлэдэг тархаж байна.

Гадаргуу дээр дусал тархахад хүргэдэг шалтгааныг олж мэдье. Молекул тутамд ХАМТ(Зураг 5.21, A),хатуу субстраттай шингэний дусал хүрэх цэг дээр байрладаг, нэгтэй

Хажуу талд нь шингэний молекулуудын татах хүч байдаг бөгөөд үүний үр дүнд үүсдэг Fj_нөгөө талдаа контактын өнцгийн биссектрисын дагуу чиглэсэн - хатуу биеийн молекулууд, тэдгээрийн үр дүн F 2түүний гадаргуутай перпендикуляр. Үр дүн Рзурагт үзүүлсэн шиг эдгээр хоёр хүчний босоо тэнхлэгээс зүүн тийш хазайсан байна. Энэ тохиолдолд шингэний гадаргууг перпендикуляр байрлуулах хандлагатай байдаг Ртүүний тархалтад (нойтон) хүргэнэ.

Ф өнцөг (үүнийг гэж нэрлэдэг) үед шингэн тархах процесс зогсдог бүс нутгийн)цэг дэх шингэний гадаргуутай шүргэгч хоорондын ХАМТмөн хатуу биетийн гадаргуу нь шингэн-хатуу хос бүрийн онцлог шинж чанартай rt k тодорхой хязгаарын утгад хүрдэг. Хэрэв контактын өнцөг хурц байвал

(0 ^ ■& ^ -), дараа нь шингэн нь хатуу гадаргууг норгодог

бие, жижиг байх тусмаа сайн. At $k= 0, бүрэн чийгшүүлэх ба шингэн нь мономолекулын хальс үүсэх хүртэл гадаргуу дээгүүр тархдаг. Нойтон байдал нь ихэвчлэн гурван фазын интерфейс дээр ажиглагддаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь хатуу (фаз 3), нөгөө хоёр нь холилдохгүй шингэн эсвэл шингэн ба хий (үе шат / ба 2) (5.21, в-р зургийг үз).

Хүчтэй бол F x-аас илүү F. 2,өөрөөр хэлбэл, шингэн талаас нь сонгосон молекулын татах хүч нь хатуу талаас илүү их байвал контактын өнцөг $ том байх ба зураг нь Зураг дээр үзүүлсэн шиг харагдана. 5.21, б.Энэ тохиолдолд Ф өнцөг нь мохоо (i/2< § ^ я) и жидкость частично (при неравенстве) или полностью (при равенстве) не смачивает твердую подложку. По отношению к стеклу такой несмачивающей жидкостью яв­ляется, например, ртуть, гдесозд = - 1. Однако та же самая ртуть хорошо смачивает другую твердую подложку, например цинк.

Эдгээр санааг тоон хэлбэрээр илэрхийлж болно

дараах санаанууд дээр үндэслэсэн. o"i_ 2, °1-з, 0-2 гэж тэмдэглэе -3 шингэн - хий, хатуу - хий, шингэн -■ хатуу гадаргуугийн хил дээрх гадаргуугийн хурцадмал байдал тус тус. Хэсэг дэх эдгээр хүчний үйл ажиллагааны чиглэлийг сумаар дүрсэлсэн болно (Зураг 5.22). Дараах гадаргуугийн хурцадмал хүч нь хатуу субстрат дээр байрлах шингэний дусал дээр үйлчилдэг: хил дээр / - 3 -ffi-з, дусал сунах хандлагатай, хил дээр 2 - 3 -Ог-з. төв рүү татах хандлагатай байна. Хил дээрх гадаргуугийн хурцадмал байдал 04-2 1-2 цэг дээр дуслын гадаргуу руу тангенциал чиглүүлсэн ХАМТ.Хэрэв контактын өнцөг Ф хурц байвал хатуу субстратын хавтгайд cri_ 2 хүчний проекц (ov 2 cos Ф) нь о 2.-з чиглэлд давхцах болно (Зураг 5.22; A).Энэ тохиолдолд хоёр хүчний үйл ажиллагаа

нэмэх болно. Хэрэв ft өнцөг нь мохоо байвал Зураг дээр үзүүлэв. 5.21, b, тэгвэл cos ft сөрөг ба проекц cri._ 2 cosft нь чиглэлд давхцах болно. O1-.3.Хатуу субстрат дээр уналт тэнцвэртэй байх үед дараахь тэгш байдлыг ажиглах шаардлагатай.

= 02-3 + SG1-2 soeF. (5.12)

Энэ тэгшитгэлийг онд гаргасан 1805 Ноён Юнги болон түүний нэрээр нэрлэгдсэн. Хандлага

B =---^- = cos ft

дуудсан чийгшүүлэх шалгуур.

Тиймээс контактын өнцөг ft нь зөвхөн харгалзах зөөвөрлөгчийн хил дээрх гадаргуугийн хурцадмал байдлаас хамаардаг бөгөөд тэдгээрийн шинж чанараар тодорхойлогддог бөгөөд савны хэлбэр, таталцлын хэмжээнээс хамаардаггүй. Тэгш байх үед (5.12) биелүүлээгүй тохиолдолд дараах тохиолдлууд гарч болзошгүй. Хэрэв 01-3 тэгшитгэлийн баруун талаас их (5.12), дараа нь уналт тархаж, ft-■ өнцөг буурах болно. Энэ нь тохиолдож болно cos ft нь тэгш байдлын баруун талд маш их өсдөг (5,12) o"b_ 3-тай тэнцүү бол уналтын тэнцвэр нь өргөтгөсөн төлөвт үүснэ. Хэрэв ov_ 3 нь cos ft-д ч гэсэн тийм том бол. = 1 тэгш байдлын зүүн тал (5.12) илүү зөв (01 _z > 0 2 -з + o"i_ 2)>дараа нь дусал шингэн хальс руу сунах болно. Хэрэв тэгш байдлын баруун тал (5.12) -аас илүү о" би 3, дараа нь уналт төв рүү агшиж, өнцөг ft нэмэгдэж, тэнцвэрт байдал үүсэх хүртэл коs ft зохих ёсоор буурна. Cos ft сөрөг болоход дусал нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэрийг авна. 5.22, б.Хэрэв энэ нь тогтоогдвол 0 2 - 3 маш гайхалтай тул cos ft-т ч гэсэн = -1 (ft = i) тэгш байдлын баруун тал (5.12) илүү их байх болно о" би-z (01 -z <02 h- 01-2)1 дараа нь таталцлын хүч байхгүй үед дусал бөмбөг болж агших болно. Энэ тохиолдол нь шилэн гадаргуу дээр мөнгөн усны жижиг дуслаар ажиглагдаж болно.

Чийгшүүлэх шалгуурыг наалдамхай, нэгдлийн ажлын хүрээнд илэрхийлж болно. Наалдац A aЭнэ нь хоорондоо харилцан адилгүй (хатуу эсвэл шингэн) биетүүдийн (фазын) гадаргуугийн давхаргын хоорондох холбоо үүсэх явдал юм. Холбоо барих биетүүд ижил байх үед наалдсан онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг эв нэгдэл(тэмдэглэсэн А в).Наалдац нь биеийг салгахад зарцуулсан тодорхой ажлаар тодорхойлогддог. Энэ ажлыг гадаргуугийн хоорондох контактын нэгж талбайд тооцдог бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн тусгаарлахаас хамаарна: интерфэйсийн дагуу зүсэх эсвэл гадаргууд перпендикуляр чиглэлд тусгаарлах замаар. Хоёр өөр биетийн хувьд (үе шат) АТэгээд INтэгшитгэлээр илэрхийлж болно

А а= зуун +болон дотор-Нэг,

Хаана А А, болон in, болон A - in- А ба В фазын агаарын хил ба тэдгээрийн хоорондох гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициентүүд.

Нэгдмэл байдлын хувьд А ба В үе шат бүрийн хувьд бид:

АШ = 2а А, А<*> = 2а в.

Бидний бодож байгаа уналтын хувьд

L S| =2a]_ 2 ; А а= ffi^ 3 -f ai_ 2 - sb-z-

Тиймээс чийгшүүлэх шалгуурыг тэгш байдлаар илэрхийлж болно

IN - -тай

Тиймээс ялгаа нэмэгдэх тусам 2А a-Л норох үед сайжирдаг.

коэффициентүүд гэдгийг анхаарна уу cti-z баОо„ 3 нь ихэвчлэн хий ба шингэний зааг дахь хатуу биетийн гадаргуугийн хурцадмал байдалтай тодорхойлогддог бол термодинамикийн тэнцвэрт байдалд хатуу биетийн гадаргуу нь дусал үүсгэгч бодисын тэнцвэрт шингээлтийн давхаргаар бүрхэгдсэн байдаг. Тиймээс тэнцвэрийн контактын өнцгийн асуудлыг яг шийдэхийн тулд cri_3 ба (Tg-z., ерөнхийдөө, хатуу биет өөрөө биш, харин түүнийг бүрхсэн шингээлтийн давхаргад хамаарах ёстой. термодинамик шинж чанарууд нь хатуу субстратын хүчний талбараар тодорхойлогддог.

Нойтон үзэгдлүүд ялангуяа тэг таталцлын үед тод илэрдэг. Сансрын жингүйдлийн төлөвт шингэнийг судлах ажлыг анх Зөвлөлтийн нисгэгч-сансрын нисэгч П.Р.Попович Восток-4 сансрын хөлөг дээр хийжээ. Усан онгоцны бүхээгт хагас усаар дүүргэсэн бөмбөрцөг хэлбэртэй шилэн колбонд байв. Ус цэвэр шилийг (O = 0) бүрэн норгодог тул жингүй нөхцөлд энэ нь бүх гадаргуу дээр тархаж, колбоны доторх агаарыг хаадаг. Ийнхүү шил ба агаарын хоорондох интерфейс алга болсон нь эрч хүчтэй ашиг тустай болсон. Гэсэн хэдий ч холбоо барих өнцөг би)шингэний гадаргуу ба колбоны хананы хооронд, жингүйдлийн байдал нь дэлхий дээрхтэй ижил хэвээр байв.

Техник, өдөр тутмын амьдралд чийглэх, чийглэхгүй байх үзэгдлүүд өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, даавууг ус зэвүүн болгохын тулд түүнийг гидрофобжуулагч (ус чийгшүүлэхийг алдагдуулдаг) бодисоор (саван, олейны хүчил гэх мэт) эмчилдэг. Эдгээр бодисууд нь утаснуудын эргэн тойронд нимгэн хальс үүсгэдэг бөгөөд энэ нь ус-нэхмэлийн интерфейс дэх гадаргуугийн хурцадмал байдлыг нэмэгдүүлдэг боловч даавуу-агаарын интерфейс дээр бага зэрэг өөрчлөгддөг. Энэ тохиолдолд устай харьцах үед контактын өнцөг O нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нүх нь жижиг бол ус нь тэдгээрт нэвчдэггүй, харин гүдгэр гадаргуугийн хальсанд үлдэж, материалыг амархан өнхрүүлэн дуслаар цуглуулдаг.

Зүлгүүрийн шингэн нь маш жижиг нүхээр урсдаггүй. Жишээлбэл, шигшүүрээр нэхсэн утаснууд нь парафинаар хучигдсан бол мэдээжийн хэрэг шингэний давхарга бага байвал дотор нь ус зөөж болно. Энэ өмчийн ачаар усан дундуур хурдан гүйж буй усны шувуудын шавж сарвуугаа нордоггүй. Будах, наах, гагнах, шингэн орчинд хатуу бодисыг тараах гэх мэт үед сайн чийгшүүлэх шаардлагатай.

ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР

УЛСЫН ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

Курсын ажил

"Газар доорх гидромеханик" курс

Сэдэв: “Лапласын тэгшитгэлийн гарал үүсэл. "Шүүлтийн онолын хавтгай асуудлууд"

Танилцуулга

1. Сүвэрхэг орчин дахь шахагдах ба шахагдахгүй шингэний хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл. Лапласын тэгшитгэлийн гарал үүсэл.

2.1 Төгс худаг руу цутгах

2.1.1 Тарилгын цооногоос үйлдвэрлэлийн цооног хүртэлх шүүлтүүрийн урсгал

2.1.2 Алсын тэжээлийн хэлхээтэй бүлэг худаг руу орох урсгал

2.1.3 Шулуун шугамын тэжээлийн хэлхээтэй давхарга дахь худаг руу орох урсгал

2.1.4 Ус үл нэвтрэх шулуун хилийн ойролцоо байрлах худаг руу орох урсгал

2.1.5 Дурын тэжээлийн хэлхээтэй давхарга дахь худаг руу орох урсгал

2.1.6 Эцэс төгсгөлгүй гинж болон худгийн батерей руу орох урсгал

2.1.6.1 Бөгжний зайны худаг руу орох урсгал

2.1.6.2 Худагны шулуун батерей руу орох урсгал

2.1.7 Шүүлтийн эсэргүүцлийн эквивалент арга

Уран зохиол

Танилцуулга

Газрын доорхи гидромеханик нь сүвэрхэг, хагархай чулуулаг дахь шингэн, хий, тэдгээрийн хольцын хөдөлгөөний шинжлэх ухаан бөгөөд газрын тос, байгалийн хийн ордуудыг хөгжүүлэх онолын үндэс, газрын тосны их дээд сургуулийн хээрийн болон геологийн факультетуудын сургалтын хөтөлбөрийн үндсэн хичээлүүдийн нэг юм. .

Газрын доорхи гидравлик нь сүвэрхэг орчинд агуулагдах газрын тос, хий, ус нь нэг гидравлик системийг бүрдүүлдэг гэсэн санаан дээр суурилдаг.

PGD-ийн онолын үндэс нь шүүлтүүрийн онол юм - өгөгдсөн шингэний хөдөлгөөнийг тасралтгүй механикийн үүднээс тайлбарладаг шинжлэх ухаан, өөрөөр хэлбэл. урсгалын тасралтгүй байдлын (тасралтгүй байдлын) таамаглал.

Байгалийн тогтоц дахь газрын тос, хийн шүүлтүүрийн онолын нэг онцлог шинж чанар нь хэмжээсүүд нь томруулсан дарааллаар ялгаатай талбайн үйл явцыг нэгэн зэрэг авч үзэх явдал юм: нүхний хэмжээ (арван микрометр хүртэл), худгийн диаметр (хэдэн арван см хүртэл), тогтоцын зузаан (хэдэн арван метр хүртэл), худгийн хоорондох зай (хэдэн зуун метр), ордуудын урт (зуу зуун километр хүртэл).

Энэхүү курсын ажилд Лапластын үндсэн тэгшитгэлийг гаргаж, шүүлтүүрийн онолын хавтгай бодлого, тэдгээрийн шийдлийг авч үзэх болно.

1. Сүвэрхэг орчин дахь шахагдах ба шахагдахгүй шингэний хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл. Лапласын тэгшитгэлийн гарал үүсэл

Шахагдах шингэний хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг гаргахдаа анхны тэгшитгэлүүд нь дараах байдалтай байна.

шингэний шүүлтийн хууль; Шүүлтийн хуулийн хувьд бид (3.1) томъёогоор илэрхийлсэн шугаман шүүх хуулийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Тасралтгүй байдлын тэгшитгэл (3.2)

төлөвийн тэгшитгэл. Дусал шахагдах шингэний хувьд төлөвийн тэгшитгэлийг (3.3) хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Тасралтгүй байдлын тэгшитгэлд (3.2) шүүлтүүрийн хурдны төсөөллийн оронд vx, vy ба vz утгыг (3.1) томъёогоор илэрхийлсэн шугаман хуулийн дагуу орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

төлөв тэгшитгэл (3.3) бидэнд байна:

Эдгээр хэсэгчилсэн дериватив утгыг орлуулах

Лаплас операторыг танилцуулж байна

(3.7) тэгшитгэлийг илүү товчоор бичиж болно

Үүнийг харгалзан үзвэл

(3.7) тэгшитгэлийг ойролцоогоор дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Тэгшитгэл (3.7) эсвэл ойролцоогоор орлуулах тэгшитгэл (3.10) нь сүвэрхэг орчин дахь шахагдах шингэний тогтворгүй хөдөлгөөний хувьд хүссэн дифференциал тэгшитгэл юм. Дээр дурдсан тэгшитгэлүүд нь "дулааны тэгшитгэл" хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн интеграцчлалыг янз бүрийн анхны болон хилийн нөхцөлд математик физикийн хичээл бүрт авч үздэг.

Төрөл бүрийн анхны болон хилийн нөхцөлд тэгшитгэлийн (3.7) интегралд үндэслэсэн сүвэрхэг орчинд нэгэн төрлийн шахагдах шингэний тогтворгүй хөдөлгөөний талаархи янз бүрийн асуудлын шийдлийг В.Н.Щелкачев, И.А.Чарни, М.Маскет нарын номонд өгсөн болно . Шахах шингэний тогтвортой хөдөлгөөнөөр

(3.11) тэгшитгэлийг Лапласын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Шахагдашгүй шингэний тогтвортой ба тогтворгүй шүүлтүүрийн үед шингэний нягт тогтмол байдаг тул тэгшитгэлийн баруун талын утга (3.4) тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг тогтмол тоогоор багасгах

Иймд шахагдаагүй шингэний тогтвортой ба тогтворгүй шүүлтүүрийг Лапласын тэгшитгэл (3.12)-аар тодорхойлно.

2. Шүүлтийн онолын хавтгай бодлого

Газрын тос, байгалийн хийн ордуудыг (OGF) ашиглах үед хоёр төрлийн асуудал үүсдэг.

1. Худагны урсацын хурдыг тогтоосон бөгөөд энэ зарцуулалтын хурдад шаардагдах ёроолын гүний даралт ба үүнээс гадна давхаргын аль ч цэгийн даралтыг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд урсгалын хурдыг одоо байгаа усан сангуудын сүйрэл хараахан болоогүй байгаа хамгийн их хотгорын утга, эсвэл худгийн төхөөрөмжийн хүч чадлын шинж чанар, физик утгаараа тодорхойлно. Сүүлийнх нь жишээлбэл, ёроолын тэг буюу сөрөг даралтыг бий болгох боломжгүй гэсэн үг юм.

2. Цооногийн даралтыг тохируулж, урсгалын хурдыг тодорхойлох шаардлагатай. Сүүлийн төрлийн нөхцөл байдал нь GPS-ийн хөгжүүлэлтийн практикт ихэвчлэн тохиолддог. Цооногийн даралтын хэмжээг ашиглалтын нөхцлөөр тодорхойлно. Жишээлбэл, хийн конденсат талбайг хөгжүүлэх явцад усан сан дахь газрын тосны хийгүйдэл эсвэл конденсат хур тунадас үүсэхээс сэргийлж, худгийн бүтээмжийн шинж чанарыг бууруулдаг даралт нь ханасан даралтаас их байх ёстой. Эцэст нь, хэрэв элсийг тогтоцоос худгийн ёроолд хүргэх боломжтой бол худгийн ханан дээрх шүүлтүүрийн хэмжээ нь тодорхой хязгаарын хэмжээнээс бага байх ёстой.

Бүлэг худгийг ижил нөхцөлд ажиллуулахдаа, i.e. ёроолын ижил даралттай үед бүх талбайн олборлолтын хурд нь ёроолын ижил нөхцөлтэй шинэ худгийн тоо нэмэгдэхээс удаан өсдөг (Зураг 4.1). Урсгалын хурд нэмэгдэхийн тулд ёроолын даралтыг бууруулах шаардлагатай.

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид худгийн хавтгай хөндлөнгийн (давхлан) асуудлыг шийдэх болно. Формац нь хязгааргүй, хэвтээ, тогтмол зузаантай, нэвтэрдэггүй суурь, дээвэртэй гэж үзье. Формац нь олон төгс цооногоор нэвтэрч, нэгэн төрлийн шингэн эсвэл хийгээр дүүрдэг. Шингэний хөдөлгөөн тогтвортой, Дарсигийн хуулийг дагаж мөрддөг, тэгш байдаг. Хавтгай хөдөлгөөн гэдэг нь урсгал нь бие биентэйгээ параллель хавтгайд явагддаг бөгөөд бүх хавтгай дахь хөдөлгөөний загвар ижил байна гэсэн үг юм. Үүнтэй холбогдуулан эдгээр хавтгайн аль нэг дэх урсгалыг шинжилдэг - урсгалын үндсэн хавтгайд.

Бид асуудлын шийдлийг урсгалын суперпозиция (суперпозиция) зарчим дээр үндэслэнэ. Энэ зарчим дээр суурилсан суперпозиция арга нь дараах байдалтай байна.

Формацид хэд хэдэн ус зайлуулах суваг (үйлдвэрлэлийн худаг) эсвэл эх үүсвэр (шахах худаг) хамтдаа ажиллах үед ус зайлуулах суваг (эх үүсвэр) тус бүрээр тодорхойлогдсон боломжит функцийг нэг ус зайлуулах (эх үүсвэр) томъёогоор тооцоолно. Бүх угаалтуур (эх сурвалж) -аас үүдэлтэй боломжит функцийг боломжит функцийн эдгээр бие даасан утгуудыг алгебрийн аргаар нэмж тооцдог. Нийт шүүлтүүрийн хурдыг худаг бүрийн үйл ажиллагааны үр дүнд үүссэн шүүлтийн хурдны векторын нийлбэрээр тодорхойлно (Зураг 4.2б).

Хязгааргүй усан сан дахь массын урсгалын эерэг хурдтай n дренаж ба сөрөг массын зарцуулалттай эх үүсвэрүүд байг (Зураг 4.2а Энэ тохиолдолд худаг бүрийн ойролцоох урсгал нь хавтгай-радиаль ба потенциал).

Мойвр-Лапласын орон нутгийн теорем. 0 Тэгээд 1, тэгвэл магадлал P t n, А үйл явдал хангалттай олон тооны бие даасан n туршилтанд m удаа тохиолдох n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

- Гауссын функцТэгээд

Илүү том, илүү нарийвчлалтай ойролцоо томъёо (2.7) гэж нэрлэдэг Орон нутгийн Мойвр-Лаплас томъёо.Ойролцоо магадлалын утгууд R tpuОрон нутгийн томъёогоор (2.7) өгөгдсөн бөгөөд практикт тэдгээрийг яг тодорхой томъёогоор ашигладаг шаргалойролцоогоор хоёр ба түүнээс дээш арав, i.e. үүнийг өгсөн шаргал > 20.

(2.7) томъёог ашиглахтай холбоотой тооцооллыг хялбарчлахын тулд /(x) функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн (Хүснэгт I, хавсралтад өгсөн). Энэ хүснэгтийг ашиглахдаа /(x) (2.8) функцийн тодорхой шинж чанарыг санах хэрэгтэй.

• 1. Чиг үүрэг/(X) тэгш байна, өөрөөр хэлбэл /(-x) = /(x).
• 2. Чиг үүрэг/(X) - эерэг утгуудын хувьд монотон буурч байна X, болон цагт x -> co /(x) -» 0.
• (Практикт бид аль хэдийн x > 4 /(x) « 0 байна гэж үзэж болно.)

[> Жишээ 2.5. Зарим газарт 100 айл тутмын 80 нь хөргөгчтэй байдаг. 400 айлын 300 нь хөргөгчтэй байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Айл хөргөгчтэй байх магадлал p = 80/100 = 0.8. Учир нь n= 100 хангалттай том (нөхцөл шаргал= = 100 0.8(1-0.8) = 64 > 20 сэтгэл ханамжтай), дараа нь бид орон нутгийн Мойвр-Лаплас томъёог хэрэглэнэ.

Эхлээд бид (2.9) томъёогоор тодорхойлно.

Дараа нь (2.7) томъёоны дагуу.

(хавсралтуудын I Хүснэгтээс /(2.50) утгыг олсон). Маш бага магадлалын утга /300,400 нь үйл явдалаас гадна эргэлзээ төрүүлэх ёсгүй.

“400 айлын яг 300 нь хөргөгчтэй”, өөр 400 гаруй арга хэмжээ “400-аас 0”, “400-аас 1”,..., “400-аас 400” гэсэн өөрийн магадлалаар боломжтой. Эдгээр үйл явдлууд нийлээд бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм. ?

Жишээ 2.5-ын нөхцөлд 300-360 айл (хамааруулсан) хөргөгчтэй байх магадлалыг олох шаардлагатай гэж бодъё. Энэ тохиолдолд нэмэх теоремын дагуу хүссэн үйл явдлын магадлал

Зарчмын хувьд нэр томьёо бүрийг орон нутгийн Мойвр-Лаплас томъёогоор тооцоолж болох боловч олон тооны нэр томъёо нь тооцооллыг маш төвөгтэй болгодог. Ийм тохиолдолд дараах теоремыг ашиглана.

Мойврын интеграл теорем - Лаплас. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол ба түүнээс ялгаатай 0 Тэгээд 1, тэгвэл магадлал байна, n бие даасан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох m тоо нь a-аас b хүртэлх мужид байна (багтаасан), хангалттай их тооны хувьд n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

- функц(эсвэл магадлалын интеграл) Лаплас",

(Теоремын баталгааг 6.5-р хэсэгт өгсөн болно.)

Формула (2.10) гэж нэрлэдэг Мойвр-Лапласын салшгүй томьёо.Илүү их p,Энэ томъёо нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Нөхцөл хангагдсан үед prue > > 20 интеграл томъёо (2.10) нь орон нутгийн нэгэн адил практикт хангалттай магадлалыг тооцоолоход алдаа гаргадаг.

Ф(дг) функцийг хүснэгтэд үзүүлэв (хавсралтуудын II Хүснэгтийг үзнэ үү). Энэ хүснэгтийг ашиглахын тулд та Ф(х) функцийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй.

1. Чиг үүрэг f(x) хачин,тэдгээр. Ф(-х) = -Ф(х).

? Бид хувьсагчийн өөрчлөлт хийх үү? = -Г.Дараа нь (k =

= -(12. 2-р хувьсагчийн интеграцийн хязгаар нь 0 ба байна X.Бид авдаг

тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаарахгүй тул. ?

2. Ф(х) функц монотон нэмэгдэж байна, мөн x -> дээр+ тэгэхээр f(.g) -> 1 (барагтаа бид үүнийг аль хэдийн гэж үзэж болно x > 4 Ф(х)~ 1).

Хувьсагчийн дээд хязгаарт хамаарах интегралын дериватив нь дээд хязгаарын утга дээрх интегралтай тэнцүү тул g.s.

, ба үргэлж эерэг байвал Ф(х) нэг хэвийн өснө

бүх тооны мөрөнд.

Хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе, тэгвэл интеграцийн хязгаар өөрчлөгдөхгүй ба

(тэгш функцийн интеграл учраас

Үүнийг харгалзан үзвэл (Эйлерийн интеграл - Пуассон),бид авдаг

?

O Жишээ 2.6. Жишээ 2.5-ын өгөгдөлд үндэслэн 400 айлын 300-360 (хамааруулсан) нь хөргөгчтэй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл.Бид Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг ашигладаг (пр= 64 > 20). Эхлээд бид томъёог ашиглан тодорхойлно (2.12)

Одоо Ф(.т)-ийн шинж чанарыг харгалзан (2.10) томъёог ашиглан бид олж авна

(хавсралтуудын II хүснэгтийн дагуу?

Мойвр-Лаплас интеграл теоремын үр дагаварыг авч үзье. Үр дагавар. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол ба түүнээс ялгаатай 0 Би, хангалттай олон тооны бие даасан туршилтууд n байвал магадлал нь:

A) А үйл явдлын тохиолдлын m тоо нь pr бүтээгдэхүүнээс илүүгүй ялгаатай байна e > 0 (үнэмлэхүй утгаар),тэдгээр.

б) t/p үйл явдлын давтамж А хязгаарт байнаа-аас p хүртэл ( Би үүнийг асаана- онцлон тэмдэглэв, өөрөөр хэлбэл

V) А үйл явдлын давтамж нь түүний магадлалаас p -ээс ихгүй ялгаатай байна A > 0 (үнэмлэхүй утгаар), i.e.

A) Тэгш бус байдал |/?7-7?/?| давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна pr-e Тиймээс интеграл томьёоны дагуу (2.10)

• б) Тэгш бус байдал тэгш бус байдалтай тэнцүү байна мөн хэзээ a = паТэгээд б= /?r. Томъёо (2.10), (2.12) дахь хэмжигдэхүүнүүдийг орлуулах АТэгээд бХүлээн авсан илэрхийллүүдийг ашиглан бид нотлох (2.14) ба (2.15) томъёог олж авна.
• в) Тэгш бус байдал mjn-р нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна t-pr Томъёонд орлуулах (2.13) g = Ap,бид нотлох (2.16) томъёог олж авна. ?

[> Жишээ 2.7. Жишээ 2.5-ын өгөгдөлд үндэслэн 400 айлын 280-360 айл хөргөгчтэй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. P 400 (280 t pr = 320. Дараа нь (2.13) томъёоны дагуу) магадлалыг тооцоол.

[> Жишээ 2.8. Статистикийн мэдээгээр нярайн дунджаар 87% нь 50 насалдаг байна.

• 1. 1000 нярайд 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь (давтамж) байх магадлалыг ол: a) 0.9-0.95 хооронд байх; б) энэ үйл явдлын магадлалаас 0.04-ээс ихгүй зөрүүтэй байна (гэхдээ үнэмлэхүй утгаараа).
• 2. Найдвартай 0,95 нярайн хэдэн хүүхдэд 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь 0,86-0,88 хооронд байх вэ?

Шийдэл. 1, a) Магадлал rШинээр төрсөн хүүхэд 50 наслах нь 0.87 байна. Учир нь n= 1000 нь том (нөхцөл prd=1000 0.87 0.13 = = 113.1 > 20 хангагдсан), дараа нь бид Мойвр-Лапласын интеграл теоремын үр дүнг ашиглана. Эхлээд бид томъёогоор тодорхойлно (2.15)

Одоо томъёоны дагуу (2.14)

1, b) Томъёоны дагуу (2.16)

Тэгш бус байдлаас хойш тэгш бус байдалтай адил

олж авсан үр дүн нь 1000 шинэ төрсөн хүүхдийн 0.83-0.91 нь 50 наслах нь бараг тодорхой гэсэн үг юм. ?

2. Нөхцөлөөр эсвэл

Томъёоны дагуу (2.16) үед A = 0.01

Хүснэгтийн дагуу II хавсралтууд F(G) = 0.95 үед G = 1.96, тиймээс,

хаана

тэдгээр. Нярайн тоог мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх замаар нөхцөл байдлыг (*) баталгаажуулж болно n = 4345. ?

• Теоремын баталгааг 6.5-р хэсэгт өгөв. pr, prs( хэмжигдэхүүний магадлалын утгыг 4.1-д заасан болно (130-р хуудасны тайлбарыг үзнэ үү).
• RF/n утгын магадлалын утгыг 4.1-д заасан болно.