Сегментийг хуваах m цэгийн координатыг ол. Энэ хамааралд сегментийн хуваагдал

AB чиглэсэн сегментийг өгье; гол нь энэ гэж тэд хэлдэг

Энэ шугамын M нь AB хэрчмийг X-тэй тэнцүү харьцаагаар хуваана, энд дурын бодит тоо байна.

М цэг нь А ба В цэгүүдийн хооронд (жишээ нь сегмент дотор).

AB), тэгвэл AM ба MB векторууд нэг чиглэлд (Зураг 2) чиглэсэн бөгөөд харьцаа (1) эерэг байна.

М цэг хэрчмээс гадуур байх үед

AB, дараа нь AM ба MB векторууд эсрэг чиглэлд (Зураг 3) чиглэсэн бөгөөд харьцаа (1) сөрөг байна.

М цэгийг бүхэлд нь дамжих үед (1) хамаарал хэрхэн өөрчлөгдөхийг харцгаая. М цэг нь А цэгтэй давхцаж байвал харьцаа (1) тэгтэй тэнцүү байна; хэрэв M цэг нь АВ хэрчмийг А-аас В хүртэлх чиглэлд гүйж байвал (1) харьцаа тасралтгүй нэмэгдэж, М цэг В цэгт ойртох тусам дур зоргоороо том болно. Хэзээ , дараа нь (1) бутархай нь утгаа алддаг, учир нь түүний хуваагч тэг вектор болж хувирдаг. Цэгийг шулуун шугамын дагуу ижил чиглэлд (Зураг 3, B-ийн баруун талд) шилжүүлэхэд (1) хамаарал сөрөг болж, хэрэв Z нь B-тэй хангалттай ойрхон байвал энэ харьцаа нь дур зоргоороо байна. их үнэмлэхүй утга.

Үүнээс хойш (§ 4-ийн 8-р саналын дагуу) бидэнд байна

М цэг үргэлж нэг чиглэлд (манай 3-р зурагт зүүнээс баруун тийш) хөдөлж байх үед шууд хязгааргүйд шилжих үед бутархай нь тэг рүү чиглэдэг (түүний тоо тогтмол хэвээр байх тул хуваагч нь хязгааргүй өсдөг) , тиймээс , - харьцаа нь -1 байх хандлагатай байна.

Одоо А цэг нь шугамыг (өөрөөр хэлбэл AB хэрчмийг агуулаагүй хагас шугам руу) хуваадаг хоёр хагас шугамын "зүүн" тал руу M-ийг явуулцгаая. Хэрэв энэ тохиолдолд M цэг нь А цэгээс хангалттай хол байрласан бол , дахин дур зоргоороо жижиг байх тул томъёонд харьцаа нь -1-ээс бага зэрэг ялгаатай байна. М цэг зүүн талаасаа А цэгт ойртоход (Зураг 3, b) харьцаа (I) сөрөг хэвээр байхын зэрэгцээ үнэмлэхүй утгаараа тасралтгүй буурч, эцэст нь М цэг А цэг рүү буцаж ирэхэд тэгтэй тэнцүү болно.

Шугаман дээрх ямар ч цэгийн M байрлал нь -1-тэй тэнцүү харьцаа байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ M цэг нь AB сегментийн гадна талд байрлах үед л харьцаа сөрөг байна. Гэхдээ энэ тохиолдолд AM ба MB сегментүүд хэзээ ч тэнцүү байдаггүй, өөрөөр хэлбэл.

Одоо шулуун шугам дээр координатын системийг байгуулж, энэ системийн эхлэлийг O болгоё. А цэгээс В цэгийн координатыг , хувьсагч М цэгийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь

Өгөгдсөн AB сегментийг тодорхой харьцаагаар хуваадаг тодорхой C цэгийн координатыг тооцоолохдоо дараахь томъёог ашиглан хийж болно.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

Энд (xA; yA) ба (xB; yB) нь өгөгдсөн AB сегментийн төгсгөлүүдийн координатууд; тоо λ = AC/CB – AB сегментийг координаттай (xC; yC) C цэгт хуваах харьцаа.

Хэрэв AB сегментийг C цэгээр хагасаар хуваавал λ = 1 тоо ба xC ба yC-ийн томъёонууд дараах хэлбэртэй байна.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

Асуудлын хувьд λ нь сегментүүдийн уртын харьцаа тул энэ харьцаанд орсон тоонууд нь тухайн хэмжилтийн нэгж дэх сегментүүдийн урт биш гэдгийг санах нь зүйтэй. Жишээлбэл, AC = 12 см, CB = 16 см: λ = AC/CB = 12 см / 16 см = 3/4.

1. Тодорхой сегментийн дунд хэсгийн координатыг түүний төгсгөлүүдийн өгөгдсөн координатыг ашиглан хайх

Жишээ 1.

A(-2; 3) ба B(6; -9) цэгүүд нь AB хэрчмийн төгсгөлүүд юм. AB сегментийн дунд цэг болох С цэгийг ол.

Шийдэл.

Асуудлын мэдэгдэлд xA = -2; xB = 6; yA = 3 ба yB = -9. Бид C(xC; yC)-ийг олох хэрэгтэй.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 томъёог ашигласнаар бид дараахийг олж авна.

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

Тиймээс AB сегментийн дунд хэсэг болох С цэг нь координаттай (-2; 3) байна. (Зураг 1).
2. Тодорхой сегментийн төгсгөлийн координатыг тооцоолох, түүний дунд болон бусад төгсгөлийн координатыг мэдэх.

Жишээ 2.

AB сегментийн нэг төгсгөл нь координаттай (-3; -5) А цэг бөгөөд дунд цэг нь С(3; -2) цэг юм. Сегментийн хоёр дахь төгсгөлийн координатыг тооцоолно - B цэг.

Шийдэл.

Бодлогын нөхцлийн дагуу xA = -3 байх нь тодорхой болно; yA = -5; xC = 3 ба yC = -2.

Эдгээр утгыг xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

3 = (-3 + xB)/2 ба

2 = (-5 + уВ)/2.

Эхний тэгшитгэлийг xB, хоёр дахь тэгшитгэлийг yB-ийн хувьд шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг оллоо: xB = 9 ба yB = 1, хүссэн B цэгийг координатаар (9; 1) зааж өгөх болно. (Зураг 2).

3. Гурвалжны оройн координатыг түүний талуудын дунд цэгүүдийн өгөгдсөн координатаас тооцоолох

Жишээ 3.

ABC гурвалжны талуудын дунд цэгүүд нь D(1; 3), E(-1; -2) ба F(4; -1) цэгүүд юм. Энэ гурвалжны A, B, C оройнуудын координатыг ол.

Шийдэл.

D цэгийг AB талын дунд цэг, Е цэгийг BC, F цэгийг AC талын дунд цэг гэж үзье. (Зураг 3). Та A, B, C цэгүүдийг олох хэрэгтэй.

Бид гурвалжны оройг A(xA; yA), B(xB; yB) ба C(xC; yC) гэж тэмдэглэж, D, E, F цэгүүдийн координатыг мэдэж, xC = (xA + xB) томъёог ашиглана. /2, yC = (yA + уВ)/2 бид дараахыг авна.

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

Тэгшитгэлүүдийг бүхэлд нь хэлбэр болгон бууруулъя:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(уА + уС = -2.

Системүүдийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.

A(6; 4), B(-4; 2) ба C(2; -6) цэгүүд нь гурвалжны зайлшгүй оройнууд юм.

4. Энэ сегментийн төгсгөлийн өгөгдсөн координатын дагуу сегментийг тодорхой харьцаагаар хуваах цэгүүдийн координатыг тооцоолох

Жишээ 4.

AB сегментийг С цэгээр 3:5 харьцаагаар хуваана (А цэгээс В цэг хүртэл тоолох). AB сегментийн төгсгөлүүд нь A(2; 3) ба B(10; 11) цэгүүд юм. C цэгийг ол.

Шийдэл.

Асуудлын мэдэгдэлд xA = 2; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. C(xC; yC)-г ол (Зураг 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ба yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Тиймээс бидэнд C( 5; 6).

Шалгацгаая:АС = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

Сэтгэгдэл. Асуудлын нөхцөл нь сегментийг хуваах нь А цэгээс В цэг хүртэлх өгөгдсөн харьцаагаар хийгдэж байгааг харуулж байна. Хэрэв үүнийг заагаагүй бол асуудал хоёр шийдэлтэй байх болно. Хоёрдахь шийдэл: сегментийг В цэгээс А цэг хүртэл хуваах.

Жишээ 5.

Тодорхой AB сегментийг 2: 3: 5 харьцаагаар хуваадаг (А цэгээс В цэг хүртэл тоолох), түүний төгсгөлүүд нь A (-11; 1) ба B (9; 11) координаттай цэгүүд юм. Энэ сегментийн хуваагдлын цэгүүдийг ол.

Шийдэл.

А-аас В хүртэлх хэрчмийг хуваах цэгүүдийг C ба D гэж тэмдэглэе.
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. AC: CD: DB = 2: 3: 5 бол C(xC; yC) ба D(xD; yD) -ийг ол.

С цэг нь AB сегментийг λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 харьцаагаар хуваана.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ба yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

Тиймээс C(-7; 3).

D цэг нь AB сегментийн дунд цэг юм. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 томъёог ашигласнаар бид дараахыг олно.

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. Энэ нь D нь координаттай (-1; 6) гэсэн үг юм.

5. хэрчмийг хуваах цэгүүдийн координатыг тооцоолох, хэрвээ энэ сегментийн төгсгөлүүдийн координатууд болон энэ сегментийг хуваах хэсгүүдийн тоог өгсөн бол.

Жишээ 6.

Сегментийн төгсгөлүүд нь A(-8; -5) ба B(10; 4) цэгүүд юм. Энэ сегментийг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах C ба D цэгүүдийг ол.

Шийдэл.

Бодлогын нөхцлөөс xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ба n = 3. C(xC; yC) ба D(xD; yD) -г ол. (Зураг 5).

С цэгийг олъё. Энэ нь AB хэрчмийг λ = 1/2 харьцаагаар хуваана. Бид А цэгээс В цэг хүртэл хуваана. xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) томъёог ашиглан бид:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 ба yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Тиймээс C(-2; -2).

CB сегментийг 1: 1 харьцаагаар хуваах тул бид томъёог ашигладаг.

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. Тиймээс D(4; 1).

C(-2; -2) ба D(4; 1) хуваах цэгүүд.

Тайлбар: D цэгийг AB хэрчимийг 2: 1 харьцаагаар хуваах замаар олж болно. Энэ тохиолдолд xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) томъёог дахин ашиглах шаардлагатай болно. + λyB) / (1 + λ).

Жишээ 7.

A(5; -6) ба B(-5; 9) цэгүүд нь сегментийн төгсгөл юм. Өгөгдсөн хэрчмийг таван тэнцүү хэсэгт хуваах цэгүүдийг ол.

Шийдэл.

А-аас В хүртэлх дараалсан хуваах цэгүүдийг C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ба F(xF; yF) гэж үзье. Асуудлын нөхцөл нь xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 ба n = 5.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) томъёог ашиглан бид C цэгийг олно. Энэ нь AB сегментийг λ = 1/4 харьцаагаар хуваана:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ба yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, бид С цэг нь координаттай (3; -3) гэдгийг авна.

AB сегментийг D цэгээр хуваах нь 2: 3 (жишээ нь λ = 2/3) харьцаагаар хийгдсэн тул:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ба yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, тэгэхээр D (10).

E цэгийг олъё. Энэ нь AB хэрчмийг λ = 2/3 харьцаагаар хуваана:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ба yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Тиймээс Тиймээс E(-1; 3).

F цэг нь AB сегментийг λ = 4/1 харьцаагаар хуваадаг тул:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 ба yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

C(-2; -2) хуваах цэг; D(4; 1); E(-1; 3) ба F(-3; 6).

Асуулт хэвээр байна уу? Сегмент хуваах асуудлыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Хэрэв M(x;y) цэг нь өгөгдсөн M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) гэсэн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун дээр орших ба λ = M 1 M/MM 2 харьцаа нь: өгөгдсөн бөгөөд энэ цэгт M нь M 1 M 2 хэрчмийг хувааж, дараа нь М цэгийн координатыг хуваана

томъёогоор тодорхойлно

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), у = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

Хэрэв M цэг нь M 1 M 2 сегментийн дунд цэг бол түүний координатыг томъёогоор тодорхойлно.

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. Нэг төрлийн савааны өгөгдсөн A(3; -5) ба 6(-1; 1) төгсгөлүүд. Түүний хүндийн төвийн координатыг тодорхойл.

87. Нэг төрлийн савааны хүндийн төв нь M(1; 4) цэгт, түүний нэг үзүүр нь P(-2; 2) цэгт байна. Энэ бариулын нөгөө үзүүрийн Q цэгийн координатыг тодорхойл

88. Гурвалжны оройг A(1; -3), 6(3; -5) ба C(-5; 7) өгөв. Түүний талуудын дунд цэгүүдийг тодорхойлно.

89. А(3; - 1) ба В(2; 1) гэсэн хоёр цэг өгөгдсөн. Тодорхойлох:

1) В цэгтэй харьцуулахад А цэгт тэгш хэмтэй M цэгийн координат;

2) А цэгтэй харьцуулахад B цэгтэй тэгш хэмтэй N цэгийн координатууд.

90. M(2; -1), N(-1; 4) ба P(-2; 2) цэгүүд нь гурвалжны талуудын дунд цэгүүд юм. Түүний оройг тодорхойл.

91. Параллелограммын гурван орой өгөгдсөн A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3). B-ийн эсрэг талын дөрөв дэх D оройг тодорхойл.

92. Параллелограммын хоёр зэргэлдээ орой A(-3; 5), B(1; 7) ба диагональуудын огтлолцлын цэг M(1; 1) өгөгдсөн. Өөр хоёр оройг тодорхойл.

93. ABCD параллелограммын A(2; 3), 6(4; -1) ба C(0; 5) гурван орой өгөгдсөн. Түүний дөрөв дэх D оройг ол.

94. A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2) гурвалжны оройнууд өгөгдсөн. В оройноос зурсан медианы уртыг тодорхойл.

95. А (1;-3) ба В(4; 3) цэгүүдээр хүрээлэгдсэн хэрчмийг тэнцүү гурван хэсэгт хуваана. Хуваах цэгүүдийн координатыг тодорхойлно.

96. A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) гурвалжны оройнууд өгөгдсөн. В орой дээрх дотоод өнцгийн биссектрисын АС талтай огтлолцох цэгийг ол.

97. Гурвалжны оройг A(3; -5), B(-3; 3) ба C(-1; -2) өгөв. А орой дээрх дотоод өнцгийн биссектрисын уртыг тодорхойл.

98. Гурвалжны оройнууд A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) өгөгдсөн. А орой дээрх гадаад өнцгийн биссектрисын ВС талын үргэлжлэлтэй огтлолцох цэгийг ол.

99. A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2) гурвалжны оройнууд өгөгдсөн. В орой дээрх гадаад өнцгийн биссектрисын уртыг тодорхойл.

100. Нэг шулуун дээр байрлах A(1; -1), B(3; 3) ба C(4; 5) гэсэн гурван цэг өгөгдсөн. Тэд тус бүр нь нөгөө хоёроор хязгаарлагдсан хэрчмийг хувааж байгаа λ харьцааг тодорхойл.

101. P(2; 2) ба Q (1; 5) цэгүүдээр тэнцүү гурван хэсэгт хуваагдсан сегментийн А ба В төгсгөлийн координатыг тодорхойл.

102. Шулуун шугам нь M 1 (-12; -13) ба M 2 (- 2; -5) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг. Энэ шулуунаас абсцисс нь 3 байх цэгийг ол.

103. Шулуун шугам нь M(2; -3) ба N(-6; 5) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг. Энэ шулуун дээр ординат нь -5 байх цэгийг ол.

104. Шулуун шугам нь A(7; -3) ба B(23;. -6) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг. Энэ шулууны абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол.

105. Шулуун шугам нь A(5; 2) ба B(-4; -7) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг. Энэ шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол.

106. Дөрвөн өнцөгтийн оройг A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) ба D(5; 8) өгөв. Түүний диагональ АС нь диагональ BD-ийг хуваах харьцааг тодорхойл.

107. Дөрвөн өнцөгт A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) ба D(6; 10) оройнууд өгөгдсөн. Түүний AC ба BD диагональуудын огтлолцлын цэгийг тодорхойл.

108. Нэг төрлийн гурвалжин хавтангийн оройг A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) ба C(x 3 ; y 3) өгөв. Түүний хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох,

Анхаарна уу. Таталцлын төв нь медиануудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.

109. Гурвалжны медиануудын огтлолцлын М цэг нь абсцисса тэнхлэг дээр, түүний хоёр орой нь А(2; -3) ба В(-5; 1) цэгүүд, гуравдугаар орой нь С ординатын тэнхлэг дээр байрладаг. . М ба С цэгүүдийн координатыг тодорхойл.

110. Нэг төрлийн гурвалжин хавтангийн оройг A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) болон C(x 3; y 3) өгөв. Хэрэв та түүний хажуугийн дунд цэгүүдийг холбовол шинэ нэгэн төрлийн гурвалжин хавтан үүснэ. Хоёр хавтангийн хүндийн төвүүд давхцаж байгааг батал.

Анхаарна уу. 108-р асуудлын үр дүнг ашиглана уу.

111. Нэг төрлийн хавтан нь 12-тай тэнцүү талтай дөрвөлжин хэлбэртэй, дөрвөлжин зүсэлт хийсэн, зүсэлтийн шулуун шугамууд нь дөрвөлжингийн төвийг дайран өнгөрдөг, тэнхлэгүүд.

координатууд нь хавтангийн ирмэгийн дагуу чиглэгддэг (Зураг 4). Энэ хавтангийн хүндийн төвийг тодорхойл.

112. Нэг төрлийн хавтан нь a ба b-тэй тэнцүү талуудтай тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэгш өнцөгт зүсэлт хийсэн; зүсэх шугамууд нь төвөөр дамжин өнгөрч, координатын тэнхлэгүүд нь хавтангийн ирмэгийн дагуу чиглэгддэг (Зураг 5). Энэ хавтангийн хүндийн төвийг тодорхойл.

113. Нэг төрлийн хавтан нь 2а-тай тэнцүү талтай дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд үүнээс гурвалжин зүсэгдсэн; зүсэх шугам нь зэргэлдээ хоёр талын дунд цэгүүдийг холбодог, координатын тэнхлэгүүд нь хавтангийн ирмэгийн дагуу чиглэгддэг (Зураг 6). Хавтангийн хүндийн төвийг тодорхойлно.

114. Дараах A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) болон C(x 3; y 3) цэгүүдэд m, n, p массууд төвлөрч байна. Гурван масстай энэ системийн хүндийн төвийн координатыг тодорхойл.

115. А (4; 2), В (7; -2) ба С (1; 6) цэгүүд нь жигд утсаар хийсэн гурвалжны орой юм. Энэ гурвалжны хүндийн төвийг тодорхойл.

M 1, M 2, M 3 цэгүүдийг нэг шулуун дээр байрлуулъя. Тэд M цэг нь M 1 M 2 хэрчмийг λ(λ≠-1) -тэй харьцуулан хуваадаг гэж хэлдэг.
M 1 ба M 2 цэгүүдийн координатыг зарим координатын системтэй харьцуулан мэдэгдье: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), дараа нь координатуудын координатууд. Ижил координатын системтэй харьцуулахад M(x, y, z) цэгийг дараах томъёогоор олно.
Хэрэв M цэг M 1 M 2 сегментийн дунд байвал , өөрөөр хэлбэл λ=1 ба томъёо (*) нь дараах хэлбэртэй байна.

(**)

Үүнийг шийдэхийн тулд дараах тооцоолуурыг ашиглана уу.

1. Цэгүүдийг хоёр координатаар тодорхойлно: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. Цэгүүдийг гурван координатаар тодорхойлно: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

Жишээ №1. Гурвалжин нь түүний оройн A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) цэгүүдийн координатаар тодорхойлогддог. D(x, y, z)-ийн координатыг ол - түүний медиануудын огтлолцох цэгүүд.

Жишээ №2. AB хэрчмийг А цэгээс эхлэн тоолоход λ=1/4 харьцаагаар C(4,1) цэгт хуваана. В(8,5) бол А-ийн координатыг ол.
Шийдэл. Томьёог (*) хэрэглэснээр бид дараахийг олж авна.
, эндээс бид x=3, y=0 гэж олно.

Жишээ №3. AB хэрчмийг C(3, -1) ба D(1,4) цэгүүдээр тэнцүү гурван хэсэгт хуваана. Сегментийн төгсгөлийн координатыг ол.
Шийдэл. A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2) гэж тэмдэглэе. С цэг нь AD сегментийн дунд байдаг тул (**) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно. үүнээс x 1 = 5, y 1 = -6. В цэгийн координатууд ижил төстэй олддог: x 2 = -1, y 2 = 9.

Сегментийг тодорхой харьцаагаар хуваах нөхцөл байгаа үед тусгаарлагчийн үүрэг гүйцэтгэдэг цэгийн координатыг тодорхойлох чадвартай байх шаардлагатай. Хавтгай дээр асуудлыг тавьж эдгээр координатыг олох томьёог гаргацгаая.

Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт координатын систем O x y ба түүн дээр өгөгдсөн A (x A, y A) ба B (x B, y B) координатуудтай давхцдаггүй хоёр цэгийг өгсөн болно. Мөн A B сегментийг λ (зарим эерэг бодит тоо) -д хуваах C цэгийг өгсөн болно. С цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай: x C ба y C.

Асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө өгөгдсөн нөхцлийн утгыг бага зэрэг нээцгээе: "А В сегментийг λ-д хувааж буй С цэг". Нэгдүгээрт, энэ илэрхийлэл нь С цэг нь А В сегмент дээр (жишээ нь, А ба В цэгүүдийн хооронд) байрладаг болохыг харуулж байна. Хоёрдугаарт, өгөгдсөн нөхцлийн дагуу A C ба C B сегментүүдийн уртын харьцаа λ-тэй тэнцүү байх нь тодорхой байна. Тэдгээр. тэгш байдал нь үнэн:

Энэ тохиолдолд А цэг нь сегментийн эхлэл, В цэг нь сегментийн төгсгөл юм. Хэрэв C цэг нь BA A сегментийг өгөгдсөн харьцаагаар хуваадаг гэж өгөгдсөн бол тэгш байдал үнэн байх болно: .

Бүрэн тодорхой баримт бол хэрэв λ = 1 бол C цэг нь A B сегментийн дунд цэг болно.

Вектор ашиглан асуудлыг шийдье. Тодорхой тэгш өнцөгт координатын системд А В сегментийн A, B, C цэгүүдийг дур мэдэн үзүүлье, мөн эдгээр цэгүүдийн радиус векторууд болон A C → ба C B → векторуудыг байгуулъя. Бодлогын нөхцлийн дагуу С цэг нь А В сегментийг λ-тэй харьцуулан хуваана.

Цэгийн радиус векторын координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай тэнцүү бол тэгш байдал нь үнэн болно: O A → = (x A, y A) ба O B → = (x B, y B).

Векторын координатыг тодорхойлъё: тэдгээр нь асуудлын нөхцлийн дагуу олох шаардлагатай С цэгийн координатуудтай тэнцүү байх болно.

Вектор нэмэх үйлдлийг ашиглан бид тэгшитгэлүүдийг бичнэ: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

Асуудлын нөхцлийн дагуу C цэг нь A B сегментийг λ-тай харьцуулж, өөрөөр хэлбэл. A C = λ · C B тэгш байдал үнэн.

A C → ба C B → векторууд нэг шулуун дээр байрлах ба кодиректортой байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу λ > 0, тэгвэл векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийн дагуу бид: A C → = λ · C B → болно.

Илэрхийллийг түүнд орлуулах замаар хувиргая: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

Бид O C → = O A → + A C → тэгш байдлыг O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) гэж дахин бичнэ.

Вектор дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарыг ашигласнаар сүүлчийн тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

Одоо бид зөвхөн O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → векторын координатыг шууд тооцоолох хэрэгтэй.

O A → ба O B → векторууд дээр шаардлагатай үйлдлүүдийг хийцгээе.

O A → = (x A , y A) ба O B → = (x B , y B), дараа нь O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).

Тиймээс O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

Дүгнэж хэлэхэд: А В сегментийг өгөгдсөн λ харьцаагаар хуваах С цэгийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно: x C = x A + λ · x B 1 + λ and y C = y A + λ · y B 1 + λ .

Орон зайд өгөгдсөн харьцаагаар сегментийг хуваах цэгийн координатыг тодорхойлох

Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт координатын систем O x y z, өгөгдсөн координат A (x A, y A, z A) ба B (x B, y B, z B) цэгүүд.

C цэг нь A B сегментийг λ-тэй харьцуулан хуваана. С цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Онгоц дээрх дээрх тохиолдлын адил үндэслэлийг ашигласнаар бид тэгш байдалд хүрнэ.

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

Векторууд нь А ба В цэгүүдийн радиус векторууд бөгөөд энэ нь:

O A → = (x A , y A , z A) ба O B → = (x B , y B , z B) , тиймээс

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)

Иймд орон зай дахь А В сегментийг λ харьцаагаар хуваах С цэг нь координаттай байна: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B. 1 + λ)

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан онолыг авч үзье.

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл: C цэг нь A В сегментийг таваас гурвын харьцаагаар хуваана. А ба В цэгүүдийн координатыг A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4) цэгүүдээр тодорхойлно.

Шийдэл

Бодлогын нөхцлийн дагуу λ = 5 3. Дээрх томьёог хэрэглээд дараах зүйлийг олж авцгаая.

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

Хариулт: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл: A B C гурвалжны хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Түүний оройн координатууд нь өгөгдсөн: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

Шийдэл

Аливаа гурвалжны хүндийн төв нь түүний медиануудын огтлолцлын цэг гэдгийг мэддэг (энэ нь M цэг байх болтугай). Медиан бүрийг оройноос эхлэн тоолоход 2-1 харьцаагаар M цэгээр хуваагдана. Үүний үндсэн дээр бид тавьсан асуултын хариултыг олох болно.

A D нь A B C гурвалжны медиан гэж үзье. M цэг нь медиануудын огтлолцлын цэг бөгөөд M (x M, y M, z M) координаттай ба гурвалжны хүндийн төв юм. M нь медиануудын огтлолцлын цэгийн хувьд A D сегментийг 2-оос 1-ийн харьцаагаар хуваана, i.e. λ = 2.

D цэгийн координатыг олъё. A D нь медиан тул D цэг нь B C сегментийн дунд байна. Дараа нь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

М цэгийн координатыг тооцоолъё:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

Хариулт: (1 3, 0, 7 3)

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу