Хязгаарлагдмал шугам бүхий зургийн графикийг ол. Тодорхой интеграл

Вэбсайтад математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн арга нь хайлтын системд сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та сайт дээрээ математикийн томьёо байнга ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математик тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн вэбсайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг нь таны вэб хуудасны код руу хуулж буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг асуудал болох тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар дүн шинжилгээ хийх болно. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг хайж байгаа хүмүүс үүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд Үгүй гэсэн хичээлтэй танилцах хэрэгтэй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Тодорхой интеграл хуудаснаас та тодорхой интегралтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно. Шийдлийн жишээ.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны зураг зурах мэдлэг, ур чадвар илүү тулгамдсан асуулт байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тухай санах ойг сэргээх, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, парабол, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг арга зүйн материал, графикийн геометрийн хувиргалтын талаархи нийтлэлийн тусламжтайгаар хийж болно (олон хүмүүсийн хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай).

Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох даалгаврыг хүн бүр сургуулиасаа мэддэг байсан бөгөөд бид сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс нэг их цааш явахгүй. Энэ нийтлэл огт байгаагүй байж болох ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан үзэн яддаг сургуульд зовж, дээд математикийн хичээлийг урам зоригтойгоор эзэмшсэн тохиолдолд ийм асуудал гардаг.

Энэхүү семинарын материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан болно.

Муруй трапецаар эхэлцгээе.

Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ Би тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.

Зургийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол), зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол болон бусад функцүүдийн графикийг барих нь дээр. Функцын графикийг цэгийн дагуу байгуулах нь илүү ашигтай байдаг. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Би муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс , Тодорхой интеграл лекцээс үзнэ үү. Шийдлийн жишээ.

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

, , болон тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор байрладаг бол (эсвэл дор хаяж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр.

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикийг цэгэн байгуулах аргачлалын талаар "График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд" гэсэн туслах хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола байгуулах нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.

Одоо ажлын томьёо: Хэрэв сегмент дээрх зарим тасралтгүй функц нь зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байвал эдгээр функцуудын графикууд болон шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор байгаа бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. . Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график байрладаг өндөр биштэгвэл тэнхлэгүүд

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүй байдлаасаа болж... буруу зургийн талбай олдсон, таны даруухан үйлчлэгч хэд хэдэн удаа алдаа гаргасан. Энд бодит амьдрал дээр тохиолдсон тохиолдол байна:

Жишээ 7

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

...Өө, зураг нь онигоо болсон ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Өөр нэг утга учиртай ажил руугаа орцгооё.

Жишээ 8

Шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, нэг цэгийн зураг зурцгаая.

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.


,

Үнэхээр, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартчихаж, уучлаарай, би зургийг дахин хийхийг хүсээгүй. Зурах өдөр биш товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)

Цэг бүрээр барихын тулд та синусоидын дүр төрхийг мэдэх хэрэгтэй (мөн ерөнхийдөө бүх элементийн функцүүдийн графикийг мэдэх нь ашигтай байдаг), мөн синусын зарим утгыг эндээс олж болно. тригонометрийн хүснэгт. Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг асуудлыг авч үзэх болно. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг эрэлхийлж буй бүх хүмүүст үүнийг олж авцгаая. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми хүмүүс эхлээд Тэр-ийн сургамжтай танилцах хэрэгтэй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Тодорхой интеграл хуудаснаас та тодорхой интегралтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны зураг зурах мэдлэг, ур чадвар бас чухал асуудал байх болно. Наад зах нь та шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх хэрэгтэй.

Муруй трапецаар эхэлцгээе. Муруй трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.

Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Тодорхой интеграл бол тоо гэж бид хэлсэн шийдлүүдийн жишээ. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье

Интеграл

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

, , , .

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэр гаргахад хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.

Зургийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол), зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол болон бусад функцүүдийн графикийг барих нь дээр. Цэгээр барих арга техникийг үндсэн функцүүдийн график ба шинж чанаруудын лавлах материалаас олж болно. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.

Зургийг хийцгээе (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):

Бид муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, энд бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр [-2; 1] функцийн график y = x 2 + 2 нь тэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

Хариулт: .

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс

,

Тодорхой интеграл лекцээс үзнэ үү. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ ҮХЭР?

Жишээ 3

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор бүрэн байрласан бол ҮХЭР, дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

.

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Ихэнхдээ шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болдог. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола байгуулах нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгэн чиглэлд барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" тодорхойлдог гэдгийг давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:

Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ а; б] зарим тасралтгүй функц е(x) зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байна g(x), харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгээс доош, гэхдээ аль график нь ИЛҮҮ (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.

Харж буй жишээн дээр парабола сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2-ыг хасах ёстой - x.

Дууссан шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоор.

2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: .

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (3-р жишээг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм.

.

Учир нь тэнхлэг ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, Тэр

.

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зураг зөв хийгдсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... буруу зургийн талбай олдсон.

Жишээ 7

Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж хүмүүс ихэвчлэн ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй гэж шийддэг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик нь шулуун байрладаг y = x+1;

2) Тэнхлэгээс дээш сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр үзүүлье

мөн цэгээр нь зурах:

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн" байна: б = 1.

Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ?

байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

.

Тиймээс, а=(-1/3).

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Сегмент дээр

, ,

зохих томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хичээлийг дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Цэг цэгийн зургийг бүтээхийн тулд та синусоидын дүр төрхийг мэдэх хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн график, мөн зарим синусын утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтээс олж болно. Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүнд график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарлалттай холбоотой асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаардаг;

– “x” тэгээс “pi” болж өөрчлөгдөнө. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

(1) Та тригонометрийн функцүүдийн интеграл хичээлээс синус ба косинусыг сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэж байгааг харж болно. Бид нэг синусыг хавчих.

(2) Бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг хэлбэрээр ашигладаг

(3) Хувьсагчийг өөрчилье т=cos x, тэгвэл: тэнхлэгийн дээгүүр байрласан тул:

.

.

Тэмдэглэл: Шүргэдэг кубын интеграл нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үр дүнд хэрхэн ашиглагдаж байгааг анхаарна уу

.

Бодлого 1 (муруй трапецын талбайг тооцоолох тухай).

Декартын тэгш өнцөгт координатын систем xOy-д x тэнхлэг, шулуун шугамууд x = a, x = b (а муруй шугаман трапецаар) -аар хязгаарлагдсан дүрс (зураг харна уу) өгөгдсөн. Тахир шугамын талбайг тооцоолох шаардлагатай. трапец.
Шийдэл.

Геометр нь олон өнцөгтийн талбай болон тойргийн зарим хэсгийг (салбар, сегмент) тооцоолох жорыг бидэнд өгдөг. Геометрийн үзэл баримтлалыг ашиглан бид зөвхөн шаардлагатай талбайн ойролцоо утгыг олох боломжтой бөгөөд дараах үндэслэлээр тайлбарлана.

Хэсэгт хувацгаая [a; b] (муруй трапецын суурь) n тэнцүү хэсэгт; энэ хуваалтыг x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 цэгүүдийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Эдгээр цэгүүдээр у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татъя. Дараа нь өгөгдсөн муруй шугаман трапецийг n хэсэг, n нарийн багана болгон хуваана. Бүх трапецын талбай нь баганын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

k-р баганыг тусад нь авч үзье, өөрөөр хэлбэл. суурь нь сегмент болох муруй трапец. Үүнийг суурь, өндөр нь f(x k)-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтөөр орлъё (зураг харна уу). Тэгш өнцөгтийн талбай нь \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \)-тэй тэнцүү бөгөөд \(\Delta x_k \) нь сегментийн урт юм; Үүссэн бүтээгдэхүүнийг k-р баганын талбайн ойролцоо утга гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм.
Хэрэв бид одоо бусад бүх баганатай ижил зүйлийг хийвэл дараах үр дүнд хүрнэ: өгөгдсөн муруйн трапецын S талбай нь n тэгш өнцөгтөөс бүрдсэн шаталсан дүрсийн S n талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна (зураг харна уу):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)

Энд тэмдэглэгээг жигд байлгах үүднээс a = x 0, b = x n; \(\Дельта x_0 \) - сегментийн урт, \(\Дельта x_1 \) - сегментийн урт гэх мэт; энэ тохиолдолд бид дээр тохиролцсоны дагуу \(\Дельта x_0 = \цэг = \Дельта x_(n-1) \)
Тодорхойлолтоор муруйн трапецын шаардагдах талбай нь дарааллын хязгаартай (S n) тэнцүү байна гэж үздэг.
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Асуудал 2 (цэг шилжүүлэх тухай)
Материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг. Хурдны хугацаанаас хамаарах хамаарлыг v = v(t) томъёогоор илэрхийлнэ. Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөнийг ол [a; б].
Шийдэл.
Хэрэв хөдөлгөөн жигд байсан бол асуудлыг маш энгийнээр шийдэх болно: s = vt, i.e. s = v(b-a). Тэгш бус хөдөлгөөний хувьд та өмнөх асуудлын шийдэлд үндэслэсэн санааг ашиглах хэрэгтэй.
1) Цагийн интервалыг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт хуваана.
2) Цаг хугацааг авч үзээд энэ хугацаанд хурд нь t k үеийнхтэй адил тогтмол байсан гэж үзье. Тиймээс бид v = v(t k) гэж таамаглаж байна.
3) Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөний ойролцоо утгыг олъё, бид энэ ойролцоо утгыг s k гэж тэмдэглэнэ;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Шилжилтийн s-ийн ойролцоо утгыг ол:
\(s \ойролцоогоор S_n \) хаана
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Шаардлагатай шилжилт нь дарааллын хязгаартай тэнцүү байна (S n):

$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Тодорхой интегралын тухай ойлголт
y = f(x), тасралтгүй (гэхдээ авч үзсэн бодлогод таамаглаж байсанчлан сөрөг биш байх албагүй) функцийн авч үзсэн гурван бодлогод [a; b]:
1) сегментийг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт;
2) нийлбэрийг бүрдүүлэх $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$

3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$-ийг тооцоол
Математик шинжилгээний явцад энэ хязгаар нь тасралтгүй (эсвэл хэсэгчлэн тасралтгүй) функцийн хувьд байдаг нь батлагдсан. y = f(x) функцийн тодорхой интеграл [a; b] ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)

a ба b тоонуудыг интеграцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (доод ба дээд).
Дээр дурдсан ажлууд руу буцаж орцгооё. 1-р асуудалд өгөгдсөн талбайн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
энд S нь дээрх зурагт үзүүлсэн муруйн трапецын талбай юм. Энэ нь тодорхой интегралын геометрийн утга юм.

Бодлого 2-т өгөгдсөн t = a-аас t = b хүртэлх хугацаанд v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн шилжилтийн s-ийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Эхлээд асуултанд хариулъя: тодорхой интеграл ба эсрэг дериватив хоёрын хооронд ямар холбоо хамааралтай вэ?

Хариултыг бодлого 2-оос олж болно.Нэг талаас v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн t = a-аас t = b хүртэлх хугацааны s шилжилтийг тооцоолно. томъёо
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Нөгөө талаас, хөдөлж буй цэгийн координат нь хурдны эсрэг дериватив юм - үүнийг s(t) гэж тэмдэглэе; Энэ нь s шилжилтийг s = s(b) - s(a) томъёогоор илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
Энд s(t) нь v(t)-ийн эсрэг дериватив юм.

Математик анализын явцад дараах теорем батлагдсан.
Теорем. Хэрэв y = f(x) функц нь [a интервал дээр тасралтгүй байвал; b] бол томъёо хүчинтэй байна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
Энд F(x) нь f(x)-ийн эсрэг дериватив юм.

Дээрх томъёог ихэвчлэн англи физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) хоёр бие биенээсээ хамааралгүй, бараг нэгэн зэрэг олж авсанд зориулсан Ньютон-Лейбницийн томьёо гэж нэрлэдэг.

Практикт F(b) - F(a) гэж бичихийн оронд \(\зүүн. F(x)\right|_a^b \) тэмдэглэгээг ашигладаг (үүнийг заримдаа давхар орлуулалт гэж нэрлэдэг) ба үүний дагуу дахин бичдэг. Ньютон-Лейбницийн томьёо дараах байдлаар үүсдэг.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \зүүн. F(x)\right|_a^b \)

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг деривативыг олж, дараа нь давхар орлуулалт хийнэ.

Ньютон-Лейбницийн томъёонд үндэслэн бид тодорхой интегралын хоёр шинж чанарыг олж авч болно.

Өмч 1. Функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Интегралыг ашиглан та зөвхөн муруй трапецын талбайг төдийгүй илүү төвөгтэй хэлбэрийн хавтгай дүрсүүдийн, жишээлбэл, зурагт үзүүлсэн талбайг тооцоолж болно. P дүрс нь x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) тасралтгүй функцуудын графикаар хязгаарлагдаж, [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал биелнэ. Ийм зургийн S талбайг тооцоолохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Тэгэхээр x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) функцүүдийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн S талбай нь хэрчим дээр үргэлжилсэн бөгөөд хэрчмээс аль ч х-д байхаар байна. [a; b] томъёогоор тооцоолсон \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал хангагдана.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Энэ нийтлэлд та интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. Бид тодорхой интегралуудыг судалж дуусаад, практик дээр олж авсан мэдлэгээ геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед бид ахлах сургуульд ийм асуудлыг томъёолохтой анх тулгардаг.

Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд юу шаардлагатай вэ:

• Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
• Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
• Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? x тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
• За, зөв ​​тооцоололгүй бол бид хаана байх байсан бэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцоог зөв хийх зэрэг орно.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:

1. Бид зураг зурдаг. Үүнийг алаг цаасан дээр, том хэмжээгээр хийхийг зөвлөж байна. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. График дээр гарын үсэг зурах нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Тиймээс бид асуудлыг графикаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоолол хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.

2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэл аналитик шийдэлтэй давхцаж байгаа эсэхийг харна.

3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикуудыг хэрхэн байрлуулсанаас хамааран зургийн талбайг олох янз бүрийн арга байдаг. Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох янз бүрийн жишээг авч үзье.

3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох явдал юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэг (y = 0), шулуун шугамууд x = a, x = b ба а-аас b хүртэлх интервалд үргэлжилсэн аливаа муруйгаар хязгаарлагддаг хавтгай дүрс юм. Түүнээс гадна, энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгийн доор байрладаггүй. Энэ тохиолдолд муруй шугаман трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тэнцүү байна.

Жишээ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Зураг ямар шугамаар хүрээлэгдсэн бэ? Бидэнд OX тэнхлэгээс дээгүүр байрлах y = x2 - 3x + 3 парабол байгаа бөгөөд энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг утгатай байна. Цаашлаад OU тэнхлэгтэй параллель гүйдэг x = 1 ба x = 3 шулуун шугамууд өгөгдсөн ба зүүн ба баруун талын зургийн хязгаарлах шугамууд юм. За, у = 0, энэ нь мөн x тэнхлэг бөгөөд энэ нь зургийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүн нь сүүдэртэй, зүүн талын зургаас харж болно. Энэ тохиолдолд та асуудлыг даруй шийдэж болно. Бидний өмнө муруй трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд бид үүнийг Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.

3.2. Өмнөх 3.1-д бид муруй трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд судалж үзсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид доор авч үзэх болно.

Жишээ 2. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Энэ жишээнд бид OX тэнхлэгийн доороос үүссэн y = x2 + 6x + 2 парабол, x = -4, x = -1, y = 0 шулуун шугамууд байна. Энд y = 0 нь дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. x = -4 ба x = -1 шулуун шугамууд нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцаж байна. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш, мөн [-4; -1] . Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.

Нийтлэл дуусаагүй байна.