Тэгшитгэлийн хамгийн жижиг язгуурыг онлайнаар олоорой. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

математикийг шийдвэрлэх. Хурдан олоорой Математик тэгшитгэлийг шийдвэрлэхгоримд байна онлайн. www.site вэб сайт зөвшөөрдөг тэгшитгэлийг шийдбараг ямар ч өгөгдсөн алгебрийн, тригонометрэсвэл трансцендент тэгшитгэл онлайн. Математикийн бараг бүх салбарыг янз бүрийн үе шатанд судлахдаа та шийдэх хэрэгтэй тэгшитгэлүүд онлайн. Хариултыг нэн даруй, хамгийн чухал нь үнэн зөв хариулт авахын тулд танд үүнийг хийх боломжийг олгодог эх сурвалж хэрэгтэй. www.site сайтад баярлалаа тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэххэдэн минут болно. Математикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ www.site-ийн гол давуу тал тэгшитгэлүүд онлайн- энэ бол өгсөн хариултын хурд, нарийвчлал юм. Сайт нь аливаа асуудлыг шийдэх боломжтой онлайн алгебрийн тэгшитгэл, тригонометрийн тэгшитгэлүүд онлайн, трансцендентал тэгшитгэлүүд онлайн, ба тэгшитгэлгоримд үл мэдэгдэх параметрүүдтэй онлайн. Тэгшитгэлхүчирхэг математикийн аппарат болж үйлчилдэг шийдлүүдпрактик асуудлууд. Тусламжаар математик тэгшитгэланх харахад ойлгомжгүй, төвөгтэй мэт санагдаж болох баримт, харилцааг илэрхийлэх боломжтой. Үл мэдэгдэх тоо хэмжээ тэгшитгэл-д асуудлыг томъёолсноор олж болно математикийнхэлбэрээр хэл тэгшитгэлТэгээд шийдэхгоримд даалгавар хүлээн авсан онлайн www.site вэбсайт дээр. Ямар ч алгебрийн тэгшитгэл, тригонометрийн тэгшитгэлэсвэл тэгшитгэлагуулсан трансценденталболомжуудыг хялбархан хийж болно шийдэхонлайнаар орж, яг тодорхой хариултыг аваарай. Байгалийн шинжлэх ухааныг судлахдаа зайлшгүй хэрэгцээтэй тулгардаг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ тохиолдолд хариулт нь үнэн зөв байх ёстой бөгөөд горимд нэн даруй авах ёстой онлайн. Тиймээс төлөө математикийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхБид таны зайлшгүй тооцоолуур болох www.site сайтыг санал болгож байна алгебрийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх, тригонометрийн тэгшитгэлүүд онлайн, ба трансцендентал тэгшитгэлүүд онлайнэсвэл тэгшитгэлүл мэдэгдэх параметрүүдтэй. Төрөл бүрийн үндсийг олох практик асуудлуудын хувьд математик тэгшитгэлнөөц www.. Шийдэж байна тэгшитгэлүүд онлайнашиглан хүлээн авсан хариултыг өөрөө шалгах нь ашигтай байдаг Онлайн тэгшитгэл шийдвэрлэх www.site вэбсайт дээр. Та тэгшитгэлийг зөв бичиж, шууд авах хэрэгтэй онлайн шийдэл, үүний дараа зөвхөн хариултыг тэгшитгэлийн шийдэлтэй харьцуулах л үлдлээ. Хариултыг шалгахад нэг минутаас хэтрэхгүй, хангалттай тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхмөн хариултуудыг харьцуул. Энэ нь алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална шийдвэрмөн хариултыг цаг тухайд нь засаарай тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхаль аль нь алгебрийн, тригонометр, трансценденталэсвэл тэгшитгэлүл мэдэгдэх параметрүүдтэй.

7-р ангийн математикийн хичээл дээр бид анх удаа уулзаж байна хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл, гэхдээ тэдгээрийг зөвхөн хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийн хүрээнд судалдаг. Тийм ч учраас тэдгээрийг хязгаарлаж буй тэгшитгэлийн коэффициентүүд дээр тодорхой нөхцөлүүдийг нэвтрүүлсэн бүхэл бүтэн цуврал асуудлууд харагдахгүй байна. Нэмж дурдахад "Тэгшитгэлийг натурал буюу бүхэл тоогоор шийдэх" гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг үл тоомсорлодог боловч энэ төрлийн асуудлуудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын материал, элсэлтийн шалгалтанд илүү олон удаа олдог.

Аль тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэх вэ?

Жишээлбэл, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, эсвэл xy = 12 тэгшитгэлүүд нь хоёр хувьсагчийн тэгшитгэл юм.

2x – y = 1 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь x = 2 ба у = 3 үед үнэн болох тул хувьсагчийн энэ хос утга нь тухайн тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Ийнхүү хоёр хувьсагчтай аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг хувьсагчдын утгууд (x; y) гэсэн дараалсан хосуудын багц юм.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь:

A) нэг шийдэл байна.Жишээлбэл, x 2 + 5y 2 = 0 тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй (0; 0);

б) олон шийдэлтэй.Жишээлбэл, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 нь 4 шийдэлтэй байна: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) шийдэл байхгүй.Жишээлбэл, x 2 + y 2 + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

G) хязгааргүй олон шийдэлтэй.Жишээ нь, x + y = 3. Энэ тэгшитгэлийн шийдүүд нь нийлбэр нь 3-тай тэнцүү тоонууд байх болно. Энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцыг (k; 3 – k) хэлбэрээр бичиж болно, энд k нь дурын бодит байна. тоо.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь хүчин зүйлийн илэрхийлэлд суурилсан аргууд, бүтэн квадратыг тусгаарлах, квадрат тэгшитгэлийн шинж чанарыг ашиглах, хязгаарлагдмал илэрхийлэл, үнэлгээний аргууд юм. Тэгшитгэлийг ихэвчлэн үл мэдэгдэхийг олох системийг олж авах хэлбэр болгон хувиргадаг.

Factorization

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийд: xy – 2 = 2x – y.

Шийдэл.

Хүчин зүйлд хуваах зорилгоор бид нэр томъёог бүлэглэдэг:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Хаалт бүрээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргана:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Бидэнд:

y = 2, x – дурын бодит тоо эсвэл x = -1, y – дурын бодит тоо.

Тиймээс, Хариулт нь (x; 2), x € R ба (-1; y), y € R хэлбэрийн бүх хосууд юм.

Сөрөг бус тоонуудын тэгш байдал

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Шийдэл.

Бүлэглэх:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Одоо хаалт бүрийг квадратын зөрүүний томъёог ашиглан нугалж болно.

(3х – 2) 2 + (2у – 3) 2 = 0.

Хоёр сөрөг бус илэрхийллийн нийлбэр нь зөвхөн 3x – 2 = 0, 2y – 3 = 0 үед л тэг болно.

Энэ нь x = 2/3, y = 3/2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (2/3; 3/2).

Тооцооллын арга

Жишээ 3.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Шийдэл.

Хаалт бүрт бид бүрэн дөрвөлжин тэмдэглэнэ:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Тооцоолъё хаалтанд байгаа илэрхийллийн утга.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ба (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 бол тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж хамгийн багадаа 2 байна. Дараах тохиолдолд тэгш байдал боломжтой болно.

(x + 1) 2 + 1 = 1 ба (y – 2) 2 + 2 = 2 бөгөөд энэ нь x = -1, y = 2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (-1; 2).

Хоёрдугаар зэргийн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргатай танилцацгаая. Энэ арга нь тэгшитгэлийг дараах байдлаар авч үзэхээс бүрдэнэ зарим нэг хувьсагчийн хувьд квадрат.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийг шийд: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг х-ийн квадрат тэгшитгэл болгон шийдье. Ялгаварлагчийг олцгооё:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Тэгшитгэл нь зөвхөн D = 0, өөрөөр хэлбэл у = 4 үед л шийдтэй байх болно. Бид анхны тэгшитгэлд y-ийн утгыг орлуулж, x = 3 гэдгийг олно.

Хариулт: (3; 4).

Ихэнхдээ хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлд тэдгээрийг заадаг хувьсагчийн хязгаарлалт.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийд: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг x 2 = -5y 2 + 20x + 2 хэлбэрээр дахин бичье. Үүссэн тэгшитгэлийн баруун тал нь 5-т хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл гарна. Тиймээс x 2 нь 5-д хуваагдахгүй. Харин a-ийн квадрат 5-д хуваагддаггүй тоо нь 1 эсвэл 4-ийн үлдэгдлийг өгдөг. Тиймээс тэгш байдал боломжгүй бөгөөд шийдэл байхгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Шийдэл.

Хаалт бүр дэх бүтэн квадратуудыг тодруулцгаая:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь үргэлж 3-аас их буюу тэнцүү байна. Тэгш байж болно |x| – 2 = 0 ба у + 3 = 0. Тиймээс x = ± 2, у = -3.

Хариулт: (2; -3) ба (-2; -3).

Жишээ 7.

Тэгшитгэлийг хангадаг сөрөг бүхэл тоо (x;y) бүрийн хувьд
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, нийлбэрийг (x + y) тооцоол. Хариултдаа хамгийн бага дүнг бичнэ үү.

Шийдэл.

Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Х ба у нь бүхэл тоо тул квадратууд нь мөн бүхэл тоо болно. Бид 1 + 36-г нэмбэл хоёр бүхэл тооны квадратуудын нийлбэр нь 37-той тэнцэнэ. Тиймээс:

(x – y) 2 = 36 ба (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ба (y + 2) 2 = 36.

Эдгээр системийг шийдэж, x ба y нь сөрөг байгааг харгалзан бид шийдлүүдийг олдог: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Хариулт: -17.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүндрэлтэй байгаа бол цөхрөл бүү зов. Бага зэрэг дасгал хийснээр та ямар ч тэгшитгэлийг даван туулж чадна.

Асуулт хэвээр байна уу? Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энэ видеон дээр бид ижил алгоритмыг ашиглан шийдсэн шугаман тэгшитгэлийн бүхэл бүтэн багцыг шинжлэх болно - тиймээс тэдгээрийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг.

Эхлээд тодорхойлъё: шугаман тэгшитгэл гэж юу вэ, аль нь хамгийн энгийн гэж нэрлэгддэг вэ?

Шугаман тэгшитгэл гэдэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай, зөвхөн нэгдүгээр зэрэгтэй тэгшитгэл юм.

Хамгийн энгийн тэгшитгэл нь бүтээцийг хэлнэ:

Бусад бүх шугаман тэгшитгэлийг алгоритмыг ашиглан хамгийн энгийн болгон бууруулна.

1. Хэрэв байгаа бол хашилтыг дэлгэнэ үү;
2. Хувьсагч агуулсан нэр томъёог тэнцүү тэмдгийн нэг тал руу, хувьсагчгүй нөхцөлийг нөгөө тал руу нь шилжүүлэх;
3. Тэнцүү тэмдгийн зүүн ба баруун талд ижил төстэй нэр томъёог өгөх;
4. Гарсан тэгшитгэлийг $x$ хувьсагчийн коэффициентэд хуваа.

Мэдээжийн хэрэг, энэ алгоритм нь үргэлж тусалдаггүй. Баримт нь заримдаа эдгээр бүх заль мэх хийсний дараа $ x $ хувьсагчийн коэффициент тэгтэй тэнцүү болж хувирдаг. Энэ тохиолдолд хоёр сонголт байж болно:

1. Тэгшитгэлд шийдэл огт байхгүй. Жишээлбэл, $0\cdot x=8$ гэх мэт зүйл гарч ирэхэд, i.e. зүүн талд нь тэг, баруун талд нь тэгээс өөр тоо байна. Доорх видеон дээр бид ийм нөхцөл байдал үүсч болох хэд хэдэн шалтгааныг авч үзэх болно.
2. Шийдэл нь бүх тоо юм. Тэгшитгэлийг $0\cdot x=0$ бүтэц болгон бууруулсан үед ийм боломжтой цорын ганц тохиолдол юм. Бид ямар ч $x$-г орлуулахаас үл хамааран "тэг нь тэгтэй тэнцүү" болж хувирах нь маш логик юм. зөв тоон тэгшитгэл.

Одоо энэ бүхэн хэрхэн явагддагийг бодит жишээн дээр харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Өнөөдөр бид шугаман тэгшитгэлүүдтэй харьцаж байгаа бөгөөд зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд юм. Ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэл гэдэг нь яг нэг хувьсагчийг агуулсан аливаа тэгшитгэлийг хэлдэг бөгөөд энэ нь зөвхөн эхний зэрэгтэй байдаг.

Ийм бүтээн байгуулалтыг ойролцоогоор ижил аргаар шийддэг.

1. Юуны өмнө, хэрэв байгаа бол (бидний сүүлийн жишээн дээрх шиг) хаалтуудыг өргөжүүлэх хэрэгтэй;
2. Дараа нь ижил төстэй зүйлийг нэгтгэнэ
3. Эцэст нь хувьсагчийг тусгаарлах, i.e. хувьсагчтай холбоотой бүх зүйлийг буюу түүнд агуулагдаж буй нэр томьёог нэг тал руу шилжүүлж, үүнгүйгээр үлдсэн бүх зүйлийг нөгөө тал руу шилжүүлнэ.

Дараа нь дүрмээр бол та үүссэн тэгш байдлын тал бүр дээр ижил төстэй зүйлийг өгөх хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа "x" коэффициентээр хуваах л үлддэг бөгөөд бид эцсийн хариултыг авах болно.

Онолын хувьд энэ нь сайхан бөгөөд энгийн мэт харагддаг боловч практик дээр ахлах сургуулийн туршлагатай сурагчид хүртэл маш энгийн шугаман тэгшитгэл дээр доромжилсон алдаа гаргаж чаддаг. Ихэвчлэн хаалт нээх эсвэл "нэмэх", "хасах" -ыг тооцоолоход алдаа гардаг.

Нэмж дурдахад, шугаман тэгшитгэл нь огт шийдэлгүй, эсвэл шийдэл нь бүхэл тооны шугам байх тохиолдол гардаг. ямар ч тоо. Өнөөдрийн хичээл дээр бид эдгээр нарийн ширийн зүйлийг авч үзэх болно. Гэхдээ та аль хэдийн ойлгосноор бид хамгийн энгийн ажлуудаас эхлэх болно.

Энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем

Эхлээд хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх бүх схемийг дахин бичье.

1. Хэрэв байгаа бол хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
2. Бид хувьсагчдыг тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл. Бид "X"-ийг агуулсан бүх зүйлийг нэг тал руу, "X"-гүй бүгдийг нөгөө тал руу шилжүүлдэг.
3. Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.
4. Бид бүгдийг "x" коэффициентээр хуваадаг.

Мэдээжийн хэрэг, энэ схем нь үргэлж ажилладаггүй; үүнд тодорхой нарийн мэдрэмж, заль мэх байдаг, одоо бид тэдэнтэй танилцах болно.

Энгийн шугаман тэгшитгэлийн бодит жишээг шийдвэрлэх

Даалгавар №1

Эхний алхам нь бид хаалт нээхийг шаарддаг. Гэхдээ тэд энэ жишээнд байхгүй тул бид энэ алхамыг алгасаж байна. Хоёр дахь шатанд бид хувьсагчдыг тусгаарлах хэрэгтэй. Анхаарна уу: бид зөвхөн хувь хүний ​​нэр томъёоны тухай ярьж байна. Үүнийг бичье:

Бид зүүн болон баруун талд ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна, гэхдээ үүнийг энд аль хэдийн хийсэн. Тиймээс бид дөрөв дэх алхам руу шилжиж байна: коэффициентээр хуваана:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тиймээс бид хариултаа авлаа.

Даалгавар №2

Бид энэ асуудлын хаалтуудыг харж байгаа тул тэдгээрийг өргөжүүлье:

Зүүн ба баруун талд хоёулаа бид ойролцоогоор ижил загварыг харж байна, гэхдээ алгоритмын дагуу ажиллацгаая, өөрөөр хэлбэл. хувьсагчдыг ялгах:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Энэ нь ямар үндэс дээр ажилладаг вэ? Хариулт: аль ч тохиолдолд. Тиймээс бид $x$ нь дурын тоо гэж бичиж болно.

Даалгавар №3

Гурав дахь шугаман тэгшитгэл нь илүү сонирхолтой юм:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Энд хэд хэдэн хаалт байгаа боловч тэдгээрийг юугаар ч үржүүлээгүй, зүгээр л өөр өөр тэмдгүүдийн өмнө тавьдаг. Тэдгээрийг задалж үзье:

Бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан хоёр дахь алхамыг гүйцэтгэдэг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Тооцоогоо хийцгээе:

Бид сүүлчийн алхамыг хийдэг - бүгдийг "x" коэффициентээр хуваана.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарах зүйлс

Хэрэв бид хэтэрхий энгийн ажлуудыг үл тоомсорловол би дараахь зүйлийг хэлмээр байна.

• Дээр хэлсэнчлэн шугаман тэгшитгэл бүр шийдэлтэй байдаггүй - заримдаа үндэс байдаггүй;
• Хэдийгээр үндэс байгаа ч гэсэн тэдний дунд тэг байж болно - үүнд буруу зүйл байхгүй.

Тэг бол бусадтай ижил тоо юм. Та үүнийг ямар ч байдлаар ялгаварлан гадуурхах ёсгүй, хэрэв та тэг авбал буруу зүйл хийсэн гэж бодож болохгүй.

Өөр нэг онцлог нь хаалт нээхтэй холбоотой юм. Анхаарна уу: тэдний өмнө "хасах" тэмдэг байгаа бол бид үүнийг арилгадаг боловч хаалтанд тэмдэглэгээг өөрчилдөг. эсрэг. Дараа нь бид үүнийг стандарт алгоритмуудыг ашиглан нээж болно: бид дээрх тооцоололд үзсэн зүйлээ авах болно.

Энэ энгийн баримтыг ойлгох нь ахлах сургуульд байхдаа ийм зүйл хийх нь энгийн зүйл мэт санагдвал тэнэг, хор хөнөөлтэй алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална.

Нарийн төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Илүү төвөгтэй тэгшитгэл рүү шилжье. Одоо бүтэц нь илүү төвөгтэй болж, янз бүрийн хувиргалт хийх үед квадрат функц гарч ирнэ. Гэсэн хэдий ч бид үүнээс айх ёсгүй, учир нь хэрэв зохиогчийн төлөвлөгөөний дагуу шугаман тэгшитгэлийг шийдэж байгаа бол хувиргах явцад квадрат функц агуулсан бүх мономиалууд цуцлагдах болно.

Жишээ №1

Мэдээжийн хэрэг, эхний алхам бол хаалтыг нээх явдал юм. Үүнийг маш болгоомжтой хийцгээе:

Одоо нууцлалыг харцгаая:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул бид үүнийг хариултанд бичнэ:

\[\varnothing\]

эсвэл үндэс байхгүй.

Жишээ №2

Бид ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Эхний алхам:

Хувьсагчтай бүх зүйлийг зүүн тийш, үүнгүйгээр баруун тийш шилжүүлье:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Мэдээжийн хэрэг, энэ шугаман тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ.

\[\varnothing\],

эсвэл үндэс байхгүй.

Шийдлийн нюансууд

Хоёр тэгшитгэл хоёулаа бүрэн шийдэгдсэн. Эдгээр хоёр илэрхийлэлийг жишээ болгон ашигласнаар бид хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлд ч гэсэн бүх зүйл тийм ч энгийн биш байж болох юм: нэг эсвэл аль нь ч биш, эсвэл хязгааргүй олон үндэс байж болно гэдгийг бид дахин батлав. Манай тохиолдолд бид хоёр тэгшитгэлийг авч үзсэн бөгөөд хоёулаа үндэсгүй.

Гэхдээ би та бүхний анхаарлыг өөр нэг баримтад хандуулахыг хүсч байна: хаалттай хэрхэн ажиллах, өмнө нь хасах тэмдэг байвал тэдгээрийг хэрхэн нээх вэ. Энэ илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй:

Нээхээсээ өмнө бүх зүйлийг "X" -ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Анхаарна уу: үрждэг бие даасан нэр томъёо бүр. Дотор нь хоёр нэр томъёо байдаг - тус тус хоёр нэр томъёо ба үржүүлсэн.

Эдгээр энгийн мэт боловч маш чухал, аюултай өөрчлөлтүүд дууссаны дараа л хаалтанд хасах тэмдэг байгаа гэсэн үүднээс нээж болно. Тийм ээ, тийм: зөвхөн одоо, өөрчлөлтүүд дуусмагц бид хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгааг санаж байгаа бөгөөд энэ нь доорх бүх зүйл тэмдгүүдийг өөрчилдөг гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ хаалт нь өөрөө алга болж, хамгийн чухал нь урд талын "хасах" нь алга болно.

Бид хоёр дахь тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хийнэ:

Би эдгээр өчүүхэн, өчүүхэн мэт санагдах баримтуудад анхаарал хандуулж байгаа нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үргэлж энгийн хувиргалтуудын дараалал байдаг тул энгийн үйлдлүүдийг тодорхой, чадварлаг гүйцэтгэх чадваргүй байх нь ахлах сургуулийн сурагчид над дээр ирж, ийм энгийн тэгшитгэлийг шийдэж сурахад хүргэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, та эдгээр ур чадвараа автоматаар эзэмшүүлэх өдөр ирэх болно. Та бүх зүйлийг нэг мөрөнд бичих бүртээ ийм олон өөрчлөлт хийх шаардлагагүй болно; Гэхдээ та дөнгөж сурч байхдаа үйлдэл бүрийг тусад нь бичих хэрэгтэй.

Бүр илүү төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Одоо бидний шийдэх гэж байгаа зүйлийг хамгийн энгийн ажил гэж нэрлэх аргагүй ч утга нь хэвээрээ л байна.

Даалгавар №1

\[\зүүн(7х+1 \баруун)\зүүн(3х-1 \баруун)-21((x)^(2))=3\]

Эхний хэсэгт байгаа бүх элементүүдийг үржүүлье.

Зарим нууцлалыг хийцгээе:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Сүүлийн алхамыг дуусгая:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Энд бидний эцсийн хариулт байна. Шийдвэрлэх явцад бид квадрат функцтэй коэффициентүүдтэй байсан ч тэдгээр нь бие биенээ цуцалсан нь тэгшитгэлийг квадрат биш шугаман болгодог.

Даалгавар №2

\[\зүүн(1-4х \баруун)\зүүн(1-3х \баруун)=6х\зүүн(2х-1 \баруун)\]

Эхний алхамыг анхааралтай хийцгээе: эхний хаалтанд байгаа элемент бүрийг хоёр дахь элемент бүрээр үржүүлнэ. Өөрчлөлтийн дараа нийт дөрвөн шинэ нэр томъёо байх ёстой:

Одоо үржүүлэлтийг гишүүн бүрт анхааралтай хийцгээе:

"X"-тэй нэр томъёог зүүн тийш, байхгүй бол баруун тийш шилжүүлье.

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:

Дахин нэг удаа бид эцсийн хариултыг хүлээн авлаа.

Шийдлийн нюансууд

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийн талаархи хамгийн чухал тэмдэглэл бол дараахь зүйл юм: бид нэгээс олон гишүүнтэй хаалтуудыг үржүүлж эхэлмэгц энэ нь дараах дүрмийн дагуу хийгддэг: эхний гишүүнийг эхнийхээс авч, элемент бүрээр үржүүлнэ. Хоёрдугаарт; Дараа нь бид эхнийхээс хоёр дахь элементийг авч, хоёр дахь элемент бүрээр ижил төстэй байдлаар үржүүлнэ. Үүний үр дүнд бид дөрвөн хугацаатай болно.

Алгебрийн нийлбэрийн тухай

Энэ сүүлчийн жишээгээр би оюутнуудад алгебрийн нийлбэр гэж юу болохыг сануулмаар байна. Сонгодог математикийн хувьд 1-7 доллар гэдэг нь энгийн бүтээн байгуулалтыг хэлдэг: нэгээс долоог хас. Алгебрийн хувьд бид дараахь зүйлийг хэлдэг: "нэг" тоонд бид "хасах долоо" гэсэн өөр тоог нэмнэ. Алгебрийн нийлбэр нь энгийн арифметик нийлбэрээс ингэж ялгаатай байдаг.

Бүх хувиргалт, нэмэх, үржүүлэх бүрийг хийхдээ дээр дурдсантай төстэй бүтээцүүдийг харж эхэлмэгц олон гишүүнт ба тэгшитгэлтэй ажиллахад алгебрийн хувьд ямар ч асуудал гарахгүй.

Эцэст нь, бидний саяхан үзсэнээс ч илүү төвөгтэй байх хэд хэдэн жишээг харцгаая, тэдгээрийг шийдэхийн тулд бид стандарт алгоритмаа бага зэрэг өргөжүүлэх хэрэгтэй болно.

Бутархайтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Ийм даалгавруудыг шийдвэрлэхийн тулд бид алгоритмдаа нэг алхам нэмэх шаардлагатай болно. Гэхдээ эхлээд алгоритмаа сануулъя:

1. Хаалтуудыг нээ.
2. Тусдаа хувьсагч.
3. Ижил төстэйг нь авчир.
4. Харьцаагаар хуваана.

Харамсалтай нь, энэ гайхамшигтай алгоритм нь бүх үр дүнтэй боловч бидний өмнө бутархай байх үед тийм ч тохиромжтой биш юм. Мөн доороос харахад бид хоёр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь бутархай байна.

Энэ тохиолдолд яаж ажиллах вэ? Тийм ээ, энэ нь маш энгийн! Үүнийг хийхийн тулд та алгоритмд дахин нэг алхам нэмэх хэрэгтэй бөгөөд үүнийг эхний үйлдлээс өмнө болон дараа нь хийж болно, тухайлбал бутархай хэсгүүдээс ангижрах. Тиймээс алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бутархай хэсгүүдээс сал.
2. Хаалтуудыг нээ.
3. Тусдаа хувьсагч.
4. Ижил төстэйг нь авчир.
5. Харьцаагаар хуваана.

"Бутархайг арилгах" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Үүнийг яагаад эхний стандарт алхамын дараа болон өмнө хийж болох вэ? Үнэн хэрэгтээ манай тохиолдолд бүх бутархай нь хуваагчдаа тоон шинж чанартай байдаг, i.e. Хаа сайгүй хуваагч нь зүгээр л тоо юм. Иймд тэгшитгэлийн хоёр талыг энэ тоогоор үржүүлбэл бутархай хэсгүүдээс ангижирна.

Жишээ №1

\[\frac(\left(2x+1 \баруун)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Энэ тэгшитгэлийн бутархай хэсгүүдээс салцгаая.

\[\frac(\left(2x+1 \баруун)\left(2x-3 \баруун)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \баруун)\cdot 4\]

Анхаарна уу: бүгдийг нэг удаа "дөрөв"-өөр үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. Та хоёр хаалттай байна гэдэг нь тус бүрийг "дөрөв"-өөр үржүүлэх ёстой гэсэн үг биш юм. Ингээд бичье:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \баруун)\cdot 4\]

Одоо өргөжүүлье:

Бид хувьсагчийг хасдаг:

Бид ижил төстэй нэр томъёоны бууралтыг гүйцэтгэдэг:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \баруун) \баруун.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Бид эцсийн шийдлийг хүлээн авлаа, хоёр дахь тэгшитгэл рүү шилжье.

Жишээ №2

\[\frac(\left(1-x \баруун)\зүүн(1+5x \баруун))(5)+(x)^(2))=1\]

Энд бид бүх ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг:

\[\frac(\left(1-x \баруун)\left(1+5x \баруун)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Асуудал шийдэгдсэн.

Үнэндээ би өнөөдөр танд хэлэхийг хүссэн зүйл минь энэ.

Гол оноо

Гол дүгнэлтүүд нь:

• Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг мэдэх.
• Хаалт нээх чадвар.
• Хэрэв та хаа нэгтээ квадрат функцтэй бол санаа зовох хэрэггүй, цаашдын өөрчлөлтийн явцад тэдгээр нь багасах болно.
• Шугаман тэгшитгэлд хамгийн энгийн нь ч гэсэн гурван төрлийн язгуур байдаг: нэг язгуур, бүх тооны шугам нь үндэс, огт үндэсгүй.

Энэ хичээл нь бүх математикийг илүү сайн ойлгоход хялбар боловч маш чухал сэдвийг эзэмшихэд тань тусална гэж найдаж байна. Хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сайт руу орж, тэнд үзүүлсэн жишээнүүдийг шийдээрэй. Хамтдаа байгаарай, өөр олон сонирхолтой зүйл таныг хүлээж байна!

Бидний танд хүргэж буй үнэ төлбөргүй тооцоолуур нь математикийн тооцоолол хийх арвин арсеналтай. Энэ нь үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт онлайн тооцоолуур ашиглах боломжийг танд олгоно. боловсролын, мэргэжлийнТэгээд арилжааны. Мэдээжийн хэрэг, онлайн тооцоолуур ашиглах нь ялангуяа түгээмэл байдаг оюутнуудТэгээд сургуулийн сурагчид, энэ нь тэдэнд янз бүрийн тооцоолол хийхэд илүү хялбар болгодог.

Үүний зэрэгцээ тооцоолуур нь бизнесийн зарим салбарт болон өөр өөр мэргэжилтэй хүмүүст хэрэгтэй хэрэгсэл болж чаддаг. Мэдээжийн хэрэг, тооцоолуурыг бизнес эсвэл ажилд ашиглах хэрэгцээ нь үндсэндээ тухайн үйл ажиллагааны төрлөөр тодорхойлогддог. Хэрэв таны бизнес, мэргэжил байнгын тооцоолол, тооцоололтой холбоотой бол цахим тооцоолуур ашиглаж, тодорхой ажилд ашиг тустай эсэхийг үнэлэх нь зүйтэй.

Энэ онлайн тооцоолуур боломжтой

• Нэг мөрөнд бичигдсэн математикийн стандарт функцийг зөв гүйцэтгэх: 12*3-(7/2) мөн бид онлайн тооны машинд асар их тоог тоолж чадахаас илүү том тоог боловсруулж чаддаг. 34 тэмдэгт байгаа бөгөөд энэ нь огт хязгаар биш юм).
• Үүнээс бусад нь шүргэгч, косинус, синусболон бусад стандарт функцууд - тооцоолуур нь тооцооллын үйлдлийг дэмждэг арктангенс, арккотангенсмөн бусад.
• Арсеналд авах боломжтой логарифмууд, хүчин зүйлүүдболон бусад сонирхолтой шинж чанарууд
• Энэ онлайн тооцоолуур график хэрхэн бүтээхийг мэддэг!!!

График зурахын тулд үйлчилгээ нь тусгай товчлуур (графикийг сааралаар зурсан) эсвэл энэ функцийн үсгийн дүрслэлийг (Plot) ашигладаг. Онлайн тооны машинд график байгуулахын тулд дараах функцийг бичнэ үү. plot(tan(x)),x=-360..360.

Бид шүргэгчийн хувьд хамгийн энгийн графикийг авч, аравтын бутархайн дараа X хувьсагчийн мужийг -360-аас 360 хүртэл зааж өгсөн.

Та ямар ч тооны хувьсагчтай ямар ч функцийг үүсгэж болно, жишээлбэл: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)эсвэл бүр илүү төвөгтэй, таны бодож олох боломжтой. X хувьсагчийн зан төлөвт анхаарлаа хандуулаарай - хоорондын зайг хоёр цэг ашиглан зааж өгсөн болно.

Энэхүү онлайн тооцоолуурын цорын ганц сөрөг (хэдийгээр үүнийг сул тал гэж нэрлэхэд хэцүү) нь бөмбөрцөг болон бусад гурван хэмжээст дүрсийг бүтээх боломжгүй юм - зөвхөн онгоц.

Математикийн тооцоолуурыг хэрхэн ашиглах вэ

1. Дэлгэц (тооцооны дэлгэц) нь бид цаасан дээр бичиж байх үед оруулсан илэрхийлэл болон түүний тооцооллын үр дүнг энгийн тэмдэгтээр харуулдаг. Энэ талбар нь одоогийн гүйлгээг харах зориулалттай. Оролтын мөрөнд математикийн илэрхийлэл бичих үед энэ оруулга дэлгэц дээр гарч ирнэ.

2. Илэрхийллийн оролтын талбар нь тооцоолох шаардлагатай илэрхийллийг бүртгэх зориулалттай. Компьютерийн программуудад ашигладаг математик тэмдэгтүүд нь бидний цаасан дээр ихэвчлэн ашигладагтай үргэлж ижил байдаггүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Тооцоологчийн функц бүрийн тоймд та тодорхой үйлдлийн зөв тэмдэглэгээ, тооцоолуур дахь тооцооллын жишээг олох болно. Доорх хуудсан дээр тооцоолуур дээрх бүх боломжит үйлдлүүдийн жагсаалт байгаа бөгөөд тэдгээрийн зөв бичгийн дүрмийг харуулсан болно.

3. Хэрэгслийн мөр - эдгээр нь тохирох үйлдлийг харуулсан математик тэмдэгтүүдийг гараар оруулахыг орлох тооны машины товчлуурууд юм. Тооцоологчийн зарим товчлуурууд (нэмэлт функцууд, нэгж хөрвүүлэгч, матриц ба тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, графикууд) нь тодорхой тооцооллын өгөгдлийг оруулах шинэ талбаруудаар даалгаврын самбарыг нөхдөг. "Түүх" талбарт математикийн илэрхийлэл бичих жишээнүүд, мөн таны хамгийн сүүлд оруулсан зургаан бичлэг багтсан болно.

Нэмэлт функцуудыг дуудах, хэмжигдэхүүнийг хөрвүүлэх, матриц, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, график зурах товчлууруудыг дарахад тооцоолуурын самбар бүхэлдээ дээш хөдөлж, дэлгэцийн зарим хэсгийг хамарна гэдгийг анхаарна уу. Шаардлагатай талбаруудыг бөглөж, "I" товчийг дарж (зураг дээр улаанаар тодруулсан) бүрэн хэмжээний дэлгэцийг харна уу.

4. Тоон товчлуур нь тоо болон арифметик тэмдэгтүүдийг агуулна. "C" товчлуур нь илэрхийлэл оруулах талбар дахь оруулгыг бүхэлд нь устгана. Тэмдэгтүүдийг нэг нэгээр нь устгахын тулд та оруулах мөрийн баруун талд байгаа сумыг ашиглах хэрэгтэй.

Илэрхийллийн төгсгөлд хашилтыг үргэлж хааж үзээрэй. Ихэнх үйлдлийн хувьд энэ нь тийм ч чухал биш бөгөөд онлайн тооцоолуур бүх зүйлийг зөв тооцоолох болно. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд алдаа гарч болзошгүй. Жишээлбэл, бутархайн зэрэглэлийг нэмэгдүүлэх үед хаалтгүй хаалт нь илтгэгч дэх бутархайн хуваагчийг суурийн хуваагч руу ороход хүргэдэг. Хаалтын хаалт нь дэлгэцэн дээр цайвар саарал өнгөөр ​​харагдах бөгөөд бичлэг хийж дуусахад хаагдах ёстой.