Өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан моментийн аргаас гадна үл мэдэгдэх тархалтын параметрүүдийг цэгээр үнэлэх өөр аргууд байдаг. Үүнд Р.Фишерийн санал болгосон хамгийн их магадлалын арга багтана.
A. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.Болъё X - салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн, үүний үр дүнд n туршилтууд утгыг авсан X 1 ,X 2 , ...,X П . Хэмжээний хуваарилалтын хуулийн хэлбэр гэж үзье X заасан боловч параметр нь тодорхойгүй байна θ , энэ хуулийг тодорхойлдог. Бид түүний цэгийн тооцоог олох хэрэгтэй.
Туршилтын үр дүнд үнэ цэнэ гарах магадлалыг тэмдэглэе X үнэ цэнийг авах болно X би (би= 1 , 2, . . . , n), дамжуулан х(X би ; θ ).
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын функцзэрэглэлX аргумент функцийг дууд θ :
Л (X 1 , X 2 , ..., X П ; θ ) = х (X 1 ; θ ) Р(X 2 ; θ ) . . . х (X n ; θ ),
Хаана X 1 ,X 2 , ...,X П - тогтмол тоо.
Параметрийн цэгийн үнэлгээний хувьд θ энэ утгыг ав θ * = θ * (X 1 , X 2 , ..., X П), Энэ үед магадлалын функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ. Үнэлгээ θ * дуудлага хамгийн их магадлалын тооцоо.
Функцүүд Лболон ln Лижил утгаараа дээд хэмжээнд хүрнэ θ , тиймээс функцийн дээдийг олохын оронд Л ln функцийн хамгийн ихийг (илүү тохиромжтой) хай Л.
Лог-магадлалын функц ln функцийг дууд Л. Мэдэгдэж байгаагаар ln функцийн хамгийн их цэг Лмаргаан θ Жишээлбэл, та дараах байдлаар хайлт хийж болно:
3) хоёр дахь деривативыг олох; хэрэв хоёр дахь дериватив үед θ = θ * тэгвэл сөрөг байна θ * - хамгийн дээд цэг.
Олдсон хамгийн дээд цэг θ * параметрийн магадлалын хамгийн их үнэлгээ гэж авсан θ .
Хамгийн их магадлалын арга нь хэд хэдэн давуу талтай: хамгийн их магадлалын тооцоо нь ерөнхийдөө, тууштай (гэхдээ тэдгээр нь хэвийсэн байж болно), асимптотын хувьд хэвийн тархсан (их утгын хувьд) байдаг. n ойролцоогоор хэвийн) ба бусад асимптотын хэвийн тооцоотой харьцуулахад хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байна; хэрэв тооцоолсон параметрийн хувьд θ үр дүнтэй үнэлгээ байдаг θ *, тэгвэл магадлалын тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна θ *; Энэ арга нь тооцоолж буй параметрийн талаархи түүврийн өгөгдлийг хамгийн бүрэн дүүрэн ашигладаг тул жижиг түүврийн хувьд энэ нь ялангуяа ашигтай байдаг.
Аргын сул тал нь ихэвчлэн нарийн төвөгтэй тооцоо шаарддаг.
Тайлбар 1.Магадлалын функц - аргументийн функц θ ; хамгийн их магадлалын тооцоо - бие даасан аргументуудын функц X 1 ,X 2 , ...,X П .
Тайлбар 2.Хамгийн их магадлалын тооцоо нь моментийн аргаар олсон тооцоотой үргэлж давхцдаггүй.
Жишээ 1.λ Пуассоны тархалт
Хаана м- хийсэн туршилтын тоо; x би - онд тохиолдсон үйл явдлын тоо би-м ( би=1, 2, ..., n) туршлага (туршлага нь бүрдэнэ Ттуршилтууд).
Шийдэл.Үүнийг харгалзан магадлалын функцийг байгуулъя. θ= λ :
Л = х (X 1 ; λ :) х (X 2 ; λ :) . . .х (X n ; λ :),=
.
Эхний деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх магадлалын тэгшитгэлийг бичье.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх эгзэгтэй цэгийг олъё λ:
λ-тэй холбоотой хоёр дахь деривативыг олъё:
λ = хоёр дахь дериватив нь сөрөг болохыг харахад хялбар байдаг; тиймээс λ = нь хамгийн их цэг тул Пуассоны тархалтын λ параметрийн хамгийн их магадлалын үнэлгээний хувьд бид түүврийн дундаж λ* = авах ёстой.
Жишээ 2.Хамгийн их магадлалын аргыг ашиглан параметрийн тооцоог ол х бином тархалт
орсон бол n 1 бие даасан туршилтын арга хэмжээ Агарч ирэв X 1 = м 1 удаа ба П 2 бие даасан туршилтын үйл явдал Агарч ирэв X 2 = т 2 нэг удаа.
Шийдэл.Үүнийг харгалзан магадлалын функцийг байгуулъя θ = х:
Лог-магадлалын функцийг олцгооё:
-д хамаарах анхны деривативыг олъё R:
.
.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх эгзэгтэй цэгийг олъё х:
-тай холбоотой хоёр дахь деривативыг олъё х:
.
Үүнийг хэзээ шалгах нь амархан хоёр дахь дериватив нь сөрөг байна; иймээс, - хамгийн их цэг, тиймээс үүнийг үл мэдэгдэх магадлалын хамгийн их магадлалтай тооцоолол гэж авах ёстой х бином тархалт:
B. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.Болъё X - Үр дүнд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн n туршилтууд утгыг авсан X 1 ,X 2 , ..., x П . Түгээлтийн нягтралын төрөл гэж үзье е(x) заасан боловч параметр нь тодорхойгүй байна θ , энэ функцийг тодорхойлдог.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын функцзэрэглэлX аргумент функцийг дууд θ :
Л (X 1 ,X 2 , ...,X П ; θ ) = е (X 1 ; θ ) е (X 2 ; θ ) . . . е (x n ; θ ),
Хаана X 1 ,X 2 , ..., x П - тогтмол тоо.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн хамгийн их магадлалын тооцоог салангид хувьсагчийн нэгэн адил хайдаг.
Жишээ 3.Экспоненциал тархалт болох λ параметрийн тооцоог хамгийн их магадлалын аргаар ол
(0< X< ∞),
үр дүнд нь бол n санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг шалгах X, экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдсан, утгыг авсан X 1 ,X 2 , ...,X П .
Шийдэл.Үүнийг харгалзан магадлалын функцийг байгуулъя θ= λ:
Л= е (X 1 ; λ ) е (X 2 ; λ ) . . . е (X n ; λ ) =.
Лог-магадлалын функцийг олцгооё:
λ-тэй холбоотой анхны деривативыг олъё:
Эхний деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх магадлалын тэгшитгэлийг бичье.
λ-ийн үр дүнгийн тэгшитгэлийг шийдэх эгзэгтэй цэгийг олцгооё.
λ-д хамаарах хоёр дахь деривативыг олъё :
λ = 1/ гэдгийг харахад амархан. хоёр дахь дериватив нь сөрөг байна; Иймээс λ = 1/ нь хамгийн их цэг бөгөөд иймээс экспоненциал тархалтын λ параметрийн хамгийн их магадлалын үнэлгээний хувьд бид түүврийн дундаж утгыг эсрэгээр тооцох ёстой: λ *= 1/.
Сэтгэгдэл.Хэрэв тархалтын нягтрал е(X) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xүл мэдэгдэх хоёр параметрээр тодорхойлогддог θ 1 ба θ 2, тэгвэл магадлалын функц нь бие даасан хоёр аргументын функц юм θ 1 ба θ 2:
Л= е (X 1 ; θ 1 , θ 2) е (X 2 ; θ 1 , θ 2) . . . е (X n ; θ 1 , θ 2),
Хаана X 1 ,X 2 , ...,X П - ажиглагдсан утгууд X. Дараа нь логарифмын магадлалын функцийг олж, түүний максимумыг олохын тулд системийг зохиож, шийдээрэй
Жишээ 4.Хамгийн их магадлалын аргыг ашиглан параметрийн тооцооллыг ол АТэгээд σ хэвийн тархалт
үр дүнд нь бол nтуршилтын утга X үнэт зүйлсийг авсан X 1 ,X 2 , ...,X П .
Шийдэл.Үүнийг харгалзан магадлалын функцийг байгуулъя θ 1 =аТэгээд θ 2 =σ
.
Лог-магадлалын функцийг олцгооё:
.
-д хамаарах хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё Аба σ-ийн дагуу:
Хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар Аба σ 2, бид дараахь зүйлийг авна.
Тиймээс шаардлагатай хамгийн их магадлалын тооцоо нь: А* = ;σ*= . Эхний тооцоо нь нэг талыг барьсан, хоёр дахь нь өрөөсгөл гэдгийг анхаарна уу.
Хамгийн их магадлалтай арга (MMP) нь статистик, эконометрикийн хамгийн өргөн хэрэглэгддэг аргуудын нэг юм. Үүнийг хэрэглэхийн тулд судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэдэх хэрэгтэй.
Өгөгдсөн DE тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y байг. Энэ хуулийн параметрүүд нь тодорхойгүй, олох хэрэгтэй. Ерөнхийдөө үнэ цэнэ Юолон хэмжээст гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл. хэд хэдэн нэг хэмжээст хэмжигдэхүүнүүдээс бүрдэх U1, U2, U3 ..., U.
Y нь нэг хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний бие даасан утгууд нь тоонууд гэж үзье. Тэд тус бүр (U],y 2, y3, ..., y„) нь нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y биш, харин η санамсаргүй хэмжигдэхүүн U1; U2, U3..., U„. Тэр бол:
уj – санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн бодит байдал];
y2 – U2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэрэгжүүлэх;
uz – U3 санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэрэгжүүлэх;
у„ – санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэрэгжүүлэх У„.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээс бүрдэх Y векторын тархалтын хуулийн параметрүүд Юб Ю 2, У3, У„, -аас бүрдэх Θ вектороор дүрслэгдсэн руупараметрүүд: θχ, θ2, В j. Тоо хэмжээ Υ ν Υ 2, U3,..., Υ η-ийг ижил параметрүүд болон өөр өөр параметрүүдээр тарааж болно; Зарим параметрүүд ижил байж болох ч зарим нь өөр байж болно. Энэ асуултын тодорхой хариулт нь судлаачийн шийдэж буй асуудлаас хамаарна.
Жишээлбэл, хэрэв даалгавар бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн тархалтын хуулийн параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм бол хэрэгжилт нь Y1 утгууд юм; Y2, Y3, Y,„ тэгвэл эдгээр хэмжигдэхүүн тус бүр нь Y-ийн утгатай ижил байдлаар тархсан гэж үзнэ. Өөрөөр хэлбэл, Y-ийн аль ч утгыг ижил тархалтын хуулиар тайлбарладаг /(Y, ), ба ижил параметрүүдтэй Θ: θχ, θ2,..., груу.
Өөр нэг жишээ бол регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олох явдал юм. Энэ тохиолдолд Y утга бүрийг бусад санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын параметрүүдтэй хэсэгчлэн давхцах эсвэл огт өөр байж болох "өөрийн" тархалтын параметрүүдтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзнэ. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олохын тулд MMP ашиглах талаар доор дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Хамгийн их магадлалын аргын хүрээнд Y], y2, y3, ..., y„ боломжтой утгуудын багцыг зарим тогтмол, өөрчлөгддөггүй гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, хууль /(Y;) нь өгөгдсөн y утга ба үл мэдэгдэх Θ параметрийн функц юм. Тиймээс, төлөө П Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ажиглах боломжтой Пхуулиуд /(U;).
Эдгээр тархалтын хуулиудын үл мэдэгдэх параметрүүдийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үздэг. Тэд өөрчлөгдөж болно, гэхдээ Uі, у2, у3, ..., у„ утгуудын багцыг өгвөл параметрүүдийн тодорхой утгууд хамгийн их магадлалтай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, yj, y2, y3, ..., y„ утгууд хамгийн их магадлалтай байхын тулд Θ параметрүүд ямар байх ёстой вэ гэсэн асуултыг ингэж тавьж байна.
Үүнд хариулахын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний Y1 хамтарсан тархалтын хуулийг олох хэрэгтэй; U2, U3,..., Дээш -Күй, У 2, Уз, U„). Хэрэв бид ажиглаж буй y^ y2, y3, ..., y„ хэмжигдэхүүнүүдийг бие даасан гэж үзвэл үржвэртэй тэнцүү байна. Пхууль/
(Y;) (дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өгөгдсөн утгууд үүсэх магадлалын үржвэр эсвэл тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын нягтын үржвэр):
Хүссэн параметрүүдийг Θ хувьсагч гэж үздэг болохыг онцлон тэмдэглэхийн тулд бид түгээлтийн хуулийн тодорхойлолтод өөр нэг аргументыг оруулав - Θ параметрийн вектор:
Оруулсан тэмдэглэгээг харгалзан хамтарсан хуваарилалтын хууль бие даасанпараметр бүхий хэмжигдэхүүнийг маягт дээр бичнэ
(2.51)
Үүссэн функцийг (2.51) дуудна хамгийн их магадлалын функц мөн тэмдэглэнэ:
Хамгийн их магадлалын функцэд Y-ийн утгуудыг тогтмол гэж үздэг бөгөөд хувьсагчид нь вектор параметрүүд (тодорхой тохиолдолд нэг параметр) гэдгийг дахин нэг удаа онцлон тэмдэглэе. Ихэнхдээ үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох үйл явцыг хялбарчлахын тулд магадлалын функц нь логарифм хэлбэртэй байдаг. лог-магадлалын функц
MMP-ийг цаашид шийдвэрлэх нь магадлалын функц (эсвэл түүний логарифм) хамгийн дээд хэмжээнд хүрэх Θ утгыг олох явдал юм. Θ-ийн олдсон утгууд; дуудсан хамгийн их магадлалын тооцоо.
Хамгийн их магадлалтай тооцоог олох аргууд нь нэлээд олон янз байдаг. Хамгийн энгийн тохиолдолд магадлалын функц нь тасралтгүй ялгагдах боломжтой бөгөөд тухайн үед хамгийн их утгатай байдаг
Илүү төвөгтэй тохиолдолд магадлалын тэгшитгэлийг ялгаж, шийдвэрлэх замаар хамгийн их магадлалын функцийг олох боломжгүй бөгөөд энэ нь түүнийг олох бусад алгоритмууд, түүний дотор давтагдах алгоритмуудыг хайх шаардлагатай болдог.
MMP ашиглан олж авсан параметрийн тооцоолол нь:
- – чинээлэг, тэдгээр. ажиглалтын хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр параметрийн тооцоолол ба бодит утгын зөрүү тэг рүү ойртдог;
- – хувирамтгай: хэрэв Θ параметрийн тооцоог 0L-тэй тэнцүү авч, тасралтгүй q(0) функц байгаа бол энэ функцийн утгын үнэлгээ нь q(0L) болно. Ялангуяа MMP-ийг ашиглавал бид аливаа үзүүлэлтийн тархалтыг тооцоолсон (аф), тэгвэл үр дүнгийн тооцооны үндэс нь MMP-ээс олж авсан стандарт хазайлтын (σ,) тооцоо болно.
- – асимптот үр ашигтай ;
- – асимптотоор хэвийн тархсан.
Сүүлийн хоёр мэдэгдэл нь MMP-ээс олж авсан параметрийн тооцоолол нь түүврийн хэмжээ хязгааргүй их хэмжээгээр нэмэгдэж, үр ашиг ба хэвийн байдлын шинж чанарыг харуулдаг гэсэн үг юм.
Маягтын олон шугаман регрессийн параметрүүдийг олох
хамааралтай хувьсагчдын тархалтын хуулийг мэдэх шаардлагатай 7; эсвэл санамсаргүй үлдэгдэл ε,. Хувьсагчийг үзье Ю t нь μ, , σ, параметртэй хэвийн хуулийн дагуу тархсан. Ажиглагдсан утга бүр y нь регрессийн тодорхойлолтын дагуу популяци дахь регрессийн параметрүүдийн утгыг мэддэг бол онолын утгатай тэнцүү математикийн хүлээлт μ, = MU„ байна.
хаана xfl, ..., x ip – бие даасан хувьсагчдын утгууд і - дахь ажиглалт. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглах урьдчилсан нөхцөл (сонгодог хэвийн шугаман загварыг бий болгох урьдчилсан нөхцөл) хангагдсан тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y нь ижил тархалттай байна.
Хэмжигдэхүүний зөрүүг томъёогоор тодорхойлно
Энэ томъёог өөрчилье:
Хэрэв санамсаргүй үлдэгдлийн математик хүлээлт тэг болох ба тэдгээрийн дисперсийн тогтмол байдлын тэгш байдлын Гаусс-Марковын нөхцөл хангагдсан бол (2.52) томъёоноос томьёо руу шилжиж болно.
Өөрөөр хэлбэл V санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба харгалзах санамсаргүй үлдэгдэлүүдийн дисперсүүд давхцдаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн сонгомол үнэлгээ Yjбид тэмдэглэх болно
болон түүний дисперсийн үнэлгээ (өөр өөр ажиглалтын хувьд тогтмол) зэрэг С.
Хувь хүний ажиглалтын бие даасан байдлыг харгалзан үзэх yтэгвэл бид хамгийн их магадлалын функцийг авна
(2.53)
Дээрх функцэд хуваагч нь тогтмол бөгөөд түүний максимумыг олоход ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй. Тиймээс тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг орхигдуулж болно. Энэ тайлбарыг харгалзан логарифмчилсны дараа функц (2.53) хэлбэрийг авна
MMP-ийн дагуу бид үл мэдэгдэх параметрүүдийн талаархи лог-магадлалын функцийн деривативуудыг олох болно.
Экстремумыг олохын тулд бид үүссэн илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Өөрчлөлтийн дараа бид системийг олж авдаг
(2.54)
Энэ систем нь хамгийн бага квадратын аргаар олж авсан системтэй тохирч байна. Өөрөөр хэлбэл, OLS-ийн таамаглал хангагдсан тохиолдолд ЭБЭ болон OLS ижил үр дүнг гаргадаг. Систем дэх (2.54) сүүлчийн илэрхийлэл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн 7-ийн тархалтын тооцоог өгдөг, эсвэл ижилхэн санамсаргүй үлдэгдлийн тархалтын тооцоог өгдөг. Дээр дурьдсанчлан (томъёо (2.23)-ыг үзнэ үү) санамсаргүй үлдэгдлийн дисперсийн бодит бус үнэлгээ нь тэнцүү байна.
MMP ашиглан олж авсан ижил төстэй тооцоог (2.54 системээс дараах байдлаар) томъёогоор тооцоолно.
тэдгээр. байна нүүлгэн шилжүүлсэн.
Y утга хэвийн тархсан тохиолдолд шугаман олон тооны регрессийн параметрүүдийг олохын тулд MMP ашигласан тохиолдлыг авч үзсэн. Ижил регрессийн параметрүүдийг олох өөр нэг арга бол санамсаргүй үлдэгдэл ε, хамгийн их магадлалын функцийг байгуулах явдал юм. Мөн тэдгээр нь (0, σε) параметртэй хэвийн тархалттай гэж үздэг. Энэ тохиолдолд шийдлийн үр дүн нь дээр дурдсан үр дүнтэй давхцаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.
Цэгийн параметрийн үнэлгээний асуудлын мөн чанар
ТАРХИАЛТЫН ҮЗҮҮЛЭЛТИЙН ЦЭГИЙН ТООЦОО
Онооны тооцоо параметрийн утга болгон авсан нэг тоон утгыг олохыг хамарна. ED-ийн хэмжээ хангалттай их байгаа тохиолдолд ийм үнэлгээг тодорхойлох нь зүйтэй. Түүнээс гадна, ED-ийн хангалттай хэмжээний тухай ганц ойлголт байдаггүй, түүний үнэ цэнэ нь тооцоолж буй параметрийн төрлөөс хамаарна (бид интервалын параметрийг тооцоолох аргуудыг судлахдаа энэ асуудал руу буцах болно, гэхдээ эхлээд бид дор хаяж 10-ыг агуулсан дээжийг авч үзэх болно; үнэ цэнэ хангалттай). ED-ийн эзэлхүүн бага байх үед цэгийн тооцоолол нь жинхэнэ параметрийн утгуудаас ихээхэн ялгаатай байж болох бөгөөд энэ нь тэдгээрийг ашиглахад тохиромжгүй болгодог.
Цэгийн параметрийг тооцоолох асуудал ердийн нөхцөлд дараах байдалтай байна.
Боломжтой: ажиглалтын түүвэр ( x 1 , x 2 , …, x n) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ард X. Дээжийн хэмжээ nтогтмол
Хэмжээний хуваарилалтын хуулийн хэлбэр нь мэдэгдэж байна Xжишээлбэл, тархалтын нягтын хэлбэрээр f(Θ , x),Хаана Θ – үл мэдэгдэх (ерөнхийдөө вектор) тархалтын параметр. Параметр нь санамсаргүй бус утга юм.
Тооцооллыг олох хэрэгтэй Θ* параметр Θ хуваарилалтын хууль.
Хязгаарлалт: Түүвэр нь төлөөлдөг.
Цэгийн параметрийн үнэлгээний асуудлыг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамгийн түгээмэл нь хамгийн их магадлал, момент, квантил аргууд юм.
Энэ аргыг 1912 онд Р.Фишер санал болгосон.Ажиглалтын түүвэр авах магадлалыг судлахад үндэслэсэн арга юм. (x 1 , x 2, …, x n). Энэ магадлал нь тэнцүү байна
f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) … f(x n, Θ) dx 1 dx 2 … dx n.
Хамтарсан магадлалын нягт
L(x 1, x 2 ..., x n; Θ) = f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) ... f(x n, Θ),(2.7)
параметрийн функц гэж үздэг Θ , дуудсан магадлалын функц .
Үнэлгээний хувьд Θ* параметр Θ магадлалын функцийг хамгийн их болгодог утгыг авах ёстой. Тооцооллыг олохын тулд магадлалын функцийг солих шаардлагатай Тдээр qтэгшитгэлийг шийднэ
дл/дΘ* = 0.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид магадлалын функцээс түүний ln логарифм руу шилждэг Л. Магадлалын функц нь эерэг функц бөгөөд түүний логарифмтай ижил цэг дээр хамгийн ихдээ хүрдэг тул энэ хувиргалтыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой. Хэрэв тархалтын параметр нь вектор хэмжигдэхүүн бол
Θ* =(q 1, q 2, …, q n),
тэгвэл тэгшитгэлийн системээс магадлалын хамгийн их тооцоог олно
d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q 1 = 0;
d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q 2 = 0;
. . . . . . . . .
d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q n = 0.
Хамгийн оновчтой цэг нь магадлалын функцийн хамгийн их утгатай тохирч байгаа эсэхийг шалгахын тулд энэ функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай. Хэрэв хамгийн оновчтой цэг дээрх хоёр дахь дериватив нь сөрөг байвал олсон параметрийн утгууд нь функцийг хамгийн их болгодог.
Тиймээс, магадлалын хамгийн их тооцоог олох нь дараах алхмуудыг агуулна: магадлалын функцийг (түүний натурал логарифм) байгуулах; шаардлагатай параметрийн дагуу функцийг ялгах, тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэх; тооцоог олох тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх; функцийн хоёр дахь деривативыг тодорхойлох, эхний деривативын оновчтой цэг дээр түүний тэмдгийг шалгаж, дүгнэлт гаргах.
Шийдэл.Эзлэхүүний ED дээжийн магадлалын функц n
Бүртгэлийн магадлалын функц
Параметрийн тооцоог олох тэгшитгэлийн систем
Эхний тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.
эсвэл эцэст нь
Тиймээс арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтийн хамгийн их магадлалтай тооцоолол юм.
Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж болно
Эмпирик дисперс нь хэвийсэн байна. Офсетийг арилгасны дараа
Параметрийн тооцооллын бодит утга: м =27,51, с 2 = 0,91.
Хүлээн авсан тооцоолол нь магадлалын функцын утгыг дээд зэргээр нэмэгдүүлж байгаа эсэхийг шалгахын тулд бид хоёр дахь деривативуудыг авна.
ln( функцийн хоёр дахь деривативууд Л(м, С)) параметрийн утгаас үл хамааран 0-ээс бага байх тул олсон параметрийн утгууд нь хамгийн их магадлалтай тооцоолол юм.
Хамгийн их магадлалын арга нь тууштай, үр дүнтэй (хэрэв байгаа бол үр дүнтэй шийдэл нь үр дүнтэй тооцооллыг өгөх болно), хангалттай, асимптотын хувьд хэвийн тархсан тооцоог олж авах боломжийг олгодог. Энэ арга нь өрөөсгөл болон шударга бус тооцоог гаргаж чадна. Залруулга оруулах замаар гажуудлыг арилгах боломжтой. Энэ арга нь ялангуяа жижиг дээжинд ашигтай байдаг.
Тэмдэглэл: Ажлын зорилго: Санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн магадлалын тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгийн үнэлгээний хамгийн их магадлалын аргыг практикт эзэмших. Програмчлалын орчин - MATLAB.
Онолын хэсэг
Хамгийн их буюу хамгийн их магадлалтай аргыг Р.Фишер [, 13] санал болгосон. Энэ аргыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний априори мэдэгдэж буй тархалтын хуулийн үл мэдэгдэх параметрүүдийн цэгийн тооцоог хийдэг.
Параметрүүдийг тооцоолохдоо эхлээд аргын мөн чанарыг авч үзье салангид хуваарилалтсанамсаргүй хувьсагч.
Туршилтын үр дүнд утга нь утгыг авах магадлалыг , -ээр тэмдэглэе.
Тодорхойлолт. Санамсаргүй дискрет хувьсагчийн магадлалын функц нь аргумент функц юм.
| (7.1) |
санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмжих замаар тогтмол тоонуудыг олж авдаг.
Магадлалын функц хамгийн ихдээ хүрэх утгыг параметрийн цэгийн үнэлгээ болгон авна. Үнэлгээ гэж нэрлэдэг хамгийн их магадлалын тооцоо.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд магадлалын функцийн логарифмыг авч үзэх болно. лог-магадлалын функц. Функцүүд нь аргументынхаа ижил утгаар максимумд хүрдэг тул функцийн максимумыг олохын оронд функцийн дээдийг хайдаг. Шаардлагатай нөхцлийг бичнэ функцийн экстремумскаляр параметрийн хувьд магадлалыг бид олж авна магадлалын тэгшитгэл
 |
(7.2) |
 |
(7.3) |
санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн түүвэр хаана байна.
Магадлалын тэгшитгэлЛогарифм функцтэй (7.3) нь магадлалын (7.2) функцтэй харьцуулахад илүү хялбар байдаг.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь параметрийн вектороос хамаарна 
, тэгвэл (7.3) тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн системээр солино
 |
(7.4) |
Энэ нь (7.3) ба (7.4) тэгшитгэлүүд юм магадлалын тэгшитгэл. Ихэнх тохиолдолд шугаман бус систем (7.4)-ийн шийдлийг тоон аргаар хайх шаардлагатай болдог.
Популяци дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тасралтгүй тархалтын параметрүүдийг тооцоолохдоо хамгийн их магадлалын аргыг ашиглахыг авч үзье.
Үргэлжилсэн байг санамсаргүй утга, туршилтын үр дүнд утгыг авсан. Тархалтын нягтын төрлийг өгсөн гэж үздэг боловч энэ функцийг тодорхойлох параметр нь тодорхойгүй байна.
Тодорхойлолт. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын функц нь аргументийн функц юм
| (7.5) |
тогтмол тоо хаана байна.
Хамгийн их магадлалын тооцооТасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үл мэдэгдэх параметрийг дискрет хувьсагчийнхтай адилаар хайдаг.
Сэтгэгдэл. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг хоёр үл мэдэгдэх параметр ба -аар тодорхойлдог бол магадлалын функц нь бие даасан хоёр аргументийн функц ба :
| (7.6) |
Дискрет ба тасралтгүй тархалтын аль алиных нь хувьд аргументийн логарифмын тархалтын функцийн хамгийн их цэгийг шаардлагатай экстремум нөхцөлөөр хайж болно.
Олдсон хамгийн их цэгийг параметрийн хамгийн их магадлалын тооцоолол болгон авна.
Хамгийн их магадлалын арга нь хэд хэдэн давуу талтай: түүний тооцоолол нь ерөнхийдөө нийцтэй (гэхдээ тэдгээр нь хэвийсэн байж болно), асимптотын хувьд хэвийн тархсан (ойролцоогоор их утгаар) бөгөөд бусад асимптотын хэвийн тооцоотой харьцуулахад хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байдаг; хэрэв үнэлж буй параметрийн үр дүнтэй тооцоо байгаа бол магадлалын тэгшитгэлөвөрмөц шийдэлтэй; Энэ арга нь тооцоолж буй параметрийн талаархи түүврийн өгөгдлийг хамгийн бүрэн дүүрэн ашигладаг тул жижиг түүврийн хувьд энэ нь ялангуяа ашигтай байдаг. Аргын сул тал нь ихэвчлэн нарийн төвөгтэй тооцоо шаарддаг.
Практик хэсэг
1. Экспоненциал тархалтын параметрийн тооцоо
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний экспоненциал тархалтын параметрийг тооцоолох хамгийн их магадлалын аргаар хайх жишээг бид нягтын функц нь хэлбэртэй байна.
 |
(7.7) |
Экспоненциал тархалтын шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт ба дисперсийг агуулдаг.
 |
(7.8) |
 |
(7.9) |
Сэтгэгдэл. MATLAB-д суулгасан функцүүдэд экспоненциал тархалтын параметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт юм.
Экспоненциал тархалтын параметрийн цэгийн тооцооллын програм хангамжийн боломжит хэрэгжилт:
цэвэрлэх,clc,бүгдийг хаах %%% Харилцах цонхыг хааж байгаа эсэхийг шалгаж байна global h11 close(h11); end try global n11 close(n11); end try global v11 close(v11) end %% ОРУУЛАЛТЫН ОНОЛЫН ТАРХАЛТЫН ПАРАМЕТРЫН сонголтууд.Resize = "on"; options.WindowStyle = "modal"; %%"хэвийн"; options.Interpreter = "tex"; P1 = inputdlg(("\bfПараметрийн оролт:......................................... .... ............."),... sprintf("Онолын параметрийн утга"),1,("1.23"), сонголтууд); %% МАТНЫ ХУВЬСАГЧ РУУ ХӨРӨВЛӨХ P2 = char(P1); %% ДАВХАР НЯГТАЙ БОЛЖ ХӨРВҮҮЛЭХ P0 = str2num(P2); %% PARAMETER INPUT CONTROL if isempty(P0) h11 = errordlg("Параметр нь бодит эерэг тоо байх ёстой!","Оролтын алдаа");<= 0 | ~isreal(P0) | ~isfinite(P0) h11 = errordlg("Параметр должен быть конечным действительным положительным числом!","Ошибка ввода"); return end % ВВОД ЧИСЛА ПРОГОНОВ ПРОГРАММЫ n1 = inputdlg({"\bfВвод числа прогонов программы.........................."},... "Число прогонов программы",1,{"10"}, options); % ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЧИСЛОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ n = str2num(char(n1)); %% Контроль ввода цифр if isempty(n) global n11 n11 = errordlg("Число прогонов программы должно быть целым положительным числом!", "Ошибка ввода"); return end if ~isreal(n) | ~isfinite(n) global n11 n11 = errordlg("Число прогонов программы должно быть целым положительным числом!", "Ошибка ввода"); return end %% Контроль целого положительного числа циклов if n <= 0 | n ~= round(n) global n11 n11 = errordlg("Число прогонов программы должно быть целым положительным числом!", "Ошибка ввода"); return end % ВВОД ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ v1 = inputdlg({"\bfВвод числа измерений случайной величины..................................."},... "Число измерений случайной величины",1,{"1234"}, options); % ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЧИСЛОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ v = str2num(char(v1)); if isempty(v) global v11 v11 = errordlg("Число измерений должно быть положительным целым числом!","Ошибка ввода"); return end if ~isreal(v) | ~isfinite(v) global v11 v11 = errordlg("Число измерений должно быть положительным целым числом!","Ошибка ввода"); return end % КОНТРОЛЬ ЦЕЛОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ % СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ if v <= 0 | v ~= round(v) global v11 v11 = errordlg("Число измерений должно быть положительным целым числом!","Ошибка ввода"); return end syms m k = 0; %% ЦИКЛ ЗАДАННОГО ЧИСЛА ПРОГОНОВ ПРОГРАММЫ for I = 1:n k=k+1; %% ФОРМИРОВАНИЕ ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ t = exprnd(1/P0,v,1); %% ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО %% ПРАВДОПОДОБИЯ L = m^(length(t))*exp(-m*sum(t)); %% ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО %% ПРАВДОПОДОБИЯ Lg = log(L); %% ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ dLg = diff(Lg,m); %% ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИМВОЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ К СТРОКОВОЙ dLg = char(dLg); %% РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОЦЕНИВАЕМОГО %% ПАРАМЕТРА as1(k) = double(solve(dLg)); %% УСРЕДНЕНИЕ ОЦЕНИВАЕМОГО ПАРАМЕТРА as(k) = mean(as1); end %% ОКОНЧАНИЕ ЦИКЛА ЗАДАННОГО ЧИСЛА ПРОГОНОВ ПРОГРАММЫ mcp = mean(as); %% ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ В КОМАНДНОЕ ОКНО fprintf("\n\t%s%g\n \t%s%g\n","Теоретический параметр: ",P0,... "Оценка параметра: ", mcp) fprintf("\tОтносительная погрешность: %g%s\n",abs(P0-mcp)/P0*100,"%") %% ГРАФИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ figure(1) %% set(gcf,"position",) plot(1:n,as1,"r:","linew",2),grid off,hold on, plot(1:n,as,"linew",2), title(sprintf("%s%g","\bfТеоретический параметр\fontsize{12} \lambda\fontsize{10} = ",P0)) xlabel("\bf Количество циклов"), ylabel("\bf Эмпирический параметр\fontsize{14} \lambda"), legend("\bf Измеряемая величина\fontsize{12} \lambda",... "\bf Средняя величина\fontsize{12} \lambda"), set(gcf,"color","w") %% ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭМПИРИЧЕСКОЙ %% ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ t = 0: 0.1: 4; y1 = P0*exp(-P0*t); %exppdf(t,1/P0); % встроенная функция y2 = mcp*exp(-mcp*t); %exppdf(t,1/mcp); figure(2) plot(t, y1, "r", "linew",2), hold on plot(t, y2, "bo", "linew",2) grid off legend("\bf Теоретическая функция плотности (PDF)",... "\bf Эмпирическая функция плотности"), text(t(end)/3,2/3*max(max()),["\bf",... sprintf("Теоретический параметр: %g\n Эмпирический параметр: %g",P0,mcp)]) xlabel("\bf Случайная величина"), ylabel("\bf Функция плотности"), set(gcf,"color","w")
нягтралтай тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Нягтын төрөл нь мэдэгдэж байгаа боловч параметрүүдийн утга нь тодорхойгүй байна Магадлалын функц нь функц юм (энд - £ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтаас авсан эзлэхүүний түүвэр). Магадлалын функцэд магадлалын утгыг өгч болохыг хялбархан харж болно, тухайлбал: бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бие даасан, D(z) хуулийн дагуу ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй санамсаргүй векторыг авч үзье. Тэгвэл Е векторын магадлалын элемент нь i.e хэлбэртэй байна. Магадлалын функц нь P туршилтын дарааллаар тогтмол түүврийг авах магадлалтай холбоотой юм. Магадлалын аргын гол санаа нь А параметрийн үнэлгээний хувьд ийм утгыг авахыг санал болгож байна (3) Энэ нь өгөгдсөн тогтмол түүврийн магадлалын функцийн дээд хэмжээг өгдөг, өөрөөр хэлбэл туршилтаар олж авсан дээжийг хамгийн их магадлалтай гэж үзэхийг санал болгож байна. pj параметрийн тооцооллыг олох нь k тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд буурдаг (k нь үл мэдэгдэх параметрүүдийн тоо): L функцийн log нь магадлалын функцтэй ижил цэг дээр максимумтай тул магадлалын тэгшитгэлийн систем (19) нь дараах байдалтай байна. ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг Үл мэдэгдэх параметрийн тооцоолсон систем (19) эсвэл (20) түүврээс үнэхээр хамааралтай бөгөөд тогтмол бус шийдлүүдийг авах хэрэгтэй. £ нь тархалтын цуваатай салангид тохиолдолд магадлалын функцийг функц гэж нэрлэх ба тооцооллыг хамгийн их магадлалтай арга буюу эквивалентын шийдэл болгон хайж олох боломжтой. Хамгийн их магадлалын арга нь моментийн аргаас илүү төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, гэхдээ онолын хувьд энэ нь илүү үр дүнтэй байдаг, учир нь хамгийн их магадлалын тооцоо нь моментийн аргыг ашиглан олж авсан тооцооллоос тооцоолсон параметрүүдийн бодит утгаас бага зөрүүтэй байдаг. . Аппликешнүүдэд хамгийн их тохиолддог тархалтын хувьд моментийн арга ба хамгийн их магадлалын аргыг ашиглан олж авсан параметрийн тооцоолол ихэнх тохиолдолд давхцдаг. Пршир 1. хазайлт (хэсгийн хэмжээ нь нэрлэсэн утгаас хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Түүврээс хазайх системчилсэн алдаа ба дисперсийг тодорхойлох шаардлагатай. М Нөхцөлөөр (математик үзүүлэлттэй хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн). n хэмжээтэй түүврээс тооцоолох хүлээлт (системийн алдаа) ба тархалт: X\>...уХп Энэ тохиолдолд магадлалын функц Систем (19) хэлбэртэй байна. Иймээс Xx-ээс хамааралгүй шийдлүүдийг оруулаагүй болно. бид олж авдаг, өөрөөр хэлбэл. Энэ тохиолдолд магадлалын хамгийн их тооцоолол нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан эмпирик дундаж болон дисперстэй давхцаж байна > Жишээ 2. Түүврээс экспоненциал тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний параметр /i-г тооцоол. 4 Магадлалын функц нь хэлбэртэй байна. Магадлалын тэгшитгэл нь моментийн аргаар олж авсан ижил параметрийн тооцоотой давхцах шийдэлд хүргэдэг, (17) үзнэ үү. ^ Жишээ 3. Зоос 10 удаа шидэх үед сүлд 8 удаа гарч ирсэн тохиолдолд хамгийн их магадлалын аргыг ашиглан сүлд гарч ирэх магадлалыг тооцоол. -4 Үнэлгээний магадлалыг p-тэй тэнцүү болго. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье (тархалтын цуваатай. Магадлалын функц (21) нь хамгийн их магадлалын арга хэлбэртэй байна. Тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх магадлалын p тооцоогоор туршилтад сүлд харагдах давтамжийг өгдөг. Дүгнэлт. Тооцооллыг олох аргуудын талаар ярилцахдаа бид маш их хэмжээний туршилтын өгөгдөлтэй байсан ч бид тооцоолсон параметрийн яг тодорхой утгыг хэлж чадахгүй байгааг онцолж байна, үүнээс гадна бидний олж авсан тооцоо ойролцоо байна Тооцоолсон параметрүүдийн жинхэнэ утгыг зөвхөн "дунджаар" эсвэл "ихэнх тохиолдолд" гэж үздэг. Тиймээс бидний цаашид авч үзэх чухал статистик ажил бол бидний хийсэн үнэлгээний үнэн зөв, найдвартай байдлыг тодорхойлох явдал юм.
