Тодорхой интегралын геометрийн утгыг шинжлэхэд зориулагдсан өмнөх хэсэгт бид муруйн трапецын талбайг тооцоолох хэд хэдэн томъёог хүлээн авсан.

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба эерэг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b ].

Эдгээр томъёо нь харьцангуй энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Бодит байдал дээр бид илүү төвөгтэй тоонуудтай ажиллах шаардлагатай болдог. Үүнтэй холбогдуулан бид энэ хэсгийг тодорхой хэлбэрээр функцээр хязгаарлагдсан тоонуудын талбайг тооцоолох алгоритмын шинжилгээнд зориулах болно. y = f(x) эсвэл x = g(y) гэх мэт.

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд [ a ; b ] , ба f 1 (x) ≤ f 2 (x) нь [ a -аас ямар ч х утгын хувьд; b ]. Дараа нь x = a, x = b, y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) шугамаар хязгаарлагдсан G зургийн талбайг тооцоолох томъёо нь S (G) = ∫ хэлбэртэй болно. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Үүнтэй төстэй томъёог y = c, y = d, x = g 1 (y) ба x = g 2 (y) шугамаар хязгаарласан зургийн талбайд хэрэглэнэ: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Баталгаа

Томъёо хүчинтэй байх гурван тохиолдлыг авч үзье.

Эхний тохиолдолд талбайн нэмэлт шинж чанарыг харгалзан үзэхэд анхны G зураг ба муруйн шугаман трапецын G1 талбайн нийлбэр нь G2 зургийн талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь тийм гэсэн үг

Тиймээс S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Бид тодорхой интегралын гурав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

Хоёр дахь тохиолдолд тэгш байдал нь үнэн: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

График дүрслэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хэрэв функц хоёулаа эерэг биш бол бид дараахийг авна: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . График дүрслэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) нь O x тэнхлэгтэй огтлолцох ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

Бид огтлолцох цэгүүдийг x i, i = 1, 2, гэж тэмдэглэнэ. . . , n - 1. Эдгээр цэгүүд сегментийг хуваадаг [a; b ] n хэсэгт x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, энд α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Тиймээс,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Бид тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

График дээрх ерөнхий тохиолдлыг харуулъя.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x томьёог батлагдсан гэж үзэж болно.

Одоо y = f (x) ба x = g (y) шугамаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Бид график байгуулах замаар жишээнүүдийн аль нэгийг авч үзэх болно. Энэ зураг нь нарийн төвөгтэй хэлбэрийг энгийн дүрсүүдийн нэгдэл болгон дүрслэх боломжийг бидэнд олгоно. График, тэдгээрийн дээр зураг зурах нь танд хэцүү бол та үндсэн үндсэн функц, функцийн графикийг геометрээр хувиргах, мөн функцийг судалж байхдаа график байгуулах хэсгийг судалж болно.

Жишээ 1

y = - x 2 + 6 x - 5 парабол ба y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх шугамуудыг декартын координатын системээр зуръя.

Сегмент дээр [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 параболын график нь y = - 1 3 x - 1 2 шулуунаас дээш байрлана. Үүнтэй холбогдуулан хариултыг авахын тулд бид өмнө нь олж авсан томъёо, түүнчлэн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргыг ашигладаг.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Хариулт: S(G) = 13

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Энэ тохиолдолд бид x тэнхлэгтэй параллель байрласан зөвхөн нэг шулуун шугамтай байна. Энэ нь x = 7 байна. Энэ нь биднээс интеграцийн хоёр дахь хязгаарыг өөрсдөө олохыг шаарддаг.

График байгуулж, түүн дээр асуудлын тайлбарт өгөгдсөн шугамуудыг зуръя.

Графикийг нүдэн дээр нь тавьснаар интегралын доод хязгаар нь y = x шулуун шугам ба хагас парабол y = x + 2-ийн графын огтлолцох цэгийн абсцисса байх болно гэдгийг хялбархан тодорхойлж чадна. Абсциссыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг ашиглана:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Уулзалтын цэгийн абсцисса нь x = 2 байна.

Зурган дээрх ерөнхий жишээн дээр y = x + 2, y = x шугамууд (2; 2) цэг дээр огтлолцдог тул ийм нарийвчилсан тооцоо шаардлагагүй мэт санагдаж болох тул бид таны анхаарлыг татаж байна. Илүү нарийн төвөгтэй тохиолдолд шийдэл нь тийм ч тодорхой биш байж болох тул бид ийм нарийн шийдлийг энд оруулсан болно. Энэ нь шугамын огтлолцлын координатыг аналитик аргаар тооцоолох нь үргэлж дээр гэсэн үг юм.

Интервал дээр [ 2 ; 7] y = x функцийн график нь у = x + 2 функцийн график дээр байрлана. Талбайг тооцоолохын тулд томъёог ашиглацгаая.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Хариулт: S (G) = 59 6

Жишээ 3

y = 1 x ба y = - x 2 + 4 x - 2 функцуудын графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр мөрүүдийг зуръя.

Интеграцийн хязгаарыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид 1 x ба - x 2 + 4 x - 2 илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх замаар шугамуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Хэрэв x тэг биш бол 1 x = - x 2 + 4 x - 2 тэгшитгэл нь бүхэл тооны коэффициент бүхий 3-р зэргийн тэгшитгэл - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0-тэй тэнцүү болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын талаарх таны санах ойг сэргээхийн тулд бид "Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" хэсгийг үзэж болно.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 илэрхийлэлийг x - 1 хоёрт хуваавал: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x) болно. - 1) = 0

Бид x 2 - 3 x - 1 = 0 тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олж болно.

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Бид x ∈ 1 интервалыг олсон; 3 + 13 2, үүнд G зураг цэнхэр дээр, улаан шугамын доор байна. Энэ нь зургийн талбайг тодорхойлоход тусална:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Хариулт: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жишээ 4

y = x 3, y = - log 2 x + 1 муруй ба абсцисса тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх бүх мөрийг зуръя. y = - log 2 x + 1 функцийн графикийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлуулж, нэг нэгж дээш хөдөлгөвөл y = log 2 x графикаас авч болно. Х тэнхлэгийн тэгшитгэл нь у = 0 байна.

Шугамануудын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэе.

Зурагнаас харахад у = x 3 ба у = 0 функцуудын графикууд (0; 0) цэг дээр огтлолцож байна. Энэ нь x = 0 нь x 3 = 0 тэгшитгэлийн цорын ганц бодит язгуур учир болдог.

x = 2 нь тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур - log 2 x + 1 = 0 тул y = - log 2 x + 1 ба y = 0 функцуудын графикууд (2; 0) цэг дээр огтлолцоно.

x = 1 нь x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Үүнтэй холбогдуулан y = x 3 ба y = - log 2 x + 1 функцуудын графикууд (1; 1) цэг дээр огтлолцоно. Сүүлийн мэдэгдэл нь тодорхой биш байж болох ч x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэл нь нэгээс олон язгууртай байж болохгүй, учир нь y = x 3 функц хатуу нэмэгдэж, y = - log 2 x + 1 функц нь хатуу бууруулж байна.

Цаашдын шийдэл нь хэд хэдэн сонголтыг агуулдаг.

Сонголт №1

Бид G дүрсийг x тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хоёр муруй шугаман трапецын нийлбэр гэж төсөөлж болно, эхнийх нь х ∈ 0 сегментийн дунд шугамын доор байрладаг; 1, хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан шугамын доор байна; 2. Энэ нь талбай нь S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Сонголт №2

Зураг G-ийг хоёр зургийн зөрүүгээр дүрсэлж болох бөгөөд эхнийх нь x тэнхлэгээс дээш, x ∈ 0 сегмент дээрх цэнхэр шугамын доор байрладаг; 2, хоёр дахь нь х ∈ 1 сегмент дээрх улаан ба цэнхэр шугамуудын хооронд; 2. Энэ нь бидэнд талбайг дараах байдлаар олох боломжийг олгоно.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Энэ тохиолдолд талбайг олохын тулд S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y хэлбэрийн томъёог ашиглах шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, дүрсийг холбосон шугамуудыг y аргументийн функцээр илэрхийлж болно.

y = x 3 ба - log 2 x + 1 тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулан бодъё.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Бид шаардлагатай талбайг авдаг:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Хариулт: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Жишээ 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Улаан шугамаар бид y = x функцээр тодорхойлогдсон шугамыг зурна. Бид y = - 1 2 x + 4 шугамыг цэнхэр өнгөөр, y = 2 3 x - 3 шугамыг хараар зурдаг.

Уулзалтын цэгүүдийг тэмдэглэе.

y = x ба y = - 1 2 x + 4 функцуудын графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё.

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Шалгана уу: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 биш Тэгшитгэлийн шийдэл x 2 = мөн үү? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (4; 2) огтлолцлын цэг i y = x ба y = - 1 2 x + 4

y = x ба y = 2 3 x - 3 функцуудын графикуудын огтлолцох цэгийг олъё.

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Шалгана уу: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 нь тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (9 ; 3) цэг a s y = x ба у = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй

y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3 шулуунуудын огтлолцох цэгийг олъё:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) огтлолцлын цэг y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3

Арга №1

Хүссэн зургийн талбайг бие даасан дүрсүүдийн талбайн нийлбэр гэж төсөөлөөд үз дээ.

Дараа нь зургийн талбай нь:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Арга №2

Анхны зургийн талбайг бусад хоёр зургийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Дараа нь бид x-тэй харьцуулахад шугамын тэгшитгэлийг шийдэж, зөвхөн үүний дараа бид зургийн талбайг тооцоолох томъёог ашиглана.

y = x ⇒ x = y 2 улаан шугам y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 хар шугам y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Тэгэхээр талбай нь:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь ижил байна.

Хариулт: S (G) = 11 3

Үр дүн

Өгөгдсөн шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг олохын тулд бид хавтгай дээр шугам барьж, тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олж, талбайг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй. Энэ хэсэгт бид даалгаврын хамгийн түгээмэл хувилбаруудыг авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар илүү тулгамдсан асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын талаархи ой санамжаа сэргээж, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг.

Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол,тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зурган дээрх эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .

Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола байгуулах нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүЗарим тасралтгүй функц, дараа нь эдгээр функцүүдийн графикууд болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг , , томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Жишээ 4

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

Талбайг нь олох ёстой зураг нь цэнхэр өнгөтэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм.

Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

A)

Шийдэл.

Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0 "x" тэнхлэгийг тохируулна;

- x=-2 Тэгээд x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;

- y=x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU харгалзах квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, тэнхлэгтэй огтлолцохыг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та мөн шугамыг цэг болгон барьж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэгээс дээш Үхэр , Тийм учраас:

Хариулт: С =9 м.кв нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зурган дээрх эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?

б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

хамт)Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн дүрсийн талбайг ол y=2x-x 2, y=-x.

Шийдэл.

Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё ба шулуун Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Та шугамыг цэгээр байгуулж болох бөгөөд интеграцийн хязгаар "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: С =4.5 м.кв нэгж

Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно - хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолохдоо тодорхой интегралыг хэрхэн ашиглах. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг хайж байгаа хүмүүс үүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээрх тодорхой интегралуудтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар илүү тулгамдсан асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тухай санах ойг сэргээх, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, парабол, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг арга зүйн материал, графикийн геометрийн хувиргалтын талаархи нийтлэлийн тусламжтайгаар хийж болно (олон хүмүүсийн хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай).

Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох даалгаврыг хүн бүр сургуулиасаа мэддэг байсан бөгөөд бид сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс нэг их цааш явахгүй. Энэ нийтлэл огт байгаагүй байж болох ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан үзэн яддаг сургуульд зовж, дээд математикийн хичээлийг урам зоригтойгоор эзэмшсэн тохиолдолд ийм асуудал гардаг.

Энэхүү семинарын материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан болно.

Муруй трапецаар эхэлцгээе.

Муруй шугаман трапецнь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй интервал дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБи тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь– парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр, нэг цэгийн барилгын техникийг лавлах материалаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Би муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс , лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

, , болон тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн дор?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикуудын нэг цэгийн барилгын техникийг тусламжид нарийвчлан авч үзсэн болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола байгуулах нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүЗарим тасралтгүй функц, дараа нь эдгээр функцүүдийн графикууд болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг , , томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. . Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график байрладаг өндөр биштэгвэл тэнхлэгүүд

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... буруу зургийн талбай олдсон, яг ингэж даруухан зарц чинь хэд хэдэн удаа завхруулсан. Энд бодит амьдрал дээр тохиолдсон тохиолдол байна:

Жишээ 7

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

...Өө, зураг нь онигоо болсон ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.

Талбайг нь олох ёстой зураг нь цэнхэр өнгөтэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Өөр нэг утга учиртай ажил руугаа орцгооё.

Жишээ 8

Шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, нэг цэгийн зураг зурцгаая.

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.


,

Үнэхээр, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

, шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Энэ дүрсийг зурган дээр дүрсэлцгээе.

Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартчихаж, уучлаарай, би зургийг дахин хийхийг хүсээгүй. Зурах өдөр биш товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)

Цэг бүрээр барихын тулд синусоидын дүр төрхийг мэдэх шаардлагатай (мөн ерөнхийдөө үүнийг мэдэх нь ашигтай байдаг. бүх энгийн функцүүдийн графикууд), түүнчлэн зарим синус утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт. Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Асуудал 1(муруй трапецын талбайг тооцоолох тухай).

Декартын тэгш өнцөгт координатын систем xOy-д x тэнхлэг, шулуун шугамууд x = a, x = b (а муруй шугаман трапецаар) -аар хязгаарлагдсан дүрс (зураг харна уу) өгөгдсөн. Тахир шугамын талбайг тооцоолох шаардлагатай. трапец.
Шийдэл.Геометр нь олон өнцөгт болон тойргийн зарим хэсгийг (салбар, сегмент) тооцоолох жорыг бидэнд өгдөг. Геометрийн үзэл баримтлалыг ашиглан бид зөвхөн шаардлагатай талбайн ойролцоо утгыг олох боломжтой бөгөөд дараах үндэслэлээр тайлбарлана.

Хэсэгт хувацгаая [a; b] (муруй трапецын суурь) n тэнцүү хэсэгт; энэ хуваалтыг x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 цэгүүдийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Эдгээр цэгүүдээр у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татъя. Дараа нь өгөгдсөн муруй шугаман трапецийг n хэсэг, n нарийн багана болгон хуваана. Бүх трапецын талбай нь баганын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

k-р баганыг тусад нь авч үзье, өөрөөр хэлбэл. суурь нь сегмент болох муруй трапец. Үүнийг суурь, өндөр нь f(x k)-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтөөр орлъё (зураг харна уу). Тэгш өнцөгтийн талбай нь \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \)-тэй тэнцүү бөгөөд \(\Delta x_k \) нь сегментийн урт юм; Үүссэн бүтээгдэхүүнийг k-р баганын талбайн ойролцоо утга гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм.

Хэрэв бид одоо бусад бүх баганатай ижил зүйлийг хийвэл дараах үр дүнд хүрнэ: өгөгдсөн муруйн трапецын S талбай нь n тэгш өнцөгтөөс бүрдсэн шаталсан дүрсийн S n талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна (зураг харна уу):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Энд тэмдэглэгээг жигд байлгах үүднээс a = x 0, b = x n; \(\Дельта x_0 \) - сегментийн урт, \(\Дельта x_1 \) - сегментийн урт гэх мэт; энэ тохиолдолд бид дээр тохиролцсоны дагуу \(\Дельта x_0 = \цэг = \Дельта x_(n-1) \)

Тэгэхээр, \(S \ойролцоогоор S_n \) бөгөөд энэ ойролцоо тэгш байдал нь илүү нарийвчлалтай байх тусам n их байх болно.
Тодорхойлолтоор муруйн трапецын шаардагдах талбай нь дарааллын хязгаартай (S n) тэнцүү байна гэж үздэг.
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Асуудал 2(цэг шилжүүлэх тухай)
Материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг. Хурдны хугацаанаас хамаарах хамаарлыг v = v(t) томъёогоор илэрхийлнэ. Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөнийг ол [a; б].
Шийдэл.Хэрэв хөдөлгөөн жигд байсан бол асуудлыг маш энгийнээр шийдэх болно: s = vt, i.e. s = v(b-a). Тэгш бус хөдөлгөөний хувьд та өмнөх асуудлын шийдэлд үндэслэсэн санааг ашиглах хэрэгтэй.
1) Цагийн интервалыг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт хуваана.
2) Цаг хугацааг авч үзээд энэ хугацаанд хурд нь t k үеийнхтэй адил тогтмол байсан гэж үзье. Тиймээс бид v = v(t k) гэж таамаглаж байна.
3) Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөний ойролцоо утгыг олъё, бид энэ ойролцоо утгыг s k гэж тэмдэглэнэ;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Шилжилтийн s-ийн ойролцоо утгыг ол:
\(s \ойролцоогоор S_n \) хаана
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Шаардлагатай шилжилт нь дарааллын хязгаартай тэнцүү байна (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Дүгнэж хэлье. Төрөл бүрийн асуудлын шийдлүүдийг ижил математик загвар болгон бууруулсан. Шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарын олон асуудал шийдвэрлэх явцад ижил загварт хүргэдэг. Энэ математик загварыг тусгайлан судлах ёстой гэсэн үг.

Тодорхой интегралын тухай ойлголт

y = f(x), тасралтгүй (гэхдээ авч үзсэн бодлогод таамаглаж байсанчлан сөрөг биш байх албагүй) функцийн авч үзсэн гурван бодлогод [a; b]:
1) сегментийг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт;
2) нийлбэрийг бүрдүүлэх $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$-ийг тооцоол

Математик шинжилгээний явцад энэ хязгаар нь тасралтгүй (эсвэл хэсэгчлэн тасралтгүй) функцийн хувьд байдаг нь батлагдсан. Түүнийг дууддаг y = f(x) функцийн тодорхой интеграл [a сегмент дээр; b]ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a ба b тоонуудыг интеграцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (доод ба дээд).

Дээр дурдсан ажлууд руу буцаж орцгооё. 1-р асуудалд өгөгдсөн талбайн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
энд S нь дээрх зурагт үзүүлсэн муруйн трапецын талбай юм. Энэ бол тодорхой интегралын геометрийн утга.

Бодлого 2-т өгөгдсөн t = a-аас t = b хүртэлх хугацаанд v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн шилжилтийн s-ийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Ньютон-Лейбницийн томъёо

Эхлээд асуултанд хариулъя: тодорхой интеграл ба эсрэг дериватив хоорондын холбоо юу вэ?

Хариултыг бодлого 2-оос олж болно.Нэг талаас v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн t = a-аас t = b хүртэлх хугацааны s шилжилтийг тооцоолно. томъёо
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Нөгөө талаас, хөдөлж буй цэгийн координат нь хурдны эсрэг дериватив юм - үүнийг s(t) гэж тэмдэглэе; энэ нь s шилжилтийг s = s(b) - s(a) томъёогоор илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
Энд s(t) нь v(t)-ийн эсрэг дериватив юм.

Математик шинжилгээний явцад дараах теорем батлагдсан.
Теорем. Хэрэв y = f(x) функц нь [a интервал дээр тасралтгүй байвал; b] бол томъёо хүчинтэй байна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
Энд F(x) нь f(x)-ийн эсрэг дериватив юм.

Өгөгдсөн томъёог ихэвчлэн нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёоАнглийн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нарын хүндэтгэлд зориулж, бие биенээсээ хамааралгүй, бараг нэгэн зэрэг хүлээн авсан.

Практикт F(b) - F(a) гэж бичихийн оронд \(\зүүн. F(x)\right|_a^b \) тэмдэглэгээг ашигладаг (заримдаа үүнийг гэж нэрлэдэг). давхар орлуулалт) ба үүний дагуу Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ үү.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \зүүн. F(x)\right|_a^b \)

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг деривативыг олж, дараа нь давхар орлуулалт хийнэ.

Ньютон-Лейбницийн томъёонд үндэслэн бид тодорхой интегралын хоёр шинж чанарыг олж авч болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох

Интегралыг ашиглан та зөвхөн муруй трапецын талбайг төдийгүй илүү төвөгтэй хэлбэрийн хавтгай дүрсүүдийн, жишээлбэл, зурагт үзүүлсэн талбайг тооцоолж болно. P дүрс нь x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) тасралтгүй функцуудын графикаар хязгаарлагдаж, [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал биелнэ. Ийм зургийн S талбайг тооцоолохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Тэгэхээр x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) функцүүдийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн S талбай нь хэрчим дээр үргэлжилсэн бөгөөд хэрчмээс аль ч х-д байхаар байна. [a; b] томъёогоор тооцоолсон \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал хангагдана.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Зарим функцийн тодорхойгүй интегралын (эсрэг дериватив) хүснэгт