Гауссын аргад шийдэл байхгүй. Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь ганц биетэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Өнөөдөр бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг авч үзэж байна. Эдгээр системүүд юу болохыг та Крамерын аргыг ашиглан ижил SLAE-ийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан өмнөх нийтлэлээс уншиж болно. Гауссын арга нь тодорхой мэдлэг шаарддаггүй, танд зөвхөн анхааралтай, тууштай байх хэрэгтэй. Хэдийгээр математикийн үүднээс авч үзвэл сургуулийн сургалт нь үүнийг хэрэгжүүлэхэд хангалттай боловч оюутнууд энэ аргыг эзэмшихэд хэцүү байдаг. Энэ нийтлэлд бид тэдгээрийг юу ч биш болгохыг хичээх болно!

Гауссын арга

М Гауссын арга- SLAE-ийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга (маш том системээс бусад). Өмнө дурьдсанаас ялгаатай нь энэ нь зөвхөн нэг шийдэлтэй системд төдийгүй хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй системүүдэд тохиромжтой. Энд гурван боломжит сонголт байна.

1. Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш);
2. Систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй;
3. Ямар ч шийдэл байхгүй, систем нь таарахгүй байна.

Тиймээс бид системтэй (нэг шийдэлтэй байг) бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийдэх гэж байна. Хэрхэн ажилладаг?

Гауссын арга нь урагш ба урвуу гэсэн хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Гауссын аргын шууд харвалт

Эхлээд системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн матрицад чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмнэ үү.

Гауссын аргын бүх мөн чанар нь энгийн хувиргалтаар дамжуулан энэ матрицыг шаталсан (эсвэл тэдний хэлснээр гурвалжин) хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ хэлбэрээр матрицын үндсэн диагональ доор (эсвэл түүнээс дээш) зөвхөн тэг байх ёстой.

Чи юу хийж чадах вэ:

1. Та матрицын мөрүүдийг дахин цэгцлэх боломжтой;
2. Хэрэв матрицад тэнцүү (эсвэл пропорциональ) мөр байгаа бол та тэдгээрийн нэгээс бусад бүх мөрийг устгаж болно;
3. Та мөрийг дурын тоогоор (тэгээс бусад) үржүүлж эсвэл хувааж болно;
4. хоосон мөрүүдийг устгасан;
5. Та тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн мөрийг мөрт нэмж болно.

Урвуу Гауссын арга

Бид системийг ийм байдлаар хувиргасны дараа нэг үл мэдэгдэх Xn мэдэгдэж байгаа бөгөөд та үл мэдэгдэх бүх үлдэгдлийг урвуу дарааллаар олж, аль хэдийн мэдэгдэж байсан х-г системийн тэгшитгэлд эхнийх хүртэл орлуулж болно.

Интернет үргэлж бэлэн байх үед та Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна онлайн.Та зүгээр л онлайн тооцоолуурт коэффициентүүдийг оруулах хэрэгтэй. Гэхдээ энэ жишээг компьютерийн программ биш, харин таны тархи шийдсэн гэдгийг ойлгох нь илүү тааламжтай гэдгийг та хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэх жишээ

Одоо - бүх зүйл тодорхой, ойлгомжтой болохын тулд жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье, та үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийдэх хэрэгтэй.

Эхлээд бид өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

Одоо өөрчлөлтүүдийг хийцгээе. Бид матрицын гурвалжин дүр төрхийг олж авах хэрэгтэй гэдгийг санаж байна. 1-р мөрийг (3) үржүүлье. 2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмээд дараахь зүйлийг авна.

Дараа нь 3-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

1-р мөрийг (6)-аар үржүүлье. 2-р мөрийг (13)-аар үржүүлье. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

Voila - системийг зохих хэлбэрт оруулав. Үл мэдэгдэх зүйлийг олоход л үлддэг:

Энэ жишээн дээрх систем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Хязгааргүй олон тооны шийдэл бүхий системийг шийдвэрлэх талаар бид тусдаа өгүүллээр авч үзэх болно. Магадгүй та эхлээд матрицыг хаанаас хувиргахаа мэдэхгүй байж магадгүй, гэхдээ зохих дадлага хийсний дараа та үүнийг ойлгож, самар шиг Гауссын аргыг ашиглан SLAE-ийг хагалах болно. Хэрэв та гэнэт SLA-тай тааралдвал хэтэрхий хатуу самар болж хувирвал манай зохиогчидтой холбоо барина уу! Та захидал харилцааны албанд хүсэлтээ үлдээж болно. Бид хамтдаа ямар ч асуудлыг шийдэх болно!

Шугаман алгебрийн системийг шийдэх түгээмэл бөгөөд үр дүнтэй аргуудын нэг юм Гауссын арга , үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрддэг.

Хоёр системийг дууддаг гэдгийг санаарай тэнцүү (тэнцүү) хэрэв тэдгээрийн шийдлийн багц давхцаж байвал. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэгнийх нь шийдэл бүр нөгөөгийнхөө шийдэл болон эсрэгээр байвал системүүд тэнцүү байна. Үүнтэй ижил төстэй системийг олж авсан үед анхан шатны өөрчлөлтүүд системийн тэгшитгэлүүд:

тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

зарим тэгшитгэлд өөр тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж нэмэх;

хоёр тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах.

Тэгшитгэлийн системийг өгье

Энэ системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх үйл явц нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний үе шатанд (шууд хөдөлгөөн) систем нь энгийн хувиргалтыг ашиглан багасдаг алхам алхмаар , эсвэл гурвалжин хэлбэр, хоёр дахь шатанд (урвуу) хамгийн сүүлийн хувьсагчийн тооноос эхлэн дараалсан шат дамжлагын системээс үл мэдэгдэх зүйлийг тодорхойлох үйл ажиллагаа явагдана.

Энэ системийн коэффициент гэж үзье
, эс тэгвээс системд эхний мөрийг өөр ямар ч мөртэй сольж болох тул коэффициент нь тэгээс ялгаатай байв.

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар системийг өөрчилье Эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлд. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ системийн хоёр дахь тэгшитгэлээр гишүүн гишүүнийг нэм. Дараа нь эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ системийн гурав дахь тэгшитгэлд нэмнэ. Энэ процессыг үргэлжлүүлснээр бид ижил төстэй системийг олж авна

Энд
- эхний алхамын дараа олж авсан коэффициент ба чөлөөт нэр томъёоны шинэ утгууд.

Үүний нэгэн адил, үндсэн элементийг авч үзэх
, үл мэдэгдэх зүйлийг хасах системийн бүх тэгшитгэлээс эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлээс бусад. Энэ үйл явцыг аль болох удаан үргэлжлүүлье, үр дүнд нь бид шаталсан системтэй болно

,

Хаана ,
,…,- системийн үндсэн элементүүд
.

Хэрэв системийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явцад тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгш байдал гарч ирнэ.
, тэдгээр нь ямар ч тооны багцад сэтгэл хангалуун байгаа тул тэдгээрийг хаядаг
.
Хэрэв цагт

Хэрэв ямар ч шийдэлгүй хэлбэрийн тэгшитгэл гарч ирвэл энэ нь системийн нийцэхгүй байгааг илтгэнэ. Урвуу цохилтын үед эхний үл мэдэгдэх нь өөрчлөгдсөн алхамын системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс илэрхийлэгдэнэ
бусад бүх үл мэдэгдэх зүйлсээр дамжуулан гэж нэрлэдэг . үнэгүй Дараа нь хувьсагчийн илэрхийлэл
системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эцсийн өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, хувьсагчийг үүнээс илэрхийлнэ.
. Хувьсагчдыг ижил төстэй байдлаар дараалан тодорхойлдог
. Хувьсагч , чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэгдэх, гэж нэрлэдэг үндсэн

(хамааралтай). Үр дүн нь шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл юм. Олох хувийн шийдэл
системүүд, үнэ төлбөргүй үл мэдэгдэх
.

ерөнхий шийдэлд дурын утгыг оноож, хувьсагчдын утгыг тооцдог.

.

Техникийн хувьд системийн тэгшитгэл биш харин системийн өргөтгөсөн матрицыг энгийн хувиргалтанд оруулах нь илүү тохиромжтой.
Гауссын арга нь зөвхөн дөрвөлжин төдийгүй дөрвөлжин системүүдийн үл мэдэгдэх тоог гаргах боломжийг олгодог бүх нийтийн арга юм.
.

тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү биш байна
Энэхүү аргын давуу тал нь шийдвэрлэх явцад бид нэгэн зэрэг системийн нийцтэй байдлыг шалгадаг, учир нь өргөтгөсөн матрицыг өгсөн. үе шаттайгаар хэлбэржүүлэхэд матрицын зэрэглэлийг тодорхойлоход хялбар байдаг
болон өргөтгөсөн матриц мөн өргөдөл гаргана .

Кронекер-Капелли теоремГауссын аргыг ашиглан системийг шийд

Шийдэл. Тэгшитгэлийн тоо
болон үл мэдэгдэх тоо
.

Матрицын баруун талд коэффициент оноож системийн өргөтгөсөн матрицыг байгуулъя. чөлөөт гишүүдийн багана .

Матрицыг танилцуулъя гурвалжин харагдах байдал; Үүнийг хийхийн тулд бид үндсэн диагональ дээр байрлах элементүүдийн доор "0"-ийг энгийн хувиргалтыг ашиглан авна.

Эхний баганын хоёр дахь байрлал дахь "0"-ийг авахын тулд эхний мөрийг (-1) үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд нэмнэ.

Бид энэ хувиргалтыг эхний мөрний эсрэг (-1) тоогоор бичиж, эхний мөрөөс хоёр дахь мөр рүү чиглэсэн сумаар тэмдэглэнэ.

Эхний баганын гурав дахь байрлалд "0"-ийг авахын тулд эхний мөрийг (-3) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ; Энэ үйлдлийг эхний мөрнөөс гурав дахь мөр рүү чиглэсэн сум ашиглан харуулъя.

.

Үр дүнд нь матрицын гинжин хэлхээний хоёрдугаарт бичигдсэн матрицад бид гурав дахь байрлал дахь хоёр дахь баганад "0"-ийг авна. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр дахь мөрийг (-4) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмсэн. Үүссэн матрицад хоёр дахь мөрийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрийг (-8) хуваана. Диагональ элементүүдийн доор байрлах энэ матрицын бүх элементүүд тэг байна.

Учир нь , систем нь хамтын болон тодорхойлогддог.

Сүүлийн матрицад тохирох тэгшитгэлийн систем нь гурвалжин хэлбэртэй байна.

Сүүлийн (гурав дахь) тэгшитгэлээс
. Хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, авна уу
.

Орлуулж үзье
Тэгээд
Эхний тэгшитгэлд бид олдог


.

1. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем

1.1 Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тухай ойлголт

Хэд хэдэн хувьсагчтай холбоотой хэд хэдэн тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэхээс бүрдэх нөхцөлийг тэгшитгэлийн систем гэнэ. m тэгшитгэл ба n үл мэдэгдэхийг агуулсан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (цаашид SLAE гэх) дараах хэлбэрийн систем гэнэ.

a ij тоонуудыг системийн коэффициент, b i тоог чөлөөт нөхцөл гэж нэрлэдэг, a ijТэгээд б би(i=1,…, m; b=1,…, n) нь мэдэгдэж буй зарим тоо, х-г илэрхийлнэ 1 ,…, x n- үл мэдэгдэх. Коэффициентийг тодорхойлохдоо a ijЭхний индекс i нь тэгшитгэлийн тоог, хоёр дахь j нь энэ коэффициент зогсож буй үл мэдэгдэх тоо юм. x n тоонуудыг олох ёстой. Ийм системийг компакт матриц хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой. AX=B.Энд А нь үндсэн матриц гэж нэрлэгддэг системийн коэффициентүүдийн матриц;

А матрицад X матрицад мөрийн тоотой адил олон багана (n ширхэг) байгаа тул A*X матрицын үржвэр тодорхойлогдоно.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь системийн А матриц бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны баганаар нэмэгддэг.

1.2 Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь тоонуудын дараалсан багц (хувьсагчийн утгууд) бөгөөд тэдгээрийг хувьсагчийн оронд орлуулах үед системийн тэгшитгэл бүр нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг.

Системийн шийдэл нь x1=c1, x2=c2,..., xn=cn үл мэдэгдэх n утгыг орлуулахад системийн бүх тэгшитгэлүүд жинхэнэ тэгшитгэл болно. Системийн аливаа шийдлийг баганын матриц хэлбэрээр бичиж болно

Тэгшитгэлийн системийг дор хаяж нэг шийдэлтэй бол тууштай, шийдэлгүй бол үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

Тогтвортой системийг нэг шийдэлтэй бол тодорхойгүй, нэгээс олон шийдэлтэй бол тодорхойгүй гэж нэрлэдэг. Сүүлчийн тохиолдолд түүний шийдэл бүрийг системийн тодорхой шийдэл гэж нэрлэдэг. Бүх тодорхой шийдлүүдийн багцыг ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

Системийг шийднэ гэдэг нь нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг олж мэдэхийг хэлнэ. Хэрэв систем тогтвортой байвал түүний ерөнхий шийдлийг олоорой.

Хоёр системийг ижил ерөнхий шийдэлтэй бол эквивалент (эквивалент) гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэгнийх нь шийдэл бүр нөгөөгийнхөө шийдэл байх тохиолдолд системүүд тэнцүү байна.

Хэрэглэснээр системийг анхны системтэй дүйцэхүйц шинэ систем болгон хувиргах өөрчлөлтийг эквивалент буюу эквивалент хувиргалт гэж нэрлэдэг. Эквивалент хувиргалтуудын жишээнд системийн хоёр тэгшитгэлийг солих, хоёр үл мэдэгдэхийг бүх тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хамт солих, системийн дурын тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх зэрэг өөрчлөлтүүд орно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

x1=x2=x3=…=xn=0 нь системийн шийдэл учраас нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг. Энэ шийдлийг тэг буюу өчүүхэн гэж нэрлэдэг.

2. Гауссын арилгах арга

2.1 Гауссын арилгах аргын мөн чанар

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх сонгодог арга бол үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга юм. Гауссын арга(үүнийг мөн Гауссын арилгах арга гэж нэрлэдэг). Энэ бол энгийн хувиргалтыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг алхам алхмаар (эсвэл гурвалжин) хэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулж, бусад бүх хувьсагчийг сүүлчийнхээс нь дараалан олох арга юм. тоо) хувьсагч.

Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх үйл явц нь урагш болон хойшлох хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

1. Шууд цус харвалт.

Эхний шатанд эгнээний үндсэн хувиргалтаар системийг шаталсан эсвэл гурвалжин хэлбэртэй болгох эсвэл систем нь таарахгүй байгаа нь тогтоогдсон тохиолдолд шууд хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг. Тухайлбал, матрицын эхний баганын элементүүдээс тэгээс өөр нэгийг сонгож, мөрүүдийг дахин цэгцлэх замаар хамгийн дээд байрлалд шилжүүлж, дахин зохион байгуулсны дараа олж авсан эхний мөрийг үлдсэн мөрүүдээс хасаж, үржүүлнэ. Эдгээр мөр бүрийн эхний элементийг эхний эгнээний эхний элементтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр, түүний доорх баганыг тэглэнэ.

Заасан хувиргалтыг хийж дууссаны дараа эхний мөр ба эхний баганыг оюун ухаанаар зурж, тэг хэмжээтэй матриц үлдэх хүртэл үргэлжлүүлнэ. Хэрэв ямар нэгэн давталт дээр эхний баганын элементүүдийн дунд тэгээс өөр элемент байхгүй бол дараагийн багана руу очиж ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Эхний үе шатанд (шууд цус харвалт) системийг шаталсан (ялангуяа гурвалжин) хэлбэрт оруулдаг.

Доорх систем нь алхам алхмаар хэлбэртэй байна.

aii коэффициентийг системийн үндсэн (тэргүүлэх) элементүүд гэж нэрлэдэг.

Эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх x1-ийг арилгах замаар системийг хувиргацгаая (системийн элементар хувиргалтыг ашиглан). Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ

Энэ процессыг үргэлжлүүлснээр бид ижил төстэй системийг олж авна.

Тиймээс эхний алхамд 11 гэсэн эхний тэргүүлэх элементийн дор байрлах бүх коэффициентүүд устгагдана

Хэрэв системийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явцад тэг тэгшитгэл гарч ирнэ, өөрөөр хэлбэл. 0=0 хэлбэрийн тэгш байдал, тэдгээрийг хасна. Хэрэв маягтын тэгшитгэл гарч ирвэл

Энд Гауссын аргын шууд явц төгсдөг.

2. Урвуу цохилт.

Хоёрдахь шатанд урвуу хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүний мөн чанар нь бүх үндсэн хувьсагчдыг үндсэн бус хувьсагчаар илэрхийлж, шийдлийн үндсэн системийг бий болгох, эсвэл бүх хувьсагч нь суурь бол. , дараа нь шугаман тэгшитгэлийн системийн цорын ганц шийдлийг тоогоор илэрхийлнэ.

Энэ процедур нь хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлдэг бөгөөд үүнээс харгалзах үндсэн хувьсагчийг илэрхийлж (түүнд зөвхөн нэг л байдаг) өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, "алхам" дээшилнэ.

Мөр бүр нь яг нэг үндсэн хувьсагчтай тохирч байгаа тул сүүлчийн (хамгийн дээд)-ээс бусад алхам бүрт нөхцөл байдал сүүлийн мөрний тохиолдлыг яг давтдаг.

Анхаарна уу: практик дээр системтэй биш, харин түүний өргөтгөсөн матрицтай ажиллах нь илүү тохиромжтой бөгөөд түүний эгнээнд бүх элементийн хувиргалтыг гүйцэтгэдэг. a11 коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх нь тохиромжтой (тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах, эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талыг a11-д хуваах).

2.2 Гауссын аргыг ашиглан SLAE-ийг шийдвэрлэх жишээ

Энэ хэсэгт гурван өөр жишээн дээр бид Гауссын арга нь SLAE-ийг хэрхэн шийдэж болохыг харуулах болно.

Жишээ 1. 3-р эрэмбийн SLAE-г шийд.

Коэффицентүүдийг дахин тохируулъя

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно. Энэ хичээл нь сэдвийн гурав дахь хичээл юм. Хэрэв та ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэлийн систем гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол, хэрэв та цайны сав шиг санагдаж байвал би дараагийн хуудасны үндсэн мэдээллээс эхлэхийг зөвлөж байна. Дараа нь хичээлийг судлах нь ашигтай юм.

Гауссын арга амархан!Яагаад? Германы алдарт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуйдаа бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикч, суут ухаантан гэдгээрээ хүлээн зөвшөөрөгдөж, "Математикийн хаан" гэсэн хоч хүртэл авч байжээ. Таны мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд хэлэхэд, зөвхөн сорогчид мөнгө авдаггүй, харин суут хүмүүс - Гауссын хөрөг 10 Германы дэвсгэрт дээр байсан (евро гаргахаас өмнө) бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркаас германчуудад нууцлаг байдлаар инээмсэглэдэг хэвээр байна.

Гауссын арга нь ТАВДУГААР АНГИЙН СУРАГЧИЙН МЭДЛЭГ түүнийг эзэмшихэд ХАНГАЛТТАЙ байдгаараа энгийн. Та хэрхэн нэмэх, үржүүлэхээ мэддэг байх ёстой!Багш нар сургуулийн математикийн сонгон шалгаруулалтад үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан хасах аргыг ихэвчлэн авч үздэг нь тохиолдлын хэрэг биш юм. Энэ бол парадокс боловч оюутнуудад Гауссын аргыг хамгийн хэцүү гэж үздэг. Гайхах зүйлгүй - энэ бол аргачлалын тухай бөгөөд би аргын алгоритмын талаар хүртээмжтэй хэлбэрээр ярихыг хичээх болно.

Нэгдүгээрт, шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи бага зэрэг мэдлэгийг системчилье. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх. 2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх. 3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх хамтарсан бус).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, бүх нийтийн хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар, Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Мөн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга Ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөлнө! Энэ хичээл дээр бид №1 тохиолдлын хувьд Гауссын аргыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэлийг 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулж байна. Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

Хичээлээс хамгийн энгийн систем рүү буцъя Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн системийн матриц: . Коэффициент ямар зарчмаар бичигдсэнийг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математик утгагүй - энэ нь дизайныг хялбар болгох үүднээс зураас юм.

Лавлагаа : Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөл шугаман алгебр. Системийн матриц нь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц бөгөөд энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц – энэ нь системийн ижил матриц ба чөлөөт нэр томъёоны багана, энэ тохиолдолд: . Товчхондоо аль ч матрицыг матриц гэж нэрлэж болно.

Өргөтгөсөн системийн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд Чадах дахин зохион байгуулахзарим газар. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь эгнээг өвдөлтгүйгээр дахин зохион байгуулж болно.

2) Хэрэв матрицад пропорциональ (тусгай тохиолдол - ижил) мөрүүд байгаа бол (эсвэл гарч ирсэн) байвал та үүнийг хийх хэрэгтэй. устгахНэгээс бусад бүх мөр матрицаас авсан. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргах үед матрицад тэг мөр гарч ирвэл энэ нь бас байх ёстой устгах. Мэдээжийн хэрэг би зурахгүй, тэг шугам нь тухайн шугам юм бүх тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)дурын дугаар руу тэг биш. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Энэ үйлдэл нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбаршуулдаг тул маш хэрэгтэй.

5) Энэ өөрчлөлт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээ рүү та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Практик жишээнээс матрицаа харцгаая: . Эхлээд би өөрчлөлтийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , Мөн Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-т хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. ҮргэлжНЭМЭГДСЭН гэсэн мөр өөрчлөгдөнө UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд үүнийг нарийвчлан бичдэггүй, гэхдээ товчхон бичдэг. Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бөгөөд оюун санааны тооцооллын үйл явц нь дараах байдалтай байна.

“Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

“Эхний багана. Доод талд нь би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс би дээд талд байгаа нэгийг –2: -ээр үржүүлж, эхнийхийг нь хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 2 + (–2) = 0. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ. »

"Одоо хоёр дахь багана. Дээд талд би -1-ийг -2-оор үржүүлнэ: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. Дээд талд би -5-ыг -2-оор үржүүлнэ: . Би хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: –7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар ойлгож, дараалсан тооцооллын алгоритмыг ойлгоорой, хэрэв та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга бараг таны халаасанд байна. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, бид энэ өөрчлөлт дээр ажиллах болно.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрөө" өгдөг даалгавар санал болговол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицтай үйлдлүүдЯмар ч тохиолдолд та матриц доторх ямар нэг зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй! Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Үүнийг бараг хэсэг болгон авдаг.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг багасгая шаталсан харах:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талд нь тэг авахын тулд, энэ нь хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас салах гэсэн үг юм.

(2) Хоёр дахь мөрийг 3-т хуваа.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – Матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах: . Даалгаврын дизайн хийхэд тэд зүгээр л "шат" -ыг энгийн харандаагаар тэмдэглэж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. Шинжлэх ухаан, боловсролын ном зохиолд "шаталсан үзэл" гэдэг нэр томъёо нь өөрөө онолын шинж чанартай байдаггүй трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "тайлах" шаардлагатай - доороос дээш, энэ үйл явц гэж нэрлэгддэг Гауссын аргын урвуу.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд аль хэдийн мэдэгдэж байсан "y" утгыг түүнд орлъё.

Гауссын арга нь гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийг шаарддаг хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье:

Одоо би шийдлийн явцад гарах үр дүнг нэн даруй зурах болно. Дахин хэлэхэд, бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу: Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө, -1 (заримдаа бусад тоонууд) хийх болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар нэгийг нь ихэвчлэн тэнд байрлуулдаг уламжлалтай. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бидэнд дууссан нэгж байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний ба гурав дахь мөрийг солино уу:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн дээд буланд байгаа нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Бид "хэцүү" хувиргалтыг ашиглан тэг авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, –1, 3, 13) хандана. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Хэрэгтэй хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –2-оор үржүүлнэ: (–2, –4, 2, –18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, Хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Бид үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Бид гурав дахь мөрийг ижил аргаар (3, 2, –5, –1) харьцдаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –3-аар үржүүлнэ: (–3, –6, 3, –27). БА Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Бид үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "бичих" тууштайихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичээд, аажуухан өөрсөддөө хийснэ - ТУСГАЙ болон АНХААРАЛТАЙ:
Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн үйл явцыг би аль хэдийн хэлэлцсэн.

Энэ жишээнд үүнийг хийхэд хялбар байдаг, бид хоёр дахь мөрийг -5-т хуваадаг (учир нь бүх тоо 5-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-т хуваадаг, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн эцсийн шатанд та эндээс өөр тэг авах хэрэгтэй.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг -2-оор үржүүлнэ:
Энэ үйлдлийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаар -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг гүйцэтгээрэй.

Гүйцэтгэсэн сүүлчийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн эквивалент системийг олж авав. Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу арга хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд доороос дээшээ "тайлагдана".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "Zet" гэдэг үгийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Игрек" ба "зэт" нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн жижиг зүйл юм.

Хариулах:

Дахин дахин дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд аз болоход энэ нь хялбар бөгөөд хурдан юм.

Жишээ 2

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ, эцсийн дизайны дээж, хичээлийн төгсгөлд хариулт юм.

Таны шийдвэрийн явцминий шийдвэр гаргах үйл явцтай давхцахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм. Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Бид тэнд нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад огт нэгж байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч шийдэхгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: (1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний ба хоёр дахь мөрийг нэмсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд маш сайн тохирдог. +1 авахыг хүссэн хүн бүр нэмэлт хөдөлгөөн хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (тэмдэгээ өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Гурав дахь эгнээний тэмдгийг мөн өөрчилж, хоёрдугаар байр руу шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам" дээр бид шаардлагатай нэгжтэй болсон.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь мөрийг 3-т хуваасан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (ховор тохиолдолд үсгийн алдаа) нь "муу" дүгнэлт юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доор, мөн үүний дагуу ямар нэг зүйл авсан бол, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар бид энгийн хувиргалтуудын үед алдаа гарсан гэж хэлж болно.

Бид эсрэгээр тооцдог, жишээний загварт тэд системийг өөрөө дахин бичдэггүй, гэхдээ тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг". Урвуу цус харвалт нь доороос дээш ажилладаг гэдгийг би танд сануулж байна. Тийм ээ, энд бэлэг байна:

Хариулах: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм, энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэрэв хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн. Таны шийдэл миний шийдлээс өөр байж магадгүй.

Сүүлийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл: Өргөтгөсөн системийн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Би энэ талаар аль хэдийн анги дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг тавьдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Хоёр дахь онцлог нь энэ юм. Бид авч үзсэн бүх жишээн дээр "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Тэнд өөр тоо байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид хоёр байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг, нөгөө нь хоёр ба зургаа байна гэдгийг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа хоёр нь бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Ингэснээр бид эхний баганад шаардлагатай тэгүүдийг авах болно.

Эсвэл өөр нэг уламжлалт жишээ: . 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "алхам" дээрх гурав нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: хоёр дахь мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -4-ээр үржүүлснээр бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та бусад аргуудыг (Крамерын арга, матрицын арга) ашиглан анх удаагаа системийг шийдэж сурах боломжтой - тэдгээр нь маш хатуу алгоритмтай. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "шүдээ оруулаад" дор хаяж 5-10 арван системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс эхлээд тооцоололд төөрөгдөл, алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадаа бороотой намрын цаг агаар.... Тиймээс илүү төвөгтэй жишээг өөрөө шийдэхийг хүссэн хүн бүрт:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх 4 шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор байдаггүй. Энэ хуудсыг сайтар судалсан цайны хүн ч гэсэн ийм системийг зөн совингоор шийдэх алгоритмыг ойлгоно гэж бодож байна. Үндсэндээ бүх зүйл ижил байна - зүгээр л илүү олон үйлдэл байна.

Системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг хичээл дээр авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй. Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.
Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд: (1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар! Энд та гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасахыг хүсч магадгүй юм, би үүнийг хасахгүй байхыг зөвлөж байна - алдааны эрсдэл ихээхэн нэмэгддэг. Зүгээр л эвхээрэй! (2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрүүдийг сольсон. тэмдэглэл , "алхам" дээр бид зөвхөн нэг төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм. (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 5-аар үржүүлсэн. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу:

Хариулах : .

Жишээ 4: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөр нэмэгдсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав. (2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмэв.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дордох болно , "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. Хоёр дахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авлаа . (5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн. (6) Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, гурав дахь мөрийг -83-аар хуваасан.

Урвуу:

Хариулах :

Жишээ 5: Шийдэл : Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг сольсон. (2) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. (3) Хоёр дахь мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, 4-өөр үржүүлсэн. Хоёр дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн. Дөрөв дэх мөрийг 3-т хувааж, гурав дахь мөрийн оронд байрлуулсан. (5) Гурав дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -5-аар үржүүлсэн.

Урвуу:

Хариулах :

Гауссын аргаШугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Энэ нь бусад аргуудтай харьцуулахад хэд хэдэн давуу талтай:

• нэгдүгээрт, тэгшитгэлийн системийг тууштай байдлын үүднээс эхлээд шалгах шаардлагагүй;
• Хоёрдугаарт, Гауссын арга нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж, системийн үндсэн матриц нь ганц биш байх SLAE-ийг төдийгүй тэгшитгэлийн тоо нь давхцдаггүй тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна. үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоо эсвэл үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна;
• гуравдугаарт, Гауссын арга нь харьцангуй цөөн тооны тооцооллын үйлдлүүдтэй үр дүнд хүргэдэг.

Нийтлэлийн товч тойм.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгч, тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.

Дараа нь бид Гауссын аргын алгоритмыг хамгийн энгийн тохиолдол, өөрөөр хэлбэл шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүдийн хувьд тодорхойгүй хувьсагчдын тоотой давхцаж байгаа тэгшитгэлийн тоо, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тодорхойлогдоно. тэгтэй тэнцүү биш. Ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ Гауссын аргын мөн чанар хамгийн тод харагддаг бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах явдал юм. Тиймээс Гауссын аргыг үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга гэж бас нэрлэдэг. Бид хэд хэдэн жишээнүүдийн нарийвчилсан шийдлүүдийг харуулах болно.

Дүгнэж хэлэхэд гол матриц нь тэгш өнцөгт эсвэл дан хэлбэртэй шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийн Гауссын аргын шийдлийг авч үзэх болно. Ийм системийн шийдэл нь зарим онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг жишээн дээр нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Үндсэн тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ.

n үл мэдэгдэх p шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье (p нь n-тэй тэнцүү байж болно):

Үүнд үл мэдэгдэх хувьсагч, тоо (бодит эсвэл нийлмэл), чөлөөт нэр томъёо байна.

Хэрэв , дараа нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг нэрлэнэ нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.

Системийн бүх тэгшитгэлүүд нь таних тэмдэг болдог үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багцыг нэрлэдэг SLAU-ийн шийдвэр.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн ядаж нэг шийдэл байгаа бол түүнийг дуудна хамтарсан, эс бөгөөс - хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой. Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол системийг дуудна тодорхойгүй.

Тэд систем нь бичигдсэн гэж хэлдэг координатын хэлбэр, хэрэв энэ нь маягттай бол
.

Энэ системд матриц хэлбэрбүртгэл нь хаана гэсэн хэлбэртэй байна - SLAE-ийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын баганын матриц, - чөлөөт нэр томъёоны матриц.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны баганыг үлдсэн баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл,

А квадрат матриц гэж нэрлэдэг доройтох, хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг бол. Хэрэв бол А матрицыг дуудна доройтдоггүй.

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв та шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системээр дараах үйлдлүүдийг хийвэл

• хоёр тэгшитгэл солих,
• аливаа тэгшитгэлийн хоёр талыг дурын ба тэг биш бодит (эсвэл комплекс) k тоогоор үржүүлэх,
• дурын тэгшитгэлийн хоёр талд өөр тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг дурын k тоогоор үржүүлж нэмнэ.

Дараа нь та ижил шийдэлтэй (эсвэл анхных шиг шийдэлгүй) ижил төстэй системийг авах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матрицын хувьд эдгээр үйлдлүүд нь эгнээнүүдийн үндсэн хувиргалтыг хийх болно.

• хоёр мөр солих,
• T матрицын аль ч эгнээний бүх элементүүдийг тэгээс өөр k тоогоор үржүүлэх,
• матрицын аль ч эгнээний элементүүдэд өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дурын k тоогоор үржүүлнэ.

Одоо бид Гауссын аргын тайлбар руу орж болно.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэхийн тоотой тэнцүү, системийн үндсэн матриц нь ганц биш байх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Хэрэв бидэнд тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох даалгавар өгвөл бид сургуульд юу хийх байсан бэ? .

Зарим нь үүнийг хийх байсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд эхнийх нь зүүн талыг, баруун талд нь баруун талыг нэмснээр үл мэдэгдэх x 2 ба x 3 хувьсагчдаас салж, x 1-ийг шууд олох боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Олдсон утгыг x 1 =1 системийн эхний ба гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Хэрэв бид системийн гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг -1-ээр үржүүлж, эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдэд нэмбэл бид үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчаас салж, x 2-ыг олж болно.

Гурав дахь тэгшитгэлд үүссэн x 2 = 2 утгыг орлуулж, үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ыг олно.

Бусад нь өөрөөр хийх байсан.

Үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчтай холбоотой системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг системийн хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, энэ хувьсагчийг тэдгээрээс хасъя.

Одоо x 2 системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэж, олж авсан үр дүнг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, үл мэдэгдэх х 2 хувьсагчийг хасъя.

Системийн гурав дахь тэгшитгэлээс x 3 =3 гэдэг нь тодорхой байна. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог , мөн эхний тэгшитгэлээс бид .

Танил шийдлүүд, тийм үү?

Энд хамгийн сонирхолтой зүйл бол хоёр дахь шийдлийн арга нь үндсэндээ үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга буюу Гауссын арга юм. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (эхний x 1, дараагийн шатанд x 2) илэрхийлж, системийн үлдсэн тэгшитгэлд орлуулах үед бид тэдгээрийг хассан. Сүүлийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нэг хувьсагч үлдэх хүртэл бид арилгах ажлыг хийсэн. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах үйл явц гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга. Урагшлах хөдөлгөөнийг дуусгасны дараа бид сүүлчийн тэгшитгэлээс олдсон үл мэдэгдэх хувьсагчийг тооцоолох боломжтой болно. Үүний тусламжтайгаар бид эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг олох гэх мэт. Сүүлчийн тэгшитгэлээс эхнийх рүү шилжих явцад үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан олох үйл явцыг гэнэ Гауссын аргын урвуу.

Эхний тэгшитгэлд x 1-ийг x 2 ба x 3-аар илэрхийлж, дараа нь гарсан илэрхийлэлийг хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулах үед дараах үйлдлүүд ижил үр дүнд хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Үнэн хэрэгтээ ийм журам нь системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасах боломжийг олгодог.

Гауссын аргыг ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах нюансууд нь системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч агуулаагүй тохиолдолд үүсдэг.

Жишээлбэл, SLAU-д эхний тэгшитгэлд үл мэдэгдэх хувьсагч х 1 байхгүй (өөрөөр хэлбэл түүний өмнөх коэффициент нь тэг). Иймд үл мэдэгдэх хувьсагчийг үлдсэн тэгшитгэлээс хасахын тулд бид x 1 системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй. Энэ байдлаас гарах арга зам бол системийн тэгшитгэлийг солих явдал юм. Бид үндсэн матрицуудын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэж байгаа тул бидэнд хэрэгтэй хувьсагч байх тэгшитгэл үргэлж байдаг бөгөөд бид энэ тэгшитгэлийг өөрт хэрэгтэй байрлалд шилжүүлж болно. Бидний жишээн дээр системийн эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг солиход хангалттай , тэгвэл та x 1-ийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, системийн үлдсэн тэгшитгэлээс хасаж болно (хэдийгээр хоёр дахь тэгшитгэлд x 1 байхгүй).

Та гол санааг ойлгосон гэж найдаж байна.

Тодорхойлъё Гауссын аргын алгоритм.

Бид n хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё. , мөн түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай байг.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлээр үржүүлж, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь, үржүүлсэн, гэх мэт, n-р тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлж, зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ ашиглан алгоритмыг харцгаая.

Жишээ.

Гауссын арга.

Шийдэл.

a 11 коэффициент нь тэгээс ялгаатай тул Гауссын аргын шууд прогресс руу шилжье, өөрөөр хэлбэл эхнийхээс бусад системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчийг хасах хүртэл. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус үржүүлж нэмнэ. Мөн:

Үл мэдэгдэх хувьсагч x 1 хасагдсан тул x 2-г хасах руу шилжье. Системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус үржүүлж нэмнэ. Тэгээд :

Гауссын аргын урагшлах явцыг дуусгахын тулд системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчийг хасах хэрэгтэй. Дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал дээр гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмээд үржүүлье. :

Та Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлж болно.

Бидэнд байгаа сүүлчийн тэгшитгэлээс ,
Гурав дахь тэгшитгэлээс бид олж авна
хоёр дахь нь,
эхнийхээс.

Шалгахын тулд та үл мэдэгдэх хувьсагчдын олж авсан утгыг тэгшитгэлийн анхны системд орлуулж болно. Бүх тэгшитгэлүүд ижил төстэй байдал болж хувирдаг бөгөөд энэ нь Гауссын аргыг ашигласан шийдэл зөв олдсоныг харуулж байна.

Хариулт:

Одоо матрицын тэмдэглэгээнд Гауссын аргыг ашиглан ижил жишээний шийдлийг өгье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн системийн шийдийг ол Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь хэлбэртэй байна . Багана бүрийн дээд талд матрицын элементүүдтэй харгалзах үл мэдэгдэх хувьсагчид байна.

Гауссын аргын шууд хандлага нь системийн өргөтгөсөн матрицыг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ процесс нь координат хэлбэрээр системтэй хийсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахтай төстэй юм. Одоо та үүнийг харах болно.

Матрицыг хоёр дахь баганаас эхлэн эхний баганад байгаа бүх элементүүд тэг болохын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх мөрийн элементүүдэд бид эхний мөрийн харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. ба үүний дагуу:

Дараа нь бид үүссэн матрицыг хувиргаж, хоёр дахь баганад гурав дахь баганаас эхлэн бүх элементүүд тэг болно. Энэ нь үл мэдэгдэх хувьсагч x 2-ыг арилгахад тохирно. Үүнийг хийхийн тулд гурав ба дөрөв дэх эгнээний элементүүдэд бид матрицын эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг тус тус үржүүлж нэмнэ. Тэгээд :

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ийг хасах хэвээр байна. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн матрицын сүүлчийн эгнээний элементүүдэд бид эцсийн өмнөх эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. :

Энэ матриц нь шугаман тэгшитгэлийн системтэй тохирч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй

урагш хөдөлсний дараа өмнө нь олж авсан.

Буцах цаг болжээ. Матрицын тэмдэглэгээнд Гауссын аргын урвуу нь үүссэн матрицыг зураг дээр тэмдэглэсэн матрицыг хувиргах явдал юм.

диагональ болсон, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийг авсан

хэдэн тоо хаана байна.

Эдгээр хувиргалтууд нь Гауссын аргын урагшаа хувиргахтай төстэй боловч эхний мөрөөс сүүлчийнх хүртэл биш, харин сүүлчийнхээс эхнийх хүртэл хийгддэг.

Гурав, хоёр, эхний мөрийн элементүүдэд сүүлчийн мөрийн харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. , үргэлжилээд л байх тус тус:

Одоо хоёр дахь болон эхний мөрийн элементүүдэд гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдийг тус тус нэмж, үржүүлж нэмнэ.

Урвуу Гауссын аргын сүүлчийн алхамд бид эхний эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлнэ.

Үүссэн матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна , бид үл мэдэгдэх хувьсагчдыг хаанаас олдог.

Хариулт:

ЖИЧ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглахдаа ойролцоогоор тооцоолол хийхээс зайлсхийх хэрэгтэй, учир нь энэ нь бүрэн буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй юм. Аравтын бутархайг дугуйлахгүй байхыг зөвлөж байна. Аравтын бутархайгаас энгийн бутархай руу шилжих нь дээр.

Жишээ.

Гауссын аргыг ашиглан гурван тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Энэ жишээнд үл мэдэгдэх хувьсагчид өөр тэмдэглэгээтэй байгааг анхаарна уу (x 1, x 2, x 3 биш, харин x, y, z). Энгийн бутархай руу шилжье:

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х-г хасъя.

Үүссэн системд үл мэдэгдэх хувьсагч y хоёр дахь тэгшитгэлд байхгүй, y нь гурав дахь тэгшитгэлд байгаа тул хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг сольж үзье.

Ингэснээр Гауссын аргын шууд явц (энэ үл мэдэгдэх хувьсагч байхгүй болсон тул y-г гурав дахь тэгшитгэлээс хасах шаардлагагүй).

Урвуу хөдөлгөөнийг эхлүүлье.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог ,
эцсийн өмнөх үеэс


Бидэнд байгаа эхний тэгшитгэлээс

Хариулт:

X = 10, y = 5, z = -20.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан хэлбэртэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Үндсэн матриц нь тэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн систем нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно.

Одоо бид Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлыг хэрхэн тогтоох боломжийг олгодог бөгөөд түүний нийцтэй байдлын хувьд бүх шийдлүүдийг (эсвэл нэг шийдлийг) тодорхойлох боломжийг бид ойлгох болно.

Зарчмын хувьд ийм SLAE-ийн хувьд үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах үйл явц ижил хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч үүсч болзошгүй зарим нөхцөл байдлын талаар нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хамгийн чухал үе шат руугаа явцгаая.

Тиймээс, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь Гауссын аргын урагшлах явцыг дуусгасны дараа хэлбэрийг авна гэж үзье. нэг ч тэгшитгэлийг бууруулаагүй (энэ тохиолдолд бид систем нь нийцэхгүй байна гэж дүгнэх болно). "Дараа нь юу хийх вэ" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Үүссэн системийн бүх тэгшитгэлд хамгийн түрүүнд орох үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичье.

Бидний жишээнд эдгээр нь x 1, x 4, x 5 юм. Системийн тэгшитгэлийн зүүн талд бид зөвхөн x 1, x 4, x 5 гэсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан нэр томъёог үлдээж, үлдсэн нэр томъёог тэгшитгэлийн баруун талд эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дурын утгыг өгье. - дурын тоо:

Үүний дараа манай SLAE-ийн бүх тэгшитгэлийн баруун гар талд тоонууд байгаа бөгөөд бид Гауссын аргын урвуу руу шилжиж болно.

Бидэнд байгаа системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс бид эхний тэгшитгэлээс олж авна.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн утгуудын багц юм

Тоо өгөх өөр өөр утгууд, бид тэгшитгэлийн системийн өөр өөр шийдлийг олж авах болно. Өөрөөр хэлбэл, бидний тэгшитгэлийн систем хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг.

Хариулт:

Хаана - дурын тоо.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг -аар үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмнэ. Эхний тэгшитгэлийн баруун талыг үржүүлсэн:

Одоо үүссэн тэгшитгэлийн системийн гурав дахь тэгшитгэлээс y-г хасъя.

Үүссэн SLAE нь системтэй тэнцүү байна .

Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн үл мэдэгдэх x ба y хувьсагчдыг агуулсан нөхцөлүүдийг үлдээж, үл мэдэгдэх z хувьсагчтай нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ.