Анги: 9

Зорилго: Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг олох томьёог гаргаж авах;

орой бүр дээр нэгийг авсан олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэрийн асуултыг судлах;
танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны эерэг сэдлийг бий болгох;
логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх;
анхаарал, ажиглалт, зураг дээр дүн шинжилгээ хийх чадварыг хөгжүүлэх;
олж авсан мэдлэгээ асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
оюутнуудын харилцааны соёлыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн үеэр

Оросын агуу эрдэмтэн, Оросын газар нутгийн бахархал

Михайло Васильевич Ломоносов хэлэхдээ: "Цөхөршгүй хөдөлмөр нь саад бэрхшээлийг даван туулдаг." Өнөөдөр хичээл дээр бидний ажил бүх саад бэрхшээлийг даван туулахад тусална гэж найдаж байна.

1. Суурь мэдлэгийг шинэчлэх. (Урьдчилсан судалгаа.)

Илтгэл. (Слайд 2–4)

– Олон өнцөгтийн тодорхойлолтыг томъёолж, үндсэн элементүүдийг нэрлэ.
– Гүдгэр олон өнцөгтийн тодорхойлолт.
– Таны мэддэг гүдгэр олон өнцөгт дөрвөн өнцөгтийн жишээг өг.
– Гурвалжинг гүдгэр олон өнцөгт гэж үзэж болох уу?
– Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг гэж юу вэ?

2. Асуудлын мэдэгдэл (хичээлийн сэдэв рүү орох).

Амны урд талын ажил.

Эдгээр олон өнцөгтүүдийн өнцгийн нийлбэрийг ол (Слайд 5–6)

- гурвалжин; тэгш өнцөгт:
- трапец; дурын долоон өнцөгт.

Хэцүү тохиолдолд багш дараах асуултуудыг тавьдаг.

– Трапецын тодорхойлолтыг томъёол.
– Трапецын суурийг нэрлэ.
– А ба D өнцгийн талаар юу хэлж болох вэ, тэдгээр нь ямар шинж чанартай вэ?
– Зурган дээрх дотоод нэг талын баривчлах хоёрыг бас нэрлэж болох уу?
– Та долоон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг олж чадсан уу? Асуулт юу вэ? (Дурын олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг олох томьёо байдаг уу?)

Тэгэхээр өнөөдрийн бидний мэдлэг энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд хүрэлцэхгүй байгаа нь ойлгомжтой.

Бид хичээлийнхээ сэдвийг хэрхэн томъёолж болох вэ? – Өнцгийн нийлбэргүдгэр олон өнцөгт.

3. Шийдэл Асуудлууд. Асуултанд хариулахын тулд бага зэрэг судалгаа хийцгээе.

Гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Бид үүнийг ямар нэгэн байдлаар ашиглаж болох уу?

-Үүний тулд юу хийх шаардлагатай вэ? (Олон өнцөгтийг гурвалжинд хуваа.)

– Олон өнцөгтийг хэрхэн гурвалжинд хуваах вэ? Энэ талаар бодож, ярилцаж, хамгийн сайн сонголтоо санал болго.

Ажлыг бүлгээр гүйцэтгэдэг, бүлэг бүр "Geo Gebra" програм суулгасан тусдаа компьютер дээр ажилладаг.

Ажлын төгсгөлд багш бүлгийн ажлын үр дүнг дэлгэц дээр харуулдаг. (Слайд 7)

– Санал болгож буй хувилбаруудад дүн шинжилгээ хийж, судалгааныхаа хамгийн оновчтой хувилбарыг сонгохыг хичээцгээе.

Сонгох шалгуурыг шийдье: хуваалтын үр дүнд бид юу авахыг хүсч байна вэ? (Бүтээсэн гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байх ёстой.)

– Ямар сонголтыг нэн даруй хаяж болох вэ? Яагаад?

(Хувилбар 1, учир нь бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү биш юм.)

-Аль хувилбар хамгийн тохиромжтой вэ? Яагаад? (Сонголт 3.)

Та энэ сонголтыг хэрхэн олж авсан бэ? (Олон өнцөгтийн нэг оройноос диагональ зур

зурах	n – олон өнцөгтийн оройнуудын тоо	Нэг оройноос зурсан диагональуудын тоо	Олж авсан гурвалжны тоо
	4
	5
	6
	7
	n

– Олон өнцөгтийн оройн тоо, нэг оройноос зурж болох диагональуудын тоо, олж авсан гурвалжны тоо хоорондын хамаарлыг тогтоохыг хичээцгээе.

Бүлэг бүр судалгааны явцад бөглөх ёстой хүснэгтийг хүлээн авдаг.

Бүлгээр ярилцсаны дараа хүүхдүүд дараахь дүгнэлтийг гаргана.
n өнцөгтийн нэг оройноос n – 3 диагональ зурж болно (сонгосон орой болон хоёр хөрш рүү диагональ зурах боломжгүй тул). Энэ тохиолдолд бид n - 2 гурвалжин авна.

Иймд гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 180 0 (n-2) байна.

– Олон өнцөгтийг гурвалжинд хуваах санал болгож буй хувилбарууд руугаа буцъя.

Энэ теоремыг батлахын тулд 4-р зурагт санал болгосон хувилбарыг ашиглах боломжтой юу?

– Энэ хуваалтаар та хэдэн гурвалжин авах вэ? ( Пзүйлс)
Бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрээс хэр их ялгаатай вэ? (360 0-д)
– Энэ тохиолдолд олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолох вэ?

(180П– 360 = 180p – 180x2 = 180(p -2))(Cтэргүүлэх 8)

– Зураг 2-т санал болгож буй сонголт нь хуваахад бидний тавьсан үндсэн шаардлагыг хангаж байна уу? (Тийм.)

– Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг олохын тулд яагаад үүнийг ашиглахыг зөвлөдөггүй вэ? (Гурвалжны тоог тоолоход хэцүү байдаг.)

За одоо хичээлийн эхэнд шийдэж чадаагүй асуудал руугаа буцъя.

(Хүүхдүүд долоон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг амаар тооцоолж, хоёр ижил төстэй дасгал хийдэг.) (Слайд 9 ба 10)

4. Олж авсан мэдлэгээ хэрэгжүүлэх .

Бид гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийг олох томьёог гаргасан. Одоо орой бүр дээр нэгийг авсан олон өнцөгтийн гаднах өнцгүүдийн нийлбэрийн талаар ярилцъя.

Тэгэхээр асуудал нь: аль нь илүү вэ: орой тус бүр дээр нэгийг авсан гаднах өнцгийн нийлбэр, гүдгэр зургаан өнцөгт эсвэл гурвалжин уу? (Слайд 11)

Хүүхдүүд таамаглалаа илэрхийлдэг. Багш энэ асуудлыг шийдэхийн тулд судалгаа хийхийг санал болгож байна.

Бүлэг бүр бие даан шийдвэрлэх даалгавар авдаг.

1-р бүлэг.

1) Энгийн гурвалжны орой бүр дээр нэгийг авсан гадаад өнцгүүдийн нийлбэрийг ол.
2) – Гурвалжны хувьд өнцгийн градусын утга нь тус тус 70 0, 80 0, 30 0-тэй тэнцүү байна.

2-р бүлэг.

1) Тэгш өнцөгтийн орой бүр дээр нэгийг авсан гадаад өнцгүүдийн нийлбэрийг ол.
2) – Дотоод өнцөг нь 70 0, 80 0 ба 120 0 ба 90 0-тэй тэнцүү дөрвөн өнцөгт.

3-р бүлэг.

1) Энгийн зургаан өнцөгтийн орой бүр дээр нэгийг авсан гадаад өнцгүүдийн нийлбэрийг ол.
2) – Дотоод өнцөг нь 170 0, 80 0 ба 130 0, 100 0, 70 0, 170 0-тэй тэнцүү зургаан өнцөгтийн хувьд.

Ажлаа дуусгасны дараа хүүхдүүд үр дүнгээ тайлагнаж, багш тэдгээрийг хүснэгтэд оруулан дэлгэцэн дээр харуулав. (Слайд 12)

Тэгэхээр олж авсан үр дүнгээс ямар дүгнэлт хийж болох вэ? (Аливаа олон өнцөгтийн орой бүр дээр нэгийг авсан гадаад өнцгийн нийлбэр нь 360 0 байна.)

Одоо ямар ч n-gon-ийн хувьд энэ баримтыг батлахыг оролдъё.

Хэрэв хүндрэл гарвал нотлох төлөвлөгөөг хамтад нь хэлэлцэнэ.

1. Олон өнцөгтийн дотоод өнцгийг α, β, γ гэх мэтээр тэмдэглэ.
2. Оруулсан тэмдэглэгээг ашиглан гадаад өнцгийн хэмжүүрийг илэрхийл
3. Олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэрийг олох илэрхийлэл үүсгэ
4. Үүссэн илэрхийллийг хувиргаж, олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийн хувьд өмнө нь олж авсан томъёог ашиглана.

Баримт бичгийг самбар дээр бичсэн:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 х – (α+ β +γ + …) = 180 p – 180(p – 2) = 360

5. Судалсан материалыг нэгтгэх. Асуудал шийдэх.

Бодлого 1. 45 0, 68 0, 73 0, 56 0 гэсэн дотоод өнцөгтэй гүдгэр олон өнцөгт байна уу? Хариултаа тайлбарлана уу.

Зөрчилдөөнөөр нотлох баримт гаргая. Хэрэв гүдгэр олон өнцөгт дөрвөн хурц дотоод өнцөгтэй бол түүний гаднах өнцгүүдийн дунд дөрвөн мохоо өнцөг байдаг бөгөөд энэ нь олон өнцөгтийн бүх гадаад өнцгийн нийлбэр нь 4 * 90 0 = 360 0 -ээс их байна гэсэн үг юм. Бидэнд зөрчилдөөн байна. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Гүдгэр олон өнцөгт гурван өнцөг нь 80 градус, үлдсэн хэсэг нь 150 градус байна. Гүдгэр олон өнцөгт хэдэн өнцөгтэй вэ?

Учир нь: гүдгэр n өнцөгтийн хувьд өнцгийн нийлбэр 180°(n – 2) байна. , тэгвэл 180(n – 2)=3*80 + x*150, үүнд бодлогын нөхцлийн дагуу 80 градусын 3 өнцөг бидэнд өгөгдсөн ба бусад өнцгийн тоо бидэнд тодорхойгүй хэвээр байгаа нь бид Тэдний тоог x-ээр тэмдэглэ.

Гэсэн хэдий ч зүүн талын оруулгаас бид олон өнцөгтийн өнцгийн тоог n гэж тодорхойлсон, учир нь тэдгээрээс бид асуудлын нөхцлөөс гурван өнцгийн утгыг мэдэж байгаа тул x = n-3 байх нь тодорхой байна.

Тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Бид үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ

180н – 360 = 240 + 150н – 450

180н – 150н = 240 + 360 – 450

Хариулт: 5 оргил.

6. Хичээлийг дүгнэх.

Тэгэхээр, тоймлон хүргэе. Өнөөдрийн хичээлийн материал дээр үндэслэн нөгөө бүлгийн залууст асуултаа бичээрэй.

Та аль асуултыг хамгийн сайн гэж бодож байна вэ?

Хамтын ажилд бүлгийн гишүүн бүрийн оролцооны түвшинг ярилцаж, хамгийн идэвхтэй хүмүүсийг нэрлэнэ үү.

Хэний бүлгийн ажил хамгийн үр дүнтэй байсан бэ?

7. Гэрийн даалгавар:

1. Даалгавар.

Олон өнцөгт гурван өнцөгт тус бүр нь 113 градус, бусад нь тэнцүү бөгөөд градусын хэмжүүр нь бүхэл тоо юм. Олон өнцөгтийн оройн тоог ол.

2. догол мөр 114 хуудас 169-171, Погорелов А.В. "Геометр 7-9."

Олон өнцөгтийн дотоод өнцөголон өнцөгтийн хоёр зэргэлдээ талаас үүссэн өнцөг. Жишээлбэл, ∠ ABCдотоод өнцөг юм.

Олон өнцөгтийн гадаад буланнь олон өнцөгтийн нэг тал ба нөгөө талын үргэлжлэлээс үүссэн өнцөг юм. Жишээлбэл, ∠ L.B.C.гадаад өнцөг юм.

Олон өнцөгтийн өнцгийн тоо үргэлж талуудын тоотой тэнцүү байна. Энэ нь дотоод болон гадаад буланд хоёуланд нь хамаарна. Хэдийгээр олон өнцөгтийн орой тус бүрт хоёр тэнцүү гадна өнцгийг барьж болох боловч тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үргэлж харгалзан үздэг. Тиймээс аливаа олон өнцөгтийн өнцгийн тоог олохын тулд талуудын тоог тоолох хэрэгтэй.

Дотоод өнцгийн нийлбэр

Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180° ба талуудын тоог хоёрыг хассан үржвэртэй тэнцүү байна.

с = 2г(n - 2)

Хаана сөнцгүүдийн нийлбэр, 2 г- хоёр тэгш өнцөг (өөрөөр хэлбэл 2 90 = 180 °), ба n- талуудын тоо.

Хэрэв бид дээрээс нь зурвал Аолон өнцөгт ABCDEFбүх боломжит диагональууд, дараа нь бид гурвалжинд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн тоо нь олон өнцөгтийн талуудаас хоёроор бага байх болно.

Тиймээс олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь үүссэн бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэр нь 180° (2 г), тэгвэл бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр 2 үржвэртэй тэнцүү байна гтэдгээрийн тоо хэмжээгээр:

с = 2г(n- 2) = 180 4 = 720 °

Энэ томъёоноос харахад дотоод өнцгийн нийлбэр нь тогтмол утга бөгөөд олон өнцөгтийн талуудын тооноос хамаарна.

Гадаад өнцгийн нийлбэр

Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр нь 360° (эсвэл 4 г).

с = 4г

Хаана сгадаад өнцгийн нийлбэр, 4 г- дөрвөн зөв өнцөг (өөрөөр хэлбэл 4 90 = 360 °).

Олон өнцөгтийн орой тус бүрийн гадаад ба дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180° (2 г), учир нь тэдгээр нь зэргэлдээ өнцөг юм. Жишээлбэл, ∠ 1 болон ∠ 2 :

Тиймээс хэрэв олон өнцөгт байвал nталууд (болон nорой), дараа нь бүх гадаад ба дотоод өнцгийн нийлбэр nоройнууд нь 2-той тэнцүү байх болно dn. Тэгэхээр энэ дүнгээс 2 dnЗөвхөн гадаад өнцгийн нийлбэрийг авахын тулд үүнээс дотоод өнцгийн нийлбэрийг хасах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 2. г(n - 2):

с = 2dn - 2г(n - 2) = 2dn - 2dn + 4г = 4г

Видео заавар 2: Олон өнцөгт. Асуудал шийдэх

Лекц: Олон өнцөгт. Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр

Олон өнцөгт- эдгээр нь биднийг хаа сайгүй хүрээлж буй дүрсүүд юм - энэ бол зөгийн балаа хадгалдаг зөгийн сархинагуудын хэлбэр, архитектурын бүтэц болон бусад олон зүйл юм.

Өмнө дурьдсанчлан олон өнцөгт нь хоёроос дээш өнцөгтэй дүрс юм. Тэдгээр нь хаалттай тасархай шугамаас бүрдэнэ.

Түүнээс гадна олон өнцөгтийн өнцөг нь гадаад ба дотоод байж болно. Жишээлбэл, од нь 10 өнцөгтэй, зарим нь гүдгэр, зарим нь хотгор хэлбэртэй дүрс юм.

Гүдгэр олон өнцөгтийн жишээ:

Зураг дээр ердийн олон өнцөгтүүдийг харуулсан болохыг анхаарна уу - эдгээр нь сургуулийн математикийн хичээлд нарийвчлан судлагдсан зүйлүүд юм.

Аливаа олон өнцөгт нь талуудын тоотой ижил тооны оройтой байдаг. Мөн хөрш зэргэлдээ оройнууд нь нэг нийтлэг талтай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, гурвалжны бүх орой нь зэргэлдээ байдаг.

Энгийн олон өнцөгт олон өнцөгт байх тусам тэдгээрийн градусын хэмжүүр их болно. Гэхдээ гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн хэмжүүр нь 180 градусаас их буюу тэнцүү байж болохгүй.

Олон өнцөгтийн ерөнхий хэмжүүрийг тодорхойлохын тулд та томьёог ашиглах хэрэгтэй.

Олон өнцөгт. Олон өнцөгтийн төрлүүд. Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод ба гадаад өнцөг. Гүдгэр n-гононы дотоод өнцгийн нийлбэр (теорем). Гүдгэр n-гоны гадна өнцгийн нийлбэр (теорем). Ердийн олон өнцөгтүүд. Ердийн олон өнцөгтийг тойрсон тойрог (теорем, үр дүн 1,2)

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцөг нь түүний талууд нь энэ оройд нийлэхээс үүссэн өнцөг юм. Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь энэ орой дээрх дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм. дотоод булан гадаад булан

Теорем. Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь (n – 2) · 180 о, энд n нь олон өнцөгтийн талуудын тоо юм. Өгөгдсөн: гүдгэр n-gon. Баталгаажуулах: α = (n – 2) ·180 о Баталгаа n өнцөгт дотор дурын О цэгийг аваад бүх оройтой холбоно. Олон өнцөгт нь нийтлэг О оройтой n гурвалжинд хуваагдана. Гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэр нь 180 o, тиймээс бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 o n байна. Энэ нийлбэр нь олон өнцөгтийн бүх дотоод өнцгүүдийн нийлбэрээс гадна О орой дээрх гурвалжны өнцгийн нийлбэр буюу 360 градустай тэнцүү байна. Тиймээс олон өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o-тэй тэнцүү байна. Тэгэхээр n = (n – 2) 180 o. гэх мэт. О

Теорем. Гүдгэр олон өнцөгтийн гадна талын өнцгийн нийлбэр орой тус бүр дээр нэгийг авсан нь n-ээс хамаарахгүй бөгөөд 360-тай тэнцүү байх ба энд n нь n өнцөгтийн талуудын тоо юм. Баталгаа. Олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь харгалзах дотоод өнцөгтэй зэргэлдээ байх ба зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү тул олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр нь: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Гадаад ба дотоод дотоод Тиймээс орой тус бүр дээр нэгийг авсан гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр нь n-ээс хамаарахгүй бөгөөд 360 o-тэй тэнцүү байх ба энд n нь n өнцөгтийн талуудын тоо юм. гэх мэт.

Теорем. Аливаа ердийн олон өнцөгт дээр та тойрог бичиж болно, зөвхөн нэг. Баталгаа. A1,A2,…,A n нь жирийн олон өнцөгт O, хүрээлэгдсэн тойргийн төв байг. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1 тул О оройноос татсан эдгээр гурвалжнуудын өндөр нь мөн ОН1 = ОН2 =…= ОНn-тэй тэнцүү байна. Тиймээс О төвтэй, OH1 радиустай тойрогтой тойрог нь H1, H2, ..., Hn цэгүүдийг дайран өнгөрч, эдгээр цэгүүд дээр олон өнцөгтийн талуудтай хүрч, өөрөөр хэлбэл. тойрог нь өгөгдсөн олон өнцөгт бичигдсэн байна. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Ганцхан тойрог байдаг гэдгийг баталцгаая. О төвтэй, OA радиустай өөр нэг тойрог байна гэж бодъё. Дараа нь түүний төв нь олон өнцөгтийн талуудаас ижил зайд байрладаг, өөрөөр хэлбэл О1 цэг нь олон өнцөгтийн булангийн биссектриса тус бүр дээр байрладаг тул эдгээр биссектрисийн огтлолцлын О цэгтэй давхцдаг. Энэ тойргийн радиус нь О цэгээс олон өнцөгтийн талууд хүртэлх зайтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. OH1-тэй тэнцүү. Теорем нь батлагдсан. Дүгнэлт 1 Энгийн олон өнцөгт дотор бичээстэй тойрог нь олон өнцөгтийн хажуу талуудад тэдгээрийн дунд цэгүүдэд хүрдэг. Дүгнэлт 2 Энгийн олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь ижил олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байна.

Анхаарна уу. Энэ материал нь теорем ба түүний нотолгоо, түүнчлэн практик жишээнүүдийг ашиглан гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр дээр теоремыг хэрхэн хэрэглэхийг харуулсан хэд хэдэн асуудлыг багтаасан болно..

Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн тухай теорем

Баталгаа.

Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремыг батлахын тулд гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү гэсэн аль хэдийн батлагдсан теоремыг ашигладаг.

A 1 A 2... A n нь өгөгдсөн гүдгэр олон өнцөгт байх ба n > 3. А 1-ийн оройноос олон өнцөгтийн бүх диагональуудыг зуръя. Тэд үүнийг n – 2 гурвалжинд хуваана: Δ A 1 A. 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь эдгээр бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр юм. Гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэр нь 180°, гурвалжны тоо (n – 2) байна. Иймд гүдгэр n өнцөгт A 1 A 2... A n өнцгийн нийлбэр нь 180° (n – 2)-тай тэнцүү байна.

Даалгавар.

Шийдэл.

Теорем нь: Гүдгэр n-гоны хувьд өнцгийн нийлбэр нь 180°(n-2) байна. .

Тиймээс, бидний хувьд:

180(n-2)=3*80+x*150, энд

Бодлогын нөхцлийн дагуу бидэнд 80 градусын 3 өнцөг өгөгдсөн бөгөөд үлдсэн өнцгийн тоо нь бидэнд тодорхойгүй хэвээр байгаа тул тэдгээрийн тоог х гэж тэмдэглэв.

Тэгэхээр тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.

180(n-2)=240+150(n-3)

Бид үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ

180н - 360 = 240 + 150н - 450

180н - 150н = 240 + 360 - 450

Хариулт: 5 оргил

Даалгавар.

Өнцөг бүр нь 120 градусаас бага бол олон өнцөгт хэдэн оройтой байх вэ?

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн теоремыг ашиглана.

Теорем нь: Гүдгэр n-гоны хувьд бүх өнцгийн нийлбэр нь 180°(n-2) байна. .

Энэ нь бидний хувьд эхлээд асуудлын хилийн нөхцлийг тооцоолох шаардлагатай гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, өнцөг бүр нь 120 градустай тэнцүү байна гэж таамаглах хэрэгтэй. Бид авах:

180н - 360 = 120н

180n - 120n = 360 (бид энэ илэрхийллийг доор тусад нь авч үзэх болно)

Үүссэн тэгшитгэл дээр үндэслэн бид дүгнэж байна: хэрэв өнцөг нь 120 градусаас бага бол олон өнцөгтийн өнцгийн тоо зургаагаас бага байна.

Тайлбар:

180n - 120n = 360 илэрхийлэлд үндэслэн баруун талын сугалаа 120н-ээс бага байвал ялгаа нь 60н-ээс их байх ёстой. Тиймээс хуваах коэффициент үргэлж зургаагаас бага байх болно.

Хариулт:олон өнцөгтийн оройн тоо зургаагаас бага байх болно.

Даалгавар

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэрийн теоремыг ашиглана.

Теорем нь: Гүдгэр n өнцөгтийн хувьд бүх гадаад өнцгийн нийлбэр нь 360° байна .

Тиймээс,

3*(180-113)+(n-3)x=360

Илэрхийллийн баруун тал нь гадаад өнцгийн нийлбэр, зүүн талд нь гурван өнцгийн нийлбэр нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог, үлдсэн хэсгийн градусын хэмжүүр (тэдгээрийн тоо нь n-3, учир нь гурван өнцөг нь мэдэгдэж байгаа тул) x гэж тодорхойлсон.

159 нь зөвхөн 53 ба 3 гэсэн хоёр хүчин зүйлд задардаг бөгөөд 53 нь анхны тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, өөр хос хүчин зүйл байхгүй.

Ингээд n-3 = 3, n=6, өөрөөр хэлбэл олон өнцөгтийн өнцгийн тоо зургаан байна.

Хариулт: зургаан булан

Даалгавар

Гүдгэр олон өнцөгт хамгийн ихдээ гурван хурц өнцөгтэй байж болохыг батал.

Шийдэл

Мэдэгдэж байгаагаар гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр нь 360 0-тэй тэнцүү байна. Зөрчилдөөнөөр нотлох баримт гаргая. Хэрэв гүдгэр олон өнцөгт дор хаяж дөрвөн хурц дотоод өнцөгтэй бол түүний гадаад өнцгүүдийн дунд дор хаяж дөрвөн мохоо өнцөг байх бөгөөд энэ нь олон өнцөгтийн бүх гадаад өнцгийн нийлбэр нь 4 * 90 0 = 360 0-ээс их байна гэсэн үг юм. Бидэнд зөрчилдөөн байна. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.