1. Даалгавар.
Ямар параметрийн утгууд дээр атэгшитгэл ( а - 1)x 2 + 2x + а- 1 = 0 нь яг нэг язгууртай юу?
1. Шийдэл.
At а= 1 бол тэгшитгэл нь 2 x= 0 ба нэг үндэстэй нь тодорхой x= 0. Хэрэв а№1, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь квадрат бөгөөд квадрат гурвалжны ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү байх параметрийн утгуудын нэг үндэстэй байна. Дискриминантыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид параметрийн тэгшитгэлийг олж авна а
4а 2 - 8а= 0, хаанаас а= 0 эсвэл а = 2.
1. Хариулт:тэгшитгэл нь нэг язгууртай а O (0; 1; 2).
2. Даалгавар.
Бүх параметрийн утгыг ол а, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй x 2 +4сүх+8а+3 = 0.
2. Шийдэл.
Тэгшитгэл x 2 +4сүх+8а+3 = 0 нь хоёр ялгаатай язгууртай, хэрэв зөвхөн, хэрэв байгаа бол Д =
16а 2 -4(8а+3) > 0. Бид (4-ийн нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулсны дараа) 4-ийг авна а 2 -8а-3 > 0, хаанаас
2. Хариулт:
| а O (-Ґ ; 1 - | Ц 7 2 |
) БА (1 + | Ц 7 2 |
; Ґ ). |
3. Даалгавар.
Энэ нь мэдэгдэж байна
е 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Функцийн графикийг зур е 1 (x) цагт а = 1.
б) Ямар үнээр афункцын графикууд е 1 (x) Мөн е 2 (x) нэг нийтлэг зүйл байна уу?
3. Шийдэл.
3.а.Өөрчилье е 1 (x) дараах байдлаар
Энэ функцийн график нь а= 1-ийг баруун талын зурагт үзүүлэв.
3.б.Функцийн графикууд гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе y =
kx+бТэгээд y = сүх 2 +bx+в
(аҮгүй 0) нэг цэгт огтлолцоно, хэрэв зөвхөн квадрат тэгшитгэл байвал kx+б =
сүх 2 +bx+внэг үндэстэй. View ашиглах е 1-ийн 3.а, тэгшитгэлийн дискриминантыг тэгшитгэе а = 6x-x 2-6-аас тэг хүртэл. 36-24-4 тэгшитгэлээс а= 0 бид авна а= 3. 2-р тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хий x-а = 6x-x 2-6 бид олох болно а= 2. Эдгээр параметрийн утгууд нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Хариулт: а= 2 эсвэл а = 3.
4. Даалгавар.
Бүх утгыг ол а, үүний төлөө тэгш бус байдлын шийдлийн багц x 2 -2сүх-3а i 0 нь сегментийг агуулна.
4. Шийдэл.
Параболын оройн эхний координат е(x) =
x 2 -2сүх-3атэнцүү x 0 =
а. Квадрат функцийн шинж чанараас нөхцөл е(x) сегмент дээрх i 0 нь гурван системийн олонлогтой тэнцүү байна
яг хоёр шийдэл байна уу?
5. Шийдэл.
Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье x 2 + (2а-2)x - 3а+7 = 0. Энэ нь квадрат тэгшитгэл бөгөөд хэрэв дискриминант нь тэгээс их байвал яг хоёр шийдэлтэй болно. Дискриминантыг тооцоолохдоо яг хоёр үндэс байх нөхцөл нь тэгш бус байдлын биелэлт гэдгийг бид олж мэднэ. а 2 +а-6 > 0. Тэгш бус байдлыг шийдэж, бид олно а < -3 или а> 2. Тэгш бус байдлын эхнийх нь натурал тоонуудын шийдэлгүй нь ойлгомжтой бөгөөд хоёр дахь нь хамгийн бага натурал шийд нь 3-ын тоо юм.
5. Хариулт: 3.
6. Асуудал (10 товчлуур)
Бүх утгыг ол а, үүнд функцийн график эсвэл тодорхой хувиргасны дараа, а-2 = |
2-а| . Сүүлийн тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна аби 2.
6. Хариулт: аО \төгсгөл(тохиолдлууд)\дөрөв\зүүн баруун сум \quad a\in(-\infty;-3)\аяга(2;6]. $
Бид хариултуудыг нэгтгэж, шаардлагатай багцыг авна: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Хариулах.$a\in(-\infty;-3)\аяга$.
$a$ параметрийн ямар утгуудын хувьд $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ тэгш бус байдалд шийдэл байхгүй вэ?
Шийдэл
- Хэрэв $a = 0$ бол энэ тэгш бус байдал нь ямар ч шийдэлгүй $5 \leqslant 0$ тэгш бус байдал болон хувирна. Тиймээс $a = 0$ утга нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байна.
- Хэрэв $a > 0$ бол тэгш бус байдлын зүүн талын квадрат гурвалжны график нь дээшээ чиглэсэн салбартай парабол болно. $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$-ыг тооцоолъё. Хэрэв парабол нь x тэнхлэгээс дээш байрласан бол, өөрөөр хэлбэл квадрат гурвалжин үндэсгүй ($D) байвал тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй болно.< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Хэрэв $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Хариулах.$a \in \left$ нь язгууруудын хооронд байрладаг тул хоёр үндэс байх ёстой ($a\ne 0$ гэсэн үг). $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ параболын салбарууд дээш чиглэсэн байвал $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ ба $y(1) > 0$.
Тохиолдол I.$a > 0$ байг. Дараа нь
$\left\( \begin(массив)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \right. \quad \Зүүн баруун сум \дөрөв \зүүн\( \эхлэх(массив)(л) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \төгсгөл(массив) \баруун.\дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрвөлжин a>3. доллар
Өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд бүх $a > 3$ тохиромжтой байх болно.
Тохиолдол II.$a< 0$. Тогда
$\left\( \эхлэх(массив)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд бүх $a тохиромжтой байх болно< -1$.
Хариулах.$a\in (-\infty;-1)\аяга (3;+\infty)$
$a$ параметрийн бүх утгыг олоорой, тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийн систем байна
$ \эхлэх(тохиолдол) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(тохиолдол) $
яг хоёр шийдэлтэй.
Шийдэл
Эхнийхээс хоёр дахьыг хасна: $(x-y)^2 = 1$. Дараа нь
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \төгсгөл(массив)\баруун. доллар
Үүссэн илэрхийллүүдийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид хоёр квадрат тэгшитгэлийг олж авна: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ ба $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Тэд тус бүрийн ялгаварлагч нь $D = 16a-4$ байна.
Эхний квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь $-1$, хоёр дахь нийлбэр нь 1 тул эхний квадрат тэгшитгэлийн хос язгуур хоёр дахь квадрат тэгшитгэлийн хос язгууртай давхцаж болохгүйг анхаарна уу. .
Энэ нь эдгээр тэгшитгэл бүр нэг үндэстэй байх ёстой бөгөөд анхны систем нь хоёр шийдэлтэй болно гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, $D = 16a - 4 = 0$.
Хариулах.$a=\dfrac(1)(4)$
$4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй $a$ параметрийн бүх утгыг ол.
Шийдэл
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
$f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$ функцийг авч үзье.
$x\geqslant 3$ үед эхний модулийг нэмэх тэмдгээр өргөтгөх ба функц нь дараах хэлбэрийг авна: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Модулиудыг өргөтгөхөд үр дүн нь $k\geqslant 5-3-1=1>0$ коэффициенттэй шугаман функц гарч ирэх нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл энэ функц нь өгөгдсөн интервалд хязгааргүй нэмэгддэг.
Одоо $x интервалыг авч үзье<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Тэгэхээр бид $x=3$ нь энэ функцийн хамгийн бага цэг гэдгийг олж мэдсэн. Энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй байхын тулд хамгийн бага цэг дэх функцийн утга тэгээс бага байх ёстой гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, дараах тэгш бус байдлыг хангана: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрвөлжин |9-|3+а||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Зүүн баруун тийш\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Хариулах.$a \in (-24; 18)$ $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ тэгшитгэл $a$ параметрийн ямар утгуудын хувьд өвөрмөц үндэстэй вэ? Орлуулахыг үзье: $t = 5^x > 0$. Дараа нь анхны тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг авна: $t^2-3t+a-1 =0$. Хэрэв энэ тэгшитгэл нь нэг эерэг язгуур эсвэл хоёр үндэстэй, нэг нь эерэг, нөгөө нь сөрөг байвал анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай болно. Тэгшитгэлийн ялгаварлагч нь: $D = 13-4a$. Хэрэв үүссэн дискриминант тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл $a = \dfrac(13)(4)$ бол энэ тэгшитгэл нэг үндэстэй болно. Энэ тохиолдолд язгуур $t=\dfrac(3)(2) > 0$ байх тул энэ $a$ утга тохиромжтой. Хэрэв хоёр үндэс байвал нэг нь эерэг, нөгөө нь эерэг биш бол $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ ба $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ болно. . Өөрөөр хэлбэл, $a\in(-\infty;1]$ Хариулах.$a\in(-\infty;1]\аяга\зүүн\(\dfrac(13)(4)\баруун\)$ Системийн $a$ параметрийн бүх утгыг ол $ \эхлэх(тохиолдол)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(тохиолдол) $ яг хоёр шийдэлтэй. Системийг дараах хэлбэрт шилжүүлье. $ \эхлэх(тохиолдол) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(тохиолдлууд)$ $a$ параметр нь логарифмын суурь дээр байгаа тул түүнд дараах хязгаарлалтууд тавигдана: $a>0$, $a \ne 1$. $y$ хувьсагч нь логарифмын аргумент тул $y > 0$ болно. Системийн хоёр тэгшитгэлийг нэгтгэсний дараа бид тэгшитгэл рүү шилжинэ: $\log_a y = y^2$. $a$ параметр ямар утгыг авахаас хамааран хоёр тохиолдол боломжтой: Хариулах.$a\in(0;1)$ $a > 1$ байх тохиолдлыг авч үзье. $t$-ийн том үнэмлэхүй утгуудын хувьд $f(t) = a^t$ функцийн график нь $g(t) = t$ шулуун шугамын дээгүүр байрладаг тул цорын ганц нийтлэг цэг нь зөвхөн цэг байж болно. шүргэлтийн тухай. $t_0$-ийг шүргэлтийн цэг гэж үзье. Энэ үед $f(t) = a^t$-ийн дериватив нь нэгдмэл (шүргэгчийн өнцгийн тангенс) тэнцүү бөгөөд үүнээс гадна хоёр функцийн утгууд давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл систем явагдана. $ \эхлэх(тохиолдол) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \төгсгөх(тохиолдол) \quad \Зүүн баруун сум \дөрөв \эхлэх(тохиолдол) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(тохиолдлууд) $ Эндээс $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрвөлжин a = e^(\frac(1)(e)). доллар Үүний зэрэгцээ шууд ба экспоненциал функцүүдэд өөр нийтлэг цэг байхгүй нь ойлгомжтой. Хариулах.$a \in (0;1] \аяга \зүүн\(e^(e^(-1))\баруун\)$Шийдэл
Шийдэл
