Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга нь гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн судалгаа.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудын тухай ойлголт.

Хамгийн том ба хамгийн бага утгын тухай ойлголт нь функцийн чухал цэгийн тухай ойлголттой нягт холбоотой байдаг.

Тодорхойлолт 1

$x_0$-г $f(x)$ функцийн чухал цэг гэж нэрлэдэг бол:

1) $x_0$ - тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ эсвэл байхгүй байна.

Одоо функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудын тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 2

$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функц нь X$-д $x_0\ бүх $-д тэгш бус байдал хангагдах цэг байвал хамгийн их утгадаа хүрнэ.

Тодорхойлолт 3

$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функц нь X$-ийн бүх $x-д тэгш бус байдал хангагдах $x_0\ цэг байгаа тохиолдолд хамгийн бага утгадаа хүрнэ.

Интервал дээр үргэлжилсэн функцийн тухай Вейерштрассын теорем

Эхлээд интервал дээр үргэлжлэх функцийн тухай ойлголтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 4

$f\left(x\right)$ функц нь $(a,b)$ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх ба тухайн цэгийн баруун талд мөн үргэлжилдэг бол $$ интервал дээр тасралтгүй гэж хэлнэ. $x=a$ ба зүүн талд $x =b$ цэг дээр байна.

Интервал дээр үргэлжилсэн функцийн тухай теоремыг томъёолъё.

Теорем 1

Вейерштрассын теорем

$f\left(x\right)$ функц нь $$ интервал дээр үргэлжилдэг бөгөөд энэ интервалд хамгийн их ба хамгийн бага утгууддаа хүрдэг, өөрөөр хэлбэл $-д $\alpha, \beta \ цэгүүд байдаг. бүх $x\д $ тэгш бус байдал $f(\альфа)\le f(x)\le f(\бета)$.

Теоремын геометрийн тайлбарыг 1-р зурагт үзүүлэв.

Энд $f(x)$ функц нь $x=\alpha $ цэг дэх хамгийн бага утгадаа $x=\beta $ цэгт хүрдэг.

$$ сегмент дээрх $f(x)$ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох схем

1) $f"(x)$ деривативыг ол;

2) $f"\left(x\right)=0$ дериватив байх цэгүүдийг ол;

3) $f"(x)$ дериватив байхгүй цэгүүдийг ол;

4) 2 ба 3-р алхамд олж авсан цэгүүдээс $$ сегментэд хамаарахыг сонгоно уу;

5) 4-р алхам дээр олж авсан цэгүүд, түүнчлэн $$ сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолох;

6) Олж авсан утгуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгоно.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудал

Жишээ 1

$f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$ сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Шийдэл.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\зүүнд,\ 3\$-д;

5) Утга:

\ \ \ \

6) Олдсон хамгийн том утга нь $33$, хамгийн бага нь $1$ байна. Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт:$max=33,\ min=1$.

Жишээ 2

$f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$ сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Шийдэл.

Дээрх схемийн дагуу бид шийдлийг гүйцэтгэнэ.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ нь тодорхойлолтын домэйны бүх цэгүүдэд байдаг;

4) $-3\зүүн биш,\ 5\$-д;

5) Утга:

\ \ \

6) Олдсон хамгийн том үнэ нь $225$, хамгийн бага нь $50$ байна. Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт:$max=225,\ min=50$.

Жишээ 3

[-2,2] интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Шийдэл.

Дээрх схемийн дагуу бид шийдлийг гүйцэтгэнэ.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x-) 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ $x=1$ цэг дээр байхгүй

4) $3\left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, гэхдээ 1 тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй;

5) Утга:

\ \ \

6) Олдсон хамгийн том утга нь $1$, олдсон хамгийн бага утга нь $-8\frac(1)(3)$. Тиймээс бид дараахийг авна: \ end(тоолох)

Хариулт:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В14 даалгаварт та нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг олох хэрэгтэй. Энэ бол математикийн дүн шинжилгээнээс харахад маш өчүүхэн асуудал бөгөөд ийм учраас ахлах сургуулийн төгсөгч бүр үүнийг ердийн байдлаар шийдэж сурах боломжтой бөгөөд сурах ёстой. 2011 оны 12-р сарын 7-нд Москвад болсон математикийн оношлогооны ажлын үеэр сургуулийн сурагчид шийдэж байсан хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох интервалаас хамааран дараах стандарт алгоритмуудын аль нэгийг энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

I. Сегмент дээрх функцийн хамгийн том буюу хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

• Функцийн деривативыг ол.
• Функцийн тодорхойлолтын өгөгдсөн сегмент болон мужид хамаарахыг экстремум гэж сэжиглэж буй цэгүүдээс сонгоно уу.
• Утгыг тооцоолох функцууд(үүсмэл биш!) эдгээр цэгүүдэд.
• Хүлээн авсан утгуудын дотроос хамгийн том эсвэл хамгийн жижигийг сонго, энэ нь хүссэн зүйл байх болно.

Жишээ 1.Функцийн хамгийн бага утгыг ол
y = x 3 – 18x 2 + 81xсегмент дээр + 23.

Шийдэл:Бид сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг дагаж мөрддөг.

• Функцийн хамрах хүрээ хязгаарлагдахгүй: D(y) = Р.
• Функцийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна. чи' = 3x 2 – 36x+ 81. Функцийн деривативыг тодорхойлох муж мөн хязгаарлагдмал биш: D(y') = Р.
• Деривативын тэг: чи' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0 гэсэн үг x 2 – 12x+ 27 = 0, эндээс x= 3 ба x= 9, бидний интервалд зөвхөн орно x= 9 (экстремумын хувьд сэжигтэй нэг цэг).
• Бид функцийн утгыг экстремумын сэжигтэй цэг болон завсарын ирмэг дээр олдог. Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс бид функцийг дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ. y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Тиймээс олж авсан утгуудын хамгийн бага нь 23 байна. Хариулт: 23.

II. Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

• Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.
• Функцийн деривативыг ол.
• Экстремумын сэжигтэй цэгүүдийг (функцийн дериватив алга болох цэгүүд болон хоёр талт төгсгөлтэй дериватив байхгүй цэгүүдийг) тодорхойлох.
• Эдгээр цэгүүд болон функцийн тодорхойлолтын мужийг тооны шулуун дээр тэмдэглэж, тэмдгүүдийг тодорхойл дериватив(функц биш!) үүссэн интервалууд дээр.
• Үнэт зүйлсийг тодорхойлох функцууд(үүсмэл биш!) хамгийн бага цэгүүдэд (үүсмэлийн тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдөх цэгүүд) эдгээр утгуудын хамгийн бага нь функцийн хамгийн бага утга байх болно. Хэрэв хамгийн бага цэг байхгүй бол функц нь хамгийн бага утгагүй болно.
• Үнэт зүйлсийг тодорхойлох функцууд(үүсмэл биш!) хамгийн их цэгүүдэд (үүсмэлийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдөх цэгүүд) эдгээр утгуудын хамгийн том нь функцийн хамгийн том утга байх болно. Хэрэв хамгийн их цэг байхгүй бол функц хамгийн их утгагүй болно.

Жишээ 2.Функцийн хамгийн том утгыг ол.

Практик талаас нь авч үзвэл функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд деривативыг ашиглах нь хамгийн их сонирхол татдаг. Энэ юутай холбоотой вэ? Ашиг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах, тоног төхөөрөмжийн оновчтой ачааллыг тодорхойлох ... Өөрөөр хэлбэл, амьдралын олон салбарт бид зарим параметрүүдийг оновчтой болгох асуудлыг шийдэх ёстой. Эдгээр нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох даалгавар юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ихэвчлэн тодорхой X интервалаар хайдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь функцын бүхэл бүтэн муж эсвэл тодорхойлолтын домэйны нэг хэсэг юм. X интервал нь өөрөө сегмент, нээлттэй интервал байж болно , хязгааргүй интервал.

Энэ нийтлэлд бид нэг хувьсагчийн y=f(x) тодорхой тодорхойлогдсон функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга - тодорхойлолт, дүрслэл.

Үндсэн тодорхойлолтуудыг товчхон авч үзье.

Функцийн хамгийн том утга хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Функцийн хамгийн бага утга X интервал дээрх y=f(x)-ийг ийм утга гэнэ хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөн совинтой байдаг: функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь абсцисса дээр авч үзэж буй интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд- эдгээр нь функцийн дериватив тэг болох аргументийн утгууд юм.

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход яагаад суурин цэгүүд хэрэгтэй вэ? Энэ асуултын хариултыг Фермагийн теоремоор өгсөн болно. Энэ теоремоос харахад хэрэв дифференциалагдах функц нь аль нэг цэгт экстремум (орон нутгийн хамгийн бага эсвэл орон нутгийн максимум) байвал энэ цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Тиймээс функц нь ихэвчлэн X интервалаас хамгийн их (хамгийн бага) утгыг энэ интервалаас хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд авдаг.

Түүнчлэн, функц нь энэ функцийн анхны дериватив байхгүй, функц өөрөө тодорхойлогддог цэгүүдэд ихэвчлэн хамгийн том, хамгийн бага утгуудыг авч болно.

Энэ сэдвээр хамгийн түгээмэл асуултуудын нэг болох "Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг тодорхойлох боломжтой юу" гэсэн асуултад шууд хариулъя. Үгүй ээ, үргэлж биш. Заримдаа X интервалын хил нь функцийн тодорхойлолтын хүрээний хил хязгаартай давхцдаг эсвэл X интервал нь хязгааргүй байдаг. Хязгааргүй болон тодорхойлолтын хүрээн дэх зарим функцууд нь хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг утгыг хоёуланг нь авч болно. Эдгээр тохиолдолд функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлийг өгөх болно. Зургийг харвал олон зүйл илүү тодорхой болно.

Сегмент дээр

Эхний зурагт функц нь сегмент дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг [-6;6].

Хоёрдахь зурагт үзүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. сегментийг өөрчилье. Энэ жишээнд функцийн хамгийн бага утгыг хөдөлгөөнгүй цэг дээр, хамгийн том утгыг интервалын баруун хилтэй харгалзах абсцисс бүхий цэг дээр олж авна.

Зураг 3-т [-3;2] сегментийн хилийн цэгүүд нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгад харгалзах цэгүүдийн абсциссууд байна.

Нээлттэй интервал дээр

Дөрөв дэх зурагт функц нь нээлттэй интервал (-6;6) дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг.

Интервал дээр хамгийн том утгын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй.

Хязгааргүйд

Долдугаар зурагт үзүүлсэн жишээн дээр функц нь абсцисса x=1 байх хөдөлгөөнгүй цэг дээр хамгийн том утгыг (max y) авах ба интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утгыг (min y) олж авна. Хасах хязгааргүй үед функцын утга асимптотоор y=3-д ойртоно.

Интервалд функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрдэггүй. Баруун талаас х=2 ойртох тусам функцын утгууд нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг (х=2 шугам нь босоо асимптот), абсцисса нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай тул функцын утга нь асимптотоор y=3-д ойртоно. Энэ жишээний график дүрслэлийг Зураг 8-д үзүүлэв.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Хэсэг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг бичье.

1. Бид функцийн тодорхойлолтын домэйныг олж, энэ нь сегментийг бүхэлд нь агуулж байгаа эсэхийг шалгана.
2. Бид эхний дериватив байхгүй, сегментэд агуулагдах бүх цэгүүдийг олдог (ихэвчлэн ийм цэгүүдийг модулийн тэмдгийн дор аргументтай функцууд ба бутархай-рациональ илтгэгчтэй чадлын функцүүдэд олдог). Хэрэв ийм цэг байхгүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ үү.
3. Бид сегмент дотор байрлах бүх суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч сегментэд ороогүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ.
4. Бид функцийн утгыг сонгосон суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол), эхний дериватив байхгүй цэгүүд (хэрэв байгаа бол), түүнчлэн x = a ба x = b цэгүүдэд тооцдог.
5. Функцийн олж авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн жижиг утгыг сонгоно - тэдгээр нь функцийн шаардлагатай хамгийн том ба хамгийн бага утгууд байх болно.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох жишээг шийдвэрлэх алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

• сегмент дээр;
• сегмент дээр [-4;-1] .

Шийдэл.

Функцийн тодорхойлолтын домэйн нь тэгээс бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын домэйнд багтдаг.

Функцийн деривативыг ол:

Функцийн дериватив нь сегмент ба [-4;-1] бүх цэгүүдэд байгаа нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Цорын ганц жинхэнэ үндэс нь x=2. Энэ суурин цэг нь эхний сегментэд ордог.

Эхний тохиолдолд бид функцийн утгыг сегментийн төгсгөл ба суурин цэг дээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл x=1, x=2 ба x=4:

Тиймээс функцийн хамгийн их утга x=1, хамгийн бага утгад хүрнэ – x=2 үед.

Хоёрдахь тохиолдолд бид функцийн утгыг зөвхөн сегментийн төгсгөлд тооцдог [-4;-1] (энэ нь нэг суурин цэг агуулаагүй тул):

Шийдэл.

Функцийн домайнаас эхэлье. Бутархайн хуваагч дахь дөрвөлжин гурвалжин нь алга болохгүй.

Асуудлын мэдэгдлийн бүх интервалууд функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Функцийг ялгаж үзье:

Мэдээжийн хэрэг, дериватив нь функцийг тодорхойлох бүх талбарт байдаг.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олцгооё. Дериватив нь 0-д очдог. Энэ суурин цэг (-3;1] ба (-3;2) интервалд багтана.

Одоо та цэг бүр дээр олж авсан үр дүнг функцийн графиктай харьцуулж болно. Цэнхэр тасархай шугамууд нь асимптотуудыг заана.

Энэ үед бид функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хайж дуусгаж болно. Энэ нийтлэлд авч үзсэн алгоритмууд нь хамгийн бага үйлдлээр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч эхлээд функцүүдийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлж, дараа нь аль ч интервал дээрх функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгын талаар дүгнэлт хийх нь ашигтай байж болно. Энэ нь илүү тодорхой дүр зураг, үр дүнгийн нарийн үндэслэлийг өгдөг.

Заримдаа В15 асуудалд дериватив олоход хэцүү "муу" функцүүд байдаг. Өмнө нь энэ нь зөвхөн дээжийн шалгалтын үеэр л тохиолддог байсан бол одоо эдгээр даалгаврууд маш түгээмэл болсон тул жинхэнэ Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэх үед тэдгээрийг үл тоомсорлох боломжгүй болсон.

Энэ тохиолдолд бусад техникүүд ажилладаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь юм монотон.

Хэрэв энэ сегментийн x 1 ба x 2 цэгүүдийн хувьд дараах байдалтай байвал f (x) функцийг сегмент дээр монотон нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Хэрэв энэ сегментийн x 1 ба x 2 цэгүүдийн хувьд дараах байдалтай байвал f (x) функцийг сегмент дээр монотон буурч байна гэж хэлнэ.

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Өөрөөр хэлбэл, өсөн нэмэгдэж буй функцийн хувьд x том байх тусам том f(x). Буурах функцийн хувьд эсрэгээрээ: x том байх тусам бага f(x).

Жишээлбэл, суурь нь a > 1 бол логарифм нь нэг хэвийн өсөх ба 0 бол монотон буурна.< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметик квадрат (зөвхөн дөрвөлжин биш) язгуур нь тодорхойлолтын бүх талбарт нэг хэвийн байдлаар нэмэгддэг:

Экспоненциал функц нь логарифмтай адил ажилладаг: a > 1 үед нэмэгдэж, 0 бол буурдаг.< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Эцэст нь сөрөг илтгэгчтэй градус. Та тэдгээрийг бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Тэд нэгэн хэвийн байдал эвдэрсэн тасрах цэгтэй байдаг.

Эдгээр бүх функцууд хэзээ ч цэвэр хэлбэрээр олддоггүй. Тэд олон гишүүнт, бутархай болон бусад утгагүй зүйлсийг нэмдэг бөгөөд энэ нь деривативыг тооцоолоход хэцүү болгодог. Энэ тохиолдолд юу болохыг харцгаая.

Парабола оройн координатууд

Ихэнхдээ функцийн аргументыг орлуулдаг квадрат гурвалжин y = ax 2 + bx + c хэлбэрийн. Түүний график нь бидний сонирхож буй стандарт парабол юм:

1. Параболагийн мөчрүүд дээш (a > 0 бол) эсвэл доош (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Параболын орой нь квадрат функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ функц нь хамгийн бага (a > 0-ийн хувьд) эсвэл хамгийн их (a) утгыг авдаг.< 0) значение.

Хамгийн их сонирхол татдаг параболын орой, абсциссыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Тиймээс бид квадрат функцийн экстремум цэгийг оллоо. Гэхдээ хэрэв анхны функц нь монотон байвал түүний хувьд x 0 цэг нь мөн экстремум цэг болно. Тиймээс, үндсэн дүрмийг томъёолъё:

Квадрат гурвалсан гишүүний экстремум цэгүүд болон түүний багтсан цогц функц нь давхцдаг. Иймд та квадрат гурвалжны хувьд x 0-г хайж, функцийг мартаж болно.

Дээрх үндэслэлээс бид аль цэгийг авах нь тодорхойгүй хэвээр байна: хамгийн их эсвэл хамгийн бага. Гэсэн хэдий ч даалгаврууд нь энэ нь хамаагүй байхаар тусгайлан хийгдсэн байдаг. Өөрийгөө шүүх:

1. Асуудлын мэдэгдэлд сегмент байхгүй байна. Тиймээс f(a) ба f(b)-ийг тооцоолох шаардлагагүй. Зөвхөн туйлын цэгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй;
2. Гэхдээ ийм цорын ганц цэг байдаг - энэ нь х 0 параболын орой бөгөөд координатыг шууд утгаараа, ямар ч деривативгүйгээр тооцдог.

Тиймээс, асуудлыг шийдвэрлэх нь маш хялбаршуулсан бөгөөд ердөө хоёр үе шаттай:

1. y = ax 2 + bx + c параболын тэгшитгэлийг бичээд оройг нь дараах томъёогоор олно уу: x 0 = −b /2a ;
2. Энэ цэг дэх анхны функцийн утгыг ол: f (x 0). Хэрэв нэмэлт нөхцөл байхгүй бол энэ нь хариулт болно.

Эхлээд харахад энэ алгоритм болон түүний үндэслэл нь төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Ийм дүрмийг бодлогогүй хэрэгжүүлэх нь алдаа гаргахад хүргэдэг тул би "нүцгэн" шийдлийн диаграммыг санаатайгаар нийтлэхгүй байна.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн бодит асуудлуудыг харцгаая - энэ техникийг ихэвчлэн эндээс олдог. Үүний зэрэгцээ бид ийм байдлаар В15-ийн олон асуудал бараг аман болж хувирахыг баталгаажуулах болно.

Үндэс дор y = x 2 + 6x + 13 квадрат функц байна. Энэ функцийн график нь a = 1 > 0 коэффициенттэй тул салаатай парабол юм.

Параболын орой:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн тул x 0 = −3 цэгт y = x 2 + 6x + 13 функц хамгийн бага утгыг авна.

Үндэс нь монотоноор нэмэгддэг бөгөөд энэ нь x 0 нь бүх функцийн хамгийн бага цэг юм. Бидэнд байгаа:

Даалгавар. Функцийн хамгийн бага утгыг ол:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Логарифмын доор дахин квадрат функц байна: y = x 2 + 2x + 9. График нь дээшээ салбарласан парабол, учир нь a = 1 > 0.

Параболын орой:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Тэгэхээр x 0 = −1 цэгт квадрат функц хамгийн бага утгыг авна. Харин y = log 2 x функц нь монотон тул:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Экспонент нь y = 1 − 4x − x 2 квадрат функцийг агуулна. Энгийн хэлбэрээр дахин бичье: y = −x 2 − 4x + 1.

Мэдээжийн хэрэг, энэ функцийн график нь парабол, доош салбарласан (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Анхны функц нь экспоненциал, энэ нь монотон тул хамгийн их утга нь олдсон цэг дээр байх болно x 0 = −2:

Анхааралтай уншигч бид язгуур болон логарифмын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг бичээгүйг анзаарах байх. Гэхдээ энэ шаардлагагүй: дотор нь утгууд нь үргэлж эерэг байдаг функцууд байдаг.

Функцийн домайнаас гарсан үр дүн

Заримдаа зүгээр л параболын оройг олох нь В15 асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй байдаг. Таны хайж буй үнэ цэнэ худлаа байж магадгүй юм сегментийн төгсгөлд, мөн туйлын цэг дээр огт биш. Хэрэв асуудал нь сегментийг огт заагаагүй бол харна уу хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээанхны функц. Тухайлбал:

Дахин анхаарна уу: тэг нь язгуур дор байж болох ч бутархайн логарифм эсвэл хуваарьт хэзээ ч байдаггүй. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг тодорхой жишээн дээр харцгаая:

Даалгавар. Функцийн хамгийн том утгыг ол:

Үндэс дор дахин квадрат функц байна: y = 3 − 2x − x 2 . График нь парабол боловч a = −1 учраас доош салбарладаг< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Бид зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг (APV) бичнэ:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Одоо параболын оройг олъё:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

x 0 = −1 цэг нь ODZ сегментэд хамаарах бөгөөд энэ нь сайн байна. Одоо бид функцийн утгыг x 0 цэг, мөн ODZ-ийн төгсгөлд тооцоолно.

y(−3) = y(1) = 0

Тиймээс бид 2 ба 0 тоонуудыг авсан. Бид хамгийн томыг нь олохыг хүссэн - энэ бол 2 тоо.

Даалгавар. Функцийн хамгийн бага утгыг ол:

y = log 0.5 (6x − x 2 − 5)

Логарифм дотор y = 6x − x 2 − 5 квадрат функц байдаг. Энэ нь доош салбарласан парабол, гэхдээ логарифмд сөрөг тоо байх боломжгүй тул бид ODZ-г бичнэ.

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Анхаарна уу: тэгш бус байдал нь хатуу тул төгсгөлүүд нь ODZ-д хамаарахгүй. Энэ нь логарифмыг үндэснээс нь ялгаатай бөгөөд сегментийн төгсгөлүүд нь бидэнд маш сайн тохирдог.

Бид параболын оройг хайж байна:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Параболын орой нь ODZ-ийн дагуу тохирно: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Гэхдээ бид сегментийн төгсгөлийг сонирхдоггүй тул функцийн утгыг зөвхөн x 0 цэг дээр тооцоолно.

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

Практикт функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тооцоолохын тулд деривативыг ашиглах нь нэлээд түгээмэл байдаг. Зардлаа хэрхэн бууруулах, ашгийг нэмэгдүүлэх, үйлдвэрлэлийн оновчтой ачааллыг тооцоолох гэх мэт, өөрөөр хэлбэл параметрийн оновчтой утгыг тодорхойлох шаардлагатай тохиолдолд бид энэ үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Ийм асуудлыг зөв шийдэхийн тулд функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгууд нь юу болохыг сайн ойлгох хэрэгтэй.

Ихэвчлэн бид эдгээр утгуудыг тодорхой x интервалын дотор тодорхойлдог бөгөөд энэ нь эргээд функцийн бүхэл бүтэн домайн эсвэл түүний хэсэгтэй тохирч болно. Энэ нь сегмент шиг байж болно [a; b ] , мөн нээлттэй интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), хязгааргүй интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) эсвэл хязгааргүй интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Энэ материалд бид y=f(x) y = f (x) гэсэн нэг хувьсагчтай тодорхой тодорхойлогдсон функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн тооцоолохыг танд хэлэх болно.

Үндсэн тодорхойлолтууд

Ердийнх шигээ үндсэн тодорхойлолтуудын томъёололоос эхэлцгээе.

Тодорхойлолт 1

Тодорхой х интервал дахь y = f (x) функцийн хамгийн том утга нь m a x y = f (x 0) x ∈ X утга бөгөөд ямар ч утгын x x ∈ X, x ≠ x 0 нь f (x) тэгш бус байдлыг үүсгэдэг. ≤ f (x) хүчинтэй 0) .

Тодорхойлолт 2

Тодорхой х интервал дахь y = f (x) функцийн хамгийн бага утга нь m i n x ∈ X y = f (x 0) утга бөгөөд ямар ч x ∈ X, x ≠ x 0 утгын хувьд f(X f) тэгш бус байдлыг үүсгэдэг. (x) ≥ f (x 0) .

Эдгээр тодорхойлолтууд нь маш тодорхой юм. Илүү энгийнээр бид үүнийг хэлж болно: функцийн хамгийн том утга нь абсцисса х 0 дахь мэдэгдэж буй интервал дээрх хамгийн том утга бөгөөд хамгийн бага нь х 0 дахь ижил интервал дээрх хамгийн бага хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Тодорхойлолт 3

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд нь функцын аргументын утгууд бөгөөд түүний дериватив 0 болно.

Бид яагаад суурин цэг гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд Фермагийн теоремыг санах хэрэгтэй. Үүнээс үзэхэд хөдөлгөөнгүй цэг нь дифференциал функцийн экстремум (жишээ нь, түүний орон нутгийн хамгийн бага эсвэл максимум) байрладаг цэг юм. Үүний үр дүнд функц нь тодорхой интервал дээр хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд яг таг авна.

Функц нь өөрөө тодорхойлогдсон, анхны дериватив байхгүй үед функц нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг авч болно.

Энэ сэдвийг судлахад гарч ирдэг эхний асуулт: бүх тохиолдолд өгөгдсөн интервал дээрх функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг тодорхойлж чадах уу? Үгүй ээ, өгөгдсөн интервалын хил нь тодорхойлолтын талбайн хилтэй давхцаж байгаа эсвэл хязгааргүй интервалтай харьцаж байгаа тохиолдолд бид үүнийг хийж чадахгүй. Өгөгдсөн сегмент дэх эсвэл хязгааргүйд байгаа функц нь хязгааргүй бага эсвэл хязгааргүй том утгыг авах тохиолдол гардаг. Эдгээр тохиолдолд хамгийн том ба/эсвэл хамгийн бага утгыг тодорхойлох боломжгүй.

График дээр дүрслэгдсэний дараа эдгээр цэгүүд илүү тодорхой болно.

Эхний зураг нь сегмент дээр байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том ба хамгийн бага утгыг (m a x y ба m i n y) авдаг функцийг харуулж байна [ - 6 ; 6].

Хоёр дахь графикт заасан тохиолдлыг нарийвчлан авч үзье. Хэсгийн утгыг [ 1 ; 6 ] ба функцийн хамгийн их утга нь интервалын баруун зааг дахь абсциссатай цэг дээр, хамгийн бага нь хөдөлгөөнгүй цэгт хүрнэ гэдгийг бид олж мэдэв.

Гурав дахь зураг дээр цэгүүдийн абсциссууд нь сегментийн хилийн цэгүүдийг илэрхийлнэ [ - 3 ; 2]. Эдгээр нь өгөгдсөн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай тохирч байна.

Одоо дөрөв дэх зургийг харцгаая. Үүнд функц нь нээлттэй интервал (- 6 ; 6) дээрх хөдөлгөөнгүй цэгүүдэд m a x y (хамгийн том утга) ба m i n y (хамгийн бага утга) авна.

Хэрэв бид интервалыг авбал [ 1 ; 6), тэгвэл үүн дээрх функцийн хамгийн бага утга нь суурин цэг дээр хүрнэ гэж хэлж болно. Хамгийн том үнэ цэнэ нь бидний хувьд үл мэдэгдэх болно. Хэрэв x = 6 интервалд хамаарах бол функц нь хамгийн их утгыг x үед 6-тай тэнцүү авч болно. Энэ нь 5-р графикт яг ийм тохиолдол юм.

График 6-д энэ функц нь интервалын баруун хязгаарт (- 3; 2 ] хамгийн бага утгыг авдаг бөгөөд бид хамгийн том утгын талаар тодорхой дүгнэлт хийж чадахгүй.

Зураг 7-д бид 1-тэй тэнцүү абсциссатай хөдөлгөөнгүй цэг дээр функц m a x y байх болно. Функц нь баруун талын интервалын хил дээр хамгийн бага утгадаа хүрнэ. Хасах хязгааргүй үед функцын утгууд асимптотоор y = 3-т ойртоно.

Хэрэв бид x ∈ 2 интервалыг авбал; + ∞ , тэгвэл өгөгдсөн функц нь түүн дээр хамгийн бага, хамгийн том утгыг ч авахгүй гэдгийг харах болно. Хэрэв x нь 2 руу чиглэж байвал функцийн утгууд нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байх болно, учир нь x = 2 шулуун нь босоо асимптот юм. Хэрэв абсцисса нэмэх нь хязгааргүй байх хандлагатай бол функцын утгууд асимптотоор y = 3-т ойртоно. Энэ нь яг 8-р зурагт үзүүлсэн тохиолдол юм.

Энэ догол мөрөнд бид тодорхой сегмент дээрх функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд гүйцэтгэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг танилцуулах болно.

1. Эхлээд функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё. Нөхцөлд заасан сегмент үүнд багтсан эсэхийг шалгацгаая.
2. Одоо энэ сегментэд байгаа эхний дериватив байхгүй цэгүүдийг тооцоолъё. Ихэнх тохиолдолд аргумент нь модулийн тэмдгийн доор бичигдсэн функцүүдээс эсвэл илтгэгч нь бутархай рационал тоо байдаг чадлын функцүүдээс олддог.
3. Дараа нь бид өгөгдсөн сегментэд ямар суурин цэгүүд унахыг олж мэдэх болно. Үүнийг хийхийн тулд та функцийн деривативыг тооцоолж, дараа нь 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь тохирох язгуурыг сонгох хэрэгтэй. Хэрэв бид нэг суурин цэгийг олж аваагүй эсвэл өгөгдсөн сегментэд ороогүй бол бид дараагийн алхам руу шилжинэ.
4. Өгөгдсөн суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол) эсвэл эхний дериватив байхгүй (хэрэв байгаа бол) цэгүүдэд функц ямар утгыг авахыг бид тодорхойлох эсвэл x = a болон утгыг тооцдог. x = b.
5. 5. Бидэнд хэд хэдэн функцийн утгууд байгаа бөгөөд одоо бид эдгээрээс хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгох хэрэгтэй. Эдгээр нь бидний олох ёстой функцын хамгийн том, хамгийн бага утгууд байх болно.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ алгоритмыг хэрхэн зөв хэрэглэхийг харцгаая.

Жишээ 1

Нөхцөл: y = x 3 + 4 x 2 функц өгөгдсөн. Түүний сегмент дэх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох [1; 4 ] ба [ - 4 ; - 1 ] .

Шийдэл:

Өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын мужийг хайж эхэлье. Энэ тохиолдолд энэ нь 0-ээс бусад бүх бодит тоонуудын багц болно. Өөрөөр хэлбэл D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Нөхцөлд заасан хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын талбарт байх болно.

Одоо бид бутархай ялгах дүрмийн дагуу функцийн деривативыг тооцоолно.

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Функцийн дериватив нь сегментийн бүх цэгт байх болно гэдгийг бид мэдсэн [ 1 ; 4 ] ба [ - 4 ; - 1 ] .

Одоо бид функцийн суурин цэгүүдийг тодорхойлох хэрэгтэй. Үүнийг x 3 - 8 x 3 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан хийцгээе. Энэ нь зөвхөн нэг жинхэнэ үндэстэй бөгөөд энэ нь 2 юм. Энэ нь функцийн хөдөлгөөнгүй цэг байх бөгөөд эхний сегментэд орно [1; 4 ].

Эхний сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгуудыг тооцоолъё, энэ үед, өөрөөр хэлбэл. x = 1, x = 2 ба x = 4-ийн хувьд:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 у (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 у (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Функцийн хамгийн том утга нь m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 нь x = 1-д хүрэх бөгөөд хамгийн бага нь m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 үед.

Хоёрдахь сегмент нь нэг суурин цэгийг агуулдаггүй тул бид зөвхөн өгөгдсөн сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Энэ нь m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Хариулт:Сегментийн хувьд [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , сегментийн хувьд [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Зургийг үзнэ үү:

Энэ аргыг судлахын өмнө бид танд нэг талт хязгаар, хязгааргүй хязгаарыг хэрхэн зөв тооцоолох, мөн тэдгээрийг олох үндсэн аргуудыг сурахыг зөвлөж байна. Нээлттэй эсвэл хязгааргүй интервал дээрх функцийн хамгийн том ба/эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд дараах алхмуудыг дарааллаар гүйцэтгэнэ.

1. Эхлээд та өгөгдсөн интервал нь энэ функцийн тодорхойлолтын домэйны дэд хэсэг мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
2. Шаардлагатай интервалд багтсан, эхний дериватив байхгүй бүх цэгүүдийг тодорхойлъё. Эдгээр нь ихэвчлэн модулийн тэмдэгт аргументыг хавсаргасан функцууд болон бутархай рационал илтгэгчтэй чадлын функцүүдэд тохиолддог. Хэрэв эдгээр цэгүүд байхгүй бол та дараагийн алхам руу шилжиж болно.
3. Одоо өгөгдсөн интервалд ямар суурин цэгүүд орохыг тодорхойлъё. Эхлээд бид деривативыг 0-тэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв бидэнд нэг суурин цэг байхгүй эсвэл тэдгээр нь заасан интервалд багтахгүй бол бид нэн даруй дараагийн үйлдлүүд рүү орно. Тэдгээр нь интервалын төрлөөр тодорхойлогддог.

• Хэрэв интервал нь [ a ; b) , тэгвэл бид x = a цэг дэх функцийн утгыг болон lim x → b - 0 f (x) нэг талт хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь (a; b ] хэлбэртэй байвал бид x = b цэг дэх функцийн утгыг болон lim x → a + 0 f (x) нэг талт хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь (a; b) хэлбэртэй байвал lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) нэг талын хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь [ a ; + ∞), тэгвэл бид x = a цэг дээрх утгыг, lim x → + ∞ f (x) дээр нэмэх хязгаарыг тооцох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь (- ∞ ; b ] шиг байвал бид x = b цэгийн утгыг, хязгаарыг хасах lim x → - ∞ f (x) .
• Хэрэв - ∞ ; b , тэгвэл бид нэг талт хязгаарыг авч үзье lim x → b - 0 f (x) ба хасах хязгааргүй дэх хязгаарыг lim x → - ∞ f (x) гэж үзнэ.
• Хэрэв - ∞; + ∞ , тэгвэл хасах ба нэмэх хязгаарын хязгаарыг авч үзье lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Төгсгөлд нь та олж авсан функцын утга, хязгаарлалт дээр үндэслэн дүгнэлт гаргах хэрэгтэй. Энд олон сонголт хийх боломжтой. Тиймээс, хэрэв нэг талт хязгаар нь хасах хязгааргүй эсвэл нэмэх хязгаартай тэнцүү бол функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгуудын талаар юу ч хэлж чадахгүй нь шууд тодорхой болно. Доор бид нэг ердийн жишээг авч үзэх болно. Нарийвчилсан тайлбар нь юу болохыг ойлгоход тусална. Шаардлагатай бол та материалын эхний хэсгийн 4-8-р зураг руу буцаж болно.

Нөхцөл: өгөгдсөн функц y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Түүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг интервалаар тооцоол - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Шийдэл

Юуны өмнө бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олдог. Бутархайн хуваагч нь квадрат гурвалжийг агуулдаг бөгөөд энэ нь 0 болж хувирах ёсгүй.

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Нөхцөлд заасан бүх интервалууд хамаарах функцийн тодорхойлолтын мужийг бид олж авлаа.

Одоо функцийг ялгаж аваад:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Үүний үр дүнд функцийн дериватив нь түүний бүх тодорхойлолтын хүрээнд байдаг.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг хайж олъё. x = - 1 2 үед функцийн дериватив 0 болно. Энэ нь (- 3 ; 1 ] ба (- 3 ; 2) интервалд байрлах хөдөлгөөнгүй цэг юм.

(- ∞ ; - 4 ] интервалын хувьд x = - 4 дэх функцийн утгыг, мөн хасах хязгааргүйд хязгаарыг тооцоолъё:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 тул m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 гэсэн үг юм. Энэ нь бидэнд хамгийн бага утгыг нэг бүрчлэн тодорхойлох боломжийг олгодоггүй. Функц нь энэ утгад хязгааргүй үед асимптотоор ойртдог тул бид зөвхөн 1-ээс доош хязгаарлалт байгаа гэж дүгнэж болно.

Хоёрдахь интервалын онцлог нь тэнд нэг ч суурин цэг, нэг ч хатуу хил байдаггүй. Тиймээс бид функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг тооцоолох боломжгүй болно. Хязгаарыг хасах хязгааргүй, зүүн талд - 3 гэсэн аргументтай бол бид зөвхөн утгын интервалыг авна.

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Энэ нь функцийн утгууд нь 1 интервалд байрлана гэсэн үг юм; +∞

Гурав дахь интервал дахь функцийн хамгийн том утгыг олохын тулд x = 1 бол хөдөлгөөнгүй х = - 1 2 цэг дээрх утгыг тодорхойлно. Аргумент баруун талд - 3 байх хандлагатай байгаа тохиолдолд бид нэг талын хязгаарыг мэдэх шаардлагатай болно:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Функц хамгийн их утгыг m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 хөдөлгөөнгүй цэг дээр авах нь тодорхой болсон. Хамгийн бага утгын хувьд бид үүнийг тодорхойлж чадахгүй. Бидний мэддэг бүх зүйл. , -4 хүртэлх доод хязгаар байгаа эсэх.

Интервалын хувьд (- 3 ; 2) өмнөх тооцооны үр дүнг авч, зүүн талд 2-ыг чиглүүлэх үед нэг талт хязгаар хэдтэй тэнцүү болохыг дахин тооцоол.

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Энэ нь m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 бөгөөд хамгийн бага утгыг тодорхойлох боломжгүй бөгөөд функцийн утгууд нь доороос - 4 тоогоор хязгаарлагдана гэсэн үг юм. .

Өмнөх хоёр тооцоонд үндэслэн бид интервал дээр гэж хэлж болно [ 1 ; 2) функц нь x = 1 үед хамгийн том утгыг авах боловч хамгийн багыг олох боломжгүй юм.

(2 ; + ∞) интервал дээр функц нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрэхгүй, өөрөөр хэлбэл. энэ нь интервалаас утгыг авна - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 үед функцийн утга хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоолсны дараа бид m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 байх ба өгөгдсөн функцийг нэмэх хязгааргүй үед y = - 1 шулуун руу асимптотоор ойртоно.

Тооцоолол бүрд юу олж авснаа өгөгдсөн функцийн графиктай харьцуулж үзье. Зураг дээр асимптотуудыг тасархай шугамаар харуулав.

Энэ бол функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг олох талаар танд хэлэхийг хүссэн зүйл юм. Бидний өгсөн үйлдлүүдийн дараалал нь шаардлагатай тооцооллыг аль болох хурдан бөгөөд энгийн байдлаар хийхэд тусална. Гэхдээ эхлээд функц аль интервалд буурч, аль нь нэмэгдэхийг олж мэдэх нь ихэвчлэн ашигтай байдаг гэдгийг санаарай, дараа нь та цаашдын дүгнэлт хийж болно. Ингэснээр та функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг илүү нарийвчлалтай тодорхойлж, олж авсан үр дүнг зөвтгөж чадна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу