Хамгийн том анхны нэг оронтой тоо. Анхны тооны шинж чанарын тухай онолууд

Тодорхойлолт 1. анхны тоо− зөвхөн өөртөө болон 1-д хуваагддаг нэгээс их натурал тоо.

Өөрөөр хэлбэл, тоо нь зөвхөн хоёр ялгаатай натурал хуваагчтай бол анхны тоо юм.

Тодорхойлолт 2. Өөрөөсөө өөр нэг хуваагчтай аливаа натурал тоог дуудна нийлмэл тоо.

Өөрөөр хэлбэл анхны тоо биш натурал тоог нийлмэл тоо гэнэ. 1-р тодорхойлолтоос харахад нийлмэл тоо нь хоёроос илүү натурал хүчин зүйлтэй байдаг. Учир нь 1-ийн тоо анхны ч биш, нийлмэл ч биш нь зөвхөн нэг хуваагч 1-тэй бөгөөд үүнээс гадна анхны тоонуудтай холбоотой олон теоремууд нэгдмэл байдалд нийцдэггүй.

1 ба 2-р тодорхойлолтоос 1-ээс их эерэг бүхэл тоо нь анхны тоо эсвэл нийлмэл тоо байна.

Доорх нь 5000 хүртэлх анхны тоог харуулах програм юм. Нүднүүдийг бөглөж, "Create" товчийг дараад хэдэн секунд хүлээнэ үү.

Анхны тооны хүснэгт

Мэдэгдэл 1. Хэрэв х- анхны тоо ба адурын бүхэл тоо, дараа нь аль нэг нь ахуваасан х, эсвэл хТэгээд ахарьцуулах тоо.

Үнэхээр. Хэрэв хАнхны тоо нь зөвхөн өөртөө хуваагдах ба 1-д хуваагдана а-д хуваагдахгүй х, дараа нь хамгийн том нийтлэг хуваагч аТэгээд х 1-тэй тэнцүү байна. Дараа нь хТэгээд ахарьцуулах тоо.

Мэдэгдэл 2. Хэрэв хэд хэдэн тооны үржвэр бол а 1 , а 2 , а 3, ... анхны тоонд хуваагддаг х, дараа нь ядаж нэг тоо а 1 , а 2 , а 3, ... хуваагддаг х.

Үнэхээр. Хэрэв тоонуудын аль нь ч хуваагдахгүй байсан бол х, дараа нь тоонууд а 1 , а 2 , а 3, ...-д хамаарах анхны тоонууд байх болно х. Гэхдээ үр дүн 3 () -аас харахад тэдний бүтээгдэхүүн а 1 , а 2 , а 3, ...-ын хувьд мөн харьцангуй анхдагч байна х, энэ нь мэдэгдлийн нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс ядаж нэг тоо нь хуваагддаг х.

Теорем 1. Аливаа нийлмэл тоог үргэлж өвөрмөц байдлаар, хязгаарлагдмал тооны анхны тооны үржвэр хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Баталгаа. Болъё книйлмэл тоо, ба зөвшөөрөх а 1 нь 1 болон өөрөөсөө ялгаатай хуваагчдын нэг юм. Хэрэв а 1 нь нийлмэл, дараа нь 1-ээс гадна ба байна а 1 ба өөр хуваагч а 2. Хэрэв а 2 нь нийлмэл тоо, тэгвэл 1-ээс гадна ба байна а 2 ба өөр хуваагч а 3. Ийм байдлаар үндэслэл гаргаж, тоонуудыг харгалзан үзэх а 1 , а 2 , а 3 , ... буурах ба энэ цуврал нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнийг агуулна, бид ямар нэг анхны тоонд хүрэх болно х 1 . Дараа нь кхэлбэрээр төлөөлж болно

Тооны хоёр задрал байна гэж бодъё к:

Учир нь k=p 1 х 2 х 3 ... энгийн тоонд хуваагддаг q 1, дараа нь хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь жишээ нь х 1-д хуваагдана q 1 . Гэхдээ х 1 нь анхны тоо бөгөөд зөвхөн 1-д болон өөртөө хуваагддаг. Тиймээс х 1 =q 1 (учир нь q 1 ≠1)

Дараа нь (2) -аас хасч болно х 1 ба q 1:

Тиймээс, эхний тэлэлтэд нэг буюу хэд хэдэн удаа хүчин зүйл болж гарч буй анхны тоо бүр хоёр дахь тэлэлтэд хамгийн багадаа олон удаа, эсрэгээр хоёр дахь тэлэлтэд хүчин зүйл болж харагдах анхны тоо бүр гарч ирдэг гэдэгт бид итгэлтэй байна. нэг буюу хэд хэдэн удаа эхний өргөтгөлд дор хаяж ижил тооны удаа гарч ирнэ. Иймээс аливаа анхны тоо хоёр тэлэлтэд ижил тооны хүчин зүйл болж гарч ирдэг тул эдгээр хоёр тэлэлт ижил байна.■

Нийлмэл тооны өргөтгөл кдараах хэлбэрээр бичиж болно

Хаана х 1 , х 2, ... төрөл бүрийн анхны тоо, α, β, γ ... эерэг бүхэл тоо.

Өргөтгөл (3) гэж нэрлэдэг каноник тэлэлттоо.

Анхны тоо нь натурал тоонуудын цувралд жигд бус тохиолддог. Эгнээний зарим хэсэгт тэдгээр нь илүү, заримд нь бага байдаг. Тоон цувралын дагуу цааш явах тусам нийтлэг анхны тоонууд бага байх болно. Асуулт гарч ирнэ, хамгийн том анхны тоо байдаг уу? Хязгааргүй олон анхны тоо байдгийг эртний Грекийн математикч Евклид баталжээ. Бид энэ нотолгоог доор харуулав.

Теорем 2. Анхны тооны тоо хязгааргүй.

Баталгаа. Хязгаарлагдмал тооны анхны тоо байна гэж бодъё, хамгийн том анхны тоо нь байг х. Бүх тоог илүү ихийг авч үзье х. Тайлбарын таамаглалаар эдгээр тоонууд нийлмэл байх ёстой бөгөөд хамгийн багадаа нэг анхны тоонд хуваагдах ёстой. Эдгээр бүх анхны тоог 1 дээр нэмсэн үржвэр болох тоог сонгоцгооё.

Тоо zилүү хучир нь 2халь хэдийн илүү х. хнь эдгээр анхны тоонуудын аль нэгэнд хуваагдахгүй, учир нь тус бүрд нь хуваахад 1-ийн үлдэгдэл гарна.Ингээд бид зөрчилдөж байна. Тиймээс хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг.

Энэ теорем нь илүү ерөнхий теоремын онцгой тохиолдол юм:

Теорем 3. Арифметик прогресс өгөгдсөн байг

Дараа нь дурын анхны тоо орно n, багтсан байх ёстой м, тиймээс in nороогүй бусад үндсэн хүчин зүйлүүд ммөн үүнээс гадна эдгээр үндсэн хүчин зүйлүүд n-ээс илүүгүй удаа оруулсан болно м.

Харин ч эсрэгээрээ. Хэрэв тооны анхны хүчин зүйл бүр nтоонд дор хаяж хэдэн удаа оруулсан байна м, Тэр мхуваасан n.

Мэдэгдэл 3. Болъё а 1 ,а 2 ,а 3,... төрөл бүрийн анхны тоонууд багтсан мТэгэхээр

Хаана би=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . анзаараарай, тэр αiхүлээн зөвшөөрдөг α +1 утгууд, β j хүлээн зөвшөөрч байна β +1 утгууд, γ к хүлээн зөвшөөрч байна γ +1 утгууд, ... .

Анхны тоо бол хоёр мянга гаруй жилийн турш эрдэмтэд болон энгийн иргэдийн анхаарлыг татсаар ирсэн математикийн хамгийн сонирхолтой үзэгдлүүдийн нэг юм. Бид одоо компьютер, хамгийн орчин үеийн мэдээллийн программуудын эрин зуунд амьдарч байгаа хэдий ч анхны тооны олон оньсого хараахан тайлагдаагүй байгаа ч эрдэмтэд хэрхэн хандахаа мэдэхгүй байна.

Энгийн тоонууд нь энгийн арифметикийн хичээлээс мэдэгдэж байгаачлан үлдэгдэлгүйгээр зөвхөн нэг болон өөртөө хуваагддаг тоонууд юм. Дашрамд хэлэхэд хэрэв натурал тоо нь дээр дурдсан тооноос гадна бусад тоонд хуваагддаг бол түүнийг нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг. Хамгийн алдартай теоремуудын нэг нь аливаа нийлмэл тоог анхны тооны цорын ганц боломжит үржвэр болгон төлөөлж болно гэж заасан байдаг.

Зарим сонирхолтой баримтууд. Нэгдүгээрт, уг нэгж нь анхны болон нийлмэл тоонуудын аль алинд нь хамаарахгүй гэдгээрээ онцлог юм. Үүний зэрэгцээ, шинжлэх ухааны нийгэмлэгт албан ёсоор түүний шаардлагыг бүрэн хангаж байгаа тул үүнийг эхний бүлэгт тусгайлан ангилах нь заншилтай хэвээр байна.

Хоёрдугаарт, "анхны тоо" бүлэгт шахагдсан цорын ганц тэгш тоо нь мэдээжийн хэрэг хоёр юм. Өөр ямар ч тэгш тоо энд хүрч чадахгүй, учир нь тодорхойлолтоор өөрөө болон нэгээс гадна хоёрт хуваагддаг.

Жагсаалт нь дээр дурдсанчлан нэгээс эхэлж болох анхны тоонууд нь натурал тооны цуваа шиг хязгааргүй төгсгөлгүй цувааг илэрхийлдэг. Арифметикийн үндсэн теорем дээр үндэслэн бид анхны тоо хэзээ ч тасалддаггүй, хэзээ ч төгсдөггүй гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно, эс тэгвээс натурал тоонуудын цуваа зайлшгүй тасалдана.

Анхны харцаар мэт санагдаж болох тул байгалийн цувралд анхны тоонууд санамсаргүй гарч ирдэггүй. Тэдгээрийг сайтар судалж үзээд та хэд хэдэн онцлог шинж чанарыг шууд анзаарч чадна, тэдгээрийн хамгийн сонирхолтой нь "ихэр" тоо гэж нэрлэгддэг тоотой холбоотой юм. Ямар нэгэн ойлгомжгүй байдлаар бие биенийхээ хажууд байж, зөвхөн тэгш хязгаарлагчаар (тав, долоо, арван долоо, арван есөн) тусгаарлагдсан тул тэднийг ингэж нэрлэдэг.

Хэрэв та тэдгээрийг анхааралтай ажиглавал эдгээр тоонуудын нийлбэр нь үргэлж гурвын үржвэр болохыг анзаарах болно. Түүгээр ч барахгүй зүүнийг гурваар хуваахад үлдсэн хэсэг нь үргэлж хоёр, баруун нь нэг хэвээр үлдэнэ. Нэмж дурдахад эдгээр тоонуудын байгалийн цувааны дагуух тархалтыг урьдчилан таамаглах боломжтой бөгөөд хэрэв бид энэ бүхэл бүтэн цувралыг тербелмт синусоид хэлбэрээр төсөөлж, тэдгээрийн гол цэгүүд нь тоог гурав ба хоёроор хуваахад үүсдэг.

Анхны тоо нь дэлхийн бүх математикчдын анхаарлын төвд байсаар ирсэн төдийгүй криптографийн үндэс болсон янз бүрийн тооны цувралын эмхэтгэлд эртнээс амжилттай ашиглагдаж ирсэн. Эдгээр гайхамшигтай элементүүдтэй холбоотой асар олон тооны нууцууд зөвхөн гүн ухааны төдийгүй практик ач холбогдолтой олон асуултууд шийдэгдэхийг хүлээж байгаа гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Тоонууд нь ялгаатай: натурал, рационал, рационал, бүхэл ба бутархай, эерэг ба сөрөг, нийлмэл ба анхны, сондгой ба тэгш, бодит гэх мэт. Энэ өгүүллээс та анхны тоо гэж юу болохыг олж мэдэх боломжтой.

Англиар ямар тоонуудыг "энгийн" гэж нэрлэдэг вэ?

Ихэнх тохиолдолд сургуулийн сурагчид анхны тоо гэж юу болох тухай математикийн хамгийн энгийн асуултуудын нэгд хэрхэн хариулахаа мэддэггүй. Тэд ихэвчлэн анхны тоог натурал тоотой андуурдаг (өөрөөр хэлбэл хүмүүс объектыг тоолохдоо ашигладаг тоонууд, зарим эх сурвалжид тэгээс эхэлдэг бол зарим нь нэгээр эхэлдэг). Гэхдээ эдгээр нь огт өөр хоёр ойлголт юм. Анхны тоо гэдэг нь натурал тоо, өөрөөр хэлбэл нэгээс их, зөвхөн 2 натурал хуваагчтай бүхэл тоо, эерэг тоо юм. Түүнээс гадна эдгээр хуваагчдын нэг нь өгөгдсөн тоо, хоёр дахь нь нэг юм. Жишээлбэл, гурав нь анхны тоо бөгөөд түүнийг үлдэгдэлгүйгээр өөрөө болон нэгээс өөр тоонд хувааж болохгүй.

Нийлмэл тоо

Анхны тоонуудын эсрэг тал нь нийлмэл тоо юм. Тэд мөн байгалийн шинжтэй, бас нэгээс их, гэхдээ хоёр биш, харин илүү олон тооны хуваагчтай. Жишээлбэл, 4, 6, 8, 9 гэх мэт тоонууд нь байгалийн, нийлмэл, гэхдээ анхны тоо биш юм. Таны харж байгаагаар эдгээр нь ихэвчлэн тэгш тоо боловч бүгд биш юм. Гэхдээ "хоёр" нь тэгш тоо бөгөөд анхны тооны цувралын "эхний тоо" юм.

Дараалал

Анхны тооны цувралыг бүтээхийн тулд бүх натурал тоонуудаас тэдгээрийн тодорхойлолтыг харгалзан сонгох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл та зөрчилдөөнтэй ажиллах хэрэгтэй. Натурал эерэг тоо тус бүрийг хоёроос илүү хуваагчтай эсэхийг шалгах шаардлагатай. Анхны тооноос бүрдэх цуврал (дараалал) байгуулахыг оролдъё. Жагсаалт нь хоёроор эхэлж, дараа нь гурваас эхэлдэг, учир нь энэ нь зөвхөн өөртөө болон нэгд хуваагддаг. Дөрөв тоог анхаарч үзээрэй. Дөрөв ба нэгээс өөр хуваагчтай юу? Тиймээ, энэ тоо нь 2. Тэгэхээр дөрөв нь анхны тоо биш юм. Тав нь анхны тоо (1 ба 5-аас бусад тоонд хуваагддаггүй), харин зургаа нь хуваагддаг. Ерөнхийдөө хэрэв та бүх тэгш тоонуудыг дагаж мөрдвөл "хоёр"-оос бусад нь аль нь ч анхных биш гэдгийг анзаарах болно. Эндээс бид хоёроос бусад тэгш тоо анхны тоо биш гэж дүгнэж байна. Өөр нэг нээлт: гурваас бусад гурваар хуваагддаг бүх тоо нь тэгш эсвэл сондгой тооноос үл хамааран анхны тоо биш (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 гэх мэт). Тав ба долоод хуваагддаг тоонуудад мөн адил хамаарна. Тэдний олон түмэн нь бас энгийн биш юм. Дүгнэж хэлье. Тиймээс энгийн нэг оронтой тоонд нэг ба есөөс бусад бүх сондгой тоонууд багтдаг бөгөөд "хоёр" нь тэгш тоо юм. Арав нь өөрөө (10, 20,... 40 гэх мэт) энгийн зүйл биш юм. Хоёр оронтой, гурван оронтой гэх мэт анхны тоонуудыг дээрх зарчмууд дээр үндэслэн тодорхойлж болно: хэрэв тэдгээр нь өөрөөсөө болон нэг хуваагчгүй бол.

Анхны тооны шинж чанарын тухай онолууд

Бүхэл тоо, тэр дундаа анхны тоонуудын шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухаан бий. Энэ бол дээд гэж нэрлэгддэг математикийн салбар юм. Тэрээр бүхэл тоонуудын шинж чанаруудаас гадна алгебрийн болон трансцендентал тоонууд, мөн эдгээр тоонуудын арифметиктэй холбоотой янз бүрийн гарал үүслийн функцуудыг авч үздэг. Эдгээр судалгаанд анхан шатны болон алгебрийн аргуудаас гадна аналитик болон геометрийн аргуудыг ашигладаг. Тодруулбал, “Тооны онол” нь анхны тоог судалдаг.

Анхны тоо нь натурал тооны "барилгын материал" юм

Арифметикт суурь теорем гэдэг теорем байдаг. Үүний дагуу нэгээс бусад аль ч натурал тоог үржвэрээр дүрсэлж болох бөгөөд тэдгээрийн хүчин зүйлүүд нь анхны тоо, хүчин зүйлүүдийн дараалал нь өвөрмөц байдаг нь дүрслэх арга нь өвөрмөц гэсэн үг юм. Үүнийг натурал тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах гэж нэрлэдэг. Энэ үйл явцын өөр нэр бий - тоонуудын хүчин зүйлчлэл. Үүн дээр үндэслэн анхны тоог "барилгын материал", натурал тоог бүтээх "блок" гэж нэрлэж болно.

Анхны тоог хайх. Энгийн байдлын тестүүд

Өөр өөр цаг үеийн олон эрдэмтэд анхны тоонуудын жагсаалтыг олох зарим зарчмуудыг (систем) олохыг хичээсэн. Аткин шигшүүр, Сундартам шигшүүр, Эратосфен шигшүүр гэж нэрлэгддэг системийг шинжлэх ухаан мэддэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь мэдэгдэхүйц үр дүнг өгдөггүй бөгөөд энгийн тоонуудыг олохын тулд энгийн тестийг ашигладаг. Математикчид бас алгоритм зохиосон. Тэдгээрийг ихэвчлэн анхдагч байдлын тест гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, Рабин, Миллер нарын боловсруулсан тест байдаг. Үүнийг криптографчид ашигладаг. Каял-Аграваль-Саскена тест бас байдаг. Гэсэн хэдий ч хангалттай нарийвчлалтай хэдий ч тооцоолоход маш хэцүү бөгөөд энэ нь түүний практик ач холбогдлыг бууруулдаг.

Анхны тооны олонлог хязгаартай юу?

Эртний Грекийн эрдэмтэн Евклид "Элементүүд" номондоо анхны тооны олонлог нь хязгааргүй гэж бичжээ. Тэрээр: “Эхний тоо хязгаартай гэж хэсэгхэн зуур төсөөлцгөөе. Дараа нь тэдгээрийг өөр хоорондоо үржүүлж, үржвэрт нэгийг нэмье. Эдгээр энгийн үйлдлүүдийн үр дүнд олж авсан тоог анхны тоонуудын аль нэгэнд хувааж болохгүй, учир нь үлдсэн хэсэг нь үргэлж нэг байх болно. Энэ нь анхны тооны жагсаалтад хараахан ороогүй өөр тоо байгаа гэсэн үг юм. Тиймээс бидний таамаглал үнэн биш бөгөөд энэ багц хязгаартай байж болохгүй. Евклидийн нотолгооноос гадна 18-р зууны Швейцарийн математикч Леонхард Эйлерийн өгсөн илүү орчин үеийн томъёо бий. Үүний дагуу эхний n тооны нийлбэрийн эсрэг нийлбэр нь n тоо нэмэгдэх тусам хязгааргүй өсдөг. Анхны тооны тархалтын тухай теоремын томьёо энд байна: (n) нь n/ln (n) болж өснө.

Хамгийн том анхны тоо хэд вэ?

Яг л Леонард Эйлер тухайн үеийнхээ хамгийн том анхны тоог олж чадсан. Энэ нь 2 31 - 1 = 2147483647. Гэсэн хэдий ч 2013 он гэхэд анхны тоонуудын жагсаалтын өөр нэг хамгийн үнэн зөвийг тооцоолсон - 2 57885161 - 1. Үүнийг Мерсенний тоо гэж нэрлэдэг. Энэ нь ойролцоогоор 17 сая аравтын оронтой оронтой. Таны харж байгаагаар XVIII зууны эрдэмтний олсон тоо үүнээс хэд дахин бага байна. Эйлер энэ тооцоог гараар хийдэг байсан бол бидний орчин үеийн хүнд компьютер тусалсан байх магадлалтай. Түүгээр ч барахгүй энэ тоог Америкийн нэг факультетийн Математикийн факультетэд авсан. Энэ эрдэмтний нэрээр нэрлэгдсэн тоонууд нь Люк-Лемэрийн анхдагч байдлын шалгалтыг давдаг. Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухаан үүгээр зогсохыг хүсэхгүй байна. 1990 онд АНУ-д үүсгэн байгуулагдсан Цахим хилийн сан (EFF) олон тооны анхны тоог олоход мөнгөн шагнал санал болгов. Хэрэв 2013 он хүртэл 1-10 сая аравтын тооноос олсон эрдэмтдэд шагнал гардуулдаг байсан бол өнөөдөр энэ тоо 100 саяас 1 тэрбумд хүрчээ. Шагналын хэмжээ 150-250 мянган ам.доллар байна.

Тусгай анхны тооны нэрс

Тодорхой эрдэмтдийн бүтээсэн алгоритмын ачаар олдсон, энгийн байдлын тестийг давсан тоонуудыг тусгай гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн заримыг энд харуулав.

1. Мерссен.

4. Каллен.

6. Миллс нар.

Дээрх эрдэмтдийн нэрээр нэрлэгдсэн эдгээр тоонуудын энгийн байдлыг дараах туршилтуудыг ашиглан тогтоов.

1. Luc-Lemaire.

2. Пепина.

3. Ризель.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge болон бусад.

Орчин үеийн шинжлэх ухаан үүгээр зогсохгүй, ойрын ирээдүйд хамгийн том анхны тоог олсноор 250,000 долларын шагнал хүртэж чадсан хүмүүсийн нэрийг дэлхий нийт мэдэх болно.

Хуваагчдыг тоолох.Тодорхойлолтоор тоо n 2 болон 1 ба өөрөөс бусад бүхэл тоонд тэгш хуваагдахгүй тохиолдолд л анхны байна. Дээрх томьёо нь шаардлагагүй алхмуудыг арилгаж, цагийг хэмнэдэг: жишээлбэл, тоо 3-т хуваагдах эсэхийг шалгасны дараа 9-д хуваагдах эсэхийг шалгах шаардлагагүй болно.

• Floor(x) функц нь x-г x-ээс бага буюу тэнцүү бүхэл тоо хүртэл дугуйруулна.

Модульчлагдсан арифметикийн талаар олж мэдэх."x mod y" (mod нь "modulo" буюу "модуль" гэсэн латин үгийн товчлол) үйлдэл нь "х-ийг у-д хувааж, үлдэгдлийг олох" гэсэн утгатай. Өөрөөр хэлбэл, модульчлагдсан арифметикийн хувьд тодорхой утгад хүрсний дараа үүнийг нэрлэдэг модуль, тоонууд дахин тэг болж "эргэдэг". Жишээлбэл, цаг нь 12 модультай цагийг барьдаг: 10, 11, 12 цагийг харуулж, дараа нь 1 рүү буцдаг.

• Олон тооны машинд горимын түлхүүр байдаг. Энэ хэсгийн төгсгөлд энэ функцийг олон тооны хувьд гараар хэрхэн үнэлэхийг харуулав.