Улирал

ГэрБагш руу Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. салангид.

Тэгээдтасралтгүй

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн - энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцооллын хувьд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дугаарлаж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 1

. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ энд байна:

a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэгүүд,\n$ байна.

б) зоос шидэх үед буурсан бэлгэ тэмдгийн тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

в) онгоцонд ирж буй хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц).

d) PBX-д ирж буй дуудлагын тоо (тоолох утгуудын багц). 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.$X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
$\begin(массив)(|c|c|)
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
\hline
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\

p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \end(массив)$

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.

. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь үхрийг шидэх үед авсан онооны тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ дараах утгуудыг авч болно: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Тэгвэл $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

Сэтгэгдэл

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлттүүний "төв" утгыг тогтоодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийг $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалын эдгээр утгуудад харгалзах байдлаар тооцно. : $ M \ зүүн (X \ баруун) = \ нийлбэр ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Англи хэл дээрх уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$:

1. $M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ба хамгийн том утгуудын хооронд оршдог.
2. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү, i.e. $M\зүүн(C\баруун)=C$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Жишээ 3 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё.

$$M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+2\cdot ((1)\(6) )+3\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+4\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+5\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+6\cdot ((1) )\ дээш (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байрлаж байгааг бид анзаарч болно.

Жишээ 4 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=11$.

Жишээ 5 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.

Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөр өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёр оюутны бүлэгт магадлалын онолын шалгалтын дундаж оноо 4 байсан ч нэг бүлэгт бүгд сайн сурагчид, нөгөө бүлэгт зөвхөн С, онц сурлагатанууд байсан. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар нь түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс$X$ нь дараахтай тэнцүү:

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2).\ $$

Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ хэлбэлзлийг $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) томъёогоор тооцдог. зүүн(X \баруун)\баруун))^2$.

Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$:

1. Дисперс нь үргэлж тэгээс их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(X\баруун)\ge 0$.
2. Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(C\баруун)=0$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваасан тохиолдолд тархалтын тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. $D \ зүүн (CX \ баруун) = C ^ 2D \ зүүн (X \ баруун) $.
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X+Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ялгааны дисперс нь тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X-Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.

Жишээ 6 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=((1)\ дээш (6))\cdot (\зүүн(1-3.5\баруун))^2+((1)\(6) дээр)\cdot (\зүүн(2-3.5\баруун))^2+ \цэг +( (1)\(6)-аас дээш)\cdot (\зүүн(6-3,5\баруун))^2=((35)\(12))\ойролцоогоор 2,92.$$

Жишээ 7 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$.

Жишээ 8 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=3$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$.

4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийн биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$-аас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл $F\ зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X< x\right)$

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1. $0\le F\left(x\баруун)\le 1$.
2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - буурахгүй.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x) \баруун)=1\ )$.

Жишээ 9 . $2$ жишээнээс $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн $F\left(x\right)$ тархалтын функцийг олцгооё.

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\

Хэрэв $x\le 1$ бол мэдээж $F\left(x\right)=0$ (үүнд $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Хэрэв 1 доллар< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Хэрэв 2 доллар< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Хэрэв 3 доллар< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Хэрэв 4 доллар< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Хэрэв 5 доллар< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Хэрэв $x > 6$ бол $F\left(x\right)=P\left(X=1\баруун)+P\left(X=2\баруун)+P\зүүн(X=3\баруун) +P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Тэгэхээр $F(x)=\left\(\эхлэх(матриц))
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\төгсгөл(матриц)\баруун.$

Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ түгээлтийн хууль тодорхойгүй байдаг тул хүн өөрийгөө бага мэдээллээр хязгаарлах шаардлагатай болдог. Заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүхэлд нь дүрсэлсэн тоонуудыг ашиглах нь бүр илүү ашигтай байдаг; ийм тоонуудыг дууддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм.

Доор үзүүлсэн шиг математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгатай тэнцүү байна. Олон асуудлыг шийдэхийн тулд математикийн хүлээлтийг мэдэхэд хангалттай. Жишээлбэл, хэрэв эхний шидэгчийн авсан онооны тооны математикийн хүлээлт хоёр дахь онооноос их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол эхний шидэгч дунджаар хоёр дахь буудлаас илүү оноо авсан тул илүү сайн харвадаг. хоёрдохоосоо. Хэдийгээр математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай тархалтын хуулиас хамаагүй бага мэдээлэл өгдөг ч математик хүлээлтийн талаарх мэдлэг нь дээрх болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.

§ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт

Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье X зөвхөн утгыг авч болно X 1 , X 2 , ..., X n , магадлалууд нь тус тус тэнцүү байна r 1 , r 2 , . . ., r n . Дараа нь математикийн хүлээлт М(X) санамсаргүй хувьсагч X тэгш эрхээр тодорхойлогддог

М(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x n х n .

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг, тэгвэл

М(X)=

Түүгээр ч барахгүй тэгш байдлын баруун талд байгаа цувралууд туйлын нийлбэл математикийн хүлээлт бий болно.

Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтоос харахад салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй (тогтмол) хэмжигдэхүүн юм. Дараа нь олон удаа хэрэглэгдэх тул энэ мэдэгдлийг санаж байхыг зөвлөж байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь мөн тогтмол утга гэдгийг дараа харуулах болно.

Жишээ 1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X, түүний тархалтын хуулийг мэдэх нь:

Шийдэл. Шаардлагатай математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Жишээ 2.Үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг ол Аүйл явдлын магадлал бол нэг шүүх хуралдаанд Атэнцүү байна r.

Шийдэл. Санамсаргүй хувьсагч X - үйл явдлын тохиолдлын тоо Анэг туршилтанд - зөвхөн хоёр утгыг авч болно: X 1 = 1 (үйл явдал Атохиолдсон) магадлалаар rТэгээд X 2 = 0 (үйл явдал Атохиолдоогүй) магадлалаар q= 1 -r.Шаардлагатай математикийн хүлээлт

М(X)= 1* х+ 0* q= х

Тэгэхээр, Нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын тооны математик хүлээлт нь энэ үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна.Энэ үр дүнг доор ашиглах болно.

§ 3. Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга

Үүнийг үйлдвэрлэе nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүхий тестүүд X хүлээн зөвшөөрсөн Т 1 дахин үнэ цэнэ X 1 , Т 2 дахин үнэ цэнэ X 2 ,...,м к дахин үнэ цэнэ x к , болон Т 1 + Т 2 + …+т руу = х.Дараа нь авсан бүх утгуудын нийлбэр X, тэнцүү байна

X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу .

Арифметик дундажийг олъё Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бүх утгыг бид олсон нийлбэрийг тестийн нийт тоонд хуваана.

= (X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу)/p,

= X 1 (м 1 / n) + X 2 (м 2 / n) + ... + X руу (Т руу /н). (*)

хандлага байгааг анзаарсан м 1 / n- харьцангуй давтамж В 1 үнэт зүйлс X 1 , м 2 / n - харьцангуй давтамж В 2 үнэт зүйлс X 2 гэх мэт харьцааг (*) дараах байдлаар бичнэ.

=X 1 В 1 + x 2 В 2 + .. . + X руу В к . (**)

Туршилтын тоо нэлээд их байна гэж бодъё. Дараа нь харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна (үүнийг IX бүлгийн § 6-д нотлох болно):

В 1 х 1 , В 2 х 2 , …, В к х к .

Харьцангуй давтамжийг (**) хамааралтай магадлалаар сольж бид олж авна

x 1 х 1 + X 2 r 2 + … + X руу r руу .

Энэ ойролцоо тэгш байдлын баруун тал нь М(X). Тэгэхээр,

М(X).

Хүлээн авсан үр дүнгийн магадлалын утга нь дараах байдалтай байна. математикийн хүлээлт ойролцоогоор тэнцүү байна(илүү нарийвчлалтай байх тусам шинжилгээний тоо их болно) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж.

Тайлбар 1. Математикийн хүлээлт нь хамгийн багаас их, боломжит хамгийн том утгаас бага гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоон мөрөнд боломжит утгууд нь математикийн хүлээлтийн зүүн ба баруун талд байрлана. Энэ утгаараа математикийн хүлээлт нь тархалтын байршлыг тодорхойлдог тул ихэвчлэн нэрлэдэг түгээлтийн төв.

Энэ нэр томъёо нь механикаас зээлсэн: хэрэв масс r 1 , х 2 , ..., r nабсцисса цэгүүдэд байрладаг x 1 , X 2 , ..., X n, ба
дараа нь хүндийн төвийн абсцисса

x в =
.

Үүнийг харгалзан үзвэл
= М (X) Тэгээд
бид авдаг М(X)= x -тай .

Тиймээс, математикийн хүлээлт нь материаллаг цэгүүдийн системийн хүндийн төвийн абсцисса бөгөөд тэдгээрийн абсцисса нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгатай тэнцүү, масс нь тэдний магадлалтай тэнцүү байна.

Тайлбар 2. "Математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёоны гарал үүсэл нь магадлалын онол үүссэн эхний үетэй (XVI - XVII зуун) холбоотой бөгөөд түүний хэрэглээний хамрах хүрээ нь мөрийтэй тоглоомоор хязгаарлагддаг. Тоглогч нь хүлээгдэж буй ялалтын дундаж утгыг, эсвэл өөрөөр хэлбэл хожих математикийн хүлээлтийг сонирхож байв.

Хувь хүний ​​​​үнэг бүр нь түүний хуваарилалтын функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Мөн практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд үүний ачаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарыг богино хэлбэрээр танилцуулах боломжтой болно.

Эдгээр тоо хэмжээ нь үндсэндээ орно математикийн хүлээлтТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. тархалт .

Хүлээлт- магадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга. гэж тэмдэглэсэн.

Хамгийн энгийнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w), яаж олох интегралЛебесгмагадлалын хэмжүүртэй холбоотой Р эх магадлалын орон зай

Та мөн утгын математик хүлээлтийг олж болно Лебегийн интеграл-аас Xмагадлалын тархалтаар R Xтоо хэмжээ X:

бүх боломжит утгуудын багц хаана байна X.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс функцүүдийн математик хүлээлт Xтүгээх замаар олж болно R X. Жишээ нь, Хэрэв X- ба доторх утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн f(x)- хоёрдмол утгагүй Борелфункц X , Тэр нь:

Хэрэв F(x)- түгээлтийн функц X, дараа нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлж болно интегралLebesgue - Stieltjes (эсвэл Riemann - Stieltjes):

энэ тохиолдолд интегралчлал Xхувьд ( * ) интегралын төгсгөлтэй тохирч байна

Тодорхой тохиолдолд, хэрэв Xмагадлал бүхий салангид тархалттай байна х к, k=1, 2, . , ба магадлал, дараа нь

Хэрэв Xмагадлалын нягтаршил бүхий үнэмлэхүй тасралтгүй тархалттай p(x), Тэр

Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлт байгаа нь харгалзах цуврал буюу интегралын үнэмлэхүй нийлэлтэй тэнцүү байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд.

• Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна:

C- тогтмол;

• M=C.M[X]

• Санамсаргүй байдлаар авсан утгуудын нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

• Санамсаргүй байдлаар авсан бие даасан хувьсагчдын үржвэрийн математик хүлээлт = тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр:

M=M[X]+M[Y]

Хэрэв XТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. Юбие даасан.

хэрэв цуврал нийлбэл:

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; утга тус бүрийг тэгээс өөр магадлалаар оноох.

1. Хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүл: x iдээр p i.

2. Хос бүрийн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ x i p i.

Жишээ нь, Учир нь n = 4 :

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар, магадлал нь эерэг тэмдэгтэй цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.

Жишээ:Томьёог ашиглан математикийн хүлээлтийг ол.

Хүлээлт ба дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанар юм. Эдгээр нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, тархалтын зэрэг. Олон практик асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн, бүрэн гүйцэд шинж чанар буюу тархалтын хуулийг олж авах боломжгүй эсвэл огт хэрэггүй болно. Эдгээр тохиолдолд тоон шинж чанарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ойролцоо тодорхойлолтоор хязгаарлагдана.

Хүлээгдэж буй утгыг ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь тархалтын шинж чанар, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тойрон тархах явдал юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбар дээр үндэслэн математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзье. Нэгж массыг x тэнхлэгийн цэгүүдийн хооронд тараацгаая x1 , x 2 , ..., x n, мөн материаллаг цэг бүр нь харгалзах масстай х1 , х 2 , ..., х n. Материалын цэгүүдийн бүхэл системийн байрлалыг тэдгээрийн массыг харгалзан абсцисса тэнхлэг дээр нэг цэгийг сонгох шаардлагатай. Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийг ийм цэг болгон авах нь зүйн хэрэг юм. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигнэсэн дундаж юм X, аль нь цэг бүрийн абсцисс xбихаргалзах магадлалтай тэнцэх "жин"-ээр ордог. Ийм аргаар олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга Xтүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.

Жишээ 1.Хож-хож сугалаа зохион байгууллаа. 1000 хожил байгаа бөгөөд үүнээс 400 нь 10 рубль юм. Тус бүр нь 300-20 рубль. Тус бүр нь 200-100 рубль. тус бүр 100 - 200 рубль байна. Нэг тасалбар худалдаж авсан хүний ​​дундаж хожлын хэмжээ хэд вэ?

Шийдэл. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 рубль болох нийт хожлын дүнг 1000-д (нийт хожлын дүн) хуваавал бид дундаж хожлыг олох болно. Дараа нь бид 50000/1000 = 50 рубль авна. Гэхдээ дундаж ялалтыг тооцоолох илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Нөгөөтэйгүүр, эдгээр нөхцөлд ялалтын дүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 10, 20, 100, 200 рублийн утгыг авч болно. магадлал нь 0.4-тэй тэнцүү; 0.3; 0.2; 0.1. Тиймээс хүлээгдэж буй дундаж ялалт нь хожлын хэмжээ ба тэдгээрийг хүлээн авах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 2.Хэвлэлийн газар шинэ ном гаргахаар шийджээ. Тэрээр уг номоо 280 рублиэр зарахаар төлөвлөж байгаа бөгөөд үүнээс 200-г нь өөрөө, 50-г нь номын дэлгүүр, 30-ыг нь зохиолч авах юм байна. Хүснэгтэд ном хэвлэх зардал, номыг тодорхой тооны хувь борлуулах магадлалын талаархи мэдээллийг өгсөн болно.

Нийтлэгчийн хүлээгдэж буй ашгийг олоорой.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн "ашиг" нь борлуулалтаас олсон орлого ба зардлын зардлын зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв 500 хувь ном зарагдсан бол борлуулалтын орлого нь 200 * 500 = 100,000, хэвлэх зардал нь 225,000 рубль болно. Тиймээс нийтлэгч 125,000 рублийн алдагдал хүлээж байна. Дараахь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утгуудыг нэгтгэн харуулав - ашиг.

Тиймээс бид нийтлэгчийн ашгийн математикийн хүлээлтийг олж авдаг.

.

Жишээ 3.Нэг цохилтоор цохих магадлал х= 0.2. 5-тай тэнцэх цохилтын тоог математикийн таамаглалаар хангадаг сумны хэрэглээг тодорхойл.

Шийдэл. Бидний өнөөг хүртэл хэрэглэж байсан математикийн хүлээлтийн томъёоноос бид илэрхийлж байна x- бүрхүүлийн хэрэглээ:

.

Жишээ 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл xГурван цохилттой цохилтын тоо, хэрэв шидэлт тус бүрээр цохилт өгөх магадлал х = 0,4 .

Зөвлөмж: санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалыг олох Бернуллигийн томъёо .

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.

Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн (ялгаа) математикийн хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 5.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд Xижил тоогоор буурах (өсөх). ХАМТ, дараа нь түүний математик хүлээлт ижил тоогоор буурах (өсөх) болно:

Зөвхөн математикийн хүлээлтээр өөрийгөө хязгаарлаж чадахгүй байх үед

Ихэнх тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хангалттай тодорхойлж чадахгүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье XТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:

Эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэгтэй тэнцүү:

Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн тархалтын хэв маяг өөр өөр байдаг. Санамсаргүй хувьсагч Xзөвхөн математикийн хүлээлтээс бага зэрэг ялгаатай утгууд болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болно Юматематикийн хүлээлтээс ихээхэн зөрүүтэй утгыг авч болно. Үүнтэй төстэй жишээ: дундаж цалин нь өндөр, бага цалинтай ажилчдын эзлэх хувийг үнэлэх боломжгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хүлээлтээс дор хаяж дунджаар ямар хазайлт гарах боломжтойг дүгнэж болохгүй. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олох хэрэгтэй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Зөрчилдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн XМатематикийн хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xтүүний дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утгыг:

.

Жишээ 5.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох XТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. Ю, тархалтын хуулиудыг дээрх хүснэгтэд өгсөн болно.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт XТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. Ю, дээр дурдсанчлан, тэгтэй тэнцүү байна. Цагийн тархалтын томъёоны дагуу Э(X)=Э(y)=0 бид дараахыг авна:

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт XТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. Юбүрдүүлэх

.

Тиймээс ижил математикийн хүлээлттэй, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Xмаш жижиг боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүн Ю- чухал ач холбогдолтой. Энэ нь тэдний тархалтын ялгааны үр дагавар юм.

Жишээ 6.Хөрөнгө оруулагч нь өөр 4 хөрөнгө оруулалтын төсөлтэй. Хүснэгтэд эдгээр төслүүдийн хүлээгдэж буй ашгийг холбогдох магадлалаар нэгтгэн харуулав.

Альтернатив бүрийн хувьд математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. Гурав дахь хувилбарт эдгээр утгыг хэрхэн тооцож байгааг харуулъя.

Хүснэгтэд бүх хувилбаруудын олсон утгыг нэгтгэн харуулав.

Бүх хувилбарууд нь ижил математикийн хүлээлттэй байдаг. Энэ нь урт хугацаанд бүгд ижил орлоготой байна гэсэн үг. Стандарт хазайлтыг эрсдэлийн хэмжүүр гэж тайлбарлаж болно - энэ нь өндөр байх тусам хөрөнгө оруулалтын эрсдэл нэмэгддэг. Хамгийн бага стандарт хазайлттай (0) учир нэг их эрсдэл хүсэхгүй хөрөнгө оруулагч 1-р төслийг сонгоно. Хэрэв хөрөнгө оруулагч эрсдэл, богино хугацаанд өндөр өгөөжийг илүүд үздэг бол тэрээр хамгийн том стандарт хазайлттай төслийг сонгох болно - төсөл 4.

Тархалтын шинж чанарууд

Дисперсийн шинж чанарыг танилцуулъя.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын дисперс нь тэг байна:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.

.

Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэ утгын квадратын математик хүлээлттэй тэнцүү бөгөөд үүнээс тухайн утгын математик хүлээлтийн квадратыг хасна.

,

Хаана .

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна:

Жишээ 7.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг мэддэг Xзөвхөн хоёр утгыг авна: −3 ба 7. Үүнээс гадна математикийн хүлээлт мэдэгдэж байна: Э(X) = 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Шийдэл. -ээр тэмдэглэе хсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал x1 = −3 . Дараа нь үнэ цэнийн магадлал x2 = 7 1 - байх болно х. Математикийн хүлээлтийн тэгшитгэлийг гаргая:

Э(X) = x 1 х + x 2 (1 − х) = −3х + 7(1 − х) = 4 ,

Бид магадлалыг хаанаас авах вэ: х= 0.3 ба 1 − х = 0,7 .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

Бид энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн дисперсийн 3-р шинж чанарын томъёог ашиглан тооцоолно.

Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 8.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авдаг. Энэ нь 0.4 магадлалтайгаар 3-ын их утгыг хүлээн авдаг. Үүнээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг мэддэг Д(X) = 6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Жишээ 9.Нэг саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. Урдаас 3 бөмбөг сугалж авдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол.

Шийдэл. Санамсаргүй хувьсагч X 0, 1, 2, 3 утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг дараахаас тооцоолж болно магадлалыг үржүүлэх дүрэм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

Иймээс энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт:

М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь:

Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба дисперс

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлтийн механик тайлбар нь ижил утгыг хадгалах болно: нягтралтай x тэнхлэгт тасралтгүй тархсан нэгж массын массын төв. е(x). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь функц нь аргумент юм xбитасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь гэнэт өөрчлөгддөг бол аргумент нь тасралтгүй өөрчлөгддөг. Гэхдээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний дундаж утгатай бас холбоотой.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олохын тулд тодорхой интегралуудыг олох хэрэгтэй. . Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц өгөгдсөн бол энэ нь интегралд шууд орно. Хэрэв магадлалын тархалтын функц өгөгдсөн бол түүнийг ялгах замаар нягтын функцийг олох хэрэгтэй.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын арифметик дундажийг түүний гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт, эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

– шинээр төрсөн 10 хүүхдийн дундах хөвгүүдийн тоо.

Энэ тоо урьдаас тодорхойгүй байгаа нь туйлын тодорхой бөгөөд дараагийн төрсөн арван хүүхдэд дараахь зүйлс орно.

Эсвэл хөвгүүд - нэг бөгөөд цорын ганцжагсаасан сонголтуудаас.

Мөн хэлбэрээ хадгалахын тулд бага зэрэг биеийн тамирын боловсрол:

- урт харайлтын зай (зарим нэгжээр).

Спортын мастер ч гэсэн таамаглаж чадахгүй :)

Гэсэн хэдий ч таны таамаглал?

2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн – хүлээн авна Бүгдхязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй интервалаас авсан тоон утгууд.

Анхаарна уу : DSV ба NSV товчлолууд нь боловсролын уран зохиолд түгээмэл байдаг

Эхлээд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд дүн шинжилгээ хийцгээе, дараа нь - тасралтгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

- Энэ захидал харилцааЭнэ хэмжигдэхүүний боломжит утга ба тэдгээрийн магадлалын хооронд. Ихэнх тохиолдолд хуулийг хүснэгтэд бичдэг.

Энэ нэр томъёог нэлээд олон удаа ашигладаг эгнээ хуваарилалт, гэхдээ зарим тохиолдолд энэ нь хоёрдмол утгатай сонсогддог тул би "хууль"-ыг баримтлах болно.

Тэгээд одоо маш чухал цэг: санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хойш Заавалхүлээн зөвшөөрөх болно үнэт зүйлсийн нэг, дараа нь харгалзах үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэгба тэдгээрийн тохиолдох магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

эсвэл хураангуй хэлбэрээр бичсэн бол:

Жишээлбэл, ган дээр өнхрөх онооны магадлалын тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Сэтгэгдэл байхгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн "сайн" бүхэл тоон утгыг авах боломжтой гэсэн сэтгэгдэлтэй байж магадгүй юм. Төөрөгдлийг арилгацгаая - тэд юу ч байж болно:

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Зарим тоглоом нь дараахь ялалтын хуваарилалтын хуультай:

...чи ийм даалгаврыг удаан хугацаанд мөрөөдөж байсан байх :) Би чамд нэг нууц хэлье - би ч гэсэн. Ялангуяа би ажиллаж дууссаны дараа талбайн онол.

Шийдэл: санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь гурван утгын зөвхөн нэгийг нь авах боломжтой тул харгалзах үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг, энэ нь тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэсэн үг:

"Партизан"-ыг илчлэх нь:

- Тиймээс ердийн нэгжийг хожих магадлал 0.4 байна.

Хяналт: энэ нь бидэнд итгэлтэй байх ёстой зүйл юм.

Хариулах:

Хуваарилалтын хуулийг өөрөө гаргах шаардлагатай байдаг нь ердийн зүйл биш юм. Үүний тулд тэд ашигладаг магадлалын сонгодог тодорхойлолт, үйл явдлын магадлалын үржүүлэх/нэмэх теоремуудболон бусад чипс tervera:

p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\

Хайрцагт 50 сугалааны тасалбар байгаа бөгөөд тэдгээрийн 12 нь хожиж, 2 нь тус бүр 1000 рубль, үлдсэн нь тус бүр 100 рубль хождог. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар нэг тасалбар авсан бол хожлын хэмжээ - санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл: Таны анзаарсанчлан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудыг ихэвчлэн оруулдаг өсөх дарааллаар. Тиймээс бид хамгийн бага ялалт, тухайлбал рублиэр эхэлдэг.

Нийтдээ 50 ийм тасалбар байдаг - 12 = 38, дагуу сонгодог тодорхойлолт:
– санамсаргүй байдлаар сугалсан тасалбар хожигдох магадлал.

Бусад тохиолдолд бүх зүйл энгийн байдаг. Рубль хожих магадлал нь:

Шалгана уу: - Энэ бол ийм ажлуудын хамгийн таатай мөч юм!

Хариулах: хожлын хуваарилалтын хүссэн хууль:

Дараахь даалгаврыг та өөрөө шийдэх ёстой.

Жишээ 3

Буудагчийн бай онох магадлал нь . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга - 2 удаагийн цохилтын дараа.

...Чамайг санасан гэдгийг чинь мэдэж байсан :) санацгаая үржүүлэх, нэмэх теоремууд. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн дүрсэлсэн боловч бодит байдал дээр зөвхөн заримыг нь мэдэх нь ашигтай (заримдаа илүү ашигтай) байж болно. тоон шинж чанар .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Энгийнээр хэлбэл, энэ дундаж хүлээгдэж буй утгатуршилтыг олон удаа давтан хийх үед. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлал бүхий утгыг авцгаая тус тус. Тэгвэл энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт тэнцүү байна бүтээгдэхүүний нийлбэртүүний бүх утгыг харгалзах магадлалд:

эсвэл нурсан:

Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг тооцоолъё - үхэр дээр эргэлдэж буй онооны тоог:

Одоо таамагласан тоглоомоо санацгаая:

Асуулт гарч ирнэ: энэ тоглоомыг тоглох нь ашигтай юу? ... хэнд ямар сэтгэгдэл байна вэ? Тиймээс та үүнийг "өөрийн" гэж хэлж болохгүй! Гэхдээ энэ асуултыг математикийн хүлээлтийг тооцоолох замаар амархан хариулж болно, үндсэндээ - жигнэсэн дундажялах магадлалаар:

Тиймээс энэ тоглоомын математикийн хүлээлт алдаж байна.

Өөрийн сэтгэгдэлд бүү итгэ - тоонд итгээрэй!

Тийм ээ, энд та 10, бүр 20-30 удаа дараалан ялах боломжтой, гэхдээ урт хугацаанд бид зайлшгүй сүйрэлтэй тулгарах болно. Тэгээд би чамд ийм тоглоом тоглохыг зөвлөхгүй :) За, магадгүй зөвхөн зугаа цэнгэлийн төлөө.

Дээр дурдсан бүхнээс үзэхэд математикийн хүлээлт нь САНАМРЫН утга байхаа больсон.

Бие даасан судалгааны бүтээлч даалгавар:

Жишээ 4

Ноён Икс дараах системийг ашиглан Европын рулет тоглодог: тэрээр "улаан" дээр 100 рубль байнга бооцоо тавьдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн - түүний ялалтын тархалтын хуулийг зур. Ялалтын математикийн хүлээлтийг тооцоолж, хамгийн ойрын копейк хүртэл дугуйл. Хэдэн дунджаарТоглогч мөрий тавьсан зуу бүртээ хожигдох уу?

Лавлагаа : Европын рулет нь 18 улаан, 18 хар, 1 ногоон сектор ("тэг") агуулдаг. Хэрэв "улаан" гарч ирвэл тоглогч хоёр дахин бооцоо төлнө, эс тэгвээс энэ нь казиногийн орлогод орно.

Та өөрийн магадлалын хүснэгтийг үүсгэж болох өөр олон рулет системүүд байдаг. Гэхдээ энэ нь бидэнд ямар ч хуваарилалтын хууль, хүснэгт хэрэггүй, учир нь тоглогчийн математикийн хүлээлт яг адилхан байх нь тодорхой болсон. Системээс системд өөрчлөгддөг цорын ганц зүйл