Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарыг ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанар

Онцлог функцсанамсаргүй хувьсагч Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Баталгаа.

Мэдээжийн хэрэг, энэ өмч нь илүү олон тооны нэр томъёог хамардаг:

φ (т) жигд тасралтгүй байна.

Баталгаа.

Үр дүнд нь эцсийн илэрхийлэл нь зөвхөн хамаарна h. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид бичиж болно

Баталгаа. Хэрэв байгаа бол кр момент X, дараа нь интеграл тэмдгийн дор ялгах аргыг ашиглана (энэ нь боломжтой, учир нь х(x) байдаг), бид олж авдаг

Дараагийн ялгах бүрт үүнийг "авдаг" би Э[ X], дараа нь кбидний олж авсан ялгаа би кЭ[ X к]. Энэ үр дүнг хэлбэрээр илэрхийлж болно

Онцлог функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.

Онцгой тохиолдлын нотолгоо

Болъё X - бүхэл тоон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( к З), дараа нь (урвуу Фурье хувиргалт)

(Коэффициент нь Фурье цуврал х к), Дараа нь

Үүнд зориулсан бүх нөхцөл к≠м, 0-г (ортогональ байдлаар) өгвөл үлдэнэ

Болъё φ (т) нь бодит шугаман дээр туйлын интегралдах боломжтой бөгөөд тархалтын нягтрал байдаг х(x) 11 .

Хичээцгээеилэрхийлэх х(x) шинж чанарын функцээр дамжуулан. Функцийн урвуу Фурье хувирлыг бичье φ :

Үүнийг бодолцон

Түүнээс хойш

Хувьсагчдыг өөрчилснөөр бид олж авдаг

тиймээс

Хэрэв (*) хоёр дахь интеграл дахь интегралын хоёр хязгаар ижил тэмдэгтэй байвал бид 0-ийг авна; өөр бол - хязгаарлагдмал тоо. Өөрөөр хэлбэл, тэгээс өөр хязгаар байдаг а<y<б. Энэ тохиолдолд −∞-аас ∞ хүртэлх интеграл гарч ирнэ, тэнцүү π . Эндээс

Хүлээн авсан:

тиймээс, хшинж чанарын функцээр бүрэн тодорхойлогддог.

Баталгаа..

Онцлог функцийн шалгуур

Чиг үүрэг φ X (т) - санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанар Xзөвхөн хэрэв:

φ X (0) = 1,

φ X (т) эерэг тодорхой.

Чиг үүрэг φ (т) гэж нэрлэдэг эерэг тодорхой(эерэг тодорхой), хэрэв

тэгтэй тэнцүү байх үед л хүрнэ z би = 0би. Хэрэв бид тэгш байдалд хүрэх нөхцөлийг тэг болгож сулруулж чадвал бид авна сөрөг бус тодорхойфункц.

Шалгацгааяшинж чанарын функц эерэг тодорхой байна:

Үндэслэл. Өмчөөр 5),

At к= 1, бид авна,

At к= 2 -.

Хэрэв Э X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Жишээ

Шийдэл. Илэрхийлэлийг хэлбэр болгон бууруулъя

Үүнийг харахад хэцүү биш
. Өөрчлөлтийн дараа та бичиж болно
.

Үнэт зүйлсийг харцгаая х би :

Дүгнэлт: cos 2 т нь 1/2 магадлалтай 0 утгыг, 1/4 магадлалтайгаар 2 ба −2 утгыг авсан салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний онцлог функц юм.

Онцлог функцийг тооцоолох доройтохсанамсаргүй хувьсагч: П(X= 0) = 1.

Шийдэл..

Хэрэв П(X=C) = 1, бид олж авна.

Шийдэл. Илэрхийлэлийг хэлбэр болгон бууруулъя

Үнэт зүйлсийг харцгаая х би :

Хүлээн авсан: Энэ нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний онцлог функц юм.

Шийдэл. Болъё Ю=X–X′ , Дараа нь

Дүгнэлт: аливаа шинж чанарын функцийн модулийн квадрат нь дахин шинж чанарын функц болно.

Болъё X,Ю - шинж чанар бүхий санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд φ X (т) Мөн φ Ю (т);а,б> 0 - ийм тогтмолууд а+б= 1. Функцийг авч үзье

Энэ нь шинж чанартай юу, хэрэв тийм бол аль санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарах вэ?

Хариулах: тийм ээ. Харгалзах хуваарилалтын функцийг үзье XТэгээд Ю - Ф X (x) Мөн Ф Ю (y). Функцийг авч үзье. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь түгээлтийн функц юм, учир нь

Дараа нь магадлалын нягт

Хэрэв φ (т) - онцлог функц X, Тэр φ (−т) - шинж чанарын функц (- X).

Болъё φ (тX(4-р жишээнээс)).

, тэгвэл байна (те φ (т)]

Шийдэл) =дахин[

Болъё φ (т. Мэдээжийн хэрэг, Ф X (x) хуваарилалтын функцтэй тохирч байна φ (т)]:

Болъё φ (т), дараа нь дахин[ X(4-р жишээнээс)).

, тэгвэл байна (т) - хэмжигдэхүүний онцлог функц φ (т)]

) =Би[

Шийдэлзарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний онцлог функц? , тэгвэл байна (0) = 0.

. Үгүй ээ, тийм биш, учир нь

X ~ Хэвийн тархалтын онцлог функцийг ол.(0, 1):

Н φ (тТоолж үзье

), интеграл тэмдгээр ялгах:
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдье φ (0) = 1:

X~Хэвийн тархалтын онцлог функцийг ол.(а,σ анхны нөхцөлтэй X 0 ~Хэвийн тархалтын онцлог функцийг ол. 2): энэ утгыг харьцуулна уу X=а+σ X(0, 1). Үүнийг харахад амархан

0 .

Дараа нь өмчөөр 2)
Дашрамд хэлэхэд та оюутан жигд тасралтгүй байдлын талаар юу ч мэдэхгүй байх ёстой гэж сурталчилж байсан бөгөөд одоо та түүнд дельта функцийг санал болгож байна уу? Тохиромжтой, би юу ч хэлэхгүй.
Өгөгдсөн функцийг HF гэдгийг харуулах хоёр арга бий: нэг бол Фурьегийн дагуу түүнд тохирох функцийг олж, энэ нь хэвийн болгох нөхцөлийг хангаж, эерэг эсэхийг шалгах эсвэл өгөгдсөн функцийн сөрөг бус тодорхой байдлыг батлах ёстой. функц болон Бохнер-Хинчиний теоремыг үзнэ үү. Үүний зэрэгцээ, SV-ийг бусад Rademacher SV-ийн шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлэх теоремуудыг ашиглах нь HF-ийн үндсэн шинж чанарыг ойлгоход ямар ч байдлаар нэмэр болохгүй, мөн дээр дурдсанчлан, таны шийдэл; бүрхэгдсэн Фурье цуврал, өөрөөр хэлбэл энэ нь үнэндээ эхний аргатай тохирч байна.
Өгөгдсөн функц нь ямар ч SV-ийн HF байж болохгүй гэдгийг харуулах шаардлагатай бол HF-ийн шинж чанаруудын аль нэг нь бүтэлгүйтсэнийг тогтооход хангалттай: нэгж утга тэг, модуль нэгээр хязгаарлагдаж, зөв утгыг олж авах. PDF-ийн мөчүүдийн хувьд жигд тасралтгүй байдал. Өгөгдсөн функцээр тооцоолсон моментуудын утгын зөв эсэхийг шалгах нь математикийн хувьд жигд тасралтгүй байдлыг шалгахтай тэнцүү бөгөөд эдгээр шинж чанаруудын аль нэгийг нь биелүүлээгүй тохиолдолд тухайн функцийн тохиромжгүй байдлыг хүлээн зөвшөөрөх үндэс суурь болно. Гэсэн хэдий ч, агшин зуурын утгуудын зөв эсэхийг шалгах нь албан ёсоор хийгдсэн: ялгах, шалгах. Ерөнхий тохиолдолд нэг төрлийн тасралтгүй байдлыг нотлох шаардлагатай бөгөөд энэ нь асуудлыг шийдвэрлэх амжилт нь оюутны бүтээлч чадавхи, түүний "таамаглах" чадвараас хамаардаг.
SV-ийн "барилга" -ын хэлэлцүүлгийн хүрээнд би энгийн асуудлыг авч үзэхийг санал болгож байна: SV-г дараах хэлбэрийн HF-тэй хийцгээе. Хаана

Томъёогоор бүхэл тооны мөрөнд өгөгдсөн

X. f. санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тодорхойлолтоор X юм. f. түүний магадлалын тархалт

X. f-ийн хэрэглээтэй холбоотой аргыг анх A. M. Lyapunov ашигласан бөгөөд дараа нь үндсэн аналитик аргуудын нэг болжээ. магадлалын онолын аргууд. Энэ нь жишээлбэл магадлалын онол дахь хязгаарын теоремуудыг батлахад үр дүнтэй хэрэглэгддэг. 2 момент бүхий бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн төв хязгаарын теорем нь энгийн хамаарал руу буурдаг

X-ийн үндсэн шинж чанарууд. f. 1) ба эерэг тодорхой, i.e.

Комплекс тоо болон аргументуудын төгсгөлтэй цуглуулгын хувьд

2) бүх тэнхлэгийн дагуу жигд тасралтгүй

4)ялангуяа, харгалзах магадлал нь тэгш хэмтэй бол зөвхөн бодит утгыг (мөн тэгш функц) авна.

5) X. f. хэмжүүрийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлдог; давж заалдах гомдол байна:

Төгсгөл нь тэг м хэмжигдэхүүнтэй дурын интервалын хувьд (a, 6). Хэрэв энэ нь интегралчлагдах боломжтой бол (энэ нь Риманы утгаар ойлгогдвол) харгалзах тархалтын функц нь байна.

6) X. f. магадлалын хоёр хэмжүүрийн эргэлт (хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр) нь тэдгээрийн X. f.

Дараах гурван шинж чанар нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний моментууд болон түүний X. функцийн тэгш байдлын зэрэг хоорондын холбоог илэрхийлдэг.

7) Хэрэв зарим байгалийн хувьд p,тэгвэл бүх натуралуудын хувьд X-ээс r эрэмбийн деривативууд байдаг. f. санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба тэгш байдал биелнэ

8) Хэрэв байгаа бол

9) Хэрэв хүн бүрт

дараа нь энэ нь хүн бүрт хамаатай

X.f аргыг ашиглах нь голчлон X. функцүүдийн дээрх шинж чанарууд, түүнчлэн дараах хоёр теорем дээр суурилдаг.
Бохнерийн теорем (X. функцийн ангийн тодорхойлолт). f функц дээр өгөгдөх ба f(0)=1. f нь X байхын тулд. f. тодорхой магадлалын хэмжүүр, энэ нь тасралтгүй бөгөөд эерэг тодорхой байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
Левигийн теорем (харгалзах байдал). Магадлалын хэмжүүрүүдийн дараалал, тэдгээрийн X.f-ийн дараалал байг. Дараа нь тодорхой магадлалын хэмжигдэхүүнд сул нийлдэг (өөрөөр хэлбэл, дурын тасралтгүй хязгаарлагдмал функцийн хувьд, хэрэв цэг бүр дээр тодорхой тасралтгүй функц f-д нийлдэг бол л; нийлэх тохиолдолд функц нь харьцангуй (утгаараа) гэсэн үг. сул нийлэх) магадлалын хэмжүүрийн гэр бүлийн X. функцүүдийн гэр бүлийн тэг дэх тэнцүү үргэлжлэлтэй тэнцүү байна.
Бохнерийн теорем нь Фурье-Штиельсийн хувиргалтыг магадлалын хэмжигдэхүүнүүдийн хагас бүлэг (хувиралтын үйл ажиллагааны хувьд) болон эерэг тодорхой тасралтгүй функцүүдийн хагас бүлэг (цэгээр үржүүлгийн хувьд) нэг дээр тэг үед тэгтэй тэнцүү гэж үзэх боломжийг олгодог. Левигийн теорем нь энэ алгебрийн . изоморфизм нь мөн топологи юм. гомеоморфизм, хэрэв магадлалын хэмжүүрийн хагас бүлэгт бид сул нийлбэрийн топологийг, харин эерэг тодорхой функцүүдийн хагас бүлэгт хязгаарлагдмал олонлогууд дээр жигд нийлэх топологийг хэлнэ.
X. f-ийн илэрхийллүүд мэдэгдэж байна. үндсэн магадлалын өвчин (харна уу), жишээлбэл, X. f. Дундаж дисперстэй Гауссын хэмжүүр байна
Сөрөг бус бүхэл тоон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд X, X. f.-ийн хамт түүний аналогийг ашигладаг -

X-тэй холбоотой. f. харьцаа
X. f. Хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай дахь магадлалын хэмжүүрүүд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.

Хаана x>гэсэн үг. Дээр дурдсан баримтууд нь X. f. магадлалын хэмжүүрүүд

Гэрэл.: Лукач Е., Онцлог функцууд, транс. Англи хэлнээс, М., 1979; Феллер В., Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ, боть 2. орчуулга. Англи хэлнээс, М., 1967; Прохоров Ю., Розанов Ю., Магадлалын онол. Үндсэн ойлголтууд. Хязгаарын теоремууд. Санамсаргүй үйл явц, 2-р хэвлэл, М., 1973; 3олотарев В.М., Нэг хэмжээст тогтвортой тархалт, Москва, 1983 он.
Н.Х. Ваханиа.

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг.

I. M. Виноградов.

1977-1985 он.

Бусад толь бичгүүдээс "CHARACTERISTIC FUNCTION" гэж юу болохыг харна уу. Онцлог функц: Термодинамикийн шинж чанарын функц нь системийн термодинамик шинж чанарыг тодорхойлох функц юм. Олонлогийн шинж чанар нь олонлогийн элементийн гишүүнчлэлийг тогтоох функц юм ... ... Википедиа;

- Харгалзах бие даасан термодинамик параметрүүдийн термодинамик системийн төлөв байдлын функц бөгөөд энэ функцээр дамжуулан эдгээр параметрүүдтэй холбоотой деривативууд нь бүх термодинамик ... ...Техникийн орчуулагчийн гарын авлага Онцлог функц

Термодинамикийн хувьд термодинамикийн төлөвийг тодорхойлдог бие даасан параметрүүдийн төлөв байдлын функц. системүүд. X. f-д. термодинамик ба энтропи потенциалууд орно. X-ээр дамжуулан...- хоршооллын тоглоомын онолын хувьд тоглоомын аль ч эвслийн хамгийн бага хожлын хэмжээг тодорхойлдог харьцаа. Хоёр эвсэл нэгдэх үед H.f-ийн үнэ цэнэ. Эдгээр функцүүдийн нийлбэрээс багагүй байх болно. Эдийн засаг, математикийн толь бичиг

Термодинамикийн хувьд термодинамикийн төлөвийг тодорхойлдог бие даасан параметрүүдийн төлөв байдлын функц. системүүд. X. f-д. термодинамик ба энтропи потенциалууд орно. X-ээр дамжуулан...- Būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visa termodinaminės systemos savybes. attikmenys: англи хэл. онцлог функц орос. онцлог функц ... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. онцлог функц vok. Characteristische Funktion, f rus. онцлог функц, f pranc. fonction caractéristique, f…

Fizikos terminų žodynas - Espace X-ийн олонлогууд нь 1-тэй тэнцүү ба 0-тэй тэнцүү (энд CE нь Ev X-ийн нэмэлт юм). (0, 1) доторх утгатай аливаа функц нь X функц юм. тодорхой олонлогийн, тухайлбал олонлогийн, X. функцийн шинж чанарууд: хосоор хуваагдсан, дараа нь 6) хэрэв тэгвэл...	Математик нэвтэрхий толь бичиг	α к				(y)=	М[Ю		+∞∫ ϕ k


(x)				(x)dx;					мк(y)

∫ (ϕ (x)
f(x)dx.			Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанар	мэдэгдэж байгаа хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн
тархалт, t – параметр, i =				− 1.
Онцлог функц санамсаргүй хувьсагчДуудсан
Y = e itX функцийн математик хүлээлт:

					∑ e itx k p k , DSV-ийн хувьд,
				k = 1
υ X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , NSV-ийн хувьд.

Тиймээс шинж чанар								υ X(t)	ба хуваарилалтын хууль

санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өвөрмөц хамааралтай Фурье хувиргалт. Жишээлбэл, X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт f (x) нь түүний шинж чанарын функцээр тодорхойлогддог. урвуу Фурье хувиргалт:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.

		2 π−∞ ∫
Онцлог функцийн үндсэн шинж чанарууд:
	Z = aX + b хэмжигдэхүүний шинж чанарын функц, X нь санамсаргүй байна
шинж чанарын функцийн утга υ X (t) тэнцүү байна
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	X санамсаргүй хэмжигдэхүүний k-р эрэмбийн эхний момент нь тэнцүү байна
	α k (x )= υ X (k ) (0)i − k ,

Энд υ X (k) (0) нь t = 0 дахь шинж чанарын функцийн k-р деривативын утга юм.


3. Нийлбэрийн шинж чанарын функц	Y = ∑ X k бие даасан
	k = 1

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нэр томъёоны онцлог функцүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна:


υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(t).
i = 1
4. Хэвийн шинж чанарын функц			санамсаргүй хэмжигдэхүүн
m ба σ параметрүүд нь дараахтай тэнцүү байна.
υ X (t) = eitm −	t 2 σ 2
υ X (t) = eitm −

ЛЕКЦ 8 Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Хоёр хэмжээст тархалтын хууль

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X,Y) нь ижил туршилтын үр дүнд утгыг авдаг хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн Ω X, Ω Y утгуудын багц ба хамтарсан (хоёр хэмжээст) тархалтын хуулиар тодорхойлогддог. X,Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн төрлөөс хамааран дискрет, тасралтгүй, холимог хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ялгадаг.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (X, Y) геометрийн хувьд x0y хавтгай дээрх санамсаргүй цэг (X, Y) эсвэл эхээс (X, Y) цэг рүү чиглэсэн санамсаргүй вектор хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Хоёр хэмжээст тархалтын функц хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн

(X ,Y ) нь хоёр үйл явдлын хамтарсан гүйцэтгэлийн магадлалтай тэнцүү (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Геометрийн хоёр хэмжээст тархалтын функц F(x, y)

санамсаргүй (X,Y) цэгийн цохилт
эцэс төгсгөлгүй		бүхий квадрат	дээдлэх
зүүн ба доор байрлах цэг (x,y).
X бүрэлдэхүүн хэсэг нь утгыг авсан
бодит х-ээс бага, энэ нь
	хуваарилалт		F X (x) ба
Y бүрэлдэхүүн хэсэг - бодитоос бага
тоо y,			хуваарилалт
FY(y).

Хоёр хэмжээст тархалтын функцийн шинж чанарууд:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

магадлал юм

. (x,y)

Баталгаа. Хуваарилалтын функцийг магадлал гэж тодорхойлсоноос шинж чанар нь гарч ирдэг: магадлал нь 1-ээс ихгүй сөрөг бус тоо юм.

2. F (–∞, y) =F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), хэрэв x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), хэрэв y 2 >y 1 бол.

Баталгаа. F (x ,y ) нь буурахгүй функц гэдгийг баталъя

хувьсагч х. Магадлалыг анхаарч үзээрэй

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Y-ийн хувьд ч мөн адил.

4. Нэг хэмжээст шинж чанарт шилжих:

	F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Тэгш өнцөгт талбайг цохих магадлал
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).				(β,γ)
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).
Түгээх функц - ихэнх


бүх нийтийн
хуваарилалт
ашигласан		хэрхэн тайлбарласан		(β,δ)
тасралтгүй,		ба салангид	(α,δ)
тасралтгүй,		ба салангид	(α,δ)
хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Түгээлтийн матриц

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X,Y) нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн Ω X ба Ω Y-ийн утгуудын багц нь тоолж болох олонлогууд байвал салангид байна. Ийм хэмжигдэхүүний магадлалын шинж чанарыг тодорхойлохын тулд хоёр хэмжээст тархалтын функц ба тархалтын матрицыг ашигладаг.

Түгээлтийн матрицнь X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), Y − Ω Y =( y 1 ,y 2) бүрэлдэхүүн хэсгийн утгуудыг агуулсан тэгш өнцөгт хүснэгт юм. , …,y m ) ба боломжит бүх хос утгын магадлал p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

xi\yj





	X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Y бүрэлдэхүүн хэсгийн магадлалын тархалтын цуваа руу шилжих:

	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

i= 1

Хоёр хэмжээст тархалтын нягт

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X ,Y ) бол тасралтгүй байна

Тархалтын функц F (x,y) нь аргумент тус бүрийн хувьд тасралтгүй, дифференциалагдах функц бөгөөд хоёр дахь нь байдаг.

холимог дериватив ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Хоёр хэмжээст тархалтын нягт f(x, y ) координат бүхий цэгийн ойролцоох магадлалын нягтыг тодорхойлдог. x, y ) ба тархалтын функцийн хоёр дахь холимог деривативтай тэнцүү байна:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Хоёр хэмжээст нягтын шинж чанарууд:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Хэвийн нөхцөл:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .